\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi


\headline={\setfonts[/10]\rm\hfill [\the\pageno]}
\footline={}

\input ofs [a35]  %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  
\baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\a{{A}}
\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\D{{\bf D}}
\def\E{{\bf E}}
\def\P{{\bf P}}
\def\L{{\bf L}}
\def\U{{\bf U}}
\def\X{{\bf X}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}

% ===============================================================

\vglue .5cm

\gg Zm�na b�ze

\bigskip\bigskip

* matice p�echodu od b�ze k b�zi

* jak se zm�n� sou�adnice vektoru p�i zm�n� b�ze?

* jak se zm�n� matice line�rn�ho zobrazen� p�i zm�n� b�ze?

* jak se zm�n� matice transformace p�i zm�n� b�ze?

\n ---------------------------------------------------------------

\g Matice p�echodu

{\bf Definice}: Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ a $(C)=(\vecc c_n)$ jsou dv�
b�ze stejn�ho line�rn�ho prostoru $L$. Pak existuje jedin� line�rn�
transformace $\a: L\to L$, pro kterou je
$$
  \a(\vec b_i) = \vec c_i, \quad \forall i\in \{1,2,\ldots,n\}
$$
Matice t�to line�rn� transformace vzhledem k b�zi $(B)$ 
se naz�v� {\em matice p�echodu od b�ze $(B)$ k b�zi $(C)$}.

* Zna�en�: $\P_{B\to C}$ je matice p�echodu od $(B)$ k $(C)$.


\n ---------------------------------------------------------------

\g Vlastnosti matice p�echodu

* $\P_{B\to C}$ m� v $i$-t�m sloupci sou�adnice vektoru $\vec c_i$\hb
  vzhledem k~b�zi~$(B)$.

* $(\vec c_1\ \vec c_2\ \ldots\ \vec c_n) =
   (\vec b_1\ \vec b_2\ \ldots\ \vec b_n) \cdot \P_{B\to C}$,

* $\P_{B\to C}$ je matice identity vzhledem k b�z�m $(C)$ a $(B)$

* Pro ka�d� vektor $\vec u\in L$ je
$$
  \P_{B\to C}\cdot \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}} =
  \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}}.
$$
Pozor, je to opa�n�, ne� by odpov�dalo n�zvu matice p�echodu!

\n -----------------------------------------------------------


\g Matice p�echodu je regul�rn�

Plat�:

* $\P_{B\to C}$ je regul�rn�. 

* $\P_{B\to C}\cdot \P_{C\to D} = \P_{B\to D}$

* $(\P_{B\to C})^{-1} = \P_{C\to B}$


D�kaz: Proto�e m� matice  $\P_{B\to C}$ lin. nez�visl� sloupce, je
regul�rn�. Sou�in matic p�echodu vypl�v� z v�ty o matici slo�en�ho
zobrazen�. Je pot�eba v tomto p��pad� skl�dat identick� zobrazen� a
jeho matice vzhledem k r�zn�m b�z�m. Kone�n� t�et� punt�k je d�sledkem druh�ho.


\n -----------------------------------------------------------

\g P��klad

Jsou d�ny $(S)=(1, x, x^2)$ a $(C)=(x^2+x,\ x-1,\ x+2)$, dv� b�ze
line�rn�ho prostoru v�ech polynom� nejv��e druh�ho stupn�.
Najdeme matici p�echodu $\P_{S\to C}$. Ta obsahuje ve sloupc�ch sou�adnice 
b�zov�ch prvk� $\vec c_i$ vzhledem k b�zi $(S)$, tedy
$$
  \P_{S\to C} = \pmatrix {0&-1&2\cr 1&1&1\cr 1&0&0}
$$
Jsou-li $(\alpha$, $\beta$, $\gamma)$ sou�adnice polynomu $p$
vzhledem k $(C)$, pak
$$
  \pmatrix {0&-1&2\cr 1&1&1\cr 1&0&0} \cdot
  \pmatrix{\alpha\cr\beta\cr\gamma} =
  \pmatrix{-\beta+2\gamma\cr \alpha+\beta+\gamma\cr \alpha}
$$
jsou sou�adnice t�ho� polynomu vzhledem k b�zi $(S)$, neboli
$$p(x) = \alpha x^2 + (\alpha+\beta+\gamma)\,x -\beta+2\gamma. $$


\n ------------------------------------------------------------

\g Algoritmus pro sestaven� matice p�echodu

* Matici p�echodu $\P_{S\to B}$ od standardn� b�ze $(S)$ k b�zi $(B)$
  sestav�me snadno: do sloupc� zap��eme sou�adnice vektor� $\vec b_i$
  vzhledem k b�zi $(S)$.

* Plat�: $\P_{B\to C} = \P_{B\to S} \cdot \P_{S\to C} = 
  (\P_{S\to B})^{-1} \cdot \P_{S\to C}$.

* Proto�e $(\A\,|\,\B) \sim (\E\,|\,\A^{-1}\B)$, sta�� napsat
  n�sleduj�c� dvoublokovou matici a eliminovat: 
  $$
    (\P_{S\to B}^{\phantom1}\,|\,\P_{S\to C}) \sim
    (\E\,|\,\P_{S\to B}^{-1} \cdot \P_{S\to C}^{\phantom1}) =
    (\E\,|\,\P_{B\to C}).
  $$
V prav�m bloku po eliminaci najdeme hledanou matici $\P_{B\to C}$

\n -----------------------------------------------------------

\g P��klad

Jsou d�ny b�ze $(B)=(x^2+1, x^2+2, x+3)$ a $(C)=(x^2+x,\ x-1,\ x+2)$
line�rn�ho prostoru polynom� nejv��e druh�ho stupn�. Najdeme matici
p�echodu $\P_{B\to C}$.

Zvolme b�zi, vzhledem ke kter� se sou�adnice dob�e hledaj�, nap��klad
$(S)=(1,x,x^2)$.
Podle algoritmu z p�edchoz� str�nky sestav�me $(\P_{S\to B}\,|\,\P_{S\to C})$
a eliminujeme na tvar $(\E\,\|\,\P_{B\to C})$.
$$
  \def\|{\kern-7pt \vbox to 0pt{\vss\hbox{\vrule height 2ex depth.7ex}}\kern-7pt} 
  \pmatrix{1&2&3&\|&0&-1&2\cr0&0&1&\|&1&1&1\cr1&1&0&\|&1&0&0} \sim
  \pmatrix{1&0&0&\|&5&4&1\cr 0&1&0&\|&-4&-4&-1\cr 0&0&1&\|&1&1&1}
$$
V prav�m bloku po eliminaci m�me matici $\P_{B\to C}$. Zn�me-li
sou�adnice polynomu vzhledem k $(C)$, pak n�soben�m matic� $\P_{B\to C}$
z�sk�me sou�adnice polynomu vzhledem k $(B)$. Kdybychom pot�ebovali
ze sou�adnice vzhledem k $(B)$ spo��tat sou�adnice vzhledem k~$(C)$,
pou�ijeme inverzn� matici $(\P_{B\to C})^{-1}=\P_{B\to C}$. 

\n -----------------------------------------------------------

\g Zm�na matice zobrazen� p�i zm�n� b�ze

Nech� $\A$ je matice zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ vzhledem k b�z�m $(B)$
a $(C)$. Nech� $\A'$ je matice t�ho� zobrazen�, ov�em vzhledem k b�z�m
$(B')$ a $(C')$. Pak
$$
  \P_{C'\to C} \cdot \A \cdot \P_{B\to B'} = \A'
$$

N��rt d�kazu:
$$
 \displaylines{
  \P_{C'\to C} \cdot \A \cdot \P_{B\to B'} \cdot 
   \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B')$}} = \
  \P_{C'\to C} \cdot \A \cdot
   \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}} = \cr \noalign{\bigskip} 
   =  \P_{C'\to C} \cdot
    \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr \vec \a(u)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}} =
  \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr \vec \a(u)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C')$}}
}
 $$

\n -----------------------------------------------

\g D�sledky v�ty o zm�n� matice

Nech� $\A$ je matice zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ vzhledem k b�z�m $(B)$
a~$(C)$. Pak

* $\P_{C'\to C}\cdot \A$ je matice zobrazen� $\a$ vzhledem k b�z�m
  $(B)$ a $(C')$.

* $\A\cdot \P_{B\to B'}$ je matice zobrazen� $\a$ vzhledem k b�z�m
  $(B')$ a $(C)$.

\bigskip

Nech� $\A$ je matice transformace $\a: L\to L$ vzhledem k b�zi $(B)$. Pak

* $\P_{B'\to B}\cdot \A\cdot \P_{B\to B'}$ je matice transformace $\a$
  vzhledem k b�zi $(B')$, neboli:

* $(\P_{B\to B'})^{-1}\cdot \A\cdot \P_{B\to B'}$ je matice transformace $\a$
  vzhledem k~$(B')$.


\n --------------------------------------------------

\g P��klad

Nech� 
$\a(x_1,x_2,x_3) = (x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_1)$. Najdeme matici
t�to transformace ke standardn� b�zi $(S)$.
D�le najdeme matici t�to transformace vzhledem  k b�zi 
$(B)=((2,2,2),(3,3,0),(4,0,0))$.
$$
  \A_S = \pmatrix{1&1&0\cr 0&1&1\cr 1&0&1}, \quad
  \P_{S\to B} = \pmatrix {2&3&4\cr 2&3&0\cr 2&0&0}.
$$
Matice $\A_B$ transformace $\a$ vzhledem k b�zi $(B)$ spo��t�me takto:
$$
  \A_B \ = \ \P_{B\to S}\cdot \A_S \cdot \P_{S\to B} \ = \
  (\P_{S\to B})^{-1}\cdot \A_S \cdot \P_{S\to B} = 
  \pmatrix {2&{3\over 2}&2\cr 0&0&-{4\over3}\cr 0&{3\over 4}&1}
$$

\n ---------------------------------------------------

\g Algoritmus: sestaven� matice zobrazen� 

\vskip-.5\baselineskip

\g vzhledem k libovoln�m b�z�m

Je d�no line�rn� zobrazen� $\a: L_1\to L_2$. Najdeme matici tohoto
zobrazen� vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(C)$.

Nech� $(S)$ je b�ze $L_2$, vzhledem ke kter� se sou�adnice dob�e 
hledaj�. Sestav�me matici $(\P_{S\to C}\,\|\,\A_{B,S})$, 
ve kter� $\A_{B,S}$ zna�� matici zobrazen� $\a$
vzhledem k b�z�m $(B)$, $(S)$. Eliminujeme na tvar $(\E\,\|\,\X)$. 
Pak $\X$ je hledan� matice zobrazen� $\a$ vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(C)$.

Pro�? \ Je \ $(\P_{S\to C}\,\|\,\A_{B,S}) \sim (\E\,\|\,\P_{C\to S}\cdot\A_{B,S})$.\hb
P�itom $\P_{C\to S}\cdot\A_{B,S}$ je matic� zobrazen� $\A$ vzhledem k
$(B)$ a $(C)$. 

Pozn�mka: matice $\P_{S\to C}$ a $\A_{B,S}$ lze sestavit snadno.


\n ------------------------------------------------------

\g P��klad

Je d�no zobrazen� $\a: P_3\to P_2$, kter� derivuje polynomy nejv��e
t�et�ho stupn�. Najdeme matici tohoto zobrazen� vzhledem k:
$$
  (B) = (x^3+x+2, x^2+2x+3, x^2+2, x-1), \quad
  (C) = (x^2-x+1, x^2-x-1, x+4)
$$
Zvol�m $(S)=(x^2,x,1)$. To je b�ze, vzhledem ke kter� se sou�adnice
polynom� z~$P_2$ dob�e hledaj�. Je:
$$
  \a(x^3+x+2) = 3x^2+1, \ \a(x^2+2x+3) = 2x+2, \
  \a(x^2+2) = 2x, \ \a(x-1) = 1
$$
Sestav�m matici $(\P_{S\to C}\,|\,\A_{B,S})$ a eliminuji:
$$
  \def\|{\kern-7pt \vbox to 0pt{\vss\hbox{\vrule height 2ex depth.7ex}}\kern-7pt} 
  \pmatrix{1&1&0&\|&3&0&0&0\cr -1&-1&1&\|&0&2&2&0\cr 1&-1&4&\|&1&2&0&1}\sim 
  \pmatrix{&\|&-4&-3&-4&{1\over2}\cr \quad\E\quad&\|&7&3&4&-{1\over2}\cr &\|&3&2&2&0}
$$
Hledan� matice je v prav�m bloku po eliminaci.


\n -------------------------------------------------------

\g P��klad

Je d�na matice $\A'$ zobrazen� vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(S_2)$. Hled�me
matici $\A$ zobrazen� vzhledem k b�z�m $(S_1)$ a $(S_2)$.

Jin�mi slovy: zn�me zobrazen� $\a$ na b�zi $(B)$ a hled�me vzorec,
kter� ud�v� hodnotu tohoto zobrazen� v libovoln�m bod�.
Nap��klad je zn�mo
$$
  \a(1,1,2) = (1,0,1,0), \
  \a(1,2,2) = (2,0,2,0), \
  \a(2,1,5) = (1,2,2,1).
$$

�e�en�. Podle strany [9] je 
$\A = \A'\cdot\P_{B\to S_1} = \A'\cdot(\P_{S_1\to B})^{-1}$. Matici
p�echodu $\P_{S_1\to B}$ sestav�me snadno. Jde tedy o to ji invertovat
a n�sobit zprava s danou matic� $\A'$.
$$
  \A = \pmatrix{1&2&1\cr0&0&2\cr1&2&2\cr0&0&1}\cdot
       \pmatrix{1&1&2\cr1&2&1\cr2&2&5}^{-1} =
       \pmatrix{0&1&0\cr-4&0&2\cr-2&1&1\cr-2&0&1}
$$

\n -----------------------------------------------------

\g P��klad

Nech� osa $o$ proch�z� po��tkem a sv�r� s osou $x$ �hel $\alpha$. 
Najdeme matici osov� som�rnosti podle osy $o$.

Zvol�me b�zi $(B)$ tak, aby vektor $\vec b_1$ le�el v ose $o$ a $\vec b_2$
byl na n� kolm�. Vzhledem k t�to b�zi je matice osov� soum�rnosti
rovna
$$
  \pmatrix {1 & 0 \cr 0 & -1}
$$
Nyn� provedeme p�echod od b�ze $(B)$ k b�zi $(S)$.
Matice osov� soum�rnosti vzhledem k $(S)$ je
$$
  \P_{S\to B} \cdot \pmatrix {1 & 0 \cr 0 & -1} \cdot \P_{B\to S},
$$
$$
  \P_{S\to B} = \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
                  \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}, \quad
  \P_{S\to B} = \pmatrix {\cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha)\cr
                  \sin(-\alpha) & \phantom{+}\cos(-\alpha)}, \quad  
$$


Srovnejte tento p��klad se stranou 17 kapitoly \uv{matice zobrazen�}.

\n -------------------------------------------------------

\g P��klad

Nech� $\a: L\to L$ je line�rn� transformace, kter� zobraz� b�zi $(B)$ na
b�zi $(C)$. V�me, �e matice p�echodu $\P_{B\to C}$ je rovna matici
t�to transformace $A$ vzhledem k b�zi $(B)$. Jak vypad� matice stejn�
transformace vzhledem k b�zi $(C)$?

�e�en�: Ozna�me matici zobrazen� $\a$ vzhledem k $(B)$ symbolem $\A_B$
a hledanou matici ozna�me $\A_C$. Je $\A_B=\P_{B\to C}$.
Podle d�sledku ze strany [9] je 
$$
  \A_C = (\P_{B\to C})^{-1}\cdot\A_B\cdot\P_{B\to c} =
  (\P_{B\to C})^{-1}\cdot\P_{B\to c}\cdot\P_{B\to c} = \P_{B\to c}
$$
Ejhle, matice transformace $\a$ vzhledem k b�zi $(C)$ je {\em stejn�},
jako matice t�to transformace vzhledem k b�zi $(B)$ a je to matice
p�echodu od $(B)$ k $(C)$.


\end
