********************************* Uloha A ******************************* Najděte všechny matice X, které splňují maticovou rovnost AX - A^2 = 2X Matice A je dána takto: A = [[ 6, 1, 3 ], [ 0, 3, 4 ], [ 2, 1, 5 ]]. Při výpočtu postupujte takto: 1) vyjádřete z dané rovnice matici X jako vzorec obsahující jen matice A, 2) dosaďte do tohoto vzorce. ********************************* Uloha B ******************************* Vypočtěte determinant matice [[ 0, 1, p, 2 ], [ p, 1, 1, 1 ], [-1, p, 0, 1 ], [ 1, 0,-1, p ]], kde p je reálný parametr. Popište postup výpočtu. Pro která reálná p jsou řádky výše uvedené matice lineárně závislé? (pozn: k odpovědi na tuto otázku budete muset použít nějaký software na hledání kořenů). ********************************* Uloha C ******************************* Vypočítejte determinant z matice A = [[b_1 a a a ... a ] [ a b_2 a a ... a ] [ a a b_3 a ... a ] [ a a a b_4 ... a ] ....................... [ a a a a ... b_n]] kde a, b_1, b_2, ... b_n jsou reálné parametry. ********************************* Uloha D ******************************* Mocnina matice A^n je definována jako A.A.A...A (n-krát). Vysvětlete, proč do lineárního podprostoru všech matic komutujících s maticí A patří všechny matice: E, A, A^2, A^3, A^4, ... Proč tam patří také hodnoty všech polynomů, pokud za proměnnou x do polynomu dosadíme matici A (a x^0 je matice E)?