********************************* Úloha A ******************************* Jsou dány dvě uspořádané báze lineárního prostoru polynomů nejvýše třetího stupně: (B) = (x^3+1, x^2+2, x+3, 4), (C) = (x^2+x+1, x^3+x^2+x, x^3+2x+2, 3x) Sestavte matici přechodu od (B) k (C). Polynom p má v bázi (C) souřadnice (2,3,4,1). Využijte sestavenou matici přechodu ke zjištění jeho souřadnic vzhledem k bázi (B). Pro polynom p se souřadnicemi (2,3,4,1) vzhledem k (C) platí: p(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d ********************************* Úloha B ******************************* Jak se změní matice zobrazení vzhledem k bázím (B) a (C), pokud - zaměníme pořadí dvou prvků v bázi (B) - zaměníme pořadí dvou prvků v bázi (C) ********************************* Úloha C ******************************* Ukažte, že matice je singulární právě když má aspoň jedno vlastní číslo rovno nule. Dokonce platí: násobnost vlastního čísla nula je rovna dimenzi nulového prostoru matice. ********************************* Úloha D ******************************* Předpokládejte standardní skalární součin v R^n a z něj odvozenou velikost vektorů a úhel mezi vektory. Je dána matice A typu (n,n). Vysvětlete, proč všechny nenulové prvky lineárního obalu řádků této matice jsou kolmé na všechna nenulová řešení homogenní soustavy Ax = 0.