\fontfam[lm]
\cslang \csquotes
\load[math,vlna]
\smartvert
\hyperlinks\Blue\Blue
\onlyrgb

\let\<=\langle \let\>=\rangle
\scriptspaces {2mu}{1.3mu}{}{}
\def \_secx  {\_seccx \_seccnum=0 \_tnum=0 \_fnum=0 \_resetABCDE }
\def\Re{\mathop{\rm Re}} \def\Im{\mathop{\rm Im}}
\let\epsilon=\varepsilon
\let\Then=\Longrightarrow
\def\hosp{\hbox{L'Hosp.}}
\def\lima{\lim_{x\to a}}
\def\priklad{\medskip\numberedpar A{Příklad}}
\def\npara#1{\par\noindent{\bf #1.}\,}
\def\para{\medskip\npara}
\def\dx{\,{\rm d}x}
\def\dy{\,{\rm d}y}
\let\phi=\varphi

\tit Matematická analýza\nl souhrnně a v souvislostech

\centerline{\it Petr Olšák} 

\bigskip
\maketoc

\vfill
Verze textu: \the\day. \the\month. \the\year.

Tento text ve ve stádiu zrodu, zatím není dokončen, některé věci zde chybí.

\vfil\break

\nonum\notoc\sec Úvod

Tento text je určen pro čtenáře, kteří již prošli kurzem matematické analýzy
funkcí jedné proměnné (úspěšně nebo třeba i neúspěšně) a mají zájem se
podívat na to, co se naučili, k čemu to je, co je za tím, jak vypadá hlavní
důvod, proč byly věci takto navrženy a formulovány. Tito čtenáři se tedy
seznámili s počítáním limit, derivací, integrálů a nekonečných řad, ovšem
často byla výuka vedena s důrazem na detail a s požadavkem umět cosi
konkrétního spočítat tak, aby počtář nepřehlédl žádné jednotlivé mínus ve
výpočtu a pamatoval si všechny postupy, předpoklady a vzorečky pro počítání.
Ten důraz na detail je samozřejmě oprávněný, protože bez souhrnu detailů
nevzniká celek. Ovšem my, když už jednotlivé detaily byly vysloveny, se
můžeme zaměřit na celek a dívat se na něj z různých stran. Nemusíme teorii
budovat od základních stavebních kamenů ke složitějším, ale můžeme přepínat
mezi jednotlivými výsledky a dávat je do souvislostí. To běžné učebnice
nedělají, protože potřebují teorii správně vybudovat. 
Nakonec jsou ale studenti často zkoušeni zejména z toho,
zda dokážou na papír prezentovat na konkrétních umělých
příkladech výpočetní postupy. To sice dává mnohým studentům \"záchranné lano",
zejména těm, kteří si zatím neosvojili schopnost abstraktního uvažování a
dokážou aspoň zopakovat nějaké naučené postupy. Ale vytrácí se pointa, proč
byla matematická analýza vybudována. 

I studenti, kteří se zaměřili zejména na počítání, jistě dospěli k
důležitému poznání, že matematika není o počítání a už vůbec ne o číslech,
ale o abstraktních strukturách existujících jen v našich myslích a majících
různé vlastnosti, které má smysl zkoumat a exaktně je popsat. Čísla samotná
(například přirozená čísla) jsou jen jedním příkladem takové abstraktní
struktury, která navíc obsahuje nekonečně mnoho prvků. Slovo nekonečno
trápilo matematiky celá staletí a hledali i pro tento pojem (existující jen
v našich představách) nějaký konkrétní projev a možnost jeho uchopení
přesnými postupy. A tento významný krok v lepšímu poznání nekonečna byl mimo jiné
učiněn také v matematické analýze.

Máme výhodu, že můžeme dávat jednotlivé poznatky z matematické analýzy z
různých koutů do společných souvislostí a ukazovat na tom, kde jsou hlavní
myšlenky této teorie. Předpokládáme totiž, že čtenář již potkal ty
jednotlivosti, na nichž je teorie vybudována. Takže, když o nich budeme
mluvit, nebude už překvapený. Tento text tedy nenahrazuje učebnici matematické
analýzy, jen ji přiměřeným způsobem doplňuje.


\sec Matematická analýza pracuje s funkcemi

Matematická analýza nabízí možnosti {\em analýzy přírodních jevů pomocí
matematiky} a při této analýze se pracuje zejména s funkcemi. Ty mohou
vyjadřovat například závislost polohy pohybujícího se předmětu na čase, tvar
kmitající struny, předpis pro výpočet velikostí ploch či objemů geometrických těles,
počet členů populace v její $n$-té generaci a mnoho dalšího. Takže pojem
funkce je základním stavebním kamenem matematické analýzy.

{\em Funkce} přiřazuje jednotlivým prvkům svého definičního oboru nějaké funkční
hodnoty. Tento pohled na funkci je {\em dynamický}: představujeme si funkci
jako nějakou černou skříňku, která je schopna na svém vstupu akceptovat
postupně všechny prvky definičního oboru a pro každý z nich vydá na svém
výstupu nějakou funkční hodnotu. Uvnitř může být ta skříňka \"naprogramovaná"
jakkoli. Může například v sobě obsahovat tabulku se dvěma sloupci a s
typicky nekonečně mnoha řádky, první sloupec obsahuje výčet všech prvků
definičního oboru a vedle každého takového prvku je ve druhém sloupci
funkční hodnota. Algoritmus takové černé skříňky poté, co dostane vstupní
hodnotu, musí umět vyhledat v této nekonečné tabulce ten správný řádek a najde
v něm výstupní hodnotu, kterou vrátí do výstupu. Souvislost mezi vstupní a
výstupní hodnotou v této tabulce nemusí být vůbec žádná, tj. nemusí být
možné popsat tvorbu výstupní hodnoty na základě vstupu nějakým konečným
algoritmem či dokonce vzorcem. Ovšem v matematické analýze se skoro vždy
setkáváme s funkcemi, které mají algoritmus výpočtu výstupní hodnoty na
základě vstupního prvku daný nějakým vzorečkem.

Další pohled na funkci je {\em statický}, v matematické analýze se moc
nevyužívá. Vychází z kartézského součinu množin. Nechť $D$ je množina prvků
definičního oboru funkce a $M$ je množina všech případných hodnot funkce.
Pak teorie množin (díky axiomům teorie množin, které se většinou
v kurzech matematiky nezmiňují) nám umožní sestrojit kartézský součin
těchto množin $D\times M$ (tedy množinu všech dvojic $(x,y)$ takových, že 
$x\in D$ a $y\in M$) a z něj můžeme vybírat různé podmnožiny. Vybereme-li
takovou podmnožinu $f\subset D\times M$, že pro každý prvek $x\in D$ existuje
právě jedna dvojice $(x,y)\in f$, nazýváme $f$ funkcí z $D$ do $M$. V tomto
pohledu tedy $f$ není černá skříňka, která nám vydává na základě vstupů
výstupní hodnoty postupně v čase, ale díváme se na ni v jediném okamžiku jako
na pevně zvolenou podmnožinu kartézského součinu s jistou vlastností.
Vykreslíme-li všechny prvky takové podmnožiny $f$ do roviny s osami $x$ a $y$,
dostáváme graf funkce $f$.
Jistě Vám neušlo, že příklad černé skříňky ukrývající v sobě dvousloupcovou
tabulku (viz výše) s tímto pohledem úzce souvisí, protože jednotlivé řádky
té tabulky jsou právě všechny prvky podmnožiny $f$.

Poznamenejme ještě, že funkce označujeme písmeny $f$, $g$, atd. (ať se na ně
díváme prvním nebo druhým pohledem), zatímco když napíšeme $f(x)$, máme na
mysli {\em funkční hodnotu} z $M$, která je výstupem černé skříňky poté, co
do ní vložíme prvek $x\in D$, neboli je to právě prvek $y$ z dvojice
$(x,y)\in f$. Je-li $f\subset D\times M$
funkce a $(x,y)\in f$, pak stejnou skutečnost zapisujeme také symboly $f: D\to M$,
$y=f(x)$. Také se používá terminologie, že $x$ je {\em vzor} a $y$ {\em
obraz} funkce $f$.

Není-li množina potenciálních funkčních hodnot $M$ číselná, ale je to
množina jiných matematických objektů, obvykle nemluvíme o {\em funkci}, ale
o {\em zobrazení}. V matematické analýze se výhradně setkáváme s funkcemi,
jejichž definiční obor je číselná množina a obor hodnot také.
Taková funkce přiřazuje číslům čísla či z druhého pohledu je to podmnožina
kartézského součinu {\em číselných množin} s vlastností funkce. Nejčastěji
se setkáváme s funkcemi $f: D\to\R$, kde $D\subseteq\R$, tedy s 
{\em reálnými funkcemi reálné proměnné}. Nebude-li řečeno jinak, vždy
budeme mít v tomto textu na mysli takové funkce.

Jak jsem uvedl dříve, v matematické analýze je velmi obvyklé pracovat jen s
takovými funkcemi, kde jejich algoritmus vytvářející funkční hodnoty lze
popsat vzorcem, krátce budeme říkat {\em funkce daná vzorcem}. Tím se myslí
přesně toto: existuje pro funkci $f$ jediný vzorec v proměnné $x$, jenž může
obsahovat jako operandy číselné konstanty a proměnnou $x$ a dále tyto
operandy mohou být podle tohoto vzorce zpracovány binárními operacemi sčítání,
odčítání, násobení, dělení, mocnění a unárními operacemi $\sin$, $\cos$,
$\ln$, $\exp$, atd. v libovolném množství a pořadí (pořadí vyplývá z obvyklých priorit
operací a z použití závorek). Vzorec je pak možné numericky vyhodnotit, pokud se
rozhodneme pro konkrétní hodnotu $x\in D$ (tj. dosadíme za $x$ konkrétní číslo).
Výsledek tohoto vzorce je pak výstupní hodnota funkce $f$ v daném bodě $x\in D$.
Funkce dané vzorcem zapisujeme neformálně pomocí $f(x)=$ vzorec v proměnné $x$, například
$f(x)=x^2+1$ nebo $f(x)=2x-\sin(\ln(x))$. Numerické vyhodnocení prvního z těchto
příkladů pro $x=-2$ vede k hodnotě 5, takže platí $f(-2)=5$, zatímco u
druhého příkladu takové numerické vyhodnocení nelze na úrovni aritmetiky
reálných čísel provést. Tomu lze lidově říkat, že vzorec pro
hodnotu $x=-2$ {\em selže}. Selhání nastává při pokusu dělení
nulou a dále v případech, kdy argument unárních operací $\ln$,
$\sqrt{\phantom{x}}$,
$\arcsin$, atd. je mimo maximální definiční obor těchto operací.

Přesná definice funkce $f$ předpokládá, že je dán její definiční obor
$D_f$ a předpis, který každému prvku $x\in D_f$ přiřadí reálnou funkční hodnotu.
Máme-li například $f:\R\to\R$ danou předpisem $f(x)=x^2$ a $g:\<0,\infty)\to\R$ danou
stejným předpisem $g(x)=x^2$, pak máme na mysli různé funkce, protože se
liší svým definičním oborem. Zde zadaná funkce $g$ je prostá, zatímco $f$
není prostá. Bývá ovšem obvyklé u funkcí zadaných vzorcem jejich definiční obor
neuvádět. Stane-li se to (což nastává skoro vždy), je v zadání funkce automaticky
míněn maximální možný definiční obor, pro nějž daný vzorec neselže.
Například, zadá-li nám někdo funkci $f$ vzorcem $f(x)=2x-\sin(\ln(x))$ a
neuvede definiční obor, je automaticky míněn definiční obor $(0,\infty)$,
protože tento interval obsahuje právě všechny hodnoty $x$, ve kterých zadaný
vzorec neselže (tedy lze jej vyčíslit v reálné aritmetice). Zadá-li nám někdo k
této funkci definiční obor, například $D_f=(0,1)$, pak je funkce úplně
zadaná. Pokud ovšem někdo prohlásí za definiční obor funkce s uvedeným vzorcem
třeba interval $\<-1,1\>$, musíme mu vysvětlit, že daný vzorec neumožní
vyčíslit všechny hodnoty pro všechna $x$ z jím zadaného definičního oboru, takže
funkce není korektně zadaná.

Protože jsou funkce v matematické analýze skoro vždy zadané vzorcem,
setkáváme se často se zkráceným vyjadřováním: 
\"je dána funkce $f(x)={}$vzorec" nebo dokonce jen \"je dána funkce vzorec". 
To sdělení ve skutečnosti přesně znamená: 
\"je dána funkce $f$ uvedeným vzorcem a její definiční
obor je maximální takový, aby pro žádný jeho prvek vzorec neselhal".

Zopakujeme ještě důležitou terminologii pro funkce. 
Funkce je {\em prostá} (injektivní), pokud neexistují dva různé obrazy z definičního
oboru, které by měly stejné vzory. Funkce $f:D\to M$ je {\em na} množinu
$M$ (surjektivní), pokud všechny obrazy $f$ pokrývají celou množinu $M$. Z
této druhé definice vidíme, že když píšeme $f:D\to M$ bez zdůraznění slova \"na", 
musí funkce sice umět zobrazit všechny prvky z $D$, ale množina $M$ může
obsahovat prvky, které nepatří do oboru všech hodnot $f$. Neexistují-li
takové nezobrazené plonkové prvky v množině $M$, říkáme, že funkce je \"na".
To je v matematice obvyklá terminologie pro funkce. 
Je-li funkce $f:D\to M$ {\em prostá a na}, říkáme ji také bijektivní funkce
(krátce {\em bijekce}).


\sec Číselné množiny

Funkce zobrazují čísla na čísla, stojí tedy za to si o číslech povědět více.
Začneme základními vlastnostmi množiny přirozených čísel a pak ji
kvůli potřebě uzavřenosti operace mínus rozšíříme na čísla celá, dále kvůli
potřebě uzavřenosti na operaci děleno ji rozšíříme na čísla racionální a
nakonec přidáme iracionální čísla a budeme mít čísla reálná.

\para{Přirozená čísla}
Ta nám umožňují zjistit počet objektů. Uvědomíme si, jak to
funguje na příkladě z dávné minulosti lovců mamutů. Předpokládejme, že tito
lidé ještě neměli univerzity, kde by se jejich děti učili diferenciální
počet, tj. neměli ještě vyvinuté abstraktní myšlení a jejich řeč také ještě
nebyla nic moc. Lovec si třeba vyšel na palouk a tam uviděl tři mamuty. On
nevěděl, že jsou \"tři", ale zvedl jeden prst a přiřadil jej jednomu
mamutovi, dále druhý prst přiřadil dalšímu a třetí prst poslednímu. Aniž by
to věděl, provedl {\em bijektivní zobrazení} mezi množinou vztyčených prstů
a množinou mamutů. Tj. žádného mamuta nepočítal dvakrát (injektivita) ani
žádný mamut na palouku nezůstal nezapočítán (surjektivita). Pak s takto
vztyčenými prsty přišel do jeskyně k ostatním kolegům, ukázal jim ty prsty,
vyjádřil dalším posunkem, že jde o mamuty a ukázal, kde. Ostatní lovci na
základě této informace věděli, kolik na palouku mohou očekávat mamutů.
Nemuseli mít to číslo pojmenováno jako \"tři", ale zkušenost o třech
vztyčených prstech jim dala jasnou představu. A nemuseli ty mamuty fyzicky
vidět. Posléze přestala na takové počítání stačit množina prstů, ale
vyvinula se řeč. A v rámci ní se děti učili říkanku: jedna, dvě, tři,
čtyři,~\dots\ Při počítání objektů pak děti provedli bijektivní zobrazení mezi
slovy z úvodní části této říkanky a počítanými objekty. U kterého slova se
děti zastavily, to byl počet objektů. Na té říkance jsou podstatné tyto
věci: Má první slovo \"jedna" a pro každé slovo v říkance existuje
jednoznačně následující slovo, které zatím nebylo v říkance vysloveno. 
Množina těchto slov je tedy neomezená a jsme schopni pomocí bijektivního
zobrazení ze slov ze začátku říkanky na libovolně velkou neprázdnou konečnou množinu
zjistit počet jejích prvků a předat tuto informaci dalšímu člověku, který
počítané předměty nemusí vidět, ale přesto má představu, kolik těch předmětů
je. Je to tím, že všichni lidé na celém světě tuto říkanku znají a používají ji stejně.
Samozřejmě, musejí existovat bijektivní zobrazení této říkanky mezi různými jazyky.
Jednotlivá slova v říkance lze navíc prostřednictvím bijektivního zobrazení
nahradit symboly $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,\dots$ a všechny tyto symboly (čísla) tvoří množinu
přirozených čísel.

Přirozená čísla umíme sčítat: Vezmeme si dvě disjunktní množiny předmětů,
spočítáme pomocí bijekce počet prvků v jedné, pak ve druhé množině a pak v
obou množinách dohromady. Ten poslední výsledek je součtem těch předchozích dvou
čísel. Nově se naučíme takový součet provádět jen s čísly samotnými bez
nutnosti k tomu počítat prvky nějakých konkrétních množin. To se naučí děti
v první třídě a v případě součtů větších čísel vyjádřených větším množstvím
cifer v desítkové soustavě se algoritmem na sčítání čísel pod sebou děti
trápí ještě v dalších ročnících.

Pro přirozená čísla platí důležitá vlastnost. {\em Každé} přirozené
číslo lze vybrat tak, že vybereme jedničku a pak nahrazujeme vybrané
číslo jeho následníkem tak dlouho, až dospějeme k požadovanému
číslu. To se podaří vždy v {\em konečně} mnoha krocích.
Díky tomu funguje důkaz indukcí: dokazuje se platnost
nějaké vlastnosti $V(n)$ pro {\em všechna} přirozená čísla $n$ tak, že se ověří
$V(1)$ a dále $V(k)\Then V(k+1)$.

\para{Celá čísla}
Výsledek odčítání $a-b$ lze definovat jako takové číslo $c$, pro které platí, že
$c+b=a$. Ne vždy se mezi přirozenými čísly povede takové číslo $c$ najít,
musíme tedy množinu čísel rozšířit o nulu a záporná čísla. Máme množinu
celých čísel.

\para{Racionální čísla}
Opakovaným sčítáním lze zavést násobení. Výsledek dělení $a/b$ lze pak definovat
jako takové číslo $c$, pro které platí $a=bc$. Takové $c$ se nepodaří na
množině celých čísel vždy nalézt. Především pro $b=0$ nelze výsledek dělení
najít nikdy a takovou operaci zakážeme. Pro ostatní $c\neq0$ můžeme výsledek
vždy zapsat ve tvaru zlomku, tedy dvojice čitatel/jmenovatel tak, že čitatel je
číslo celé a jmenovatel přirozené. A existují algoritmy, jak spolu sečíst,
odečíst, vynásobit a vydělit libovolné dva zlomky a výsledek zapsat ve tvaru
zlomku. Tím se rovněž děti zabývají na základní škole. A učiní také pozorování, že
zlomek daný dvojicí čitatel/jmenovatel není zadán jednoznačně a je vhodné
tedy zlomky krátit do základního tvaru. Množina všech zlomků v základním
tvaru je pak množina racionálních čísel.

Pro každé dva zlomky lze také odpovědět na otázku, který je větší. Dále
učiníme pozorování, že mezi každé dva různé zlomky $a$, $b$ takové, že $a<b$
lze vložit zlomek $c$, pro nějž platí $a<c<b$, například volíme $c=(a+b)/2$.
Úžasné na tom je, že toto lze
provést pro dva libovolně blízké zlomky. Je-li třeba vzdálenost mezi $a$ a
$b$ rovna jen 1/1\,000\,000, přesto mezi ně vměstnáte zlomek $c$. A ta
vzdálenost mezi $a$ a $b$ může být libovolně malá, vyjádřená převrácenou
hodnotou libovolně velkého přirozeného čísla. Je ovšem také pravda, že mezi
dvěma libovolně blízkými zlomky je plno čísel, se kterými potřebujeme
pracovat například v geometrii, ale ony to nejsou zlomky. Typickým příkladem
je délka úhlopříčky čtverce o straně~1, která je rovna dle Pythagorovy věty
$\sqrt2$, což je číslo, o kterém se docela snadno dokáže, že není zlomek.
Důkaz dělat nebudeme, lze jej najít na moha místech a možná jste se jej
také učili.

\para{Reálná čísla}
Můžeme si na osu (vodorovnou přímku) zanést (aspoň myšlenkově, fakticky to
nepůjde) všechny zlomky seřazené podle velikosti. Pak je tato množina zlomků na té
přímce \"hustá" díky vlastnosti, že mezi každými dvěma zlomky je další. Ale
taky ta množina nepokrývá všechny body na ose, protože mezi nimi třeba není délka
úhlopříčky čtverce. To se možná těžko představuje, ale je to fakt. Ta
chybějící iracionální čísla lze zavést postupem podobným jako při zavedení
limit: ke každému iracionálnímu číslu se lze libovolně přesně přiblížit
vhodně zvolenou posloupností racionálních čísel. Například k iracionálnímu
číslu $\pi$ se lze libovolně přesně přiblížit posloupností racionálních čísel
3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3.14159;~\dots\ Pokud někdo namítne, že nevidí
v těchto číslech zlomky, napíšeme mu je ve tvaru $3/1$, $31/10$, $314/100$,
$3141/1000$, atd. Přidáme-li všechna iracionální čísla k racionálním, dostáváme
čísla reálná.

Operace sčítání, odčítání, násobení a dělení reálných čísel můžeme provést s
úplnou přesností, jsou-li to čísla racionální, a se sice omezenou přesností,
ale s libovolně malou chybou, jsou-li to čísla iracionální. Každé
iracionální číslo totiž můžeme vyjádřit podobně jako číslo $\pi$ v předchozím
odstavci pomocí posloupnosti racionálních čísel s konečným
desetinným rozvojem a můžeme se spokojit jen s $n$-tým prvkem této
posloupnosti, stačí-li nám výsledek s přesností na $n$ desetinných míst. To
není úplně přesně řečeno, ale že je možné dosáhnout jakékoli přesnosti
výsledku vhodně voleným počtem desetinných míst při výpočtu je zřejmé.

Máme tedy aspoň rámcově zavedena reálná čísla a můžeme na nich provádět
operace sčítání, odčítání, násobení, dělení. Takže hodnoty funkcí zadaných
vzorci obsahujícími jen tyto operace umíme nyní vyhodnocovat v libovolném
reálném bodě (mimo bodů, kde dochází ke kolapsu vzorce kvůli dělení nulou) s
libovolně stanovenou přesností. V následujících třech sekcích zavedeme
další funkce, které se ve vzorcích v matematické analýze
běžně vyskytují: mocniny, odmocniny, $\exp$, $\ln$, $\log$, $\sin$, $\cos$, 
$\tg$, $\cotg$, $\arcsin$, $\arccos$, $\arctg$, $\arccotg$.

\para{Komplexní čísla}
Neexistuje reálné číslo $x$, pro které je $x^2+1=0$. Jinak řečeno
$\sqrt{-1}$ nedává reálný výsledek. To motivuje k rozšíření reálných čísel
na další číselnou množinu komplexních čísel. Každé komplexní číslo je
uspořádanou dvojicí reálných čísel (složkám té dvojice říkáme reálná a
imaginární část) a čísla se dají sčítat a odčítat po složkách a násobit a
dělit podle jistých vzorců. Komplexní číslo $x$ můžeme graficky znázornit
jako bod v rovině. Jeho vzdálenost od počátku je velikost (absolutní
hodnota) komplexního čísla, značíme ji $|x|$. Dále úhel mezi reálnou osou a
polopřímkou vedenou z počátku ke zmíněnému bodu je argument komplexního
čísla $\arg(x)$. Číslo $[0,1]$ se značí $i$, je to imaginární jednotka a pro
ni platí $i^2=-1$. Množina komplexních čísel je algebraicky uzavřená (každý
polynom má v komplexním oboru kořen), takže další rozšiřování množin není
potřeba. V tomto textu (až na malou výjimku) se zabýváme jen reálnými
funkcemi jedné reálné proměnné, tj. komplexní čísla zde zmiňuji jen pro
doplnění souhrnu číselných množin. Věnuje se jim pořádně komplexní analýza.


\sec[mocnina] Mocnina a elementární funkce $\exp$, $\ln$

\npara{Přirozený exponent}
Jakmile umíme na reálných číslech sčítat, odčítat, násobit, dělit, každého
napadne možnost zavedení další operace: mocnění. Protože násobení je
původně definováno jako opakované sčítání, je přirozené zavést mocnění jako
opakované násobení. Tedy pro $a\in\R$ a $n\in\N$ definujeme
$$
  a^n = \underbrace{a\,a\,\cdots\,a}_{n\ \mathbox{krát}}.
$$
Další naší snahou bude rozšířit operaci mocnění na možnost použít reálný exponent
(nejen přirozený) za dodatečného předpokladu, že základ bude kladný.
Povšimneme si, že pro přirozené exponenty $m$, $n$ platí:
$$
  a^m a^n = \underbrace{a\,a\,\cdots\,a}_{m\ \mathbox{krát}}
            \underbrace{a\,a\,\cdots\,a}_{n\ \mathbox{krát}} =
            \underbrace{a\,a\,\cdots\,a}_{m+n\ \mathbox{krát}} =
            a^{m+n}, \quad
  (a^m)^n = \underbrace{\underbrace{a\,a\,\cdots\,a}_{m\ \mathbox{krát}}\,\cdots
            \underbrace{a\,a\,\cdots\,a}_{m\ \mathbox{krát}}}_{n\ \mathbox{krát}}
          = \underbrace{a\,a\,\cdots\,a}_{mn\ \mathbox{krát}} = a^{mn}.
$$
Tyto {\em dvě základní vlastnosti mocniny} 
$$
  a^ma^n=a^{m+n}, \quad (a^m)^n=a^{mn}  \eqmark[a^mn]
$$
bychom chtěli udržet v platnosti i pro případné rozšíření mocniny na reálný
exponent. 

\para{Celočíselný exponent}
Pro nulový exponent je rozumné definovat $a^0=1$, protože
$$
  a^n = a^{n+0} = a^n a^0 = a^n\cdot 1
$$
rozšíření pro záporné exponenty a nenulový základ $a$ pak je $a^{-n} = 1/a^{n}$,
protože:
$$
  a^n a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^0 = 1, \quad \hbox{takže}\ a^{-n} = {1\over a^n}. 
$$

\npara{Racionální exponent}
Abychom mohli rozšířit mocnění na racionální exponent, musíme na chvíli
mluvit o $n$-tých odmocninách, tedy inverzních funkcích k $n$-té mocnině
základu $x$, kde $n\in\N$. Pro liché $n$ je funkce $f(x)=x^n$
prostá na $\R$, ale pro sudé $n$ nikoli. Musíme pro tento případ
zúžit definiční obor na $\<0,\infty)$, protože inverzi lze sestrojit
jen k prosté funkci. Po zúžení definičního oboru v případech sudého $n$
máme nyní všechny funkce $f$ dané vzorcem $f(x)=x^n$ prosté a mají
inverzní funkci $g$, kterou nazýváme $n$-tá odmocnina a píšeme
$g(x)=\root n\of x$. Platí $\root n\of x = x^{(1/n)}$ protože: 
$$
  (x^{1\over n})^n = x^{{1\over n}\cdot n} = x^1 = x, \quad
  \hbox{aplikací $n$-té odmocniny na obě strany rovnosti máme:}\
   x^{1\over n} = \root n\of x
$$
Mocninu základu $a>0$ na libovolný racionální exponent $p/q$ pak přirozeně
definujeme:
$$
  a^{p\over q} = (a^p)^{1\over q} = \root q\of {a^p}.
$$
Ověříme si, že i pro racionální exponenty zůstávají v platnosti dvě základní
vlastnosti mocniny~\ref[a^mn]:
$$
\displaylines{
   a^{p\over q}a^{u\over v\vphantom p} = \root q\of {a^p}\,\root v\of {a^u} =
   \root qv\of {a^{pv}}\,\root qv\of {a^{qu}} =
   \root qv\of {a^{pv}\,a^{qu}} = \root qv\of {a^{(pv+qu)}} = a^{pv+qu\over qv}
   = a^{{p\over q}+{u\over v}}, \cr
   (a^{p\over q})^{u\over v\vphantom p} = \root v\of {\bigp.(\root q\of {a^p})^u} =
   \root v\of {\root q\of{a^{pu}}} = \root qv\of {a^{pu}} = 
   a^{pq\over qu} = a^{{p\over q}{u\over v}}.
}
$$

\npara{Reálný exponent}
Nyní rozšíříme funkci $h:\Q\to\R$ danou předpisem $h(x)=a^x$
(pro $a>0$) na funkci $r:\R\to\R$, která má na racionálních číslech stejné
hodnoty jako $h$ a je spojitá. Že to jde a navíc jediným způsobem je
podrobněji vysvětleno v dodatku ... Intuitivně lze tušit, že to půjde,
protože množina $\Q$  je hustá v $\R$. V tomto dodatku je rovněž ukázáno
(limitním přechodem), že i pro reálné exponenty platí základní vlastnosti
mocniny~\ref[a^mn].

\para{Exponenciální funkce}
Máme tedy spojité funkce $r:\R\to\R$ dané vzorcem  $r(x)=a^x$ s různými
základy $a>0$. Z definice derivace víme, že:
$$
  (a^x)' =
  \lim_{h\to0}{a^{x+h}-a^x\over h} =
  \lim_{h\to0}{a^x a^h-a^x\over h} = 
  \lim_{h\to0}{a^x(a^h-1)\over h} = a^x \lim_{h\to0}{a^h-1\over h}.
$$
Pokud zvolíme $a$ takové, že $\lim_{h\to0}{a^h-1\over h}=1$, budeme mít
funkci, jejíž hodnoty derivace se rovnají funkčním hodnotám. Takové $a>0$
existuje a nazýváme jej $e$. 
Vykreslíme-li si grafy funkcí $r(x)=a^x$ pro různé
základy $a$, najdeme mezi těmi grafy jediný, který má v bodě $[0,1]$ tečnu
vedenou pod úhlem 45 stupňů, což odpovídá (z definice derivace v bodě 0) tomu,
že $\lim_{h\to0}{e^h-1\over h}=1$. 
Funkci $r(x)=e^x$ nazýváme exponenciální funkcí s přirozeným
základem. Značíme ji $\exp$. Ve vzorcích často píšeme místo $\exp(x)$ přímo~$e^x$. 

Funkce $e^x$ je jediná nenulová funkce, jenž má na celém $\R$ derivaci
shodnou se svou funkční hodnotou. Je rostoucí, spojitá, neomezeně
diferencovatelná a její funkční hodnoty vyplní všechna kladná čísla. Hodnoty
exponenciální funkce se dají spočítat s libovolnou stanovenou přesností
z částečných součtů její Taylorovy řady v bodě 0:
$$
  e^x = 1 + {x\over1} + {x^2\over 2!} + {x^3\over3!} + \cdots =
        \sum_{k=0}^\infty {x^k\over k!}
  \eqmark[exp]
$$
Tato řada konverguje díky faktoriálům ve jmenovatelích rychle pro
všechna $x\in\R$. Konvergenci lze ověřit třeba podílovým kritériem. Z řady
můžeme také zjistit při dosazení $x=1$ hodnotu přirozeného základu 
$e=\sum_{k=0}^\infty (1/k!) \doteq 2{,}718\,281\,828\,459\,045\,235$

\para{Přirozený logaritmus}
Protože $e^x$ je rostoucí funkce na celém definičním oboru $\R$, je prostá
a má tedy inverzní funkci, kterou značíme $\ln$ a nazýváme ji přirozený
logaritmus. Protože obor hodnot funkce $\exp$ je interval $\<0,\infty)$,
je tentýž interval definičním oborem $\ln$. Platí pochopitelně 
$e^{\ln x} = x$ pro všechna kladná~$x$. 

\para{Jak počítat reálnou mocninu}
Konečně se dostáváme ke splnění cíle, který jsme si stanovili na začátku
sekce, totiž definovat mocninu $a^b$ pro kladné $a$ a pro libovolné $b\in R$.
Platí:
$$
  a^b = e^{b\,\ln a}.  \eqmark[a^b]
$$
protože $e^{b\,\ln a} = e^{(\ln a)\,b} = (e^{\ln a})^b = a^b$. K vyhodnocení
obecné mocniny nám tedy stačí používat funkce $\exp$ a $\ln$. A co je
důležitější, kdykoli vidíme ve vzorci nějaké funkce obecnou mocninu s
nekonstantním základem i exponentem, je
pro vyšetření vlastností takto definované funkce rozumné použít vzorec~\ref[a^b]
a dále se zabývat jen argumentem funkce $e^x$, tedy výrazem $b\,\ln a$.
Například při počítání limity funkce $f(x)^{g(x)}$, která v limitním bodě vede
na neurčitý výraz $1^\infty$ nebo $0^0$, převedeme tento problém na počítání limity 
$g(x)\ln(f(x))$, což je pak neurčitý výraz $0\cdot\infty$. Je-li výsledek takové
limity roven $L$, je výsledek původní
limity roven $e^L$, protože $e^x$ je spojitá funkce.


\sec[log] Logaritmus podrobněji

V předchozí sekci byl zaveden přirozený logaritmus $\ln$ jako inverze k
funkci $e^x$. Používám označení $\ln$ (logaritmus naturalis),
protože je inverzí k exponenciální funkci přirozeného základu.
V některých textech se tato funkce značí $\log$, ale my si symbol $\log$
rezervujeme pro logaritmy o případně jiném základu. 

Protože graf funkce $e^x$ má v
bodě $[0,1]$ tečnu svírající úhel 45 stupňů, má i graf funkce $\ln$ v bodě
$[1,0]$ tečnu svírající úhel 45 stupňů. $\ln$ je spojitá funkce, platí
$\lim_{x\to0^+} \ln x = -\infty$, $\lim_{x\to\infty} \ln x = \infty$.
Dále pro logaritmus platí vzorec známý z filmu \"Marečku podejte mi pero": 
$$
  \ln(xy) = \ln x + \ln y  \eqmark[lnxy]
$$
Je to z toho důvodu, že
$ e^{\ln(xy)} = xy = e^{\ln x} e^{\ln y} = e^{\ln x + \ln y}$
a proto, že funkce $e^x$ je prostá, takže z rovnosti jejích obrazů plyne i
rovnost jejích vzorů.

Ze směru tečny $45°$ ke grafu funkce $\ln$ v bodě $[1,0]$ vyplývá hodnota limity
$$
   \lim_{x\to1} {\ln x\over x-1} = 1,
$$
ale tentokrát z ní derivaci logaritmu neodvodíme, použijeme místo toho větu o
derivaci inverzní funkce. Nechť $y=e^x$:
$$
   (\ln y)' = {1\over (e^x)'} = {1\over e^x} = {1\over y}.
$$
\npara{Třetí základní vlastnost mocniny}
Vzorec~\ref[lnxy] použijeme k odvození třetí základní vlastnosti mocniny:
$$
  (ab)^n = a^n b^n.
$$
Tato identita vypadá přirozeně pro přirozené exponenty:
$$
   (ab)^n = \underbrace{(ab)(ab)\cdots(ab)}_{n\ \mathbox{krát}} =
            \underbrace{a\,a\cdots a}_{n\ \mathbox{krát}} 
            \underbrace{b\,b\cdots b}_{n\ \mathbox{krát}} =
   a^n b^n 
$$
a dá se obhájit i pro reálný exponent:
$(ab)^c = e^{c\,ln(ab)} = e^{c(\ln a+\ln b)} = e^{c\,\ln a + c\,\ln b}
= e^{c\,\ln a} e^{c\,\ln b} = a^c b^c$.

\para{Derivace mocniny}
Derivaci funkce $f(x)=x^c$ můžeme spočítat takto:
$(x^c)'= \bigp.(e^{c\,\ln x})' = e^{c\,\ln x}\,c{1\over x} = c{x^c/x} = cx^{c-1}$.
Dále derivace funkce $r(x)=a^x$ je
$(a^x)' = \bigp.(e^{x\,\ln a})' = e^{x\,\ln a}\,\ln a = a^x\,\ln a$.

\para{Logaritmus s obecným základem}
Inverzní funkci k funkci $r(x) = a^x$ pro $a>0$ nazýváme logaritmus o
základu $a$ a značíme ji $\log_a$. Má stejně jako přirozený logaritmus
definiční obor $(0,\infty)$, také jeho graf prochází bodem $[1,0]$, ale pro
$a\ne e$ pod jiným úhlem než~$45°$. Platí pro něj také vzorec~\ref[lnxy]:
$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$. Tento vzorec umožní provádět násobení
čísel $x$ a $y$ pomocí součtu logaritmů, přitom součet je počtářsky
snadnější operace než násobení. Stačí tedy znát tabulku logaritmů a provádět
součty logaritmů. Výsledek součtu je pak třeba inverzním pohledem do tabulky (tj.
aplikací exponenciální funkce stejného základu) převést na hledaný součin $xy$. Logaritmus o
základu 10 byl v nedávné matematické minulosti k tomuto účelu hojně používán
a byl proto také tabelován v rozsáhlých tabulkách. V již zmíněném filmu 
\"Marečku podejte mi pero" Kroupa senior u tabule předvádí, že tyto tabulky pro takové
násobení umí používat (85.~minuta filmu). Na tomto principu převedení násobení
na sčítání se také dříve používala logaritmická posuvná pravítka.

Nyní prosím sledujte mé duševní pochody: $x = a^{\log_a x} = e^{\log_a x\, \ln a}$.
Na obě strany rovnosti pošlu přirozený logaritmus a mám $\ln x = \log_a x\, \ln
a$. Konečně po vydělení $\ln a$ dostávám:
$$ 
   \log_a x = {\ln x\over \ln a}. \eqmark[loga]
$$
Je tedy vidět, že logaritmus o jakémkoli základu lze spočítat pomocí
přirozených logaritmů. Kdykoli tedy v nějakém vzorečku uvidíme
$\log_a$, vždy to můžeme nahradit výrazem ze vzorce~\ref[loga], takže není
nutné se nijak zvlášť zabývat dalšími vlastnostmi $\log_a$. Například
derivaci spočítáme takto:
$$
   (\log_a x)' = \autop.(\ln x\over \ln a)' = {1\over \ln a} (\ln x)' = {1\over x \ln a}.
$$
V matematické analýze se většinou setkáváme jen s přirozeným logaritmem. V
diskrétní matematice je občas potřeba použít také $\log_2$ nebo něco
podobného.


\sec[gonio] Goniometrické funkce: definice a jejich vlastnosti

Goniometrické funkce $\cos$, $\sin$ se dají definovat různými způsoby. Na MFF
jsme je měli zavedené tuším sedmi vlastnostmi zhruba tak, že byla vyslovena
věta: \"existují jednoznačně dvě funkce s vlastnostmi 1 až~7", kterou bylo
nutno dokázat. Tyto funkce jsme pak nazvali $\cos$ a $\sin$. Na střední škole jste
se s těmito funkcemi seznámili asi spíše jen \"obrázkově" pohledem na
odpovídající pravoúhlý trojúhelník.
V tomto textu uvedeme ještě jiný přístup, ve kterém se ty funkce definuji přímo
vzorcem a pak je třeba odvodit jejich vlastnosti. A docela přirozeným
způsobem pak dostaneme i ten středoškolský obrázek.

\para{Definice cos a sin}
Vzorec~\ref[exp] můžeme považovat za definiční vzorec funkce $e^x$ a všimneme
si, že tento vzorec je možné použít nejen pro libovolné reálné $x$, ale také
pro libovolné komplexní $x$. Řada~\ref[exp] absolutně konverguje pro jakékoli
číslo $x\in\C$.  Dodatek~\ref[cexp] ukazuje, že základní vlastnosti
mocniny $e^{x+y} = e^x e^y$, $(e^x)^y = e^{xy}$ platí i pro takto definované
komplexní exponenty $x$, $y$. Jsme schopni dosazením do vzorce~\ref[exp]
například vyhodnotit:
$$
  e^{ix} = 1 + {ix\over 1} - {x^2\over 2!} - {ix^3\over 3!} + {x^4\over 4!} + \cdots
  \eqmark[e^ix]
$$
Funkci $\cos$ v bodě $x\in\R$ definujeme jako reálnou část komplexního čísla
$e^{ix}$ a funkci $\sin$ v bodě $x\in\R$ definujeme jako imaginární část $e^{ix}$. 
Máme tedy:
$$
   \cos x = {\rm Re}(e^{ix}), \quad \sin x = {\rm Im}(e^{ix}), \quad
   e^{ix} = \cos x + i\sin x, \quad
   \cos x = {e^{ix}+e^{-ix}\over 2}, \quad
   \sin x = {e^{ix}-e^{-ix}\over 2i}.
$$
Podíváme-li se na reálnou a imaginární část vzorečku~\ref[e^ix], 
dostáváme nástroj na výpočet hodnot
funkcí $\sin$, $\cos$ v bodě $x\in\R$ s libovolnou stanovenou přesností:
$$
\eqalign{
   \cos x &= 1 - {x^2\over 2!} + {x^4\over 4!} - {x^6\over 6!} + \cdots =
             \sum_{k=0}^\infty (-1)^k {x^{2k}\over (2k)!} \cr
   \sin x &= {x\over 1} - {x^3\over 3!} + {x^5\over 5!} - {x^7\over 7!} + \cdots =
             \sum_{k=0}^\infty (-1)^k {x^{2k+1}\over (2k+1)!}
} \eqmark[sincos] 
$$  

\npara{Geometrická interpretace cos a sin}
Pro geometrickou představu, co vyjadřují funkce $\sin$, $\cos$, musíme
vědět, že komplexní číslo $e^{ix}$ má velikost~1 (tj. leží na jednotkové
kružnici) a argument (tj. úhel) tohoto komplexního čísla se přímo rovná~$x$.
Proč tomu tak je vysvětluje podrobně dodatek~\ref[cexp]. Můžeme si tedy představit,
že máme provázek délky $x$, jeho začátek umístíme do bodu $[1,0]$ a omotáme tím
provázkem jednotkovou kružnici (při kladném $x$ tak činíme v kladném směru
rotace, tj. proti směru hodinových ručiček). Konec provázku se pak octne v
čísle~$e^{ix}$. Nakreslete si spojnici takového čísla $e^{ix}$ s počátkem a
dále souřadnicové osy a úsečky vyjadřující reálnou a imaginární část tohoto čísla. 
To, co dostanete, je pravoúhlý trojúhelník s přeponou
délky~1, který vám jistě připomene \"definiční" obrázek funkcí $\cos$ a
$\sin$ známý ze střední školy.

\para{Základní vlastnosti cos a sin}
Protože číslo $e^{ix}$ leží na jednotkové kružnici, máme odvozen 
vzorec $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Dále ze základní vlastnosti mocniny
(ověřené v dodatku~\ref[cexp]) plynou okamžitě součtové vzorce:
$$
\eqalign{
   e^{i(a+b)} &= e^{ia} e^{ib}, \ \hbox{takže:} \cr
   \cos(a+b) + i\sin(a+b) &= (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b) = \cr 
   &= \cos a \cos b - \sin a \sin b + i(\sin a \cos b + \cos a \sin b),\cr
   \hbox{reálná část:}\  \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, \cr
   \hbox{imaginární část:}\ \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b.
} \eqmark[sincos+]
$$
Vzoreček Moivreovy věty je přímý důsledek druhé základní vlastnosti mocniny:
$$
   (\cos x + i\sin x)^n = \bigp.(e^{ix})^n = e^{inx} = \cos nx + i\sin nx.
$$
Protože $e^{0i} = 1$ a reálná část této jedničky je 1, máme $\cos 0 = 1$.
Imaginární část této jedničky je~0, takže $\sin 0 = 0$. 
Dále je v dodatku~\ref[cexp] obhájena platnost důležité limity:
$$
  \lim_{x\to0} {\sin x\over x} = 1
$$
Z ní, z definice derivace a ze součtových vzorců snadno odvodíme, že $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$: 
$$
   \def\limh{\lim_{h\to0}}
\eqalign{
   \limh {\cos h-1 \over h} &= \limh {\cos h-1 \over h}\,{\cos h +1\over \cos h +1}
   = \limh {\cos^2 h - 1\over h(\cos h+1)} = 
   \limh {\sin h\over 2}\, {\sin h\over h} = 0\cdot1 = 0, \cr
   (\cos x)' &= \limh {\cos(x+h)-\cos x\over h} =
   \limh {\cos x\cos h - \sin x\sin h - \cos x\over h} = \cr
   &= -\sin x \limh {\sin h\over h} + \cos x \limh {\cos h-1\over h} = 
   -\sin x\cdot 1 + \cos x\cdot 0 = -\sin x, \cr 
   (\sin x)' &= \limh {\sin(x+h)-\sin x\over h} =
   \limh {\sin x\cos h + \cos x\sin h - \sin x\over h} = \cr
   &= \cos x \limh {\sin h\over h} + \sin x \limh {\cos h-1\over h} = 
   \cos x\cdot 1 + \sin x\cdot 0 = \cos x, \cr 
}
$$
Definičním oborem funkcí $\sin$, $\cos$ je $\R$, oborem hodnot
je interval $\<-1,1\>$.
Protože mají konečnou derivaci na celém svém definičním oboru, jsou na něm spojité.
Z představy provázku omotaném kolem jednotkové
kružnice dále vidíme, že funkce $\cos$, $\sin$ jsou periodické funkce s
periodou rovnou délce jednotkové kružnice a to je $2\pi$. Limity těchto
funkcí v krajních bodech definičního oboru $\pm\infty$ neexistují.
Funkce přecházejí jedna v druhou jednak pomocí vzorce $\cos^2 x+\sin^2 x =1$
a také z faktu, že $\cos x = \sin (x+\pi/2)$.

Další důležité 
hodnoty těchto funkcí jsou shrnuty v tabulce~\ref[sinvalues] a dají se odvodit
středoškolským způsobem z Pythagorovy věty a z vlastností příslušných
pravoúhlých trojúhelníků s úhly při přeponě postupně $30°$, $45°$ a $60°$.
Ze symetrií grafů funkci $\sin$, $\cos$ lze odvodit vztahy
$$
   \def\t#1{{\textstyle{#1}}}
   \cos x = \cos (x+2\pi), \quad
   \sin x = \sin (x+2\pi), \quad
   \cos x = \sin (x+\t{\pi\over2}), \quad
   \cos x = \cos (-x), \quad
   \sin x = -\sin (-x).
$$
a pomocí těchto vzorců pak umíme najít hodnoty goniometrických funkcí v
dalších bodech mimo body přímo zmíněné v tabulce~\ref[sinvalues], ale jsou to jen
vzhledem k symetriím grafu příslušným způsobem posunuté tabulkové body.
Dále můžeme použít vzorce na poloviční nebo dvojnásobný úhel ($n$-násobný
úhel) odvozené ze součtových vzorců~\ref[sincos+].
Pokud ovšem hledáme hodnotu $\sin$ nebo $\cos$ mimo takové body,
pak pro ně přímé vzorce vyjádřené racionálním číslem či odmocninami
neexistují a je třeba použít vzorce~\ref[sincos].

\midinsert
\centerline{\thistable{\tabstrut{\lower6pt\vbox to18pt{}}\tabiteml{\enspace $}\tabitemr{$\enspace}}
\table{|r|ccccc|}{\crl
   x=              & 0 & {\pi\over6}  & {\pi\over4} & {\pi\over3} & {\pi\over2} \crll
   \hbox{pomůcka}\ \sin x  & {\sqrt0\over2} & {\sqrt1\over2}    & {\sqrt2\over2} &
                       {\sqrt3\over2} & {\sqrt4\over2}       \cr
   \sin x          & 0 & {1\over2} & {\sqrt2\over2} & {\sqrt3\over2} & 1 \cr
   \cos x          & 1 & {\sqrt3\over2} & {\sqrt2\over2} & {1\over2} & 0 \crl
}}
\cskip
\caption/t [sinvalues] Hodnoty funkcí $\sin$, $\cos$ ve vybraných bodech.
Pomůcka k zapamatování: $\sin$ je na $\<0,\pi/2\>$ rostoucí, pište tedy 0, 1, 2, 3, 4,
doplňte odmocniny a vydělte dvěma.
\endinsert

\para{Funkce tg a cotg}
Tyto funkce jsou definované vzorci $\tg x = {\sin x\over\cos x}$,
$\cotg x = {\cos x\over\sin x}$. Jmenovatel ve vzorci pro $\tg$ je nulový
(vzorec selže) v bodech $\pi/2 + k\pi$, takže definičním oborem funkce
$\tg$ stanovíme množinu $\R\setminus\{\pi/2 + k\pi;\; k\in\Z\}$. Limity v krajních
bodech definičního oboru, tj. limity v bodech vyňatých z definičního oboru
jsou zprava $-\infty$ a zleva $\infty$. Funkce  $\tg$ je na každé souvislé části
svého definičního oboru spojitá a rostoucí. Jejím oborem hodnot je $\R$.
Analogicky si rozmyslíme vlastnosti $\cotg$: definičním oborem 
je $\R\setminus\{0 + k\pi;\; k\in\Z\}$,
limity v krajních bodech definičního oboru zprava jsou $\infty$ a zleva
$-\infty$, funkce je spojitá a klesající na každé souvislé čísti svého
definičního oboru. Jejím oborem hodnot je $\R$. Derivaci spočítáme podle
věty o derivaci podílu, například:
$$
   (\tg x)' = \autop.(\sin x \over cos x)' = 
   {\cos x \cos x - \sin x \,(-\sin x)\over \cos^2 x} = 
   {\cos^2 x + \sin^2 x \over \cos^2 x} = {1 \over \cos^2 x} 
$$

\npara{Cyklometrické funkce arccos, arcsin, arctg, arccotg}
Redukujeme-li definiční obor funkce $\cos$ na interval $\<0,\pi\>$, 
funkce $\sin$ na interval $\<-\pi/2,\pi/2\>$,
funkce $\tg$ na interval $(-\pi/2,\pi/2)$ a  
funkce $\cotg$ na interval $(0,\pi)$, dostáváme prosté funkce.
Inverzní funkce k nim jsou po řadě $\arccos$, $\arcsin$, $\arctg$ a
$\arccotg$. Jejich definiční obory jsou po řadě $\<-1,-1\>$, $\<-1,-1\>$,
$\R$,~$\R$, protože to jsou obory hodnot původních funkcí. Vzorce pro jejich
derivace se odvodí z věty o derivaci inverzní funkce. Na svém definičním
oboru jsou tyto funkce spojité, protože jsou inverzní ke spojitým funkcím. 
Limity v krajních bodech definičních oborů těchto funkcí si čtenář jistě
doplní sám. Derivace spočítáme pomocí věty o derivaci inverzní funkce.
Například pro $y=\tg x$ je:
$$
  (\arctg y)' = {1\over (\tg x)'} = {1\over {1\over \cos^2 x}} =
  {1\over {\sin^2 x + \cos^2 x \over \cos^2 x}} =
  {1\over \tg^2 x + 1} = {1\over y^2 + 1}. 
$$

\sec Limita je nástroj k uchopení nekonečna

V této sekci se budeme podrobně zabývat významem sdělení $\lim_{x\to a} f(x) = L$.
Je to základní stavební kámen při budování matematické analýzy, limitu
potřebujeme například k definici derivace a pomocí derivace provádíme mimo
jiné analýzu funkcí.

Pro začátek předpokládejme, že limitní bod $a$ i limitní hodnota $L$ jsou
konečná čísla. Pak výrazem $\lim_{x\to a} f(x) = L$ chceme říci, že pokud
bereme vzory funkce $f$ {\em nekonečně blízko} bodu $a$, ale {\em vyhneme
se} přímo bodu $a$, pak jsou funkční hodnoty {\em nekonečně blízko} bodu
$L$. Toto není přesná definice, jen intuitivní formulace, která nám pomůže
snáze pochopit, o co tady jde. Matematici používali kalkulus asi sto let
jen na základě takové intuitivní představy. Teprve později objevil Weierstrass
formulaci, pomocí které vyměnil intuitivní pojmy {\em nekonečně blízko},
resp. {\em nekonečně malá veličina} za přesnou a elegantní definici, jíž se
zde také budeme zabývat. Tato definice se pak ve školách předkládá studentům
jako fakt a většinou se zatají skutečnost, že matematikům trvalo více než
sto let, než na ni přišli. Ale studenti ji mají chápat okamžitě.

\para{Hromadný bod, okolí bodu}
Abychom mohli volit vzory funkce $f$ \"nekonečně blízko" bodu $a$, musí
ležet bod $a$ uvnitř definičního oboru funkce nebo aspoň \"nekonečně blízko"
definičního oboru, tedy na jeho hranici. Vyhýbáme se při volbě vzorů přímo
bodu $a$, takže bod $a$ samotný nemusí ležet v definičním oboru (a typicky
taky neleží, protože jinak, jak ukážeme později, je počítání limity celkem nudné).
Skutečnost umístění bodu $a$ \"nekonečně blízko" definičnímu oboru $D$ lze
přesně popsat pomocí pojmu {\em hromadný bod}: Bod $a$ je hromadným bodem 
množiny $D$, pokud pro libovolné okolí bodu $a$ existuje uvnitř tohoto okolí
nějaký prvek $x\in D\setminus\{a\}$.

Ilustrace okolí bodu je názornější v případě bodů v rovině. Opusťme na
chvíli reálnou osu a představujme si okolí bodu v rovině. Okolí bodu $a$ je
kruh se středem v bodě $a$, přesněji množina bodů vzdálená od bodu $a$ maximálně
o nějakou kladnou konstantu $r$. Abychom ověřili, že bod $a$ je hromadným
bodem množiny $D$, zapíchneme do bodu $a$ kružítko a nastavíme nějaký
poloměr $r$ a narýsujeme kruh. Najdeme-li v něm nějaký bod množiny $D$ (mimo
střed $a$), pak musíme zvolit další okolí, tj. stejný střed, ale jiný poloměr.
Pochopitelně nemá smysl se v dalším kroku zabývat okolími s větším poloměrem
než prve, protože tam jistě taky bude stejný bod z množiny $D$. Je tedy
účelné testovat okolí s menším poloměrem. Najdeme-li v něm zase bod z
množiny $D$, je třeba otestovat další okolí s ještě menším poloměrem. Pokud
{\em vždy} najdeme v narýsovaném kruhu (stále menším a menším) nějaký bod z $D$
(mimo střed), pak $a$ je hromadným bodem množiny $D$. Problém je, že naše
práce s kružítkem by v takovém případě trvala nekonečně dlouho. Je to tím,
že vždy musíme volit {\em kladný} poloměr, tj. v dalším kroku určitě půjde
najít nějaký menší kladný poloměr. Na druhou stranu, když se povede najít okolí, ve
kterém (mimo střed $a$) neleží žádný bod z $D$, máme v konečném čase výsledek,
že $a$ není hromadným bodem množiny $D$.

Okolí bodu $a$ na reálné ose je definováno stejně: množina bodů nejvýše
vzdálených od bodu $a$ o nějakou kladnou konstantu $r$, tedy interval
$(a-r,a+r)$. Kružítko můžeme mít zapíchnuté do bodu $a$ stejně jako prve,
ale rýsujeme jím jen dva limitní body na reálné ose.

\para{Definice limity}
Vraťme se nyní k výrazu $\lim_{x\to a} f(x) = L$ s konečnými čísly $a$ a $L$. 
Aby to vůbec dávalo nějaký smysl, musí být $a$ hromadným bodem definičního oboru 
$D$ funkce $f$.
Weierstrassova definice této limity zní: {\em pro každé} okolí $U$ bodu $L$ 
{\em existuje} okolí $V$ bodu $a$ tak, že kdykoli je $x\in D\cap V\setminus\{a\}$,
pak je $f(x)\in U$. Tuto definici lze po rozepsání pojmu okolí přeformulovat na
tvar:
$$
  \forall \epsilon>0\ \exists\, \delta>0\quad
  x\in D\cap(a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\} \Then f(x)\in(L-\epsilon, L+\epsilon)
$$
V této formulaci jsme pro poloměry příslušných okolí použili klasické a staletí
používané označení $\epsilon$ a $\delta$. 
Říká se tomu proto také epsilon-delta definice.

Nyní si uvědomíme, jak tato definice funguje, kam se vytratil původně intuitivní
pojem \"nekonečně blízko". Především díky tomu, že $a$ je hromadným bodem
$D$, je průnik množin v definici vždy neprázdný, takže vždy existuje aspoň jedno
$x$ pro které má smysl se ptát, zda $f(x)\in(L-\epsilon, L+\epsilon)$.
Ale jádro Weierstrassovy myšlenky je skryto jinde, v pořadí dvou kvantifikátorů
$\forall$ $\exists$. To rozehrává hru dvou hráčů: v zájmu prvního
je prokázat, že limita neexistuje nebo není rovna $L$. V zájmu druhého je
obhájit, že limita je rovna~$L$. První hráč začíná a vynáší nějaké
$\epsilon>0$. Druhý má za úkol najít takové $\delta>0$, že se všechny
definované funkční hodnoty se vzory z $(a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\}$
schovají do intervalu $(L-\epsilon,L+\epsilon)$. Když se mu to povede,
pokračuje první hráč. Ten ví, že nemá smysl volit větší $\epsilon$ než prve,
protože protihráči by pak stačilo odpovědět stejným $\delta$, jako prve. Takže
volí $\epsilon$ menší. Na to zareaguje druhý hráč případně jiným $\delta$,
pak hraje zase první hráč atd. Takto se hráči mohou bavit nekonečně dlouho,
pokud limita existuje a je rovna~$L$. Hra končí, pokud se povede prvnímu
hráči dát soupeři mat, tj. najít takové $\epsilon>0$, že soupeř nemá šanci
najít potřebné $\delta>0$, tj. limita se nerovná $L$ nebo neexistuje. 

To vypadá, že Weierstrass svou definicí jen přešel z bláta do louže, protože
intuitivní frázi \"nekonečně blízko" nahradil nekonečným soubojem dvou hráčů,
takže se intuitivního pojmu \"nekonečno" nezbavil. To není pravda. Snaha druhého
hráče totiž je vymyslet univerzální algoritmus, jak pro jakékoli $\epsilon>0$ vytvořit
$\delta$ požadovaných vlastností. Je-li to konečný algoritmus, typicky
nějaký vzorec, pak stačí ověřit, že tento vzorec funguje pro obecné
$\epsilon>0$ a hra končí. První hráč nemá šanci vyhrát, uvědomí si to
pohledem na protihráčův algoritmus a položí krále. To se stane v konečném
čase. Limita existuje a je rovna~$L$. Elegantním způsobem jsme se zbavili
intuitivního nekonečna. Dokážete to ocenit? Pokud ne, není Weierstrassova
definice limity určena pro Vás.

Uvedeme dva příklady, které vypadají, že jsou o ničem, ale přitom jsou
základem počítání limit.

\label[limc]
\priklad[Limita konstanty]
Nechť $f:\R\to\R$ je dána vzorcem $f(x)=c$. Pak pro jakékoli $a\in\R$ je 
$\lim_{x\to a} f(x) = c$. Dokážeme to z Weierstrassovy definice limity.
Ta se dá přeformulovat do tvaru:
$$
  \forall \epsilon>0\ \exists\, \delta>0\quad
  x\in (a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\} \Then c\in(c-\epsilon, c+\epsilon).
$$
Tady to první hráč vzdává ještě před prvním tahem, protože vidí, že $c$ bude
ležet v intervalu $(c-\epsilon,c+\epsilon)$ pro jakékoli $\epsilon>0$. Druhý
hráč nemusí nic dělat. Pokud by přeci jenom první hráč táhnul, druhý z nich 
zvolí třeba $\delta=42$. Je tedy $\lim_{x\to a} f(x) = c$.

\label[limx]
\priklad[Dosazení konečné hodnoty]
Dokážeme $\lim_{x\to a} x = a$. Rozepsání definice vypadá takto:
$$
  \forall \epsilon>0\ \exists\, \delta>0\quad
  x\in (a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\} \Then x\in(a-\epsilon, a+\epsilon).
$$
Druhý hráč si připraví algoritmus na výrobu $\delta$, když dostane
$\epsilon>0$. Ten algoritmus zní: $\delta=\epsilon$.
Nyní při pohledu na část definice 
$x\in(a-\epsilon,a+\epsilon)\setminus\{a\}\Then x\in(a-\epsilon,a+\epsilon)$
to první hráč vzdává. Limita tedy je rovna~$a$.

\para{Zavedení symbolů $\infty$ a $-\infty$}
Definice limity nabírá na ještě větší eleganci, pokud zobecníme pojem okolí
bodu $a$ i pro případy $a=\infty$ a $a=-\infty$. Pak můžeme připustit, že se
ve výrazu $\lim_{x\to a} f(x) = L$ vyskytuje symbol $\infty$ nebo $-\infty$
v místě $a$, v místě $L$ nebo na obou těchto místech.   

Okolí bodu $\infty$ definujeme jako všechna reálná čísla větší než stanovená mez
$M\in\R$. Okolí bodu $-\infty$ jsou všechna reálná čísla menší než stanovená
mez $M\in\R$. Všimněte si, že tím jsme do analýzy zavedli znaky $\infty$ a
$-\infty$ použitelné v limitách, tj. při počítání limit. 
Přitom na jejich zavedení jsme intuitivní pojem \"nekonečno" nepotřebovali.
Opravdu, nepotřebujeme píchat kružítkem kamsi do nekonečna (což ani nejde),
stačí nám nakreslit na reálné ose bod $M$ a prohlásit za okolí bodu $\infty$
všechna čísla větší než tento bod. Budeme se znaky $\infty$ a $-\infty$
nadále zacházet důsledně v souladu s Weierstrassovou definici limity, a tím se
neopíráme o žádnou intuici.

Reformulace Weierstrassovy definice v případě, že některé okolí je 
okolím bodu $\infty$ nebo $-\infty$ vyžaduje v daném místě definice
opustit poloměry $\epsilon>0$ či
$\delta>0$ a nahradit je mezemi $M\in\R$ resp. $K\in\R$ a příslušnost $x$
nebo $f(x)$ danému okolí formulovat pomocí odpovídající nerovnosti.

\priklad[Dosazení nekonečna] Ukážeme, že $\lim_{x\to\infty} c = c$,
$\lim_{x\to\infty} x = \infty$, $\lim_{x\to\infty} {1\over x} = 0$. 
Rozepíšeme první limitu:
$$
   \forall \epsilon>0\ \exists\, M\in\R \quad
   x > M \Then c\in (c-\epsilon, c+\epsilon).
$$
Vidíme, že to platí pro všechna $\epsilon>0$ a jakoukoli volbu $M$,
například $M=42$. Druhá limita:
$$
   \forall K\in\R\ \exists\, M\in\R \quad  x > M \Then x > K.
$$
Druhý hráč si připraví algoritmus $M=K$ a první hráč se vzdává. Limita
existuje a je rovna $\infty$.\nl 
Třetí limita:
$$
   \forall \epsilon>0\ \exists\, M\in\R \quad
   x > M \Then {1\over x} \in (-\epsilon, \epsilon).
$$
Rozhodneme se jako druhý hráč volit $M$ aspoň větší než~0, ale to nebude
stačit. Závěrečné sdělení v definici přepíšeme pomocí nerovností na
$-\epsilon<1/x<\epsilon$. Protože je $x>M>0$ a také $\epsilon>0$, platí
určitě $-\epsilon<0<1/x$. Potřebujeme ještě zajistit platnost druhé
nerovnosti. Vynásobíme ji $x$ a vydělíme $\epsilon$ (obojí jsou kladná čísla)
a dostaneme $1/\epsilon<x$. Stačí tedy volit $M=1/\epsilon$ (to je
algoritmus druhého hráče) a bude platit, že pro $x>M=1/\epsilon$ je 
${1/x}\in (-\epsilon,\epsilon)$. První hráč se 
vzdává a limita je tedy rovna nule.

Třetí limita intuitivně říká, že po vydělení jedničky nekonečně velkým
číslem dostáváme číslo nekonečně blízko nule. Ale výpočet není vůbec
postaven na intuici, ale na použití exaktní definice limity.

Analogicky bychom mohli prozkoumat tyto limity pro $x\to-\infty$.

\medskip

\para{Limity zprava a zleva}
Intuice pro limitu říká, že když se k bodu $a\in\R$ blížíme nekonečně
blízko, jsou funkční hodnoty nekonečně blízko $L$. Pod slovem \"blížíme" si
můžeme představit nějaké nekonečné putování k bodu $a$, které můžeme zahájit
zprava nebo zleva od bodu $a$. A nyní přesně: když redukujeme okolí bodu $a$ jen
na body z tohoto okolí, ale větší než $a$, máme pravé okolí bodu $a$. Je to interval
$(a,a+\delta)$. Naopak, interval $(a-\delta,a)$ je levé okolí bodu~$a$.
Pokud druhý hráč místo okolí bodu $a$ používá pravé okolí bodu $a$, dostaneme
limitu zprava, značíme ji $\lim_{x\to a^+} f(x)$. Pokud používá levé okolí,
dostaneme limitu zleva, značíme ji $\lim_{x\to a^-} f(x)$.  

Poznamenejme, že $\lim_{x\to\infty} f(x)$ je vždy limitou zleva a 
$\lim_{x\to-\infty} f(x)$ je vždy limitou zprava, ačkoli to explicitně neříkáme a
ani neznačíme.

\label[lim/0]
\priklad [Limita k bodu dělení nulou]
Ukážeme, že $\lim_{x\to0^+} {1\over x} = \infty$ a $\lim_{x\to0^-} {1\over x} = -\infty$.

Začneme prvním případem, který přepíšeme pomocí definice limity zprava:
$$
   \forall M\in\R\ \exists\, \delta>0\quad
   x\in (0,\delta) \Then {1\over x}> M.
$$
Kdyby první hráč zvolil nekladné $M$, máme na to odpověď $\delta=42$ a
podmínka v definici je splněna. Co když ale zvolí $M$ kladné?
Protože $x\in (0,\delta)$, je $x$ kladné a $\delta>x$. Máme ukázat, že pak
$1/x>M$, což je ekvivalentní s nerovností $1/M>x$. Volíme-li tedy
$\delta=1/M$, budeme mít algoritmus na výrobu $\delta$ i pro kladné $M$, 
který zaručí platnost závěrečného tvrzení.
Limita je tedy rovna~$\infty$.
Přepíšeme druhý případ podle definice limity zleva:
$$
   \forall M\in\R\ \exists\, \delta>0\quad
   x\in (-\delta,0) \Then {1\over x} < M.
$$
Kdyby první hráč zvolil nezáporné $M$, máme na to odpověď $\delta=42$ a
podmínka v definici je splněna. Co když ale zvolí $M$ záporné?
Protože $x\in (-\delta,0)$, je $x$ záporné a $-\delta<x$. Máme ukázat, že pak
$1/x<M$, což je ekvivalentní s nerovností $1/M<x$ (dvakrát jsme násobili
záporným číslem). Volíme-li tedy
$\delta=-1/M$, budeme mít algoritmus na výrobu $\delta$ i pro záporné $M$, 
který zaručí platnost závěrečného tvrzení. 
Limita je tedy rovna~$-\infty$.

Jakmile limita zprava se nerovná limitě zleva, limita oboustranná
neexistuje. To je tento případ. Intuitivní sdělení tohoto příkladu říká:
dělíme-li jedničku číslem nekonečně blízkým nule, ale kladným, máme
nekonečný výsledek. Dělíme-li jedničku číslem nekonečně blízkým nule, ale záporným,
máme výsledek v blízkosti mínus nekonečna.

\label[sininfty]
\priklad Ukážeme, že $\lim_{x\to\infty} \sin x$ neexistuje.
Tentokrát vítězí první hráč hned prvním tahem, ačkoli si tipneme jakoukoli
hodnotu limity. Tipneme-li si hodnotu $\infty$, stačí prvnímu hráči zvolit
mez $K=2$. Je totiž zřejmé, že všechny funkční hodnoty funkce $\sin x$ jsou
menší než 2, takže leží zcela mimo okolí bodu $\infty$ stanovené mezí~2.
Analogicky pro hodnotu $-\infty$ zahájí první hráč hru volbou meze $K=-2$ a
druhý hráč je namydlený. Měla-li by být limita nějaké číslo $c>0$, zvolí
první hráč $\epsilon=c/2$, takže nulové hodnoty jsou mimo interval
$(c-\epsilon,c+\epsilon)$. Jenže funkce $\sin x$ se k nulovým hodnotám vrací
pro každé $k\pi$, $k\in\Z$, Takže se nám nepodaří najít mez
$M\in\R$ tak, aby pro $x>M$ byly všechny funkční hodnoty $\sin x$ uvnitř
intervalu $(c-\epsilon,c+\epsilon)$. Podobně to vypadá pro $c<0$, kdy první
hráč volí $\epsilon=-c/2$. Konečně limita nemůže být rovna nule, protože první
hráč zvolí $\epsilon=1/2$, takže jedničkové hodnoty jsou mimo interval 
$(-1/2,1/2)$. Jenže funkce $\sin x$ se k jedničkovým hodnotám tvrdohlavě
opakovaně vrací v bodech $\pi/2+2k\pi$. Nelze tedy najít mez $M$, aby funkce
měla pro všechny $x>M$ své hodnoty uvnitř intervalu $(-\epsilon,\epsilon)$.

\label[limexp]
\priklad [limity v krajních bodech definičního oboru exp]
O funkci $e^x$ víme, že je rostoucí a všude kladná. Ukážeme, že
$\lim_{x\to-\infty} e^x = 0$ a $\lim_{x\to\infty} e^x = \infty$.
První limitu podle definice rozepíšeme na
$$
   \forall \epsilon>0\ \exists\, M\in\R \quad
   x < M \Then e^x\in (-\epsilon, \epsilon).
$$
Nerovnost $e^x>-\epsilon$ je splněna vždy, protože $e^x$ je kladná.
Pro dané $\epsilon$ tedy stačí najít $M$ aby pro $x<M$ bylo $e^x<\epsilon$.
Zlogaritmováním této nerovnosti (logaritmus je rostoucí) 
dostáváme $x<\ln\epsilon$. Takže stačí volit $M=\ln\epsilon$.

Druhou limitu přepíšeme podle definice na
$$
   \forall K\in\R\ \exists\, M\in\R \quad
   x > M \Then e^x > K.
$$
Zlogaritmováním poslední nerovnosti máme $x>\ln K$, takže pro dané $K$ stačí
volit $M=\ln K$.

\para{Limity posloupností}
Posloupnost není nic jiného než funkce s definičním oborem $\N\subset\R$.
Místo zápisu funkční hodnoty $f(n)$ je obvyklejší v tomto případě psát $f_n$.
Limity funkcí pro $x\to a$ lze počítat jen pro takové body $a$, které jsou
hromadnými body definičního oboru. Definiční obor $\N$ má jediný hromadný
bod a tím je $\infty$. Limity posloupností tedy můžeme počítat výhradně pro
$x\to\infty$. Přepis obecné definice limity pak vypadá například pro
konečnou hodnotu $L$ takto:
$$
   \forall\epsilon>0\ \exists\,M\in\R \quad
   n\in\N, n > M  \Then f_n \in (L-\epsilon, L+\epsilon)
$$
Místo podmínky $n>M$ se píše $n\ge n_0$, přitom $n_0$ je první
přirozené číslo větší než mez $M$.
A s podmínkou $f_n \in (L-\epsilon, L+\epsilon)$
se často setkáváme v ekvivalentním tvaru $|f_n-L|<\epsilon$. Takže
definice limity posloupnosti pro konečné $L$ zní:
$$
   \forall\epsilon>0\ \exists\, n_0\in\N \quad
   n > n_0 \Then |f_n - L| < \epsilon
$$
Protože často posloupnostmi výuka matematické analýzy začíná, je toto asi
první definice limity, kterou přitom studenti potkají. K tomu jsou samozřejmě
připojeny formulace pro případ, že $L=\infty$ nebo $L=-\infty$, při nichž
musíme místo okolí o poloměru $\epsilon$ použít okolí nekonečna 
s mezí $K\in\R$. Třeba pro $L=\infty$ definice vypadá takto:
$$
   \forall\,K\in\R\ \exists\, n_0\in\N \quad
   n > n_0 \Then f_n > K
$$
Této skutečnosti se říká, že \"posloupnost roste nade všechny meze", protože
zvolíte-li jakkoli velikou mez~$K$, od jistého $n_0$ se posloupnosti podaří
ji přerůst.

\para{Cauchyovské posloupnosti}
Motivaci k zavedení tohoto pojmu byla potřeba nějak korektně přejít z
racionálních čísel (se kterými umíme počítat) k reálným číslům. Tj.
definovat reálná čísla. Ukazuje se, že libovolné reálné číslo může být
limitou posloupnosti racionálních čísel. Protože ale pro $L$
iracionální neumíme racionálním způsobem vypočítat $|f_n - L|$ 
(jsme v situaci, kdy teprve chceme reálná čísla definovat), potřebujeme
jinak poznat, že posloupnost je konvergentní. Ukazuje se, že k tomu slouží
Bolzanova-Cauchyova podmínka:
$$
   \forall\epsilon>0\ \exists\, n_0\in\N \quad
   m, n > n_0 \Then |f_n - f_m| < \epsilon
$$
Posloupnost splňující tuto podmínku se nazývá Cauchyovská. Množinu reálných
čísel je pak možné definovat jako množinu všech Cauchyovských posloupností
racionálních čísel, ovšem musíme mezi sebou ztotožnit všechny Cauchyovské posloupnosti, které
konvergují ke stejné hodnotě. Součet, rozdíl, součin a podíl reálných čísel
se pak definuje jako limita součtu, rozdílu, součinu a podílu odpovídajících
Cauchyovských posloupností racionálních čísel.

Cauchyovské posloupnosti racionálních čísel tedy mohou konvergovat k něčemu
novému, i k iracionálním číslům. Na druhé straně Cauchyovské posloupnosti
reálných čísel už k ničemu novému nekonvergují, výsledkem jsou zase jen
reálná čísla. Množinám s touto vlastností se říká úplné. Množina reálných
čísel je úplná. Pro reálná čísla platí tvrzení: posloupnost má konečnou
limitu, právě když pro ni platí Cauchyovská pomínka.

\para{Heineho věta}
Intuitivně: při vyhodnocení $\lim_{x\to a} f(x)$ je třeba se projít k bodu
$a$ a přitom samotnému bodu $a$ se musíme vyhnout, ale \"nekonečně blízko" se k
němu přiblížit. Je potřeba tuto procházku provést podél
všech reálných čísel z definičního oboru funkce $f$, 
které jsou \"nekonečně blízko" bodu $a$. Když procházku
provedeme jen podél některých takových reálných čísel nekonečně se blížících
k bodu $a$, pak zákonitě musíme dojít ke stejnému výsledku. 
Přesněji znění Heineho věty: Je-li $\lim_{x\to a} f(x) = L$ pak
pro každou posloupnost $x_n$ splňující $x_n\to a$, $x_n\ne a$ je 
$\lim_{n\to\infty} f(x_n) = L$. Věta platí i obráceně, ale musíme skutečně
použít všechny posloupnosti $x_n$ s uvedenou vlastností, nestačí jen některé. Například
posloupnost $x_n = n\pi$ splňuje $x_n\to\infty$, $x_n\ne\infty$, ale z
faktu že $\lim_{n\to\infty} \sin x_n = \lim_{n\to\infty} 0 = 0$ nemůžeme
soudit, že $\lim_{x\to\infty} \sin x = 0$. V příkladu~\ref[sininfty]
jsme ukázali, že tato limita neexistuje. A skutečně, pokud zvolíme jinou
$y_n = \pi/2 + 2n\pi$, která splňuje $y_n\to\infty$, $y_n\ne\infty$, 
shledáme, že $\lim_{n\to\infty} \sin y_n = 1$. Platí, že pokud se
toto přihodí (procházka ke stejnému bodu podél různých posloupností dává
různé výsledky), máme záruku, že zkoumaná limita funkce neexistuje.


\sec Spojitost, počítání limit

\para{Věta o limitě + − $\cdot$ /}
Nechť $a\in\R\cup\{\infty,-\infty\}$ je hromadným bodem definičních oborů
funkcí $f$ a $g$. Pak platí:
$$
\let\ds=\displaystyle
\eqalign{
  \lima f(x)+g(x) = \lima f(x)+\lima g(x), &\quad
  \lima f(x)-g(x) = \lima f(x)-\lima g(x), \cr
  \lima f(x)\cdot g(x) = \lima f(x)\cdot \lima g(x), &\quad
  \lima {f(x)\over g(x)} = {\ds\lima f(x) \over \ds\lima g(x)},
}
$$
za předpokladu, že existují limity na pravých stranách rovností 
a příslušná operace na pravé straně rovnosti je
přípustná. Přípustné operace jsou operace s konečnými čísly s výjimkou dělení nulou
a dále některé operace se symboly $\infty$ a $-\infty$ vyjmenované v textu
níže v odstavci \"počítání limit: pravidla pro nekonečno". 
Je-li tento předpoklad splněn, je
zaručena existence limit na levých stranách rovností. 

Toto je zcela zásadní věta, o kterou se často opírá argumentace v následujícím textu,
kde budeme hovořit o spojitosti a o metodách počítání limit. Její důkaz je
technický a celkem nudný a najdete jej v každé učebnici matematické analýzy.
Důkaz se pochopitelně opírá o definici limity.

\para{Spojitost funkcí}
Připomínám, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, když $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$,
funkce je spojitá na intervalu, je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu.
Dále z příkladů~\ref[limc] a~\ref[limx] plyne, že konstantní funkce $f(x)=c$ a
identická funkce $f(x)=x$ jsou spojité pro libovolné $a\in\R$, tedy jsou
spojité na $\R$. Dále z věty o limitě $+-\cdot/$
plyne, že funkce daná jakýmkoli vzorečkem obsahujícím
konstanty, proměnnou $x$ a operace sčítání, odčítání, násobení, dělení je
spojitá na svém definičním oboru. Ilustrujeme si to na příkladu.

\priklad Funkce $f:\R\to\R$ daná vzorečkem $f(x)=x^2-5x$ je spojitá na svém
definičním oboru. Je to proto, že:
$$
   \lima x^2-5x = \lima x\cdot x - \lima 5x = \lima x\lima x - \lima 5\lima x
   = a\cdot a - 5\cdot a = a^2 - 5a. 
$$
Užili jsme zmíněnou větu a výsledky příkladů~\ref[limc] a~\ref[limx]. 
To, co jsme právě předvedli, nazývám \"dosazovací pravidlo" a je to základní
nástroj pro počítání limit.

\medskip
Věta o limitě $+-\cdot/$ má důležitý dovětek, že jednotlivá tvrzení platí,
pokud příslušná operace s hodnotami limit je přípustná. Když jsou tyto
hodnoty limit konečné a nedělí se nulou, pak jsou všechny operace přípustné 
a dosazovací pravidlo funguje
bez překážek. To znamená, že lze dosadit do libovolného vzorečku obsahující sčítání,
odčítání, násobení, dělení, a mimo dělení nulou máme zaručený výsledek.
Funkce dané takovými vzorci jsou tedy na svém definičním oboru spojité,
protože k dělení nulou dochází jen v bodech, kde funkce samotná není
definovaná, a tam se na spojitost neptáme.

Dokonce máme ještě silnější výsledek: všechny elementární funkce $\exp$,
$\ln$, $\sqrt{\phantom{x}}$, $\cos$, $\arccos$ atd. zmíněné v
sekcích~\ref[mocnina] až~\ref[gonio] jsou spojité na svém definičním oboru, dále
platí věta o tom, že složení spojitých funkcí je spojitá funkce. Když toto
vše dáme dohromady, vidíme, že jakýkoli vzoreček obsahující proměnnou,
konstanty a elementární funkce jakkoli do sebe vnořené definuje spojitou
funkci. Lapidárně řečeno: chcete-li zadat funkci jediným takovým vzorečkem,
nespojitou funkci nevyrobíte.   

Je pravda, že spojitost poznáme podle souvislosti grafu funkce. Někdo může
namítnout, že třeba funkce $f(x)=1/x$ není spojitá, protože nemá všude
souvislý graf, ovšem to není pravda. O
spojitosti mluvíme jen na definičním oboru funkce. V bodě~0 tato funkce není
definovaná, takže otázku na její spojitost v tomto bodě vůbec nepokládáme. Něco
jiného by bylo, kdybychom této funkci přidali dodatečnou funkční hodnotu
třeba $f(0)=17$, Pak je nová funkce definovaná na celém $\R$ a v bodě 0
spojitá není. Limita v bodě 0 neexistuje, zatímco funkční hodnota je~17. 

\para{Nespojité funkce}
Nespojitou funkci můžeme zadat tak, že v algoritmu pro výpočet hodnoty
funkce použijeme více než jeden vzoreček. Typickým příkladem je funkce $\sgn$
zadaná třemi vzorečky:
$$
   \def\+{\phantom+}
   \sgn x = \cases{\+1 & pro $x>0$,\cr \+0 & pro $x=0$,\cr -1 & pro $x<0$.}
$$
\"Na rozhraní" vzorečků pak může vzniknout nespojitost. V tomto příkladě 
je zřejmě $\lim_{x\to 0^+} \sgn x = 1$, $\lim_{x\to 0^-} \sgn x = -1$, takže limita
(oboustranná) v bodě 0 neexistuje. 
Na rozhraní vzorečků můžeme spočítat jednostranné limity dosazením
do příslušného vzorečku, protože věta o limitě $+-\cdot/$ platí i pro
jednostranné limity. 
Funkce $\sgn x$ je na intervalech $(-\infty,0)$ a
$(0,\infty)$ spojitá, ale v bodě 0 spojitá není.

Jiným příkladem nespojité funkce je $f:\R\to\R$, pro kterou stanovíme
$f(x)=0$ pro $x$ racionální a $f(x)=1$ pro $x$ iracionální. Tato funkce není
spojitá v žádném bodě svého definičního oboru, limity (dokonce ani
jednostranné) neexistují. Můžeme to zdůvodnit z Heineho věty. 
Pro $a\in\Q$ máme $\lim_{n\to\infty} f(a+1/n) = 0$ a 
$\lim_{n\to\infty} f(a+\sqrt2/n) = 1$,
takže $\lim_{x\to a} f(x)$ neexistuje.
Pro $a\not\in\Q$ je naopak $\lim_{n\to\infty} f(a+1/n) = 1$.
Dále mezi $a$ a $a+1/n$ se jistě nalézají čísla $x_n\in\Q$, pro něž pak je
$x_n\to a$ a $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = 0$, takže $\lim_{x\to a} f(x)$ neexistuje. 

\para{Počítání limit: pravidla pro nekonečno}
Pokud některá limita na pravé straně některé rovnosti z věty o limitě $+-\cdot/$
má hodnotu $\infty$ nebo $-\infty$, stále může
být příslušná operace přípustná. Seznam takových operací následuje a je
součástí \"rozšířeného dosazovacího pravidla" při počítání limit. Pro
$A,B,C\in\R$, $B>0$, $C<0$ platí: 
$$
  \displaylines{
  \infty+\infty=\infty, \quad  
  -\infty-\infty=-\infty, \quad 
   A+\infty=\infty,\quad A-\infty=-\infty,\cr
   B\cdot\infty = \infty,\quad  C\cdot\infty=-\infty,\quad 
  \infty\cdot\infty=\infty,\quad  -\infty\cdot\infty=-\infty,\cr 
  {1\over \infty}=0,\quad  {1\over -\infty}=0,\quad
  {1\over 0^+}=\infty,\quad  {1\over 0^-}=-\infty.
  }
$$
Každý z těchto výrazů byl našimi matematickými předky nejprve dokázán z definice limity a poté jej
můžeme při počítání limit při dosazování používat. Například poslední dva
výrazy jsme dokázali v příkladu~\ref[lim/0]. Nebudeme dokazovat všechno,
následující příklad ukazuje důkaz jen jednoho dalšího pravidla pro
ilustraci, abychom viděli, jak se to dělá pořádně. Na
druhou stranu je celkem zřejmé, že tyto vzorečky není nutné se učit
bezmyšlenkovitě zpaměti, protože z intuitivního uvažování o 
\"nekonečně velkých" a \"nekonečně malých" veličinách nám jistě vytanou na
mysli tytéž vzorce.

\priklad Dokážeme dosazovací pravidlo $A+\infty=\infty$. Máme tedy přesně
dokázat, že pokud $\lim_{x\to a} f(x)=A$, $\lim_{x\to a} g(x) = \infty$,
pak $\lim_{x\to a} \bigp.(f(x)+g(x)) = \infty$. První dva předpoklady se dají
podle definice limity rozepsat takto:
$$
\eqalign{
   \forall \epsilon>0\ \exists\,\delta_1>0 \quad
      & x\in D\cap (a-\delta_1,a+\delta_1)\setminus\{a\} \Then
      f(x) \in (A-\epsilon, A+\epsilon), \cr
   \forall K\in\R\ \exists\,\delta_2>0 \quad
      & x\in D\cap (a-\delta_2,a+\delta_2)\setminus\{a\} \Then
      g(x) > K. 
}
$$
Máme dokázat:
$$
   \forall M\in\R\ \exists\,\delta>0 \quad
   x\in D\cap (a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\} \Then
   f(x)+g(x) > M.
$$
Dostaneme od prvního hráče $M$ a v roli druhého hráče máme vymyslet
algoritmus, jak z toho $M$ vyrobit $\delta$ požadovaných vlastností.
Z existence první limity víme, že pro volbu $\epsilon=1$ bude existovat
$\delta_1$ tak, že pro $x\in D\cap (a-\delta_1,a+\delta_1)\setminus\{a\}$
je $f(x) \in (A-1, A+1)$, tedy zaručeně $f(x)>A-1$. Díky existenci druhé
limity víme, že když zvolíme $K=M-A+1$, pak bude existovat $\delta_2$
takové, že pro $x\in D\cap (a-\delta_2,a+\delta_2)\setminus\{a\}$
je $g(x)>M-A+1$. Pro $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ budou platit obě
nerovnosti současně. Sečteme-li je, dostáváme $f(x)+g(x)>A-1+M-A+1=M$.
Takže máme algoritmus na výrobu $\delta$ a skutečně je
$\lim_{x\to a} \bigp.(f(x)+g(x)) = \infty$. Povšimneme si, že jsme vzorec
dokázali jen pro konečný bod $a\in\R$, ale kdyby mělo být $a=\infty$ nebo
$a=-\infty$, postup důkazu by byl skoro stejný. Obecně se v těchto důkazech
pracuje s okolím $U_1$ bodu $a$ a s okolím $U_2$ bodu $a$ v předpokladech a
v závěru se sestaví okolí $U=U_1\cap U_2$ bodu $a$, pro nějž platí obě nerovnosti
současně. 

Důkazy vzorečků rozšířeného dosazovacího pravidla bývají obvykle v
učebnicích skryty jako součást důkazu věty o limitě $+-\cdot/$ a tudíž při
studiu může čtenáři snadno uniknout jejich klíčový význam. Díky těmto
důkazům totiž máme exaktně podložená pravidla na počítání s nekonečny při
vyhodnocování limit. Ilustrujeme si použití tohoto kalkulu v následujícím
příkladě.

\priklad Spočítáme následující dvě limity.
$$
\eqalign{
   \lim_{n\to\infty} {n^2 + 5n - 127 \over -17} &=
   {\infty\cdot\infty + 5\cdot\infty - 127\over -17} =
   {\infty + \infty -127\over -17} = {\infty-127\over -17} =
   {\infty\over -17} = {-1\over17}\cdot\infty = -\infty \cr
   \lim_{x\to 0} {x-3 \over x^2} &=
   {-3\over 0^+} = -3\cdot {1\over 0^+} = -3\cdot \infty = -\infty.
}
$$
Protože se ve vzorečcích při počítání limit vyskytují elementární funkce
$\exp$, $\ln$, $\sqrt{\phantom{x}}$, $\tg$, $\arctg$ a další, je třeba znát
jejich limity v krajních bodech jejich definičních oborů. Pak je možné
rozšířit rozšířené dosazovací pravidlo o další vzorce odpovídající hodnotám
těchto limit. Například $e^{-\infty} = 0$, $e^\infty = \infty$, 
$\ln 0^+=-\infty$, $\ln\infty = \infty$, $\sqrt\infty = \infty$,
$\tg(\pi/2)^- = \infty$, $\tg(\pi/2)^+ = -\infty$, $\arctg\infty = \pi/2$
atd. První dva vzorce jsme ověřili v příkladě~\ref[limexp], ostatní by bylo
třeba ověřit podobným způsobem. Upozorňuji ale, že definiční obory těchto
funkcí v žádném případě nerozšiřujeme o krajní body a neprohlašujeme, že
funkční hodnota nějaké funkce v nějakém bodě je nekonečno. Existuje dobrý
důvod nechat funkce takové, jaké jsou jen s konečnými funkčními hodnotami.
Uvedené vzorečky je možno použít výhradně jen v kontextu počítání limit v rozšířeném
dosazovacím pravidle. Proto takové výrazy dávám při počítání limit do
hranaté závorky, abych dal najevo, že jsem použil rozšířené dosazovací
pravidlo.

\label[limq^x]
\priklad Ukážeme, že $\lim_{x\to\infty} q^x = 0$ pro $q\in(0,1)$.
$$
   \lim_{x\to\infty} q^x = \lim_{x\to\infty} e^{x \ln q} = [e^{-\infty}] = 0.
$$
Je totiž $\ln q<0$ pro $q\in(0,1)$. Ve škole jste se možná místo toho učili
totéž zapisovat takto:
$$
   \lim_{x\to\infty} q^x = \lim_{x\to\infty} e^{x \ln q} = 
   \lim_{y\to-\infty} e^{y} = 0, \quad (\hbox{substituce
   $y=x\ln q$, přitom je } \lim_{x\to\infty} x\ln q = -\infty). 
$$

Měli-li bychom při počítání limit používat jen rozšířené dosazovací
pravidlo jako v předchozích dvou příkladech, byla by to děsná nuda.
Existují ovšem situace při
počítání limit, se kterými se musíme vypořádat daleko
sofistikovanějším způsobem. O nich je následující text. Studenti 
v písemkách potkávají výhradně tento další typ limit, protože učitelé
nechtějí dělat písemku nudnou.

\para{Počítání limit: neurčité výrazy}

V seznamu rozšířených dosazovacích pravidel některé situace, které
ovšem nastat mohou, chybějí:
$$
  {\infty - \infty},\quad {0\cdot\infty},\quad
  {0\over 0}, \quad {\infty\over\infty}. 
$$
To jsou nepřípustné operace, pro které nám věta $+-\cdot/$ nedává žádnou
záruku, jak to dopadne. Říkáme jim neurčité výrazy, protože to nakonec může
dopadnout jakkoli. Například následující limity jsou při pokusu o dosazení
typu $0/0$, ale mají různé výsledky:
$\lim_{x\to0} x/x^2$ neexistuje,
$\lim_{x\to0} x^2/x = 0$,
$\lim_{x\to0} 17x/x = \nobreak 17$,
$\lim_{x\to0} x/x^3 = \infty$. 

Dojde-li při pokusu o použití rozšířeného dosazovacího pravidla k neurčitému
výrazu, je potřeba vzoreček přeformulovat tak, aby dával stejné hodnoty, ale
bylo v něm patrné, že se dá něco krátit, odečíst atd. a tím se neurčitého
výrazu zbavit. Ve výše uvedeném příkladu je zcela jasné, jak máme krátit,
ale nejnapínavější to je v případech, kdy je třeba to krácení pomocí
reformulace vzorečku nejdříve nějak obnažit. A tomu se věnují veškeré
příklady na počítání limit, se kterými se studenti potýkají. Hlavní vzkazy
pro počítání takových příkladů jsou: Po každé reformulaci vzorečku se
pokuste o použití rozšířeného dosazovacího pravidla a uvědomte si, ve které
části vzorečku zůstává neurčitý výraz. Pokud už tam žádný není, použijte
rozšířené dosazovací pravidlo a máte výsledek. Pro různé situace existují
ustálené postupy (např. rozšíření výrazem $1/1$ při problému
$\infty-\infty$). Případ $0\cdot\infty$ se dá snadno převést na $0/0$ nebo
$\infty/\infty$. Na případy $0/0$ nebo $\infty/\infty$ se dá někdy použít
L'Hospitalovo pravidlo. Ovšem toto pravidlo, které využívá kalkulus na
derivace, nelze použít, když teprve vzoreček pro tento kalkulus počítáním
limity odvozujeme. To bychom se dostali do argumentačního kruhu.

\label[limpolynom]
\priklad Spočítáme:
$$
\eqalign{
   \lim_{n\to\infty} {2n^2 - 5n + 16 \over 3n^2 + 17n} &= \Bigp.[\infty\over\infty] =
   \lim_{n\to\infty} {2n^2(1 - {5\over 2n} + {16\over 2n^2}) 
              \over  3n^2(1 + {17\over 3n})} =  \cr
        &= \Bigp.[\hbox{krácení}\ {\infty\over\infty}] =
   \lim_{n\to\infty} {2\,(1 - {5\over 2n} + {16\over 2n^2}) \over  3\,(1 + {17\over 3n})} =  
   {2\over 3}\cdot {1+0+0 \over 1+0} = {2\over 3}.
}
$$
Tento příklad ukazuje obvyklý postup: uvědomíme si pokusem o dosazení, že máme
neurčitý výraz $\infty/\infty$, reformulujeme vzorec tak, aby šlo těmi částmi
vzorce, které v čitateli a jmenovateli způsobují $\infty$, pokrátit a nakonec
použijeme rozšířené dosazovací pravidlo. Ten první pokus o dosazení musíme
udělat už s nějakou předchozí zkušeností počítání limit, protože v čitateli
máme neurčitý výraz $\infty-\infty$, který se překoná způsobem
$\lim_{n\to\infty}2n^2-5n = \lim_{n\to\infty}n\bigp.(2n-5) = 
\infty\cdot(\infty-5) = \infty\cdot\infty = \infty$.
To ilustruje další věc: lépe se nám počítají limity, máme-li už nějakou
předchozí zkušenost. Z výsledku tohoto příkladu pak můžeme zaznamenat další
zkušenost pro budoucí použití: počítáme-li limitu podílu polynomů pro
$x\to\infty$, pak při rovnosti jejich stupňů vychází výsledek jako podíl
koeficientů u nejvyšších stupňů. Pokud by ale čitatel měl menší stupeň než
jmenovatel, byla by pak limita rovna nule a když má čitatel větší stupeň než
jmenovatel, pak je výsledkem $\infty$ nebo $-\infty$ v závislosti na znaménku
koeficientu u nejvyšší mocniny. Až budeme příště počítat limitu podílu dvou
polynomů, už to budeme vědět a máme výsledek rovnou (který pak můžeme
uplatnit při použití rozšířeného dosazovacího pravidla v nějakém třeba
složitějším vzorci).

\priklad [různě rychlý růst některých funkcí v nekonečnu]
Všechny funkce $\ln x$, $x^a$, $q^x$ a $x^x$ (pro $a>0$, $q>1$) mají limitu 
v nekonečnu rovnou nekonečnu. Dáme je nyní do podílu a budeme zkoumat limity
těchto podílů.  Máme tedy $\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$, 
$\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty$ a máme spočítat $\lim_{x\to\infty} f(x)/g(x)$. 
Můžeme si to intuitivně představit tak, že ty dvě funkce
soutěží, která se rychleji dostane do nekonečna. Pokud čitatel, máme
výsledek $\infty$, pokud jmenovatel, máme výsledek $0$. Pokud jsou si na tom
rámcově stejně, máme výsledek konečný a pokud jsou si na tom
skoro stejně, je výsledek roven jedné.

V příkladě~\ref[limpolynom] jsme si uvědomili, jak to dopadne, když takto
spolu soutěží dva polynomy. Podobně to dopadne i pro případ
$\lim_{x\to\infty} {x^a/x^b}$. Je-li
$a<b$, pak
$$
   \lim_{x\to\infty} {x^a\over x^b} = \lim_{x\to\infty} x^{a-b} =
   \lim_{x\to\infty} {1\over x^{b-a}} = {1\over\infty} = 0.
$$
Tuto skutečnost budu zapisovat takto: pro $x\to\infty$ a
$a<b$ je $x^a \ll x^b$. Dále je pro $1<p<q$ je:
$$
   \lim_{x\to\infty} {p^x \over q^x} = \lim_{x\to\infty} \Bigp.(p\over q)^x = 0,\quad
   (\hbox{viz též příklad~\ref[limq^x]}),
$$
takže máme $p^x \ll q^x$. Dále pro $a>0$ a $q>0$ spočítáme
$$
  \lim_{x\to\infty} {x^a\over p^x} = \Bigp.[{\infty\over\infty},\,\hosp] = 
  \lim_{x\to\infty} {a\,x^{a-1}\over (\ln p)\, p^x} = [\hosp] = 
  \lim_{x\to\infty} {a(a-1)\,x^{a-2}\over (\ln p)^2\, p^x} = \dots
$$
Vidíme, že opakovaným použitím L'Hospitalova pravidla postupně snižujeme
mocninu v čitateli až se stane, že ta mocnina bude nulová nebo záporná. V
ten okamžik shledáme, že zkoumaná limita má hodnotu~0, takže je $x^a \ll p^x$.
Dále je $\lim_{x\to\infty} p^x/x^x = 0$, protože stačí
zvolit nějaké $q>p$ a máme $p^x < q^x < x^x$ pro $x>q$. Konečně pro $a>0$ je
$$
  \lim_{x\to\infty} {\ln x\over x^a} = \Bigp.[{\infty\over\infty},\,\hosp] =
  \lim_{x\to\infty} {1/a\over ax^{a-1}} = \lim_{x\to\infty} {1\over ax^a} =
  {1\over\infty} = 0,
$$
takže $\ln x \ll x^a$. Toto intuitivně říká, že
logaritmus leze do nekonečna jak šnek. A přitom je to pozoruhodný výsledek,
protože když si nakreslíte graf funkce $\ln x$ a současně třeba graf funkce
$\root 100\of x = x^{1/100}$, můžete nesprávně nabýt dojmu, že
logaritmus v nekonečnu bude rychlejší. Zdání klame. 

Výsledky naší soutěže funkcí při $x\to\infty$ můžeme shrnout takto:
$$
   \ln x \ll x^a \ll x^b \ll p^x \ll q^x \ll x^x \quad
   \hbox{pro libovolné $0<a<b$ a libovolné $1<p<q$.}
$$

\label[lime^z]
\priklad
Spočítáme $\lim_{n\to\infty} (1+z/n)^n$, $n\in\N$, $z\in\R$. Je to sice limita
posloupnosti, ale můžeme zkusit spočítat limitu pro $x\to\infty$ 
funkce $f:(0,\infty)\to\R$ dané vzorcem $f(x)=(1+z/x)^x$. Ta má pro $x\in\N$
stejné hodnoty, jako zkoumaná posloupnost, takže podle Heineho věty, když
bude existovat $\lim_{x\to\infty} f(x)$, pak bude rovna i limitě
zadané posloupnosti. 
$$
\displaylines{
   \lim_{x\to\infty} \Bigp.(1+{z\over x})^x =
   \lim_{x\to\infty} e^{x\,\ln(1+{z\over x})} = 
   \exp\biggp.(\lim_{x\to\infty} x\,\ln\Bigp.(1+{z\over x})),\cr
   \lim_{x\to\infty} x\,\ln\Bigp.(1+{z\over x}) =
   \lim_{x\to\infty} {\ln(1+{z\over x})\over {1\over x}} = 
   \Bigp.[{0\over 0},\,\hosp] =
   \lim_{x\to\infty} {1\over 1+{z\over x}}\,z(-x)^{-2} {1\over -x^{-2}} =
   \lim_{x\to\infty} {z\over 1+{z\over x}} = z.
}
$$
Takže ze spojitosti funkce $\exp$ plyne výsledek 
$\lim_{x\to\infty} (1+z/x)^x = e^z$.

Tento příklad ukazuje, že pokud máme ve vzorečku, ze kterého počítáme
limitu, mocninu s nekonstantním základem i exponentem, je nutné mocninu
přeformulovat pomocí~\ref[a^b] a dále počítat limitu exponentu. Přímé
dosazení by v tomto příkladě vedlo na výraz $1^\infty$ a ten společně s
výrazy $(0^+)^0$ a $\infty^0$ nedává žádný zaručený výsledek. Mohli bychom
je zařadit mezi neurčité výrazy, ale tam většinou najdete jen výrazy s
operacemi $+-\cdot/$, protože jsou uváděny v souvislosti s větou o limitě
$+-\cdot/$.

Přímé dosazení do mocniny je možné, pokud je základ nebo exponent konstantní.
Z příkladu~\ref[limq^x] víme, že $q^\infty = 0$ pro $q\in(0,1)$ a podobně se
dá ukázat, že $q^\infty=\infty$ pro $q>1$. Takové vzorce je možné
zařadit do rozšířených dosazovacích pravidel. Také platí pro konstantní
$c\in\R$, že $\lim_{x\to a} x^c = (\lim_{x\to a} x)^c$, protože funkce $x^c$
je spojitá. Navíc pro $c>0$ je $\infty^c = \infty$ a pro $c<0$ je
$\infty^c = 0$. Pro sudá nebo lichá $c$ je možné vzorečky doplnit ještě o
případy $(-\infty)^c$. Ale příklad~\ref[lime^z] se tato počítat nedá,
protože má nekonstantní základ i exponent. Dosazení do $1^\infty = 1$ vede k
chybnému výsledku.

\priklad
Platí:
$$
   \lim_{n\to\infty} \underbrace{{1\over n}+{1\over n}+\cdots+{1\over n}}_{n\ \mathbox{krát}}
   = \lim_{n\to\infty} n\,{1\over n} = 1.
$$
Tento příklad vypadá dost naivně, ale byl sem zařazen proto, abychom si
uvědomili, že použití rozšířeného dosazovacího pravidla v neomezeném
množství instancí vzorce není možné. Konkrétně, v tomto příkladě by mohlo
někoho napadnout jej řešit jako $0+0+\cdots+0 = 0$, ovšem
to by bylo použito nekonečněkrát dosazení $1/\infty = 0$ a to je zapovězeno.
Intuitivně bychom mohli o tomto příkladě hovořit jako o nekonečném
součtu nekonečně malých veličin, tedy $\infty\cdot0$, což je neurčitý výraz.
Rozšířené dosazovací pravidlo je možné použít jen na konečně místech ve
vzorci. 


\sec Zásadní výsledek: kalkulus pro derivace

Metoda derivování funkcí daných vzorcem tak, že se vzorec převede na obecně jiný
vzorec podle pevně stanovených pravidel, se nazývá kalkulus. Například
k funkci $x^3$ najdeme její derivaci $3x^2$ protože použijeme pravidlo
kalkulu $(x^n)' = nx^{n-1}$. V této sekci si ukážeme, na jakých
základech kalkulus stojí a jak souvisí s definicí derivace. Je to jeden z
nejdůležitějších a jistě úžasných výsledků matematické analýzy.

\para{Definice derivace}
Motivací k zavedení pojmu derivace je například fyzikální popis rychlosti,
známe-li v každém okamžiku $x$ ujetou dráhu $d(x)$. Můžeme zjistit průměrnou
rychlost v časovém intervalu $\<x_0,x_1\>$ dělením ujeté dráhy časem tedy
$\bigp.(d(x_1)-d(x_0))/(x_1-x_0)$. Pokud by nás zajímala okamžitá rychlost v
bodě $x_0$, můžeme postupně zkracovat interval $\<x_0,x_1\>$ a tím uvedený
podíl spěje k dělení malého čísla malým číslem. Ale dokud nepošleme bod $x_1$
k bodu $x_0$ \uv{nekonečně blízko}, budeme mít stále jen průměrné rychlosti,
i když ty budou dobře aproximovat okamžitou rychlost, pokud volíme dostatečně
malou velikost intervalu $\<x_0,x_1\>$. Kdybychom prohlásili $x_1=x_0$, dostaneme
dělení nulou, ale když spočítáme limitu toho podílu pro $x_1\to x_0$, máme
požadovaný přesný výsledek. Limitě takového podílu, která typicky vede na
neurčitý výraz $0/0$, říkáme derivace. Přesněji tedy derivace funkce $f$ v bodě
$a$ je
$$
   f'(a) = \lim_{x\to a} {f(x) - f(a) \over x - a} = 
           \lim_{h\to0} {f(a-h) - f(a) \over h}. \eqmark[defder]  
$$
Derivace v bodě $a$ je \"lokální přírůstek" funkce v bodě $a$, zatímco
$\bigp.(f(x) - f(a)) / (x - a)$ je celkový přírůstek na intervalu
$\<a,x\>$. 

Derivace funkce $f$ v bodě $a$ je číslo. Dále definujeme funkci $f':D\to\R$,
kde $D$ je množina všech čísel $a\in\R$, pro která limita~\ref[defder] existuje a
je konečná. Hodnotu $f'$ v bodě $a$ definujeme jako derivaci $f$ v bodě~$a$.
Proměnnou pro tuto funkci $f'$ často značíme $x$ a ne $a$, takže máme:
$$
   f'(x) = \lim_{h\to0} {f(x-h) - f(x) \over h}.
$$
Funkci $f'$ nazýváme derivací funkce $f$. 

\para{Kalkulus}
Ukazuje se, že pokud je $f$ dána vzorcem, pak umíme sestavit vzorec pro
$f'$ pomocí jistých pravidel, kterým říkáme kalkulus. Není tedy nutné
limitu~\ref[defder] počítat, navíc opakovaně pro každý bod
$a$. Stačí použít hodnotu vzorce $f'$ v bodě $a$ získanou z kalkulu. 
Pravidla pro kalkulus jsou odvozena tak, že je limita~\ref[defder] spočítána
obecně. Například, nechť $f(x)=x^3$.
Pak
$$
\eqalign{
   f'(x) &= \lim_{h\to0} {(x+h)^3 - x^3\over h} =
            \lim_{h\to0} {x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3 \over h} = \cr
         &= \lim_{h\to0} {3x^2h + 3xh^2 + h^3 \over h} =
            \lim_{h\to0}  3x^2 + 3xh + h^2 = 3x^2
}
$$
Máme tedy první vzorec do sbírky vzorců (kalkulu) pro sestavení derivace, sice
$(x^3)' = 3x^2$. Tento příklad je příliš konkrétní, dá se ukázat
$(x^n)' = nx^{n-1}$ pro libovolné $n\in\R$, viz
odstavec \"derivace mocniny" v sekci~\ref[log].

Kalkulus pro derivace se dá použít na funkci danou jakýmkoli vzorcem,
protože se z definice derivace dá snadno dokázat věta o derivaci čtyř
základních operací:
$$
\eqalign{
   \bigp.(f(x) + f(y))' &= f'(x) + g'(x), &&
   \bigp.(f(x) - f(y))' &= f'(x) - g'(x), \cr
   \bigp.(f(x)\, f(y))' &= f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x), &&
   \Bigp.(f(x)\over g(x))' &= {f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x) \over g^2(x)}
}
$$ 
a dále je $(x)'=1$, $(c)'=0$, $(\bigp.cf(x))' = cf'(x)$. Také se dá pro
každou elementární funkci odvodit vzoreček pro derivaci (udělali jsme to v
sekcích~\ref[mocnina] až~\ref[gonio]) a platí věta o derivaci složené funkce:
$$
   \Bigp.(\bigp f(g(x)))' = \bigp{f'}(g(x))\,g'(x).
$$ 
Správné použití kalkulu pak trénují studenti na mnoha příkladech, kdy mají
zadaný vzoreček a mají jej přetavit na nový vzoreček pro derivaci. Během
tohoto tréningu si uvědomí, že nejde jen o to použít kalkulus, ale také
výsledný vzoreček je třeba kultivovat do prezentabilní formy, tj. využít další
vlastnosti funkcí, které se ve vzorečcích vyskytují. Pokud student neumí
zderivovat jakýkoli vzoreček, postrádá základní schopnost každého uživatele
matematické analýzy a pochopitelně pak musí zkoušku opakovat.

\priklad Zderivujeme funkci
$$
   f(x) = \Bigp.(x\sin\sqrt x \over \cos(2x+1))^3.
$$
Nejprve použijeme kalkulus:
$$
  \eqalign{
   f'(x) &=
   3\,\autop.(x\sin\sqrt x\over\cos(2x+1))^2 \,
   {(x\sin\sqrt x)'\cos(2x+1) - x\sin\sqrt x\,\,(\bigp.\cos(2x+1))' \over \cos^2(2x+1)}
   =\cr &=
   3\,\autop.(x\sin\sqrt x\over\cos(2x+1))^2 \,
  {(\sin\sqrt x + x\cos\sqrt x {1\over2\sqrt x})\cos(2x+1)
  - x\sin\sqrt x\,\bigp.(-\sin(2x+1))\cdot2 \over \cos^2(2x+1)}
}
$$
a následně je vhodné vzorec kultivovat:
$$
   f'(x) = {3\over 2} x^2\sin^2\sqrt x \,{\sqrt x\cos\sqrt x + 2\sin\sqrt x \over \cos^3(2x+1)}
   + 6x^3\sin^3\sqrt x \,{\sin(2x+1) \over \cos^4(2x+1)}.
$$

\npara{Definiční obor derivace}
Ze vzorce~\ref[defder] plyne, že definiční obor funkce $f'$ je vždy podmnožinou
definičního oboru~$f$. Pokud je $f$ dána 
jediným vzorcem, pak její derivace má stejný definiční obor s případnou výjimkou
izolovaných bodů. Například $\root3\of x$ je definovaná v bodě~0,
ale $(\root3\of x)' = 1/(3\root2\of{x^2})$ v nule definovaná není.
Limita~\ref[defder] tam je rovna~$+\infty$. Ovšem do
definičního oboru funkce $f'$ zahrnujeme jen konečné hodnoty, třebaže funkce $f$
může mít v bodě $a$ i derivaci $\infty$ nebo $-\infty$. Definice~\ref[defder]
takové hodnoty to připouští.

Má-li funkce v bodě $a\in\R$ konečnou derivaci, je tam spojitá, protože
$$
   \lim_{x\to a} (f(x)-f(a)) = \lim_{x\to a} (f(x)-f(a))\, {x-a\over x-a} =
   \lim_{x\to a} (x-a)\, \lim_{x\to a} {f(x)-f(a) \over x-a} = 0\cdot f'(a) = 0,
$$
takže $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ a $f$ je v bodě $a$ spojitá. 
Obráceně řečeno, jakmile funkce není v nějakém bodě spojitá, nemůže tam mít
konečnou derivaci.

Je-li $f$ dána více vzorci, pak na rozhraních těchto vzorců můžeme počítat
jednostranné derivace, tedy jednostranné limity~\ref[defder]. 
To lze v případě spojité funkce jednoduše
provést dosazením do odpovídajících vzorců pro derivaci sestavených podle
kalkulu. Pokud se tyto jednostranné limity liší, funkce v daném bodě nemá
derivaci. Typickým příkladem je $f(x)=|x|$, která je dána dvěma vzorci:
$$
  \def\+{\phantom{+}}
  \vcenter{\hbox{$
   |x| = \cases{\+x & pro $x\ge 0$ \cr -x & pro $x<0$}
   $}} \qquad
  \vcenter{\hbox{$
   (|x|)' = \cases{\+1 & pro $x> 0$ \cr -1 & pro $x<0$}
   $}}
$$
V bodě 0 má $(|x|)'$ jednostranné derivace $-1$ zleva, $1$ zprava, takže v
bodě 0 derivace neexistuje. Funkce $|x|$ je všude spojitá ale v jednom bodě
nemá derivaci. Na jejím grafu se takové místo projeví \"hrotem", tedy
neexistuje tam tečna ke grafu funkce. Toto je typické chování
spojitých funkcí bez derivace v izolovaném bodě: takové funkce jsou dány více
vzorečky, které na sebe v bodech, kde jeden vzorec přechází na jiný vzorec,
navazují (mají tam stejné funkční hodnoty), takže funkce je tam
spojitá. Ale nenavazují tam derivace těchto vzorců.

\priklad
Funkce $f:\R\to\R$ je dána dvěma vzorci $f(x)=2x$ pro $x<3$ a $f(x)=2x+1$
pro $x\ge3$. V bodě $3$ není spojitá, takže tam nemůže mít konečnou
derivaci. Spočítáme-li limitu~\ref[defder] zprava, dostaneme hodnotu 
$2$ zatímco stejná limita zleva dává $\lim_{x\to3^-} (2x-7)/(x-3) = -1/0^- =
\infty$. Takže derivace v bodě~$3$ neexistuje. Kdybychom ale pozměnili
funkci tak, že v bodě $3$ ji předepíšeme funkční hodnotu $6{,}5$, pak bude
limita~\ref[defder] zleva i zprava rovna $\infty$ a tato funkce má derivaci
na celém $\R$, ovšem v bodě $3$ má derivaci $\infty$.  

\para{Věta o přírůstku funkce}
Má-li funkce $f$ na intervalu $\<a,b\>$ konečnou derivaci (s výjimkou případně
krajních bodů intervalu, kde ovšem musí být spojitá), pak existuje $c$
uvnitř tohoto intervalu tak, že $f'(c)$ je rovno směrnici sečny grafu funkce
$f$ procházející body $[a,f(a)]$, $[b,f(b)]$. To znamená, že v bodu $[c,f(c)]$ je
tečna ke grafu funkce rovnoběžná se zmíněnou sečnou.
Důkaz této věty se obvykle dělá ve dvou krocích. Nejprve se dokáže tzv. věta
Rollova, kde navíc je $f(a)=f(b)$ a dokazuje se, že pak $f'(c)=0$. Bod $c$ se
najde v maximu resp. minimu funkce $f$, která díky své spojitosti toto maximum
či minimum má. Tvrzení $f'(c)=0$ se pak přímo ověří z definice derivace. Ve druhém
kroku se od $f$ odečte rovnice sečny a tím získáme funkci $g$ splňující
předpoklady Rollovy věty. Bod $c$ nalezený podle Rollovy věty pro
funkci $g$ pak splňuje tvrzení věty o přírůstku funkce pro $f$. 

Tato věta je základem při argumentaci, proč platí vlastnosti o vztahu
monotonie funkce a znaménku její derivace a užije se při důkazu Taylorovy věty
a také Newton-Leibnizovy věty umožňující výpočet určitého integrálu pomocí
primitivní funkce.

\para{Aplikace kalkulu}
Mezi obvyklé aplikace kalkulu patří zjišťování extrémů funkcí, vyšetřování
průběhu funkcí a sestavování Taylorova polynomu.

\para{Extrémy funkcí}
Má-li funkce v bodě $a$ derivaci, lze sestrojit ke grafu funkce v bodě
$[a,f(a)]$ tečnu, která je určena vzorcem $y=f(a) + f'(a)\,(x-a)$. Ke
zdůvodnění toho se obvykle kreslí obrázek, ve kterém sečny postupně přecházejí 
v tečnu při zmenšování vzdálenosti bodu $x$ od bodu $a$ a to přesně odpovídá
limitě~\ref[defder]. Pořádné zdůvodnění se pak opírá o větu o přírůstku
funkce. Není-li tato tečna rovnoběžná s osu~$x$, funkce~$f$ tam
nemůže mít extrém (je tam lokálně rostoucí nebo lokálně klesající). Takže
má-li funkce $f$ v bodě $a$ derivaci, pak tam může mít extrém jen při
vodorovné tečně, tedy při $f'(a)=0$. Z toho plyne postup pro hledání
lokálních extrémů funkce $f$:

\medskip\noindent
Lokální extrémy funkce $f$ mohou být 
\begitems \style a
* v krajních bodech definičního oboru (pokud tam je funkce $f$ definovaná), 
* v bodech, kde $f$ nemá derivaci a 
* v bodech, kde $f'=0$. 
\enditems
Těm posledně zmíněným bodům říkáme \"stacionární
body" funkce $f$ a najdeme je tak, že použijeme kalkulus k sestavení vzorců
pro funkci $f'$ a vyřešíme rovnici $f'(x)=0$. Stacionární body mohou být lokálním
minimem funkce (jako $x^2$ v nule), lokálním maximem funkce (jako $-x^2$ v
nule), nebo tam extrém nemusí být (jako $x^3$ v nule). Takže stacionární
body považujeme jen za body podezřelé z extrému a je potřeba je dále
prozkoumat podrobněji. To můžeme udělat pomocí druhé derivace $f''$, takže ještě
jednou použijeme kalkulus. Je-li $f''>0$, funkce je konvexní (jako $x^2$) a
$f$ má tedy ve stacionárním bodě minimum. Je-li $f''<0$, funkce je konkávní
(jako $-x^2$) a $f$ má ve stacionárním bodě maximum. Je-li ve stacionárním
bodě $f''(a)=0$, pak jsme se zatím mnoho nedozvěděli, protože funkce tam
nemusí mít extrém (jako $x^3$ v nule) nebo tam může mít minimum (jako $x^4$
v nule) nebo tam může mít maximum (jak $-x^4$ v nule). V takovém případě je
třeba o charakteru stacionárního bodu rozhodnout jinak, např.
z průběhu funkce, z její spojitosti a limit či funkčních hodnot 
v dalších bodech, z dalších derivací atd.

\para{Průběhy funkcí}
Z věty o přírůstku funkce plyne, že je-li $f'$ na nějakém intervalu kladná,
je na něm $f$ rostoucí, je-li $f'$ na intervalu záporná, je na něm $f$ klesající.
Dále platí, že je-li $f''$ na nějakém intervalu kladná, je na něm $f$
konvexní a je-li $f''$ na intervalu záporná, je na něm konkávní. Tyto
vlastnosti dávají možnost vyšetřit průběh funkce pomocí kalkulu: najdeme
$f'$ a $f''$ a z jejich znamének získáme představu o průběhu funkce. S tím
souvisejí úlohy kdy je dána funkce $f$ vzorcem a má se najít její průběh.
Je dobré si uvědomit, že znaménko první a druhé derivace může být jen
doplňujícím vodítkem při vyšetřování průběhu funkce. Doporučuji totiž
postupovat takto:

\begitems \style n
* Najdeme definiční obor zadané funkce $f$ (pokud není dán).
* Vyšetříme limity $f$ v krajních bodech definiřčního oboru (pokud tam $f$
  není definována).
* Pomocí kalkulu najdeme $f'$.
* Najdeme stacionární body (tj. řešíme $f'=0$) a všechny případné další body
  podezřelé na extrém (tj. kde $f$ nemá derivaci a krajní body definičního
  oboru, je-li tam $f$ definována).
* Najdeme funkční hodnoty v bodech zmíněných výše a vyneseme je do grafu. U
  stacionárních bodů lze krátkou vodorovnou čárkou vyznačit směr průběhu
  grafu procházejícího stacionárním bodem.
* V tuto chvíli už typicky můžeme načrtnout graf funkce $f$ podle vynesených
  bodů a z limit v krajních bodech definičního oboru.
* Ověříme podle znaménka $f'$, že nakreslený graf je v pořádku, tj. funkce
  roste na intervalech, kde $f'>0$ a klesá na intervalech, kde $f'<0$.
  Pokud to takto nevychází, je někde chyba ve výpočtu.
* V případě potřeby najdeme inflexní body, tj. body, kde se konvexní průběh
  mění na konkávní nebo naopak. To provedeme vyřešením $f''(x)=0$.
  Tyto body také vyneseme do grafu.
* Úseky, kde je funkce konvexní nebo konkávní, typicky vyplynou už při kresbě
  grafu v bodě~6 a z poloh inflexních bodů. Pomocí znaménka $f''$ můžeme ověřit,
  že není nikde chyba ve výpočtu. 
\enditems

\priklad
Je dána funkce $f$ s definičním oborem $D=(0,\infty)$. Ví se o ní, že je 
$\lim_{x\to0^+} f = -\infty$, $\lim_{x\to\infty} f = 0$. Neprozradíme její
vzorec, jen to, že má na celém definičním oboru konečnou derivaci a pouze pro $x=1$
je $f'(x)=0$ (tj. má jediný stacionární bod) a platí $f(1)=3$. 
Co z toho můžeme soudit o jejím průběhu?

Protože má $f$ derivaci, je spojitá na $D$. Kvůli limitě v nule musí být na
okolí nuly zprava rostoucí. Kvůli jedinému stacionárnímu bodu a existenci
derivace všude nemůže mít extrém jinde než v bodě 1. Funkce musí být na
intervalu $(0,1)$ rostoucí, protože kdyby měla změnit růst na klesání v
tomto intervalu, musela by mít další stacionární bod a to ona nemá. Kvůli
hodnotě $f(1)=3$ a $\lim_{x\to\infty} = 0$ musí být $f$ na intervalu
$(1,\infty)$ klesající, nemůže měnit tento svůj trend, protože na intervalu
$(1,\infty)$ nemá další stacionární bod. V bodě $x=1$ je tedy lokální i
globální maximum. K ose $x$ se graf funkce pro $x\to\infty$ přimyká shora a
to jinak nejde než konvexním způsobem. Jinak ten graf k ose $x$ totiž
\"nepřihnete". Takže na okolí $\infty$ musí být $f$
konvexní. Podobnou úvahou shledáme že na okolí bodu $1$ musí být konkávní a
také na okolí $0^+$ musí být konkávní, jinak se graf k ose $y$ nemůže
přibližovat. Očekáváme tedy aspoň jeden inflexní
bod na intervalu $(1,\infty)$. Ten bychom mohli zjistit pomocí $f''=0$,
pokud bychom znali vzorec pro funkci $f$. 

Příklad ukazuje, že ačkoli se studenti většinou učí používat znaménko
derivace k rozhodnutí o typu monotonie funkce jako primární nástroj při
vyšetřování průběhu funkcí, můžeme na to jít jinak a využít to
jen jako doplňkový nástroj, protože z limit v krajních bodech definičního
oboru a z poloh singulárních bodů už
víme dost. Ovšem, singulární body nelze najít jinak než řešením rovnice
$f'=0$, takže kalkulus je při vyšetřování průběhu funkcí samozřejmě 
potřeba použít.

\para{Asymptoty grafu} 
Asymptoty jsou přímky, ke kterým se graf funkce \"blíží", když opouští náš
náčrtek, protože nemůžeme mít nekonečně velký náčrtek. Ne vždy v takové
situaci existuje asymptota, ale často se to stává.
Konkrétněji, asymptoty mohou být v konečných
bodech $x\to a\in\R$, pokud tam limita zprava nebo zleva funkce $f$ je $\infty$
nebo $-\infty$. To jsou svislé asymptoty. Dále mohou existovat asymptoty pro
$x\to\infty$ a $x\to-\infty$. Má-li tam $f$ konečnou limitu, je tam
vodorovná asymptota. Jinak tam může být šikmá asymptota, pokud
$\lim_{x\to\pm\infty} f(x)/x = A$ a $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)-Ax = B$ jsou
konečné limity. Pak je šikmou asymptotou přímka daná vzorcem $y=Ax+B$. Při
vyšetřování průběhu funkcí je rozumné se věnovat i asymptotám a uvědomit si,
z které strany se graf funkce k asymptotě blíží. V předchozím příkladě má
funkce $f$ svislou asymptotu osu $y$ (graf se k ní blíží zprava) a dále má 
vodorovnou asymptotu osu $x$ (graf se k ní blíží shora).


\para{Taylorův polynom}
Je dána funkce $f$, která má v bodě $a\in\R$ konečné derivace až do řádu $n$.
Taylorův polynom funkce $f$ v bodě $a$ řádu $n$ značím $T_{n,f,a}$ a je to
funkce $T_{n,f,a}:\R\to\R$ , která je dána vzorcem:
$$
   T_{n,f,a} (x) = f(a) + {f'(a)\over 1!} (x-a) +  {f''(a)\over 2!} (x-a)^2 +
   {f'''(a)\over 3!} (x-a)^3 + \cdots +  {f^{(n)}(a)\over n!} (x-a)^n. 
   \eqmark[taylor]
$$
Pro jakoukoli funkci $f$ s uvedenými vlastnostmi, bod $a\in\R$ a řád
$n\in\N$ umíme podle tohoto vzorce sestavit Taylorův polynom. K získání
konstant v čitatelích zlomků použijeme opakovaně kalkulus na vzorec, kterým
je dána funkce $f$, a do výsledných vzorců dosadíme bod $a$. Vidíme, že
výsledná funkce $T_{n,f,a}$ je polynom: sledujte proměnnou $x$ ve vzorci, která tam
vystupuje pouze v různých mocninách a je násobena konstantami. Tento polynom
má stupeň nejvýše $n$. Jeho stupeň je přesně roven řádu $n$, pokud $f^{(n)}(a)\ne0$.

Snadno lze ověřit, že v bodě $a$ se Taylorův polynom přímo rovná $f(a)$, ale
nejen to. Derivace tohoto polynomu v bodě $a$ až do řádu $n$ se rovnají
odpovídajícím derivacím funkce $f$ v bodě $a$. Stručně řečeno:
$$
   T_{n,f,a}^{(k)} (a) = f^{(k)}(a), \ \hbox{pro všechna $k\in\{0,1,\dots,n\}$}
$$
Toto je jediný polynom stupně nevýše $n$ s touto vlastností, protože každý
polynom stupně nevýše $n$ je jednoznačně určen svou hodnotou a hodnotami
všech svých derivací až do řádu $n$ ve vybraném bodě~$a\in\R$.  

Výše uvedenou vlastnost popíšeme nyní z geometrického pohledu. Označme
$A=[a,f(a)]$. Grafem Taylorova polynomu funkce $f$ v bodě $a$ prvního řádu
je tečna ke grafu funkce $f$ v bodě $A$. Tedy prochází bodem~$A$ a má shodný směr s
grafem funkce $f$ v bodě $A$. Taylorův polynom druhého řádu je parabola,
která prochází bodem~$A$, má stejný směr v bodě $A$ a stejné zakřivení v bodě
$A$ jako graf funkce $f$. Zakřivení je dáno druhou derivaci. Taylorův
polynom třetího řádu je kubická parabola, která prochází bodem $A$, má stejný
směr, stejné zakřivení a stejnou změnu zakřivení v bodě $A$ jako graf funkce
$f$. Změnu zakřivení měříme třetí derivací. Atd. Intuitivně tedy můžeme
říci, že Taylorův polynom řádu $n$ aproximuje v okolí bodu $a$
funkci~$f$. A na množině všech polynomů stupně nejvýše $n$ není žádný, který
by funkci $f$ v bodě $a$ aproximoval lépe.

Elementární funkce, se kterými se v matematické analýze pracuje (viz
sekce~\ref[mocnina] až~\ref[gonio]) neumíme vyhodnotit v obecném bodě pomocí
konečně mnoha sčítání, odčítání, násobení, dělení. Například hodnotu $\sin 1$
nezjistíte konečně mnoha operacemi $+,-,\cdot,/$. Nabízí se tedy možnost
nahradit hodnotu funkce $f$ hodnotou Taylorova polynomu, k čemuž stačí
konečně mnoho operací $+,-,\cdot,/$, samozřejmě za předpokladu, že všechny
konstanty potřebné pro sestavení Taylorova polynomu známe. K tomu stačí volit
bod $a$ tak, abychom opravdu tyto konstanty dokázali vyčíslit. Například pro
funkci $\sin$ volíme bod $a=0$. V tomto bodě známe hodnotu $\sin$ i hodnoty
všech jeho derivací: $0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1,$ atd., takže můžeme sestavit
třeba Taylorův polynom sedmého řádu funkce $\sin$:
$$
   T_{7,\sin,0} (x) = {1\over1}\, x -{1\over3!}\,x^3 + 
   {1\over5!}\,x^5 - {1\over7!}\,x^7
$$
a používat $T_{7,\sin,0} (x)$ místo $\sin(x)$. Dojdeme k výsledku po konečně
mnoha operacích. Otázka je, jaké se dopustíme chyby při takové aproximaci.
Tomu se věnuje následující text.

Odchylku hodnoty Taylorova polynomu při jeho použití místo vyhodnocení funkce 
$f$ samotné v bodě~$x$ značíme $R_n(x) = f(x)-T_{n,f,a} (x)$ a říkáme jí
zbytek. Taylorova věta říká, jak takový zbytek vypadá: Má-li $f$ na nějakém
okolí $U$ bodu $a$ konečné derivace až do řádu $n+1$ a $x\in U$, pak
existuje $\xi$ mezi body $a$ a $x$ takové, že
$$
   R_n (x) = {f^{(n+1)}(\xi) \over (n+1)!}\, (x-a)^{n+1}
$$ 
Pochopitelně, vyčíslit konečně mnoha operacemi tento zbytek nepůjde, protože
to bychom uměli konečně mnoha operacemi vyhodnotit zcela přesně i funkce
aproximované Taylorovým polynomem a o tom si můžeme nechat jenom zdát.
Například o bodu $\xi$ pouze víme, že $\xi\in(x,a)$ pro $x<a$ a 
$\xi\in(a,x)$ pro $x>a$, ale kde přesně se ten bod nachází, to Taylorova
věta neříká. Chybu při aproximaci funkce Taylorovým polynomem $|R_n(x)|$
tedy můžeme jen odhadnout nějakou mezí z vlastností funkcí vyskytujících se
ve vzorci pro $R_n(x)$.

\priklad
Odhadneme chybu aproximace funkce $\sin$ polynomem $T_{7,\sin,0} (x)$ za
předpokladu, že vždy bude $|x|<1{,}6$. Víme, že osmá derivace $\sin x$ je
$\sin x$, takže
$$
   |R_7 (x)| = |\sin \xi \over 8!|\,|x|^8 < |1\over8!|\,1{,}6^8 \doteq 0{,}001065
$$
máme tedy zaručenu přesnost na dvě desetinná místa. Dále lze využít toho,
že $T_{7,\sin,0} (x) = T_{8,\sin,0} (x)$, protože se tyto dva polynomy liší jen o
nulový sčítanec. Odhad pro $T_{8,\sin,0} (x)$ dává sebevědomější výsledek:
$|R_8 (x)| < |\cos\xi / 9!|\,1{,}6^9 = 0{,}000189$, takže si dovolíme
tvrdit, že budeme mít i při použití polynomu $T_{7,\sin,0}$ přesnost na
tři desetinná místa. Pokud by někdo chtěl
vypočítat $\sin x$ pro $|x|\ge 1{,}6$, pak nejprve posuneme argument o
násobky $2\pi$ blíže k nule, pak využijeme symetrie grafu funkce $\sin$
podél os $x=0$, $x=\pi$ a $x=\pi/2$, takže nakonec stačí zjistit hodnotu funkce
$\sin$ pro $x\in\<\pi/2/\pi/2\>$.
A to odpovídá požadavku $|x|<1{,}6$. To tedy dokážeme vypočítat pomocí
polynomu $T_{7,\sin,0}$ s přesností na tři desetinná místa.

Pokud bychom sestavili analogický polynom $T_{8,\cos,0}$ a používali jej
na výpočet hodnot funkce $\cos$, pak můžeme díky dalším symetriím a posunům
grafů funkcí $\sin$ a $\cos$ převést výpočet požadované hodnoty na hledání
hodnoty jedné z funkcí $\sin$, $\cos$ pro $|x|<\pi/4$, což pak vede ještě 
k lepšímu odhadu
$$
   |R_8 (x)| = |\cos \xi \over 9!|\,|x|^9 \le {1\over9!}\,\Bigp.(\pi\over 4)^9 \doteq
               0{,}000000313.
$$
Takže jsme schopni pomocí polynomů $T_{7,\sin,0}$ a $T_{8,\cos,0}$ počítat
hodnoty funkcí $\sin x$, $\cos x$ s přesností na~6 desetinných míst.

\priklad
Chceme zkonstruovat kalkulačku, která na displeji zobrazuje čísla na 10
desetinných míst a měla by umět mimo jiné vyhodnocovat funkce $\sin x$ a
$\cos x$ v libovolném bodě. Taylorovy polynomy jakého řádu máme pro
tyto funkce použít?

Z předchozího příkladu víme, že lze argument funkcí $\sin$, $\cos$ posunout
tak, že stačí vyhodnocovat $\sin x$ a $\cos x$ jen pro $|x|\le\pi/4$. Hledáme
tedy řád $n$ tak, aby
$$
   |R_n(x)| \le {1\over (n+1)!}\, \Bigp.(\pi\over4)^{n+1} \le 10^{-10}.
$$
Po krátkém experimentování shledáme, že nerovnost platí pro $n=12$ a větší.
Do kalkulačky tedy zadrátujeme Taylorovy polynomy $T_{11,\sin,0}$ a
$T_{12,\cos,0}$.

\sec Primitivní funkce, neurčitý integrál

\secc Definice, vlastnosti

Primitivní funkce k dané funkci $f$ na intervalu $(a,b)$ je taková funkce,
jejíž derivace je rovna $f$ na zadaném intervalu. Není-li v kontextu
primitivní funkce zmíněn interval,
máme na mysli celý definiční obor funkce $f$. Skládá-li se tento definiční
obor z více disjunktních intervalů, pak na každém z nich definujeme primitivní
funkci zvlášť.

První pozorování: protože funkce mající derivaci je spojitá, je primitivní funkce vždy spojitá.

Postačující podmínka existence primitivní funkce k funkci $f$ na
intervalu $(a,b)$ je spojitost $f$ na tomto intervalu. Důkaz se opírá o
určitý integrál (o němž budeme mluvit až v následující sekci). Dá se totiž
dokázat, že když definujeme $F(x) = \int_c^x f(t)dt$, pak za podmínky
spojitosti $f$ je $F'=f$, takže $F$ je primitivní funkce k funkci $f$.

Nutná podmínka existence primitivní funkce $F$\, k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$
je vlastnost mezihodnoty%
\fnote{Darbouxova vlastnost.}
funkce $f$ na tomto intervalu, která zní: pro každé
$u,v\in(a,b)$ a pro každé číslo $C$ mezi $f(u)$ a $f(v)$ existuje $c$ mezi
$u$ a $v$ takové, že $f(c)=C$. Důkaz nutnosti této podmínky se opírá o fakt, že funkce
$G(x)=F(x)-Cx$ je spojitá, protože $F$ je spojitá. Dále předpokládejme $u<v$
a $f(u)<C<f(v)$. Pak je $G$ lokálně klesající v bodě $u$, protože
$G'(u)=f(u)-C<0$ a z obdobných důvodů je $G$ lokálně rostoucí v~bodě~$v$.
Spojitá funkce $G$ má tedy na intervalu $(u,v)$ své minimum v bodě $c$ a v něm je
$G'(c)= f(c)-C =0$, tedy $f(c)=C$.

\priklad Funkce $\sgn x$ nemá na $\R$ vlastnost mezihodnoty, takže nemůže mít
na $\R$ primitivní funkci. Ovšem zvlášť na intervalech $(-\infty,0)$ a
$(0,\infty)$ je tato funkce spojitá a má tedy na těchto intervalech primitivní
funkci. Na prvním jmenovaném intervalu je primitivní funkce třeba $F(x)=-x$ a na
druhém třeba $F(x)=x+42$. 
\medskip

Je-li $F$ primitivní funkce k $f$ a dále $G = F + c$, kde $c\in\R$ je nějaká
konstanta, pak je i $G$ primitivní funkce
k $f$, protože $G' = (F+c)' = F' = f$. Také platí, že každé dvě primitivní
funkce ke společné funkci $f$ se liší nejvýše o konstantu, protože 
$(F-G)' = F' - G' = f - f = 0$ a je známo, že
pouze konstanta má vlastnost, že její derivace je nulová funkce.

Soubor všech primitivních funkcí k dané funkci $f$ na intervalu $(a,b)$ se dá tedy
vyjádřit jako jediná primitivní funkce $F$ a k ní pak přidáme do tohoto souboru
všechny funkce tvaru $F+c$, kde $c\in\R$ je konstanta. Symbolem $\int f$ rozumíme
soubor všech primitivních funkcí k $f$ a nazýváme jej {\em neurčitý
integrál z $f$}. Pokud se definiční obor funkce $f$
skládá z více disjunktních intervalů, pak na každém z nich je možné stanovit soubor
primitivních funkcí nezávisle na ostatních intervalech. Tím chci říci, že když
zapíšeme soubor primitivních funkcí ve tvaru $F+c$, tato konstanta $c$ se stanoví pro
každý interval zvlášť, takže zápis $F+c$ může být v takovém případě trochu
matoucí.

\priklad Všechny primitivní funkce k funkci $1/x$ jsou funkce $\ln|x| + c$,
$c\in\R$. Ovšem tyto soubory funkcí stanovujeme zvlášť pro primitivní funkce
na intervalu $(-\infty,0)$ a zvlášť pro primitivní funkce na intervalu
$(0,\infty)$. O \"společné primitivní funkci" na celém definičním oboru funkce
$1/x$ nikdy nehovoříme. 
\medskip

{\em Integrováním} typicky rozumíme hledání vzorečku primitivní funkce $F$\, k dané
funkci $f$, jež je také daná vzorečkem. Najdeme-li takový vzoreček, pak
obvykle píšeme výsledek ve tvaru $\int f = F + c$ a čteme jej, že integrál z
$f$ je $F$ a dále zahrnuje i všechny funkce lišící se od $F$ o konstantu.
Tento zápis používáme i pro funkci $f$ definovanou na více disjunktních
intervalech, i když jsme si před chvílí řekli, že ten zápis je trošičku
matoucí a měli bychom mít vždy na paměti, že stanovujeme soubor
primitivních funkcí na každém intervalu zvlášť.

Je-li ve vzorečku pro $f$ označena proměnná symbolem $x$ (což je docela
obvyklé), pak píšeme $\dx$ na konec výrazu uvozeného symbolem integrálu a
tím dáváme najevo, podle které proměnné integrujeme. Tedy například 
$\int (x^2 + x) \dx$. Je sice pravda, že v analýze jedné proměnné bývá obvykle
zřejmé, podle které proměnné integrujeme, ale toto Leibnizovo značení je
docela užitečné a v případě určitého integrálu má navíc význam jakési
\"nekonečně malé veličiny" při výpočtu plochy. O tom se zmíníme v
následující sekci.

Proces integrování (tedy hledání vzorečku pro primitivní funkci, je-li dán
vzoreček výchozí funkce) je opačný k procesu derivování. Kalkulus pro
integrování se odvodí tak, že prohodíme sloupce \"vstup" a \"výstup" v
tabulce kalkulu pro derivování a využijeme některé další zřejmé vlastnosti
integrálu. Například platí linearita integrálu, konkrétně tedy:
$$
  \int \bigp.(\alpha\, f(x)+\beta\, g(x))\dx = \alpha\int f(x)\dx + \beta\int g(x)\dx,
  \quad \alpha, \beta\in\R.
$$
Dále je možné při integrování použít větu o integraci per partes a větu o
substituci (viz níže).

\priklad V tabulce kalkulu pro derivování máme pro vstup $f(x) = x^n$ výstup
$f'(x) = n x^{n-1}$. Když nyní převrátíme vstup s výstupem, máme v tabulce pro
integrování pro $f(x)= n x^{n-1}$ výstup $F(x)=x^n$. To není příliš
praktické, využijeme tedy linearity integrálu a do tabulky zapíšeme
na vstup $f(x) = x^{n-1}$ a výstup $F(x)=x^n/n$. Ještě praktičtější je
zaměnit symbol $n$ za symbol $n+1$ a na vstupu mít $f(x) = x^n$ a na výstupu
pak $F(x)=x^{n+1}/(n+1)$. Tato identita platí pro všechna reálná $n\ne-1$.
Obdobně jednoduchými úvahami vzniká celá tabulka kalkulu pro integrování...

\priklad $\int (x^2 + x)\dx = \int x^2\dx + \int x\dx = x^3/3 + x^2/2 + c$.
Ve výpočtu jsme využili linearity integrálu a dále v předchozím příkladě
odvozený údaj z tabulky kalkulu pro integrování. Takto děsně jednoduché to
ale ve většině případů není\dots
\medskip

Kalkulus pro integrování (na rozdíl od kalkulu pro derivování) nám nedává
možnost najít výslednou primitivní funkci ve formě vzorečku pro jakoukoli
výchozí funkci zadanou vzorečkem. Je to tím, že nyní nemáme ve sloupci
\"vstup" v tabulce kalkulu pro integrování předlohy pro všechny možnosti,
jak může funkce daná vzorečkem vypadat. Třeba součin dvou funkcí se nedá
rozepsat na integrování jednotlivých funkcí součinu. Existuje sice možnost
integrování per partes, ale ta není univerzálním nástrojem jak integrovat
součin jakýchkoli dvou funkcí.

Integrování je tedy daleko zábavnější a napínavější činnost než derivování,
ne vždy se totiž dobereme k výsledku. Chce to získat praxi a schopnost vidět
vzájemně propojené možnosti vět o integrování a tabulky kalkulu pro
integrování. A v neposlední řadě je třeba používat různé vlastnosti vzorečků
samotných. Naši matematičtí předkové popsali širokou škálu možností, jak
integrovat za předpokladu, že integrovaný vzoreček vypadá určitým způsobem.
Z těchto poznatků se dnes učíme jen nepatrnou část, abychom si uvědomili aspoň základní
souvislosti problematiky integrování. Vždy budou existovat vzorečky, které
se nikomu nikdy zintegrovat (tj. najít odpovídající vzoreček pro primitivní
funkci) nepodařilo, například $\int e^{-x^2} \dx$. Funkce 
$e^{-x^2}$ je spojitá a tedy k ní existuje primitivní funkce%
\fnote{Ve statistice je označována errf.},
ale vyjádřit tuto funkci vzorcem obsahujícím
součet, rozdíl, součin, podíl konstant a proměnných a případně elementárních
funkcí a případně všelijak složených funkcí z těchto funkcí nejde.

Máte-li v písemce za úkol integrovat nějakou funkci, je příklad určitě
vybrán pečlivě tak, aby se primitivní funkce dala najít.

\secc Základní postupy při integrování

Jak jsme již uvedli, používáme tabulku pro integrování ..., linearitu
integrálu a dále následující věty.

\para{Integrace per partes} umožní rozepsat integrál součinu funkcí takto:
$$
  \int f(x)\,g(x)\,\dx = f(x)\,G(x) - \int f'(x)\,G(x)\dx, \quad
  \hbox{kde $G$ je primitivní funkce k funkci $g$}.
$$
Tvrzení se snadno odvodí ze vzorečku derivace součinu funkcí
$(uv)'=u'v + uv'$, což je totéž jako $uv' = (uv)' - u'v$. V tomto vzorci
položíme $f=u$ a $v'=g$ a integrujeme obě strany rovnosti.

Při výpočtu pomocí per partes se hodí mnemotechnická pomůcka, sice tabulka
se dvěma sloupci a dvěma řádky, do níž si napíšeme:
$$
  \left|\matrix{u=\dots & v'=\dots \cr u'=\dots & v=\dots}\right|,
$$
kde místo teček píšeme konkrétní vzorce. První řádek obsahuje vstupní funkce,
jejichž součin chceme integrovat, druhý řádek pak obsahuje nově vypočtené
funkce, první z nich derivujeme, druhou integrujeme. Výsledek po aplikaci
per partes je roven součinu údajů na hlavní diagonále minus integrál součinu údajů z
druhého řádku.

Je zřejmé, že integrace per partes nám při výpočtu integrálu pomůže jen
tehdy, když umíme najít primitivní funkci k funkci $g$ (což obnáší další
proces integrování) a také musíme umět najít primitivní funkci k součinu
$f'G$, což tedy vypadá, že jsme se pouze přesunuli z bláta do hodně špinavé
louže. Existují ale \"obvyklé" případy, kdy integrování per partes pomůže:

\priklad Integrujeme součin $f\,g$, kde $f$ je polynom a $g$ je $\sin\alpha x$
nebo $\cos\alpha x$ nebo $e^{\alpha x}$. Polynom derivujeme a funkci $g$
snadno integrujeme. Po aplikaci per partes dostáváme polynom o jedna nižího
stupně a funkce $g$ se přitom příliš nezměnila. Je-li polynom už stupně
nultého (neboli konstanta), pak naposledy najdeme primitivní funki k funkci
$\sin$ nebo $\cos$ nebo $e^x$ a jsme hotovi. Jinak proces per partes
opakujeme znovu opakovaně tak dlouho až stupeň polynomu klesne na nulu.
Konkrétně třeba:
$$
  \eqalign{
  \int (x^2 + 3x)\,\sin 2x\dx &=
  \left| \matrix{u=x^2+3x & v'=\sin2x \cr u'=2x+3 & v=-(\cos2x)/2 }\right| \cr
  &= {-(x^2+3x)\,\cos2x\over2} - \int (2x+3)\,{-\cos2x\over2} \dx = \cr
  &= {-(x^2+3x)\,\cos2x\over2} + {1\over2} \int (2x+3)\,\cos2x \dx =
  \left| \matrix{u=2x+3 & v'=\cos2x \cr u'=2 & v=(\sin2x)/2 }\right| \cr
  &= -{1\over2} (x^2+3x)\,\cos2x + {1\over4} (2x+3)\,\sin2x -
     {1\over2}\int \sin2x\dx = \cr
  &= -{1\over2} (x^2+3x)\,\cos2x + {1\over4} (2x+3)\,\sin2x +
     {1\over4}\,\cos2x + c. 
}
$$

\priklad Při integrování $\int \ln x\dx$ nebo $\int\arctg x\dx$
se použije trik: položíme $g(x)=1$ a provedeme per partes:
$$
  \eqalign{
  &\int \ln x\dx = \left| \matrix{u=\ln x & v'=1 \cr u'=1/x & v=x }\right|
  = x\,\ln x - \int 1\dx = x\,\ln x - x + c, \cr
  &\int \arctg x\dx = 
  \left| \matrix{u=\arctg x & v'=1 \cr u'=1/(x^2+1) & v=x }\right|
  = x\,\arctg x - {1\over2} \int {2x\over x^2+1}\dx = 
    x\,\arctg x - {1\over2} \ln(x^2+1) + c.
  }
$$
V poslední úpravě jsme využili faktu $\int(f'/f) = \ln f$, což vyplývá ze
substituce $y=f$.

\priklad Někdy se může stát, že při použití per partes se dostaneme
do kruhu, ale nemusí to být pravda:
$$
  \int \sin x \cos x \dx =
  \left| \matrix{u=\sin x & v'=\cos x \cr u'=\cos x & v=\sin x }\right|
  = \sin^2 x - \int \sin x \cos x \dx.
$$
Po převedení posledního integrálu přes rovnost na levou stranu máme
$2\int\sin x \cos x\dx = \sin^2 x + c_1$, což vede k výsledku
$\int\sin x \cos x\dx = (\sin^2 x)/2 + c$. Poznamenávám, že tento integrál
lze taky spočítat substitucí nebo jen tím, že si uvědomíme, jak dopadne
derivování výrazu $\sin^2 x$.

\para{Substituce}
Existují dvě věty o substituci, jejich přesné znění si kdyžtak čtenář
dohledá. My se zde zaměříme na praktické použití těch vět. Při substituci
je třeba převést integrovaný vzorec v jedné proměnné na výraz v jiné proměnné.
Vztah mezi původní proměnnou (dejme tomu $x$)  a novou proměnnou (dejme tomu
$y$) je možné stanovit dvěma způsoby: $\phi(x) = y$ (substituce prvního druhu)
a $x = \psi(y)$ (substituce druhého druhu). V případě substituce druhého
druhu musí být funkce $\psi$ prostá. Lidově řečeno,
při substituci prvního druhu se díváme na kus vzorce v integrovaném výrazu 
a nahrazujeme ji proměnnou, při substituci druhého druhu se díváme na 
proměnnou a nahrazujeme ji vzorcem. V obou případech nelze provést jen záměnu
proměnné v integrovaném výrazu samotném, ale také je třeba provést záměny
symbolu ${\rm d}x$ za ${\rm d}y$ podle pravidla $\phi'(x)\dx = {\rm d}y$ pro
první druh a ${\rm d}x = \psi'(y)\dy$ pro druhý druh.
Tato pravidla si v obou případech
pamatujeme tak, že v předpisu pro transformaci proměnné zderivujeme levou
i pravou stranu rovnosti a připíšeme k levé
straně značku ${\rm d}x$ a k pravé značku ${\rm d}y$. 
Po úspěšném nalezení primitivní funkce v nové proměnné je třeba ji zpětně
převést na výraz v původní proměnné, což v případě prvního druhu jde snadno:
nahradíme každý výskyt $y$ výrazem $\phi(x)$, zatímco v druhém případě je
třeba použít inverzní funkci $y=\psi^{-1}(x)$.

\priklad Se substitucí prvního druhu se setkáváme při integrování poměrně
často. V tomto případě musíme integrovaný výraz vnímat jako součin
$g\bigp.(\phi(x))\,\phi'(x)\dx$ který se nahradí výrazem $g(y)\dy$. Což
vyžaduje cvik a zkušenosti. Například
$$
  \eqalign{
  \int {\ln x + \ln2x + \ln^2 x \over x}\dx &=
  \int (\ln2 + 2\ln x + \ln^2 x) {{\rm d}x\over x} =
  \left|\matrix{\ln x = y\cr {1\over x}\dx = {\rm d}y}\right| =
  \int (\ln2 + 2y + y^2)\dy = \cr
  &= (\ln2)\,y + y^2 + {y^3\over3} + c =
     (\ln2)\,\ln x + \ln^2 x + {\ln^3 x\over3} + c.
}
$$

\priklad Se substitucí druhého druhu se setkáváme velmi výjimečně. Typický
školní příklad na tento druh substituce obsahuje výraz $\sqrt{1-x^2}$, který
se po nahrazení $x=\sin y$ zjednoduší: $\sqrt{1-\sin^2 y} = \sqrt{cos^2 y} =
\cos y$. Navíc původní výraz byl definován jen na intervalu
$\langle-1,1\rangle$, takže když volíme $y\in\langle-\pi/2,\pi/2\rangle$, je na tomto
intervalu substituční funkce $\sin y$ prostá a svými hodnotami pokrývá
všechny přípustné hodnoty původní proměnné $x$. Což je potřebné si u substituce
druhého druhu vždy uvědomit. Konkrétně třeba:
$$
  \int {1\over\sqrt{1-x^2}}\dx = \left|\matrix{x=\sin y\cr \dx = \cos y\dy}\right|
  = \int {1\over\cos y} \cos y \dy = \int 1 \dy = y + c = \arcsin x + c.
$$
Tento příklad zde byl zařazen jen jako modelová ukázka použití substituce
druhého druhu. Pochopitelně, kdybychom si vzpomněli, jak se derivuje funkce
$\arcsin x$, tak máme výsledek ihned bez použití substituce.


\sec Určitý integrál

Určitý integrál $\int_a^b f$ měří plochu mezi grafem funkce $f$ a osou $x$
v rozmezí mezi body $a$ a $b$. Dodáme ještě, že je-li funkce v nějakém úseku
záporná, započítá určitý integrál do celkového výsledku zápornou hodnotu
plochy této části.

Abychom \uv{uvěřili} tomuto tvrzení, definuje se ve školách už po staletí
určitý integrál podle Riemannovy definice%
\fnote{Není to jediná matematicky přesná definice určitého integrálu, ale k
představě, že to měří plochu pod grafem funkce, to stačí.}.
Tato definice nejprve tu plochu odhadne pomocí součtu ploch obdélníčků 
(plochy obdélníčků umíme snadno spočítat), které v limitním
přechodu mají nekonečně malou šířku a je jich pod grafem seskupeno nekonečně mnoho. Tato
\uv{práce s nekonečnem} se provede matematicky přesně pomocí suprema a infima. Našim cílem je ale
nezabředávat do zbytečných detailů (přesnou Riemannovu definici si čtenář
jistě najde, kdy bude chtít), ale sledujme nyní hlavně celkový koncept, tedy proč to takto děláme.
Na otázku, proč nestačí definovat $\int_a^b f(x)\dx = F(b) - F(a)$ mi bohužel
dokáže odpovědět jen velmi málo studentů. Odpověď je přitom jednoduchá: z takové
definice bychom nepoznali, že vlastně počítáme plochu pod grafem funkce.

Takže, jak vypadá základní koncept? Z Riemannovské definice určitého
integrálu nám kvůli těm obdélníčkům vyplývá, že určitý integrál počítá plochu
pod grafem funkce, jak bylo řečeno výše. Dále se z této definice odvodí základní vlastnosti
určitého integrálu: linearita integrálu, aditivita v mezích. Dále se pomocí
těchto základních vlastností dá odvodit%
\fnote{Důkaz je spíše technický, není příliš těžký. Chápu ale, že když jej ve
škole vynecháme, ztrácíme tím celý smysl zavedení určitého integrálu a
studenti jsou ochuzeni o možnost zážitku z poznání stvrzenou slovy \uv{Aha, tak je
to tedy, proto se používá Riemannova definice!}}
{\bf základní věta analýzy}, která zní: Je-li $F$
primitivní funkce k $f$, pak $\int_a^b f(x)\dx = F(b) - F(a)$. A z toho nám
plyne velice důležitý důsledek: pomocí kalkulu pro integrování jsme schopni
(když najdeme vzoreček pro primitivní funkci)
spočítat plochu pod grafem dané funkce $f$ jednoduše jako rozdíl $F(b)-F(a)$,
kde $F$ je primitivní funkce k $f$. Toto je velmi důležitý výsledek, protože
pracujeme-li s kalkulem (obrácenou tabulkou vzorečků pro derivování), není vůbec
nikde patrné, že to souvisí s nějakou geometrickou vlastností grafu původní
funkce. A přitom je to pravda. Není to úžasné?

Riemanův integrál se definuje nejprve pro omezenou funkci (typicky spojitou)
s omezenými (konečnými) mezemi $a$ a $b$. Následně se rozšíří definice
určitého integrálu na případy, kdy některá z
mezí (nebo obě) je nekonečná nebo je integrovaná funkce v okolí meze neomezená.
To je tzv. {\em nevlastní} určitý integrál a definuje se pomocí limity, tedy
třeba pro případ neomezené horní meze:
$$
  \int_a^b f(x) \dx = \lim_{t\to b_-} \int_a^t f(x) \dx.
$$
Z toho nám pak plyne, že lze pro nevlastní určitý integrál rozšířit základní
větu analýzy, která nyní zní. Je-li $F$ primitivní funkce k $f$ a
existují-li níže uvedené limity a má smysl jejich rozdíl (tj. vylučujeme
případ $\infty-\infty$), pak je:
$$
  \int_a^b f(x)\dx = \lim_{t\to b_-} F(t) - \lim_{t\to a_+} F(t).
$$ 
Výraz na pravé straně při výpočtech většinou zapisujeme pomocí hranatých
závorek $[F(x)]_a^b$, což tedy lidově řečeno znamená: \uv{zkus spočítat
rozdíl $F(b)-F(a)$ a pokud ta čísla $F(b)$ a $F(a)$ přímo neexistují,
spočítej místo nich odpovídající limity}.

\label[1overx]
\priklad
Spočítáme $\int_1^\infty 1/x^\alpha \dx$ pro různá $\alpha\in\R$. Čtenář si
laskavě nakreslí graf nepřímé úměrnosti $1/x$ pro $x\in\langle1,\infty)$
a dále si rozmyslí, jak se tento graf bude měnit v případě funkce $1/x^\alpha$ pro
$\alpha\ne1$.
$$
  \let\ds=\displaystyle
  \int_1^\infty {1\over x^\alpha} = 
  \cases { {\bigp[\ln x]}_1^\infty = \lim\limits_{x\to\infty} \ln x - \ln 1 = \infty 
                   & \kern-1em pro $\alpha=1$, 
           \cr \noalign{\medskip}
          \ds \left[{x^{1-\alpha}\over 1-\alpha}\right]_1^\infty 
          = \lim_{x\to\infty} {x^{1-\alpha}\over 1-\alpha} - {1\over  1-\alpha}  
          = \cases { \ds \infty -{1\over  1-\alpha} = \infty  &\rlap{\,pro $\alpha<1$,} 
                     \cr \noalign{\medskip}
                     \ds 0 - {1\over  1-\alpha} = {1\over \alpha-1} &\rlap{\,pro $\alpha>1$.}
            }
   } 
$$
Tento příklad ukazuje, že i neomezená oblast (např. pod grafem funkce $1/x^2$ na intervalu
$\langle1,\infty)$ může mít konečný obsah. Navíc vidíme, že případ $\alpha=1$
tvoří jistý předěl mezi případy, kdy plocha vychází konečná a kdy nekonečná.
Konkrétně $1/x$ má pod grafem nekonečnou plochu, ale funkce $1/x^{1{,}0001}$
se od předchozí liší jen nepatrně, ale má již pod svým grafem konečnou plochu.
Rozmyslete si, jakou.

\priklad
Spočítáme $\int_0^1 1/x^\alpha$. Po provedení výpočtu (podobně jako v
předchozím příkladě) máme:
$$
  \int_0^1 {1\over x^\alpha} = 
  \cases{ \infty & pro $\alpha\ge1$, \cr \noalign{\medskip}
          \displaystyle {1\over 1-\alpha} & pro $\alpha<0$.
        }
$$
V tomto případě nemáme neomezenou mez, ale neomezenou funkci, pod jejímž
grafem sledujeme oblast podobnou jako v předchozím případě (jen převrácenou
a otočenou o devadesát stupňů). Plocha pod grafem funkce $1/x^\alpha$ na
intervalu $(0,1\rangle$ je konečná, když $\alpha\ne1$ a
plocha pod grafem téže funkce na intervalu $\langle1,\infty)$ je nekonečná.
Toto platí i obráceně. Případ $\alpha=1$ je hraniční, při něm plochy obou
oblastí (z tohoto i předchozího příkladu) jsou nekonečné.  


\sec Řady

\secc Součet řady

Řada je součet prvků nějaké posloupnosti. Úkolem tedy je sečíst typicky
nekonečně mnoho reálných čísel. Zatím umíme sečíst dvě reálná čísla a díky
asociativitě sčítání můžeme postupně sečíst konečně mnoho reálných čísel,
například: $a_1 + a_2 + a_3 = (a_1+a_2)+a_3$.

Otázka tedy je, jak definovat součet nekonečně mnoha čísel a jak zjistit
hodnotu nebo aspoň vlastnosti takového součtu. Protože máme exaktně
definovánu limitu (umožňující pracovat s nekonečnem), je zřejmé, že pro definici
nekonečného součtu ji použijeme.

\para{Definice}
Nechť $s_n = \sum_{k=1}^n a_k$ jsou částečné součty řady $\sum_{k=1}^\infty a_k$.
Čísla $s_n$ umíme zjistit pro každý index $n\in\N$, protože sčítáme konečně mnoho
čísel. {\em Součet řady} \ $\sum_{i=1}^\infty a_i$ je hodnota
$\lim_{n\to\infty} s_n$, pokud taková limita existuje. Pokud tato limita je
konečná, říkáme že řada {\em konverguje}, je-li nekonečná, říkáme, že řada
diverguje (k $+\infty$ nebo $-\infty$). Pokud tato limita neexistuje, řada
nemá součet.

\priklad
Sečteme řadu
$$
  \sum_{i=1}^\infty {1\over k\,(k+1)}.
$$
Využijeme toho, že $1/(k\,(k+1)) = 1/k - 1/(k+1)$, takže částečný součet
této řady je
$$
  \eqalign{
  s_n &= \autop.(1-{1\over2}) + \autop.({1\over2}-{1\over3}) + \autop.({1\over3}-{1\over4})
       + \cdots + \autop.({1\over n}-{1\over n+1}) = \cr
      &= 1 + \autop.(-{1\over2}+{1\over2}) + \autop.(-{1\over3}+{1\over3}) 
       + \cdots \autop.(-{1\over n}+{1\over n}) - {1\over n+1}
       = 1 - {1\over n+1}
  } 
$$
Z posledního vyjádření $s_n$ je zřejmé, že $\lim_{n\to\infty} s_n = 1$ takže
jednička je součet zadané řady.

Na tomto příkladě si uvědomíme, že abychom byli schopni vyčíslit součet dané
řady, tedy najít $\lim s_n$,
je nejprve nutné částečný součet $s_n$ vyjádřit přímým vzorcem závislým na $n$
a vyhnout se v tomto vyjádření kumulujícímu se počtu sčítanců. Jedině tak můžeme při
výpočtu $\lim s_n$ použít limitní kalkulus a dobrat se k výsledku.
Hledání přímého vzorce pro $s_n$ je v obecném případě nesnadné a často to vůbec
nejde, takže se součet zadané řady nedozvíme, třebaže existuje. Naši
matematičtí předkové po sobě zanechali odkaz se součty mnoha všelijakých řad s
použitím docela komplikovaných triků. My se to ale ve škole neučíme. Nám
stačí k pochopení problematiky součtu řad předchozí příklad a dále budeme umět
sčítat řadu geometrickou. Nic více.

\priklad
Řada $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k$ nemá součet, protože částečné součty jsou
$s_n=1$ pro lichá $n$ a $s_n=0$ pro sudá $n$ a tato posloupnost $s_n$ se
dvěma různými hromadnými body nemá limitu.

\priklad {\bf Geometrická řada} je řada $\sum_{k=1}^\infty a_k$, pro kterou platí
$a_{k+1}=q\,a_k$ pro všechna $k\in\N$. Číslu $q$ říkáme kvocient řady.
Je tedy $a_k = q^{k-1} a_1$. K tomu, bychom vyjádřili přímý vzorec pro
částečné součty geometrické řady, využijeme identitu:
$$
  (A^n - B^n) = (A-B)\,(A^{n-1} + A^{n-2}B^1 + A^{n-3}B^2 + 
  \cdots + A^1B^{n-2} + B^{n-1}).
$$
Kdo tomu nevěří, může si to zkusit roznásobit a dojde k poznání, že vzorec
platí. V následujícím výpočtu vydělíme celou identitu činitelem $(A-B)$ a
volíme $A=1$, $B=q$. 

Částečný součet geometrické řady je
$$
  s_n = (1+q+q^2+\cdots q^{n-1})\,a_1 =
         a_1 {1-q^n \over 1-q}.
$$
Tento vzorec vylučuje možnost $q=1$, ovšem v tomto případě má geometrická
řada částečný součet $n\,a_1$ a limita tohoto výrazu je $+\infty$ pro
$a_1>0$, dále $-\infty$ pro $a_1<0$ a konečně 0 pro $a_1=0$. Zabývejme se
dále jen případem $q\ne1$.

Součet geometrické řady je:
$$
  \let\ds=\displaystyle
  \sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n\to\infty} a_1\,{1-q^n\over1-q} =
  \cases { 0 & pro $a_1=0$, \cr 
           \infty & pro $q>1$, $a_1>0$, \cr
           -\infty & pro $q>1$, $a_1<0$, \cr
           \ds a_1{1\over 1-q} & pro $q\in(-1,1)$, \cr
           \hbox{součet neexistuje} & pro $q\le-1$.
  }
$$
Představme si úlohu s koláčem, který nejprve rozdělíme na polovinu a
půlku dáme prvnímu hostu, zbylou půlku rozdělíme na půlku a dílek dáme
druhému hostu, zbylý dílek rozdělíme na polovinu atd., jsme takto schopni
podělit jedním koláčem nekonečně mnoho hostů%
\fnote{Při zjednodušení, že hmota v její libovolně malé části je dále dělitelná, tj.
není složená z atomů.}.
Velikosti dílků představují
členy geometrické řady s kvocientem 1/2, první sčítanec má velikost 1/2,
takže když použijeme právě odvozený vzorec pro $q\in(-1,1)$, tak zjistíme součet
této řady:
$$
  {1\over2}\,{1\over 1-{1\over2}} = {1\over2}\, 2 = 1. 
$$
Nás to nepřekvapí. Překvapovalo to ale dávné řecké filosofy, kteří v problému závodu
Achyllese se želvou viděli paradox, protože si neuvědomili, že i nekonečně
mnoho časových úseků, které se sčítají, se nakonec může odehrát v konečném čase.

\secc Kritéria konvergence řady

V dalším textu rezignujeme na možnost najít součet dané řady, protože najít
přímé vyjádření částečného součtu $s_n$ tak, aby se dala spočítat $\lim s_n$,
ve většině případů nejde. Spokojíme se s tím, že budeme schopni odpovědět
aspoň na otázku, zda řada konverguje (má konečný součet) nebo ne.

Uvědomíme si, že hodnoty prvních konečně mnoho členů řady
neovlivní odpověď na otázku konvergence. Změníme-li konečně mnoho členů
řady, pak (pokud existuje součet) se změní její součet o konečné číslo. Pokud ale
je součet nekonečný nebo neexistuje, pak změna o konečné číslo tuto
vlastnost nezmění. Proto budu při vyšetřování konvergence řady psát stručně
$\sum^\infty a_k$ bez specifikace, od kterého indexu začínáme sčítat. Volba
prvního indexu totiž nijak neovlivní odpověď na otázku konvergence.

\para{Nutná podmínka konvergence} Konverguje-li řada $\sum^\infty a_k$, pak
je $\lim a_k=0$. Důkaz: je $a_n = s_n - s_{n-1}$ a dále protože řada
konverguje, je $\lim s_n=s$. Pak je $\lim a_n = \lim s_n - \lim s_{n-1} = s-s = 0$.

Podmínka $\lim a_n=0$ je nutná podmínka konvergence. Když neplatí, víme, že
řada nemůže konvergovat. Když podmínka platí, otázka konvergence řady
zůstává otevřena a je třeba nasadit další kritéria.

\priklad {\bf Harmonická řada} $\sum^\infty 1/k$ diverguje k nekonečnu,
ačkoli platí $\lim_{k\to\infty} 1/k = 0$. Divergenci ověříme např.
integrálním kritériem (uvedeme později).

\para{Řada s nezápornými členy} Je-li $a_n\ge0$, pak řada
$\sum^\infty a^n$ konverguje nebo diverguje k $\infty$. Důkaz: posloupnost
částečných součtů $s_n$ je neklesající, takže limita $s_n$ musí existovat.

\para{Srovnávací kritérium} Je-li $0\le a_n\le b_n$ pro všechna $n$ přirozená%
\fnote{Protože změna konečně mnoha členů neovlivní konvergenci,
stačí předpokládat $n>n_0$, kde $n_0$ je nějaký výchozí index.}
a řada $\sum^\infty b_n$ konverguje, pak řada 
$\sum^\infty a_n$ konverguje. Důkaz: nechť $\sigma_n$ je posloupnost
částečných součtů řady $\sum^\infty b_n$. O ní víme, že má konečnou limitu $\sigma$.
Dále pro posloupnost částečných součtů $s_n$ řady $\sum^\infty a_n$ platí,
že $s_n\le \sigma_n$ a je neklesající, musí mít tedy konečnou limitu
$s\le\sigma$. 

\para{Podílové (d'Alambertovo) kritérium} formulované pomocí limit. Nechť $a_k>0$.
$$
  \hbox{Je-li } \lim_{k\to\infty} {a_{k+1}\over a_k}
  \cases { < 1, & řada $\sum^\infty a_k$ konverguje, \cr
           = 1, & kritérium nedává odpověď na konvergenci, \cr
           > 1, & řada $\sum^\infty a_k$ diverguje k $\infty$.
  }
$$
Důkaz tohoto kritéria se opírá o srovnávací kritérium, ve kterém se zadaná řada
porovná s geometrickou řadou s kvocientem $q\in(-1,1)$, o níž víme, že
konverguje. Podrobný důkaz vynechám.

\para{Leibnizovo kritérium}
Nechť členy řady $\sum^\infty a_k$ pravidelně střídají znaménka. Pokud
$\lim a_k = 0$ a posloupnost $|a_k|$ je klesající, pak řada 
$\sum^\infty a_k$ konverguje.

\para{Integrální kritérium}
Nechť $f:\langle1,\infty) \to\R$ je nerostoucí nezáporná funkce. Pak
$\sum^\infty f(k)$ konverguje právě když $\int_1^\infty f(x)\dx$ konverguje.

Toto kritérium můžeme použít tehdy, když je dána řada $\sum^\infty a_k$
s nerostoucími a nezápornými členy a povede se k ní najít funkce $f$
nerostoucí a nezáporná taková, že $f(k)=a_k$. Umíme-li najít určitý integrál
$\int_1^\infty f(x)\dx$, pak umíme rozhodnout o konvergenci dané řady
$\sum^\infty a_k$.

Důkaz integrálního kritéria: Porovnáme-li plochu pod grafem funkce $f$ v
úseku od $k$ do $k+1$ s obdélníčky šířky 1 a výšky $f(k)$ a $f(k+1)$,
shledáme, že $f(k)\ge \int_k^{k+1} f(x)\dx \ge f(k+1)$, protože $f$ je
nerostoucí. Sečteme-li všechny tyto jednotlivé dílky, máme 
$\sum^\infty f(k)\ge \int_1^\infty f(x)\dx \ge \sum^\infty f(k)-f(1)$.
Z toho plyne ekvivalence konvergence integrálu a řady.

\label[harmrada]
\priklad
Členy harmonické řady $\sum^\infty 1/k$ lze proložit klesající funkcí
$f(x)=1/x$, která vyhovuje integrálnímu kritériu. Protože 
$\int_1^\infty 1/x \dx = \infty$ (viz příklad~\ref[1overx]), harmonická řada
$\sum^\infty 1/k$ diverguje. 

Z výsledku příkladu~\ref[1overx] a z integrálního kritéria navíc vidíme, že
řada $\sum^\infty 1/k^\alpha$ konverguje pro $\alpha>1$, takže $\alpha=1$
(harmonická řada) je hraničním případem, od kterého všechny řady typu
$\sum^\infty 1/k^\alpha$ pro $\alpha\le1$ divergují.

Povšimneme si ještě, že na řadách typu $\sum^\infty 1/k^\alpha$ selže
d'Alambertovo kritérium. Například o řadě $\sum^\infty 1/k^2$ víme z
integrálního kritéria, že konverguje, ale d'Alambertovo kritérium dává
$$
  \lim_{k\to\infty} {{1\over(k+1)^2}\over {1\over k^2}} = 
  \lim_{k\to\infty} {k^2\over k^2+2k+1} = 1, 
$$
takže toto kritérium nám nedá informaci o konvergenci řady $\sum^\infty 1/k^2$.

\secc Absolutní konvergence

Řada $\sum^\infty a_k$ je {\em absolutně konvergentní} pokud řada
$\sum^\infty |a_k|$ je konvergentní. Pro řady s nezápornými členy tyto dva
pojmy samozřejmě splývají.

\para{Tvrzení o absolutní konvergenci}. 
Je-li řada absolutně konvergentní, je konvergentní. 
Důkaz: Označme $S_n$ posloupnost částečných součtů řady $\sum^\infty |a_k|$ a 
$s_n$ je posloupnost částečných součtů řady $\sum^\infty a_k$. Z předpokladu
víme, že $\lim S_n$ je konečná.
Pro $S_n$ tedy platí Cauchyovská podmínka: $\forall \epsilon>0\ \exists\, n_0\in\N$:
$m,n>n_0 \Rightarrow |S_m-S_n|<\epsilon$. Bez újmy na obecnosti
předpokládejme $m>n$. Uvědomíme si, že je
$|S_m-S_n| = |a_{n+1}| + \cdots + |a_m|$ a s použitím trojúhelníkové
nerovnosti máme:
$$
   \epsilon > |S_m-S_n| = |a_{n+1}| + \cdots + |a_m| \ge
              |a_{n+1} + \cdots + a_m| = |s_m - s_n|.
$$ 
Takže i pro posloupnost $s_n$ platí Cauchyovská podmínka. Má tedy konečnou
limitu a řada  $\sum^\infty a_k$ je konvergentní.

Obrácené tvrzení, že z konvergence plyne absolutní konvergence, neplatí. To
dokládá klasický příklad řady $\sum^\infty (-1)^k / k$. Tato řada vyhovuje
předpokladům Leibnizova kritéria: její členy pravidelně střídají znaménka,
posloupnost jejích členů má limitu rovnu nule a posloupnost $1/k$ je
klesající. Takže řada $\sum^\infty (-1)^k / k$ podle Leibnizova kritéria
konverguje. Přitom řada obsahující absolutní hodnoty členů původní řady 
$\sum^\infty 1/k$ diverguje, jak bylo ukázáno v příkladu~\ref[harmrada].

Když vyšetřujeme konvergenci řady, ve které se vyskytují kladné i záporné
členy, je dobré začít otázkou na absolutní konvergenci, protože v kritériích
konvergence často potřebujeme nezápornost členů řady. Pokud ověříme
absolutní konvergenci, plyne nám z ní i konvergence. Pokud ale zjistíme, že
řada absolutních členů nekonverguje, nevíme o konvergenci původní řady nic.

\para{Neabsolutně konvergentní řada}
Řadě, která konverguje, ale nekonverguje absolutně, říkáme {\em neabsolutně
konvergentní řada}. Taková řada má velmi zajímavou vlastnost: \uv{neplatí
komutativní zákon}. Přesněji řečeno, součet řady závisí na pořadí členů
řady. Změnou pořadí členů řady můžeme dospět ke zcela libovolnému součtu.
Vysvětlíme si proč. Z neabsolutně konvergentní řady 
$\sum^\infty a_k$ vyjmeme všechny kladné členy a dáme je do jedné
posloupnosti~$b_k$. Záporné členy dáme do druhé posloupnosti $c_k$. 
Platí $\sum^\infty b_k=\infty$ a $\sum^\infty c_k=-\infty$, protože kdyby obě
sumy byly konečné, pak by také $\sum^\infty |a_k|$ měla konečnou
sumu, což podle předpokladu není. Kdyby byla jedna suma konečná a druhá
nekonečná, pak by $\sum^\infty a_k$ byla nekonečná, což také podle
předpokladu není. Řada $\sum^\infty a_k$ konverguje, takže platí nutná podmínka
$\lim a_k = 0$ a je tedy také  $\lim b_k=0$ a $\lim c_k=0$. Nyní se rozhodneme,
že chceme vyrobit součet řady třeba 42. Sčítáme postupně členy posloupnosti $b_k$ 
tak dlouho, až překročíme hodnotu 42. To se určitě po konečně mnoha krocích podaří,
protože suma všech členů $b_k$ je nekonečná. Pak k výslednému součtu přičítáme postupně členy
posloupnosti $c_k$, až součet poprvé klesne pod hodnotu 42. To se jistě také podaří. Pak
pokračujeme přičítáním zbylých členů z posloupnosti $b_k$, 
až bude celkový součet zase větší než
42, pak zase přičítáme zbylé členy posloupnosti $c_k$, až částečný součet
klesne pod hodnotu 42 a tak postupujeme pořád dokola, až vyčerpáme všechny
členy z posloupností $b_k$ a $c_k$. Částečné součty takto
sestavené řady oscilují kolem hodnoty 42 a jejich odchylky od hodnoty 42
mají limitu nula, protože $\lim b_k=\lim c_k=0$. Takže limita částečných
součtů je rovna číslu 42 a tedy součet takto uspořádané řady je~42.
Můžete si rozmylslet, že se dá najít i takové uspořádání členů $a_k$, při
kterém je jejich suma nekonečná nebo neexistuje.

Čtenáře můžeme uklidit, že pokud je řada absolutně konvergentní, její součet
je jediný a nezávisí na uspořádání členů posloupnosti. V tomto případě totiž
$\sum^\infty b_k$ i $\sum^\infty c_k$ jsou konečná čísla a součet řady
$\sum^\infty a_k$ je roven $\sum^\infty b_k + \sum^\infty c_k$.


\secc Mocninné řady

Řada s proměnnou $x$ ve tvaru $\sum^\infty a_k\,(x-c)^k$ se nazývá {\em
mocninná řada}. V tomto tvaru máme například Taylorovy polynomy.

Při volbě konkrétního čísla $x\in\R$ se mocninná řada stává
běžnou řadou, tedy součtem reálných čísel a má smysl se ptát na její součet
nebo aspoň na její konvergenci. Přitom se hodí použít 
d'Alambertovo kritérium na absolutní konvergenci. 
Řada absolutně konverguje, když
$$
  \lim_{k\to\infty} {|a_{k+1}|\,|x-c|^{k+1} \over |a_k|\,|x-c|^k} = 
  \lim_{k\to\infty} \left|{a_{k+1}\over a_k}\right|\, |x-c| < 1.
$$
tedy při označení $L = \lim |a_{k+1}/a_k|$ (pokud tato limita existuje) řada
absolutně konverguje pro
$$
  |x-c| < {1\over L}.
$$
To znamená, když vzdálenost $x$ od bodu $c$ je menší než $1/L$, řada
konverguje. Z toho důvodu
číslu $c$ říkáme střed konvergence a číslu $1/L$ poloměr konvergence.

Co se stane, když $|x-c|>1/L$? Tj. 
$\lim |a_{k+1}/a_k|\,|x-c| > 1$, takže od jistého indexu $n_0$ platí, že
$|a_{k+1}/a_k|\,|x-c| > 1$, což znamená $|a_{k+1}|\,|x-c| > |a_k|$ a tedy
$|a_{k+1}|\,|x-c|^{k+1} > |a_k|\,|x-c|^k$. Vidíme, že od indexu $n_0$ je
posloupnost $|a_k\,(x-c)^k|$ rostoucí a nemůže tedy mít limitu rovnu nule.
Takže také $\lim a_k\,(x-c)^k\ne 0$ a není splněna nutná podmínka
konvergence řady $\sum^\infty a_k\,(x-c)$. Tato řada diverguje. 

Konvergenci ve dvou zbylých případech, kdy $|x-c|=1/L$, je třeba
vyšetřit jiným způsobem v závislosti na konkrétní úloze. 

\priklad
Vyšetříme konvergenci řady $\sum_{k=0}^\infty x^k/k!$, o níž víme, že vrací
hodnoty exponenciální funkce. Je to mocniná řada $\sum^\infty {1/k!}\,(x-0)^k$.
Použijeme d'Alambertovo kritérium:
$$
   \lim_{k\to\infty} \left| {1\over(k+1)!} \over {1\over k!}\right|\,|x-0|
   = \lim_{k\to\infty} |{1\over k+1}|\,|x| = 0\cdot|x| = 0 < 1.
$$
Tato řada absolutně konverguje pro všechna $x\in\R$. V tomto případě je 
$L = \lim |a_{k+1}/a_k| = 0$ a poloměr konvergence je $\infty$.





\vfil\break

\sec[cexp] Komplexní exponenciální funkce

Pokud důvěřujete tvrzení, že funkční hodnoty $e^{ix}$ běhají po jednotkové
kružnici a jejich argumentem je~$x$, nemusíte se tímto dodatkem zabývat. Pokud
Vás naopak zajímá, jak by se to dalo zdůvodnit bez hlubší znalosti komplexní
analýzy, čtěte dále.

\para{Definice}
Nejprve definujeme exponenciální funkci s komplexním argumentem $x\in\C$
řadou, kterou známe z~\ref[exp]. Tu řadu sem přepíšeme, abychom ji měli na
očích
$$
   \exp(x) = e^x = 1 + {x\over1} + {x^2\over 2!} + {x^3\over3!} + \cdots =
        \sum_{k=0}^\infty {x^k\over k!}
$$
Částečný součet této řady končící výrazem $x^k/k!$ označíme $S_k(x)$.
Tato řada je dle podílového kritéria absolutně konvergentní pro všechna
$|x|\in\R$, tedy je konvergentní pro všechna komplexní $x$ a dává nám tedy
hodnotu komplexní funkce $\exp:\C\to\C$. Budeme ji častěji a 
dle letitých zvyklostí zapisovat výrazem~$e^x$. Na reálných číslech je 
samozřejmě nově zavedená funkce $e^x$ shodná s původní funkcí $e^x$.

\para{Důležitá limita}
Tvrzení $\lim_{x\to0} (e^x-1)/x = 1$ zůstává v platnosti i pro $x\in\C$,
protože
$$
\displaylines{
  |{e^x-1\over x} - 1| =
  |{1 + {x\over1} + {x^2\over 2!} + \cdots -1 \over x} - 1| =
  |1 + {x\over 2!} + {x^2\over 3!} + \cdots - 1| =
  |x|\,|{1\over 2!} + {x\over 3!} + {x^2\over 4!} + \cdots| \le \cr
  \le |x|\,\autop.({1\over 2!} + {|x|\over 3!} + {|x|^2\over 4!} + \cdots )\le
  |x|\,\autop.({1} + {|x|\over 1} + {|x|^2\over 2!} + \cdots ) =
  |x|\,e^{|x|} \ \buildrel |x|\to0 \over \longrightarrow \ 0.
}
$$

\para{Základní vlastnost mocniny}
Také je nutné ověřit, že pro $e^x$ platí základní vlastnost mocniny, tedy
$e^x e^y = e^{x+y}$, $x,y\in\C$. 
To uděláme tak, že shledáme, že vzdálenost částečných
součtů výrazů na levé a pravé straně má limitu~0, přesněji $\lim_{k\to\infty}
|S_k(x)\,S_k(y) - S_k(x+y)| = 0$. K tomu účelu se nesmíme bát to roznásobit.
Zjistíme, že $S_k(x)\,S_k(y)$ je součet všech polynomů tvaru $x^p y^q/(p! q!)$
takových, že $p\le k$, $q\le k$. Jmenovitě ten součet obsahuje právě všechny 
takové polynomy se stupněm nevýše $k$ a navíc některé další až po stupeň $2k$. 
(Za stupeň polynomu $x^py^q$ považuji číslo $p+q$.)
Roznásobení $S_k(x+y)$ vyžaduje více trpělivosti a péče, protože na každý
sčítanec musíme uplatnit binomickou větu. Pak ale s úžasem zjistíme, že 
$S_k(x+y)$ obsahuje právě všechny polynomy  $x^p y^q/(p! q!)$ se stupněm
nejvýše $k$. V rozdílu $S_k(x)\,S_k(y) - S_k(x+y)$ tedy zůstanou jen některé
další polynomy stupně většího než $k$. Takže z trojúhelníkové nerovnosti a
z~faktu, že $|xy|=|x|\,|y|$, plyne, že 
$|S_k(x)\,S_k(y) - S_k(x+y)|$ je menší než součet některých polynomů tvaru 
$|x|^p |y|^q/(p! q!)$ stupně většího než $k$ a ten je menší než součet
všech takových polynomů stupně většího než $k$ což je zbytek Taylorova
polynomu řádu $k$ v bodě nula funkce $e^{|x|+|y|}$. A protože Taylorova řada
k této funkci konverguje, je limita Taylorova zbytku rovna nule.

\para{Spojitost}
Dále si uvědomíme, že $e^x$ je všude spojitá, protože
$$
\displaylines{
  \lim_{h\to 0} e^h = \lim_{h\to 0} e^h -1 +1 = 
  \lim_{h\to 0} {e^h -1\over h}\,h +1 = 1\cdot0 + 1 = 1, \cr 
  \lim_{h\to 0} e^{x+h} = \lim_{h\to 0} e^{x} e^{h} = e^x\cdot1 = e^x.
}
$$

\npara{Ryze imaginární argument}
Nyní se zaměříme jen na čísla $e^{it}$ pro $t\in R$. Nejprve si všimneme,
že $e^{-it} = 1/e^{it}$, protože platí $1 = e^0 = e^{-it+it} = e^{-it} e^{it}$.
Také je $e^{-it} = \overline{e^t}$, kde symbolem $\overline{z}$ značím
komplexně sdružené číslo k~číslu~$z$. To plyne přímo z definice $e^{it}$:
$$
\displaylines{
   \overline {e^{it}} 
   = \overline{1+{it\over1}-{t^2\over2!}-{it^3\over3!} + {t^4\over4!}+\cdots }
   = 1+{-it\over1}-{t^2\over2!}-{-it^3\over3!} + {t^4\over4!}+\cdots =\cr
   = 1+{i(-t)\over1}-{(-t)^2\over2!}-{i(-t)^3\over3!}+{(-t)^4\over4!}+\cdots
   = e^{-it}.
}
$$
Je dále nutně $|e^{it}|=1$, protože z rovnosti $e^{-it} = 1/e^{it}$ 
máme $|e^{-it}| = 1/|e^t|$ a navíc musí $|e^{-it}|=|e^{it}|$, neboť
$|z| = |\overline{z}|$. Číslo $e^{it}$ tedy leží na jednotkové kružnici a je
rozumné sledovat jeho argument (úhel mezi osou $x$ a spojnicí nuly s
daným komplexním číslem).

Všeobecně se ví, že součin komplexních čísel má argument ve tvaru součtu
argumentu jednotlivých činitelů, takže $\arg(e^{i(t+u)}) = \arg(e^{it} e^{iu}) =
\arg(e^{it})+\arg(e^{iu})$, navíc $\arg{e^0} = \arg(1) = 0$. Při značení 
$f(t) = \arg{e^{it}}$ tyto skutečnosti můžeme zapsat jako $f(t+u) = f(t)+f(u)$
a taky $f(0)=0$. Funkce $f:\R\to\R$ je navíc spojitá, takže existuje $C\in\R$
takové, že $f(t)=C\,t$ (viz internet, Cauchyovská funkcionání rovnice).
Máme tedy výsledek $\arg(e^{it}) = C\,t$. Další naší snahou
bude ukázat, že $C=1$. Až to budeme mít, budeme vědět, že $\arg(e^{it})=t$ 
a že se tedy číslo $e^{it}$ při zvětšujícím se $t$ plynule
točí po jednotkové kružnici.

Konstantu $C$ najdeme pomocí limity 
$C = \lim_{t\to^0+}{C\,t\over t}=\lim_{t\to0^+}{\arg(e^it)\over t}$.
Předně je vidět, že $C\ge0$ protože $e^{it}$ má pro kladné a dostatečně malé
$t$ kladnou imaginární část a tedy i argument. Kladnost imaginární části
zjistíme pohledem na imaginární část řady pro $e^{it}$: všechny částečné
součty $S_k(t)$ jsou pro kladné dostatečně malé $t$ kladné. V následujícím
textu prozkoumáme $\lim_{t\to0+}={\arg(e^it)\over t}$ důkladněji.

Protože platí komplexní $\lim_{x\to0} (e^x-1)/x = 1$, platí totéž i pro
konkrétní cestu k nule podél přímky $x=it$, kde $t\in\R$.
Navíc budeme sledovat jen reálnou část podílu:
$$
   1 = \lim_{t\to0} \Re{e^{it}-1\over it} = 
   \lim_{t\to0} \Re{(-i)(e^{it}-1)\over t} =
   \lim_{t\to0} \Im{e^{it}-1\over t} =
   \lim_{t\to0} {\Im(e^{it})-\Im(1)\over t},
$$
tedy:
$$
   \lim_{t\to0} {\Im e^{it}\over t} =1.  \eqmark[sin/x]
$$

\bigskip
\puttext 10cm -4.8cm {\picw=5.5cm \inkinspic{eit.pdf}}%
\hangindent=-6.5cm \hangafter=0
Ukážeme dále, že pro malá kladná $t$ se $\Im e^{it}$ příliš neliší od
$\arg(e^{it})$, přesněji že
$\lim_{t\to0^+} {\arg(e^{it})\over \Im(e^it)} = 1$. Na obrázku
je $a=\Im(e^{it})$, dále $u=\arg(e^{it})$ je délka oblouku a $b=a/\sqrt{1-a^2}$ z
Pythagorovy věty a z podobnosti trojúhelníků. Obrázek je nakreslen jen pro
$\arg(e^{it})\in (0,\pi/2)$, což nám ale pro vyšetření limity pro $t\to0+$
(a tedy též $C\,t=\arg(e^{it})\to0^+$) stačí.
Plocha šedého trojúhelníku je $a/2$, plocha kruhové výseče je $u/2$ a je větší a
plocha trojúhelníku se stranou $b$ je $b/2$ a je největší. Z tohoto porovnání
máme $a\le u\le b$ a tedy
$1 = {a\over a} \le {u\over a} \le {b\over a}$. Takže

$$
   1 \le \lim_{a\to0^+} {u\over a} \le 
   \lim_{a\to0^+} {b\over a} = \lim_{a\to0} {a\over \sqrt{1-a^2}}\,{1\over a} =
   \lim_{a\to0^+} {1\over\sqrt{1-a^2}} = 1 
$$
Věta o dvou strážnících nám říká, že prostřední limita musí být rovna jedné.
To je ve skutečnosti limita
$$
  \lim_{t\to0^+} {\arg(e^{it})\over \Im e^{it}} = 1.
$$
Dostáváme nakonec
$$
  C = \lim_{t\to0^+} {C\,t\over t} = \lim_{t\to0^+} {\arg(e^{it})\over t} = 
      \lim_{t\to0^+} {\arg(e^{it})\over \Im e^{it}} {\Im e^{it} \over t} = 1\cdot1 = 1.
$$
Takže náš řetízkový kolotoč podél jednotkové kružnice $e^{it}$ se točí
rychlostí 1.

\para{Eulerův vzorec}
Protože $\arg(-1)=\pi$ a $-1$ leží na jednotkové kružnici, platí:
$$
   e^{i\pi} = -1
$$ 


\npara{Rozdělení exponentu na reálnou a imaginární část}
Komplexní exponenciální funkci lze rozepsat:
$$
   e^{a+ib} = e^a e^{ib} = e^a (\cos b + i\sin b).
$$
Poslední rovnost plyne z toho, že jsme definovali $\cos b=\Re e^{ib}$, 
$\sin b = \Im e^{ib}$.

\para{Důkaz limity pro funkci sin v nule}
Na závěr si ještě prosím všimněte, že jsme ve vzorci~\ref[sin/x] dokázali
důležitou limitu
$$
  \lim_{x\to 0} {\sin x\over x} = 1.
$$

\bye
 