\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi


\headline={\setfonts[/10]\rm\hfill [\the\pageno]}
\footline={}

\input ofs [a35]  %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  
\baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\a{{A}}
\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\D{{\bf D}}
\def\E{{\bf E}}
\def\P{{\bf P}}
\def\L{{\bf L}}
\def\U{{\bf U}}
\def\X{{\bf X}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}
\def\|{||}

% ===============================================================

\vglue .5cm

\gg Skal�rn� sou�in

\bigskip\bigskip

* axiomatick� definice

* odvozen� velikosti vektor� a �hlu mezi vektory

* geometrick� interpretace

* ortogonalita

* vlastnosti ortonorm�ln�ch b�zi


\n ---------------------------------------------------------------


\g Definice skal�rn�ho sou�inu

Nech� $L$ je line�rn� prostor nad $\R$. Operaci $\cdot: L\times L\to \R$
naz�v�me {\em skal�rn� sou�in}, pokud  pro v�echna 
$\vec x, \vec y, \vec z$ spl�uje:
$$
  \def\bod #1 {#1&\quad}
  \eqalign{
  \bod (1) \vec x\cdot\vec y = \vec y\cdot\vec x, \cr
  \bod (2) (\vec x + \vec y)\cdot \vec z =
            \vec x\cdot\vec z + \vec y\cdot\vec z, \cr
  \bod (3) (\alpha\cdot\vec x)\cdot\vec y = \alpha\cdot(\vec x\cdot\vec y), \cr
  \bod (4) \vec x\cdot\vec x \geq 0, \quad 
           \vec x\cdot\vec x = 0 \hbox{ jen tehdy, kdy� } \vec x = \vec o. }
$$

{\bf Pozn�mka}: Je-li $L$ line�rn� prostor nad $\C$, pak se skal�rn�m
sou�inem ozna�uje operace $\cdot: L\times L\to \C$ se stejn�mi
vlastnostmi, jako v��e, a� na prvn�. M�sto n� je:
$$
  \vec x\cdot\vec y =
      \overline{\vec y\cdot\vec x}
$$
��sla jsou si vz�jemn� komplexn� sdru�en�.

\n ------------------------------------------------

\g P��klady skal�rn�ch sou�in�

* V $\R^n$ definujeme 
  $$
    (x_1,x_2,\ldots x_n) \cdot (y_1,y_2,\ldots,y_n)\ = \
     x_1\,y_1 + x_2\,y_2 + \cdots + x_n\, y_n.
  $$
  Toto je skal�rn� sou�in, skute�n� spl�uje axiomy (1) a� (4).

* V prostoru orientovan�ch �se�ek definujeme skal�rn� sou�in
  $$
    \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos \alpha,
  $$
  kde $\|\ldots\|$ zna�� velikost vektoru a $\alpha$ je �hel mezi vektory.

* V line�rn�m prostoru spojit�ch funkc� na intervalu 
  $\langle 0,1\rangle$ definujeme skal�rn� sou�in
  $$
    f\cdot g = \int\limits_0^1 f(x)\,g(x)\,{\rm d}x
  $$

\n ------------------------------------------------

\g Dal�� skal�rn� sou�iny v $\setmath[//] \R^n$

Na $\R^2$ je operace
$$
  (x_1, x_2) \circ (y_1, y_2) = 
  (x_1, x_2) \pmatrix{1&\!2\cr2&\!6}\! \pmatrix{y_1\!\cr y_2\!} = 
    x_1 y_1 + 6 x_2 y_2 + 
                                2 x_1 y_2 + 2 x_2 y_1.
$$
tak� skal�rn� sou�in.
%
Na druh� stran� t�eba
$$
  (x_1, x_2) \circ (y_1, y_2) = 
  (x_1, x_2) \pmatrix{1&\!2\cr2&\!2}\! \pmatrix{y_1\!\cr y_2\!}
   = x_1 y_1 + 2 x_2 y_2 + 2 x_1 y_2 + 2 x_2 y_1
$$
nen� skal�rn� sou�in (neplat� axiom 4).

Obecn�, je-li $\A$ symetrick� a pozitivn� definitn� matice (v�echny
hlavn� subdeterminanty jsou kladn�), pak
$$
  \vec x \cdot\A\cdot \vec y^T
$$
je skal�rn� sou�in. Z tohoto pohledu naz�v�me $ \vec x \cdot \vec y^T$
{\em standardn�m} skal�rn�m sou�inem na $\R^n$.

\n ---------------------------------------------------------

\g Skal�rn� sou�in $\setmath[//]\longrightarrow$ velikost

V line�rn�m prostoru $L$ se skal�rn�m sou�inem definujeme {\em
velikost} vektoru $\vec x$, neboli {\em normu} vektoru $\vec x$
vzorcem 
$$
  \|\vec x\| = \sqrt{\vec x\cdot\vec x}.
$$
Axiom (4) zaru�uje, �e velikost je definov�na pro libovoln� vektor a �e
nulovou velikost m� pouze nulov� vektor.

{\bf Tvrzen�}: $\|\alpha\vec x\| = |\alpha|\cdot\|\vec x\|$, proto�e
$$
  \|\alpha\vec x\| = \sqrt{\alpha\vec x\cdot\alpha\vec x} =
  \sqrt{\alpha^2(\vec x\cdot\vec x)} = \sqrt{\alpha^2}\,\sqrt{\vec x\cdot\vec x}
  = |\alpha|\cdot\|\vec x\|
$$

\n ----------------------------------------------------

\g Skal�rn� sou�in $\setmath[//]\longrightarrow$ �hel mezi vektory

V line�rn�m prostoru $L$ se skal�rn�m sou�inem definujeme {\em �hel
mezi dv�ma nenulov�mi vektory} $\vec x$ a $\vec y$ jako takov� 
$\varphi\in\langle0,\pi)$, pro kter� je
$$
  \cos\varphi = {\vec x\cdot\vec y \over \|\vec x\|\,\,\|\vec y\|}  
$$

�e $\varphi$ v uveden�m vzorci existuje pro libovoln� dva nenulov�
vektory zaru�uje

{\bf Schwartzova nerovnost}: Pro libovoln� dva vektory plat�
$$
  |\vec x\cdot\vec y| \leq \|\vec x\|\cdot\|\vec y\|.
$$
D�kaz: $0\leq (\vec x+\alpha\,\vec y)\cdot(\vec x+\alpha\,\vec y) =
  \vec x\cdot\vec x + \alpha\cdot 2(\vec x\cdot\vec y) + 
  \alpha^2\cdot (\vec y\cdot\vec y).$ 
Pro uveden� kvadratick� polynom $A\alpha^2 + B\alpha + C$ mus� platit:
$$
  \displaylines{
  B^2 - 4AC \leq 0,  
  \quad \hbox{tj.}\quad B^2 \leq 4AC,
  \quad \hbox{tj.}\quad \bigl(-2(\vec x\cdot\vec y)\bigr)^2 \leq 
       4\, \|\vec x\|^2 \|\vec y\|^2, \cr 
  \hbox{tj.}\quad
       \sqrt{(\vec x\cdot\vec y)^2} \leq 
       \sqrt{\|\vec x\|^2} \sqrt{\|\vec y\|^2}
 \quad \hbox{tj.}\quad 
       |\vec x\cdot\vec y| \leq \|\vec x\|\cdot\|\vec y\|.
 }
$$

\n -----------------------------------------------------------

\g Skal�rn� sou�in $\setmath[//]\longrightarrow$ vzd�lenost vektor�

V line�rn�m prostoru $L$ se skal�rn�m sou�inem definujeme {\em
vzd�lenost mezi dv�ma vektory} $\vec x$ a $\vec y$, neboli
{\em metriku} vzorcem
$$
  \varrho (\vec x, \vec y) = \|\vec x - \vec y\|
$$
Pro metriku pat� {\bf troj�heln�kov� nerovnost}:
$$
  \varrho (\vec x, \vec y) + \varrho (\vec y, \vec z) \ \ge \ 
  \varrho (\vec x, \vec z),
$$
neboli $\|\vec x -\vec y\| + \|\vec y -\vec z\| \ge \|\vec x -\vec z\|$,
kter� ozna�en� $\vec a = \vec x -\vec y$, $\vec b = \vec y -\vec z$
p�ech�z� na tvar
$$
  \|\vec a\| + \|\vec b\| \ \ge \ \|\vec a + \vec b\|.
$$
D�kaz: $\|\vec a + \vec b\|^2 = (\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b) =
  \vec a\,\vec a + 2\,\vec a\,\vec b + \vec b\,\vec b
  \leq {}$\hb (Schwartzova nerovnost) ${}\le \|\vec a\|^2 + 2\,\|\vec a\|\cdot\|\vec b\| + \|\vec b\|^2 =
  \bigl(\|\vec a\| + \|\vec b\|\bigr)^2$.

\n ---------------------------------------------------------------

\g Axiomy metriky a normy

Je-li na mno�in� $L$ zavedena metrika $\varrho(x,y)$ s vlastnostmi
$$
  \eqalign{
  (1)&\quad  \varrho(x,y) \ge 0, \quad
      \varrho(x,y) = 0 \hbox{ pr�v� kdy� }\, x = y, \cr
  (2)&\quad  \varrho(x,y) = \varrho(y,x), \cr
  (3)&\quad  \varrho (x, y) + \varrho (y, z) \ \ge \ 
  \varrho (x, z),
}
$$
��k�me mno�in� $L$ s metrikou $\varrho$ {\em metrick� prostor}. 

Je-li na line�rn�m prostoru $L$ zavedena norma $\|\ldots\|$ s vlastnostmi
$$
  \eqalign{
  (1)&\quad \|\vec x\| \ge 0, 
      \quad \|\vec x\| = 0 \hbox{ pr�v� kdy� }\, \vec x = \vec o, \cr
  (2)&\quad \|\alpha\vec x\| \ =\ |\alpha|\cdot\|\vec x\|, \cr
  (3)&\quad \|\vec x+ \vec y\| \ \le\ \|\vec x\| + \|\vec y\|,
  }
$$
��k�me prostoru $L$ {\em line�rn� prostor s normou}. 

My jsme odvodili normu a metriku ze skal�rn�ho sou�inu. Je ov�em mo�n�
je zav�st jen podle uveden�ch axiom�, nebo zav�st normu axiomaticky a
odvodit metriku jako $\varrho(\vec x,\vec y) = \|\vec x-\vec y\|$. 

\n --------------------------------------------------------

\g P��klady

{\bf Pythagorova v�ta}: 
Pravo�hl� troj�heln�k budou tvo�it dva na sebe kolm� vektory
$\vec x$ a $\vec y$. Jejich rozd�l tvo�� p�eponu.
$$
  \|\vec x - \vec y\|^2 = (\vec x - \vec y)\cdot(\vec x - \vec y) =
  \vec x\cdot\vec x -2\vec x\cdot\vec y + \vec y\cdot\vec y =
  \|\vec x\|^2 + \|\vec y\|^2
$$
Ve v�po�tu jsme vyu�ili toho, �e dva nenulov� vektory $\vec x$ 
a $\vec y$ jsou na sebe kolm� pr�v� kdy� $\vec x\cdot\vec y = 0$.

{\bf Rovnob�n�kov� rovnost}:
sou�et druh�ch mocnin velikost� �hlop���ek v rovnob�n�ku je roven
dvojn�sobku sou�tu druh�ch mocnin velikost� sousedn�ch stran.
$$
  \|\vec x+\vec y\|^2 + \|\vec x -\vec y\|^2 \ =\
  2\,\left( \|\vec x\|^2 + \|\vec y\|^2 \right).
$$
proto�e
$$
  \|\vec x+\vec y\|^2 + \|\vec x -\vec y\|^2 =
  \|\vec x\|^2 + 2\vec x\cdot\vec y + \|\vec y\|^2 +
  \|\vec x\|^2 - 2\vec x\cdot\vec y + \|\vec y\|^2.
$$

\n -------------------------------------------------------

\g Ortonorm�ln� b�ze

Na line�rn�m prostoru se skal�rn�m sou�inem m��eme m��it velikosti
vektor� a �hly mezi nenulov�mi vektory. 

Zejm�na {\em kolmost} (ortogonalitu) dvou
nenulov�ch vektor� $\vec x$ a $\vec y$ pozn�me podle podm�nky
$\vec x\cdot\vec y = 0$.

Mezi r�zn�mi b�zemi se uk�e v�hodn� vyb�rat takov� b�ze, ve kter�ch
jsou si v�echny vektory navz�jem kolm� a maj� jednotkovou
velikost. Tyto b�ze naz�v�me {\em ortonorm�ln�}. 

{\bf Definice}: B�ze se naz�v� {\em ortogon�ln�}, pokud pro ka�d� dva
r�zn� prvky b�ze $\vec b_i$ a $\vec b_j$ plat� $\vec b_i\cdot\vec b_j = 0$.

B�ze se naz�v� {\em ortonorm�ln�}, je-li ortogon�ln� a v�echny jej�
prvky maj� jednotkovou velikost, neboli
$$
  \vec b_i \cdot \vec b_j = \cases {1 &pro $i=j$, \cr 0 &pro $i\not=j$.}
$$

\n --------------------------------------------------------

\g Skal�rn� sou�in po��tan� pomoc� sou�adnic

{\bf V�ta}: Nech� $(B)$ je kone�n� ortonorm�ln� b�ze line�rn�ho
prostoru~$L$.
Nech� $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ jsou sou�adnice vektoru $\vec x$ vzhledem
k b�zi $(B)$ a nech�
$(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ jsou sou�adnice vektoru $\vec y$ vzhledem
k~b�zi $(B)$. Pak
$$
  \vec x\cdot\vec y \ = \ x_1\,y_1 + x_2\,y_2 + \cdots + x_n\,y_n.
$$
D�kaz: 
$$
 \displaylines {
  (x_1\vec b_1 + x_2\vec b_2 + \cdots + x_n\vec b_n)\cdot
  (y_1\vec b_1 + y_2\vec b_2 + \cdots + y_n\vec b_n) \ = \cr = \
  x_1\,y_1 \vec b_1\cdot\vec b_1 + x_2\,y_1 \vec b_2\cdot\vec b_1
  + \cdots + x_1\,y_2 \vec b_1\cdot\vec b_2 + \cdots + 
  x_n\,y_n \vec b_n\cdot\vec b_n = \cr = \
   x_1\,y_1 \cdot 1 + x_2\,y_1 \cdot 0
  + \cdots + x_1\,y_2 \cdot 0 + \cdots + 
  x_n\,y_n \cdot 1 = \cr = \
  x_1\,y_1 + x_2\,y_2 + \cdots + x_n\,y_n.
}
$$

\n ------------------------------------------------------


\g Kolmost zaru�uje line�rn� nez�vislost

{\bf V�ta}: Nech� $\vecc x_n$ jsou nenulov� vektory, 
kter� jsou na sebe navz�jem kolm�.
Pak jsou tyto vektory line�rn� nez�visl�.

D�kaz: Ov���me
$$
  \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ 
  \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n = \vec o \quad \Rightarrow \quad
  \alpha_i = 0 \quad \forall\ i
$$
Vyn�sob�me-li ob� strany rovnosti skal�rn� vektorem $\vec x_i$,
dost�v�me na lev� stran� sou�et nul s~v�jimkou jedin�ho s��tance,
proto�e vektor $\vec x_i$ je kolm� na v�echny v�echny ostatn� vektory
$\vec x_j$. M�me tedy
$$
  \alpha_i\,\vec x_i\cdot \vec x_i = \vec o\cdot \vec x_i = 0.
$$
Proto�e $\vec x_i\cdot \vec x_i$ je nenulov� ��slo, mus� b�t $\alpha_i=0$.
Tuto operaci m��eme prov�st pro ka�d� index $i\in\{1,2,\ldots,n\}$, tak�e 
v�echna ��sla ��sla $\alpha_i$ jsou nutn� nulov�.

\n --------------------------------------------------------

\g Sou�adnice po��tan� ze skal�rn�ho sou�inu

{\bf V�ta}: Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je ortonorm�ln� b�ze line�rn�ho prostoru se
skal�rn�m sou�inem. Pak sou�adnice libovoln�ho vektoru $\vec x$
vzhledem k b�zi $(B)$ jsou
$$
  (\vec x{\cdot}\vec b_1, \,\vec x{\cdot}\vec b_2, \,\ldots,\,
            \vec x{\cdot}\vec b_n).
$$

D�kaz: 
Ozna�me $\vec y=(\vec x\cdot\vec b_1)\,\vec b_1 + 
(\vec x\cdot\vec b_2)\,\vec b_2 + \cdots + 
(\vec x\cdot\vec b_n)\,\vec b_n$. 
M�me dok�zat, �e $\vec x=\vec y$. 
N�sobme vektor $\vec y$ vektorem $\vec b_i\,$:
$$
  \displaylines {
  \vec y\cdot\vec b_i = ((\vec x\cdot\vec b_1)\,\vec b_1 + 
  (\vec x\cdot\vec b_2)\,\vec b_2 + \cdots + 
  (\vec x\cdot\vec b_n)\,\vec b_n)\cdot\vec b_i = \cr =
  (\vec x\cdot\vec b_i)\,\vec b_i\cdot\vec b_i =
  \vec x\cdot\vec b_i,
}
$$
proto�e b�ze je ortonorm�ln�. 
Je
$\vec x\cdot\vec b_i =\vec y\cdot\vec b_i$
$\forall i \in \{1,2,\ldots,n\}$. 

Co, kdyby $\vec x\not=\vec y$? 
Vektor $\vec x-\vec y$ je kolm� na v�echny prvky $\vec b_i$, proto�e
$(\vec x-\vec y)\cdot \vec b_i =0$.
Pak jsou vektory
$\vecc b_n, \vec x-\vec y$ line�rn� nez�visl�, ale to je ve sporu 
s t�m, �e $(B)$ je b�ze.

\n -------------------------------------------------------

\g B�sni�ka: �tvrt� dimenze

Jednou v hospod� u Karla �tvrt�ho,\hb
uvid�l jsem kus prostoru �tvrt�ho.

�ty�i p�llitry u stropu nad s�lem,\hb
let�ly k sob� kolmo navz�jem,\hb
co� nen� mo�n� v dimenzi t�et�,\hb
kde nejv��e t�i p�llitry k sob� let�.

Tak poznal jsem d�ky otci vlasti,\hb
jak� jsou v p�llitru skryty slasti.\hb
Jak v�em �ech�m roz�i�uje obzory\hb
o $n$-dimenzion�ln� prostory.

\medskip

{\em in: Emil Calda: ��kanky mno�inov� nelogick�} 


\n -------------------------------------------------------

\g Geometrick� p�edstava skal�rn�ho sou�inu

P�edpokl�dejme, �e vektory $\vec x$ a $\vec y$ jsou orientovan� �se�ky,
nav�c nech� $\vec y$ m� jednotkovou velikost.
Sestrojme z koncov�ho bodu vektoru $\vec x$ kolm� pr�m�t na p��mku,
proch�zej�c� vektorem $\vec y$. Velikost tohoto kolm�ho pr�m�tu (je-li
na polop��mce spole�n� s~vektorem~$\vec y$) je skal�rn� sou�in
$\vec x\cdot\vec y$. Je-li pr�m�t na opa�n� polop��mce, pak skal�rn�
sou�in je z�porn� a jeho absolutn� hodnota je rovna velikosti pr�m�tu.

Tato geometrick� interpretace vych�z� ze vzorce:
$$
  \vec x\cdot\vec y \ =\ \|\vec x\|\,\,\|\vec y\|\, \cos\varphi.
$$

Z tohoto pohledu ��k� v�ta ze str�nky [13], �e sou�adnice vektoru 
jsou pr�m�ty vektoru na jednotliv� sou�adnicov� osy.


\n ------------------------------------------------------

\g �hly vektoru s osami

{\bf V�ta}: Nech� $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ jsou sou�adnice vektoru $\vec x$
vzhledem k~ortonorm�ln� b�zi $(\vecc b_n)$. 
Pak �hel
$\phi_i$ mezi vektorem $\vec x$ a vektorem $\vec b_i$ m� velikost
$\varphi_i$, pro kterou je
$$
  \cos\phi_i = {x_i\over \|\vec x\|}\,.
$$

D�kaz:
$$
  \cos\phi_i = {\vec x\cdot\vec b_i \over \|\vec x\|\,\|\vec b_i\|} =
  {\vec x\cdot\vec b_i \over \|\vec x\|} = {x_i\over \|\vec x\|}\,.
$$
V �prav�ch jsme vyu�ili toho, �e $\|\vec b_i\|=1$ (b�ze je ortonorm�ln�)
a d�le p�edchoz� v�ty, podle kter� je $x_i=\vec x\cdot\vec b_i$.

{\bf D�sledek}: \ $\cos^2 \phi_1 + \cos^2 \phi_2 + \cdots + \cos^2 \phi_n = 1$

\n ---------------------------------------------------------

\g Schmidt�v ortogonaliza�n� proces

Zhruba: ka�dou kone�nou b�zi lze \uv{opravit} tak, aby byla ortonorm�ln�.
Oprava $k$-t�ho vektoru v�dy prob�h� v line�rn�m obalu prvn�ch $k$
vektor�. Tj. prvn� vektor oprav�me na p��mce dan� prvn�m vektorem,
druh� vektor oprav�me v rovin� dan� prvn�mi dv�ma vektory,~atd.

P�esn�: Nech� $\{\vecc b_n\}$ je libovoln� b�ze.
Pak existuje ortonorm�ln� b�ze
$\{\vecc c_n\}$ takov�, �e
$$
  \lob<\vecc b_k> = \lob<\vecc c_k>, \qquad 
  \forall  k\in\{1,2,\ldots,n\}.
$$

D�kaz: oprava ka�d�ho vektoru prob�h� ve dvou kroc�ch. Vektor
se (uvnit� zm�n�n�ho lin. obalu) \uv{nato��} a n�sledn� se \uv{normuje}:
$$
  \vec b_{k+1}' = 
  \vec b_{k+1} - \sum_{i=1}^k (\vec b_{k+1}\cdot\vec c_i)\,\vec c_i,
  \qquad \vec c_{k+1} = {\vec b_{k+1}'\over \|\vec b_{k+1}'\|}.
$$

\end

\n ------------------------------------------------------------

\g Ortogon�ln� matice

P�edpokl�dejme v $\R^n$ standardn� skal�rn� sou�in. Matice 
$\A\in\nobreak\R^{n,n}$, 
kter� ve sloupc�ch obsahuje n�jakou ortonorm�ln� b�zi prostoru $\R^n$, 
se naz�v� {\em ortogon�ln�}. 

N�sleduj�c� podm�nky jsou ekvivalentn�:

* $\A$ je ortogon�ln�,

* $\A^T\cdot\A = \E$,

* $\A\cdot\A^T = \E$,

* $\A^T$ je ortogon�ln�,

* $\A$ obsahuje v ��dc�ch sou�adnice ortonorm�ln� b�ze,

* $\A$ je matic� p�echodu mezi dv�ma ortonorm�ln�mi b�zemi.

\n -----------------------------------------------------------

\g Dal�� vlastnosti ortogon�ln� matice

* Je-li $\A$ ortogon�ln�, pak $\det\A = 1$ nebo $\det\A = -1$.

* Je-li $\A$ ortogon�ln� a je-li ${\bf x}$ sloupcov� vektor, 
  pak sloupcov� vektor $\A\cdot{\bf x}$ m� stejnou velikost
  jako vektor ${\bf x}$.

* Sou�in ortogon�ln�ch matic je ortogon�ln�.

Prvn� punt�k:
$$
  1 = \det\E = \det(\A\cdot\A^T) = (\det\A)\, (\det\A^T)
  = (\det\A)^2.
$$
Druh� punt�k: 
$$
  \|\A{\bf x}\|^2 = (\A{\bf x})^T\cdot(\A{\bf x}) =
  {\bf x}^T\cdot\A^T\cdot \A\cdot{\bf x} = {\bf x}^T\cdot{\bf x}
  = \|{\bf x}\|^2.  
$$
T�et� punt�k:
$$
  (\A\cdot\B)^T\cdot (\A\cdot\B) = \B^T\cdot\A^T\cdot\A\cdot\B = 
  \B^T\cdot\E\cdot\B = \E.
$$

\n ------------------------------------------------------------

\g QR rozklad

Je-li $\A$ regul�rn� matice, pak existuje ortogon�ln� matice $\Q$ a
horn� troj�heln�kov� matice $\R$ tak, �e 
$$
  \A=\Q\cdot\R.
$$
D�kaz: Sloupce matice $\A$ tvo�� n�jakou b�zi $(B)$. Na tuto b�zi
provedeme Schmidt�v ortogonaliza�n� proces a t�m dostaneme
ortonorm�ln� b�zi $(C)$. Zap��eme ji do sloupc� matice $\Q$.
Matice $\R$ je matic� p�echodu od ortonorm�ln� b�ze $(C)$ k b�zi $(B)$.
Obsahuje sou�adnice vektor� $\vec b_k$ z b�ze $(B)$ vzhledem k~$(C)$.
D�ky vlastnosti
$$
  \lob<\vecc b_k> = \lob<\vecc c_k>, \qquad 
  \forall  k\in\{1,2,\ldots,n\}.
$$
jsou sou�adnice vektoru $\vec b_k$ vzhledem k $(C)$ pro 
$i>k$ nulov�, tak�e $\R$ je horn� troj�heln�kov�.




\end
