\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi


\headline={\setfonts[/10]\rm\hfill [\the\pageno]}
\footline={}

\input ofs [a35]  %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  
\baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\a{{A}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}

% ===============================================================

\vglue 2cm

\gg Line�rn� 

\gg zobrazen�

\bigskip\bigskip

* Zachov�v� operace $+$ a $\cdot$ line�rn�ho postoru.

* P�en�� vztahy mezi vektory jednoho prostoru do druh�ho.

* matice $\A$ ur�uje zobrazen� $\a(x) = \A{\bf x}$.

* zobrazen� lin. prostor� kone�n� dimenze maj� matici vzhledem 
  k vybran�m b�z�m.


\n ---------------------------------------------------------------

\g Zobrazen� (zat�m ne nutn� line�rn�)

* p�i�azuje ka�d�mu prvku $x$ jedn� mno�iny ($L_1$) jednozna�n� \hbox{prvek}
  $y$ mno�iny druh� ($L_2$). Zna��me \ $\a: L_1\to L_2$.

* prvku $x$ zobrazen� $\a$ p�i�ad� prvek $y$, kter� naz�v�me 
  {\em hodnota zobrazen� v bod� $x$} nebo {\em obraz prvku $x$}
  a zna��me jej $\a(x)$. Mlu\-v�me-li o obrazu prvku $x$, pak
  prvek $x$ naz�v�me {\em vzor}.

* mno�in� $M\subseteq L_1$ zobrazen� $\a$ p�i�ad� mno�inu hodnot
  $\a(M)$.

* zobrazen� je {\em prost�} (injektivn�), pokud ka�d�m dv�ma r�zn�m vzor�m p�i�ad�
  r�zn� obrazy.

* zobrazen� je {\em na} $L_2$ (surjektivn�), pokud ka�d� prvek v $L_2$
  m� sv�j vzor.

* zobrazen� je {\em bijektivn�}, je-li prost� a na.

\n -----------------------------------------------------------------

\g Definice line�rn�ho zobrazen�

Zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ {\em je line�rn�} (homomorfismus), pokud jsou $L_1$ a $L_2$
line�rn� prostory a pokud zobrazen� \uv{zachov�v� operace}, tj.
$\forall \vec x, \vec y\in L_1$, $\forall \alpha\in \R$ je:
$$
  \a(\vec x+\vec y) = \a(\vec x)+\a(\vec y), \qquad 
  \a(\alpha\cdot \vec x) = \alpha\cdot\a(\vec x).
$$
Operace $+$, $\cdot$ vlevo obou rovnost� jsou operacemi v $L_1$ a operace
$+$, $\cdot$ vpravo jsou operacemi v $L_2$.

{\bf P��klady:} Funkce $f: \R\to\R$, $f(x) = ax$, d�le
zobrazen�, kter� p�i�ad� diferencovateln� funkci derivaci,
integrovateln� funkci ur�it� integr�l, funkci posloupnost
$f(1), f(2), \ldots$, posloupnosti po ��stech konstantn� funkci,
orientovan� �se�ce jej� pr�m�t do roviny, vektoru sou�adnice, \dots 

Zaj�mav� p��klad: $f:\R^+\to \R$ (operace na $\R^+$ jsou $x\oplus y=xy$,
$\alpha\odot x = x^\alpha$, operace na $\R$ jsou \uv{obvykl�}), \ $f(x)=\ln(x)$. 

\n -----------------------------------------------------------------

\g Princip superpozice

Line�rn� zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ p�ev�d� line�rn� kombinace 
vzor� v $L_1$ na line�rn� kombinace obraz� v $L_2$ se stejn�mi
koeficienty, tedy:
$$
  \a (\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \cdots + \alpha_n\vec x_n) =
  \alpha_1\a(\vec x_1) + \alpha_2\a(\vec x_2) + \cdots + \alpha_n\a(\vec x_n)
$$

\n -----------------------------------------------------------------

\g Zachov�n� obal�

D�sledek principu superpozice je: $\a(\lob<M>) = \lob<\a(M)>$. Dal�� d�sledky

* Je-li $P$ line�rn� podprostor v $L_1$, je $\a(P)$ line�rn�
  podprostor v $L_2$.

* $\a(L_1)$ je line�rn� podprostor v $L_2$.

\n -------------------------------------------------------------------

\g J�dro line�rn�ho zobrazen�

{\bf Definice:} {\em J�dro} line�rn�ho zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ je
podmno�ina $\ker\a\subseteq L_1$ definovan� vztahem
$$
  \ker\a = \{\vec x\in L_1,\ \a(\vec x) = \vec o\},
$$
tj. je to mno�ina vzor�, kter� maj� nulov� obraz.

{\bf V�ta:} J�dro line�rn�ho zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ je line�rn� 
podprostor v $L_1$.

D�kaz: nech� $\a(\vec x) = \vec o$, $\a(\vec y)=\vec o$. Pak
$\a(\vec x+\vec y) = \a(\vec x) + \a(\vec y) = \vec o + \vec o = \vec o$.
D�le $\a(\alpha\vec x) = \alpha\a(\vec x) = \alpha\vec o = \vec o$.

{\bf Cvi�en�:} Najd�te j�dra d��ve zm�n�n�ch p��klad� lin. zobrazen�.

\n -------------------------------------------------------------------

\g Defekt a hodnost line�rn�ho zobrazen�

{\bf Definice:} {\em Defekt} line�rn�ho zobrazen� $\a:L_1\to L_2$ je $\dim\ker\a$.
{\em Hodnost} line�rn�ho zobrazen� $\a:L_1\to L_2$ je $\dim\a(L_1)$. 

Lapid�rn�: Defekt ur�uje, kolik dimenz� se \uv{ztrat�} p�i p�echodu od
vzor� k obraz�m. Hodnost je dimenze podprostoru v�ech obraz�.

{\bf Cvi�en�:} Najd�te defekty a hodnosti d��ve zm�n�n�ch p��klad� lin. zobrazen�.

\n -------------------------------------------------------------------

\g P��klad \ $\setmath[//] \a: \R^4\to \R^3$

Zobrazen� $\a$ je v bod� $(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\R^4$ definov�no
hodnotou:
$$
  \eqalign{
  &\a(x_1,x_2,x_3,x_4) = \cr
  &\quad = 
  (x_1+2x_2+2x_3+4x_4,\  2x_1+x_2+3x_3+x_4,\  3x_1+3x_2+5x_3+5x_4)}
$$
Toto zobrazen� je zjevn� line�rn�.
Najdeme jeho j�dro, defekt a hodnost.

\n --------------------------------------------------------------------

\g Defekt plus hodnost

{\bf V�ta:} Defekt plus hodnost line�rn�ho zobrazen� $\a: L_1\to L_2$
je rovno dimezni $L_1$.

D�kaz (jen n��tr, podrobn� viz linal2.pdf)


\n ------------------------------------------------------------------

\g Prost� line�rn� zobrazen�

{\bf V�ta:} Line�rn� zobrazen� je prost� pr�v� kdy� m� nulov� defekt.

D�kaz: Nem�-li nulov� defek, zjevn� nen� prost�. Nech� nyn� m�
nulov� defekt a $\a(\vec x) = \a(\vec y)$. Pak
$\a(\vec x) - \a(\vec y) = \a(\vec x-\vec y) = \vec o$, tak�e v j�dru
le�� $\vec x-\vec y$. Proto�e defekt je nulov�, je $\ker\a=\{\vec o\}$,
tak�e $\vec x-\vec y=\vec o$, tj. $\vec x = \vec y$.


{\bf V�ta:} Line�rn� zobrazen� je prost� pr�v� kdy� line�rn� nez�visl�
vzory p�evede na line�rn� nez�visl� obrazy.

D�kaz: Nen�-li prost�, pak m� nenulov� defekt a netrivi�ln� j�dro.
Existuje tedy nenulov� vektor (lin. nez�visl�), kter� se zobraz� na
nulov� vektor (lin z�visl�). 

Je-li prost� a obrazy nez�visl�ch vzor� jsou lin. z�visl�, pak
dostaneme spor s principem superpozice (uk�zat podrobn�ji...). 

\n -----------------------------------------------------------------

\g Zobrazen� line�rn� z�visl�ch vzor�

vytvo�� v�dy lin. z�visl� obraz. Sta�� pou��t princip superpozice.

\n -----------------------------------------------------------------

\g Izomorfismus

Zobrazen� $\a: L_1\to L_2$, kter� je line�rn�, prost� a na $L_2$ se
naz�v� {\em izomorfismus}. 

{\bf Pozorov�n�:} Izomorfismus p�ev�d�: 

* LN mno�iny na LN mno�iny (proto�e je prost� a line�rn�), 

* lin. kombinace na lin. kombinace obraz� (proto�e je line�rn�),

* LZ mno�iny na LZ (proto�e je line�rn�),

* podprostory na podprostory (proto�e je line�rn�),

* line�rn� obaly na line�rn� obaly (proto�e je line�rn�),

* b�ze na b�ze (proto�e p�ev�d� LN mno�iny na LN mno�iny),

Izomorfismus zachov�v� dimenze p�eveden�ch (pod)prostor�,
proto�e p�ev�d� b�ze na b�ze.


\n ---------------------------------------------------------------

\g Vlastnosti izomorfism�

* Slo�en� izomorfisu je izomorfismus

* Inverze k izomorfismu existuje a je to izomorfismus

\n ---------------------------------------------------------------

\g Zobrazen� sou�adnic je izomorfismus

Je t�eba ov��it 

* linearitu,

* zda je toto zobrazen� prost�

* zda je \uv{na} $\R^n$.

\n ---------------------------------------------------------------


\g Izomorfn� lin. prostory kone�n� dimenze

{\bf Definice:} Dva line�rn� prostory $L_1$ a $L_2$ jsou {\em izomorfn�},
existuje-li izomorfismus $\a:L_1\to L_2$.

{\bf Pozorov�n�:} Ka�d� line�rn� prostor $L$ kone�n� dimenze $n$ je
izomorfn� s $\R^n$. T�m izomorfismem jsou sou�adnice vzhledem k b�zi.

{\bf V�ta:} Ka�d� dva line�rn� prostory stejn� kone�n� dimenze jsou
vz�jemn� izomorfn�. (D�kaz plyne z vlastnost� izomorfismu.)

{\bf D�le�it�:} Z pohledu line�rn� algebry (vlastnost� vze�l�ch z
axiom� linearity) nen� mezi dv�ma izomorfn�mi line�rn�mi prostory
��dn� rozd�l. M��eme si vybrat, ve kter�m z t�chto dvou line�rn�ch
prostor� budeme algebraick� probl�m �e�it. Obvykle se probl�m �e��
v $\R^n$, kde m��eme vyu��t algoritmy souvisej�c� s maticemi.

\n ---------------------------------------------------------------

\g Je d�na matice $\setmath[//]\A\in\R^{m,n}$,

\vskip -.5\baselineskip

\g pak m�me zobrazen� $\setmath[//]\a:\R^n\to\R^m$.


\bigskip

Skute�n�, zobrazen� $\a:\R^n\to\R^m$ dan� p�edpisem
$$\a({\bf x}) = \A\cdot{\bf x}$$ je line�rn�.

\bigskip

{\bf Pozn�mka}: vektory z $\R^n$, $\R^m$ nyn� pova�ujeme za\hb 
{\em sloupcov� vektory}.


\n ---------------------------------------------------------------

\g P��klad

Zobrazen� $\a:\R^4\to\R^3$ je ur�eno matic� $\A\in\R^{3,4}$:
$$
  \displaylines{
  \a(x_1,x_2,x_3,x_4) =
  \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 3 & 1 & 0 & 2\cr 5 & 7 & 4 & 6}
  \cdot \pmatrix{x_1\cr x_2\cr x_3\cr x_4} = \A\cdot{\bf x} = \cr
  = (x_1+3x_2+2x_3+2x_4,\ 3x_1+x_2+2x_4,\ 5x_1+7x_2+4x_3+6x_4)^T
}
$$

* j�dro tohoto zobrazen� je nulov� prostor matice $\A$.
* hodnost zobrazen� $\a$ je hodnost matice $\A$
* v�ta ${\rm def}\a+\hod\a = \dim L_1$ p�ech�z� na v�tu\hb 
  $\dim M_0 + \hod\A ={}$ po�et prom�nn�ch.

\n ---------------------------------------------------------------

\g Hodnost zobrazen� je hodnost matice

{\bf V�ta}:
Nech� $\A\in\R^{m,n}$.
Hodnost line�rn�ho zobrazen� $\a:\R^n\to\R^m$, kter� je d�no p�edpisem
$\a({\bf x})=\A\cdot{\bf  x}$, je rovna hodnosti matice $\A$, tedy:
$$
  \hod\a = \hod\A
$$

D�kaz: hodnost zobrazen� je dimenze obalu obraz� b�zov�ch vektor�, co�
je dimenze obalu sloupc� matice, co� je hodnost matice.


\n ---------------------------------------------------------------

\g Lin. zobrazen� ur�eno hodnotami na b�zi

{\bf V�ta}: Jsou-li zn�my hodnoty line�rn�ho zobrazen� 
$A: L_1\to L_2$ na kone�n� b�zi $B$ lin. prostoru $L_1$, je t�m zobrazen� $A$
jednozna�n� ur�eno na cel�m $L_1$. 

D�kaz: \
$
  A(\alpha_1 \vec b_1 + \cdots +
\alpha_n \vec b_n) \ =\ \alpha_1\, A(\vec b_1) + \cdots
+ \alpha_n\, A(\vec b_n)
$\hb
Zobrazen� sou�adnic je line�rn�, tak�e takto dodefinovan� zobrazen�
$A$ je line�rn�. Na b�zov�ch vektorech m� p�edepsan� hodnoty.

Jednozna�nost: Kdyby existovalo dal�� line�rn� zobrazen� $B$ se
stejn�mi hodnotami na b�zi $B$, pak $A-B$ je line�rn� zobrazen� s
nulov�mi hodnotami na b�zi a podle principu superpozice mus� b�t $A-B$
nulov� zobrazen� v�ude. Tak�e $A=B$.


\n -------------------------------------------------------------

\g P��klad

Je d�no
$$
  \a(1,1,2) = (1,0,1,0), \
  \a(1,2,2) = (2,0,2,0), \
  \a(2,1,5) = (1,2,2,1).
$$
Proto�e trojice vektor� $(1,1,2)$, $(1,2,2)$, $(2,1,5)$ tvo�� b�zi
v~$\R^3$, existuje jedin� line�rn� zobrazen� s uvedenou vlastnost�.
Najdeme vzorec pro $\a(x_1,x_2,x_3)$:
$$
  \eqalign{
  (x_1,x_2,x_3) &= \alpha\,(1,1,2) + \beta\,(1,2,2) + \gamma\,(2,1,5)\cr
    (x_1,x_2,x_3) &= (8x_1 - x_2 -3x_3)\cdot(1,1,2) +
                    (-3x_1 + x_2 + x_3)\cdot(1,2,2) + {}\cr
                  &\qquad  +(x_3-2x_1)\cdot(2,1,5), \cr
    \a(x_1,x_2,x_3) &= \a\bigl((8x_1 - x_2 -3x_3)\,(1,1,2) +
                    (-3x_1 + x_2 + x_3)\,(1,2,2) + {}\cr
                   &\qquad + (x_3-2x_1)\,(2,1,5)\bigr) = \cr
   &= (8x_1 {-} x_2 {-}3x_3)\,(1,0,1,0) +
                    (-3x_1 {+} x_2 {+} x_3)\,(2,0,2,0) + {}\cr
                   &\qquad + (x_3-2x_1)\,(1,2,2,1) = \cr
   &= (x_2,\; -4x_1+2x_3,\; -2x_1+x_2+x_3,\; -2x_1+x_3).   
}
$$

\n --------------------------------------------------------------

\g Matice zobrazen� vzhledem k b�z�m

{\bf Definice}. Nech� $(B)$ je uspo��dan� b�ze prostoru $L_1$ a $(C)$
je uspo��dan� b�ze prostoru $L_2$ a nech� $\a:L_1\to L_2$ je line�rn�.
Pak {\em matice zobrazen� $\a$ vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(C)$} je
takov� matice $\A$, kter� spl�uje
$$
(\a(\vec b_1)\ \ \a(\vec b_2)\ \ \ldots\ \ \a(\vec b_n)) 
  = (\vec c_1\ \ \vec c_2\ \ \ldots\ \ \vec c_m)\cdot\A.
$$


\n --------------------------------------------------------------

\g Vlastnosti matice zobrazen�

$\A$ je matice zobrazen� $A$ vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(C)$ pr�v�
tehdy kdy�:

* $ \qquad (\a(\vec b_1)\ \ \a(\vec b_2)\ \ \ldots\ \ \a(\vec b_n)) 
  = (\vec c_1\ \ \vec c_2\ \ \ldots\ \ \vec c_m)\cdot\A. $

\medskip

* $\A$ obsahuje v $i$-t�m sloupci sou�adnice vektoru $\a(\vec b_i)$ 
  vzhledem k~b�zi~$(C)$

\medskip

* $\qquad
  \A\cdot\pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}} = 
  \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \a(\vec u)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}}
$

\n ---------------------------------------------------------------


\g P��klad

Nech� $P_3$ jsou polynomy nejv��e t�et�ho stupn�.
Je d�no line�rn� zobrazen� $\a: P_3\to P_3$, kter� derivuje polynomy.
Najdeme jeho matici vzhledem k uspo��dan�m b�z�m $(1,x,x^2,x^3)$ a
$(1,x,x^2,x^3)$.

Matice m� ve sloupc�ch sou�adnice obraz� b�zov�ch vektor�, tj.
$$
  \a(1) = 0, \quad \a(x) = 1, \quad \a(x^2) = 2x, \quad \a(x^3) = 3x^2
$$
Sou�adnice t�chto obraz� vzhledem k b�zi $\{1,x,x^2,x^3\}$ nap��eme do
sloupc� matice:
$$
  \A = \pmatrix{0&1&0&0\cr 0&0&2&0\cr 0&0&0&3\cr 0&0&0&0}
$$
Zkuste \uv{derivovat} polynomy pomoc� maticov�ho n�soben�\dots 


\n -----------------------------------------------------------------

\g Skl�d�n� zobrazen� \ $\setmath[//]\longleftrightarrow$ \ sou�in matic

{\bf V�ta}: Nech� line�rn� zobrazen� $A$ m� matici $\A$ a line�rn�
zobrazen� $B$ m� matici $\B$ (vzhledem k odpov�daj�c�m b�z�m). 
Pak slo�en� line�rn� zobrazen� $B\circ A$ m� matici $\B\cdot\A$
(vzhledem k odpov�daj�c�m b�z�m).

{\bf Pozn�mka}: Je-li $A: L_1\to L_2$ a $B: L_2\to L_3$, pak 
\uv{odpov�daj�c� b�ze} jsou uspo��dan� b�ze $(U)$ v $L_1$, $(V)$
v $L_2$ a $(W)$ v $L_3$. V uveden� v�t� se pak pracuje s matic� 
$\A$ vzhledem k $(U)$, $(V)$,
s matic� $\B$ vzhledem k $(V)$, $(W)$ a s matic� $\B\cdot\A$
vzhledem k $(U)$, $(W)$. 

D�kaz v�ty se op�r� o rovnost
$$
  \B\cdot\A\cdot\pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(U)$}} \ = \ 
  \B\cdot\pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \a(\vec u)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(V)$}} =
   \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr B(\a(\vec u))\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(W)$}}.
$$

\n --------------------------------------------------------

\g P��klad

Matice
$$
  \A = \pmatrix{0&1&0&0\cr 0&0&2&0\cr 0&0&0&3\cr 0&0&0&0}
$$
je matice derivace vzhledem k uspo��dan�m b�z�m $(1,x,x^2,x^3)$ a
$(1,x,x^2,x^3)$. Podle v�ty o slo�en�m zobrazen� je
$\A^2$ matice druh� derivace a $\A^3$ matice t�et� derivace.

\n ------------------------------------------------------------

\g Zobrazen� \ $\setmath[//] \a: L\to L$

{\bf Definice}: Zobrazen� do stejn� mno�iny se naz�v� {\em transformace}.
Line�rn� zobrazen� do stejn�ho line�rn�ho prostoru se naz�v�
{\em line�rn� transformace}.

{\em Matice transformace $\a: L\to L$ vzhledem k b�zi $(B)$} je matice
line�rn�ho zobrazen� $\a$ vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(B)$.

\n -----------------------------------------------------------  

\g P��klady

* $\A = \pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&1}$ je matice {\em projekce}.

\medskip

* $\A = \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
                  \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}$
  je matice {\em rotace}.

\medskip

* $\A = \pmatrix {a & 0 \cr 0 & b}$ je (pro $a\not=0$, $b\not=0$) 
matice {\em zm�ny m���tka}.

* Dal�� transformace vznikaj� skl�d�n�m t�chto element�rn�ch
  transformac�, jejich matice jsou pak sou�inem t�chto element�rn�ch matic.

\n -----------------------------------------------------------

\g P��klad

Nech� osa $o$ proch�z� po��tkem a sv�r� s osou $x$ �hel $\alpha$. 
Najdeme matici osov� som�rnosti podle osy $o$..

Osov� soum�rnost vznik� jako slo�en� n�sleduj�c�ch zobrazen�:

* oto�en� o �hel $-\alpha$,

* zrcadlen�, tj. zm�na m���tka s parametry 1, $-1$,

* oto�en� zp�t o �hel $\alpha$.

Matici tohoto slo�en�ho zobrazen� spo��t�me jako sou�in matic
uveden�ch zobrazen� zapsan�ch \uv{zprava doleva}:
$$
  \displaylines {
  \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
                  \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha} \cdot
  \pmatrix {1 & 0 \cr 0 & -1} \cdot
  \pmatrix {\cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha)\cr
                  \sin(-\alpha) & \phantom{+}\cos(-\alpha)} = 
  \cr \noalign{\medskip} 
   =
  \pmatrix {\cos 2\alpha & \phantom+\sin 2\alpha\cr \sin 2\alpha& -\cos2\alpha}  
}
$$


\n -----------------------------------------------------------

\g Nestandardn� b�ze, p��klad

Najdeme matici zobrazen� $\a:\R^3\to\R^4$, kter� je dan� p�edpisem
$$
  \a(x_1,x_2,x_3) = (x_2,\ -4x_1+2x_3,\ -2x_1+x_2+x_3,\ -2x_1+x_3),
$$
vzhledem k b�z�m 
$(B) = ((1,1,2),(1,2,2),(2,1,5))$ \ a \ $(S_4)$

Proto�e
$\a(1,1,2) = (1,0,1,0)$, $\a(1,2,2) = (2,0,2,0)$, $\a(2,1,5) = (1,2,2,1)$,
a proto�e slo�ky t�chto obraz� jsou rovny sou�adnic�m vzhledem ke
standardn� b�zi $(S_4)$, sta�� slo�ky t�chto obraz� napsat do sloupc�
hledan� matice:
$$
  \A = \pmatrix{\hfill1&2&1\cr 0&0&2\cr 1&2&2\cr 0&0&1}
$$
Pokud bychom m�li hledat matici zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ 
vzhledem k nestandardn� b�zi v $L_2$, budeme m�t v�ce probl�m�\dots


\n ----------------------------------------------------------

\g Hodnost matice je hodnost zobrazen�

* Tuto skute�nost jsme zat�m dok�zali pro speci�ln� zobrazen� tvaru
  $\A\cdot{\bf x}$.

* Pro obecn� line�rn� zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ tak� plat�
  $$\hod\a = \hod\A,$$ 
  proto�e zobrazen� $\A\cdot{\bf x}$ zobrazuje sou�adnice vzor� na
  sou�adnice obraz� a p�echod od vektor� v $L_1$ (resp. $L_2$) 
  k~sou�adnic�m je izomorfismus, kter� zachov�v� dimenze.


\n ------------------------------------------------------------

\g Transformace je prost� pr�v� kdy� 

\vskip-.5\baselineskip

\g m� regul�rn� matici

Nech� $L$ m� kone�nou dimenzi, $\dim L=n$.

{\bf V�ta}: Line�rn� transformace $\a: L\to L$ je prost� pr�v� kdy�:

* je na

* m� regul�rn� matici

D�kaz: $\a$ je prost� pr�v� kdy� ${\rm def}\,\a = 0$.

Proto�e ${\rm def}\,\a + \hod\a = \dim L$, je
${\rm def}\,\a = 0$ pr�v� kdy� $\hod\a=n$.
To plat� pr�v� kdy� $\a(L) = L$, tj. $\a$ je na $L$.

Uveden� vlastnosti jsou spln�ny pr�v� kdy� $\hod\A=n$, kde $\A$ je
matice zobrazen� $\a$, tj. pr�v� kdy� $\A$ je regul�rn�.





\end
