%% Lineární algebra // úvod do algebry, zejména lineární %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Petr Olšák % Zmeny zde by mohly vest ke druhemu vydani % Toto je zdrojový text ke skriptu "úvod do algebry, zejména lineární" % (\booktrue) i k veřejnému textu "Lineární algebra" (\bookfalse). \input utf8off \nonstopmode \hoffset=-4mm \chyph % použijte formát csplain \advance\vsize by12pt \font\mathbf=cmmib10 \newfam\bfmath \textfont\bfmath=\mathbf \font\bbf=csbx12 \font\bigf=csbx12 scaled\magstep3 \font\logocvut=lev \def\vcerejsiverze{\advance\day by-1 } \newcount\kapnum \newcount\odstnum \newcount\rcenum \newcount\numlink \newcount\okrajnum \newcount\tempnum \newdimen\colwidth \newif\ifladeni \newif\iftwoside \newwrite\fileref \newread\testin \newif\ifbook \newif\ifcviceni \newif\ifpouzereseni \ladenitrue %%%%%%%%%%% tiskne odkazovací slova k jednotlivým objektům %\vcerejsiverze %%%%%%%% text jsem připravil doma večer a TeXuji ráno v práci %\twosidetrue %%%%%%%%%% pro oboustranný tisk %\booktrue %%%%%%%% text vcetne cviceni pro tistena skripta %\cvicenitrue %%%%%%%% pouze tisk cviceni vcetne reseni %\pouzeresenitrue %%%%%% tisk pouze reseni bez textu cviceni \def\resenilist {\reseni 1 \reseni 2 \reseni 3 \reseni 4 \reseni 5 \reseni 6 \reseni 7 \reseni 8 \reseni 10 \reseni 11 } \def\nazevskripta {Úvod do algebry, zejména lineární} \ifbook \let\nazevdila=\nazevskripta \mag 970 % skripta nejsou presne formatu A4, ale mensi \def\offsetvalue{7mm} \let\orimakeheadline=\makeheadline \def\makeheadline{\orimakeheadline\medskip\nointerlineskip} \else \def\nazevdila {Lineární algebra} \def\offsetvalue{4mm} \fi \def\beglink#1{} \def\endlink{} \def\aimlink#1{} \def\urllink#1{{\tt#1}} \def\zalozka#1{} \let\kapzalozka=\zalozka \def\Brown{}\def\Black{} \def\ifnextchar#1#2#3{\let\tznak=#1\def\bodyA{#2}\def\bodyB{#3}% \futurelet\znak\testuj} \def\testuj{\ifx\znak\tznak\let\next=\bodyA\else\let\next=\bodyB\fi\next} \def\ignorechar#1#2 {#1} \def\kapitola{\advance\kapnum by 1 \odstnum=0 \rcenum=0 \okrajnum=0 \ifnextchar[{\kaplabel}{\def\dolink{}\def\kaplabelik{}\inkapitola}} \def\inkapitola #1 | #2 \par {\vfil\break \bigskip\noindent\raise15pt\hbox{\kapzalozka{#2}\dolink}% {\bbf\ifnum\kapnum=0\else\the\kapnum. \fi#1}\par\nobreak\bigskip \xdef\headtext{\ifnum\kapnum=0 \else\the\kapnum. \fi#1}\xdef\lmark{} \immediate\write\fileref{\string\refkapitola{\the\pageno}{\headtext}} \ifx\kaplabelik\empty \else \immediate\write\fileref { \space\space\space \string\refodstavec [\kaplabelik]{\the\kapnum}}\fi \global\headline={\hfil\starthead}} \def\kaplabel[#1] {%\expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax \def\kaplabelik{#1}\def\dolink{\aimlink{c:#1}}% \inkapitola} \def\starthead{\ifodd\pageno\else\xdef\lmark{\firstmark}\fi \global\headline={\vbox{% \iftwoside\ifodd\pageno \line{\strut\it \hfil\nazevodstavcu}% \else \line{\strut\it \xdef\lmark{\firstmark}\headtext\hfil}% \fi\else \line{\strut\it \nazevdila\hfil\headtext}% \fi \smallskip\hrule}}} \def\dalsiodstavec#1{% \ifnextchar*{\def\nazevodstavce{#1.\kern-2pt*}\ignorechar\doodstavec}% {\def\nazevodstavce{#1.}\doodstavec}} \def\doodstavec{\endpar \advance\odstnum by 1 \def\start{\noindent\leftsymbol {\bf\the\kapnum.\the\odstnum. \nazevodstavce}\space\barva} \aimlink{o:\the\kapnum.\the\odstnum}% \ifnextchar[{\ulozlabel}{\start}} \def\normalendpar{\par\removelastskip \penalty-200\bigskip} \let\endpar=\normalendpar \def\barva{} \def\leftsymbol{} \def\ulozlabel[#1]{\aimlink{c:#1}% \immediate\write\fileref { \space\space\space \string\refodstavec [#1]{\the\kapnum.\the\odstnum}}% \ifladeni \noindent\llap{[#1]\ \ifcviceni\quad\fi}\fi \start\ignorespaces} \def\rce(#1){\expandafter\ifx\csname r:#1\endcsname\relax \global\advance\rcenum by1 \expandafter\xdef\csname r:#1\endcsname {\the\kapnum.\the\rcenum}% \aimlink{r:#1}% \else\errmessage{duplikace labelu rce(#1)}% \fi \eqno (\the\kapnum.\the\rcenum)} \def\pozn{\dalsiodstavec{Poznámka}} \let\poznamka=\pozn \def\priklad{\dalsiodstavec{Příklad}} \def\cviceni{\dalsiodstavec{Cvičení}} \def\pozorovani{\dalsiodstavec{Pozorování}} \def\algoritmus{\ifnextchar({\nazvanyalgoritmus}{\dalsiodstavec{Algoritmus}}} \def\nazvanyalgoritmus(#1) {\dalsiodstavec{Algoritmus (#1)}} \def\shrnuti{\dalsiodstavec{Shrnutí}} \def\definice{\dalsiodstavec{Definice}} \def\veta{\ifnextchar({\nazvanaveta}{\dalsiodstavec{Věta}}} \def\nazvanaveta(#1) {\ifnextchar*{\ignorechar{\dalsiodstavec{Věta* (#1)}}}% {\dalsiodstavec{Věta (#1)}}} \def\dukaz{\removelastskip\bigskip\noindent{\bf Důkaz.}\space\ignorespaces} \def\exdukaz{\removelastskip\bigskip\noindent {\bf Důkaz }(pro hloubavé čtenáře).\space\ignorespaces} \let\nodukaz=\relax \def\bod(#1){({\rm#1})&\quad} \let\em=\it \def\eng{\medskip\hrule width .15\hsize\medskip\noindent\llap*} \def\eng#1\par{} \def\ncite{\ifnextchar({\citerce}{\citeodst}} \def\lcite[#1]{~/\ncite[#1]/} \def\kcite#1{~\let\patvar=#1\citeodst} \def\cite{~\ncite} \def\citeodst[#1]{\expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax ??% \message{odkaz [#1] neni deklarovan.}% \else \beglink{c:#1}\patvar{\csname c:#1\endcsname}\endlink\fi \let\patvar=\relax} \def\citerce(#1){\expandafter\ifx\csname r:#1\endcsname\relax (??)% \else \beglink{r:#1}(\csname r:#1\endcsname)\endlink\fi} \def\okraj #1 | #2 \par {\par \global\advance\okrajnum by 1 \global\setbox0=\hbox to0pt{\def\hb{\break}\line \iftwoside \ifodd 0\csname ok:\the\kapnum:\the\okrajnum\endcsname {\hfil\rlap{\hskip1em\vtop {\hsize=.8in\noindent\raise15pt\hbox{\zalozka{#2}}\raggedright \it\Brown#1\Black}}}% \else {\llap{\vtop {\hsize=.8in \leftskip=0pt plus4em \parfillskip=0pt \noindent\raise15pt\hbox{\zalozka{#2}}% \it\Brown#1\Black}\hskip1em}\hfil}% \fi\else {\hfil\rlap{\hskip1em\vtop {\hsize=.8in\noindent\raise15pt\hbox{\zalozka{#2}}\raggedright \it\Brown#1\Black}}}% \fi \hss}% \ht0=3.5pt\dp0=3.5pt \global\everypar={\setbox2=\lastbox \write\fileref{ \space\string\refokraj{\the\pageno}{#1}}% {\def\uv##1{\clqq##1\crqq}\def\hb{\space}\mark{#1}}% \global\everypar={}\strut\box0\box2 } } \def\nazevodstavcu{\edef\rmark{\botmark}% \ifx\lmark\empty \let\lmark=\rmark \fi \ifx\lmark\rmark \ifx\lmark\empty \else \lowerfirst\lmark \lmark \fi \else \lowerfirst\lmark \lowerfirst\rmark {\lmark} --- {\rmark}\fi } \def\lowerfirst#1{\def\temp{#1}\expandafter\sejmiprvni#1::} \def\sejmiprvni#1#2::{\expandafter\def\temp{\lowercase{#1}#2}} \def\ktere#1{\ifcase#1 nulté\or první\or druhé\or třetí\or čtvrté\or páté\or šesté\or sedmé\or osmé\or deváté\or desáté\or jedenácté\or dvanácté\or třinácté\or čtrnácté\or patnácté\or šestnácté\or sedmnácté\or osmnácté\else ??\fi} \def\ktera#1{\ifcase#1 nulté\or první\or druhá\or třetí\or čtvrtá\or pátá\or šestá\or sedmá\or osmá\or devátá\or desátá\or jedenáctá\or dvanáctá\or třináctá\or čtrnáctá\or patnáctá\or šestnáctá\or sedmnáctá\or osmnáctá\else ??\fi} \let\patvar=\relax \def\hb{\space} \def\R{{\bf R}} \def\N{{\bf N}} \def\A{{\bf A}} \def\B{{\bf B}} \def\C{{\bf C}} \def\D{{\bf D}} \def\E{{\bf E}} \def\G{{\bf G}} \def\H{{\bf H}} \def\O{{\bf O}} \def\P{{\bf P}} \def\L{{\bf L}} \def\U{{\bf U}} \def\Q{{\bf Q}} \def\X{{\bf X}} \def\Y{{\bf Y}} \def\Z{{\bf Z}} \let\phi=\varphi \let\oodot=\odot \def\odot{{\oodot}} \def\Circ{\mathbin{\raise.1em\hbox{$\scriptscriptstyle\bigcirc$}}} \def\konv{\mathbin{\ast}} \let\impl=\Rightarrow \let\equiv=\Leftrightarrow \def\lob<#1>{\langle#1\rangle} \def\lobr<#1>{\langle\hbox{\rm r:}\,#1\rangle} \def\lobb<#1>{\bigl\langle#1\bigr\rangle} \def\hod{\mathop{\rm hod}} \def\sgn{\mathop{\rm sgn}} \def\diag{\mathop{\rm diag}} \def\a{{\cal A}} \def\b{{\cal B}} \def\c{{\cal C}} \def\m{{\cal M}} \def\i{{\cal I}} \def\d{{\rm d}} \def\ker{\mathop{\rm Ker}} \def\nullsp{\mathop{\rm Null}} \def\defekt{\mathop{\rm def}} \def\kolmy{\mathbin{\bot}} \def\df#1{\buildrel\hbox{\sevenrm df}\over#1} \let\vector\overrightarrow \def\vec#1{{\fam\bfmath#1}} \def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}} \def\lkvecc #1.#2_#3{#1_1\,\vec#2_1+#1_2\,\vec#2_2+\cdots+#1_#3\,\vec#2_#3} \def\odsun{\hskip4em{}} \def\teckacarka{\mathcode`\.="013B } \def\soustava#1{\vcenter{\bigspaces\def\1{\hphantom1}\def\.{\rlap.}% \ialign{&\hfil${}##{}$\cr#1\crcr}}} \def\bigspaces{\thickmuskip=10mu\medmuskip=7mu\relax} \def\nobigspaces{\let\bigspaces=\relax} \def\matice#1{\left(\kern-3pt\vcenter {\tabskip=5pt\halign{&\strut\hfil$##$\cr#1\crcr}}\kern-3pt\right)} \def\bb#1 {\par\indent\llap{#1 }\hang\ignorespaces} \def\+{\phantom+} \def\dotfill{\cleaders\hbox to.5em{\hfil.\hfil}\hfill} {\catcode`\:=13 \gdef:{\,\mathchar"003A\;}} \mathcode`\:="8000 \input epsf \def\noendpar{\def\endpar{\let\endpar=\normalendpar}}% \def\obrazek #1+#2 #3 #4 #5{\endpar % #1 [zlomek \hsize] = sirka obrazku + #2 = okraj, #3 = vyska obrazku v radcich % #4 = nazev souboru bez pripony, #5 = sada prikazu \p \colwidth=\hsize \advance\colwidth by-#1\hsize \nointerlineskip\moveright\colwidth\vbox to0pt{\offinterlineskip \ifx\endpar\normalendpar \else \bigskip\fi \kern4pt \kern\shiftpic \vbox to0pt{\pic{#1\hsize}{#4}\vss}#5\vss} \def\shiftpic{0pt}\noendpar \colwidth=#1\hsize \advance\colwidth by#2\hsize \hangindent-\colwidth \hangafter=-#3 \nobreak} \def\p #1 #2 #3 {\vbox to0pt{\kern#1pt \setbox0=\hbox to0pt{\kern #2pt $#3$\hss}\ht0=0pt \dp0=0pt \box0\vss}} \def\ha #1 {\hangindent=-\colwidth \hangafter=-#1 } \def\dolu #1 {\def\shiftpic{#1}} \def\shiftpic{0pt} \ifx\pdfoutput\undefined \def\pic #1#2{\epsfxsize=#1\hbox{\epsfbox{#2.eps}}} \else \def\pic #1#2{\pdfximage width#1{#2.pdf}\pdfrefximage\pdflastximage} \fi \def\tocfill{\leaders\hbox{ . }\hfill} \def\refkapitola#1#2{\advance\kapnum by1 \bigskip\line{#2 \tocfill\space#1}\nobreak} \def\refokraj#1#2{\advanceokraj \expandafter\xdef\csname ok:\the\kapnum:\the\okrajnum\endcsname{#1}% \line{\hskip3em #2 \tocfill\space#1}} \def\refodstavec [#1]#2{% \expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax \expandafter\gdef\csname c:#1\endcsname {#2}% \else\errmessage{duplikace labelu [#1]}% \fi} \def\pocetokraju{ \expandafter\ifx \csname kapokraj:\the\kapnum \endcsname \relax 0\else \csname kapokraj:\the\kapnum \endcsname \fi} \def\advanceokraj{\okrajnum=\pocetokraju \advance \okrajnum by1 \expandafter \xdef \csname kapokraj:\the\kapnum \endcsname{\the\okrajnum}} \def\softinput #1 {\let\next=\relax \openin\testin=#1 \ifeof\testin \message{\warninginput}% \else \closein\testin \def\next{\input #1 }\fi \next} \def\delejobsah{\bgroup \kapnum=-1 % \advance\vsize by-4\baselineskip \noindent {\bbf Obsah} %\bigskip \def\warninginput{VAROVÁNÍ: pro vytvoření obsahu TeXujte ještě jednou.}% \softinput \jobname.ref \immediate\openout\fileref\jobname.ref \egroup} \output={\iftwoside \ifodd\pageno \hoffset=-4mm \else \hoffset =\offsetvalue \fi\fi \let\uv=\relax \let~=\relax \let\lobr=\relax \plainoutput} \ifbook %%%%%%%%%%% makra pro cteni cviceni.tex %%%%%%%%%%%%%% \def\icviceni #1 {\okraj Cvičení | Cviceni \par \immediate\write\fileref{\string\startcviceni{\the\kapnum}{\the\odstnum}} \long\def\skipcv ##1\cvikap #1{} \expandafter \skipcv \input cviceni } \else \def\icviceni #1 {} % cviceni nejsou ve verejne verzi textu k dispozici \fi \def\startcviceni#1#2{\expandafter\gdef\csname cv:#1\endcsname{#2}} \let\ekap=\endinput \long\def\vy #1\evy {} \let\epar=\relax \def\za#1){\par\indent\llap{#1) }\ignorespaces} \def\diza#1){\hbox{#1)}\ } \def\nza#1){ #1)~\ignorespaces} \newif\ifipage \ipagetrue %%%%%%%%%%%%%% rejstrik \newwrite\fileidx \ifcviceni \else \ifpouzereseni \else \immediate\openout\fileidx=\jobname.idx \fi\fi \def\inl[#1]{\ifhmode\unskip\fi\doinl#1,,} \def\doinl#1,{\if?#1?\let\next=\relax\else \def\next{\bezmezery#1<<}\fi \next} \def\bezmezery #1#2<<{\toidxfile[#1#2]\doinl} \def\toidxfile[#1]{\ifipage\else \immediate\fi \write\fileidx{\string\idx{#1}{\ifipage \the\pageno\else \the\kapnum\theodstnum\fi}}} \def\theodstnum{\ifnum\odstnum<10 0\fi\ifnum\odstnum<100 0\fi\the\odstnum} \def\trindef#1#2{\expandafter\def\csname x:#1\endcsname{#2}} % lineární prostor: viz též prostor \trindef{R9n}{$\R^n$} \trindef{R}{$\R$} \trindef{R2}{$\R^2$} \trindef{R3}{$\R^3$} \trindef{v Rn}{v~$\R^n$} \trindef{v R3}{v~$\R^3$} \trindef{UO}{$U_O$} \trindef{C}{$\C$} \trindef{C0n}{$\C^n$} \trindef{Z2}{$\Z_2$} \trindef{GF2}{${\rm GF}(2)$} \trindef{Z9p}{$\Z_p$} \trindef{Z2n}{$\Z_2^n$} \trindef{GFp}{${\rm GF}(p)$} \trindef{GFpm}{${\rm GF}(p^m)$} \trindef{0sim}{$\sim$} \trindef{detA}{$\det\A$} \trindef{rA}{$\hbox{r:}\,\A$} \trindef{rA0lobrA}{$\lobr<\A>$} \trindef{0lobM}{$\lob<\,.\,>$} \trindef{1AT}{$\A^T$} \trindef{1A1}{$\A^{-1}$} \trindef{0MveeN}{$\vee$} \trindef{0kolm}{$\kolmy$} \trindef{1a}{$\a$} \trindef{KerA}{$\ker\a$} \trindef{defA}{$\defekt\a$} \trindef{hodA}{$\hod\A$} \trindef{hoda}{$\hod\a$} \trindef{0circ}{$\circ$} \trindef{0normx}{$\|\,.\,\|$} \trindef{E3}{$\E_3$} \trindef{V3}{$V_3$} \trindef{Vietovy}{Vi\`etovy} \trindef{dimL}{$\dim L$} \trindef{0times}{$\times$} \trindef{0to}{$\to$} \trindef{lp}{$l_p$} \trindef{Lp}{$L_p$} \immediate\write\fileidx{\string\idx{lineární: prostor}{11333}} \trindef{11333}{viz též {\it prostor}} \def\delejrejstrik{\kapitola [rejstrik] Rejstřík | Rejstrik \par \pozn Na rozdíl od běžných rejstříků tento neodkazuje na čísla stran, ale na čísla odstavců. To by mělo čtenáři umožnit rychleji najít slovo z rejstříku v textu, protože cíl odkazu je přesnější: text odstavce je typicky menší než text celé strany. \par Až na výjimky nejsou v rejstříku pojmy odkazovány na všechna místa, kde se vyskytují. Například pojem \uv{lineární prostor} nebo \uv{matice} by asi musel obsahovat odkazy na skoro všechny odstavce. To by ztratilo smysl. Často používané pojmy jsou tedy v~rejstříku odkazovány jen na místa, kde jsou definovány nebo kde jsou uvedeny jejich důležité vlastnosti. \par \def\warninginput{VAROVÁNÍ: pro vytvoření rejstříku použijte \space csindex -s linal.icf -z il2 linal .} \begmulti 2 \softinput \jobname.ind \endmulti } \def\ind#1, {\def\bodyind{#1}\def\bodyindp{#1}% \ifnextchar\subind{}{\normalind#1, }} \def\normalind#1, {\par\noindent\mark{\trind{\bodyindp}}\hangpar \trind{#1}\nobreak\enspace\printnums} \def\subind#1, {\def\subbody{#1}\def\subbodyp{#1}% \ifnextchar\subsubind{}{\normalsubind#1, }} \def\normalsubind#1, {\par\noindent\mark{\trind{\bodyindp}}\hangpar \trind{\bodyind}\space\trind{#1}% \def\bodyind{---}\nobreak\enspace\printnums} \def\subsubind#1, {\par\noindent\mark{\trind{\bodyindp}}\hangpar \trind{\bodyind}\space\trind{\subbody}\space\trind{#1}% \def\bodyind{---}\def\subbody{---}\nobreak\enspace\printnums} \def\hangpar{\hangindent=2em} \def\trind#1{\expandafter\ifx\csname x:#1\endcsname\relax #1\else {\csname x:#1\endcsname}\fi} \def\printnums{\afterassignment\printonenum\tempnum=} \def\printonenum{\shownum\ifnextchar,% {, \afterassignment\printnums\let\temp=}{\ifnextchar-{\printft}{}}} \def\shownum{% \expandafter \ifx \csname x:\the\tempnum\endcsname \relax \ifnum\tempnum<1000 (str.~\the\tempnum)% \else \odstnum=\tempnum \divide\tempnum by1000 \edef\tmp{\the\tempnum}% \multiply\tempnum by1000 \advance\odstnum by-\tempnum \beglink{o:\tmp.\the\odstnum}\tmp.\the\odstnum\endlink \fi \else \csname x:\the\tempnum\endcsname \fi} \def\printft--{--\afterassignment\onlyodstnum\odstnum=} \def\onlyodstnum{\advance\odstnum by-\tempnum \the\odstnum \ifnextchar,{, \afterassignment\printnums\let\temp=}{}} \newdimen\colsep \colsep=2em % horiz. mezera mezi sloupci \newcount\tempnum % pracovní proměnná \splittopskip=\baselineskip \def\roundtolines #1{%% zaokrouhlí na celé násobky vel. řádku \divide #1 by\baselineskip \multiply #1 by\baselineskip} \def\corrsize #1{%% #1 := #1 + \splittopskip - \topskip \advance #1 by \splittopskip \advance #1 by-\topskip} \def\begmulti #1 {\par\bigskip\penalty0 \def\Ncols{#1} \setbox0=\vbox\bgroup\penalty0 %% \hsize := šířka sloupce = (\hsize+\colsep) / n - \colsep \advance\hsize by\colsep \rightskip=0pt plus 2em \divide\hsize by\Ncols \advance\hsize by-\colsep} \def\endmulti{\vfil\egroup \setbox1=\vsplit0 to0pt %% \dimen1 := velikost zbylého místa na stránce \ifdim\pagegoal=\maxdimen \dimen1=\vsize \corrsize{\dimen1} \else \dimen1=\pagegoal \advance\dimen1 by-\pagetotal \fi \ifdim \dimen1<2\baselineskip \vfil\break \dimen1=\vsize \corrsize{\dimen1} \fi %% \dimen0 := výška n sloupcové sazby po rozdělení do sloupců %% = (\ht0 + (n-1)\baselineskip) / n, zaokruhleno na řádky \dimen0=\Ncols\baselineskip \advance\dimen0 by-\baselineskip \advance\dimen0 by \ht0 \divide\dimen0 by\Ncols \roundtolines{\dimen0} %% Rozdělit sazbu n sloupců do stránek nebo nerozdělit ? \ifdim \dimen0>\dimen1 \splitpart \else \makecolumns{\dimen0} \fi \ifvoid0 \else \box0\message{ERROR: ztracený text ve sloupcích?} \fi \bigskip} \def\makecolumns#1{\setbox1=\hbox{}\tempnum=0 \xdef\smark{} \loop \ifnum\Ncols>\tempnum \setbox1=\hbox{\unhbox1 \vsplit0 to#1 \hss \ifx\smark\empty\xdef\smark{\splitfirstmark}\fi} \advance\tempnum by1 \repeat \hbox{}\nobreak\vskip-\splittopskip \nointerlineskip \line{\unhbox1\unskip\mark{{}\smark}\mark{{}\splitbotmark}}} \def\splitpart{\roundtolines{\dimen1} \makecolumns{\dimen1} \advance\dimen0 by-\dimen1 %% \dimen0 := výška _zbylé_ n sloupcové sazby %% \dimen1 := prázdné místo na stránce = (cca) \vsize \vfil\break \dimen1=\vsize \corrsize{\dimen1} %% Rozdělit zbylou sazbu n sloupců do více stránek ? \ifvoid0 \else \ifdim \dimen0>\dimen1 \splitpart \else \dimen0=\Ncols\baselineskip \advance\dimen0 by-.5\baselineskip \advance\dimen0 by \ht0 \divide\dimen0 by\Ncols \roundtolines{\dimen0} \makecolumns{\dimen0} \fi \fi} \newcount\bibnum \newwrite\filebr \def\bibitem#1#2{\expandafter\def\csname br:#1\endcsname{#2}} \def\warninginput{VAROVÁNÍ: kvůli odkazům na literaturu TeXujte ještě jednou.} \softinput \jobname.br \ifcviceni \else \ifpouzereseni \else \immediate\openout\filebr=\jobname.br \fi\fi \def\bib [#1]{\advance\bibnum by1 \immediate\write\filebr{\string\bibitem{#1}{\the\bibnum}}% \smallskip\hangindent\parindent\indent\llap{[\the\bibnum]\enspace}\ignorespaces} \def\bcite[#1]{\expandafter\ifx\csname br:#1\endcsname \relax \message{bib.odkaz [#1] není deklarován.}~[??]% \else ~[\csname br:#1\endcsname]\fi} %%%%%%%%%%% makra pro sazbu soustav ve cviceni.tex %%%%%%%%%%%%%%% \def\sous {\vcenter\bgroup \def\hhead{}\sousa} \def\sousa #1 {\ifx\\#1\relax \expandafter\sousb \else \ifx\hhead\empty \def\hhead{\hfil${}\param#1$&}% \else \expandafter\def\expandafter\hhead \expandafter{\hhead ${}\param\hfil#1$&}% \fi \expandafter\sousa \fi } \def\sousb #1 \esous{\def\param{########}% \edef\hhead{\hhead}% \halign{\span\hhead ${}=\hfil##$\cr \\ #1 \crcr}\egroup} \def\\ #1 {\if=#1% \expandafter \sousc \else \if!#1\else % je mozne psat !\multispan4\dotfill\cr nebo tak neco \if0#1\expandafter\omit\else \def\tmp{#1}% \ifx\tmp\plusjedna+\else \ifx\tmp\minusjedna-\else \ifx\tmp\normaljedna \else #1\fi\fi\fi\fi &\fi\expandafter\expandafter\expandafter\\\expandafter\space \fi } \def\sousc #1 {#1 \cr} \def\0{\phantom0} \def\plusjedna{+1} \def\minusjedna{-1} \def\normaljedna{1} \def\mmaticei#1{\vcenter{\baselineskip=.7\baselineskip \lineskip=0pt \halign{\hfil$\scriptstyle##$\hfil&&\enspace \hfil$\scriptstyle##$\hfil\crcr#1\crcr}}} \def\mmatice#1{\left(\mmaticei{#1}\right)} \def\dmmatice#1{\left|\mmaticei{#1}\right|} \def\setbar{\catcode`|=13 } {\setbar \gdef|{\kern-2pt&\vrule height1.35ex depth.6ex&\kern-2pt}} \ifx\pdfoutput\undefined \else %%%%%%%%%%% makra pro pdfTeX %%%%%%%%%%%%%%%% \pdfcompresslevel=9 \ifx\pdfannotlink\undefined % Verze pdfTeXu >= 14 \let\pdfannotlink=\pdfstartlink \fi \def\pdfsetcmykcolor#1{\special{PDF:#1 k}} \def\Blue{\pdfsetcmykcolor{0.9 0.9 0.1 0}} \def\Red{\pdfsetcmykcolor{0.1 0.9 0.9 0}} \def\Brown{\pdfsetcmykcolor{0 0.85 0.87 0.5}} \def\Green{\pdfsetcmykcolor{0.9 0.1 0.9 0}} \def\Black{\pdfsetcmykcolor{0 0 0 1}} \def\definice{\dalsiodstavec{\Blue Definice\Black}} \def\veta{\def\barva{\Blue}% \ifnextchar({\nazvanaveta}{\dalsiodstavec{\Red Věta\Black}}} \def\nazvanaveta(#1) {\dalsiodstavec{\Red Věta\Black\ (#1)}} \def\em{\leavevmode\aftergroup\Black\Red\it} \def\dukaz{\removelastskip\bigskip \noindent\Black\def\barva{}{\bf Důkaz.}\space\ignorespaces} \def\exdukaz{\removelastskip\bigskip \noindent\Black\def\barva{}% {\bf Důkaz }(pro hloubavé čtenáře).\space\ignorespaces} \def\nodukaz{\Black\def\barva{}} \pdfinfo{/Author (Petr Olsak) /CreationDate (/\the\month/\the\year) /ModDate (\the\day. \the\month. \the\year) /Creator (TeX) /Producer (pdfTeX) /Title (Linearni algebra) /Subject (ucebni text) /Keywords (linearita, algebra) } \def\beglink#1{% % Začátek textu odkazu, #1 je klíč odkazu \Green \pdfannotlink height9pt depth3pt attr{/Border[0 0 0]} goto name{#1}\relax} \def\endlink{\pdfendlink\ifx\barva\empty\Black\else\barva\fi} \def\aimlink#1{% % Místo cíle odkazu, #1 je klíč odkazu \pdfdest name{#1} fith\relax} \def\urllink#1{\pdfannotlink height 10pt depth 3pt user{/Border[0 0 0]/Subtype/Link/A << /Type/Action/S/URI/URI(#1)>>}\relax \Green{\tt #1}\Black\pdfendlink} \def\zalozka#1{\global\advance\numlink by1 \pdfdest num\numlink fith\relax {\let~=\space\pdfoutline goto num\numlink {#1}}} \def\kapzalozka#1{\global\advance\numlink by1 \pdfdest num\numlink fith\relax {\let~=\space\pdfoutline goto num\numlink count-\pocetokraju {#1}}} \pdfcatalog{/PageMode /UseOutlines}\relax \fi %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% konec maker pro pdfTeX %%%%%%%%%%%%%%% \def\poznamkakreseni{ \noindent Vážení studenti, tento dokument obsahuje řešení ke cvičením, která najdete ve skriptu {\it Úvod od algebry, zejména lineární}. Zatím nejsou uvedena řešení všechna, ovšem postupně během semestru budu přidávat další. V~textu se znovu neopakuje zadání cvičení, abychom ušetřili místo na papíru. V případě, že byste si to chtěli tisknout, jistě uvítáte, že je stránek co nejméně. Ze stejného důvodu je text psán velmi stručně a \uv{hustě}, takže v žádném případě nemůže sloužit jako ukázka, jak má vypadat dobrá typografie. Šlo mi skutečně hlavně o úsporu místa. Po pravé straně každého čísla příkladu (jako horní index) je uveden číselný údaj v rozsahu 0--5, kterým naznačuji důležitost tohoto příkladu v našem předmětu {\it Úvod do algebry}. Pětka znamená příklad zásadní důležitosti a nula znamená, že příklad můžete ignorovat. Proč jsou ve skriptech příklady \uv{nulové důležitosti}? Skripta totiž obsahují věci, které se dají použít později v dalších předmětech souvisejících s algebrou, ale nejsou součástí osnovy našeho úvodního předmětu. Čísla označující důležitost příkladu v sobě zahrnují do jisté míry i obtížnost příkladu. Lapidárně se dá říci, že pokud neumíte samostatně odpovědět na cvičení označené číslem 5, pak je zbytečné chodit na zkoušku. S~účastí na zkoušce byste si to měli rozmyslet i při problémech se cvičeními označenými číslem~4. Cvičení s čísly 3 a 2 by neměla uniknout Vaší pozornosti, pokud chcete získat větší přehled o~předmětu a chcete u zkoušky dosáhnout na lepší známku než 3. Tento text (narozdíl od skript samotných) neprošel redakční úpravou. Dá se bohužel tedy předpokládat, že v něm budou i nějaké chyby a překlepy. Prosím o toleranci k těmto jevům a o případné upozornění na chyby, abych je pak mohl v další verzi textu opravit. \medskip \noindent Verze textu: \the\day. \the\month. \the\year \hfill Petr Olšák \bigskip } \ifpouzereseni \hoffset=4mm \global\headline={\vbox{% \line{\strut\it \nazevskripta \hfil Řešení cvičení}% \smallskip\hrule}} \def\skippar #1#2{\advance\odstnum by1 \long\def\doskippar ##1#1{} \def\next{#2}\expandafter\next\doskippar} \def\cviceni {\skippar\vy\vy} \def\veta {\skippar\epar\relax} \def\definice {\skippar\epar\relax} \def\priklad {\skippar\epar\relax} \def\poznamka {\skippar\epar\relax} \def\vy#1 {\bgroup \def\za##1){\par\noindent\llap{$\rightarrow$ }(##1)} \def\nza##1){(##1)~\ignorespaces} \medskip\noindent \llap{\bf\the\kapnum.\the\odstnum.$^{#1}$\enspace}% {\bf Řešení.} } \def\du#1{${}^#1$} \def\evy{\egroup} \let\ekap=\endinput \def\okraj #1 \par {} \def\write#1#2{}\let\immediate=\relax \def\refkapitola#1#2{} \def\refokraj#1#2{}{} \softinput \jobname.ref \def\reseni #1 { \kapnum=#1 \odstnum=\csname cv:#1\endcsname \long\def\skipcv ##1\cvikap #1{} \expandafter \skipcv \input cviceni } \poznamkakreseni \resenilist \expandafter \end \fi \ifcviceni \def\cvikap #1 {\bigskip {\bf KAPITOLA #1}\par\nobreak\medskip \kapnum=#1 \odstnum=\csname cv:#1\endcsname } \def\vy #1 {\bgroup \def\za##1){\par\noindent\llap{$\rightarrow$ }(##1)} \def\nza##1){(##1)~\ignorespaces} \medskip\noindent\llap{(#1) }{\bf Řešení.} } \def\du#1{${}^#1$} \def\evy{\egroup} \let\ekap=\relax \def\okraj #1 \par {} \def\leftsymbol{\llap{$\bullet\bullet$\kern5pt}} \def\write#1#2{}\let\immediate=\relax \def\refkapitola#1#2{} \def\refokraj#1#2{}{} \softinput \jobname.ref \input cviceni \expandafter \end \fi %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% zacina text %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\nopagenumbers \parindent=0pt \null\vskip3cm \centerline{\bigf Petr Olšák} \vskip2cm \centerline{\bigf \nazevdila} \vskip2cm \ifbook \centerline{\bbf FEL ČVUT Praha, 2007} \else \centerline{\bbf Praha, druhé vydání 2010} \fi \vskip2cm \centerline{\logocvut E} \vfil\break \null \vskip2cm \ifbook %%%%%%% text pro tistena skripta Významná část tohoto textu je od roku 2000 šířena volně pod jménem {\em Lineární algebra} podle licence \urllink{ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/licence.txt}. Na rozdíl od volně šířené předlohy je zde doplněna rozsáhlá sbírka úloh pro každou kapitolu a dále je přidána kapitola o~polynomech. \vskip 3cm \input epsf \hbox{\epsfysize=13.25mm \lower.25mm\hbox{\epsfbox{esf.eps}}\kern1.5mm \epsfysize=13mm \epsfbox{eu.eps}\kern2mm \epsfysize=13mm \epsfbox{praha.eps}\kern2mm \epsfysize=13mm \epsfbox{vlajka.eps}} \medskip\noindent Příprava tohoto učebního textu byla spolufinancována evropským sociálním fondem, státním rozpočtem~ČR a rozpočtem hl. m. Prahy. \vfill Lektor: prof. RNDr. Pavel Pták, DrSc. \bigskip Toto skriptum vyšlo nákladem Fakulty elektrotechnické ČVUT. %nikoli v nakladatelství~ČVUT. %Citace: % %\bigskip %Petr Olšák, {\it Úvod do algebry, zejména lineární.} FEL ČVUT, Praha 2007. \bigskip Autor upozorňuje nakladatelství ČVUT, že dnes je zcela obvyklé kromě knižního vydání díla zveřejnit k~volnému použití třeba i doslovný text díla na internetu. Pokud to ediční rada ČVUT přehlédla, můžeme uvést třeba\bcite[beezer],\bcite[hefferon],\bcite[zahradnik],\bcite[TBN]. Příkladů paralelního vydání papírového a internetového by se našlo více. \bigskip Za jazykovou a věcnou správnost obsahu odpovídá autor. \bigskip\bigskip Copyright \copyright{} RNDr. Petr Olšák, 2007 \bigskip ISBN 978-80-01-03775-1 \vskip1cm \break {\parskip=\bigskipamount \input predmluva \vfil\break } \else %%%%%%%% text pro volne siritelnou variantu Text je šířen volně podle licence \urllink{ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/licence.txt}. Text ve formátech \TeX{} (csplain), PostScript, {\tt dvi}, PDF najdete na adrese\hfil\break \urllink{ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/}. \bigskip Verze textu: \the\day. \the\month. \the\year\ (beta verze druhého vydání) \bigskip {\bf Upozornění:} Tento dokument je v rozpracovaném stavu. Bude se ještě během roku 2010 výrazně měnit. \bigskip Text vznikal postupně od roku 2000 a je od té doby volně šířen na uvedených stránkách. Nové partie jsem až do roku 2007 připojoval na konce stávajících kapitol, abych neporušil číslování již existujících odstavců. V červnu 2007 jsem tento text použil ve skriptech\bcite[olsak-ua]. Tam je navíc ke každé kapitole připojena rozsáhlá sbírka cvičení a je přidána kapitola o polynomech. Tyto věci ve verzi volně šířené na internetu nejsou. \bigskip V roce 2010 jsem začal pracovat na \uv{druhém vydání} tohoto textu, který se výrazně liší od předchozího. V některých partiích jsem začal používat (domnívám se) užitečnější značení, ale především jsem text rozčlenil do kapitol výrazně jiným způsobem a opustil jsem od zpětné kompatibility číslování odstavců s první verzí. Druhé vydání má zdrojový soubor {\tt linal2.tex}. K teoretickému úvodu (lineární prostor, lineární závislost, obaly, báze) přidávám pojem souřadnice vzhledem k bázi a v následující kapitole o zobrazeních ukážu, že souřadnice vzhledem k bázi jsou izomorfismem na $\R^n$. Tím vytvořím motivaci podrobněji studovat vlastnosti v $\R^n$ včetně popisu algoritmů. Takže až poté přicházejí na řadu kapitoly o maticích. K lineárním zobrazením se pak vracím podruhé, abych uvedl jejich souvislost s maticemi. V druhém vydání jsem zcela přepracoval kapitoly o lineárních zobrazeních a dále jsem přidal mnoho dalších partií, které souvisejí s praktickými aplikacemi: vyšetřování lineárních obalů, LU rozklad, blokový maticový součin, Strassenův algoritmus, geometrická interpretace množiny řešení soustavy rovnic, matice afinního zobrazení v homogenních souřadnicích. Na konec každé kapitoly jsem připojil odstavec \uv{shrnutí}, který lapidárním jazykem shrnuje, co bylo v kapitole řečeno. Některé odstavce jsem nově označil hvězdičkou. Tím je řečeno, že odstavec obsahuje důležitý výsledek lineární algebry, který rozhodně stojí za povšimnutí. To umožní čtenáři se rychleji orientovat v tom, které partie textu obsahují skutečně zásadní informace a určitě by je neměl přeskočit. \vfill Copyright \copyright{} RNDr. Petr Olšák, 2000, 2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2007, 2010 \vskip2cm \break \fi %%%%%%%%% konec \ifbook \delejobsah \vfill\break \ifodd\pageno \else \null\vfill\break \fi } %\ifbook \else \pageno=1 \fi \kapnum=-1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola [GEM] Gaussova eliminační metoda | Gaussova eliminacni metoda %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Než se pustíme do studia lineárních prostorů a podprostorů, závislosti a nezávislosti vektorů, bází a lineárních obalů, uvedeme si v této úvodní kapitole metodu, která se nám bude často hodit. Protože se k~řešení soustav vrátíme podrobněji v kapitole\kcite\ktere[soustavy], řekneme si zde jen to nejnutnější a budeme se v~některých případech vyjadřovat možná poněkud těžkopádně. Vše napravíme v\kcite\ktere[soustavy] kapitole. {\em Gaussova eliminační metoda\/} je metoda usnadňující řešení soustav lineárních rovnic. {\em Soustava lineárních rovnic\/} je jedna nebo (obvykle) více lineárních rovnic, které mají být splněny všechny současně. {\em Lineární rovnice\/} je rovnice, ve které se jedna nebo (obvykle) více neznámých vyskytuje pouze v první mocnině. Neznámé mohou být násobené různými konstantami a tyto násobky se v součtu mají rovnat dané konstantě, tzv.~{\em pravé straně}. {\em Řešit soustavu rovnic\/} znamená najít řešení, tj.~najít taková reálná čísla, která po dosazení za neznámé v rovnicích splňují všechny rovnice současně. Takové řešení může existovat pro danou soustavu jediné, může se ale stát, že je takových řešení více nebo není žádné. \inl[GEM, Gaussova: eliminační metoda, metoda: eliminační: Gaussova] \inl[eliminační metoda: Gaussova] \inl[soustava: lineárních: rovnic] \okraj Úvodní\hb příklad | Uvodni priklad Metodu si nejprve vysvětlíme na jednoduchém příkladě následující soustavy dvou lineárních rovnic o~dvou neznámých $x$, $y$: $$ \soustava{ 2x - 5y =& 16 \cr {-}x + 2y =&\!\! {-}7 } $$ Ze střední školy asi znáte dvě metody, jak takové soustavy řešit: buď postupným dosazením, nebo násobením rovnic konstantami a vzájemným sčítáním rovnic. Metoda postupného dosazení by mohla vypadat takto: $$\nobigspaces \let\en=\enspace \soustava{2x-5y =& 16& & \impl\en 2(2y+7)-5y = 14-y = 16 \en\impl\en \underline{y=-2} & \cr {}-x+2y =&\!-7&{}\en\impl\en x = 2y+7 && \impl\en x = 2(-2) + 7 \underline{\vphantom y=3}, } $$ ale nemá s Gaussovou eliminační metodou moc společného. Pro rozsáhlejší soustavy (mnoho rovnic, mnoho neznámých) se moc nehodí. Zaměříme se proto na druhou metodu \uv{sčítání rovnic}. V této metodě měníme postupně soustavu rovnic na jinou soustavu se stejným řešením. Změny soustavy, které nemění řešení, jsou následující: \medskip \bb (1) Prohození rovnic mezi sebou.\par \bb (2) Vynásobení rovnice nenulovou konstantou.\par \bb (3) Přičtení libovolného násobku nějaké rovnice k jiné. \medskip Pomocí těchto úprav převedeme soustavu rovnic na jinou soustavu, ze které je již řešení snadno čitelné. Jednotlivé modifikace naší soustavy od sebe oddělujeme znakem \uv{$\sim$}.\inl[0sim] $$\nobigspaces\def\en{\kern2.5pt} \soustava{ 2x - 5y =& 16 \cr {}-x + 2y =&\! -7 } \en\sim \soustava{ 2x - 5y =& 16 \cr {}-2x + 4y =&\!\! -14 } \en\sim\en \soustava{ 2x - 5y =& 16 \cr 0x -\1y =& 2 } \en\sim\en \soustava{ 2x - 5y =& 16 \cr y =&\! -2 } \en\sim\en \soustava{ 2x + 0y =& 6 \cr y =&\! -2 } \en\sim\en \soustava{ x =& 3 \cr y =&\! -2 } $$ Nejprve jsme vynásobili druhou rovnici dvěma, pak jsme obě rovnice sečetli a výsledek napsali na místo druhé rovnice, dále jsme druhou rovnici vynásobili číslem $-1$, pak jsme pětinásobek druhé rovnice přičetli k první a nakonec jsme první rovnici vynásobili číslem $1/2$. Z poslední soustavy čteme přímo řešení. Gaussova eliminační metoda je vlastně shodná s právě použitou metodou \uv{sčítání rovnic}. Navíc Gaussova metoda upřesňuje postup, jak rovnice násobit a sčítat mezi sebou, abychom se cíleně dobrali k výsledku i u rozsáhlých soustav mnoha rovnic s mnoha neznámými. Než tento postup popíšeme, zamyslíme se nad tím, jak stručně můžeme soustavy rovnic zapisovat. V soustavě rovnic není při hledání řešení podstatné, zda se neznámé jmenují $x,y,z$ nebo třeba $\alpha,\beta,\gamma$. Podstatné jsou jen koeficienty, které násobí jednotlivé neznámé, a samozřejmě ještě hodnoty na pravých stranách rovnic. Oddělíme tedy \uv{zrno od plev} a vypíšeme z naší soustavy jen to podstatné (koeficienty u neznámých a hodnoty pravých stran) do tabulky čísel, které budeme říkat {\em matice}: \inl[matice] $$ \def\|{\kern3pt\strut\vrule} \matice{2 & -5 \|& 16 \cr -1 & 2 \|& -7} $$ Pokud chceme prohodit rovnice, v novém značení to znamená prohodit řádky matice. Vynásobení rovnice nenulovou konstantou odpovídá vynásobení řádku matice touto konstantou. Konečně přičtení násobku jedné rovnice k druhé je totožné s přičtením násobku jednoho řádku ke druhému. Postup řešení našeho příkladu tedy můžeme zapsat takto: $$ \def\+{\kern3pt} \def\|{\kern3pt\strut\vrule} \matice{2 & -5 \|&\+16 \cr -1 & 2 \|& -7} \sim \matice{2 & -5 \|& 16 \cr -2 & 4 \|& -14} \sim \matice{2 & -5 \|& 16 \cr 0 &-1 \|& 2} \sim \matice{2 & -5 \|& 16 \cr 0 & 1 \|& -2} \sim \matice{2 & 0 \|& 6 \cr 0 &\+1\|& -2} \sim \matice{1 & 0 \|& 3 \cr 0 &\+1\|& -2} $$ \okraj Další příklad | Dalsi priklad Před výkladem Gaussovy eliminační metody na obecné soustavě lineárních rovnic si ukážeme postup ještě na jednom příkladu, který bude mít čtyři rovnice a pět neznámých. Příklad je zvolen záměrně tak, aby vycházela malá celá čísla, takže se nám to bude dobře počítat bez použití výpočetní techniky. To je obvyklé v~tzv. {\em modelových příkladech}, které mají za úkol ilustrovat obecné algebraické postupy a se kterými se setkáte při řešení úloh ze skript. Jakmile se ale dostanete k úlohám z praxe, budete postaveni před soustavy třeba s~tisíci rovnicemi a se zhruba stejným počtem neznámých. Na malá celá čísla budete muset zapomenout. Bez výpočetní techniky se to pak řešit nedá. Pamatujte tedy, že řešení modelových příkladů ze skript není konečným cílem naší teorie, ale jen pomůckou k pochopení rozsáhlejších souvislostí. \inl[příklad: modelový, modelový příklad] Máme řešit následující soustavu lineárních rovnic $$ \soustava{ -4 x_1 + 4 x_2 -\1 x_3 &+\1 x_4 &- 7 x_5 =& {-11} \cr 2 x_1 - 2 x_2 +\1 x_3 & &+ 3 x_5 =& 4 \cr 4 x_1 - 4 x_2 + 5 x_3 &+\1 x_4 &+ 7 x_5 =& -3 \cr -6 x_1 + 6 x_2 - 4 x_3 &+\1 x_4 &-12 x_5 =& {-7} } $$ Koeficienty této soustavy přepíšeme do matice a matici budeme upravovat pomocí tzv. kroků Gaussovy eliminační metody, mezi které patří prohození řádků mezi sebou, vynásobení řádku nenulovou konstantou nebo přičtení libovolného násobku nějakého řádku k jinému. $$ \def\text#1\nl{&\vcenter{\normalbaselines\hsize=.6\hsize\noindent #1}% \cr\noalign{\medskip}} \def\+{\kern6pt}\def\|{\kern3pt\strut\vrule} \halign to\hsize{\hfil$#$\hfil\tabskip=10pt plus 1fil&$#$\tabskip=0pt\cr \hphantom{\sim} \matice{-4 & 4 &-1 &\+1 & -7 \|& -11 \cr 2 &-2 & 1 & 0 & 3 \|& 4 \cr 4 &-4 & 5 & 1 & 7 \|& -3 \cr -6 & 6 &-4 & 1 &-12 \|& -7} \sim \text Nejprve potřebujeme sčítáním násobků řádků dostat nulu pod první prvek v~prvním sloupci. Aby se nám to lépe dělalo, prohodíme první řádek s druhým. \nl \sim \matice{ 2 &-2 & 1 & 0 & 3 \|& 4 \cr -4 & 4 &-1 &\+1 & -7 \|& -11 \cr 4 &-4 & 5 & 1 & 7 \|& -3 \cr -6 & 6 &-4 & 1 &-12 \|& -7} \sim \text Pod dvojkou v prvním sloupci budeme postupně vytvářet nuly. Vezmeme dvojnásobek prvního řádku a přičteme jej ke druhému. \nl \sim \matice{ 2 &-2 & 1 & 0 & 3 \|& 4 \cr 0 & 0 & 1 &\+1 & -1 \|& -3 \cr 4 &-4 & 5 & 1 & 7 \|& -3 \cr -6 & 6 &-4 & 1 &-12 \|& -7} \sim \text Zatím nemáme v prvním sloupci pod dvojkou všude nuly. Budeme si stále \uv{pomáhat} násobky prvního řádku, který opíšeme. Minus dvojnásobek prvního řádku přičteme ke třetímu a trojnásobek prvního řádku přičteme ke čtvrtému. \nl \sim \matice{ 2 &-2 & 1 & 0 & 3 \|& 4 \cr 0 & 0 & 1 &\+1 & -1 \|& -3 \cr 0 & 0 & 3 & 1 & 1 \|& -11 \cr 0 & 0 &-1 & 1 & -3 \|& 5} \sim \text Nyní bychom měli vytvářet nuly ve druhém sloupci. To se v~tomto případě stalo (výjimečně) samo, takže se zaměříme na třetí sloupec. Tam pod první jedničkou v druhém řádku vytvoříme nuly takto: minus trojnásobek druhého řádku přičteme ke třetímu a dále druhý řádek přičteme ke čtvrtému. První a druhý řádek opisujeme. \nl \sim \matice{ 2 &-2 &\+1 & 0 & 3 \|& 4 \cr 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \|& -3 \cr 0 & 0 & 0 & -2 & 4 \|& -2 \cr 0 & 0 & 0 & 2 & -4 \|& 2} \sim \text Znovu se přesuneme na další sloupec (tentokrát čtvrtý) a vytvoříme nulu pod minus dvojkou ze třetího řádku. K tomu stačí sečíst třetí řádek se čtvrtým a výsledek napsat na místo čtvrtého řádku. \nl \sim \matice{ 2 &-2 &\+1 & 0 & 3 \|& 4 \cr 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \|& -3 \cr 0 & 0 & 0 & -2 & 4 \|& -2 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \|& 0} \sim \text Třetí řádek ještě (spíše pro parádu) vynásobíme číslem $-1/2$. Čtvrtý řádek nemusíme psát, protože tento řádek odpovídá rovnici $0x_1+0x_2+0x_3+0x_4+0x_5 = 0$, která je zřejmě splněna pro libovolná $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. \nl \sim \matice{ 2 &-2 &\+1 & 0 & 3 \|& 4 \cr 0 & 0 & 1 &\+1 & -1 \|& -3 \cr 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \|& 1} \hphantom{\sim} \text Dostáváme tzv. {\em schodovitou\/} matici, která má ve svém \uv{dolním levém koutě} nuly. Přesněji: každý další řádek má zleva aspoň o jednu nulu více než předešlý. To je cílem tzv. {\em přímého chodu\/} Gaussovy eliminační metody, který jsme právě ukončili.% \inl[matice: schodovitá, schodovitá matice]% \inl[přímý chod GEM] \nl} $$ Naši matici koeficientů původní soustavy jsme převedli pomocí Gaussovy eliminační metody na matici odpovídající nové soustavě, která má stejnou množinu řešení, jako původní. Stačí se proto dále zabývat touto novou soustavou. Pro názornost si ji zde zapíšeme $$ \soustava{ 2x_1 - 2x_2 + x_3 & & + 3x_5 = & 4 \cr x_3 & + x_4 & -\1x_5 = & \!-3 \cr & x_4 & - 2x_5 = & 1 } $$ Každá rovnice umožní spočítat hodnotu jedné neznámé, pokud jsou dány hodnoty ostatních. Máme tři rovnice o pěti neznámých, umíme tedy spočítat jen tři neznámé. Pomocí poslední rovnice budeme počítat například $x_4$, pomocí předposlední rovnice budeme počítat $x_3$ a z první rovnice spočítáme například $x_1$. Ostatní neznámé nejsou těmito rovnicemi určeny a mohou nabývat libovolných hodnot. To dáme najevo například takto: $x_5=u$, $x_2=v$, $u\in\R$, $v\in\R$. Nyní budeme počítat hodnoty ostatních neznámých dosazovací metodou, postupujeme od poslední rovnice k první: $$\def\qimpl{\quad\impl\quad} \def\\{\hfill\cr} \soustava{ && x_5 =& u \\ && x_2 =& v \\ x_4 - 2u =& 1 &\qimpl x_4 =& 1 + 2u \\ x_3 + (1 + 2u) - u =& \!\!\!-3 &\qimpl x_3 =& {-4} - u \\ 2x_1 - 2v + (-4 - u) + 3u =& 4 &\qimpl x_1 =& 4 - u + v } $$ Řešení jsme zapsali pomocí dvou parametrů $u,v$, které mohou nabývat libovolných hodnot. Všimneme si, že počet parametrů, kterými popíšeme řešení libovolné soustavy lineárních rovnic je roven počtu neznámých mínus počet nenulových rovnic, které získáme po přímém chodu Gaussovy eliminační metody. V našem případě: počet parametrů $= 5 - 3$. Zadaná soustava má sice čtyři rovnice, ale po eliminaci se nám soustava redukovala na pouhé tři nenulové rovnice. Pokud bychom se rozhodli například z první rovnice počítat $x_2$, pak by neznámá $x_1$ mohla nabývat libovolných hodnot a výsledek by byl formálně zapsán poněkud jinak: $x_1=w$, $x_2=-8+2u+2w$, $x_3=-4-u$, $x_4=1+2u$, $x_5=u$, $u\in\R$, $w\in\R$. Vidíme tedy, že neexistuje jednoznačný zápis výsledku. Oba zápisy popisují stejnou množinu řešení, každý trochu jiným způsobem. \medskip \okraj Popis\hb metody | Popis metody Nyní se pustíme do výkladu Gaussovy eliminační metody pro obecnou soustavu lineárních rovnic. Nejprve vysvětlíme proceduru, kterou budeme v této metodě s prvky matice mnohokrát opakovat. Tato procedura vytvoří nuly v $s$-tém sloupci pod nenulovým prvkem matice v $r$-tém řádku. Názorně: $$\def\p{\raise1.2pt\hbox{$\scriptstyle\bullet$}} \def\|{\kern3pt\strut\vrule} \def\Vdots{\hfill\vdots\hfill}\lineskip=0pt \lineskip=0pt\let\normalbaselines=\relax \vrule height69pt width 0pt \pmatrix{\p& \cdots & \p & \vbox to 0pt{\vss\hbox to0pt{\hss sloupec $s$\hss} \hbox to 0pt{\hss$\downarrow$\hss}\kern10pt} \kern-1.7pt \p & \p & \cdots \|& \p \cr & \vdots & & & & \Vdots \|& \p \cr \llap{řádek $r\to\quad$ } 0 & \cdots & 0 & a & \p & \cdots \|& \p \cr 0 & \cdots & 0 & b_1& \p & \cdots \|& \p \cr & \vdots & & \vdots& & \Vdots \|& \cr 0 & \cdots & 0 & b_k& \p & \cdots \|& \p \cr} \enspace\sim\enspace \pmatrix{\p& \cdots & \p & \vbox to 0pt{\vss\hbox to0pt{\hss sloupec $s$\hss} \hbox to 0pt{\hss$\downarrow$\hss}\kern10pt} \kern-1.7pt \p & \p & \cdots \|& \p \cr & \vdots & & & & \Vdots \|& \p \cr 0 & \cdots & 0 & a & \p & \cdots \|& \p \rlap{ $\quad\leftarrow$ řádek $r$} \cr 0 & \cdots & 0 & 0 & \p & \cdots \|& \p \cr & \vdots & &\vdots & & \Vdots \|& \cr 0 & \cdots & 0 & 0 & \p & \cdots \|& \p \cr} $$ Tečkami jsou v tomto obrázku vyznačeny prvky matice, jejichž hodnoty nás momentálně nezajímají. Prvek $a$ musí být nenulový. Procedura \uv{vytvoření nul pod prvkem $a$} se provede takto: \medskip \bb K1. Řádky~1 až $r$ opíšeme beze změny. \bb K2. K~řádku $r+1$ přičítáme $(-b_1/a)$~násobek řádku $r$, k řádku $r+2$ přičítáme $(-b_2/a)$~násobek řádku~$r$, atd., až konečně k řádku poslednímu přičítáme $(-b_k/a)$~násobek řádku $r$. \medskip Tímto úkonem se neporuší nulové prvky ve sloupcích vlevo od sloupce $s$ a vzniknou nové nuly pod prvkem $a$ ve sloupci $s$. Nyní popíšeme přímý chod Gaussovy eliminační metody, který převede libovolnou matici na schodovitou matici, která má \uv{v levém dolním rohu} nuly. Matice bude mít v každém řádku zleva aspoň o~jednu nulu více v souvislé řadě nul, než v předchozím řádku. V algoritmu se pracuje s proměnnou $r$ označující aktuální řádek a s~proměnnou $s$, která znamená sloupec, ve kterém v daném okamžiku vytváříme nuly. Pokud se v algoritmu zvětšuje $r$, a přitom $r$ již označuje poslední řádek matice, ukončíme činnost. Pokud by se mělo zvětšit $s$, a přitom $s$ už označuje poslední sloupec matice, ukončíme činnost. V těchto případech je už matice převedena do požadovaného tvaru. \medskip \bb G1. Nastavíme $r=1$, $s=1$. \bb G2. Nechť $a$ je prvek matice z $s$-tého sloupce a $r$-tého řádku. Pokud je $a=0$ a všechny prvky pod prvkem $a$ v $s$-tém sloupci jsou také nulové, zvětšíme $s$ o jedničku a opakujeme krok G2. \bb G3. Je-li $a=0$, a přitom existuje nenulový prvek pod prvkem $a$ v $s$-tém sloupci na řádku $r_1$, prohodíme řádek $r$ s řádkem $r_1$. Od této chvíle je v~nové matici prvek na $r$-tém řádku a $s$-tém sloupci nenulový. \bb G4. Vytvoříme nuly pod nenulovým prvkem $a$ z~$r$-tého řádku a $s$-tého sloupce způsobem, popsaným v~krocích K1 a K2. \bb G5. Existují-li v matici řádky celé nulové, z matice je odstraníme. \bb G6. Zvětšíme $r$ o jedničku a $s$ o jedničku a celou činnost opakujeme od kroku~G2 znova. \par\penalty-200 \medskip Při eliminační metodě jsme převedli matici koeficientů soustavy na jinou matici odpovídající jiné soustavě, ale se stejnou množinou řešení, protože při úpravách jsme použili jen tyto elementární kroky: \medskip \bb (1) Prohození řádků matice. \bb (2) Pronásobení řádku nenulovou konstantou. \bb (3) Přičtení násobku řádku k jinému. \bb (4) Odstranění nulového řádku. \medskip \okraj Diskuse po převedení matice | Diskuse po prevedeni matice Již dříve jsme vysvětlili, že tím dostáváme modifikovanou matici odpovídající nové soustavě se stejnou množinou řešení. Stačí se tedy zaměřit na tuto novou soustavu. Nejprve rozhodneme, zda soustava má vůbec nějaké řešení. Pokud je poslední řádek ve tvaru: $$ (0\quad 0\quad\cdots\quad 0 \enspace|\enspace c), \quad c\not=0 $$ soustava nemá řešení. Tento řádek totiž odpovídá rovnici $$ 0x_1 + 0x_2 + \cdots + 0x_n = c, \quad c\not=0, $$ kterou nelze splnit pro žádná $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Pokud poslední řádek obsahuje nenulový prvek mezi koeficienty soustavy (vlevo od svislé čáry), soustava má řešení. V takovém případě můžeme říci, kolik těch řešení bude: pokud má soustava (po úpravě eliminační metodou) stejný počet rovnic, jako neznámých, má jediné řešení. Je-li počet rovnic menší, než počet neznámých, je řešení nekonečně mnoho. Počet rovnic po eliminaci nemůže nikdy přesáhnout počet neznámých, vyloučíme-li případ řádku $(0\;\cdots\;0\;|\;c)$, $c\not=0$. Rozmyslete si, proč. Zadaná soustava může mít podstatně více rovnic než neznámých, ale po eliminaci se v takovém případě zákonitě počet rovnic zmenší. Má-li soustava řešení, pak pro každou rovnici rozhodneme, kterou neznámou budeme použitím této rovnice počítat (v dané rovnici musí být tato neznámá násobena nenulovým koeficientem). V~každé rovnici je nejprve zleva skupina nulových koeficientů a pak existuje nějaký první nenulový koeficient. Doporučujeme počítat tu neznámou, která je násobena tímto prvním nenulovým koeficientem. Neznámé, které nebudeme počítat pomocí žádné rovnice, mohou nabývat libovolných hodnot. Takové neznámé dále považujeme za parametry. Pro počet parametrů tedy platí: $$ \hbox{počet parametrů} = \hbox{počet neznámých celkem} - \hbox{počet rovnic po eliminaci} $$ Spočítáme nejprve neznámou z poslední rovnice a výsledek dosadíme do ostatních rovnic. Pak spočítáme další neznámou z předposlední rovnice atd. až se dostaneme k první rovnici. Tím máme vyjádřena všechna řešení dané soustavy lineárních rovnic. \okraj Příklad, kdy soustava nemá řešení | Priklad, kdy soustava nema reseni \medskip\noindent{\bf Příklad.} Gaussovou eliminační metodou budeme řešit následující soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých $\alpha, \beta, \gamma, \delta$. $$ \soustava { \alpha &+ 2\beta +& 3\gamma &+\1\delta =& 1 \cr 2\alpha &+ 4\beta +& 7\gamma &+ 7\delta =& 4 \cr \alpha & +& 2\gamma & =& \!\! -2 \cr 3\alpha &+ 7\beta +& 10\gamma &+ 6\delta =& 7} $$ Zapíšeme koeficienty soustavy a hodnoty pravých stran do matice a začneme tuto matici eliminovat způsobem popsaným výše. $$ \def\+{\kern6pt}\def\|{\kern6pt\strut\vrule\kern2pt}\jot=0pt \displaylines{ \matice {1 &\+2 &\+3 &\+1 \|& 1 \cr 2 & 4 & 7 & 7 \|& 4 \cr 1 & 0 & 2 & 0 \|& -2 \cr 3 & 7 &10 & 6 \|& 7} \buildrel (1)\over \sim \matice {1 & 2 & 3 & 1 \|& 1 \cr 0 & 0 & 1 & 5 \|& 2 \cr 0 &-2 &-1 &-1 \|& -3 \cr 0 & 1 & 1 & 3 \|& 4} \buildrel (2)\over \sim \matice {1 & 2 & 3 & 1 \|& 1 \cr 0 & 1 & 1 & 3 \|& 4 \cr 0 &-2 &-1 &-1 \|& -3 \cr 0 & 0 & 1 & 5 \|& 2} \buildrel (3)\over\sim \cr \noalign{\medskip} \sim \matice {1 & \+2 & \+3 & \+1 \|& 1 \cr 0 & 1 & 1 & 3 \|& 4 \cr 0 & 0 & 1 & 5 \|& 5 \cr 0 & 0 & 1 & 5 \|& 2} \buildrel (4)\over \sim \matice {1 & \+2 & \+3 & \+1 \|& 1 \cr 0 & 1 & 1 & 3 \|& 4 \cr 0 & 0 & 1 & 5 \|& 5 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \|& 3}} $$ V úpravě (1) jsme vytvořili nuly pod jedničkou z prvního sloupce a prvního řádku. V úpravě (2) jsme přehodili druhý řádek se čtvrtým v souladu s krokem G3 našeho algoritmu (na druhém řádku a druhém sloupci totiž byl nulový prvek). V úpravě (3) jsme vytvořili nuly pod jedničkou z druhého řádku v druhém sloupci. V poslední úpravě (4) jsme vytvořili nulu pod jedničkou v třetím sloupci z třetího řádku. Tím máme matici v požadovaném tvaru. Pohledem na poslední řádek okamžitě vidíme, že soustava nemá řešení. \ipagefalse %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Lineární prostor | Linearni prostor %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \pozn[dvd] {\it O~formě definice-věta-důkaz.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% V~tomto textu narazíte na tři základní \uv{slohové útvary}: definice, věta a důkaz. Vesměs každé solidní matematické sdělení používá tyto pojmy. Přitom je možné, že s~takto systematickým použitím pojmů definice, věta, důkaz se setkáváte poprvé. Proto si tyto pojmy vysvětlíme. \okraj Definice | Co je definice {\em Definice} vysvětluje (definuje) nový pojem, který bude dále v~teorii používán. Definice se opírá o~pojmy, které byly definovány v~předchozích definicích. V~přísně exaktních teoriích bychom museli na začátku vyjmenovat pojmy, které nedefinujeme, ale budeme s~nimi pracovat, protože jinak bychom nebyli schopni zapsat první definici. V~tomto textu nebudeme takto přísně exaktní a budeme se opírat o~mateřský jazyk a o~pojmy známé ze střední školy (předpokládáme, že jsou známé pojmy množina, reálné číslo apod.). Nově definovaný pojem bude v~definici vyznačen kurzívou. \inl[definice] \okraj Věta | Co je veta {\em Věta} je tvrzení, které nám sděluje nějakou vlastnost týkající se definovaných pojmů. Dosti často se věta dá formálně rozčlenit na předpoklady a vlastní tvrzení. Předpoklady bývají uvozeny slovy \uv{nechť}, \uv{budiž}, \uv{jestliže}, \uv{předpokládejme} atd. Vlastní tvrzení obvykle začíná slovem \uv{pak} nebo \uv{potom}. Věta se musí dokázat. Proto se hned za větu připojuje další slohový útvar: důkaz. Po dokázání věty se v~následujícím textu dá věta {\it použít}. To bývá obvykle provedeno tak, že se ověří v~daném kontextu platnost předpokladů věty a na základě toho se prohlásí, že platí vlastní tvrzení věty. \inl[věta] \okraj Důkaz | Co je dukaz {\em Důkaz} je obhajoba platnosti věty. Při této obhajobě můžeme použít předchozí definice (zaměníme použitý pojem ve větě skupinou pojmů, kterými je pojem definován) a dále můžeme použít dříve dokázané věty (ověříme předpoklady dříve dokázané věty a použijeme pak její vlastní tvrzení). Dále se v~důkazech používá logických obratů, které byste měli znát ze střední školy (například výrok \uv{není pravda, že existuje prvek, pro který platí tvrzení~$A$} lze přeformulovat na totožný výrok: \uv{pro všechny prvky neplatí tvrzení~$A$}). \inl[důkaz] V~exaktních teoriích se ke skupině nedefinovaných pojmů na začátku teorie připojuje i několik tvrzení, která nelze prostředky teorie dokázat, ale pro důkazy dalších vět je nutné jejich platnost předpokládat. Takovým tvrzením se říká axiomy. V~našem textu nebudeme teorii stavět jen na axiomech, ale někdy použijeme spíše intuitivní přístup. Není nutné být za každou cenu přísně exaktní. Pro matematické sdělení nových poznatků je obvykle členění textu na definice, věty a důkazy dostačující. V~této učebnici si navíc budeme ilustrovat novou problematiku na {\em příkladech} a občas prohodíme nějakou {\em poznámku}. Dokladem toho je i tato poznámka\cite[dvd]. \inl[příklad, poznámka, axiomy] \pozn %%%%% V~následující definici lineárního prostoru\cite[dlp] se pracuje s~množinami blíže nespecifikovaných objektů. Jediné, co s~těmi objekty umíme dělat, je vzájemně objekty sčítat a násobit objekt reálným číslem. Přitom tyto operace (sčítání a násobení reálným číslem) je potřeba pro konkrétní množiny objektů definovat. Pro každou množinu objektů mohou tyto operace vypadat jinak. Skutečnost, že není řečeno, jak objekty a operace s~nimi konkrétně vypadají, může být pro některé čtenáře poněkud frustrující. Proto před definicí uvedeme příklady množin objektů, které lze sčítat a násobit konstantou. \priklad [dvojice] %%%%%%%%%%%%%%%%%% Nechť $\R^2$ je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel. Uspořádanou dvojici zapisujeme ve tvaru $(a,b)$. Vyznačujeme ji tedy kulatou závorkou a její složky $a,b$ píšeme odděleny čárkou. Takže $\R^2 = \{(a,b);\, a\in\nobreak\R,\penalty0 b\in\nobreak\R\}$. Symbol $\R$ značí reálná čísla a zápisem $\{X;\, \hbox{vlastnost $X$}\}$ značíme množinu objektů $X$, které mají specifikovanou vlastnost. Definujme sčítání dvou uspořádaných dvojic: $$ (a, b) \oplus (c, d) \df= (a+c, b+d) \rce(plusdvojice) $$ a násobení uspořádané dvojice reálným číslem $\alpha\in\R$: $$ \alpha\odot(a, b) \df= (\alpha\,a, \alpha\,b).\rce(kratdvojice) $$ Všimneme si, že jsme definovali operaci $\oplus$ sčítání objektů tak, že výsledek sčítání je zase uspořádaná dvojice. Stejně součin $\odot$ reálného čísla s~uspořádanou dvojicí je zase uspořádaná dvojice, tedy prvek množiny $\R^2$. Naše sčítání je tedy operace, do které vstupují dva prvky množiny $\R^2$ a vystupuje z~ní prvek množiny $\R^2$. Naše násobení je operace, do které vstupuje reálné číslo a prvek z~$\R^2$ a vystupuje z~ní prvek z~$\R^2$. Tuto skutečnost zapíšeme pomocí kartézského součinu množin: $$\oplus: \R^2\times\R^2 \to \R^2, \qquad \odot: \R\times\R^2 \to \R^2 . \rce(pluskratdomena) $$ \par\inl[dvojice: uspořádaná, uspořádaná: dvojice] \inl[0times, 0to] Všimneme si dále, že jsme definovali nové operace $\oplus$ a $\odot$ prostřednictvím operací sčítání a násobení reálných čísel, tj. prostřednicvím operací, jejichž vlastnosti jsou známy ze střední školy. Příkladem takové vlastnosti je komutativní zákon (pro reálná čísla $x$ a $y$ platí: $x+y = y+x$). Naše nově definovaná operace $\oplus$ má také tuto vlastnost: $$ (a, b) \oplus (c, d) = (c, d) \oplus (a, b), $$ protože podle definice je $(a, b) \oplus (c, d) = (a+c, b+d)$ a $(c, d) \oplus (a, b) = (c+a, d+b)$, ovšem dvě uspořádané dvojice se rovnají, pokud se rovnají odpovídající složky. V~tomto případě první složka první dvojice $a+b$ se rovná první složce druhé dvojice $b+a$, neboť pro sčítání reálných čísel platí komutativní zákon. Podobně ověříme i druhou složku. Uvědomíme si, že není vůbec automaticky zaručeno, že nově definované operace musejí tyto zákony splňovat. Pokud bychom například definovali jiné sčítání dvou uspořádaných dvojic předpisem: $$ (a, b) \mathbin{\underline\oplus} (c, d) \df= (2a + d, b + c), \rce(plusdvojicejinak) $$ pak se dá snadno ukázat, že pro $\underline\oplus$ není splněn komutativní zákon (ověřte si sami). \priklad [polynomy] %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Označme $P$ množinu všech reálných polynomů, tedy funkcí $p: \R\to\R$, které pro $x\in\R$ mají hodnotu danou vzorcem: $$ p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots+ a_1 x + a_0, \quad (a_n, a_{n-1},\ldots, a_1, a_0 \hbox{ jsou nějaká reálná čísla}). \rce(polynom) $$ Na této množině polynomů definujeme sčítání $\oplus: P\times P \to P$ a násobení $\odot: \R\times P \to P$ takto: pro každé $p\in P$, $q\in P$, $\alpha\in\R$ je $$\eqalign{ (p\oplus q) (x) &\df= p(x) + q(x) \qquad \forall x\in\R, \cr (\alpha\odot p) (x) &\df= \alpha\, p(x) \qquad \forall x\in\R. \cr } $$ Řečeno pečlivěji: v~definici jsme zavedli novou funkci $p\oplus q: \R\to\R$ tak, že jsme řekli, jakou bude tato funkce mít hodnotu v~každém bodě $x$ jejího definičního oboru. Tuto hodnotu podle definice počítáme jako součet hodnoty funkce $p$ a hodnoty funkce $q$ v~bodě $x$. Tyto hodnoty jsou reálná čísla, takže sčítání funkcí (nové sčítání nových objektů) vlastně definujeme pomocí sčítání reálných čísel (sčítání, které známe ze střední školy). Podobně definujeme násobek funkce reálným číslem. \inl[polynom, sčítání: polynomů, násobek: polynomu] Dá se ověřit, že pro $p\in P$, $q\in P$, $\alpha\in\R$ je $p\oplus q$ zase polynom a $\alpha\odot p$ je také polynom. Rovněž se dá ověřit, že pro operaci $\oplus$ platí komutativní zákon. \pozn[pretezovani] %%%%%%%%%%%%%%%%%% V~předchozích dvou příkladech jsme definovali na množině nějakých objektů sčítání a násobení reálným číslem. Pro větší přehlednost jsme nově definované operace zapisovali do kroužku, abychom je odlišili od operací sčítání a násobení reálných čísel. To ale není potřeba. Stačí používat tytéž znaky, protože podle typu objektů, které do operace vstupují, okamžitě poznáme, jakou operaci máme použít (zda nově definovanou nebo známou operaci na reálných číslech). Takové automatické přizpůsobení operace podle typu operandů znají programátoři objektově orientovaných jazyků. Tam se tomu říká \uv{přetěžování operátorů}. \inl[přetěžování operátorů] Definici sčítání uspořádaných dvojic tedy stačí zapsat takto: Pro všechna $(a,b)\in\R^2, (c,d)\in\R^2$ je $(a, b) + (c, d) \df= (a+c, b+d)$. Přitom poznáme, že první znak \uv{$+$} v~uvedeném vzorci označuje sčítání uspořádaných dvojic a ostatní dva znaky~\uv{$+$} znamenají sčítání reálných čísel. {\lineskiplimit=-10pt \par} V~dalším textu budeme skoro vždy používat znaky \uv{$+$} a \uv{$\cdot$} i pro nově definované operace, protože podle typu operandů nemůže dojít k~nedorozumění. Také znak násobení \uv{$\cdot$} budeme někdy vynechávat, jako jsme zvyklí jej vynechávat při zápisu násobení reálných čísel. \okraj Definice\hb lineárního prostoru | Definice linearniho prostoru \definice* [dlp] %%%%%%%%%%%%%% {\em Lineárním prostorem} nazýváme každou neprázdnou množinu $L$, na které je definováno sčítání $+: L\times L \to L$ a násobení reálným číslem $\cdot: \R\times L \to L$ a tyto operace splňují pro každé $\vec x\in L, \vec y\in L, \vec z\in L, \alpha\in\R, \beta\in\R$ vlastnosti: $$\null\indent\vcenter{\openup\jot \ialign{\strut$#$&\quad$\displaystyle{#}$\hfil&\quad#\unskip\hfil\cr (1) & \vec x + \vec y = \vec y + \vec x & (komutativní zákon sčítání), \cr (2) & (\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z) & (asociativní zákon sčítání), \cr (3) & \alpha\cdot(\beta\cdot\vec x) = (\alpha\beta)\cdot\vec x & (asociativní zákon násobení), \cr (4) & \alpha\cdot(\vec x + \vec y) = \alpha\cdot\vec x + \alpha\cdot\vec y & (distributivní zákon pro sčítání prvků z $L$), \cr (5) & (\alpha+\beta)\cdot\vec x = \alpha\cdot\vec x + \beta\cdot\vec x & (distributivní zákon pro sčítání čísel), \cr (6) & 1 \cdot\vec x = \vec x & (vlastnost reálného čísla 1), \cr (7) & \hbox{existuje $\vec o\in L$, že pro každé $\vec x\in L$ je } 0\cdot\vec x = \vec o & (existence nulového prvku). \cr }} $$ Prvky lineárního prostoru nazýváme {\em vektory}. Reálnému číslu v~kontextu násobení $\cdot: \R\times L \to L$ říkáme {\em skalár}. Prvku $\vec o\in L$ z~vlastnosti (7) říkáme {\em nulový prvek} nebo {\em nulový vektor}. \inl[prostor: lineární, lineární: prostor] \inl[axiomy: lineárního prostoru] \inl[vektor: nulový, nulový: vektor, prvek: nulový, nulový: prvek] \inl[zákon: asociativní, asociativní: zákon] \inl[zákon: komutativní, komutativní: zákon] \inl[zákon: distributivní, distributivní: zákon] \inl[vektor, skalár] \veta [nulprvek] %%%%%%%%%%%%%%%% Pro nulový prvek $\vec o$ lineárního prostoru $L$ platí vlastnosti: $$\eqalign{ \bod (1) \vec x + \vec o = \vec x \qquad \forall\, \vec x \in L, \cr \bod (2) \alpha\cdot\vec o = \vec o \qquad \forall\, \alpha\in\R, \cr \bod (3) \hbox{Nechť $\vec x\in L$}. \quad \hbox{Je-li}\quad \alpha\cdot\vec x = \vec o \quad\hbox{a}\quad \alpha\ne0, \quad \hbox{pak}\quad \vec x = \vec o. \cr} $$ \dukaz Použijeme vlastnosti z~definice\cite[dlp]. Pro přehlednost píšeme nad rovnítka číslo použité vlastnosti. $$\eqalign{ \bod (1) \vec x + \vec o \buildrel(7)\over= \vec x + 0\cdot\vec x \buildrel(6)\over= 1\cdot\vec x + 0\cdot\vec x \buildrel(5)\over= (1 + 0) \cdot\vec x = 1 \cdot\vec x \buildrel(6)\over= \vec x. \cr \bod (2) \alpha\cdot\vec o \buildrel(7)\over= \alpha\cdot(0\cdot\vec x) \buildrel(3)\over= (\alpha\cdot0)\cdot\vec x = 0\cdot\vec x \buildrel(7)\over= \vec o. \cr \bod (3) \vec x \buildrel(6)\over= 1 \cdot \vec x = \left({1\over\alpha}\,\alpha\right)\cdot \vec x \buildrel(3)\over= {1\over\alpha}\cdot(\alpha\cdot\vec x) \buildrel\rm(z~předpokladu)\over= {1\over\alpha}\cdot \vec o \buildrel\hbox{\the\scriptfont0(vlastnost~(2)~věty\cite[nulprvek])} \over= \vec o. \cr} $$ \poznamka %%%%%%%%% Ve vlastnostech (1) až (7) v~definici\cite[dlp] se pracuje se znaky \uv{$+$} a \uv{$\cdot$} v~souladu s~poznámkou\cite[pretezovani] ve dvojím významu. Buď to jsou operace s~prvky množiny $L$ nebo operace s~reálnými čísly. Například ve vlastnosti (5) je první symbol \uv{$+$} použit ve významu sčítání na množině reálných čísel, zatímco druhý symbol \uv{$+$} je použit ve významu sčítání na množině $L$. Jako cvičení zkuste o~každé použité operaci ve vzorcích (1) až (7) rozhodnout, jakého je druhu. \poznamka %%%%%%%%% Protože lineární prostor obsahuje vektory, v literatuře se často setkáváme s pojmem {\em vektorový prostor}, který je použit v naprosto stejném smyslu, jako zde používáme pojem {\em lineární prostor}. Je třeba si uvědomit, že {\em vektory} v tomto pojetí nejsou jen \uv{šipky}, ale jakékoli matematické objekty, které umíme mezi sebou sčítat a násobit skalárem tak, že tyto operace splňují {\em axiomy linearity}~(1) až~(7) z definice\cite[dlp]. Následující příklady ukazují, že lze v~matematice najít skutečně rozličné případy lineárních (vektorových) prostorů. \inl[prostor: vektorový, vektorový prostor] \inl[axiomy: linearity] \okraj Prostor $\R^2$ | Prostor R2 \priklad [LPdvojice] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ukážeme, že množina $\R^2$ z~příkladu\cite[dvojice] se sčítáním a násobením skalárem podle definic\cite(plusdvojice) a\cite(kratdvojice) tvoří lineární prostor. Místo znaků \uv{$\oplus$} a \uv{$\odot$} budeme nadále používat znaky\uv{$+$}~a~\uv{$\cdot$}. \inl[dvojice: uspořádaná, uspořádaná: dvojice] \inl[prostor: R2, R2] Nejprve je třeba zjistit, zda operace \uv{$+$}~a~\uv{$\cdot$} jsou skutečně definovány způsobem, jak požaduje definice\cite[dlp], tj.~zda platí $+: \R^2\times\R^2 \to \R^2$ a $\cdot: \R\times\R^2 \to \R^2$. To jsme ale už ověřili dříve, viz\cite(pluskratdomena). Dále zjistíme platnost vlastností (1) až (7) z~definice\cite[dlp]. Vlastnost (1) jsme podrobně ověřovali v~příkladu\cite[dvojice]. Pokračujeme tedy vlastností (2). Pro každé $a,b,c,d,e,f\in\R$ platí: $$\eqalign{ \bigl( (a, b) + (c, d)\bigr) + (e, f) &= (a+c, b+d) + (e, f) = \bigl((a+c)+e, (b+d)+f\bigr) = \cr &= \bigl(a+(c+e), b+(d+f)\bigr) = (a, b) + (c+e, d+f) = (a, b) + \bigl( (c,d) + (e,f) \bigr). \cr} $$ Při úpravách jsme nejprve dvakrát použili definici\cite(plusdvojice), pak jsme v~jednotlivých složkách využili toho, že pro sčítání reálných čísel platí asociativní zákon a konečně jsme zase dvakrát použili definici\cite(plusdvojice). Nyní dokážeme další vlastnosti. Pro každé $a,b,c,d,\alpha,\beta\in\R$ platí: $$\eqalign{ \bod (3) \alpha\cdot\bigl(\beta\cdot(a,b)\bigr) = \alpha\cdot\bigl(\beta\,a,\beta\,b\bigr) = \bigl(\alpha\,(\beta\,a), \alpha\,(\beta\,b)\bigr) = \bigl((\alpha\,\beta)\,a, (\alpha\,\beta)\,b\bigr) = (\alpha\,\beta)\,(a,b), \cr \bod (4) \alpha\cdot\bigl((a,b) + (c,d)\bigr) = \alpha\cdot (a+c, b+d) = \bigl(\alpha\,(a+c), \alpha\,(b+d)\bigr) = (\alpha\,a+\alpha\,c, \alpha\,b+\alpha\,d) = \cr &\odsun= (\alpha\,a, \alpha\,b) + (\alpha\,c, \alpha\,d) = \alpha\,(a,b) + \alpha\,(c,d), \cr \bod (5) (\alpha+\beta)\cdot(a,b) = \bigl((\alpha+\beta)\,a, (\alpha+\beta)\, b\bigr) = (\alpha\,a + \beta\,a, \alpha\,b + \beta\,b) = (\alpha\,a, \alpha\,b) + (\beta\,a, \beta\,b) =\cr &\odsun= \alpha\,(a, b) + \beta\,(a, b), \cr \bod (6) 1\cdot(a,b) = (1\,a, 1\,b) = (a, b), \cr \bod (7) \hbox{dvojice $(0, 0)$ splňuje: } (0, 0) = 0 \cdot (a, b), \hbox{protože } 0 \cdot (a, b) = (0\,a, 0\,b) = (0, 0). \cr} $$ Použili jsme nejprve definice\cite(plusdvojice) a\cite(kratdvojice), pak jsme využili vlastnosti reálných čísel v~jednotlivých složkách dvojice. Nakonec jsme znovu použili definice\cite(plusdvojice) a\cite(kratdvojice). Vidíme, že nulovým vektorem lineárního prostoru $\R^2$ je dvojice $(0,0)$. Podle konvence ze závěru definice\cite[dlp] jsme oprávněni uspořádaným dvojicím se sčítáním a násobením podle definic\cite(plusdvojice) a\cite(kratdvojice) říkat vektory. \priklad %%%%%%%% Množina $\R^2$ se sčítáním $\underline\oplus$ podle definice\cite(plusdvojicejinak) a násobením $\odot$ podle\cite(kratdvojice) netvoří lineární prostor. Není totiž splněna například vlastnost (1) z~definice\cite[dlp]. \okraj Prostor $\R^n$ | Prostor Rn \priklad* [LPRn] %%%%%%%%%%%%%%% Znakem $\R^n$ označíme množinu všech uspořádaných $n$-tic reálných čísel, ($n$ je nějaké přirozené číslo, $n\geq1$). Jinými slovy: $$\R^n=\{(a_1,a_2,\ldots,a_n); \,a_1\in\R,\,a_2\in\R,\ldots,\,a_n\in\R\}.$$ Definujme $+: \R^n\times\R^n \to \R^n$, $\cdot: \R\times\R^n \to \R^n$ takto: pro každé $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$, $(b_1,\ldots,b_n)\in\R^n$, $\alpha\in\R$ je $$\eqalign{ (a_1,\ldots,a_n) + (b_1,\ldots,b_n) &\df= (a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n),\cr \alpha\cdot (a_1,\ldots,a_n) &\df= (\alpha\,a_1,\ldots,\alpha\,a_n).\cr} $$ Množina $\R^n$ s~takto definovanými operacemi tvoří lineární prostor. \inl[prostor: R9n, R9n] Důkaz bychom provedli analogicky jako v~příkladu\cite[LPdvojice], ale pro úsporu místa to již nebudeme opakovat. Vidíme tedy, že uspořádané $n$-tice s~takto definovaným sčítáním a násobením skalárem můžeme nazývat vektory. Speciálně v případě uspořádaných $n$-tic mluvíme o {\em aritmetických vektorech}. Číslo $a_i$ nazýváme {\em $i$-tou složkou vektoru\/} $\vec a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$. \inl[vektor: aritmetický, aritmetický: vektor, složka: vektoru] \priklad [LPR] %%%%%%%% Množina $\R$ s~obvyklým sčítáním reálných čísel a násobením reálného čísla reálným číslem tvoří lineární prostor. To je zřejmé. Sčítání a násobení reálných čísel totiž splňuje vlastnosti (1) až (7) z~definice\cite[dlp]. Tento poznatek si jistě přinášíte ze střední školy. V~tomto textu jsme jej už použili, když jsme ověřovali, že $\R^2$ nebo $\R^n$ je lineární prostor. \inl[prostor: R, R] Nulovým prvkem lineárního prostoru $\R$ je číslo~$0$. V~kontextu sčítání a násobení můžeme tedy říkat reálným číslům vektory, ale obvykle to neděláme. \okraj Prostor orientovaných úseček | Prostor orientovanych usecek \priklad [lpvv] %%%%%%%%%%%%%%% Zvolme jeden bod v~prostoru, který nás obklopuje, a označme jej písmenem $O$. Uděláme to třeba tak, že nakreslíme na papír křížek a prohlásíme jej za bod $O$. Uvažujme všechny orientované úsečky, které začínají v~bodě $O$ a končí v~nějakém jiném bodě v~prostoru. Přidejme k~tomu \uv{degenerovanou} úsečku, která začíná i končí v~bodě $O$ a označme množinu všech těchto úseček znakem~$U_O$. \inl[prostor: UO, prostor: orientovaných úseček] Definujme nyní sčítání $+: U_O \times U_O \to U_O$ ryze konstruktivně takto: Úsečky $\vec u\in U_O$, $\vec v\in U_O$ doplníme na rovnoběžník. Úhlopříčku, která začíná v~bodě $O$ a končí v~protějším bodě rovnoběžníka, prohlásíme za součet úseček $\vec u$ a $\vec v$, tedy $\vec u + \vec v$. Dále definujme násobení skalárem $\cdot: \R\times U_O \to U_O$ takto: Úsečkou $\vec u$ proložíme přímku, na kterou nekreslíme číselnou osu s nulou v bodě $O$ a jedničkou v~koncovém bodě úsečky $\vec u$. Na ose najdeme bod (číslo) $\alpha$. Úsečka, která končí v tomto bodě je vektor $\alpha\cdot\vec u$. Je-li $\vec u$ degenerovaná úsečka končící v~bodě~$O$, pak $\alpha\cdot\vec u$ definujeme jako stejnou degenerovanou úsečku končící v~bodě~$O$. Množina $U_O$ s~takto konstruktivně definovaným sčítáním a násobením reálným číslem tvoří lineární prostor. Je zřejmé, že součet orientovaných úseček je orientovaná úsečka a $\alpha$ násobek orientované úsečky je orientovaná úsečka. Ještě ověříme vlastnosti (1) až (7) z~definice\cite[dlp]. (1)~$\vec u+\vec v = \vec v+\vec u$, protože v~obou případech doplňujeme na stejný rovnoběžník. (2)~$(\vec u+\vec v) + \vec w = \vec u + (\vec v + \vec w)$, protože postupné doplnění úhlopříčky rovnoběžníku $\vec u, \vec v$ a úsečky $\vec w$ na rovnoběžník vede ke stejnému výsledku, jako když nejprve sestavíme úhlopříčku rovnoběžníku $\vec v, \vec w$ a tu doplníme na rovnoběžník s~úsečkou $\vec u$ (udělejte si náčtrek). Výsledný součet je tělesová úhlopříčka rovnoběžnostěnu, který je vymezen úsečkami $\vec u$, $\vec v$ a $\vec w$. (3)~$\alpha\cdot(\beta \vec u) = (\alpha\,\beta)\cdot \vec u$, protože na levé straně rovnosti se pracuje s měřítkem, které je $\beta$krát větší než původní měřítko. Na původním měřítku se hledá bod $\alpha\beta$ a na $\beta$krát větším měřítku se hledá bod $\alpha$. (4)~$\alpha\cdot(\vec u+\vec v) = \alpha\cdot\vec u + \alpha\cdot\vec v$, protože příslušné rovnoběžníky pro sčítání jsou podobné a druhý je $\alpha$~krát větší než první. Proto též jeho úhlopříčka bude $\alpha$~krát větší. (5)~$(\alpha+\beta)\cdot\vec u = \alpha\cdot\vec u + \beta\cdot\vec u$, protože sečtení vektorů $\alpha\cdot\vec u + \beta\cdot\vec u$ probíhá v~\uv{degenerovaném} rovnoběžníku, který se celý vejde do přímky. Na ní se sčítají úsečky o velikostech $\alpha$ a $\beta$, takže dostáváme na měřítku bod $\alpha+\beta$. (6)~$1\cdot\vec u = \vec u$, protože jednička na měřítku leží v~koncovém bodě vektoru~$\vec u$. (7)~$0\cdot\vec u$ je vždy úsečka kočící v~bodě~$O$, protože tam je nula pomyslného měřítka. Degenerovaná úsečka začínající i končící v~bodě~$O$ je tedy nulovým prvkem našeho lineárního prostoru. Vidíme, že orientované úsečky s~výše definovaným geometrickým sčítáním a násobením skalárem můžeme v~souladu s~definicí\cite[dlp] nazývat vektory. Zatímco v příkladu\cite[LPRn] jsme definovali sčítání vektorů a násobení konstantou numericky (v jednotlivých složkách sčítáme reálná čísla), v případě lineárního prostoru $U_O$ jsou tyto operace definovány zcela jinak: geometricky. %V\kcite\ktere[analgeom] kapitole %jim budeme říkat vázané vektory (vázané bodem~$O$). \okraj Prostor\hb funkcí | Prostor funkci \priklad [LPfunkci] %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Uvažujme množinu $F_D$ všech reálných funkcí reálné proměnné definovaných na nějaké množině $D\subseteq\R$, tj.~$F_D = \{f;\, f: D\to \R\}$. Pro libovolné funkce $f\in F_D$, $g\in F_D$ a pro libovolné reálné číslo $\alpha$ definujme součet $f+g$ a násobek skalárem $\alpha\cdot f$ takto: $$\let\eqno=\relax\eqalignno{ (f+ g) (x) &\df= f(x) + g(x) \qquad \forall x\in D & \rce(plusf) \cr (\alpha\cdot f) (x) &\df= \alpha\, f(x) \qquad \forall x\in D&\rce(kratf)\cr} $$ (srovnejte s~definicí $\oplus$ a $\odot$ v~příkladu\cite[polynomy]). Ukážeme, že množina $F_D$ s~takto definovaným sčítáním a násobením skalárem tvoří lineární prostor. \inl[prostor: funkcí] Potřebujeme ověřit, zda součet funkcí z~množiny $F_D$ je opět funkce z~množiny $F_D$ a skalární násobek je také funkce z~$F_D$. To ale platí, protože sčítáním funkcí ani násobením funkce konstantou podle naší definice se nemění definiční obor a výsledkem operací je znovu reálná funkce reálné proměnné. Dále potřebujeme ověřit vlastnosti (1) až (7) z~definice\cite[dlp]. Pro libovolné $\relpenalty=10000 f\in F_D, g\in F_D, h\in F_D,\penalty0 \alpha\in\R, \beta\in\R$ a pro všechna $x\in D$ platí: $$\eqalignno{ \bod (1) (f+g) (x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f) (x), \cr \bod (2) \bigl((f+g) + h\bigr) (x) = (f+g)(x) + h(x) = \bigl( f(x) + g(x)\bigr) + h(x) = f(x) + \bigl( g(x) + h(x) \bigr) = \cr &\odsun = f(x) + (g+h)(x) = \bigl(f + (g+h)\bigr) (x), \cr \bod (3) \bigl(\alpha\cdot(\beta\cdot f)\bigr)(x) = \alpha\,\bigl((\beta\cdot f)(x)\bigr) = \alpha\,\bigl(\beta\,f(x)\bigr) = (\alpha\,\beta) f(x) = \bigl((\alpha\,\beta)\cdot f) (x), \cr \bod (4) \bigl(\alpha\cdot(f+g)\bigr)(x) = \alpha\,\bigl((f+g)(x)\bigr) = \alpha\,(f(x) + g(x)) = \alpha\,f(x) + \alpha\,g(x) = \cr &\odsun = (\alpha\cdot f)(x) + (\alpha\cdot g)(x) = (\alpha\cdot f + \alpha\cdot g) (x), \cr \bod (5) \bigl((\alpha+\beta)\cdot f\bigr)(x) = (\alpha+\beta)\,f(x) = \alpha\,f(x) + \beta\,f(x) = (\alpha\cdot f)(x) + (\beta\cdot f)(x) = (\alpha\cdot f + \beta\cdot f) (x), \cr \bod (6) (1\cdot f)(x) = 1\cdot f(x) = f(x), \cr \bod (7) (0\cdot f)(x) = 0\cdot f(x) = o(x), \hbox{ kde funkce $o$ má pro všechna $x\in D$ hodnotu 0.} \cr } $$ Ačkoli tyto vzorce vypadají na první pohled jen jako \uv{hraní se závorkami}, musíme si uvědomit, že rovnost funkcí zde dokazujeme na základě rovnosti jejich hodnot v~každém bodě $x\in D$ a že při důkazu používáme nejprve rozepsání operací podle vzorců\cite(plusf) a\cite(kratf). Tím problém převádíme na sčítání a násobení reálných čísel, kde jsou vlastnosti (1) až (7) zaručeny. Jako cvičení si zkuste přepsat tyto vzorce tak, že odlišíte operace sčítání funkcí a násobení funkce skalárem od běžných operací \uv{$+$} a \uv{$\cdot$} pro reálná čísla. Použijte například symbolů $\oplus$ a $\odot$, jako v~příkladu\cite[polynomy]. Vidíme, že množina $F_D$ s~definicí sčítání a násobení skalárem podle vzorců\cite(plusf) a\cite(kratf) je lineárním prostorem. Funkce z~$F_D$ jsme tedy podle definice\cite[dlp] oprávněni nazývat vektory. Nulovým vektorem je v~tomto případě funkce, která má pro všechna~$x\in D$ nulovou hodnotu. \okraj Prostor\hb polynomů | Prostor polynomu \priklad [LPpolynomu] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ukážeme, že množina $P$ všech polynomů s~definicemi sčítání a násobení skalárem podle příkladu\cite[polynomy] tvoří lineární prostor. \inl[prostor: polynomů, polynom] Především součet dvou polynomů je polynom a skalární násobek polynomu je polynom, takže platí, že $+: P\times P \to P$ a $\cdot: \R\times P \to P$. To je ale vše, co potřebujeme dokázat. Ověřováním vlastností (1) až (7) se nemusíme zdržovat, protože jsme definice sčítání a násobení polynomů převzali z~prostoru funkcí $F_D$, o~němž jsme dokázali v~příkladu\cite[LPfunkci], že se jedná o~lineární prostor (volíme $D=\R$). Při ověřování vlastností~(1) až (7) bychom dělali vlastně to samé jako v~příkladu\cite[LPfunkci], jen na podmnožině $P\subseteq F_D$. \priklad [NeLPpolynomu] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nechť $n\in \N,\, n\geq0$ (symbolem $\N$ značíme množinu přirozených čísel). Množina $P_n$ všech polynomů právě $n$-tého stupně s~definicemi sčítání a násobení skalárem podle příkladu\cite[polynomy] {\it netvoří} lineární prostor. Připomeneme, že {\em stupeň polynomu} se definuje jako největší $k\in\N$ takové, že $a_k$ je ve vzorci\cite(polynom) nenulové. Jsou-li všechna $a_k$ nulová, definujeme stupeň takového polynomu jako $-1$. \inl[stupeň: polynomu] Proč není množina $P_n$ lineárním prostorem? Sečteme-li totiž dva polynomy $n$-tého stupně, například $x^n + 2$ a $-x^n - 2$, dostáváme nulový polynom, což je polynom stupně $-1$. Tento protipříklad ukazuje, že neplatí vlastnost $+:P_n\times P_n \to P_n$. Dokonce neplatí ani $\cdot:\R\times P_n \to P_n$ (zkuste násobit polynom $n$-tého stupně nulou). \okraj Lineární podprostor | Linearni podprostor \pozn [vllpp] %%%%% Příklady\cite[LPpolynomu] a \cite[NeLPpolynomu] ukazují, že můžeme vymezit podmnožinu $M\subseteq L$ lineárního prostoru $L$ a převzít pro ni operace sčítání a násobení konstantou z~$L$. Za jistých okolností množina $M$ s~převzatými operacemi může být lineárním prostorem, ale nemusí být vždy. Z~příkladu\cite[LPpolynomu] navíc vidíme, že stačí ověřit vlastnosti $+: M\times M\to M$ a $\cdot: \R\times M\to M$, abychom mohli prohlásit, že $M$ je lineární prostor. Vlastnosti (1) až (7) není třeba znovu ověřovat, protože operace neměníme. Podmožinu lineárního prostoru, která je sama lineárním prostorem při použití stejných operací, nazýváme lineárním podprostorem. Přesněji viz následující definici. \definice [dlpp] %%%%%%%%%%%%%%%% Nechť $L$ je lineární prostor s~operacemi \uv{$+$} a \uv{$\cdot$}. Neprázdnou množinu $M\subseteq L$ nazýváme {\em lineárním podprostorem prostoru $L$}, pokud pro všechna $\vec x\in M, \vec y\in M$ a $\alpha\in\R$ platí: $$\eqalign{ \bod (1) \vec x + \vec y \in M, \cr \bod (2) \alpha\cdot\vec x \in M. \cr } $$ \par\inl[podprostor: lineární, lineární: podprostor] \priklad %%%%%%%% Množina všech polynomů $P$ z~příkladu\cite[LPpolynomu] je lineárním podprostorem množiny všech funkcí $F_D$ z~příkladu\cite[LPfunkci], kde volíme $D=\R$. Množina $P_n$ všech polynomů právě $n$-tého stupně z~příkladu\cite[NeLPpolynomu] není lineárním podprostorem lineárního prostoru $F_D$ ani lineárního prostoru $P$. \inl[prostor: polynomů, polynom, podprostor: prostoru funkcí] \priklad [lpPnn] %%%%%%%% Množina $P_{\leq n}$ všech polynomů nejvýše $n$-tého stupně je lineárním podprostorem lineárního prostoru všech polynomů $P$ i lineárního prostoru všech reálných funkcí $F_D$. Je to dáno tím, že (1)~součtem polynomů nejvýše $n$-tého stupně dostáváme polynom nejvýše $n$-tého stupně a (2)~vynásobením polynomu nejvýše $n$-tého stupně reálným číslem dostaneme zase polynom nejvýše $n$-tého stupně. \inl[podprostor: polynomů, polynom] \priklad [LPPRn] %%%%%%%%%%%%%%%% Uvažujme $M\subseteq\R^n$, $M=\{(a,a,\ldots,a);\,\, a\in\R\}$. Předpokládáme tedy, že množina $M$ obsahuje takové $n$-tice, ve kterých se všechny složky vzájemně rovnají. Ukážeme, že $M$ je lineární podprostor lineárního prostoru $\R^n$. Stačí pro množinu $M$ dokázat vlastnosti (1) a (2) z~definice\cite[dlpp]. Platí (1)~součet dvou uspořádaných $n$-tic, ve kterých se složky rovnají, je uspořádaná $n$-tice, ve kterých se složky rovnají. (2)~vynásobením uspořádané $n$-tice, ve které se složky rovnají, reálným číslem, dostáváme zase uspořádanou $n$-tici, ve které se složky rovnají. \inl[podprostor: R9n, R9n] \priklad [LPPR3] %%%%%%%%%%%%%%%% Uvažujme množiny $M\subseteq \R^3$, $N\subseteq \R^3$ a $S\subseteq \R^3$, které jsou definovány takto: $$\eqalign{ M &= \{(x,y,z);\, x + 2y = 0, \, z \hbox{ libovolné}\,\}, \cr N &= \{(x,y,z);\, 2x + y - z = 0\}, \cr S &= \{(x,y,z);\, 2x + y - z = 3\}. \cr } $$ Ukážeme, že $M$ a $N$ jsou lineárními podprostory lineárního prostoru $\R^3$, zatímco $S$ není lineárním podprostorem lineárního prostoru~$\R^3$. \inl[podprostor: R9n] Ověříme vlastnost (1) z~definice\cite[dlpp]: Nechť $(x_1,y_1,z_1)\in M$ a $(x_2,y_2,z_2)\in M$. Pak platí $x_1 + 2y_1 = 0$ a $x_2 + 2y_2 = 0$. Pro součet $(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$ platí $x_1 + 2y_1 + x_2 + 2y_2 = 0$ (sečetli jsme předchozí rovnice), tj. $(x_1 + x_2) + 2(y_1 + y_2) = 0$, takže i součet leží v~množině $M$. Nyní vlastnost (2): Jestliže $(x,y,z)\in M$, $\alpha\in\R$, pak platí $x + 2y = 0$. Vynásobením rovnice číslem $\alpha$ dostáváme, že též $\alpha\,x + 2\alpha\,y = 0$, což ale znamená, že i trojice $\alpha\cdot(x,y,z)$ leží v~množině $M$. Ověření, že množina $N$ je lineárním podprostorem, lze provést podobně. Množina $S$ není lineárním podprostorem, protože například $0\cdot(x,y,z) = (0,0,0)$, což je ale prvek, který neleží v~$S$. Neplatí totiž $2\cdot0 + 0 - 0 = 3$. \okraj Průnik\hb prostorů | Prunik prostoru \veta* [pruniklpp] %%%%%%%%%%%%%%%%% Nechť $M\subseteq L$ a $N\subseteq L$ jsou lineární podprostory lineárního prostoru $L$. Pak platí: $$\eqalign{ \bod (1) M\cap N \hbox{ je lineární podprostor lineárního prostoru $L$}.\cr \bod (2) M\cup N \hbox{ nemusí být lineární podprostor lineárního prostoru $L$}.\cr} $$ \par\inl[průnik: prostorů, sjednocení: prostorů] \dukaz (1) Z~předpokladů věty a definice\cite[dlpp] víme, že pro $\vec x\in M$, $\vec y\in M$, $\alpha\in\R$ je $\vec x + \vec y \in M$ a $\alpha\cdot\vec x \in M$. Totéž platí pro množinu $N$. Pokud nyní $\vec x\in M\cap N$, $\vec y\in M\cap N$, pak $\vec x$ i $\vec y$ leží současně v~$M$ i $N$, takže platí, že $\vec x + \vec y \in M$, $\alpha\cdot\vec x \in M$ a současně $\vec x + \vec y \in N$, $\alpha\cdot\vec x \in N$. Prvky $\vec x + \vec y$ a $\alpha\cdot\vec x$ leží v~obou množinách $M$ a $N$ současně a to není jinak možné, než že leží v~průniku těchto množin. (2) Abychom ukázali, že sjednocení $M\cup N$ nemusí být lineárním podprostorem, stačí najít vhodný příklad. Nechť $M=\{(a,0);\,a\in\R\}$, $N=\{(0,b);\,b\in\R\}$. Je zřejmé, že $M$ a $N$ jsou lineárními podprostory lineárního prostoru $\R^2$. Sjednocením těchto množin je množina uspořádaných dvojic, pro které je první nebo druhá složka nulová. Vezmeme nyní $(1,0)\in M\cup N$ a $(0,1)\in M\cup N$. Součet $(1,0)+(0,1)=(1,1)$ je uspořádaná dvojice, která neleží ve sjednocení $M\cup N$. \priklad %%%%%%%% Uvažujme podprostory $M$ a $N$ z~příkladu\cite[LPPR3]. Podle věty\cite[pruniklpp] je také $M\cap N$ lineárním podprostorem lineárního prostoru $\R^3$. \priklad %%%%%%%% Nechť $U_O$ je lineární prostor orientovaných úseček zavedený v příkladu\cite[lpvv] a dále nechť $M\subset U_O$ jsou jen takové úsečky, které leží ve stejné rovině, jako leží náš papír, na který jsme v~příkladu\cite[lpvv] nakreslili křížek. Vidíme, že $M\not=U_O$, protože například úsečka nenulové velikosti kolmá na náš papír neleží v~$M$. Ukážeme, že množina~$M$ je lineární podprostor lineárního prostoru~$U_O$. Skutečně, součet libovolných dvou úseček leží ve stejné rovině (protože tam leží celý rovnoběžník) a násobek úsečky leží dokonce na stejné přímce, jako původní úsečka, takže nutně zůstává ve stejné rovině. \inl[prostor: UO, prostor: orientovaných úseček] Každá rovina, která prochází bodem $O$, obsahuje podmnožinu úseček z~$U_O$, které tvoří lineární podprostor lineárního prostoru $U_O$. Uvažujme nyní dvě roviny, které mají společný bod $O$, ale nejsou totožné. Jejich průnik je nějaká přímka, procházející bodem $O$. Všechny orientované úsečky z~$U_O$, které leží v~této přímce, tvoří podle věty\cite[pruniklpp] rovněž lineární podprostor lineárního prostoru $U_O$. \okraj Prostor posloupností | Prostor posloupnosti \priklad [LPposloupnosti] %%%%%%%% Nekonečné posloupnosti reálných čísel lze sčítat tak, že sčítáme odpovídající prvky jednotlivých posloupností. A můžeme je násobit konstantou tak, že všechny prvky posloupnosti jsou vynásobeny touto konstantou. Tedy: $$ \eqalign{ (a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots) + (b_1,b_2,b_3,b_4,\ldots) &= (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,a_4+b_4,\ldots), \cr \alpha\cdot (a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots) &= (\alpha a_1,\alpha a_2,\alpha a_3,\alpha a_4,\ldots). } $$ Množina nekonečných posloupností $S$ s takto zavedenými operacemi sčítání a násobení konstantou tvoří lineární prostor. Argumentuje se stejně, jako v příkladu\cite[LPRn]. \inl[lineární: prostor: posloupností] Podmnožina $C\subseteq S$ nekonečných posloupností, které jsou konvergentní, tvoří lineární podprostor lineárního prostoru $S$, neboť součet konvergentních posloupností je konvergentní posloupnost a násobek konvergentní posloupnosti je konvergentní posloupnost. Podmnožina $N\subseteq S$ nekonečných posloupností, které mají limitu nula, tvoří lineární podprostor lienárního prostoru $S$, neboť součet posloupností majících limitu nula je posloupnost mající limitu nula a násobek posloupnosti s limitou nula je posloupnost s limitou nula. Dokonce $N$ je lineárním podprostorem lineárního prostoru $C$. Nekonečné posloupnosti, které mají jen konečně mnoho nenulových prvků, se nazývají {\em posloupnosti s~konečným nosičem}. Podmnožina $K\subseteq S$ posloupností s konečným nosičem tvoří lineární podprostor, neboť součet posloupností s konečným nosičem je posloupnost s konečným nosičem a násobek posloupnosti s konečným nosičem je posloupnost s konečným nosičem. Dokonce $K$ je lineárním podprostorem lineárního prostoru~$N$. Stručně: $K$ je podprostorem $N$ je podprostorem $C$ je podprostorem $S$. \okraj Triviální prostor | Trivialni prostor \pozn [trivprostor] %%%%% Zamysleme se, jak může vypadat lineární prostor s~nejmenším počtem prvků. Podle definice\cite[dlp] je lineární prostor vždy neprázdná množina, takže musí obsahovat aspoň jeden prvek. Ukazuje se, že jednobodová množina $L=\{\vec o\}$ je skutečně nejmenší možný lineární prostor. Přitom $\vec o$ je nulový prvek z~vlastnosti (7). Sčítání je definováno předpisem $\vec o + \vec o = \vec o$ a násobení skalárem $\alpha$ předpisem $\alpha\cdot\vec o = \vec o$. Takový lineární prostor nazýváme {\em triviální}. \inl[prostor: triviální, triviální: prostor] \pozn [dvoubodovy] %%%%%%%%%%%%%%%%%% Ukážeme, že konečná množina obsahující aspoň dva prvky nemůže být lineárním prostorem. Znamená to, že se nám pro takovou množinu $L$ nepovede najít operace $+:L\times L\to L$ a $\cdot:\R\times L\to L$ takové, aby současně splňovaly vlastnosti (1) až (7) z~definice\cite[dlp]. Jeden z~prvků množiny $L$ musí být nulový prvek (označme jej~$\vec o$) a jiný prvek označme třeba $\vec x$. Další prvky označovat nemusíme. Uvažujme množinu $K=\{\alpha\cdot\vec x;\, \alpha\in\R\}$. Protože $K\subseteq L$, je i $K$ konečná množina. Protože reálných čísel je nekonečně mnoho, a přitom $K$ je konečná, musejí existovat dvě různá reálná čísla $\beta\ne\gamma$ taková, že $\beta\cdot\vec x = \gamma\cdot\vec x$. Z~definice lineárního prostoru\cite[dlp] dostáváme: $$ \vec o = 0\cdot\vec x = (\beta-\beta)\cdot \vec x = \beta\cdot\vec x + (-\beta)\cdot\vec x = \gamma\cdot\vec x + (-\beta)\cdot\vec x = (\gamma-\beta)\cdot\vec x. $$ Nyní máme splněny předpoklady vlastnosti (3) věty\cite[nulprvek] (volíme $\alpha=\gamma-\beta$). Dostáváme tedy $\vec x=\vec o$. To je ale spor s předpokladem, že jsme vybrali prvek $\vec x$ jiný než nulový. Konečná množina obsahující aspoň dva prvky tedy nemůže být lineárním prostorem. Existuje tedy jednobodový lineární prostor a pak dlouho nic \dots~a všechny ostatní lineární prostory musejí mít nekonečné množství prvků. \priklad [ObskurniLP] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ukážeme si jeden příklad poněkud exotického lineárního prostoru. Jedná se o~množinu kladných reálných čísel $\R^+$, na které je definováno \uv{sčítání} $\oplus: \R^+ \times \R^+ \to \R^+$ a \uv{násobení} reálným číslem $\odot: \R\times \R^+ \to \R^+$ takto: pro $x\in\R^+$, $y\in\R^+$, $\alpha\in\R$ je $$ x \oplus y \df= x\cdot y, \quad \alpha\odot x \df= x^\alpha, $$ kde znakem \uv{$\cdot$} je míněno běžné násobení reálných čísel a $x^\alpha$ je reálná mocnina o~kladném základu. V~tomto příkladě jsme se pokorně vrátili ke kroužkování nových operací sčítání a násobení skalárem, protože bychom je velmi těžko odlišovali od běžného sčítání a násobení reálných čísel. Nové sčítání vlastně definujeme jako běžné násobení a nové násobení jako běžnou mocninu. Aby $\R^+$ s~operacemi $\oplus$ a $\odot$ byl lineárním protorem, musí splňovat vlastnosti (1) až (7) z~definice\cite[dlp]. Pro $x\in\R^+$, $y\in\R^+$, $z\in\R^+$, $\alpha\in\R$, $\beta\in\R$ je $$\eqalign{ \bod (1) x\oplus y = x\cdot y = y\cdot x = y\oplus x, \cr \bod (2) (x\oplus y) \oplus z = (x \cdot y)\cdot z = x \cdot (y \cdot z) = x \oplus (y \oplus z), \cr \bod (3) \alpha\odot(\beta\odot x) = (\beta\odot x)^\alpha = (x^\beta)^\alpha = x^{\alpha\cdot\beta} = (\alpha\,\beta)\odot x, \cr \bod (4) \alpha\odot(x\oplus y) = (x\oplus y)^\alpha = (x\cdot y)^\alpha = x^\alpha \cdot y^\alpha = (\alpha\odot x) \cdot (\alpha\odot y) = (\alpha\odot x) \oplus (\alpha\odot y), \cr \bod (5) (\alpha+\beta)\odot x = x^{\alpha+\beta} = x^\alpha \cdot x^\beta = (\alpha \odot x) \cdot (\beta\odot x) = (\alpha \odot x) \oplus (\beta\odot x), \cr \bod (6) 1\odot x = x^1 = x, \cr \bod (7) 0\odot x = x^0 = 1 \in \R^+. \cr } $$ Z~poslední vlastnosti vyplývá, že nulový prvek tohoto lineárního prostoru je číslo 1. To je překvapení. \okraj Lineární prostor\hb nad~{\C} | Linearni prostor nad C \poznamka [dlpnadC] %%%%%%%%% V definici\cite[dlp] jsme za skaláry považovali reálná čísla. Nyní zkusíme nahradit v této definici všechny výskyty množiny $\R$ množinou komplexních čísel $\C$. Dostáváme pozměněnou definici: {\em Lineárním prostorem} nazýváme každou neprázdnou množinu $L$, na které je definováno sčítání $+: L\times\nobreak L \to L$ a násobení komplexním číslem $\cdot: \C\times L \to L$ a tyto operace splňují pro každé $\vec x\in L$, $\vec y\in L$, $\vec z\in L$, $\alpha\in\C$, $\beta\in\C$ axiomy linearity~(1) až~(7) (viz definici\cite[dlp]). Prvky lineárního prostoru nazýváme {\em vektory}. Komplexnímu číslu v~kontextu násobení $\cdot: \C\times L \to L$ říkáme {\em skalár}. Prvku $\vec o\in L$ z~vlastnosti (7) říkáme {\em nulový prvek} nebo {\em nulový vektor}. \inl[prostor: lineární: nad C, lineární: prostor: nad C] Takto definovanému lineárnímu prostoru říkáme {\em lineární prostor nad komplexními čísly}. Na druhé straně původní definice\cite[dlp] vymezila {\em lineární prostor nad reálnými čísly}. \poznamka %%%%%%%%% Když si pečlivý čtenář projde celý text této kapitoly znovu a nahradí všechny zmínky o reálných číslech zmínkami o komplexních číslech (s~výjimkou příkladu\cite[lpvv]), všechna tvrzení budou platit i v takovém případě. V našem textu si ale většinou vystačíme s lineárními prostory nad reálnými čísly. Nebude-li zde výslově řečeno, o jaký lineární prostor se jedná, máme na mysli lineární prostor nad reálnými čísly. Přitom vesměs všechny úvahy platí i pro lineární prostory nad komplexními čísly, pokud veškeré zmínky o reálných číslech nahradíme v textu zmínkami o číslech komplexních. \poznamka %%%%%%%%% V kapitole\kcite\ktere[grupy] se setkáme s dalším zobecněním lineárního prostoru. Lineární prostor nad reálnými nebo nad komplexními čísly nahradíme lineárním prostorem nad obecným {\em tělesem}. Vesměs všechny vlastnosti, které dokážeme pro lineární prostory nad~$\R$, zůstanou v~platnosti i pro lineární prostory nad obecným tělesem. \inl[těleso] \shrnuti %%%%%%%% %Na konci každé kapitoly zopakujeme hlavní sdělení dané kapitoly. %Nejpodstatnější myšlenky jsou v takovém shrnutí tedy řečeny znovu, %často jen stručným a lapidárním jazykem s odkazy na předchozí přesné %definice a věty. % V lineární algebře se pracuje s lineárními prostory\lcite[dlp], což jsou množiny abstraktních \uv{vektorů}, o nichž pouze víme, že je lze sčítat a násobit konstantou, přičemž tyto operace splňují axiomy linearity vyjmenované v~definici\cite[dlp] pod čísly~(1) až~(7). V příkladech jsme si ukázali, že existují různé lineární prostory: prostor uspořádaných $n$-tic reálných čísel\lcite[LPRn], prostor funkcí\lcite[LPfunkci], prostor polynomů\lcite[LPpolynomu], prostor nekonečných posloupností\lcite[LPposloupnosti], prostor orientovaných úseček\lcite[lpvv]. Tento výčet zdaleka není úplný. Dají se sestrojit i lineární prostory s neobvyklými operacemi, které přesto splňují axiomy linearity\lcite[ObskurniLP]. Nejdůležitějším příkladem je lineární prostor uspořádaných $n$-tic reálných čísel\lcite[LPRn]. Vektory tohoto lineárního prostoru sčítáme po složkách a násobíme reálným číslem tak, že násobíme tímto číslem každou složku. V následujích kapitolách se s tímto lineárním prostorem ještě mnohokrát setkáme. Podmožiny lineárních prostorů mohou se stejnými operacemi být samy lineárními prostory. V takovém případě jim říkáme podprostory\lcite[dlpp]. Průnik podprostorů je podprostor ale sjednocení podprostorů nemusí být podprostor\lcite[pruniklpp]. \icviceni 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Lineární závislost a nezávislost, lineární obal | Linearni zavislost a nezavislost, linearni obal %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \pozn %%%%% Ačkoli jsme v~předchozí kapitole uvedli mnoho příkladů, které měly ilustrovat definici lineárního prostoru, je možné, že smysl této definice se tím nepodařilo objasnit. Můžete se ptát, proč jsme nuceni ověřovat u~různých množin, zda jsou či nejsou při definování určitých operací sčítání a násobení reálným číslem lineárními prostory. Neuvedli jsme totiž, že pokud nějaká množina je lineárním prostorem, lze na ni zkoumat mnoho dalších vlastností a zavést plno užitečných pojmů, které jsou společné všem lineárním prostorům. Tyto vlastnosti a pojmy předpokládají pouze to, že vektory (tj.~prvky nějaké blíže neurčené množiny) umíme sčítat a násobit reálným číslem, a přitom tyto operace splňují axiomy (1) až (7) z~definice\cite[dlp]. Kdybychom tuto jednotící definici neměli, museli bychom například zvlášť zavádět pojmy lineární závislost, báze a dimenze pro množinu orientovaných úseček, zvlášť pro množinu uspořádaných $n$-tic a zvlášť pro množinu reálných funkcí. Až bychom třeba později zjistili, že můžeme kupříkladu matice stejné velikosti sčítat a násobit skalárem, znovu bychom pro tuto množinu byli nuceni definovat pojmy lineární závislost, báze a dimenze. Přitom k~zavedení těchto pojmů je zapotřebí dokázat několik tvrzení, která bychom tak museli dokazovat pro každou konkrétní množinu zvlášť a znova. Snad každý uzná, že to je docela zbytečná práce. Je přeci jen jednodušší ověřit, že nějaká množina tvoří lineární prostor a okamžitě pro ni používat všechny další vlastnosti a pojmy, které se dozvíme v~této kapitole. \pozn % Zbytecne zavorky nepiseme, misto (-1) x piseme -x %%%%%%%%%%%% Sčítání má podle definice\cite[dlp] dva operandy. Když bychom chtěli sečíst třeba tři vektory $\vec x + \vec y + \vec z$, měli bychom uvést, v~jakém pořadí budeme operace provádět, tj. zda provedeme $(\vec x + \vec y) + \vec z$ nebo $\vec x + (\vec y + \vec z)$. Vlastnost (2) definice\cite[dlp] nás ale od této povinnosti osvobozuje, protože zaručuje, že oba případy povedou ke stejnému výsledku. Proto nebudeme v~takovém případě nadále závorky uvádět a například pro vektory $\vecc x_n$ budeme jejich součet zapisovat jednoduše: \hbox{$\vec x_1+ \vec x_2+ \cdots+ \vec x_n$}. Dále budeme místo $\vec x + (-1)\cdot \vec y$ zapisovat stručně $\vec x-\vec y$. Tím vlastně máme zavedenu operaci odčítání vektorů, ačkoli tato operace není v~definici\cite[dlp] vůbec zmíněna. Abychom v~textu odlišili vektory (tj.~prvky nějakého lineárního prostoru) od reálných čísel, budeme vektory označovat malými písmeny anglické abecedy a vždy je zvýrazníme tučně, tedy takto: $\vec x, \vec y, \vec a, \vec x_1$ atd. V~ručně psaném textu se často vektory zvýrazňují zápisem šipky nad písmeno, podtržením písmene nebo i~jinak. \okraj Lineární kombinace | Linearni kombinace \definice [lk] %%%%%%%%%%%%%% Nechť $\vecc x_n$ jsou vektory (tj.~prvky nějakého lineárního prostoru). {\em Lineární kombinací\/} vektorů $\vecc x_n$ rozumíme vektor $$ \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n, $$ kde $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ jsou nějaká reálná čísla. Těmto číslům říkáme {\em koeficienty\/} lineární kombinace. \inl[kombinace: lineární, lineární: kombinace] \inl[koeficienty: lineární: kombinace] \priklad %%%%%%%% Lineární kombinací vektorů $\vec x, \vec y, \vec z$ může být třeba vektor $\vec x + \vec y + \vec z$ (všechny tři koeficienty jsou rovny jedné), nebo vektor $\teckacarka 2\vec x - \vec y + 3.18\vec z$ (koeficienty jsou čísla $\teckacarka 2;\, -1;\, 3.18$), nebo také vektor $\alpha\,\vec x +\beta\,\vec y + \gamma\,\vec z$ (koeficienty $\alpha,\beta,\gamma\in\R$ jsme blíže neurčili). \inl[kombinace: lineární, lineární: kombinace] \okraj Triviální\hb lineární\hb kombinace | Trivialni linearni kombinace \definice [trivlk] %%%%%%%%%%%%%%%%%% {\em Triviální\/} lineární kombinace vektorů $\vecc x_n$ je taková lineární kombinace, která má všechny koeficienty nulové, tj.~$0 \vec x_1 + 0 \vec x_2 + \cdots + 0 \vec x_n$. {\em Netriviální\/} lineární kombinace je taková lineární kombinace, která není triviální, tj.~aspoň jeden její koeficient je nenulový. \inl[kombinace: lineární: triviální, triviální: lineární: kombinace] \inl[kombinace: lineární: netriviální, netriviální: lineární: kombinace] \veta %%%%% Triviální lineární kombinace je vždy rovna nulovému vektoru. \inl[vektor: nulový, nulový: vektor] \inl[kombinace: lineární: triviální, triviální: lineární: kombinace] \dukaz Podle vlastnosti (7) v~definici\cite[dlp] je každý sčítanec v~triviální lineární kombinaci roven nulovému vektoru a podle vlastnosti (1) věty\cite[nulprvek] je i součet nulových vektorů roven nulovému vektoru. \okraj Lineární\hb závislost\hb skupiny | Linearni zavislost skupiny \definice* [LZskupiny] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Skupinu vektorů $\vecc x_n$ nazýváme {\em lineárně závislou}, pokud existuje netriviální lineární kombinace vektorů $\vecc x_n$, která je rovna nulovému vektoru. Stručně říkáme, že vektory $\vecc x_n$ jsou {\em lineárně závislé}. \inl[lineární: závislost, lineární: závislost: skupiny vektorů] \pozn [poznlz] %%%%%%%%%%%%%% Pokud bychom rozvedli pojem netriviální lineární kombinace podle definic\cite[trivlk] a\cite[lk], můžeme říci, že vektory $\vecc x_n$ jsou {\em lineárně závislé}, pokud existují reálná čísla $\alpha_1 ,\alpha_2, \ldots, \alpha_n$ tak, že aspoň jedno z~nich je nenulové, a přitom platí $$ \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n = \vec o. $$ \okraj Lineární\hb nezávislost skupiny | Linearni nezavislost skupiny \definice [LNskupiny] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Skupinu vektorů $\vecc x_n$ nazýváme {\em lineárně nezávislou}, pokud není lineárně závislá. Stručně říkáme, že vektory $\vecc x_n$ jsou {\em lineárně nezávislé}. \inl[lineární: nezávislost, lineární: nezávislost: skupiny vektorů] \pozn* [poznln] %%%%%%%%%%%%%% Vektory jsou lineárně nezávislé, pokud (podle definic\cite[LZskupiny] a\cite[LNskupiny]) neexistuje netriviální lineární kombinace těchto vektorů, která je rovna nulovému vektoru. Jinak řečeno, jedině triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru. Při použití definice\cite[trivlk] můžeme říci, že vektory $\vecc x_n$ jsou lineárně nezávislé, pokud z~předpokladu $ \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n = \vec o $ nutně plyne, že $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0$. \pozn %%%%% Ačkoli se vesměs používá stručná formulace: \uv{vektory $\vecc x_n$ jsou lineárně závislé/nezávislé} místo přesnějšího: \uv{skupina vektorů $\vecc x_n$ je lineárně závislá/nezávislá}, je potřeba si uvědomit, že stručná formulace může vést k~nepochopení. Rozhodně se tím nechce říci, že jednotlivé vektory jsou lineárně závislé/nezávislé (tj. $\vec x_1$ je lineárně závislý/nezávislý, $\vec x_2$ je lineárně závislý/nezávislý atd.), ale jedná se vždy o~vlastnost celé skupiny vektorů jako celku. Pojem lineární závislosti a nezávislosti vektorů má v lineární algebře zásadní důležitost. Závislost vektorů je možná názornější z pohledu následující věty\cite[xr], ovšem při ověřování lineární závislosti abstraktních vektorů je často definice\cite[LZskupiny] použitelnější. Má proto smysl definicím\cite[LZskupiny] a\cite[LNskupiny] věnovat náležitou pozornost. \priklad %%%%%%%% Uvažujme lineární prostor $\R^3$ (viz příklad\cite[LPRn], $n=3$). Jsou dány tři vektory z~$\R^3$: $$ \vec x=(1,2,3), \quad \vec y =(1,0,2), \quad \vec z =(-1,4,0). $$ Zjistíme z~definice, zda jsou vektory $\vec x,\vec y,\vec z$ lineárně závislé či nezávislé. Podle poznámek\cite[poznlz] a\cite[poznln] stačí zjistit, jaké mohou být koeficienty $\alpha,\beta,\gamma$, pokud položíme $$ \alpha\,\vec x + \beta\,\vec y + \gamma\,\vec z = \vec o. $$ Dosazením do této rovnice dostáváme $$ \alpha\,(1,2,3) + \beta\,(1,0,2) + \gamma\,(-1,4,0) = (0,0,0). $$ Zde jsme využili toho, že nulový vektor v~$\R^3$ je roven trojici $(0,0,0)$. Dále podle definice sčítání a násobení skalárem na $\R^3$ dostáváme $$ (\alpha+\beta-\gamma, 2\,\alpha+4\,\gamma, 3\,\alpha+2\,\beta)= (0,0,0). $$ Dvě uspořádané trojice se rovnají, pokud se rovnají jejich odpovídající složky. Musí tedy platit tyto rovnice: $$\soustava{ \1\,\alpha&+\1\,\beta&-\1\,\gamma &= 0, \cr 2\,\alpha& &+ 4\,\gamma &= 0, \cr 3\,\alpha&+ 2\,\beta& &= 0.\, \cr} $$ Tato soustava má nekonečně mnoho řešení (zkuste si to ověřit třeba Gaussovou eliminační metodou). Mezi těmito řešeními je jediné triviální, všechna ostatní jsou netriviální. Příkladem takového netriviálního řešení může být třeba $\alpha=2$, $\beta=-3$, $\gamma=-1$, takže $$ 2\,(1,2,3) - 3\,(1,0,2) - 1\,(-1,4,0) = (0,0,0). $$ Existuje tedy netriviální lineární kombinace vektorů $\vec x,\vec y,\vec z$, která je rovna nulovému vektoru, což podle definice\cite[LZskupiny] znamená, že vektory $\vec x,\vec y,\vec z$ jsou lineárně závislé. \priklad [lntrojka] %%%%%%%% V~lineárním prostoru $\R^3$ jsou dány tři vektory z~$\R^3$: $$ \vec x=(1,2,3), \quad \vec y =(1,0,2), \quad \vec z =(-2,1,0). $$ Zjistíme z~definice, zda jsou vektory $\vec x,\vec y,\vec z$ lineárně závislé či nezávislé. Podle poznámek\cite[poznlz] a\cite[poznln] stačí zjistit, jaké mohou být koeficienty $\alpha,\beta,\gamma$, pokud položíme $ \alpha\,\vec x + \beta\,\vec y + \gamma\,\vec z = \vec o. $ Dosazením do této rovnice dostáváme $$\eqalign{ \alpha\,(1,2,3) + \beta\,(1,0,2) + \gamma\,(-2,1,0) &= (0,0,0),\cr (\alpha+\beta-2\,\gamma, 2\,\alpha+\gamma, 3\,\alpha+2\,\beta)&= (0,0,0).\cr} $$ Dvě uspořádané trojice se rovnají, pokud se rovnají jejich odpovídající složky. Musí tedy platit tyto rovnice: $$\soustava{ \1\,\alpha&+\1\,\beta&- 2\,\gamma &= 0, \cr 2\,\alpha& &+\1\,\gamma &= 0, \cr 3\,\alpha&+2\,\beta & &= 0.\, \cr} $$ Tato soustava má jediné řešení $\alpha=0,\, \beta=0,\, \gamma=0$ (zkuste si to ověřit třeba Gaussovou eliminační metodou). Vidíme tedy, že jedině triviální lineární kombinace vektorů $\vec x,\vec y,\vec z$ je rovna nulovému vektoru, což podle definice\cite[LNskupiny] znamená, že vektory $\vec x,\vec y,\vec z$ jsou lineárně nezávislé. \priklad [sincos4] %%%%%%%% Uvažujme lineární prostor všech reálných funkcí definovaných na $\R$ a v~něm tři funkce $f,g,h$, které jsou zadané těmito vzorci: $$ f(x) = \sin(x), \quad g(x) = \cos(x), \quad h(x) = 4 \quad \forall x\in\R. $$ Ověříme, zda jsou tyto tři funkce lineárně nezávislé či závislé. Položíme jejich lineární kombinaci rovnu nulové funkci: $$ \alpha\cdot\sin(x) + \beta\cdot\cos(x) + \gamma\cdot 4 = 0 \quad \forall x\in\R \rce (sincos4) $$ a zjistíme, jakých hodnot mohou nabývat koeficienty $\alpha, \beta, \gamma$. Tato rovnost má být splněna pro všechna $x\in\R$. Je možné, že při volbě tří hodnot $x\in\R$ už vynutíme trivialitu lineární kombinace v\cite(sincos4). Zkusme štěstí například pro $x\in\left\{0,{\pi\over2},\pi\right\}$. V rovnici\cite(sincos4) se tedy omezíme na $$ \alpha\cdot\sin(x) + \beta\cdot\cos(x) + \gamma\cdot 4 = 0 \quad \hbox{pro } x\in\left\{0,{\pi\over2},\pi\right\}. \rce (sincos4a) $$ %Je jedno, jaký jsme zvolili \uv{vzorek} tří hodnot $x$. Pro závěrečnou %argumentaci nám stačí, že z~výroku\cite(sincos4) plyne výrok\cite(sincos4a). Po dosazení hodnot $x$ dostáváme tři rovnice: $$\soustava{ 0\,\alpha + \1\,\beta + 4\,\gamma &= 0, \cr \1\,\alpha + 0\,\beta + 4\,\gamma &= 0, \cr 0\,\alpha - \1\,\beta + 4\,\gamma &= 0.\, \cr} $$ Tato soustava má jediné řešení $\alpha=0,\, \beta=0,\, \gamma=0$ (zkuste si to ověřit třeba Gaussovou eliminační metodou). Takže pokus se zdařil. Z~rovnice\cite(sincos4) plyne\cite(sincos4a) a z ní pak $\alpha=0,\, \beta=0,\, \gamma=0$. To podle definice znamená, že vektory $f, g, h$ jsou lineárně nezávislé. \inl[lineární: nezávislost: funkcí] \priklad [sincos42] %%%%%%%% Uvažujme lineární prostor všech reálných funkcí definovaných na $\R$ a v~něm tři funkce $f,g,h$, které jsou zadané těmito vzorci: $$ f(x) = \sin^2(x), \quad g(x) = 3\,\cos^2(x), \quad h(x) = 4 \quad \forall x\in\R. $$ Ověříme, zda jsou tyto tři funkce lineárně nezávislé či závislé. Položíme jejich lineární kombinaci rovnu nulové funkci: $$ \alpha\cdot\sin^2(x) + \beta\cdot3\,\cos^2(x) + \gamma\cdot 4 = 0 \quad \forall x\in\R \rce(sincos42) $$ a zjistíme, jakých hodnot mohou nabývat koeficienty $\alpha, \beta, \gamma$. Jako v~příkladu\cite[sincos4] zkusíme volit nějaké tři hodnoty $x$. Po dosazení $x=0$, $x=\pi/2$ a $x=\pi$ dostáváme soustavu $$\soustava{ & 3\,\beta &+ 4\,\gamma &= 0, \cr \alpha \; & &+ 4\,\gamma &= 0, \cr & 3\,\beta &+ 4\,\gamma &= 0.\, } $$ Vidíme, že jedna rovnice je zde napsaná dvakrát, takže zbývají dvě rovnice o~třech neznámých. Taková soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení, jedním z~nich je například $\alpha=12,\, \beta=4,\, \gamma=-3$. To nám ale k~závěru o~lineární závislosti funkcí nestačí, protože my musíme najít netriviální kombinaci rovnou nule pro všechna $x\in\R$, nikoli jen pro tři vyvolené hodnoty. Výsledek ale napovídá, jaké by mohly být koeficienty hledané netriviální lineární kombinace: $$ 12\cdot\sin^2(x) + 4\cdot3\,\cos^2(x) - 3\cdot4 = 12\,(\sin^2(x) + \cos^2(x)) - 12 = 0 \quad \forall\,x\in\R. $$ Zde jsme využili vzorce $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ pro všecha $x\in\R$. Našli jsme tedy netriviální lineární kombinaci, která je rovna nulové funkci na celém definičním oboru, a proto jsou funkce $f, g, h$ lineárně závislé. \inl[lineární: závislost: funkcí] \poznamka %%%%%%%% Při vyšetřování lineární nezávislosti funkcí můžeme též využít derivací. Třeba rovnost\cite(sincos4) má platit pro všechna $x\in\R$ a tím pádem pro všechny derivace v libovolném bodě. Třeba v~nule. Pro $x=0$ je $\beta+4\gamma=0$, po zderivování máme $\alpha\cos(x)-\beta\sin(x)=0$ a dosazením $x=0$ dostaneme druhou rovnost $\alpha=0$. Ještě jednou zderivjeme a dosadíme $x=0$, máme $\beta=0$. Z první rovnosti plyne, že tedy musí $\alpha=0$. Všechny koeficienty musejí být nulové, takže vektory $f,g,h$ z~příkladu\cite[sincos4] jsou lineárně nezávislé. Na druhé straně postupným derivováním rovnosti\cite(sincos42) z~příkladu\cite[sincos42] a dosazením $x=0$ dostáváme rovnice: $3\beta+4\gamma=0$, $0=0$, $\alpha-3\beta=0$, $0=0$, $0=0$, atd. (zkuste si sami zderivovat). Takže máme jen dvě nenulové rovnice o~třech neznámých, tedy $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ mohou být nenulové. Tento postup nám tedy nedává záruku nezávislosti funkcí~$f,g,h$ z příkladu\cite[sincos42]. \priklad %%%%%%%% Nechť $\vec u, \vec v, \vec w$ jsou prvky nějakého (blíže nespecifikovaného) lineárního prostoru. Předpokládejme, že jsou lineárně nezávislé. Úkolem je zjistit, pro které $a\in\R$ jsou vektory $$ \vec x = 2\,\vec u - \vec v, \quad \vec y = \vec u + 3\,\vec v - 2\,\vec w, \quad \vec z = \vec v + a\,\vec w $$ lineárně závislé. Položíme tedy lineární kombinaci vektorů $\vec x, \vec y, \vec z$ rovnu nulovému vektoru a budeme zjišťovat, jaké musí být koeficienty $\alpha, \beta, \gamma$: $$ \alpha\,\vec x + \beta\,\vec y + \gamma\,\vec z = \vec o. $$ Dosadíme: $$ \alpha\,(2\,\vec u - \vec v) + \beta\,(\vec u + 3\,\vec v - 2\,\vec w) + \gamma\,(\vec v + a\,\vec w) = \vec o $$ a po úpravách dostáváme $$ (2\,\alpha + \beta)\,\vec u + (-\alpha + 3\,\beta + \gamma)\,\vec v + (-2\,\beta + a\,\gamma)\,\vec w = \vec o. $$ Protože podle předpokladů jsou vektory $\vec u, \vec v, \vec w$ lineárně nezávislé, musí být tato lineární kombinace jedině triviální, tj. všechny koeficienty jsou nulové: $$\soustava{ 2\,\alpha &+ \1\,\beta & &= 0, \cr {}-\alpha &+ 3\,\beta &+ \1\,\gamma &= 0, \cr &- 2\,\beta &+ a\,\gamma &= 0.\, \cr} $$ Například pomocí Gaussovy eliminační metody se můžeme přesvědčit, že soustava má jediné řešení $\alpha=0,\, \beta=0,\, \gamma=0$ pro $7a+4\not=0$. V~takovém případě budou vektory $\vec x, \vec y, \vec z$ lineárně nezávislé. Jestliže naopak $7a+4=0$, má soustava nekonečně mnoho řešení, mezi kterými se jistě najde i netriviální řešení. Vektory $\vec x, \vec y, \vec z$ jsou tedy lineárně závislé pro $a=-4/7$. \okraj Jeden vektor je lineární kombinací ostatních | Jeden vektor je linearni kombinaci ostatnich \veta* [xr] %%%%% Nechť $n\geq2$. Vektory $\vecc x_n$ jsou lineárně závislé právě tehdy, když existuje index $r\in\{1,\ldots,n\}$ takový, že vektor $\vec x_r$ je roven lineární kombinaci ostatních vektorů. \inl[lineární: závislost] \dukaz %%%%%% Věty formulované ve tvaru ekvivalence (výrok $A$ platí právě tehdy, když platí výrok $B$) se obvykle dokazují ve dvou krocích. Nejprve dokážeme, že z~$A$ plyne $B$ a pak dokážeme, že z~$B$ plyne $A$. Dokazujme tedy nejprve, že z~lineární závislosti vektorů $\vecc x_n$ plyne existence indexu $r$ výše uvedené vlastnosti. Z~definice lineární závislosti víme, že existuje netriviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru, tj. $$ \lkvecc\alpha.x_n = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\vec x_i = \vec o, \rce (lknul) $$ a přitom aspoň jeden koeficient lineární kombinace je nenulový. Existuje tedy $r\in\{1,\ldots,n\}$ takové, že $\alpha_r\not=0$. Přičteme nyní vektor $-\alpha_r\,\vec x_r$ k~oběma stranám rovnice\cite(lknul) $$ \sum_{\textstyle{i=1\atop i\not=r}}^n \alpha_i\,\vec x_i = -\alpha_r\,\vec x_r. $$ Po vynásobení obou stran rovnice koeficientem $-1/\alpha_r$ dostáváme $$ \sum_{\textstyle{i=1\atop i\not=r}}^n {\alpha_i\over-\alpha_r}\,\vec x_i = \vec x_r. $$ Vektor $\vec x_r$ je tedy roven lineární kombinaci ostatních vektorů. V~druhé části důkazu předpokládáme existenci koeficientu $r$ takového, že vektor $\vec x_r$ je roven lineární kombinaci ostatních vektorů. Dokážeme lineární závislost vektorů $\vecc x_n$. Pro nějaké $r\in\{1,\ldots,n\}$ tedy platí $$ \vec x_r = \sum_{\textstyle{i=1\atop i\not=r}}^n \beta_i\,\vec x_i . $$ Přičteme-li k~oběma stranám této rovnice vektor $-\vec x_r$, dostáváme $$ \sum_{\textstyle{i=1\atop i\not=r}}^n \beta_i\,\vec x_i + (-1)\cdot\vec x_r = \vec o, $$ což je netriviální lineární kombinace vektorů $\vecc x_n$ (její $r$-tý koeficient je jistě nenulový), která je rovna nulovému vektoru. \pozn %%%%% Věta\cite[xr] se dá přeformulovat též takto: vektory $\vecc x_n$ jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když žádný z~vektorů $\vec x_i$, $i\in\{1,\ldots,n\}$, není lineární kombinací ostatních vektorů. \inl[lineární: závislost] \okraj Základní vlastnosti lineární (ne)závislosti | Zakladni vlastnosti linearni (ne)zavislosti \veta[lnlz] %%%%% Nechť $\vecc x_n$ jsou prvky nějakého lineárního prostoru~$L$. Pak platí: \noindent (1) Lineární závislost či nezávislost vektorů $\vecc x_n$ se nezmění při změně pořadí těchto vektorů. \noindent (2) Jestliže se mezi $\vecc x_n$ vyskytuje nulový vektor, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. \noindent (3) Jestliže se ve skupině vektorů $\vecc x_n$ některý vektor vyskytuje aspoň dvakrát, je tato skupina vektorů lineárně závislá. \noindent (4) Jestliže jsou vektory $\vecc x_n$ lineárně závislé a $\vec x_{n+1}\in L$, pak jsou i vektory $\vecc x_n, \vec x_{n+1}$ lineárně závislé. \noindent (5) Jestliže jsou vektory $\vecc x_n$ lineárně nezávislé, pak jsou i vektory $\vecc x_{n-1}$ lineárně nezávislé. \noindent (6) Samotný vektor $\vec x_1$ (chápaný ovšem jako skupina vektorů o~jednom prvku) je lineárně nezávislý právě tehdy, když je nenulový. \noindent (7) Dva vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když jeden je násobkem druhého. \dukaz %%%%%% (1) Lineární kombinace vektorů $\vecc x_n$ nezávisí na jejich pořadí, protože sčítání vektorů je podle definice\cite[dlp] komutativní. (2) Vzhledem k~vlastnosti (1) stačí bez újmy na obecnosti předpokládat, že $\vec o=\vec x_1$. Pak platí: $$ 1\cdot\vec o + 0\cdot\vec x_2 + 0\cdot\vec x_3 + \cdots + 0\cdot\vec x_n = \vec o, $$ což je netriviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru. (3) Vzhledem k~vlastnosti (1) stačí bez újmy na obecnosti předpokládat, že $\vec x_1 = \vec x_2$. Pak platí: $$ 1\cdot\vec x_1 + (-1)\cdot\vec x_2 + 0\cdot\vec x_3 + \cdots + 0\cdot\vec x_n = (1-1)\cdot\vec x_1 = \vec o, $$ což je netriviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru. (4) Podle předpokladu existuje netriviální lineární kombinace $\lkvecc \alpha.x_n$ rovna nulovému vektoru. Potom platí $$ \alpha_1\,\vec x_1 + \cdots + \alpha_n\,\vec x_n + 0\cdot\vec x_{n+1} = \vec o, $$ což je netriviální lineární kombinace vektorů $\vecc x_n, \vec x_{n+1}$ rovna nulovému vektoru. (5) Dokážeme to sporem. Budeme předpokládat negaci tvrzení věty (tj. že vektory $\vecc x_{n-1}$ jsou lineárně závislé). Pak ale podle vlastnosti (4) musejí být lineárně závislé i vektory $\vecc x_n$, což je spor s~předpokladem, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé. (6) Je-li $\vec x_1 = \vec o$, pak je $\vec x_1$ podle vlastnosti (2) lineárně závislý. Předpokládejme nyní $\vec x_1 \not=\vec o$ a položme $$ \alpha\,\vec x_1 = \vec o. $$ Kdyby bylo $\alpha\not=0$, pak dostáváme spor s vlastností (3) věty\cite[nulprvek]. Musí tedy být $\alpha=0$. To znamená, že pouze triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru, takže vektor $\vec x_1$ je lineárně nezávislý. (7) Tvrzení je shodné s větou\cite[xr] pro $n=2$. \pozn %%%%% Vlastnost (4) předchozí věty nelze \uv{obrátit}. Přesněji: z~lineární závislosti vektorů $\vecc x_n$ neplyne nic o~lineární závislosti či nezávislosti vektorů $\vecc x_{n-1}$. Může se třeba stát, že vektory $\vecc x_{n-1}$ jsou lineárně nezávislé a lineární závislost vektorů $\vecc x_n$ je způsobena tím, že vektor $\vec x_n$ je nulový. Může se ale také stát, že vektory $\vecc x_{n-1}$ zůstávají lineárně závislé. Vlastnost (5) předchozí věty nelze \uv{obrátit}. Přesněji: z~lineární nezávislosti vektorů $\vecc x_n$ neplyne nic o~lineární závislosti či nezávislosti vektorů $\vecc x_{n+1}$. Vektor $\vec x_{n+1}$ totiž může být nulový, ale také může být takový, že vektory $\vecc x_{n+1}$ zůstávají lineárně nezávislé. \priklad [lzRn] %%%%%%%% Nechť $\vecc x_m$ jsou vektory z~lineárního prostoru $\R^n$. Ukážeme, že pokud $m>n$, jsou nutně tyto vektory lineárně závislé. Podle definice lineární závislosti hledejme netriviální lineární kombinaci, pro kterou $$ \lkvecc \alpha.x_m = \vec o. $$ Rozepsáním tohoto požadavku do složek dostáváme $n$ rovnic o~$m$ neznámých. Protože pravé strany rovnic jsou nulové, soustava má určitě aspoň triviální řešení. Protože je v~soustavě více neznámých než rovnic existuje nekonečně mnoho řešení této soustavy. Mezi těmito řešeními je jen jediné triviální a všechna ostatní jsou netriviální. Poznamenejme, že příklad ukazuje důležitou vlastnost lineárních prostorů $\R^n$: všechny lineárně nezávislé skupiny vektorů mají počet vektorů menší nebo roven $n$. Podobné tvrzení pro libovolné lineární prostory vyslovíme ve větě\cite[123]. \okraj Závislost\hb oriento\-vaných\hb úseček | Zavislost orientovanych usecek \priklad [UOlnlz] %%%%%%%% Uvažujme lineární prostor $U_O$ všech orientovaných úseček z~příkladu\cite[lpvv]. \inl[prostor: UO, prostor: orientovaných úseček] (1) Leží-li dvě úsečky $\vec u, \vec v\in U_O$ ve stejné přímce, pak jsou lineárně závislé, protože jedna je násobkem druhé. Neleží-li úsečky $\vec u, \vec v$ ve společné přímce, pak jsou lineárně nezávislé. (2) Nechť $\vec u, \vec v\in U_O$ jsou lineárně nezávislé. Pak množina všech lineárních kombinací $\alpha\,\vec u + \beta\,\vec v$ vyplňuje množinu všech úseček, které mají koncový bod v~rovině určené úsečkami $\vec u, \vec v$. Abychom to dokázali, potřebujeme určitou představivost a zkušenosti s~euklidovskou geometrií. Připomeňme, že $O$ značí společný počátek všech orientovaných úseček našeho lineárního prostoru. Zvolme nyní libovolnou orientovanou úsečku $\vec x$ s~počátkem v~$O$, která leží v~rovině určené úsečkami $\vec u, \vec v$. Ukážeme, že existují $\alpha,\beta\in\R$ tak, že $\vec x = \alpha\,\vec u + \beta\,\vec v$. Leží-li $\vec x$ na společné přímce s~úsečkou $\vec u$ nebo na přímce společné s~úsečkou $\vec v$, pak je $\vec x$ násobkem této úsečky a druhý koeficient hledané lineární kombinace je nulový. Nechť tedy $\vec x$ neleží na žádné z~těchto přímek. Nakreslíme na tyto přímky měřítka, jako v příkladu\cite[lpvv]. Koncový bod úsečky $\vec x$ označme~$X$. Veďme bodem $X$ rovnoběžky s~oběma měřítky. Hodnota na měřítku podél vektoru $\vec u$ v místě průsečíku rovnoběžky s měřítkem je číslo $\alpha$. Číslo $\beta$ je pak v místě průsečíku druhé rovnoběžky na druhém měřítku. Z~definice sčítání orientovaných úseček pomocí rovnoběžníka vidíme, že $\vec x = \alpha\,\vec u + \beta\,\vec v$. Udělejte si náčrtek. \inl[geometrie: euklidovská, euklidovská: geometrie] (3) Leží-li tři usečky $\vec u, \vec v, \vec w\in U_O$ ve společné rovině, pak jsou lineárně závislé, protože z~(2) plyne, že jedna z~nich je lineární kombinací ostatních. Dále použijeme větu\cite[xr]. (4) Pokud $\vec u$ a $\vec v\in U_O$ jsou lineárně nezávislé a $\vec w$ leží mimo rovinu danou úsečkami $\vec u, \vec v$, pak jsou $\vec u, \vec v, \vec w$ lineárně nezávislé. (5) Nechť $\vec u, \vec v, \vec w\in U_O$ jsou lineárně nezávislé. Pak množina všech lineárních kombinací $$ \alpha\,\vec u + \beta\,\vec v + \gamma\,\vec w $$ vyplňuje celý lineární prostor $U_O$. Abychom to dokázali, potřebujeme opět určitou představivost. %a zkušenosti s~Eukleidovskou geometrií. Nechť $\varrho$ je rovina určená úsečkami $\vec u$ a $\vec v$. Ukážeme, že pro libovolnou orientovanou úsečku $\vec x$ s~počátkem v~$O$ existují reálná čísla $\alpha,\beta,\gamma$ taková, že $\vec x = \alpha\,\vec u + \beta\,\vec v + \gamma\,\vec w$. Leží-li $\vec x$ v~rovině $\varrho$, položíme $\gamma=0$ a dále využijeme výsledku z~(2). Nechť tedy $\vec x$ neleží v~rovině $\varrho$. Označme $X$ koncový bod úsečky $\vec x$. Veďme bodem $X$ rovnoběžku s~úsečkou $\vec w$. Ta nutně protne rovinu $\varrho$ v~nějakém bodě $P$. Podle (2) existují $\alpha,\beta\in\R$ takové, že $\vector{OP}=\alpha\,\vec u + \beta\,\vec v$. V~rovině určené vektory $\vec x$ a $\vec w$ veďme rovnoběžku s~vektorem $\vector{OP}$. Ta protne měřítko procházející vektorem $\vec w$ v~místě s~hodnotou $\gamma$. Je $\vec x=\vector{OP}+\gamma\,\vec w = \alpha\,\vec u + \beta\,\vec v + \gamma\,\vec w$. \okraj Lineární (ne)závislost nekonečných množin | Linearni (ne)zavislost nekonecnych mnozin \pozn %%%%% Až dosud jsme pracovali s~pojmem lineární závislost či nezávislost konečných {\em skupin\/} vektorů. Skupina, na rozdíl od množiny, může obsahovat stejné prvky a je vždy konečná. V~následující definici rozšíříme pojem lineární závislost či nezávislost na konečné i nekonečné {\em množiny\/} vektorů. Definice lineární závislosti se může jevit poněkud nepřímočará. Je to tím, že množiny vektorů mohou být nekonečné, a přitom nelze sestavovat nekonečné lineární kombinace vektorů. \definice* [neklz] %%%%%%%%% Nechť $L$ je lineární prostor a nechť $M\subseteq L$ je neprázdná množina vektorů. Množina $M$ je {\em lineárně závislá}, pokud existuje konečně mnoho různých vektorů z $M$, které jsou lineárně závislé. Množina $M$ je {\em lineárně nezávislá}, pokud není lineárně závislá. Tedy pokud neexistuje žádná její konečná lineárně závislá podmnožina. Prázdnou množinu považujeme vždy za lineárně nezávislou. \pozn* [lzmnozin] %%%%% Uvědomíme si podrobněji základní vlastnost lineárně závislých množin. Množina vektorů $M$ je lineárně závislá, právě když existuje konečně mnoho vektorů z této množiny, které jsou lineárně závislé. Podle věty\cite[xr] to znamená, že existuje jeden vektor $\vec z\in M$, který je roven lineární kombinaci konečně mnoha jiných vektorů z~této množiny. \pozn [lnnekmnozin] Uvědomíme si podrobněji základní vlastnost lineárně nezávislých množin. Neprázdná konečná množina vektorů $\{\vecc x_n\}$ je lineárně nezávislá, právě když jsou vektory $\vecc x_n$ lineárně nezávislé (odkazujeme na definici\cite[LNskupiny]). Z opakovaného použití vlastnosti~(5) věty\cite[lnlz] (nebo z~věty\cite[xr]) totiž plyne, že je-li konečná množina vektorů $K$ lineárně nezávislá, pak všechny její podmnožiny $K'\subseteq K$ jsou lineárně nezávislé. Nekonečná množina vektorů $M\subseteq L$ je podle definice\cite[neklz] lineárně nezávislá, pokud všechny její konečné podmnožiny $K\subseteq M$ jsou lineárně nezávislé. Nechť nekonečná množina $M\subseteq L$ je lineárně nezávislá a $M'\subseteq M$ je její nekonečná podmnožina. Pak $M'$ musí být také lineárně nezávislá, protože všechny její konečné podmnožiny jsou též konečnými podmnožinami množiny $M$. Takže dostáváme následující větu, ve které už nerozlišujeme mezi konečnými a nekonečnými (pod)množinami: \veta* [lnmnoz] %%%%% Je-li množina vektorů $M$ v lineárním prostoru $L$ je lineárně nezávislá, pak každá její podmnožina je lineárně nezávislá. \dukaz Viz poznámku\cite[lnnekmnozin]. \poznamka %%%%%%%%% Větu\cite[lnmnoz] nelze obrátit ve smyslu, že pokud každá množina $N\subset M$, $N\not=M$, je lineárně nezávislá, pak je $M$ lineárně nezávislá. Toto neplatí. Představme si tři orientované úsečky lineárního prostoru $U_O$ (viz příklad\cite[lpvv]) ležící ve společné rovině, ale žádné dva neleží na společné přímce. Množinu těchto tří vektorů označme~$M$. Pak každá podmnožina $N$ množiny $M$, $N\not=M$, je lineárně nezávislá, ale $M$ je lineárně závislá. \priklad [lnpolynomy] %%%%%%%% Nechť $M=\{1,x,x^2,x^3, \ldots\}$ je nekonečná podmnožina lineárního prostoru všech polynomů $P$. Ukážeme, že $M$ je lineárně nezávislá. Podle definice\cite[neklz] a poznámky\cite[lnnekmnozin] stačí ukázat, že každá konečná podmnožina polynomů $$ K=\{x^{k_1}, x^{k_2}, \ldots, x^{k_n}\}, \quad n\in\N, \quad k_i\in\N\cup\{0\} \hbox { pro } i\in\{1,2,\ldots,n\}, \quad k_1$ a je to množina všech lineárních kombinací vektorů $\vecc x_n$. Nechť dále $M\subseteq L$ je neprázdná množina vektorů. {\em Lineární obal\/} množiny vektorů $M$ je množina všech konečných lineárních kombinací vektorů z~$M$. Lineární obal množiny $M$ značíme symbolem $\lob$. Lineární obal prázdné množiny definujeme jako jednoprvkovou množinu obsahující nulový vektor. \poznamka [poznkonlob] %%%%%%%% Podle definice\cite[linobal] je $$ \lob<\vecc x_n> = \{\lkvecc\alpha.x_n;\, \alpha_1\in\R,\alpha_2\in\R,\ldots,\alpha_n\in\R\}. $$ Je zřejmé, že $\lob<\vecc x_n> = \lob<\{\vecc x_n\}>$. Na pravé straně této rovnosti sice jsou přidány i lineární kombinace všech konečných podmnožin množiny $\{\vecc x_n\}$, ale ty se dají zapsat jako lineární kombinace všech vektorů $\vecc x_n$. Stačí totiž vektory mimo konečný výběr násobit nulou. \poznamka %%%%%%%%% V lineární algebře se nikdy nepracuje s nekonečným součtem násobků vektorů, všechny lineární kombinace musejí být vždy tvořeny konečným součtem. Definice\cite[linobal] připouští, že množina vektorů $M$ může být nekonečná, ale i v takovém případě lineární obal sestavujeme z {\em konečných\/} součtů, tj. vybíráme konečné podmnožiny vektorů z~$M$, ze kterých sestavujeme lineární kombinace. Samozřejmě, že takových výběrů může být nekonečně mnoho a z každého konečného výběru vektorů můžeme sestavit nekonečně mnoho lineárních kombinací. Takže lineární obal je nekonečná množina (s~jedinou výjimkou: lineární obal nulového vektoru nebo prázdné množiny). \priklad %%%%%%%% Uvažujme lineární prostor $\R^3$. Najdeme lineární obal vektorů $x=(1,2,3)$, $y=(2,-1,0)$. Podle poznámky\cite[poznkonlob] je $$ \lob<(1,2,3), (2,-1,0)> = \{\alpha\,(1,2,3) + \beta\,(2,-1,0);\, \alpha\in\R, \beta\in\R\} = \{(\alpha+2\beta, 2\alpha-\beta, 3\alpha);\, \alpha\in\R, \beta\in\R\}. $$ \priklad [obaltrojky] %%%%%%%% Jsou dány $\vec x=(1,2,3)$, $\vec y=(1,0,2)$, $\vec z=(-2,1,0)$. Ukážeme, že $\lob<\vec x, \vec y, \vec z> = \R^3$. Množina lineárních kombinací prvků nějakého lineárního prostoru $L$ je vždy podmnožinou $L$. Jde tedy pouze o~to ukázat, že $\R^3\subseteq\lob<\vec x, \vec y, \vec z>$. Volme libovolný vektor $(a,b,c)\in\R^3$. Ukážeme, že $(a,b,c)$ leží v~$\lob<\vec x, \vec y, \vec z>$. K~tomu je potřeba najít lineární kombinaci vektorů $\vec x, \vec y, \vec z$, která je rovna vektoru $(a,b,c)$. Hledejme tedy koeficienty $\alpha,\beta,\gamma$, pro které platí $$ (a,b,c) = \alpha\,(1,2,3) + \beta\,(1,0,2) + \gamma\,(-2,1,0). $$ Po úpravě a porovnání jednotlivých složek dostáváme soustavu $$\soustava{ \1\alpha &+ \1\beta &- 2\gamma &=& a, \cr 2\alpha & &+ \1\gamma &=& b, \cr 3\alpha &+ 2\beta & &=& c.\, } $$ Například Gaussovou eliminační metodou zjistíme, že soustava má řešení pro všechna $a,b,c\in\R$. Proto $(a,b,c)\in\lob<\vec x, \vec y, \vec z>$. \okraj Prvek lineárního obalu | Prvek linearniho obalu \poznamka [poznlob] %%%%%%%%% Zamysleme se nad tím, co to znamená, že $\vec z\in\lob$. Vektor $\vec z$ je lineární kombinací nějakého konečného výběru vektorů z množiny $M$. Vidíme tedy, že $\vec z\in\lob$ právě tehdy, když existuje konečně mnoho vektorů $\vecc x_n \in M$ a existují reálná čísla $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ taková, že $$ \vec z = \lkvecc\alpha.x_n. \rce (zinlob) $$ \okraj Vlastnosti lineárního obalu | Vlastnosti linearniho obalu \veta* [loblob] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor a $M\subseteq L$. Pak platí: $$\eqalign{ \bod (1) M\subseteq \lob. \cr \bod (2) \hbox{Je-li $N\subseteq M$, pak $\lob\subseteq\lob$}. \cr \bod (3) \lob = \lob<{\lob}>. \cr \bod (4) \hbox{Je-li } \vec z\in\lob, \hbox{ pak } \lob=\lob. } $$ \par\inl[lineární: obal] \dukaz %%%%%% (1) Stačí ukázat, že pokud $\vec z\in M$ pak $\vec z\in\lob$. Platí $\vec z = 1\cdot\vec z$, takže pro $\vec z$ existuje konečně mnoho prvků z~$M$ (jmenovitě prvek $\vec z$ samotný) tak, že $\vec z$ je lineární kombinací těchto prvků. To podle poznámky\cite[poznlob] znamená, že $\vec z\in\lob$. (2) Nechť $\vec z\in\lob$, tj. předpokládáme, že $\vec z$ lze zapsat jako lineární kombinaci konečně mnoha prvků z~$N$. Protože tyto prvky leží i v~$M$, můžeme říci, že $\vec z$ lze zapsat jako lineární kombinaci konečně mnoha prvků z~$M$. To podle poznámky\cite[poznlob] znamená, že $\vec z\in\lob$. (3) Vzhledem k~(1) a (2) je $\lob\subseteq\lob<{\lob}>$. Stačí tedy ukázat, že $\lob<{\lob}>\subseteq\lob$. Nechť $\vec z\in\lob<{\lob}>$, ukážeme že $\vec z\in\lob$. Protože $\vec z\in\lob<{\lob}>$, existují vektory $\vecc x_n \in\lob$ takové, že platí\cite(zinlob). Pro každé $i\in\{1,\ldots,n\}$ je $\vec x_i\in\lob$, tj. existuje konečně mnoho vektorů $\vec y_{i,1}, \ldots, \vec y_{i,k_i} \in M$ takových, že $$ \vec x_i = \beta_{i,1}\,\vec y_{i,1} + \cdots + \beta_{i,k_i}\,\vec y_{i,k_i}. $$ Dosazením těchto rovnic do\cite(zinlob) a roznásobením dostáváme výsledek, že $\vec z$ je lineární kombinací konečně mnoha vektorů $\vec y_{i,j}\in M$, $i\in\{1,\ldots,n\}, j\in\{1,\ldots,k_i\}$. To znamená, že $\vec z\in\lob$. (4) Protože $M\subseteq M\cup\{\vec z\}$, je podle (2) $\lob\subseteq \lob$. Protože $\vec z\in\lob$, je $M\cup\{\vec z\} \subseteq\lob$ a podle (2) a (3) dostáváme $\lob\subseteq\lob<{\lob}>=\lob$. Máme tedy $\lob\subseteq \lob\subseteq\lob$, takže v~místě inkluzí musí být rovnost. \pozn %%%%% Vlastnost (1) věty\cite[loblob] lidově řečeno znamená, že \uv{lineární obalení} množiny může přidat do této množiny další prvky, ale pokud tento proces zopakujeme, další prvky už podle vlastnosti~(3) nezískáme. Takové množiny, které při \uv{lineárním obalení} již nepřidávají žádné další prvky, jsou vždy lineárními podprostory. To ukazuje následující věta. \okraj Lineární\hb obal je\hb podprostor | Linearni obal je podprostor \veta* [lob=lpp] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor, $M\subseteq L$. Množina $M$ je lineárním podprostorem lineárního prostoru $L$ právě tehdy, když $\lob=M$. \inl[lineární: obal, lineární: podprostor, podprostor: lineární] \dukaz %%%%%% Dokážeme nejprve \uv{je-li $M$ lineární podprostor, pak $\lob=M$}. Vezmeme $\vec z\in\lob$ a dokážeme, že $\vec z\in M$. Protože $\vec z\in\lob$, existuje konečně mnoho vektorů $\vecc x_n\in M$ takových, že lze psát $\vec z=\lkvecc\alpha.x_n$. Každý sčítanec leží podle vlastnosti (2) definice\cite[dlpp] v~množině $M$. Podle vlastnosti (1) definice\cite[dlpp] v~množině $M$ leží i součet těchto vektorů, tedy $\vec z\in M$. Zbývá dokázat \uv{je-li $\lob=M$, pak $M$ je lineární podprostor}. Uvažujme $\vec x\in M,\, \vec y\in M$. Abychom dokázali, že $M$ je lineární podprostor, stačí ověřit, že lineární kombinace $1\cdot\vec x + 1\cdot\vec y$ leží v~$M$ a dále $\alpha\cdot\vec x + 0\cdot\vec y$ leží v~$M$. Protože $\vec x\in M$, $\vec y\in M$, je podle definice lineárního obalu každá jejich lineární kombinace prvkem $\lob$ a podle předpokladu je $\lob=M$. V~množině $M$ tedy leží i uvedené dvě lineární kombinace vektorů $\vec x,\vec y$. \veta* [lobjemin] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor a $M\subseteq L$ je libovolná neprázdná množina. Pak $P=\lob$ je nejmenší lineární podprostor, pro který platí $M\subseteq P$. \inl[lineární: obal, lineární: podprostor, podprostor: lineární] \dukaz %%%%%% Protože $\lob

=\lob<{\lob}> = \lob = P$, je podle věty\cite[lob=lpp] zřejmé, že $P$ je lineární podprostor. Stačí ukázat, že $P$ je nejmenší podprostor s vlastností $M\subseteq P$. Nechť $Q$ je nějaký podprostor, pro který také platí $M\subseteq Q$. Podle věty\cite[lob=lpp] je $\lob=Q$. Dále použijeme (2)~věty\cite[loblob] na inkluzi $M\subseteq Q$ a dostáváme $P=\lob\subseteq\lob=Q$. \definice %%%%%%%%% Nechť $P$ je lineární podprostor lineárního prostoru $L$. Množina vektorů $M$, pro kterou platí $\lob=P$, se nazývá {\em množina generátorů\/} lineárního podprostoru $P$. Je-li $\lob<\vecc x_n>=P$, pak také říkáme, že {\em vektory $\vecc x_n$ generují\/} lineární podprostor $P$. Skutečnost, že vektory generují lineární podprostor $P$ není nic jiného, než že množina všech jejich lineárních kombinací \uv{vyplní} celý podprostor $P$. \inl[množina: generátorů, vektory: generující podprostor] \okraj Rozšíření\hb LN množiny | Rozsireni LN mnoziny \veta* [pridanivektoru] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor, $M\subseteq L$ je lineárně nezávislá množina a $\vec z\not\in \lob$. Pak též $M\cup\{\vec z\}$ je lineárně nezávislá množina. \inl[lineární: obal, lineární: nezávislost] \dukaz %%%%%% Důkaz povedeme sporem. Předpokládejme, že $M\cup\{\vec z\}$ je lineárně závislá. Pak existuje konečně mnoho prvků $\vecc x_n \in M$ takových, že $\lkvecc \alpha.x_n + \alpha_{n+1}\,\vec z $ je netriviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru. Pro $\alpha_{n+1}=0$ zůstává netriviální lineární kombinace vektorů $\vecc x_n$ rovna nulovému vektoru, neboli konečná podmnožina $M$ je lineárně závislá. To je ve sporu s~tím, že $M$ je lineárně nezávislá. Pro $\alpha_{n+1}\not=0$ je vektor $\vec z$ lineární kombinací vektorů $\vecc x_n$ (převedeme násobek vektoru $\vec z$ na druhou stranu rovnosti a podělíme $-\alpha_{n+1}$, jako v~důkazu věty\cite[xr]). To je ve sporu s~tím, že $\vec z\not\in\lob$. Pro oba případy hodnot $\alpha_{n+1}$ dostáváme spor, takže $M\cup\{\vec z\}$ nemůže být lineárně závislá. \veta [lnMcupN] %%%%% Nechť $M$ a $N$ jsou lineárně nezávislé množiny v lineárním prostoru $L$ a předpokládejme, že $\lob\cap\lob=\{\vec o\}$. Pak množina $M\cup N$ je lineárně nezávislá. \dukaz Lineární nezávislost množiny $M\cup N$ vyplyne z toho, že každá konečná lineární kombinace vektorů $\vecc x_m$ z~$M$ a vektorů $\vecc y_n$ z~$N$ (dohromady), která je rovna nulovému vektoru, je triviální. Položme tedy $$ (\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \cdots + \alpha_m\vec x_m) + (\beta_1\vec y_1 + \beta_2\vec y_2 + \cdots + \beta_m\vec y_m) = \vec o $$ a označme první závorku $\vec a$ a druhou $\vec b$. Zřejmě je $\vec a\in\lob$ a $\vec b\in\lob$. Protože je $\vec a=-\vec b$ (jinak by součet nemohl být roven nulovému vektoru), je také $\vec a\in\lob$. Takže $\vec a\in\lob\cap\lob$ a podle předpokladu je $\vec a=\vec o$. Protože je $M$ lineárně nezávislá, musí být lineární kombinace v první závorce pouze triviální. Je totiž rovna nulovému vektoru $\vec a$. Protože je $N$ lienárně nezávislá, musí být lineární kombinace v druhé závorce pouze triviální. Je totiž rovna nulovému vektoru $-\vec a$. Takže zkoumaná lineární kombinace všech vektorů $\vecc x_m, \vecc y_n$ je triviální. \poznamka %%%%%%%%% Předpoklad $\lob\cap\lob=\{\vec o\}$ ve větě\cite[lnMcupN] je nutný. Příklad $M=\{(1,0,0), (0,1,0)\}$, $N=\nobreak\{(1,0,1), (0,1,1)\}$ ilustruje situaci, kdy obě množiny jsou lineárně nezávislé, množina $M$ leží mimo $\lob$ a množina $N$ leží mimo $\lob$, a přesto je množina $M\cup N$ lineárně závislá. \okraj Charakte\-ristiky\hb LN množiny | Charakteristiky LN mnoziny \veta [N=N1cupN2] %%%%% Nechť $N$ je lineárně nezávislá množina v linerním prostoru $L$ a nechť $N_1$ a $N_2$ jsou její disjunktní podmnožiny (tj. $N_1\cap N_2=\emptyset$). Pak $\lob\cap\lob=\{\vec o\}$. \exdukaz %%%%%% Předpokládejme $\vec x\in\lob\cap\lob$. Ukážeme, že musí $\vec x=\vec o$. Vektor $\vec x$ je konečnou lineární kombinací vektorů $\vecc x_m$ z $N_1$ a je také konečnou lineární kombinací vektorů $\vecc y_k$ z $N_2$, tedy $$ \eqalign{ \vec x &= \lkvecc \alpha.x_m, \quad \vec x = \lkvecc \beta.y_k,\cr\hbox{takže:}\quad \vec x-\vec x=\vec o &= \lkvecc \alpha.x_m - \beta_1\vec y_1 - \beta_2\vec y_2 - \cdots - \beta_k\vec y_k } $$ Lineární kombinace $\lkvecc \alpha.x_m - \beta_1\vec y_1 - \beta_2\vec y_2 - \cdots - \beta_k\vec y_k$ je kombinací konečně mnoha různých vektorů z množiny $N$ a tato množina je podle předpokladu linárně nezávislá. Protože je tato lineární kombinace rovna nulovému vektoru, musí být triviální. Takže také $\lkvecc \alpha.x_m$ je triviální lineární kombinace a to znamená, že $\vec x = 0\,\vec x_1 + 0\,\vec x_2 + \cdots + 0\,\vec x_m = \vec o$. \veta [lnlob] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor. Množina $N\subseteq L$ je lineárně nezávislá právě tehdy, když pro všechny vlastní podmnožiny $M\subset N$, $M\not=N$ platí $\lob\subset\lob$, $\lob\not=\lob$. \inl[lineární: obal, lineární: nezávislost] \exdukaz %%%%%% Předpokládejme nejprve, že $N$ je lineárně nezávislá. Nechť $M\subset N$, $M\not=N$. Zvolme vektor $\vec z\in N$ takový, že $\vec z\not\in M$. Vektor $\vec z$ nelze vyjádřit jako lineární kombinaci žádné konečné podmnožiny prvků množiny $M$. Kdyby to bylo možné, byla by množina $N$ lineárně závislá a ona není. Platí tedy, že $\vec z\not\in\lob$, a přitom $\vec z\in\lob$. Předpokládejme nyní, že $N$ je lineárně závislá. Pak podle poznámky\cite[lzmnozin] existuje vektor $\vec z\in N$, který je roven lineární kombinaci konečně mnoha ostatních vektorů z $N$, takže $\vec z\in\lob$, kde $M=N\setminus\{\vec z\}$. Podle vlastnosti (4) věty\cite[loblob] je $\lob=\lob$, jinými slovy $\lob=\lob$. \shrnuti %%%%%%%% V této kapitole jsme definovali lineární závislost a nezávislost vektorů~/\ncite[LZskupiny], \ncite[poznlz], \ncite[LNskupiny], \ncite[neklz]/. Vektory jsou lineárně závislé, pokud exituje netriviální lineární kombinace těchto vektorů rovnající se nulovému vektoru. To je ekvivalentní s tím, že existuje jeden vektor, který je lineární kombinací ostatních\lcite[xr]. Vektory jsou lineárně nezávislé, pokud jen jejich triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru. Tedy pokud neexistuje žádný takový vektor, který by byl lineární kombinací ostatních. Nekonečná množina vektorů je lineárně závislá, pokud existuje její konečná lineárně závislá podmnožina. Nekonečná množina je lineárně nezávislá, pokud každá její konečná množina je lineárně nezávislá. Každá podmnožina (konečná i nekonečná) lineárně nezávislé množiny je lineárně nezávislá\lcite[lnmnoz]. Lineární obaly vektorů obsahují všechny jejich konečné lineární kombinace~/\ncite[linobal], \ncite[poznkonlob], \ncite[poznlob]/. Lineární obal lineárního obalu už nepřináší nové lineární kombinace\lcite[loblob]. Každý lineární podprostor $P$ lze zapsat jako lineární obal nějaké množiny (například množiny $P$ samotné, ale to není nejúčelnější) a naopak lineární obal jakékoli množiny $M$ je podprostorem. Je to nejmenší podprostor, který obsahuje množinu $M$\lcite[lobjemin]. Z lineárně závislé množiny lze odebrat vektor tak, aby zůstal zachován její lineární obal~/\ncite[xr],\cite[loblob]/, zatímco z lineárně nezávislé množiny nelze odebrat vektor bez změny jejího lineárního obalu\lcite[lnlob]. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola [base] Báze, dimenze, souřadnice | Base, dimense, souradnice %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \pozn %%%%% Mezi množinami generátorů nějakého lineárního (pod)prostoru bude zřejmě nejúspornější taková množina, která je lineárně nezávislá. Věta\cite[lnlob] nám ukázala, že to je skutečně \uv{nejúspornější opatření}, protože odebráním jakéhokoli prvku z~takové množiny způsobí, že lineární obal už nebude pokrývat celý (pod)prostor. Žádné prvky lineárně nezávislé množiny tedy nejsou při popisu (pod)prostoru pomocí lineárního obalu zbytečné. To nás vede (kromě jiných důležitých důvodů) k~definici báze lineárního (pod)prostoru. \okraj Báze | Base \definice* [dbase] %%%%%%%%% {\em Báze} lineárního (pod)prostoru $L$ je taková podmnožina $B\subseteq L$, pro kterou platí $$\eqalign{ \bod (1) B \hbox{ je lineárně nezávislá},\cr \bod (2) \lob = L. \cr} $$ Stručně řečeno: báze lineárního (pod)prostoru $L$ je lineárně nezávislá množina jeho generátorů. \par\inl[báze] %\pozn %%%%% %V~definici\cite[dbase] se mluví o~$L$ jako o~lineárním prostoru. Není %ale vyloučeno, že $L$ je lineární podprostor nějakého jiného %(většího) lineárního prostoru $L'$, protože lineární podprostor je podle %poznámky\cite[vllpp] sám o~sobě lineárním prostorem. \priklad [baseR3] %%%%%%%% Množina vektorů $B=\{(1,2,3),(1,0,2),(-2,1,0)\}$ je bází lineárního prostoru $\R^3$, protože je podle příkladu\cite[lntrojka] lineárně nezávislá a podle příkladu\cite[obaltrojky] generuje $\R^3$. \priklad [gbaseR3] %%%%%%%% Množina vektorů $B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ je bází lineárního prostoru $\R^3$. Snadno zjistíme, že je lineárně nezávislá a navíc pro vektor $(a,b,c)\in\R^3$ je $$ (a,b,c) = a\,(1,0,0) + b\,(0,1,0) + c\,(0,0,1). $$ Každý vektor $(a,b,c)$ lze tedy zapsat jako lineární kombinaci vektorů z~$B$, neboli $\lob=\R^3$. Všimněme si, že jsme už našli dvě báze lineárního prostoru $\R^3$ (v~příkladu\cite[baseR3] a v~tomto příkladu). Vidíme tedy, že báze není určena lineárním prostorem jednoznačně. Například pro $\alpha\not=0$ jsou množiny $B_\alpha = \{(\alpha,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ různé báze lineárního prostoru $\R^3$. Bází je tedy nekonečně mnoho. \inl[báze: standardní, báze, báze: standardní: v R3] \priklad [gbaseRn] %%%%%%%% Množina uspořádaných $n$-tic $S_n=\{(1,0,0,\ldots,0), (0,1,0,\ldots,0), \ldots, (0,0,0,\ldots,0,1)\}$ tvoří bázi lineárního prostoru $\R^n$. Je lineárně nezávislá a generuje $\R^n$ z~analogických důvodů, jako v~příkladu\cite[gbaseR3]. Takovou bázi lineárního prostoru $\R^n$ nazýváme {\em standardní bází}. \inl[báze: standardní, báze, báze: standardní: v Rn] \priklad [basepolynomy] %%%%%%%% Množina $B=\{1,x,x^2,x^3,\ldots\}$ tvoří bázi lineárního prostoru $P$ všech polynomů. Podle příkladu\cite[lnpolynomy] je lineárně nezávislá. Zbývá tedy ověřit, že $\lob=P$. Zvolme nějaký polynom $p\in P$. Ukážeme, že $p\in\lob$. Pro každý polynom $p\in P$ existuje $n\in\N$ a reálná čísla $a_0, a_1, \ldots, a_n$ taková, že hodnota polynomu $p$ v~bodě $x$ je dána vzorcem $$ p(x) = a_n\,x^n + \cdots + a_1\,x + a_0 \quad\forall x\in\R. $$ Existuje tedy konečná podmnožina $K\subseteq B$, $K=\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}$ taková, že $p$ je lineární kombinací prvků z~$K$ (koeficienty této lineární kombinace jsou čísla $a_0, a_1, \ldots, a_n$). Z~toho plyne, že $p\in\lob$. \inl[polynom, báze: polynomů, prostor: polynomů] \priklad [basePnn] %%%%%%%% Uvažujme lineární prostor $P_{\leq n}$ všech polynomů nejvýše $n$-tého stupně z~příkladu\cite[lpPnn]. Ukážeme, že množina $B_n=\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}$ tvoří bázi lineárního prostoru $P_{\leq n}$. Předně, $B_n$ je lineárně nezávislá, protože je podmnožinou lineárně nezávislé množiny $B$ z~příkladu\cite[basepolynomy] (každá podmnožina lineárně nezávislé množiny je podle věty\cite[lnmnoz] lineárně nezávislá). Analogicky jako v~příkladu\cite[basepolynomy] lze ukázat, že $\lob=P_{\leq n}$. \priklad [dimUO] %%%%%%%% Vraťme se k~lineárnímu prostoru $U_O$ všech orientovaných úseček se společným počátkem. Podle (5) z~příkladu\cite[UOlnlz] je každá lineárně nezávislá množina vektorů $\{\vec u, \vec v, \vec w\}$ bází lineárního prostoru~$U_O$. \inl[prostor: UO, prostor: orientovaných úseček] \okraj Existenece a jednoznačnost báze | Existenece a jednoznacnost base \pozn* [jednoznacnostbase] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\it O~existenci a jednoznačnosti báze}. Příklad\cite[gbaseR3] ilustroval skutečnost, že báze lineárního (pod)prostoru není určena jednoznačně. Lineární (pod)prostor může mít dokonce nekonečně mnoho bází. Následující věta dokládá, že každý lineární prostor má bázi. Výjimkou je pouze triviální lineární prostor $L=\{\vec o\}$, který jediný nemá bázi (někteří autoři uvádějí prázdnou množinu jako bázi triviálního lineárního prostoru). %Položme si otázku, zda každý lineární prostor musí mít bázi. %S~výjimkou triviálního lineárního prostoru %(tj.~$L=\{\vec o\}$, viz příklad\cite[trivprostor]) %má skutečně každý lineární prostor bázi. To dokládá následující věta. Následující věta dokonce tvrdí, že každou lineárně nezávislou množinu lze doplnit přidáním případně dalších prvků na bázi a naopak, z~každé množiny $M$, která generuje $L$, lze případně odebrat nějaké prvky tak, aby zbylá množina tvořila bázi. %Větu bohužel nebudeme dokazovat, protože vyžaduje použití %hlubších poznatků z~teorie množin (tzv.~Zornovo lemma), které %v~tuto chvíli nemáme k~dispozici. %Poznamenejme ještě, že báze triviálního lineárního prostoru %(tj.~$L=\{\vec o\}$, viz příklad\cite[trivprostor]) je prázdná %množina. Abychom to mohli prohlásit, musíme %dodefinovat lineární obal prázdné množiny %jako množinu~$\{\vec o\}$, což je v~souladu s~vlastností %věty\cite[lobjemin]. \veta [existencebase] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nechť $L$ je netriviální lineární prostor. Pak $L$ má bázi. Podrobněji: \noindent (1) Pro každou lineárně nezávislou množinu $N\subseteq L$ existuje báze $B$ prostoru $L$ taková, že $N\subseteq B$. \noindent (2) Pro každou množinu $M$ generátorů prostoru $L$ existuje báze $B$ prostoru $L$ taková, že $B\subseteq M$. \exdukaz Tímto důkazem se čtenář opravdu nemusí zabývat, pokud k~tomu nemá pádný důvod. Je zde uveden zejména proto, aby každá zde vyslovená a použitá věta měla svůj důkaz. Ovšem pro argumenty důkazu je třeba sáhnout do jiné teorie, v tomto případě axiomatické teorie množin (axiom výběru, princip maximality). Nemá-li čtenář z této oblasti odpovídající znalosti, udělá dobře, když důkaz přeskočí. Algebraická idea důkazu ve srozumitelné podobě je vyložena v~následujících příkladech\cite[N-base],\cite[M-base],\cite[odebirani]. To je pro studium lineární algebry dostačující. Následující důkaz je tedy spíše cvičením z teorie množin. \inl[princip: maximality, axiom: výběru] Důkaz existence báze se opírá o princip maximality, o kterém je známo, že je ekvivalentní s axiomem výběru. Tento axiom v teorii množin je sice bezesporný s ostatními axiomy, ale diskutabilní. Nicméně v~mnoha teoriích ho potřebujeme. Třeba právě nyní. Princip maximality říká, že máme-li množinu ${\cal S}$ uspořádanou relací $\le_S$ a platí-li, že každá podmnožina ${\cal R}$ množiny ${\cal S}$, ve které jsou si v relaci všechny prvky vzájemně, má horní mez $U\in{\cal S}$ (tj. $\forall R\in{\cal R}$ je $R\le_S U$), pak pro každý prvek $N\in{\cal S}$ existuje maximální prvek $B\in{\cal S}$ tak, že $N\le_S B$. Maximální prvek $B\in{\cal S}$ ja takový, že v ${\cal S}$ neexistuje prvek větší, tj. neexistuje prvek $B'\in{\cal S}$, $B'\not=B$ tak, že $B\le_S B'$. Pro důkaz první části věty nechť ${\cal S}$ je systém všech lineárně nezávislých množin lineárního prostoru $L$ uspořádaný relací \uv{být podmnožinou}, tj. relací $\subseteq$. Pro každý podsystém $\cal R$, kde lze relací $\subseteq$ porovnat každou množinu s každou (jedná se tedy o systém vzájemně do sebe vnořených množin $R_I$) sestrojíme $U=\cup R_I$. To je horní mez, protože $R_J\subseteq \cup R_I$ pro libovolnou množinu $R_J\in{\cal R}$ a navíc $U\in{\cal S}$, neboť je lineárně nezávislá. Proč je nezávislá? Pro spor předpokládejme, že $U$ je lineárně závislá. Pak existuje konečná lineárně závislá množina $K=\{\vecc x_k\}\subseteq U$. Každý jednotlivý vektor $\vec x_i$ leží v nějaké množině $R_i\in{\cal R}$. Tento konečný počet množin z $\cal R$ uspořádáme podle velikosti: $R_1\subseteq R_2\subseteq\cdots\subseteq R_k$, takže $K\subseteq R_k$. O množině $R_k$ se ale ví, že je lineárně nezávislá, takže nemůže obsahovat lineárně závislou podmnožinu $K$. To je spor, takže $U$ je lineárně nezávislá, tedy $U\in{\cal S}$. Nyní pro každou lineárně nezávislou množinu $N$ sestrojíme podle principu maximality maximální prvek $B\in{\cal S}$. Množina $B$ je báze, protože je lineárně nezávislá a přidáním libovolného prvku k $B$ už získáme množinu mimo $\cal S$, tedy množinu lineárně závislou. Takže podle věty\cite[pridanivektoru] musí $\lob=L$. K důkazu druhé čáti věty zvolíme $\cal S$ systém všech lineárně nezávislých podmnožin množiny $M$ uspořádaných relací $\subseteq$. Z principu maximality (podmínky se ověří stejně jako před chvílí) existuje ke množině $N=\emptyset$ maximální množina $B\in {\cal S}$ taková, že $\emptyset\subseteq B$. Platí $M\subseteq \lob$. Kdyby totiž $\vec x\in M$ a současně $\vec x\not\in\lob$, pak $B\cup\{\vec x\}$ by byla podle věty\cite[pridanivektoru] lineárně nezávislá podmnožina $M$. To ale není možné, protože $B$ je maximální. Na nerovnost $M\subseteq\lob$ nyní uplatníme větu\cite[loblob]: $\lob\subseteq \lob<{\lob}>=\lob$. Protože $\lob=L$, je $\lob=L$.. \priklad [N-base] %%%%%%%% Je-li $N=\{\vecc x_k\}$ lineárně nezávislá množina lineárního prostoru $\R^n$, pak podle předchozí věty existuje množina $B=\{\vecc x_m\}$, $m\geq k$ taková, že $B$ je báze. Ukážeme v~tomto příkladě, jak bychom takovou bázi nalezli. Pokud už $\lob=\R^n$, pak $N$ samotná je báze a položíme $B=N$. Pokud ale $\lob\not=\R^n$, pak existuje prvek $\vec x\in\R^n$, pro který $\vec x\not\in\lob$ Ptáme se, zda už $N\cup\{\vec x\}$ je báze. Podle věty\cite[pridanivektoru] tato množina zůstává lineárně nezávislá. Pokud $\lob=\R^n$, pak jsme našli bázi. Jestliže tato vlastnost neplatí, opakujme postup s~přidáním dalšího prvku $\vec y\not\in \lob$ znovu. Tento postup budeme opakovat tak dlouho, dokud budou existovat vektory mimo lineární obal naší postupně rozšiřované množiny. Podle příkladu\cite[lzRn] dospějeme k~výsledku po konečně mnoha krocích, protože v~$\R^n$ nelze vytvořit lineárně nezávislou množinu, která by měla více než $n$ prvků. Poznamenejme, že tento postup vedl k~cíli, protože jsme měli zaručeno, že báze bude mít konečně mnoho prvků. Pro nekonečné báze bychom se tímto postupem mohli \uv{utopit v~nekonečnu}. Na druhé straně postup lze aplikovat na libovolný lineární prostor, který má konečné báze, nemusíme se nutně omezovat na $\R^n$. \priklad [M-base] %%%%%%%% Tvrzení druhé části věty\cite[existencebase] si ilustrujeme na příkladu konečné množiny $M$. Je $\lob=L$ a máme dokázat, že existuje $B\subseteq M$ taková, že $\lob=L$ a navíc $B$ je lineárně nezávislá. Uvažujme všechny podmnožiny $A_i\subseteq M$, pro které $\lob=L$. Vidíme, že existuje aspoň jedna taková podmnožina, sice množina $M$ samotná. Ze všech takových podmnožin $A_i$ vyberme tu, která má nejmenší počet prvků (všechny tyto podmnožiny jsou konečné, takže pro každou můžeme spočítat její počet prvků). Je možné, že takových množin s~nejmenším počtem prvků bude existovat více, pak je jedno, kterou z~nich zvolíme. Označme ji $B$. Víme, že $\lob=L$ (tuto vlastnost mají všechny podmnožiny $A_i$, takže jmenovitě též množina $B$). Dále víme, že odebráním jakéhokoli prvku z~množiny $B$ už nebude pro novou $B_1$ platit $\lob=L$. Kdyby to platilo, tak nebyla vybrána $B$ s~nejmenším počtem prvků. Nyní použijeme větu\cite[lnlob]. Množina $B$ je tedy lineárně nezávislá. \priklad* [odebirani] %%%%%%%% Z konečné množiny $M$, která splňuje $\lob=L$, lze vytvořit postupným odebíráním prvků z $M$ bázi $L$, tedy najít množinu $B$ z předchozího příkladu. Existuje k tomu tento názorný postup: Je-li $M$ lineárně nezávislá, je $B=M$ a jsme hotovi. Je-li lineárně závislá, podle věty\cite[xr] existuje jeden prvek $M$, který je lineární kombinací ostatních. Odebráním tohoto prvku vzniká množina $M'$ se stejným lineárním obalem, jako $\lob$, protože platí (4) věty\cite[loblob]. Je-li $M'$ lineárně nezávislá, je $B=M'$ a jsme hotovi. Jinak postup opakujeme, tj. odebereme z $M'$ vektor tak, že se nezmění lineární obal a znovu se ptáme na lineární nezávislost zbylé množiny. Proces končí, až se podaří odebrat tolik prvků, že zbytek je množina lineárně nezávislá. Proces určitě skončí po konečně mnoha krocích, neboť $M$ je konečná. Pokud $M$ obsahuje nenulové vektory, výsledná množina $B$ je jistě neprázdná, lineárně nezávislá a $\lob=L$, tedy $B$ je báze. %Je-li $M=\{\vec o\}$, pak je též %$L=\{\vec o\}$, což je vyjímečný případ prostoru, který nemá bázi. \poznamka %%%%%%%%% Příklad báze prostoru $F_D$ všech funkcí definovaných na množině $D\subset\R$ nebudeme uvádět, protože nemáme prostředky, jak takovou bázi zapsat. Báze je v~tomto případě nekonečnou množinou, která má větší mohutnost, než je mohutnost množiny přirozených čísel. Není tedy možné bázové prvky očíslovat a seřadit za sebe. \inl[prostor: funkcí, báze, báze: prostoru: funkcí] \okraj Báze jsou stejně velké | Base jsou stejne velke \poznamka %%%%%%%%% Ukážeme, že dvě (obecně různé) báze stejného lineárního (pod)prostoru mají stejný počet prvků. Tento důkaz se tradičně opírá o~Steinitzovu větu o~výměně. Čtenář si může pro větší názornost vytvořit množinu $M$ černých kamínků a lineárně nezávislou množinu $N$ bílých kamínků, které všechny leží v lineárním obalu černých. Může začít {\it vyměňovat\/} postupně černé kamínky za bílé kus za kus. Při použití následující Steinitzovy věty o~výměně čtenář shledá, že výměnu lze udělat tak, aby lineární obal původní množiny $M$ zůstal zachován i přesto, že v ní jsou nahrazeny některé černé kameny všemi bílými. \veta (Steinitzova o výměně) [steinitz] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor, $M\subseteq L$ je libovolná množina a $N\subseteq \lob$ je lineárně nezávislá množina, obsahující $k$ vektorů. Pak lze odebrat z~množiny $M$ jejích $k$~vektorů a vytvořit tak množinu $M_1$, pro kterou platí: $$ \lob = \lob. $$ Jinými slovy, odebráním vhodných $k$ vektorů z $M$ a nahrazením těchto vektorů všemi lineárně nezávislými vektory z~$N$ se lineární obal $\lob$ nezmění. \inl[věta: Steinitzova o výměně, Steinitzova: věta o výměně] \inl[lineární: obal] \exdukaz %%%%%% Použijeme matematickou indukci podle~$k$ (o indukci viz \ifbook poznámku\cite[mat-indukce] a \fi důkaz věty\cite[pocetperm]). Pro $k=0$ věta platí, protože množinu $M$ vůbec neměníme. Nechť nyní věta platí pro každou lineárně nezávislou množinu s~$k$ prvky a dokážeme, že platí i pro množinu s~$k+1$ prvky. Nechť $N=\{\vecc v_k, \vec v_{k+1}\}\subseteq\lob$. Označme $N_1=\{\vecc v_k\}$. Z~množiny $M$ lze odebrat $k$ vektorů tak, že vznikne množina $M_1$, pro kterou je $$ \lob=\lob=\lob. $$ První rovnost je indukční předpoklad a druhá rovnost plyne z toho, že $\vec v_{k+1}\in\lob=\lob$ a ze~čtvrté vlastnosti věty\cite[loblob]. Stačí tedy najít v $M_1$ vektor $\vec w_1$ tak, aby jej šlo odebrat a obal se nezměnil, tedy $\lob=\lob$. Protože $\vec v_{k+1}\in\lob=\lob$, existuje konečně mnoho vektorů $\vecc w_n\in M_1$ tak, že $$ \vec v_{k+1} = \alpha_1\vec w_1 + \alpha_2\vec w_2 +\cdots + \alpha_n\vec w_n + \beta_1\vec v_1 + \cdots + \beta_k\vec v_k. $$ Protože $N$ je lineárně nezávislá, tak (A)~při $k=0$ musí být $\vec v_{k+1}$ nenulový a (B)~při $k>0$ nesmí $\vec v_{k+1}$ být lineární kombinací vektorů $\vecc v_k$ (věta\cite[xr]). Z toho plyne, že $n>0$ a nemohou být všechny koeficienty $\alpha_i$ nulové. Uspořádáme nyní $\vecc w_n$ tak, aby $\alpha_1\not=0$. Z~předchozí rovnosti plyne $$ \vec w_1 = {1\over\alpha_1}\,\vec v_{k+1} - {\alpha_2\over\alpha_1}\,\vec w_2 -\cdots - {\alpha_n\over\alpha_1}\,\vec w_n - {\beta_1\over\alpha_1}\,\vec v_1 - \cdots - {\beta_k\over\alpha_1}\,\vec v_k, $$ takže $\vec w_1\in\lob$. Podle (4)~z~věty\cite[loblob] se přidáním vektoru $\vec w_1$ do množiny $M_1\setminus\{\vec w_1\}\cup N$ lineární obal množiny nezmění, takže je $\lob=\lob=\lob$. Uvedený postup přitom zaručil $\vec w_1\in M_1$, takže z množiny $M$ jsme celkem odebrali $k+1$ vektorů. \veta [steinitz2] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor, $M\subseteq L$ je libovolná konečná množina a $N\subseteq \lob$ je lineárně nezávislá množina. Pak počet prvků množiny $N$ je menší nebo roven počtu prvků množiny $M$. \dukaz %%%%%% Věta\cite[steinitz] tvrdí, že z množiny $M$ lze odebrat tolik vektorů, kolik jich má množina $N$. Kdyby měla množina $N$ více vektorů než množina $M$, pak by tento úkon nešel provést, tj. dostali bychom se do sporu se Steinitzovou větou. \veta* [stejnebase] %%%%% Dvě báze stejného lineárního prostoru jsou obě nekonečné nebo mají stejný počet prvků. \inl[báze] \dukaz %%%%%% Uvažujme dvě konečné báze $B_1$ a $B_2$ lineárního prostoru $L$. Protože $B_1\subseteq \lob$ a $B_1$ je lineárně nezávislá, musí podle věty\cite[steinitz2] mít $B_2$ aspoň tolik prvků, jako má $B_1$. Protože $B_2\subseteq \lob$ a $B_2$ je lineárně nezávislá, musí podle stejné věty mít $B_1$ aspoň tolik prvků, jako má $B_2$. Takže počet prvků těchto množin musí být stejný. Co se stane, když $B_1$ je konečná a $B_2$ nekonečná? Pak každá konečná podmnožina $K\subseteq B_2$ je lineárně nezávislá. Vezmu takovou konečnou podmnožinu $K$, která má více prvků, než $B_1$. Protože $K\subseteq \lob$ a $K$ je lineárně nezávislá, musí mít $B_1$ aspoň tolik prvků, jako $K$. To ale nemá. Dostáváme tedy spor, takže situace \uv{jedna báze konečná a druhá nekonečná} nemůže nastat. \okraj Dimenze prostoru | Dimense prostoru \definice* [ddimense] %%%%%%%%% {\em Dimenze} lineárního (pod)prostoru $L$ je počet prvků báze tohoto (pod)prostoru~$L$. Dimenzi (pod)prostoru~$L$ označujeme symbolem $\dim L$. Dimenzi jednobodového lineárního (pod)prostoru $L=\{\vec o\}$ pokládáme rovnu nule. \inl[dimenze, dimL] \poznamka %%%%%%%%% Věta\cite[stejnebase] nám zaručuje smysluplnost definice dimenze. Ačkoli lineární prostor může mít více bází, všechny tyto báze mají podle této věty stejný počet prvků, nebo jsou nekonečné. V tomto druhém případě klademe $\dim L=\infty$. \priklad %%%%%%%% $\dim\R^n=n$, viz příklad\cite[gbaseRn]. $\dim P_{\leq n}=n+1$, viz příklad\cite[basePnn]. $\dim P=\infty$, viz příklad\cite[basepolynomy]. Konečně $\dim U_O=3$ podle příkladu\cite[dimUO]. Važme si toho, že nás Stvořitel obklopil lineárním prostorem dimenze 3 nejen proto, že trojka je šťastné číslo. \inl[Stvořitel, dimenze] \inl[prostor: UO, prostor: orientovaných úseček] \inl[prostor: polynomů, prostor: R9n, R9n] \inl[dimenze: prostoru: UO, dimenze: prostoru: polynomů, dimenze: prostoru: R9n] \okraj Dimenze podprostoru | Dimense podprostoru \veta [dimpodprostoru] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor a $P\subseteq L$ je lineární podprostor lineárního prostoru $L$. Pak $\dim P \leq \dim L$. \inl[podprostor] \dukaz %%%%%% Označme $B_L$ nějakou bázi lineárního prostoru~$L$. Báze $B_P$ podprostoru $P$ je lineárně nezávislá množina, pro kterou je $B_P\subseteq \lob$. Podle věty\cite[steinitz2] má $B_P$ nejvýše tolik prvků, jako $B_L$. \veta [P=L] Nechť $L$ je lineární prostor a $P\subseteq L$ je lineární podprostor lineárního prostoru $L$. Nechť dále $\dim P = \dim L$ a tato dimenze je konečná. Potom $P=L$. \dukaz $B_P$ je báze podprostoru $P$ a $B_L$ báze prostoru $L$ jako v~předchozím důkazu, tj. $B_P\subseteq\lob$. Protože jsou $B_P$ a $B_L$ stejně početné, pak podle Steinitzovy věty lze vyměnit všechny vektory z $B_L$ za všechny vektory z $B_P$ beze změny lineárního obalu, takže $\lob=\lob$. Jinými slovy $P=L$. \poznamka %%%%%%%%% Podmínku konečnosti dimenze v předchozí větě nelze vynechat. Steinitzova věta totiž předpokládá konečnou množinu~$N$. Nezbytnost podmínky konečné dimenze ilustruje třeba tento příklad. Nechť $L$ je lineární prostor všech polynomů a $P=\lob<1,x^2,x^4,\ldots>$ je podprostor polynomů jen se sudými mocninami. Pak $\dim L=\dim P=\infty$, ale $P\not=L$. \poznamka %%%%%%%%% Věta\cite[P=L] má důsledky shrnuté v následujících dvou větách. Ty se nám budou hodit, až budeme lineární podprostory zapisovat jako lineární obaly množin vektorů a budeme se potýkat s tím, že tento zápis podprostoru není jednoznačný. \veta [rovnostobalu] %%%%% Nechť $\vecc u_k, \vecc v_m$ jsou vektory lineárního prostoru $L$. Rovnost lineárních obalů $\lob<\vecc u_k>$ a $\lob<\vecc v_m>$ je ekvivalentní podmínce: $$\dim\lob<\vecc u_k> = \dim\lob<\vecc v_m> = \dim\lob<\vecc u_k,\vecc v_m>.$$ \dukaz Přepokládejme nejprve rovnost obalů a dokážeme podmínku. Označíme $U=\{\vecc u_k\}$ a $V=\{\vecc v_m\}$. Jestliže $\lob=\lob$, pak $U\subseteq\lob=\lob$, $V\subseteq\lob=\lob$, tedy $U\cup V\subseteq\lob=\lob$. Přechodem k lineárnímu obalu obou stran množinové nerovnosti a využitím věty\cite[loblob]~(3) dostáváme $\lob\subseteq\lob<{\lob}> =\lob$. Protože $U\cup V\supseteq U$, platí také $\lob\supseteq \lob$, takže $\lob = \lob=\lob$. Když se rovnají obaly, rovnají se i jejich dimenze. Předpokládejme nyní platnost podmínky a dokážeme $\lob=\lob$. Protože $\lob\subseteq\lob$ a dimenze se rovnají, musí se podle věty\cite[P=L] (volte $\lob=P, \lob=L$) rovnat obaly samotné, tj. $\lob=\lob$. To samé platí pro $\lob$, takže $\lob=\lob=\lob$. \veta [pribaleni] %%%%% Nechť $\vec v,\vecc u_k$ jsou vektory lineárního prostoru $L$. Pak $\vec v\in\lob<\vecc u_k>$ právě tehdy, když $\dim\lob<\vecc u_k> = \dim\lob<\vecc u_k, \vec v>$. \dukaz Z předpokladu, že $\vec v\in\lob<\vecc u_k>$ a z věty\cite[loblob]~(4) plyne, že obaly $\lob<\vecc u_k>$ a $\lob<\vecc u_k, \vec v>$ se rovnají. Proto se rovnají i jejich dimenze. Nechť nyní se dimenze rovnají. Obal $\lob<\vecc u_k>$ je podprostorem obalu $\lob<\vecc u_k, \vec v>$, takže podle věty\cite[P=L] se tyto obaly rovnají. Vlastnost $\vec v\in\lob<\vecc u_k>$ pak plyne z následující inkluze: $\{\vecc u_k, \vec v\}\subseteq \lob<\vecc u_k, \vec v>=\lob<\vecc u_k>$. \okraj Počet prvků v~LN množině | Pocet prvku v~LN mnozine \veta [123] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor, $\dim L = n$ a $M=\{\vecc x_m\}$. Pak platí: \noindent (1) Je-li $M$ lineárně nezávislá, pak $m \leq n$. \noindent (2) Je-li $m>n$, pak $M$ je lineárně závislá. \noindent (3) Je-li $m=n$ a $M$ je lineárně nezávislá, pak $\lob=L$. \noindent (4) Je-li $m=n$ a $\lob=L$, pak je $M$ lineárně nezávislá. \noindent (5) Je-li $M$ lineárně nezávislá a $\lob=L$, pak $m=n$. \dukaz %%%%%% (1) Nechť $B$ je báze $L$, tedy $\lob=L$. Podle věty\cite[steinitz2] lze nahradit $m$ prvků z~$B$ všemi prvky z~$M$ tak, že se lineární obal nezmění. Aby to bylo možné provést, nutně musí být $m\leq n$. (2) Toto tvrzení je ekvivalentní s~tvrzením (1). (3) Kdyby $\lob\not=L$, pak lze přidat do množiny $M$ vektor $\vec x\not\in\lob$, a přitom podle věty\cite[pridanivektoru] zůstane rozšířená množina lineárně nezávislá. To ale podle (1) není možné. Musí tedy $\lob=L$. (4) Z množiny $M$ lze odebrat prvky tak, aby vzniklá podmnožina $B\subseteq M$ měla stejný obal, ale byla lineárně nezávislá. $B$ je tedy bází prostoru $L$. Kdyby byla $M$ lineárně závislá, pak musí $B$ mít méně prvků než $m=n$, což je ve sporu s větou\cite[stejnebase]. Takže musí $M$ být lineárně nezávislá. (5) Množina $M$ je podle definice bází $L$. Podle věty\cite[stejnebase] tedy musí mít $n$ prvků. \poznamka [dusl123] %%%%%%%%% Uvědomíme si význam této věty. Báze lineárního prostoru konečné dimenze je podle (1) nejpočetnější lineárně nezávislá množina. Dále podle (3) každá lineárně nezávislá množina, která má počet prvků rovný konečné dimenzi, je bází. \priklad %%%%%%%% Množina $\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,2)\}$ je bází lineárního prostoru $\R^3$, protože je lineárně nezávislá a její počet prvků je roven $\dim\R^3$. Stačí použít větu\cite[123], vlastnost (3) a nemusíme pracně ověřovat z~definice, že množina generuje~$\R^3$. \okraj Souřadnice vektoru | Souradnice vektoru \poznamka %%%%%%%%% Je-li $\dim L$ konečná, je možné zvolit a uspořádat bázi prostoru $L$ a každý vektor $\vec x$ pak zapsat jako lineární kombinaci této báze. Koeficienty této lineární kombinace nazýváme {\em souřadnice vektoru\/} $\vec x$. Tímto způsobem můžeme vektory lineárního prostoru $L$ podchytit pomocí reálných čísel. Přechod od abstraktního vektoru k~souřadnicím (uspořádané $n$-tici čísel) nyní popíšeme podrobněji. \inl[souřadnice: vektoru] \definice [ubase] %%%%%%%%% Nechť $B=\{\vecc b_n\}$ je báze lineárního prostoru~$L$. Záleží-li nám na pořadí prvků báze $\vecc b_n$ (tj.~požadujeme, aby $\vec b_1$ byl první prvek báze, $\vec b_2$ druhý prvek atd.), pak mluvíme o~{\em uspořádané bázi}. Uspořádaná báze je tedy uspořádaná $n$-tice prvků báze, tj.~$(\vecc b_n)$. Skutečnost, že báze~$B$ je uspořádaná, budeme vyznačovat symbolem $(B)$. \inl[báze: uspořádaná, uspořádaná: báze] \poznamka %%%%%%%%% Uspořádanou bázi jsme definovali jen pro lineární prostory konečné dimenze. Ačkoli tedy v dalším textu nebude tato skutečnost výslovně uvedena, všude tam, kde se mluví o~uspořádaných bázích, máme na mysli lineární prostor konečné dimenze. \definice* [souradnice] %%%%%%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je uspořádaná báze lineárního prostoru~$L$ a $\vec x\in L$ je libovolný vektor. Uspořádanou $n$-tici reálných čísel $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)\in\R^n$ nazýváme {\em souřadnicemi vektoru~$\vec x$ vzhledem k~uspořádané bázi~$(B)$}, pokud platí $$ \vec x = \lkvecc \alpha.b_n . $$ Skutečnost, že $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ jsou souřadnice vektoru $\vec x$ vzhledem k~uspořádané bázi~$(B)$ budeme zapisovat takto: $$ \c_B(\vec x) = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n). $$ \par\inl[souřadnice: vektoru] \okraj Existence a jednoznačnost sou\-řadnic | Existence a jednoznacnost souradnic \veta* [jednsouradnice] %%%%% Nechť $(B)$ je uspořádaná báze lineárního prostoru~$L$. Pak každý vektor $\vec x\in L$ má jednoznačně určeny své souřadnice vzhledem k uspořádané bázi $(B)$ \dukaz %%%%%% Existence: protože $\lob=L$, lze každý vektor $\vec x\in L$ zapsat jako lineární kombinaci prvků z $B$. Jednoznačnost: Důkaz se opírá o lineární nezávislost množiny $B$. Označme $(B)=(\vecc b_n)$. Nechť $\vec x$ má soužadnice $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ a současně má souřadnice $(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$. V obou případech se jedná o souřadnice vzhledem ke stejné bázi $(B)$. Ukážeme, že pak je $\alpha_i = \beta_i$, $\forall i\in\{1,\ldots,n\}$. Podle definice\cite[souradnice] je $$ \vec x = \lkvecc \alpha.b_n, \qquad \vec x = \lkvecc \beta.b_n. $$ Odečtením těchto rovností dostáváme $$ \vec x - \vec x = \vec o = (\alpha_1 - \beta_1)\,\vec b_1 + (\alpha_2 - \beta_2)\,\vec b_2 + \cdots + (\alpha_n - \beta_n)\,\vec b_n. $$ Protože vektory báze $\vecc b_n$ jsou lineárně nezávislé, pouze triviální lineární kombinace může být rovna nulovému vektoru. Všechny koeficienty uvedené lineární kombinace musejí tedy být rovny nule. Tím dostáváme $\alpha_i = \beta_i$, $\forall i\in\{1,\ldots,n\}$. \priklad [sourpolynomu] %%%%%%%% Nechť $L$ je lineární prostor polynomů nejvýše třetího stupně. Najdeme souřadnice polynomu $p\in L$, $p(x)=2x^3 + x^2 - 3x$ vzhledem k uspořádané bázi $(B)=\bigl(x+1, x-1, (x+1)^2, (x+1)^3\bigr)$. Nevěřící Tomášové by nejprve měli ověřit, zda je $B$ skutečně bází lineárního prostoru~$L$, tj. zda platí vlastnosti~(1) a~(2) z~definice\cite[dbase]. Položili by následující lineární kombinaci rovnu nulovému polynomu: $$ \alpha\,(x+1) + \beta\,(x-1) + \gamma\,(x+1)^2 + \delta\,(x+1)^3 = \delta\,x^3 + (\gamma+3\delta)\,x^2 + (\alpha+\beta+2\gamma+3\delta)\,x + \alpha - \beta + \gamma + \delta = 0 $$ a zkoumali by, za jakých okolností lze rovnost splnit. Polynom je nulový jen tehdy, když jsou nulové všechny jeho koeficienty, což vede na homogenní soustavu čtyř rovnic o neznámých $\alpha, \beta, \gamma, \delta$. Tu by Tomášové vyřešili, zjistili by, že má pouze nulové řešení, a proto jsou dané polynomy z množiny $B$ lineárně nezávislé. Dále by Tomášové použili vlastnost~(3) věty\cite[123] a prohlásili, že když množina $B$ je lineárně nezávislá a obsahuje stejný počet vektorů, jako je dimenze prostoru (podle příkladu\cite[basePnn] je $\dim L=4$), pak musí $\lob=L$. Tím by zjistili, že $B$ je báze lineárního prostoru~$L$. \inl[Tomáš: nevěřící] Nyní najdeme souřadnice polynomu $p$ vzhledem k~bázi $(B)$. Podle definice\cite[souradnice] má pro souřadnice $(\alpha, \beta, \gamma, \delta)$ platit $$ \eqalign{ 2x^3 + x^2 - 3x &= \alpha\,(x+1) + \beta\,(x-1) + \gamma\,(x+1)^2 + \delta\,(x+1)^3, \cr \hbox{po úpravě:} \quad 2x^3 + x^2 - 3x &= \delta\,x^3 + (\gamma+3\delta)\,x^2 + (\alpha+\beta+2\gamma+3\delta)\,x + \alpha - \beta + \gamma + \delta .} $$ Dva polynomy se rovnají, když se rovnají odpovídající jejich koeficienty. Po porovnání jednotlivých koeficientů u polynomů na levé a pravé straně rovnosti dostáváme soustavu rovnic $$ \soustava{\alpha - \beta +\1\gamma +\1\delta =& 0 \cr \alpha + \beta + 2\gamma + 3\delta =& \!\! -3 \cr \gamma + 3\delta =& 1 \cr \delta =& 2 } $$ Soustava má jediné řešení $\alpha=2, \beta=-1, \gamma=-5, \delta=2$. Zapíšeme výsledek: $\c_B(p)=(2,-1,-5,2)$. \priklad [sourpolynomu2] %%%%%%%% Uvažujme stejný lineární prostor $L$ jako v předchozím příkladě a v něm stejný polynom $p\in L$, $p(x) = 2x^3 + x^2 - 3x$. Vzhledem k~uspořádané bázi $B_0=(1,x,x^2,x^3)$ má polynom souřadnice shodné se svými koeficienty, tedy $$ \c_{B_0}(p) = (0, -3, 1, 2). $$ Platí totiž $p(x) = 0\cdot1 + (-3)\cdot x + 1\cdot x^2 + 2\cdot x^3$. \dolu3mm \obrazek .4+.08 7 obr1 { \p 44 -3 O \p 10 60 \vec b_1 \p 5 0 \vec b_2 \p 33 120 \vec x } % \priklad [sourUO] %%%%%%%% Uvažujme podprostor $P$ prostoru orientovaných úseček $U_O$, ve kterém jsou jen vektory ležící v rovině dané stránkou této učebnice a mající počáteční bod v~bodě~$O$ na obrázku. Zjevně je $\dim P=2$. Na uvedeném obrázku jsou vyznačeny vektory $\vec b_1$ a $\vec b_2\in P$, které jsou lineárně nezávislé, takže tvoří bázi podprostoru $P$. Najdeme souřadnice vektoru $\vec x$ vzhledem k uspořádané bázi $(B)=(\vec b_1,\vec b_2)$. Je třeba narýsovat dvě měřítka, jedno procházející vektorem $\vec b_1$ a mající jedničku v koncovém bodě tohoto vektoru. Druhé měřítko prochází vektorem $\vec b_2$ a má jedničku v koncovém bodě $\vec b_2$. Obě měřítka mají nulu v~bodě~$O$. Dále narýsujeme rovnoběžky s těmito měřítky, které procházejí koncovým bodem vektoru $\vec x$. V průsečících těchto přímek pak přečteme souřadnice vektoru $\vec x$. Laskavý čtenář si jistě sám do obrázku dorýsuje uvedená měřítka a rovnoběžky a shledá, že je $\c_B(\vec x) = (2{,}6;\,-1{,}3)$. Přesnost výsledku závisí na přesnosti rýsování. Pamatujme: ideální geometrii nikdy nenarýsujeme, ta existuje pouze v myslích každého z nás. Takže ve skutečnosti jsou vektory z lineárního prostoru $U_O$ velmi obtížně uchopitelné. Je tedy užitečné přejít od těchto abstraktních vektorů k uspořádaným $n$-ticím reálných čísel, k jejich souřadnicím. S~těmi se počítá daleko pohodlněji. Viz též příklad\cite[U0isoR2] \priklad [sourRn] %%%%%%%% V lineárním prostoru $\R^n$ se pracuje přímo s reálnámi čísly, takže hledat k~uspořádaným $n$-ticím jejich souřadnice, tedy zase uspořádané $n$-tice, může působit jako nošení dříví do lesa. Nicméně se o to pokusíme. Abychom se do toho nezamotali, rozlišujme důsledně pojem {\it složky vektoru} od pojmu {\it souřadnice vektoru} vzhledem ke zvolené bázi. Zvolíme dvě uspořádané báze v $\R^3$: $$ (B) = \bigl( (1,3,1), (3,0,2), (2,1,1)\bigr), \qquad (S_3) = \bigl( (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\bigr). $$ je dán vektor $(1,2,3)$. Čísla 1, 2, 3 jsou jeho složky a báze na předchozím řádku jsou také dány svými složkami. Najdeme souřadnice daného vektoru jednak vzhledem k bázi~$(B)$ a také vzhledem k bázi~$(S_3)$. Především je zřejmé, že $B$ je báze (nevěřící Tomášové si to ověří). Množina $S_3$ je také bází, je to dokonce standardní báze lineárního prostoru $\R^3$. Souřadnice vektoru $(1,2,3)$ vzhledem k~$(B)$ tvoří trojici čísel $(\alpha,\beta,\gamma)$, pro které platí $$ (1,2,3) = \alpha(1,3,1) + \beta(3,0,2) + \gamma(2,1,1) $$ Po vynásobení vektorů a jejich sečtení podle definice z~příkladu\cite[LPRn] dostáváme rovnost uspořádaných trojic $(1,2,3) = (\alpha+3\beta+2\gamma,3\alpha+\gamma,\alpha+2\beta+\gamma)$. Z této rovnosti plynou tři rovnice pro neznámé $\alpha,\beta,\gamma$. Čtenář si sám spočítá, že soustava těchto tří rovnic má jediné řešení $\alpha=9/4$, $\beta=11/4$, $\gamma=-19/4$. Takže $\c_B\bigl((1,2,3)\bigr) = (9/4,11/4,-19/4)$. Protože je $(1,2,3) = 1\cdot(1,0,0) + 2\cdot(0,1,0) + 3\cdot(0,0,1)$, je okamžitě patrné, že $\c_{S_3}\bigl((1,2,3)\bigr) = (1,2,3)$. Poslední výsledek zobecníme v následujícím tvrzení: \veta [snsour] %%%%% Souřadnice každého vektoru $\vec x\in\R^n$ vzhledem ke standardní bázi $S_n$ jsou rovny složkám vektoru~$\vec x$. Jinými slovy: $\c_{S_n}\bigl((x_1,x_2,\ldots,x_n)\bigr) = (x_1,x_2,\ldots,x_n)$. \dukaz Zřejmě je $(x_1,x_2,\ldots,x_n) = x_1(1,0,0,\ldots,0)+ x_2(0,1,0,\ldots,0)+ \ldots + x_n(0,0,0,\ldots,0,1)$. \poznamka* %%%%%%%%% Výše uvedené příklady ilustrují platnost sloganu \uv{na volbě báze záleží}. Především vidíme, že souřadnice stejného vektoru vzhledem k různým bázím jsou rozdílné. V příkladě\cite[sourpolynomu2] se nám podařilo najít souřadnice stejného polynomu mnohem pohodlněji, než v~příkladě\cite[sourpolynomu]. Stejně tak by se nám lépe hledaly souřadnice orientované úsečky v příkladě\cite[sourUO], pokud by byly bázové vektory voleny tak, že jsou na sebe kolmé a mají stejnou velikost. Mohli bychom pak použít pravítko s ryskou. Konečně standardní báze $(B_0)$ v $\R^3$ v příkladu\cite[sourRn] nám nekladla (na rozdíl od náhodně zvolené báze $B$) žádné překážky při hledání souřadnic. Mezi všemi bázemi lineárního prostoru tedy existují báze, vzhledem ke kterým je možné hledat souřadnice výrazně pohodlněji. \okraj Spojení a průnik lineárních podprostorů | Spojeni a prunik linearnich podprostoru \definice [dspoj] %%%%%%%%% Nechť $L$ je lineární prostor, $M$ a $N$ jsou jeho podprostory. Množinu $\lob$ nazýváme {\em spojením podprostorů $M$ a $N$} a značíme $M\vee N$. \inl[spojení: podprostorů, 0MveeN] \poznamka %%%%%%%%% Podle věty\cite[lobjemin] je $M\vee N$ nejmenší podprostor, který obsahuje všechny prvky z~$M$ i $N$ dohromady. \veta [spojeni=soucet] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor, $M$ a $N$ jsou jeho podprostory. Pro podprostor $M\vee N$ platí: $$ M\vee N = \{\vec y+\vec z;\; \vec y\in M,\, \vec z\in N\}. $$ \dukaz %%%%%% Je-li $\vec x\in \{\vec y+\vec z;\; \vec y\in M, \vec z\in N\}$, tj. $\vec x$ se dá rozepsat na součet prvku z~$M$ a prvku z~$N$, pak podle definice lineárního obalu je $\vec x\in\lob=M\vee N$. To dokazuje inkluzi $\{\vec y+\vec z;\; \vec y\in M, \vec z\in N\} \subseteq M\vee N$. Je-li $\vec x\in M\vee N = \lob$, pak podle definice lineárního obalu existuje konečně mnoho prvků z~$M$ a konečně mnoho prvků z~$N$ takových, že $\vec x$ je lineární kombinací těchto prvků. Tuto lineární kombinaci rozdělíme na součet násobků prvků z~$M$ a součet násobků ostatních prvků (tedy prvků z~$N$). První součet označíme~$\vec y$ a druhý~$\vec z$. Protože $M$ a $N$ jsou podprostory, je podle věty\cite[lob=lpp] $\lob=M$, $\lob=N$, takže lineární kombinace prvků z $M$ leží v~$M$ a podobně pro $N$. Máme tedy $\vec y\in M$, $\vec z\in N$. Protože $\vec x=\vec y+\vec z$, je $\vec x\in\{\vec y+\vec z;\;\vec y\in M,\vec z\in N\}$. To dokazuje obrácenou inkluzi. \veta* [dimspojeni] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor konečné dimenze, $M$ a $N$ jsou jeho podprostory. Pak $$ \dim M + \dim N = \dim (M\cap N) + \dim (M\vee N). $$ \exdukaz %%%%%% Nechť $\dim M = m$, $\dim N = n$, $\dim (M\cap N) = k$. Nechť $\vecc b_k$ je báze podprostoru $M\cap N$. Vzhledem k tomu, že $M\cap N \subseteq M$, lze lineárně nezávislé vektory $\vecc b_k$ doplnit o další prvky, aby dohromady tvořily bázi v~$M$. Viz větu\cite[existencebase]. Podobně lze doplnit $\vecc b_k$ o~další prvky, aby tvořily bázi v $N$. Máme tedy $$ \tabskip=0pt plus1fil \halign to\hsize{$#\qquad$\hfil\tabskip=0pt&$#$\hfil\tabskip=0pt plus1fil\cr \hbox{báze $M\cap N$: }& \{\vecc b_k \}, \cr \hbox{báze $M$: }& \{\vecc b_k, \vec c_{k+1}, \ldots, \vec c_m \}, \cr \hbox{báze $N$: }& \{\vecc b_k, \vec d_{k+1}, \ldots, \vec d_n \}. \cr} $$ Za této situace je množina $B=\{\vecc b_k, \vec c_{k+1}, \ldots, \vec c_m, \vec d_{k+1},\ldots, \vec d_n \}$ bází podprostoru $M \vee N$. Zdůvodníme proč. Ukážeme nejdříve, že $\lob=M\vee N$. Protože $B\subseteq M\cup N$, je $\lob\subseteq\lob=M\vee N$. Nyní ukážeme obrácenou inkluzi. Je-li $\vec x\in M\vee N$, pak podle věty\cite[spojeni=soucet] existují vektory $\vec y\in M$ a $\vec z\in N$ takové, že $\vec x = \vec y+\vec z$. Vektor~$\vec y$ lze zapsat jako lineární kombinaci prvků báze~$M$ a vektor~$\vec z$ jako lineární kombinaci prvků báze~$N$. Proto je vektor~$\vec x$ lineární kombinací prvků množiny~$B$ a máme dokázánu obrácenou inkluzi $M\vee N \subseteq\lob$. Nyní ukážeme, že $B$ je lineárně nezávislá množina. Položme $$ (\lkvecc \alpha.b_k) + (\gamma_{k+1}\vec c_{k+1}+ \cdots+\gamma_m\vec c_m) + (\delta_{k+1}\vec d_{k+1}+ \cdots+\delta_m\vec d_m) = \vec o. $$ Dokážeme, že tato lineární kombinace musí být triviální. Označme první závorku $\vec b$, druhou $\vec c$ a třetí $\vec d$. Je $\vec d=-\vec b-\vec c$, takže $\vec d\in M$ (je lineární kombinací prvků~z~$M$) a také $\vec d\in N$ (je lineární kombinací prvků s $N$), takže $\vec d\in M\cap N$. Je tedy možné zapsat $\vec d$ jako lineární kombinaci prvků báze $M\cap N$, tedy $\vec d=\lkvecc\beta.b_k$. Jinak napsáno: $\lkvecc\beta.b_k-\delta_{k+1}\vec d_{k+1}- \cdots-\delta_m\vec d_m=\vec o$. Tady vidíme lineární kombinaci prvků báze podprostoru~$N$ rovnu nulovému vektoru, takže musí být triviální. Takže $\vec d=\vec o$. Dosadíme tento poznatek do původní rovnosti $\vec b+\vec c+\vec d=\vec o$ a máme $\vec b+\vec c=\vec o$, jinak napsáno: $\lkvecc \alpha.b_k+\gamma_{k+1}\vec c_{k+1}+ \cdots+\gamma_m\vec c_m=\vec o$. Zde je lineární kombinace prvků báze podprostoru~$M$, která je rovna nulovému vektoru. Takže musí být triviální. Protože $B$ je bází $M\vee N$ a je vidět, že $B$ má $m+n-k$ prvků, je $\dim (M\vee N) = m+n-k$. Dokazovaná rovnost nyní plyne z~toho, že platí~$m+n = k + (m+n-k)$. \shrnuti %%%%%%%% Lineárně nezávislou množinu vektorů, která generuje lineární (pod)prostor, nazýváme bází tohoto (pod)prostoru\lcite[dbase]. Bází stejného (pod)prostoru je více, ale všechny mají stejný počet prvků~/\ncite[steinitz],\cite[stejnebase]/. Tento počet prvků se nazývá dimenze (pod)prostoru\lcite[dimpodprostoru]. Konečná lineárně nezávislá množina je bází (pod)prostoru $L$, pokud má stejný počet prvků, jako je dimenze $L$\lcite[123]. Více prvků lineárně nezávislá množina nemůže mít~/rovněž\cite[123]/, takže dimenze $L$ je maximální počet prvků, jaký může v~$L$ mít lineárně nezávislá množina. Každý vektor $\vec x$ lineárního prostoru konečné dimenze má vzhledem k pevně zvolené uspořádané bázi jednoznačně určeny své souřadnice. Stačí vektor $\vec x$ zapsat jako lineární kombinaci prvků této báze a koeficienty této kombinace nazýváme jeho souřadnice~/\ncite[souradnice],\cite[jednsouradnice]/. Existence souřadnic je dána tím, báze generuje prostor a jednoznačnost plyne z lineární nezávislosti báze. Vzhledem k různým bázím má stejný vektor samozřejmě různé souřadnice. Existují báze, vzhledem ke kterým se souřadnice pohodlně hledají~/\ncite[sourpolynomu2],\cite[snsour]/, zatímco najít souřadnice vektoru vzhledem k~jiným bázím dá poněkud práci~/\ncite[sourpolynomu], \ncite[sourUO], \ncite[sourRn]/. Pomocí souřadnic můžeme numericky podchytit vektory z~rozličných lineárních prostorů. Přesná formulace této velmi důležité vlastnosti bude předmětem až další kapitoly. V závěru kapitoly jsme zavedli pojem spojení podprostorů\lcite[dspoj] a dokázali důležitou větu o dimenzi spojení a průniku dvou lineárních podprostorů\lcite[dimspojeni]. \icviceni 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Lineární zobrazení, izomorfismus | Linearni zobrazeni, isomorfismus %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \poznamka %%%%%%%%% Zobrazení je zobecněním pojmu funkce. Zatímco funkce přiřazuje číslům čísla, zobrazení přiřazuje prvkům libovolné množiny prvky libovolné množiny. Než se pustíme do definice pojmu {\em lineární} zobrazení, bude užitečné si připomenout, co to je vůbec zobrazení, a uvést jeho základní vlastnosti. \okraj Definice\hb zobrazení | Definice zobrazeni \definice [zobr] %%%%%%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou libovolné množiny. {\em Zobrazením $\a$ z množiny $L_1$ do množiny $L_2$} rozumíme jakýkoli předpis, který každému prvku z množiny $L_1$ přiřadí jednoznačným způsobem nějaký prvek z množiny $L_2$. Skutečnost, že $\a$ je zobrazení z~množiny $L_1$ do množiny $L_2$, zapisujeme $\a: L_1\to L_2$. \inl[zobrazení, 1a] Je-li $\vec x\in L_1$, pak zobrazení $\a: L_1\to L_2$ přiřadí prvku $\vec x$ jednoznačně nějaký prvek z~množiny~$L_2$. Tento prvek označujeme symbolem $\a(\vec x)$ a nazýváme jej {\em hodnotou zobrazení $\a$ v~$\vec x$} nebo také {\em obrazem prvku~$\vec x$}. V tomto kontextu se prvku $\vec x$ říká {\em vzor}. Je-li $M\subseteq L_1$, pak definujeme $$ \a(M) = \bigl\{\vec y\in L_2;\; \exists \vec x\in M \hbox{ tak, že } \a(\vec x) = \vec y \bigr\}. $$ \par\inl[hodnota: zobrazení] \inl[obraz, vzor] \priklad [pZ] %%%%%%%% Pro ilustraci uvedeme příklady některých zobrazení: \item {(1)} Funkce $f:\R\to\R$, která každému $x\in\R$ přiřadí $\sin(x)\in\R$ je speciální případ zobrazení. \item {(2)} Zobrazení $\a_2$ z množiny diferencovatelných funkcí do množiny funkcí, které každé funkci přiřadí její derivaci. Tj. $\a_2(f) = f'$. \item {(3)} Zobrazení $\a_3$ z množiny orientovaných úseček do množiny orientovaných úseček, které každému vektoru přiřadí jeho \uv{stín} na pevně zvolené rovině procházející počátkem. \item {(4)} Zobrazení $\a_4$ z množiny spojitých funkcí do množiny reálných čísel, které každé spojité funkci přiřadí hodnotu určitého integrálu této funkce od nuly do jedné. Tedy $\a_4(f) = \int_0^1 f(x)\d x$. \item {(5)} Zobrazení $\a_5$ z množiny funkcí do množiny nekonečných posloupností, které každé funkci $f$ přiřadí nekonečnou posloupnost $f(1), f(2), f(3), \ldots$ \item {(6)} Zobrazení $\a_6$ z množiny posloupností do množiny funkcí, které každé posloupnosti $c_1, c_2, c_3, \ldots$ přiřadí po částech konstantní funkci, která je nulová na $(-\infty,1)$ a $f(x)=c_i$ pro $x\in\langle i,i+1)$. \item {(7)} Zobrazení $\c_B$ z množiny orientovaných úseček $U_O$ do množiny uspořádaných trojic $\R^3$, které každé úsečce přidělí její souřadnice vzhledem k pevně zvolené uspořádané bázi $(B)$. \okraj Zobrazení \uv{na} | Zobrazeni "na" \definice [defna] %%%%%%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou libovolné množiny a uvažujme $\a: L_1\to L_2$. Pokud platí $\a(L_1) = L_2$, říkáme, že $\a$ je zobrazení z množiny $L_1$ {\em na množinu $L_2$} (nebo říkáme, že zobrazení je {\em surjektivní}). \inl[zobrazení: na] \inl[zobrazení: surjektivní, surjektivní zobrazení] \poznamka %%%%%%%%% Zobrazení $\a$ z množiny $L_1$ na množinu $L_2$ je speciální případ zobrazení z množiny $L_1$ do množiny $L_2$ (všimneme si rozdílnosti slůvek \uv{do} a \uv{na}). Může se stát, že existují prvky $\vec y\in L_2$, pro které neexistuje žádný prvek $\vec x\in L_1$, který by splňoval $\a(\vec x) = \vec y$. V takovém případě zobrazení $\a$ není \uv{na} množinu $L_2$, je jenom \uv{do} množiny $L_2$. Lidově řečeno, množina $L_2$ je v takovém případě \uv{větší}, než množina všech obrazů zobrazení $\a$. \okraj Prosté\hb zobrazení | Proste zobrazeni \definice [proste] %%%%%%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou libovolné množiny a uvažujme $\a: L_1\to L_2$. Zobrazení $\a$ je {\em prosté} ({\em injektivní\/}), pokud pro každé dva prvky $\vec x_1\in L_1$, $\vec x_2\in L_1$, $\vec x_1\not=\vec x_2$ platí $\a(\vec x_1)\not=\a(\vec x_2)$. Je-li zobrazení prosté i \uv{na} množinu, říkáme mu {\em bijektivní} zobrazení. \inl[zobrazení: prosté, prosté zobrazení] \inl[zobrazení: injektivní, injektivní zobrazení] \inl[zobrazení: bijektivní, bijektivní zobrazení] \priklad %%%%%%%% Zobrazení (4), (5) a (7) z příkladu\cite[pZ] jsou \uv{na} množinu (surjektivní). Ostatní zobrazení v~tomto příkladu nejsou \uv{na} množinu. Zobrazení (6) a (7) jsou zobrazení prostá (injektivní). Ostatní zobrazení v~příkladu\cite[pZ] nejsou prostá. Zobrazení (7) je prosté i \uv{na}, tedy je to bijektivní zobrazení. \okraj Definice\hb lineárního zobrazení | Definice linearniho zobrazeni \definice* [linzob] %%%%%%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou lineární prostory, $\a: L_1\to L_2$ je zobrazení z $L_1$ do $L_2$. Zobrazení~$\a$ nazýváme {\em lineárním zobrazením}, pokud pro všechna $\vec x\in L_1$, $\vec y\in L_1$, $\alpha\in\R$ platí $$ \eqalign{ \bod(1) \a(\vec x + \vec y) = \a(\vec x) + \a(\vec y), \cr \bod(2) \a(\alpha\cdot\vec x) = \alpha\cdot \a(\vec x). } $$ \par\inl[lineární: zobrazení, zobrazení: lineární] \poznamka* %%%%%%%%% Lineární zobrazení \uv{zachovává} operace sčítání a násobení konstantou. Sečteme-li dva prvky z~$L_1$ a výsledek převedeme prostřednictvím lineárního zobrazení do $L_2$, výjde totéž, jako kdybychom nejprve jednotlivé prvky převedli prostřednictvím zobrazení do $L_2$ a tam je sečetli. Všimneme si, že první operace~\uv{$+$} ve vlastnosti~(1) je sčítáním definovaným na lineárním prostoru $L_1$, zatímco druhá operace~\uv{$+$} v~této vlastnosti je sčítáním definovaným na lineárním prostoru $L_2$. Tato dvě sčítání mohou být definována zcela rozdílným způsobem na zcela rozdílných lineárních prostorech. Podobně ve vlastnosti~(2) je první operace~\uv{$\cdot$} násobkem definovaným na~$L_1$, zatímco druhá operace~\uv{$\cdot$} je násobek definovaný na~$L_2$. \veta [zobnuly] %%%%% Pro lineární zobrazení $\a: L_1\to L_2$ platí $\a(\vec o_1) = \vec o_2$, kde $\vec o_1$ je nulový vektor lineárního prostoru~$L_1$ a $\vec o_2$ je nulový vektor lineárního prostoru~$L_2$. \dukaz %%%%%% Podle vlastnosti~(7) definice\cite[dlp] je $\vec o_1=0\,\vec x$, kde $\vec x\in L_1$. Podle vlastnosti~(2) definice\cite[linzob] je $\a(\vec o_1) = \a(0\,\vec x) = 0\,\a(\vec x) = \vec o_2$. \priklad %%%%%%%% Prozkoumáme linearitu zobrazení z příkladu\cite[pZ]. Zobrazení (1) není lineární, protože $\sin(\pi/2+\pi/2)=\sin(\pi)=0\not=\sin(\pi/2)+\sin(\pi/2)=2$. % Zobrazení~$\a_2$ je lineární, protože $(f+g)'=f'+g'$ a $(\alpha f)'=\alpha f$. % Zobrazení~$\a_3$ je lineární za předpokladu, že světlo dopadá na rovinu z nekonečně vzdáleného zdroje, tj. paprsky jsou rovnoběžné. Dále musí mít svůj stín (ze světla z protisměru) i vektory, které jsou \uv{schovány za rovinou}. Sčítání a násobení konstantou provádíme v tomto příkladě geometricky v~souladu s~příkladem\cite[lpvv]. Skutečně platí, že stín součtu je součet stínů a alfa násobek stínu je stín alfa násobku. Načrtněte si obrázek a najděte v něm odpovídající podobné trojúhelníky. Zobrazení~$\a_4$ je lineární: $\int (f(x)+g(x))\d x = \int f(x)\d x+\int g(x)\d x$ a $\int (\alpha f(x))\d x = \alpha \int f(x)\d x$. % Zobrazení~$\a_5$ je lineární, protože $(f+g)(i)=f(i)+g(i)$ a $(\alpha f)(i)=\alpha(f(i))$ pro všechna přirozená~$i$. Na prostoru $L_1$ v tomto případě sčítáme funkce, na prostoru $L_2$ sčítáme nekonečné posloupnosti. % Zobrazení~$\a_6$ je lineární, protože $(c_1,c_2\ldots) + (d_1,d_2\ldots) = (c_1+d_1,c_2+d_2\ldots{})$ a obraz této posloupnosti je roven součtu obrazů jednotlivých posloupností $(c_1,c_2\ldots)$ a $(d_1,d_2\ldots)$. Na $L_2$ sčítáme funkce. Také platí $\alpha(c_1,c_2\ldots)=(\alpha c_1,\alpha c_2,\ldots)$ a obraz této posloupnosti je $\alpha$-násobkem obrazu posloupnosti $(c_1,c_2\ldots)$. % Linearitu zobrazení $\c_B$, které každému vektoru přiřadí souřadnice, dokážeme v~tomto textu později. \priklad [R2toR3] %%%%%%%% Ověříme, zda je zobrazení $\a: \R^2\to\R^3$, definované vzorcem $$ \a(x_1,x_2) = (x_1+2x_2,\; -x_2,\; 2x_1-3x_2), $$ lineární. Poznamenejme, že jsme v uvedeném vzorci vynechali jednu kulatou závorku, jako se to obvykle u~zobrazení definovaných na $\R^n$ dělá, tj.~místo abychom psali $\a\bigl((x_1,x_2)\bigr)$, píšeme stručně $\a(x_1,x_2)$. Ověříme vlastnosti (1) a (2) z definice\cite[linzob]: $$ \eqalign{ \bod(1) \a\bigl((x_1,x_2) + (y_1, y_2)\bigr) = \a(x_1+y_1, x_2+y_2) = \cr &\qquad = \bigl(x_1+y_1+2(x_2+y_2), -(x_2+y_2), 2(x_1+y_1)-3(x_2+y_2)\bigr) = \cr &\qquad = (x_1+2x_2, -x_2, 2x_1-3x_2) + (y_1+2y_2, -y_2, 2y_1-3y_2) = \a(x_1, x_2) + \a(y_1, y_2), \cr \bod(2) \a\bigl(\alpha\,(x_1, x_2)\bigr) = \a(\alpha\,x_1, \alpha\,x_2) = (\alpha\,x_1+2\alpha\,x_2, -\alpha\,x_2, 2\alpha\,x_1-3\alpha\,x_2) = \cr &\qquad = \alpha\,(x_1+2x_2, -x_2, 2x_1-3x_2) = \alpha\,\a(x_1, x_2). } $$ \priklad %%%%%%%% Zobrazení $\a:\R^4\to\R^3$ definované předpisem $\a(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_2+x_3, x_3+3, 2x_1)$ není lineární, protože $\a(0,0,0,0) = (0,3,0)$ a to není nulový vektor v~$\R^3$. Podle věty\cite[zobnuly] musí každé lineární zobrazení zobrazit nulový vektor na nulový vektor. Pilnější čtenáři si zkusí ověřit, že $\a$ není lineární, přímo z~definice\cite[linzob]. % nebo z~principu superpozice\cite[principsupozice]. \poznamka %%%%%%%%% Podmínka věty\cite[zobnuly], že $\a(\vec o_1) = \vec o_2$, je nutná podmínka linearity zobrazení, ale není to podmínka postačující. Například $\sin(0)=0$, ale zobrazení $\sin:\R\to\R$ není lineární. \priklad %%%%%%%% Nechť $\R$ je lineární prostor z příkladu\cite[LPR] a $\R^+$ je lineární prostor z příkladu\cite[ObskurniLP]. Uvažujme zobrazení $\exp: \R\to\R^+$, které každému reálnému číslu $x$ přiřadí hodnotu $e^x$. Toto zobrazení je lineární. Skutečně: $$ \exp(x+y) = \exp x\cdot \exp y = (\exp x)\oplus (\exp y), \qquad \exp(\alpha x) = (\exp x)^\alpha = \alpha\odot(\exp x). $$ Vidíme, že linearita zobrazení závisí nejen na způsobu přiřazení hodnoty zobrazením, ale také na operacích $+$ a $\cdot$, které jsou definovány na jednotlivých lineárních prostorech $L_1$ a $L_2$. Zjevně zobrazení $\exp: \R\to\R$ lineární není, protože $\exp(0)=1$, tj. nulový prvek se nezobrazí na nulový prvek. \okraj Princip\hb superpozice | Princip superposice \veta (princip superpozice) [principsupozice] %%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou lineární prostory. Zobrazení $\a: L_1\to L_2$ je lineární právě tehdy, když pro všechna $\vec x\in L_1$, $\vec y\in L_1$, $\alpha\in\R$, $\beta\in\R$ platí $$ \a(\alpha\,\vec x + \beta\,\vec y) = \alpha\,\a(\vec x) + \beta\,\a(\vec y). \rce(superpozice) $$ \par\inl[princip: superpozice] \dukaz %%%%%% Nejprve předpokládejme, že pro zobrazení $\a: L_1\to L_2$ platí\cite(superpozice) pro všechna $\vec x, \vec y\in L_1$ a $\alpha, \beta \in \R$. Dokážeme, že $\a$ je lineární, tj.~že platí~(1) a~(2) z~definice\cite[linzob]. Pokud zvolíme $\alpha=\beta=1$, plyne z\cite(superpozice) vlastnost~(1) a pokud volíme $\beta=0$, plyne z\cite(superpozice) vlastnost~(2). Nechť nyní $\a: L_1\to L_2$ je lineární. Platí $$ \a(\alpha\,\vec x + \beta\,\vec y) \buildrel (1)\over = \a(\alpha\,\vec x) + \a(\beta\,\vec y) \buildrel (2)\over = \alpha\,\a(\vec x) + \beta\,\a(\vec y). $$ Nad rovnítky jsme uvedli, kterou vlastnost jsme zrovna použili. \poznamka %%%%%%%%% Opakovaným použitím principu superpozice (nebo formálně matematickou indukcí) lze snadno dokázat, že $\a:L_1\to L_2$ je lineární právě tehdy, když pro všechna $n\in\N$, $\vecc x_n\in L_1$, $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\in \R$ platí $$ \a(\lkvecc \alpha.x_n) = \alpha_1\,\a(\vec x_1) + \alpha_2\,\a(\vec x_2) + \cdots + \alpha_n\,\a(\vec x_n). \rce(superpozice2) $$ \okraj Zachování obalů | Zachovani obalu \veta [alob] %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ je lineární zobrazení, $M\subseteq L_1$. Pak $\a\bigl(\lob\bigr) = \bigl<\a(M)\bigr>$. \dukaz %%%%%% Nechť $\vec y\in\a\bigl(\lob\bigr)$. Pak existuje vektor $\vec x\in\lob$ takový, že $\a(\vec x) = \vec y$. Protože $\vec x\in\lob$, existuje podle definice lineárního obalu konečně mnoho $\vecc x_i\in M$ takových, že $\vec x$ je lineární kombinací těchto vektorů. Protože $\a$ je lineární, máme podle\cite(superpozice2) $$ \vec y = \a(\vec x) = \a(\lkvecc \alpha.x_n) = \alpha_1\,\a(\vec x_1) + \alpha_2\,\a(\vec x_2) + \cdots + \alpha_n\,\a(\vec x_n). $$ Z tohoto zápisu je patrné, že $\vec y\in\bigl<\a(M)\bigr>$. Nechť nyní obráceně $\vec y\in\bigl<\a(M)\bigr>$. Z definice lineárního obalu plyne, že existuje konečně mnoho $\vec y_i\in\a(M)$ takových, že $\vec y$ je lineární kombinací těchto vektorů. Pro každý vektor $\vec y_i$ existuje vektor $\vec x_i\in M$ takový, že $\a(\vec x_i) = \vec y_i$. Máme tedy $$ \vec y = \lkvecc\beta.y_m = \beta_1\,\a(\vec x_1) + \cdots + \beta_m\,\a(\vec x_m) = \a(\lkvecc \beta.x_m) = \a(\vec x). $$ Je tedy $\vec x \in \lob$ a protože $\vec y = \a(\vec x)$, je též $\vec y\in \a\bigl(\lob\bigr)$. \poznamka [poznalob] %%%%%%%%% Věta\cite[alob] má tento důsledek: Je-li $M\subseteq L_1$ lineární podprostor v $L_1$, pak $\a(M)$ je lineární podprostor v $L_2$. Stačí si uvědomit platnost věty\cite[lob=lpp]. Lineární zobrazení nám tedy převádí podprostory na podprostory. Speciálně $\a(L_1)$ je podprostor v $L_2$, který nazýváme {\em prostor obrazů}. \inl [prostor: obrazů] \okraj Jádro\hb zobrazení | Jadro zobrazeni \definice* [jadro] %%%%%%%%% Nechť $L_1$, $L_2$ jsou lineární prostory, $\vec o_2$ je nulový vektor v~lineárním prostoru $L_2$ a $\a: L_1\to L_2$ je lineární zobrazení. Množinu $$ \ker\a = \{\vec x\in L_1;\; \a(\vec x) = \vec o_2\}. $$ nazýváme % {\em nulovým prostorem lineárního zobrazení $\a$} nebo také {\em jádrem lineárního zobrazení $\a$}. \inl[jádro: zobrazení, KerA] \veta [jadroprst] %%%%% Jádro lineárního zobrazení $\a: L_1\to L_2$ tvoří lineární podprostor lineárního prostoru $L_1$ \dukaz Pro $\vec x, \vec y\in \ker\a$ a $\alpha\in\R$ platí: $$ \eqalign{ \a(\vec x) = \vec o_2, \quad \a(\vec x)=\vec o_2, &\hbox{ takže } \a(\vec x+\vec y) = \a(\vec x)+\a(\vec x) = \vec o_2+ \vec o_2 = \vec o_2, \hbox{ neboli } \vec x+\vec y\in\ker\a, \cr &\hbox{ dále } \a(\alpha\vec x) = \alpha\a(\vec x) = \alpha \vec o_2 = \vec o_2, \hbox{ takže také } \alpha\vec x \in \ker\a.} $$ \priklad [kerR2toR3] %%%%%%%% Najdeme jádro zobrazení $\a$ z příkladu\cite[R2toR3]. Podle definice\cite[jadro] je $$ \ker\a = \bigl\{(x_1,x_2);\;\a(x_1,x_2) = (0,0,0)\bigr\} = \bigl\{(x_1,x_2);\;(x_1+2x_2, -x_2, 2x_1-3x_2) = (0,0,0)\bigr\}. $$ Protože uspořádané trojice se rovnají, když se rovnají odpovídající složky, musí čísla $x_1$, $x_2$ splňovat soustavu lineárních rovnic $$ \eqalign { x_1+2x_2 &= 0\cr -x_2 &= 0\cr 2x_1-3x_2 &=0 } $$ ze které plyne, že $x_1=0$ a $x_2=0$. Takže $ \ker\a = \bigl\{(0,0)\bigr\}. $ \priklad %%%%%%%% Uvedeme si jádra lineárních zobrazení z příkladu\cite[pZ]. $\ker\a_2$ je roven množině všech funkcí, které jsou konstantní. Právě tyto funkce se totiž zobrazí pomocí derivace na nulovou funkci. $\ker\a_3$ je roven množině všech orientovaných úseček, které leží na přímce procházející počátkem, která je rovnoběžná s paprsky světla. Skutečně, tyto vektory mají nulový stín. $\ker\a_4$ obsahuje všechny funkce $f$, pro které je $\int_0^1 f(x)\d x =0$. $\ker\a_5$ obsahuje všechny funkce $f$, které mají nulovou hodnotu ve všech přirozených číslech. Hodnoty v ostatních reálných číslech mohou mít libovolné. $\ker\a_6=\{(0,0,0,\ldots)\}$. Tento prostor obsahuje jen nulový vektor lineárního prostoru nekonečných posloupností. Jediný vektor, který má nulové souřadnice, je nulový vektor (úsečka, která začíná i končí v bodě~$O$). Proto i zobrazení (7) má ve svém jádru jen nulový vektor. \okraj Defekt a hodnost\hb zobrazení | Defekt a hodnost zobrazeni \dolu4mm \obrazek .4+.05 7 obr3 { \p 25 80 {\a} \p 74 25 \vec o_1 \p 73 140 \vec o_2 \p 103 10 {\ker\a} \p 117 125 \a(L_1) \p 140 14 L_1 \p 142 128 L_2 } % \definice* [defhod] %%%%%%%%% {\em Defekt lineárního zobrazení} $\a: L_1\to L_2$ je definován, jako $\dim\ker\a$ a {\em hodnost lineárního zobrazení}~$\a$ je definována jako $\dim\a(L_1)$. Defekt $\a$ značíme $\defekt\a$ a hodnost~$\a$ značíme $\hod\a$. Je tedy \inl[defekt: zobrazení, hodnost: zobrazení, defA, hoda, hodnost] $$ \eqalign{ \defekt\a &= \dim\ker\a, \cr \hod \a &= \dim\a(L_1). } $$ \poznamka %%%%%%%%% Později ukážeme, že defekt zobrazení udává zhruba řečeno \uv{vzdálenost} zobrazení od ideálního prostého zobrazení. Jak moc je zobrazení $\a$ \uv{defektní} souvisí také s tím, kolik informace, které dovedeme v~prostoru $L_1$ rozlišit, se stává po aplikaci zobrazení $\a$ v prostoru $L_2$ nerozlišitelné. \ha 5 \priklad %%%%%%%% Podíváme se na defekty a hodnosti lineárních zobrazení z příkladu\cite[pZ]. $\defekt\a_2=\dim\ker\a_2= \dim\{c\cdot 1;\, c\in\R\} = \dim\lob<1>= 1$. Protože $\a_2(L_1)$ obsahuje jistě (kromě dalších funkcí) všechny polynomy, má tento prostor nekonečnou dimenzi, tedy $\hod\a_2=\infty$. $\defekt\a_3=\dim\ker\a_3= \dim\{\vec u;\,\vec u \hbox{ leží na společné přímce}\} = 1$. Protože $\a_3(U_O)$ obsahuje množinu všech vektorů, které leží v~rovině, kam se promítají stíny, je dimenze tohoto prostoru~2, neboli $\hod\a_3=2$. Zobrazení $\a_3$ se například používá v~počítačové grafice, když je třeba 3D scénu zobrazit na stínítko monitoru. Rovnost $\defekt\a_3=1$ říká, že tímto zobrazením ztrácíme informace z~jedné dimenze. $\defekt\a_4=\infty$, protože $\ker\a_4$ obsahuje například funkce $(x-1/2), (x-1/2)^3, (x-1/2)^5, \ldots$ a těch je nekonečně mnoho a jsou lineárně nezávislé. Protože dále $\a_4(L_1) = \R$, je $\hod\a_4=1$. $\defekt\a_5=\infty$, protože $\ker\a_5$ obsahuje také funkce, které jsou rovny polynomům až na to, že na přirozených číslech jsou rovny nule. Tyto funkce jsou sice nespojité, ale $L_1$ obsahuje všechny funkce, tedy i nespojité funkce. $\hod\a_5=\infty$, protože množina $\a(L_1)$ obsahuje všechny nekonečné posloupnosti, jmenovitě tedy $(1,0,0,\ldots), (0,1,0,\dots), \ldots$ a ty jsou lineárně nezávislé a je jich nekonečně mnoho. $\defekt\a_6=0$, protože $\ker\a_6=\{\vec o_1\}$. $\hod\a_6=\infty$, protože například obrazy následujících posloupností $(1,0,0,\ldots), (0,1,0,\dots), \ldots$ jsou lineárně nezávislé. $\defekt\c_B=\dim\{\vec o_1\}=0$, $\hod\c_B=\dim\R^3=3$. \priklad %%%%%%%% Zobrazení $\a:\R^2\to\R^3$, $\a(x_1,x_2) = (x_1+2x_2, -x_2, 2x_1-3x_2)$ z příkladu\cite[R2toR3] má defekt roven nule. V~příkladu\cite[kerR2toR3] jsme totiž ukázali, že $\ker\a=\{\vec o_1\}$. Spočítáme ještě $\hod\a$: $$ \hod\a = \dim\a(L_1) = \dim\a(\lob<(1,0),(0,1)>) = \dim\lob<\a(1,0),\a(0,1)> = \dim\lob<(1,0,2),(2,-1,-3)> = 2. $$ \veta* [def+hod] %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ je lineární zobrazení. Pak $\defekt\a+\hod\a=\dim L_1$ \exdukaz Nechť nejprve jsou $\defekt\a$ i $\hod\a$ konečné. Označme $\vecc b_k$ bázi lineárního podprostoru $\ker\a$ a $\vecc c_m$ bázi lineárního podprostoru $\a(L_1)$. Ke každému vektoru $\vec c_i$ existuje vektor $\vec c'_i\in L_1$ takový, že $\a(\vec c'_i)=\vec c_i$. K~jednomu vektoru $\vec c_i$ může existovat více vektorů $\vec c'_i$ uvedené vlastnosti, v takovém případě je jedno, který vybereme. Dokážeme, že $\{\vecc b_k, \vecc c'_m\}$ tvoří bázi lineárního prostoru~$L_1$. Dokazovaný vzorec pak plyne z toho, že $\dim L_1$ je rovna počtu prvků báze, tedy $\dim L_1=k+m$, přitom $\defekt\a=k$ a $\hod\a=m$. Proč je množina $\{\vecc b_k, \vecc c'_m\}$ lineárně nezávislá? $$ \eqalign{ \vec o_1 =& \lkvecc \alpha.b_k + \lkvecc \beta.c'_k, \cr \hbox{takže:}\quad \vec o_2 =& \a(\vec o_1) = \a(\lkvecc \alpha.b_k + \lkvecc \beta.c'_k,) =\cr {}=& \a(\lkvecc \alpha.b_k) + \beta_1\a(\vec c'_1) + \beta_2\a(\vec c'_2) + \cdots \beta_m\a(\vec c'_m) =\cr {}=& \beta_1\a(\vec c'_1) + \beta_2\a(\vec c'_2) + \cdots \beta_m\a(\vec c'_m) = \lkvecc \beta.c_m. } $$ Využili jsme vztahu $\a(\lkvecc \alpha.b_k)=\vec o_2$, který je důsledkem faktu, že tato lineární kombinace leží v~$\ker\a$. Protože $\{\vecc c_m\}$ je báze, je lineárně nezávislá, takže $\beta_i=0$ pro všechny $i\in\{1,2,\ldots,m\}$ (pouze triviální lineární kombinace báze je rovna nulovému vektoru). Dosazením tohoto poznatku do původního vztahu máme $\vec o_1= \lkvecc \alpha.b_k$. Protože $\{\vecc b_k\}$ je báze, musí $\alpha_i=0$ pro všechny $i\in\{1,2,\ldots,k\}$. Takže pouze triviální lineární kombinace množiny vektorů $\{\vecc b_k, \vecc c'_m\}$ je rovna nulovému vektoru, je tedy tato množina lineárně nezávislá. Proč je $\lob<\vecc b_k, \vecc c'_m>=L_1$? Je třeba ukázat, že každý vektor $\vec x$ lze zapsat jako lineární kombinaci vektorů z $\{\vecc b_k, \vecc c'_m\}$. Existují koeficienty $\beta_i$ tak, že $$ \a(\vec x) = \lkvecc \beta.c_m, $$ protože $\{\vecc c_m\}$ je báze $\a(L_2)$. Dále platí $$ \a(\vec x-\lkvecc\beta.c'_m) = \a(\vec x) - (\lkvecc \beta.c_m) = \a(\vec x) - \a(\vec x) = \vec o_2, $$ takže vektor $\vec x-\lkvecc\beta.c'_m$ leží v $\ker\a$ a lze jej vyjádřit jako lineární kombinaci báze lineárního podprostoru $\ker\a$. Je tedy $$ \vec x-\lkvecc\beta.c'_m = \lkvecc\alpha.b_k $$ a po přičtení $\lkvecc\beta.c'_m$ k oběma stranám rovnosti máme $\vec x$ vyjádřený jako lineární kombinaci vektorů $\vecc b_k, \vecc c'_m$. Je-li $\defekt\a=\infty$, musí být též $\dim\L_1=\infty$, protože $\ker\a$ má nekonečnou dimezi a je podprostorem~lineárního prostoru~$L_1$. % Nechť konečně $\hod\a=\infty$. Pro spor předpokládejme, že $\dim L_1$ je konečná. Nechť $\{\vecc b_k\}$ je báze $L_1$. Platí $\a(L_1)=\a(\lob<\vecc b_k>)=\lob<\a(\vec b_1), \a(\vec b_2), \ldots \a(\vec b_k)>$. Podle věty\cite[steinitz2] tento obal nemůže obsahovat lineárně nezávislou množinu s větším počtem prvků než~$k$, což je spor s tím, že $\hod\a=\infty$. \priklad %%%%%%%% Povšimneme si, že věta $\defekt\a+\hod\a=\dim L_1$ \uv{funguje} ve všech příkladech lineárních zobrazení uvedených v~příkladu\cite[pZ]. (2):~$1+\infty=\infty$, (3):~$1+2=3$, (4):~$\infty+1=\infty$, (5):~$\infty+\infty=\infty$, (6):~$0+\infty=\infty$, (7)~$0+3=3$. % Zobrazení z příkladu\cite[R2toR3] rovněž splňuje $0+2=2$. \veta [defA=proste] %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ je lineární zobrazení. Pak $\defekt\a=0$ právě tehdy, když $\a$ je prosté. \dukaz Nechť $\defekt\a=0$ a $\vec x,\vec y\in L_1$, $\vec x\not=\vec y$. Pro spor předpokládejme, že $\a(\vec x)=\a(\vec y)$, takže $\a(\vec x)-\a(\vec y)=\vec o_2$, takže $\a(\vec x-\vec y)=\vec o_2$. To znamená, že $\vec x-\vec y\in\ker\a$, ale podle předpokladu víme, že $\vec x-\vec y\not=\vec o_1$ a současně $\ker\a=\{\vec o_1\}$. Spor. Nechť nyní $\a$ je prosté. Víme, $\a(\vec o_1)=\a(\vec o_2)$. Protože je $\a$ prosté, je $\vec o_1$ jediný vektor, který se zobrazí na $\vec o_2$, takže $\ker\a=\{\vec o_1\}$. \okraj Zobrazení lineárně (ne)závislých vektorů | Zobrazeni linearne (ne)zavislych vektoru \veta %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ je lineární zobrazení, $M\subseteq L_1$ je lineárně závislá množina v $L_1$. Pak je $\a(M)$ lineárně závislá množina v $L_2$. \dukaz %%%%%% Je-li $M$ lineárně závislá, pak konečná pomnožina $\{\vecc x_k\}\subseteq M$ je lineárně závislá. Takže platí $$ \alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \cdots + \alpha_n\vec x_n = \vec o_1, $$ přičemž aspoň jedno $\alpha_i$ je nenulové. Zobrazením obou stran rovnice a z principu superpozice dostáváme: $$ \a(\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \cdots + \alpha_n\vec x_n) = \alpha_1\a(\vec x_1) + \alpha_2\a(\vec x_2) + \cdots + \alpha_n\a(\vec x_n) = \vec o_2, $$ přitom stále jedno $\alpha_i$ je nenulové. Takže vektory $\{\a(\vec x_1), \a(\vec x_2), \ldots, \a(\vec x_n)\}\subseteq \a(M)$ jsou lineárně závislé, takže i $\a(M)$ je lineárně závislá množina. \poznamka %%%%%%%%% Lineární zobrazení nemusí lineárně nezávislou množinu $N$ zobrazit na množinu lineárně nezávislou. Například nenulová konstantní funkce se zobrazí při použití zobrazení $\a_2$ z příkladu\cite[pZ] (derivace) na nulovou funkci, tedy na nulový vektor v $L_2$, který je lineárně závislý. Vzorem byla ale nenulová funkce, tedy lineárně nezávislý vektor. V předchozím textu jsme ukázali, že všechny ostatní \uv{vlastnosti linearity} (lineární podprostor, lineární obal, lineární závislost) se při lineárním zobrazení nemění. V jakém případě se nemění lineární nezávislost ukazuje následující věta. \veta [zobN] %%%%% Lineární zobrazení $\a$ zobrazuje lineárně nezávislé množiny vzorů na lineárně nezávislé množiny obrazů právě tehdy, když $\a$ je prosté zobrazení. \dukaz Nechť nejprve $\a(N)$ je lineárně nezávislá pro všechny lineárně nezávislé množiny $N$. Dokážeme, že $\a$ je prosté zobrazení. Volme vektory $\vec x,\vec y\in L_1$, $\vec x\not=\vec y$. Potřebujeme dokázat $\a(\vec x)\not=\a(\vec y)$. Zvolme $N=\{\vec x-\vec y\}$, tj. $N$ je nezávislá. Pak $\a(N)=\{\a(\vec x-\vec y)\}$ je podle předpokladu lineárně nezávislá, tedy $\a(\vec x-\vec y)\not=\vec o_2$. Z linearity zobrazení je $\vec o_2\not=\a(\vec x-\vec y)=\a(\vec x)-\a(\vec y)$, neboli $\a(\vec x)\not=\a(\vec y)$. Obráceně, předpokládejme, že $\a$ je prosté a $N$ je lineárně nezávislá množina. Pro spor budeme předpokládat, že $\a(N)$ je lineárně závislá. Pak musí existovat konečně mnoho $\{\vecc x_k\}\subseteq N$, pro které lze najít nenulové $\alpha_i$ tak, že $$ \alpha_1\a(\vec x_1) + \alpha_2\a(\vec x_2) + \ldots + \alpha_n\a(\vec x_n) = \vec o_2 $$ Podle principu superpozice je $$ \alpha_1\a(\vec x_1) + \alpha_2\a(\vec x_2) + \ldots + \alpha_n\a(\vec x_n) = \a(\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \ldots + \alpha_n\vec x_n) = \vec o_2 $$ takže $\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \ldots + \alpha_n\vec x_n\in \ker\a$. Protože je $\a$ prosté, je podle věty\cite[defA=proste] $\ker\a=\{\vec o_1\}$. Takže $\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \ldots + \alpha_n\vec x_n=\vec o_1$. Připomeňme, že $\{\vecc x_k\}$ je podmnožinou $N$, takže tyto vektory jsou podle věty\cite[lnmnoz] lineárně nezávislé. Dále připomeňme, že ve vztahu $\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \ldots + \alpha_n\vec x_n=\vec o_1$ existuje nenulové~$\alpha_i$. Dostáváme spor. \okraj Souřadnice jako lineární zobrazení | Souradnice jako linearni zobrazeni \poznamka* %%%%%%%%% Předchozí věty nám zaručují, že zobrazení, které je lineární a prosté, zobrazí vešekré \uv{lineární skutečnosti}, které můžeme zkoumat v lineárním prostoru $L_1$ (závislost, nezávislost, podprostory, lineární obaly, báze, dimenze), bez ztráty informace do lineárního prostoru $L_2$. Pokud je lineární prostor $L_2$ volen tak, že se tam tyto skutečnosti pohodlněji zkoumají, stojí za to převést pomocí \uv{vhodného lineárního zobrazení} problém z $L_1$ do $L_2$ a tam jej podrobit zkoumání. Takovým vhodným lineárním zobrazením je zobrazení, které vektorům přiřazuje souřadnice. To říká následující věta. \veta* [sour-lin] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor, $\dim L=n$ a nechť $(B)$ je uspořádaná báze prostoru $L$. Pak je zobrazení $\c_B: L\to \R^n$, které každému vektoru $\vec x\in L$ přiřadí jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi $(B)$, zobrazením lineárním, prostým a na $\R^n$. \dukaz Věta\cite[jednsouradnice] říká, že každému vektoru $\vec x$ lze jednoznačně přiřadit uspořádanou $n$-tici souřadnic vzhledem k uspořádané bázi $(B)$, takže $\c_B$ je zobrazení z $L$ do $\R^n$. Proč je linární? Nechť $\c_B(\vec x) = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$, $\c_B(\vec y) = (\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$. Pro větší názornost operace v $L$ budeme značit $\oplus$, $\odot$, zatímco operace v $\R^n$ definované v příkladu\cite[LPRn] stejně jako běžné operace v $\R$ označíme $+$ a~$\cdot$. Nechť $(B)=(\vecc b_n)$. Pro vektory vektory $\vec x$ a $\vec y$ platí $$ \vec x = \alpha_1\odot \vec b_1 \oplus \alpha_2\odot \vec b_2 \oplus \cdots \oplus \alpha_n\odot \vec b_n, \qquad \vec y = \beta_1\odot \vec b_1 \oplus \beta_2\odot \vec b_2 \oplus \cdots \oplus \beta_n\odot \vec b_n. $$ Po sečtení těchto rovností a po vynásobení první rovnosti číslem $\gamma\in\R$ dostáváme $$ \eqalign{ \vec x\oplus \vec y &= (\alpha_1+\beta_1)\odot\vec b_1 \oplus (\alpha_2+\beta_2)\odot\vec b_2 \oplus \cdots \oplus (\alpha_n+\beta_n)\odot\vec b_n, \cr \gamma\odot\vec x &= (\gamma\cdot\alpha_1)\odot\vec b_1 \oplus (\gamma\cdot\alpha_2)\odot\vec b_2 \oplus \cdots \oplus (\gamma\cdot\alpha_n)\odot\vec b_n. } $$ Protože souřadnice vektoru vzhledem k bázi jsou určeny jednoznačně, z~uvedených rovností plyne, že $\c_B(\vec x \oplus \vec y) = \c_B(\vec x) + \c_B(\vec y)$, $\c_B(\gamma\odot\vec x) = \gamma\cdot\c_B(\vec x)$. Zobrazení $\c_B$ je tedy lineární. Hledejme nyní $\ker\c_B$. Protože $\vec o=0\cdot\vec b_1\oplus 0\cdot\vec b_2\oplus\cdots\oplus 0\cdot\vec b_n$ a nenulovému vektoru se triviální lineární kombinace rovnat nemůže, je $\ker\c_B=\{\vec o\}$, neboli $\defekt\c_B=0$. Z věty\cite[defA=proste] plyne, že $\c_B$ je prosté zobrazení. Protože ke každému prvku $\vec a\in\R^n$, $\vec a = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ existuje $\vec x\in L$, pro který $\c_B(\vec x) = \vec a$ (stačí volit $\vec x = \alpha_1\odot \vec b_1 \oplus \alpha_2\odot \vec b_2 \oplus \cdots \oplus \alpha_n\odot \vec b_n$), je $\c_B(L)=\R^n$. Zobrazení $\c_B$ je tedy zobrazením z~$L$ \uv{na}~$\R^n$. Je $\hod\c_B = \dim\R^n = n$. \okraj Izomorfismus | Isomorfismus \definice* [defiso] %%%%%%%%% Lineární zobrazení $\a: L_1\to L_2$, které je prosté a na $L_2$ se nazývá {\em izomorfismus}. Existuje-li izomorfismus $\a: L_1\to L_2$, říkáme, že prostory $L_1$, $L_2$ {\em jsou izomorfní}, nebo že $L_1$ {\em je izomorfní} s~$L_2$, resp. $L_2$ {\em je izomorfní} s~$L_1$. \poznamka %%%%%%%%% Je zřejmé, že zobrazení $\a:L_1\to L_2$, které je prosté a na $L_2$, má tu vlastnost, že každému $\vec y\in L_2$ lze jednoznačně najít $\vec x\in L_1$ tak, že $\a(\vec x) = \vec y$. Skutečně, pro daný obraz $\vec y\in L_2$ lze vzor $\vec x\in L_1$ najít, protože $\a$ je \uv{na} $L_2$. Přiřazení je jednoznačné, protože $\a$ je prosté. Toto \uv{zpětné zobrazení} z $L_2$ do $L_1$ se nazývá {\em zobrazení inverzní} k zobrazení $\a$ a značíme je $\a^{-1}$. Později v této kapitole tento pojem zavedeme přesněji a ukážeme, že inverzní zobrazení k lineárnímu zobrazení je rovněž zobrazení lineární. Takže inverzní zobrazení k izomorfismu existuje a je rovněž izomorfizmus. To je důvod, proč v~definici\cite[defiso] izomorfních prostorů se nerozlišuje mezi tvrzeními \uv{$L_1$ je izomorfní s $L_2$} a \uv{$L_2$ je izomorfní s~$L_1$}. \veta* [isoRn] %%%%% Každý lineární prostor $L$, pro který je $\dim L=n$, je izomorfní s~lineárním prostorem~$\R^n$. \dukaz Hledaným izomorfismem jsou například souřadnice vzhledem k bázi, viz větu\cite[sour-lin]. \poznamka %%%%%%%%% Předchozí věta má v lineární algebře zásadní význam. Potřebujeme-li zkoumat \uv{vlastnosti linearity} na libovolném lineárním prostoru konečné dimenze, stačí nám pomocí izomorfizmu souřadnic zkoumat tyto vlastnosti v lineárním prostoru $\R^n$. V tomto lineárním prostoru sčítáme a násobíme konstantou po složkách, tedy pracujeme s~reálnými čísly. Algoritmy, které řeší \uv{otázky linearity} v $\R^n$ jsou tedy založeny na numerických výpočtech. Složky vektorů z $\R^n$ budeme v rámci těchto algorimů často zapisovat do řádků pod sebe, čímž vznikají tabulky čísel, kterým říkáme {\em matice}. V následujících kapitolách zaměříme tedy pozornost na lineární prostor $\R^n$ a naučíme se pracovat s maticemi. \dolu 3mm \obrazek .5+.07 12 obr2 { \p 120 -5 O \p 95 -10 \vec b_2 \p 78 -6 1 \p 45 -6 2 \p 10 -6 3 \p 120 18 \vec b_1 \p 120 34 1 \p 120 68 2 \p 120 102 3 \p 120 136 4 \p 120 170 5 \p 120 204 6 \p 60 18 \vec u \p 88 100 \vec v \p 37 120 \vec u+\vec v } % \priklad [U0isoR2] %%%%%%%% Nechť $P$ je lineární podprostor lineárního prostoru $U_O$ orientovaných úseček, které všechny leží v rovině papíru tohoto textu (nebo v rovině stínítka obrazovky, pokud to nějaký nešťastník čte z obrazovky počítače) a všechny začínají v bodě $O$ na obrázku. V~$P$ jsou dány dva vektory $\vec u$ a $\vec v$ (viz stejný obrázek). Kdybychom chtěli tyto vektory například sečíst v lineárním podprostoru $P$, musíme použít pravítko a kružítko, neboť sčítání je v tomto linárním prostoru definováno geometricky (viz příklad\cite[lpvv]). Můžeme ale problém \uv{sečtení těchto dvou vektorů} přenést pomocí izomorfismu souřadnic do lineárního prostoru~$\R^2$. Volbu báze a nalezení souřadnic vidíme na obrázku. Souřadnice vektoru $\vec u$ vzhledem k~bázi $(\vec b_1,\vec b_2)$ jsou rovny $(1,2)$ a souřadnice vektoru $\vec v$ vzhledem ke stejné bázi jsou $(5,1)$. V lineárním prostoru $\R^2$ můžeme provést součet: $(1,2)+(5,1)=(6,3)$. Tento výpočet jsme provedli {\it numericky}. Konečně je možné výsledek v $\R^2$ převést zpět do původního lineárního podprostoru $P$ pomocí inverzního izomorfismu. V lineárním podprostoru $P$ pak výsledek narýsujeme. {\hbadness=2000\emergencystretch=2em\par} Nebo se můžeme ptát, zda vektory $\vec u$ a $\vec v$ jsou lineárně nezávislé v $U_O$. To zjistíme \uv{pohledem na ně}, že totiž neleží ve společné přímce. Vektory $\vec u$ a $\vec v$ jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když jsou lineárně nezávislé jejich souřadnice v $\R^2$. To zaručuje izomorfismus souřadnic. Souřadnice těchto vektorů můžeme zapsat do řádků matice: $$ \A=\pmatrix{2&1\cr1&5} $$ Ukážeme v následujících kapitolách, že lineární nezávislost řádků takové matice lze ověřit výpočtem determinantu matice $\A$ a ověřením, že je tento determinant nenulový. V $\R^n$ tedy jsme schopni otázky linearity zkoumat numericky (pomocí algorimtů založených na počítání s čísly). Tento {\it numerický výpočet\/} pak odpoví díky izomorfismu souřadnic i na {\it geometrickou otázku}, zda třeba vektory leží či neleží v~jedné přímce. \poznamka %%%%%%%%% Isomorfizmus souřadnic nám umožňuje si každý vektor lineárního prostoru konečné dimenze představit jako uspořádanou $n$-tici, třebaže ten vektor ve skutečnosti je popsán jinak. Třeba v~případě geometrického prostoru dimenze~3 orientovaných úseček můžeme při představě vektoru myšlenkově \uv{přepínat} mezi orientovanou úsečkou a uspořádanou trojicí podle potřeby. Nebo zkoumání lineární závislosti a nezávislosti polynomů nejvýše $n$-tého stupně můžeme převést na zkoumání závislosti či nezávislosti uspořádaných $(n+1)$-tic jeho koeficientů. Zobrazení, které polynomu přiřadí souřadnice vzhledem k uspořádané bázi $(1,x,x^2,\ldots,x^n)$, je totiž izomorfismus. \okraj Složené\hb zobrazení | Slozene zobrazeni \poznamka %%%%%%%%% V závěru této kapitoly zavedeme složené zobrazení, inverzní zobrazení a uvedeme jejich vlastnosti. K lineárním zobrazením se pak vrátíme ještě v kapitole\kcite\ktere[linzob2], kde odhalíme mnoho dalších vlastností zejména v souvislosti s tím, že mezi zobrazeními lineárních prostorů konečné dimenze a maticemi čísel je úzká souvislost. \definice [slozzob] %%%%%%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ a $\b:L_2\to L_3$ jsou zobrazení. Symbolem $\b\circ\a:L_1\to L_3$ označujeme {\em složené zobrazení}, které je definováno předpisem $(\b\circ\a)(\vec x) = \b\bigl(\a(\vec x)\bigr)$, $\forall \vec x\in L_1$. \inl[složené: zobrazení, skládání: zobrazení, 0circ] \dolu 5mm \obrazek .4+.04 8 obr4 { \p 33 48 {\a} \p 35 124 {\b} \p -4 90 {\b\circ\a} \p 50 14 L_1 \p 50 84 L_2 \p 50 157 L_3 } % \poznamka %%%%%%%%% Symbol $\circ$ pro skládání zobrazení čteme \uv{zprava doleva}. To znamená, že ve složeném zobrazení $\b\circ\a$ zpracuje vstupní hodnotu $\vec x$ nejprve zobrazení $\a$ a vytvoří \uv{mezivýsledek} $\a(x)$, který je dále zpracován zobrazením $\b$. Důvod tohoto \uv{arabského čtení} vyplývá ze skutečnosti, že vstupní hodnotu~$\vec x$ klademe do závorky {\it vpravo\/} od symbolu zobrazení, takže $(\b\circ\a)(\vec x) = \b\bigl(\a(\vec x)\bigr)$. Je třeba také upozornit na to, že literatura v tomto značení není jednotná. \veta [slozlin] %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ a $\b:L_2\to L_3$ jsou lineární zobrazení. Pak je lineární též složené zobrazení $(\b\circ\a):L_1\to L_3$. \dukaz %%%%%% Nechť $\vec x\in L_1$, $\vec y\in L_1$, $\alpha\in\R$. $$\eqalign{ (\b\circ\a)(\vec x+\vec y) &= \b\bigl(\a(\vec x+\vec y)\bigr) = \b\bigl(\a(\vec x)+\a(\vec y)\bigr) = \b\bigl(\a(\vec x)\bigr) + \b\bigl(\a(\vec y)\bigr) = (\b\circ\a)(\vec x) + (\b\circ\a)(\vec y) \cr (\b\circ\a)(\alpha\,\vec x) &= \b\bigl(\a(\alpha\,\vec x)\bigr) = \b\bigl(\alpha\,\a(\vec x)\bigr) = \alpha\,\b\bigl(\a(\vec x)\bigr) = \alpha\,(\b\circ\a)(\vec x). } $$ \okraj Inverzní\hb zobrazení | Inversni zobrazeni \definice [Izob] %%%%%%%%% {\em Identické zobrazení} je zobrazení $\i:L\to L$, které je definováno předpisem $\i(\vec x) = \vec x$. Stručně nazýváme zobrazení $\i$ {\em identitou}. Nechť $\a:L_1\to L_2$ je prosté zobrazení. Pak definujeme {\em inverzní zobrazení} $\a^{-1}:\a(L_1)\to L_1$ jako takové zobrazení, které splňuje $\a^{-1}\circ\a=\i$, kde $\i:L_1\to L_1$ je identita. \inl[zobrazení: identické, identické: zobrazení, identita] \inl[zobrazení: inverzní, inverzní: zobrazení] \veta [exIzob] %%%%% Je-li $\a:L_1\to L_2$ prosté, pak existuje právě jedno inverzní zobrazení $\a^{-1}:\a(L_1)\to L_1$. \dukaz %%%%%% Pro každý prvek $\vec y\in\a(L_1)$ existuje právě jeden prvek $\vec x\in L_1$ takový, že $\a(\vec x) = \vec y$. To plyne přímo z~definice\cite[proste] prostého zobrazení. Definujeme $\a^{-1}(\vec y) = \vec x$. Vidíme, že $\a^{-1}\circ\a$ je identita. \veta [invjelin] %%%%% Je-li $L$ lineární prostor, pak identita $\i:L\to L$ je lineární. Je-li $\a:L_1\to L_2$ lineární a prosté zobrazení, pak též $\a^{-1}:\a(L_1)\to L_1$ je lineární. \dukaz %%%%%% Identita je zcela zřejmě lineární. Ověříme linearitu zobrazení $\a^{-1}$. Počítejme $\a^{-1}(\vec x+\vec y)$ pro $\vec x\in\a(L_1)$, $\vec y\in\a(L_1)$. Podle poznámky\cite[poznalob] je $\a(L_1)$ lineární podprostor, takže $\vec x + \vec y\in \a(L_1)$. Protože $\a$ je prosté, existuje právě jeden vektor $\vec a\in L_1$ a právě jeden vektor $\vec b\in L_1$ tak, že $\a(\vec a) = \vec x$, $\a(\vec b) = \vec y$. Platí tedy $\a^{-1}(\vec x) = \vec a$, $\a^{-1}(\vec y) = \vec b$. Protože $\a$ je lineární, je $\a(\vec a + \vec b) = \vec x + \vec y$, neboli $$ \a^{-1}(\vec x + \vec y) = \vec a + \vec b = \a^{-1}(\vec x) + \a^{-1}(\vec y). $$ Protože $\a$ je lineární, platí pro $\alpha\in\R$, že $\a(\alpha\,\vec a) = \alpha\,\vec x$, neboli $ \a^{-1}(\alpha\,\vec x) = \alpha\,\vec a = \alpha\,\a^{-1}(\vec x). $ \veta [inversena] %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ je izomorfismus. Pak je inverzní zobrazení $\a^{-1}:L_2\to L_1$ rovněž izomorfismus. \dukaz Izomorfismus je zobrazení, které je lineární, prosté a \uv{na}. Že je $\a^{-1}$ definováno na celém $L_2$ plyne z toho, že $\a$ je \uv{na}~$L_2$, neboli $\a(L_1)=L_2$. Že je $\a^{-1}$ lineární plyne z věty\cite[invjelin]. Že je $\a^{-1}$ prosté plyne z toho, že je $\a$ zobrazení. Dvěma různým prvkům $\vec x\in L_2$, $\vec y\in L_2$ musejí odpovídat různé prvky $\vec a\in L_1$ a $\vec b\in L_1$ takové, že $\a(\vec a) = \vec x$, $\a(\vec b) = \vec y$. Kdyby mělo platit $\vec a = \vec b$, okamžitě vidíme, že zobrazení $\a$ nemůže splňovat $\a(\vec a) = \vec x\not=\vec y = \a(\vec b) = \a(\vec a)$. Ukážeme, že $\a^{-1}$ je~\uv{na}~$L_1$. Každý prvek $\vec a\in L_1$ je zobrazením $\a$ převeden na nějaký prvek $\a(\vec a) = \vec x\in L_2$. Jinými slovy neexistuje prvek $\vec a\in L_1$, který by neměl svůj protějšek $\a(\vec a) = \vec x\in L_2$. \veta* [sloziso] %%%%% Složení dvou izomorfismů je izomorfismus. \dukaz Uvažujme izomorfismy $\a: L_1\to L_2$, $\b: L_2\to L_3$. Dokážeme, že $\b\circ\a$ je izomorfismus. $\b\circ\a$ je lineární díky větě\cite[slozlin]. $\b\circ\a$ je prosté, protože $\a$ je prosté i $\b$ je prosté. Konečně $\b\circ\a$ je \uv{na}~$L_3$, protože $\b\bigl(\a(L_1)\bigr)=\b(L_2)=L_3$. \veta* [isoLL] %%%%% Každé dva lineární prostory stejné konečné dimenze jsou vzájemně izomorfní. \dukaz Nechť $L_1, L_2$ jsou lineární prostory, $\dim L_1=\dim L_2=n$. Pak existují podle věty\cite[isoRn] izomorfismy $\a: L_1\to \R^n$ a $\b: L_2\to \R^n$. Podle věty\cite[inversena] je $\b^{-1}: \R^n\to L_2$ izomorfismus. Nakonec věta\cite[sloziso] říká, že $\b^{-1}\circ\a: L_1 \to L_2$ je izomorfismus. \poznamka %%%%%%%%% Poslední věta zhruba říká, že je zbytečné při studiu vlastností lineárních prostorů konečné dimenze mezi nimi rozlišovat. Například polynomy nejvýše druhého stupně se chovají z hlediska \uv{vlastností linearity} stejně jako orientovné úsečky se společným počátkem a ty se chovají stejně jako uspořádané trojice reálných čísel. % Pro lineární prostory nekonečné dimenze analogická věta neplatí. \shrnuti %%%%%%%% Zobrazení je lineární, pokud zobrazí součet vzorů na součet obrazů a alfanásobek vzoru na alfanásobek obrazu\lcite[linzob], tedy pokud zobrazení \uv{respektuje} součet a násobek. Tato vlastnost je ekvivalentní s principem superpozice, tj. lineární kombinace vzorů se zobrazí na lineární kombinaci obrazů se stejnými koeficienty\lcite[principsupozice]. Z té okamžitě plyne, že lineární obaly (neboli podprostory) vzorů se přenesou na lineární obaly (neboli podprostory) obrazů\lcite[alob]. Množinu všech vzorů, které se zobrazí na nulový vektor ve výstupním lineárním prostoru, označujeme symbolem $\ker$ a jedná se o~podprostor vstupního lineárního prostoru\lcite[jadro]. Dimenzi tohoto podprostoru říkáme defekt\lcite[defhod]. Hodnost zobrazení je dimenze podprostoru všech obrazů. Součet defektu a hodnosti je roven dimezi vstupního lineárního prostoru\lcite[def+hod]. Lineární zobrazení je prosté\lcite[proste] právě tehdy, když má nulový defekt\lcite[defA=proste] což platí právě tehdy, když jsou všechny lineárně nezávislé množiny zobrazeny na lineárně nezávislé množiny\lcite[zobN]. Lineární zobrazení které je prosté, tedy zachová všechny lineární vztahy mezi vzory i v postoru obrazů (závislost, nezávislost, báze, dimenze, podprostory, obaly). Je-li takové zobrazení navíc \uv{na} prostor $L_2$, říkáme mu izomorfismus\lcite[defiso]. Souřadnice vzhledem ke konečné uspořádané bázi zobrazují libovolný vektor na uspořádanou $n$-tici v~$\R^n$ a je to izomorfismus\lcite[sour-lin]. Díky tomu jsou všechny lineární prostory dimenze $n$ izomorfní s~$\R^n$\lcite[isoRn] a jsou izomorfní i sobě navzájem\lcite[isoLL]. Při studiu linárních skutečností, které jsou důsledky axiomů linearity v~definici\cite[dlp], není tedy třeba rozlišovat mezi jednotlivými lineárními prostory stejné dimenze. Často se pomocí izomofismu souřadnic \uv{přepneme} do $\R^n$ a tam lineární problém řešíme numericky. K~tomu budeme potřebovat umět dobře počítat s maticemi, a proto se této problematice věnují následující kapitoly. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Matice | Matice %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% S~pojmem matice jsme se už seznámili v~úvodu do Gaussovy eliminační metody. Nyní si definujeme pojem matice přesněji. \okraj Definice\hb matice | Definice matice \definice [defmatice] %%%%%%%%% {\em Matice typu $(m,n)$} je tabulka reálných (nebo komplexních) čísel s~$m$ řádky a $n$ sloupci. Číslo $a_{i,j}$ z $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce této tabulky nazýváme {\em $(i,j)$-tý prvek} matice. Množinu všech matic typu $(m,n)$ značíme $\R^{m,n}$, pokud má reálné prvky, a $\C^{m,n}$, pokud má komplexní prvky. Matici $\A\in\R^{m,n}$ (nebo $\A\in\C^{m,n}$) zapisujeme takto: $$ \A = \pmatrix{a_{1,1}, & a_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n} \cr a_{2,1}, & a_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n} \cr & &\vdots & \cr a_{m,1}, & a_{m,2}, &\ldots, & a_{m,n} \cr} $$ nebo zapíšeme jen stručně prvky matice $\A$: $$ \A=(a_{i,j}), \quad i\in\{1,2,\ldots,m\},\, j\in\{1,2,\ldots,n\}. $$ \inl[matice, řádek: matice, sloupec: matice, prvek: matice]% Matici, která má všechny prvky nulové, nazýváme {\em nulovou maticí}. \inl[matice: nulová, nulová: matice] Matici typu $(m,n)$ nazýváme {\em čtvercovou maticí}, pokud $m=n$. \inl[matice: čtvercová, čtvercová: matice] V následujícím textu budeme pracovat většinou s reálnými maticemi (tj. s maticemi z~$\R^{m,n}$). Skoro všechny vlastnosti lze analogicky odvodit i pro matice komplexní. \eng matice = matrix; matice typu $(m,n)$ = $m$ by $n$ matrix; prvek matice = an entry of the matrix; čtvercová matice = square matrix. \inl[matrix, entry of matrix, square matrix] \poznamka [rovnostmatic] %%%%%%%%% Dvě matice {\em se rovnají}, pokud jsou stejného typu a všechny prvky jedné matice se rovnají odpovídajícím prvkům matice druhé. Přesněji, $\A=(a_{i,j})\in\R^{m,n}$ se rovná matici $\B=(b_{i,j})\in\R^{p,q}$, pokud $m=p$, $n=q$ a $a_{i,j}=b_{i,j}$ pro všechna $i\in\{1,2,\ldots,m\},\, j\in\{1,2,\ldots,n\}$. \inl[rovnost: matic] \okraj Lineární\hb prostor\hb matic | Linearni prostor matic \definice [deflpmatic] %%%%%%%%% Nechť $\A=(a_{i,j})\in\R^{m,n},\,\B=(b_{i,j})\in\R^{m,n}$. Matici $\C\in\R^{m,n}$ nazýváme {\em součtem matic} $\A,\B$ (značíme $\C=\A+\B$), pokud pro prvky matice $\C=(c_{i,j})$ platí $c_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j}$, $i\in\nobreak\{1,2,\ldots,m\}, j\in\nobreak\{1,2,\ldots,n\}$. Nechť $\alpha\in\R$. {\em $\alpha$-násobek} matice $\A$ je matice $\alpha\cdot\A=(\alpha\,a_{i,j})$. Názorně: $$ \def\quad{\hskip.4em } \A+\B = \pmatrix{a_{1,1}+b_{1,1}, & a_{1,2}+b_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n}+b_{1,n} \cr a_{2,1}+b_{2,1}, & a_{2,2}+b_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n}+b_{2,n} \cr & &\vdots & \cr a_{m,1}+b_{m,1}, & a_{m,2}+b_{m,2}, &\ldots, & a_{m,n}+b_{m,n} \cr}, \quad\ \alpha\cdot\A = \pmatrix{\alpha\,a_{1,1}, & \alpha\,a_{1,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{1,n} \cr \alpha\,a_{2,1}, & \alpha\,a_{2,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{2,n} \cr & &\vdots & \cr \alpha\,a_{m,1}, & \alpha\,a_{m,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{m,n} \cr}. $$ \par\inl[prostor: matic] \inl[matice: součet, matice: násobek] \inl[součet:matic, násobek: matic] \veta [maticeLP] %%%%% Množina $\R^{m,n}$ tvoří se sčítáním matic a násobením matice reálným číslem podle definice\cite[deflpmatic] lineární prostor. Nulový vektor tohoto prostoru je nulová matice. \inl[prostor: matic] \dukaz %%%%%% Důkaz si čtenář provede sám jako cvičení. Srovnejte s~příklady\cite[LPdvojice] a\cite[LPRn]. \priklad [matice32] %%%%%%%% Množina $$ B = \left\{ \pmatrix{1&0\cr0&0\cr0&0}, \pmatrix{0&1\cr0&0\cr0&0}, \pmatrix{0&0\cr1&0\cr0&0}, \pmatrix{0&0\cr0&1\cr0&0}, \pmatrix{0&0\cr0&0\cr1&0}, \pmatrix{0&0\cr0&0\cr0&1} \right\} $$ tvoří bázi lineárního prostoru $\R^{3,2}$. Abychom to ukázali, ověříme lineární nezávislost $B$ a dále vlastnost $\lob=\R^{3,2}$. Nejprve ověříme lineární nezávislost. Položme lineární kombinaci prvků z~$B$ rovnu nulové matici: $$ \alpha\,\pmatrix{1&0\cr0&0\cr0&0} + \beta\,\pmatrix{0&1\cr0&0\cr0&0} + \gamma\,\pmatrix{0&0\cr1&0\cr0&0} + \delta\,\pmatrix{0&0\cr0&1\cr0&0} + \varepsilon\,\pmatrix{0&0\cr0&0\cr1&0} + \zeta\,\pmatrix{0&0\cr0&0\cr0&1} = \pmatrix{0&0\cr0&0\cr0&0} $$ Odpovídající složky se musejí rovnat, což vede k~šesti rovnicím: $\alpha=0$, $\beta=0$, $\gamma=0$, $\delta=0$, $\varepsilon=0$, $\zeta=0$. Jedině triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru. Ověříme nyní vlastnost (2) z~definice\cite[dbase]. Nechť $$ \pmatrix{a&b\cr c&d\cr e&f} $$ je nějaká matice z~lineárního prostoru $\R^{3,2}$. Snadno zjistíme, že existuje lineární kombinace matic z~množiny $B$, která je rovna této matici (stačí volit $\alpha=a$, $\beta=b$, $\gamma=c$, $\delta=d$, $\mu=e$, $\nu=f$). Tím jsme dokázali, že $\lob=\R^{3,2}$ a $B$ je tedy báze lineárního prostoru matic $\R^{3,2}$. Nazýváme ji {\em standardní bází}. Dimenze lineárního prostoru $\R^{3,2}$ je počet prvků báze, je tedy rovna šesti. \inl[báze: prostoru: matic, dimenze: prostoru: matic] \priklad %%%%%%%% Platí $\dim \R^{m,n} = m\cdot n$. Analogicky jako v~příkladu\cite[matice32] lze totiž sestrojit bázi lineárního prostoru $\R^{m,n}$, která má $m\cdot n$ prvků. \inl[báze: prostoru: matic, dimenze: prostoru: matic] \okraj Sloupcové a řádkové vektory | Sloupcove a radkove vektory \veta %%%%% Lineární prostor jednosloupcových matic $\R^{n,1}$ je izomorfní s lineárním prostorem $\R^n$. Lineární prostor jednořádkových matic $\R^{1,n}$ je rovněž izomorfní s lineárním prostorem $\R^n$. \dukaz Věta je důsledkem věty\cite[isoLL]. \poznamka [radkovevektory] %%%%%%%%% Mezi lineárním prostorem $\R^n$ a lineárním prostorem $\R^{n,1}$ budeme používat následující izomorfismus: složky vektoru z $\R^n$ napíšeme po řadě (místo do řádku) do sloupce. Vzhledem k tomuto izomorfismu často ztotožňujeme vektory z $\R^{n,1}$ s vektory z $\R^n$ a mluvíme o~{\em sloupcových vektorech}. Analogicky vektory z $\R^{1,n}$ nazýváme {\em řádkové vektory} a také je ztotožňujeme s vektory z~$\R^n$. \inl[vektor: sloupcový, sloupcový vektor, vektor: řádkový, řádkový vektor] \okraj Vlastnosti GEM | Vlastnosti GEM \poznamka %%%%%%%%% V následujícím textu si ukážeme, jaké vlastnosti má modifikace matice Gaussovou eliminační metodou. Na matici v tomto kontextu budeme pohlížet jako na matici řádkových vektorů kladených pod sebe. Přesněji, matice $\R^{m,n}$ obsahuje $m$ řádkových vektorů (řádků matice), každý z~nich je z lineárního prostoru $\R^{1,n}$. Tento lineární prostor podle poznámky\cite[radkovevektory] ztotožňujeme s lineárním prostorem $\R^n$. \definice [sim] %%%%%%%%% Symbolem $\A\sim\B$ označujeme skutečnost, že matice $\B$ vznikla z~matice $\A$ konečným počtem kroků podle Gaussovy eliminační metody. Za krok Gaussovy eliminační metody je považováno prohození řádků, pronásobení řádku nenulovou konstantou, přičtení násobku řádku k~jinému, odstranění nulového řádku nebo přidání nulového řádku. \inl[GEM, Gaussova: eliminační metoda, eliminační metoda: Gaussova] \inl[relace: 0sim, 0sim] \okraj Symetrie relace~\uv{$\sim$} | Symetrie relace \noexpand~ \veta [symetriesim] %%%%% Relace \uv{$\sim$} je symetrická, tj. $\A\sim\B$ právě tehdy, když $\B\sim\A$. \inl[relace: 0sim, 0sim] \dukaz %%%%%% Stačí ukázat, že po provedení jednoho kroku podle Gaussovy eliminační metody se lze pomocí dalších kroků podle Gaussovy eliminační metody vrátit k~původní matici. %Připomeňme při té příležitosti všechny kroky, %které se v~Gaussově eliminační metodě používají: (1) Prohození dvou libovolných řádků mezi sebou. Stačí prohodit tytéž řádky mezi sebou ještě jednou a máme původní matici. (2) Vynásobení jednoho řádku nenulovým reálným číslem $\alpha$. Stačí vynásobit tento řádek číslem $1/\alpha$ a dostáváme původní matici. (3) Přičtení $\alpha$-násobku nějakého řádku $\vec a$ k~řádku $\vec b$ (řádek $\vec a$ se v~tomto kroku opisuje). K~původní matici se pak vrátíme tak, že k~právě změněnému řádku přičteme $(-\alpha)$-násobek řádku $\vec a$. (4) Vynechání nebo přidání nulového řádku. Jestliže nulový řádek při přechodu k~matici $\B$ vynecháme, tak jej zas při návratu k~matici $\A$ přidáme. Pokud jej při přechodu k~matici $\B$ přidáme, pak jej při návratu k~matici $\A$ odebereme. \poznamka %%%%%%%%% V~některé literatuře se místo kroku (3) uvádí přičtení lineární kombinace ostatních řádků ke zvolenému řádku $\vec b$. Tento krok lze samozřejmě nahradit konečným opakováním kroku (3). V~jiné literaruře se někdy neuvádí prohození řádků jako samotný krok Gaussovy eliminační metody, protože tento krok lze (poněkud těžkopádně) provést opakovaným použitím kroku (3) a v~závěru aplikací kroku (2): $$ \pmatrix{\vec a\cr\vec b} \sim \pmatrix{\vec a\cr \vec a+\vec b} \sim \pmatrix{\vec a - (\vec a+\vec b)\cr \vec a + \vec b} = \pmatrix{-\vec b\cr\vec a + \vec b} \sim \pmatrix{-\vec b\cr\vec a} \sim \pmatrix{\vec b\cr\vec a}. $$ \definice [lobradku] %%%%%%%%% Množinu všech řádků matice $\A$ značíme $\hbox{r:}\,\A$. Lineární obal množiny všech řádků matice~$\A$ je tedy označen symbolem $\lobr<\A>$. \inl[rA, rA0lobrA] \okraj Gaussova eliminace zachovává obal | Gaussova eliminace zachovava obal \veta* [lobalymatic] %%%%% Je-li $\A\sim\B$, pak $\lobr<\A>=\lobr<\B>$. Jinými slovy: Gaussova eliminační metoda zachovává lineární obal řádků matice. \inl[0sim, lineární: obal: řádků matice] \dukaz %%%%%% Dokážeme nejdříve pomocné tvrzení: jestliže $\A_1$ je matice, která vznikne z~matice $\A$ \hbox{jedním} krokem podle Gaussovy eliminační metody, pak $\lobr<\A_1>\subseteq\lobr<\A>$. Všechny řádky matice $\A_1$ lze zapsat jako lineární kombinaci řádků matice $\A$. Je přitom jedno, zda matice $\A_1$ vznikla prohozením řádků, pronásobením jednoho řádku nenulovým reálným číslem, přičtením násobku jednoho řádku k~jinému, odebráním nebo přidáním nulového řádku. Platí tedy, že $\hbox{r:}\,\A_1\subseteq\lobr<\A>$. Podle věty\cite[loblob] je $\lobr<\A_1>\subseteq \lob<{\lobr<\A>}>=\lobr<\A>$, takže $\lobr<\A_1>\subseteq \lobr<\A>$. Pomocné tvrzení máme dokázáno. Pokud toto tvrzení uplatníme opakovaně (matice $\B$ vznikla z~matice $\A$ po konečně mnoha krocích podle Gaussovy eliminační metody), máme výsledek $\lobr<\B>\subseteq\lobr<\A>$. Tvrzení dokazované věty nyní plyne ze symetrie relace \uv{$\sim$}, tj. z~věty\cite[symetriesim]. Obrácené tvrzení k této větě \uv{jestliže $\lobr<\A>=\lobr<\B>$, pak $\A\sim\B$} dokážeme v odstavci\cite[AsimBequiv]. \priklad [AsimB] %%%%%%%% Řádky matice $\A$ i matice $\B$ uvedené níže mají podle věty\cite[lobalymatic] stejné lineární obaly. Tyto obaly tvoří podle věty\cite[lob=lpp] nějaký lineární podprostor lineárního prostoru $\R^5$. $$ \A= \pmatrix{1&2&3&4&5\cr 2&3&4&4&7\cr 1&1&1&3&4\cr 3&5&7&8&12} \sim \pmatrix{1&2&3&4&5\cr 0&1&2&4&3\cr 0&1&2&1&1\cr 0&1&2&4&3} \sim \pmatrix{1&2&3&4&5\cr 0&1&2&4&3\cr 0&0&0&3&2} = \B $$ Snadno ověříme, že řádky matice $\B$ jsou lineárně nezávislé. Takže tyto řádky tvoří bázi lineárního podprostoru $\lobr<\B>=\lobr<\A>$. Vidíme tedy, že $\dim\lobr<\A>=3$. \okraj Hodnost\hb matice | Hodnost matice \definice* [dhodnost] %%%%%%%%% {\em Hodnost matice $\A$} značíme $\hod(\A)$ a definujeme $\hod(\A)=\dim\lobr<\A>$. \inl[hodnost, rank, hodnost: matice, hodA] \eng hodnost = rank. \veta* [hodAB] %%%%% Je-li $\A\sim\B$, pak $\hod(\A)=\hod(\B)$. Jinými slovy, Gaussova eliminační metoda nemění hodnost matice. \dukaz %%%%%% Věta je jednoduchým důsledkem věty\cite[lobalymatic] a definice\cite[dhodnost]. \priklad %%%%%%%% Matice $\B$ z~příkladu\cite[AsimB] má zřejmě hodnost 3. Věta\cite[hodAB] nám zaručí, že i matice $\A$ z~tohoto příkladu má hodnost~3. \poznamka %%%%%%%%% Pozorný čtenář si jistě všiml, že v definici\cite[defhod] jsme použili pojem \uv{hodnost} v~kontextu lineárního zobrazení. Nyní jsme definovali hodnost matice. Zatím je rozumné toto vnímat jako dva různé pojmy, každý má svou definici. Také budeme definovat zvlášť inverzi matice, třebaže definice inverzního zobrazení už zazněla. V tuto chvíli se zaměříme pouze na vlastnosti matic, budeme hledat například algoritmy pro výpočet hodnosti matice a teoretické důsledky tohoto pojmu. Později budeme schopni sestavit izomorfismus mezi lineárním prostorem matic a lineárním prostorem lineárních zobrazení. Pak ukážeme, že uvedené pojmy se ve smyslu tohoto izomorfismu shodují. \veta [hod=maxradku] %%%%% Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Přesněji řečeno, hodnost je počet prvků největší lineárně nezávislé podmnožiny z množiny řádků matice. \dukaz %%%%%% Zkoumanou matici označím symbolem $\A$. Jsou-li řádky matice $\A$ lineárně nezávislé, položím $\A=\A'$, jinak odeberu postupně z~$\A$ řádky, které jsou lineární kombinací ostatních, jako v~příkladu\cite[odebirani]. Po konečně mnoha odebráních vznikne matice $\A'$, která má lineárně nezávislé řádky a $\lobr<\A>=\lobr<\A'>$. Proces vzniku matice $\A'$ samozřejmě nemusí být jednoznačný. Ovšem řádky matice $\A'$ jsou v každém případě podmnožinou řádků matice $\A$, která je nejpočetnější z těch podmnožin, které jsou lineárně nezávislé. Řádky matice $\A'$ jsou totiž bází podprostoru $\lobr<\A>$ a kdyby existovala početnější lineárně nezávislá množina se stejným lineárním obalem, byla by také bází téhož podprostoru. To ale není možné, neboť dvě báze stejného lineárního (pod)prostoru mají podle věty\cite[stejnebase] stejný počet prvků. Počet řádků matice $\A'$ je podle definice\cite[dhodnost] roven hodnosti matice $\A$. \poznamka %%%%%%%%% Často je hodnost matice definována jako maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Je ovšem potřeba si velmi pečlivě uvědomit, co slovo \uv{maximální} v této formulaci znamená, a je potřeba z takové definice umět dokázat větu\cite[hodAB]. \okraj Schodovité\hb matice | Schodovite matice \poznamka %%%%%%%%% Matice $\B$ v~příkladu\cite[AsimB] je typickou ukázkou matice, která vznikne po ukončení přímého chodu Gaussovy eliminační metody. Jedná se o~matici, ve které každý následující řádek má aspoň o~jednu nulu v~souvislé řadě nul (psané z~leva) více, než řádek předchozí. Přitom matice neobsahuje nulové řádky. Takovým maticím říkáme schodovité (rozhraní mezi nulovými a nenulovými prvky tvoří schody). \definice [hornitroj] %%%%%%%%% Nechť matice $\A$ má řádky $\vecc a_n$ a nechť žádný z~nich není nulový. Nechť pro každé dva po sobě jdoucí řádky $\vec a_i$, $\vec a_{i+1}$ platí: má-li řádek $\vec a_i$ prvních $k$ složek nulových, musí mít řádek $\vec a_{i+1}$ aspoň prvních $k+1$ složek nulových. Pak matici $\A$ nazýváme {\em schodovitou maticí} \inl[matice: schodovitá, schodovitá matice] \eng schodovitá matice = matrix in echelon form \veta [trojnezavis] %%%%% Schodovitá matice má lineárně nezávislé řádky. \inl[lineární: nezávislost: řádků matice] \dukaz %%%%%% Lineární nezávislost ověříme z~definice. Nechť matice $\A$ má řádky $\vecc a_n$ a položme $$ \lkvecc \alpha.a_n = \vec o. $$ Po převedení této rovnosti do soustavy rovnic odpovídají koeficienty jednotlivých rovnic sloupcům matice~$\A$. Přitom tato soustava má vždy pouze triviální řešení. Z~první nenulové rovnice totiž okamžitě plyne, že $\alpha_1 = 0$. Dosazením tohoto výsledku do ostatních rovnic dostaneme z~některé z~následujících rovnic výsledek $\alpha_2=0$. Znovu dosadíme. Tento postup opakujeme tak dlouho, dokud nedostaneme $\alpha_i=0$ $\forall i\in\{1,\ldots,n\}$. \veta* [simhornitroj] %%%%% Každou matici lze převést konečným počtem kroků Gaussovy eliminační metody na schodovitou matici. \dukaz %%%%%% Plyne z~popisu přímého chodu Gaussovy eliminační metody, který je podrobně popsán v úvodní kapitole této učebnice. \algoritmus [metodahodnosti] %%%%%%%%%%% Předchozí věta nám společně s~větou\cite[hodAB] dává záruky, že hodnost libovolné matice můžeme spočítat postupem, jaký jsme zvolili v~příkladu\cite[AsimB]. Tedy při výpočtu hodnosti matice $\A$ ji převedeme Gaussovou eliminační metodou na schodovitou matici $\B$ a v ní spočítáme počet nenulových řádků. Tento počet je roven hodnosti matice $\B$, protože její řádky jsou podle věty\cite[trojnezavis] lineárně nezávislé a tvoří tedy bázi svého lineárního obalu. Konečně $\hod\A=\hod\B$ díky větě\cite[hodAB]. \inl[hodnost: matice] \poznamka [sofprimychod] %%%%%%%%% Je zřejmé, že matice, která vznikne ze~schodovité matice přehozením některých sloupců, má také lineárně nezávislé řádky. Nemusíme tedy nutně při hledání hodnosti matice vytvářet v~jednotlivých etapách Gaussovy eliminační metody nulové prvky v~těsně následujících sloupcích. Je-li to z~nějakých důvodů výhodné, můžeme nejprve třeba vytvořit nuly pod prvním řádkem v~osmém sloupci, pak opíšeme první a druhý řádek a vytváříme nuly ve třetím sloupci atd. Tento sofistikovanější postup doporučujeme ale použít jen tehdy, když jste důkladně seznámeni s~klasickým postupem přímého chodu Gaussovy eliminační metody. Jinak může velmi snadno dojít k~omylům. \inl[lineární: nezávislost: řádků matice] \poznamka %%%%%%%%% Postup přímého chodu Gassovy eliminační metody podle poznámky\cite[sofprimychod] se může hodit ve dvou případech. (1) Počítáme modelové příklady a snažíme se držet malých celých čísel. Přitom v~prvním sloupci jsou nesoudělná čísla, což vede po eliminaci ke zbytečně velkým celým číslům. Poznamenejme ale, že modelové příklady ze skript se v~praxi většinou nevyskytují, takže podstatnější pro nás bude druhý případ využití. \inl[příklad: modelový, modelový příklad] (2) Při implementaci Gaussovy eliminačí metody do počítače je vhodné se snažit minimalizovat zaokrouhlovací chyby. Ty mohou nežádoucím způsobem ovlivnit výsledek, pokud se například snažíme dělit číslem blízkým nule. Algoritmus by měl vyhledat optimální cestu při řešení Gaussovou eliminační metodou, aby se pokud možno vyhnul dělením takovými čísly. \okraj Numericky nestabilní matice | Numericky nestabilni matice \poznamka %%%%%%%%% Numerické vyhodnocování hodnosti matice v~počítači má svá úskalí, která vyplývají z~možných zaokrouhlovacích chyb. Hodnost je definována jednoznačně jako přirozené číslo (nebo nula), ale v~praktických situacích se může stát, že toto číslo nelze zjistit zcela přesně. Podívejme se kupříkladu na tuto matici: $$\teckacarka \C = \pmatrix{28.33333 & 11.33333 \cr 56.66667 & 22.66667}. $$ Kdybychom čísla v~této matici považovali za zcela přesná, museli bychom říci, že $\hod(\C)=2$. Pokud ale připustíme, že na posledním desetinném místě mohou být zaokrouhlovací chyby, pak nemáme jistotu, zda hodnost této matice není náhodou rovna jedné. Dobře implementovaný algoritmus Gaussovy eliminační metody v~počítači by nás měl upozornit, je-li výsledek skutečně zaručen, nebo zda může dojít k~závažným chybám, jako v~této matici. Takovým maticím, jako matice $\C$ v~tomto příkladě, říkáme {\em numericky nestabilní matice}. \inl[matice: numericky nestabilní, numericky: nestabilní matice] Problematiku numerických metod v~tuto chvíli opustíme, protože se věnujeme algebře. \okraj GEM zachovává závislost a nezávislost řádků | GEM zachovava zavislost a nezavislost rádku \poznamka %%%%%%%%% Ve větě\cite[lobalymatic] jsme ukázali, že Gaussova eliminační metoda zachovává lineární obaly řádků matice a dále věta\cite[hodAB] ukazuje, že Gaussova eliminační metoda zachovává hodnost matice. Z toho plyne, že Gaussova eliminační metoda zachovává lineární závislost resp. nezávislost řádků. Přesněji to zformulujeme v~následující větě\cite[GEMzav]. Nejprve ale potřebujeme dokázat následující větu. \veta* [nezav=hod] %%%%% Matice $\A$ má lineárně nezávislé řádky právě tehdy, když její hodnost je rovna počtu jejích řádků. \dukaz Nechť má $\A$ lineárně nezávislé řádky. Pak tyto řádky tvoří bázi podprostoru $\lobr<\A>$, takže jejich počet je roven dimenzi tohoto podprostoru, neboli hodnosti matice $\A$. Nechť naopak má matice $\A$ lineárně závislé řádky. Pak je potřeba odebrat aspoň jeden řádek procesem popsaným v příkladu\cite[odebirani] tak, abychom dospěli k~lineárně nezávislým řádkům, jejichž lineární obal je stejný jako $\lobr<\A>$. Tato lineárně nezávislá množina je bází podprostoru $\lobr<\A>$ a má méně prvků než je počet řádků matice $\A$. Hodnost matice $\A$ je tedy menší než počet jejích řádků. \veta* [GEMzav] %%%%% Nechť $\A\sim\B$ označuje, že matice $\B$ vznikla z $\A$ konečně mnoha kroky Gaussovy eliminační metody, přičemž krok odebrání nebo přidání nulového řádku není povolen. Pak řádky matice $\A$ jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když jsou lineárně nezávislé řádky matice $\B$. \dukaz Protože jsme zakázali odebírání a přidávání řádků, má matice $\A$ stejný počet řádků jako matice~$\B$. Podle věty\cite[hodAB] Gaussova eliminační metoda zachovává hodnost a je tedy v obou případech tato hodnost rovna počtu řádků nebo menší než počet řádků. Podle věty\cite[nezav=hod] to znamená, že v obou případech jsou řádky linárně nezávislé nebo jsou v obou případech lineárně závislé. \algoritmus [algollnlz] %%%%%%%%%%% Věta\cite[nezav=hod] nám dává návod, jak vyhodnotit lineární závislost či nezávislost vektorů z $\R^n$. Vyšetřované vektory stačí zapsat do řádků matice a spočítat eliminační metodou hodnost této matice (viz algoritmus\cite[metodahodnosti]). Je-li hodnost menší, než počet řádků, jsou tyto řádky lineárně závislé. Jinak jsou lineárně nezávislé. \priklad %%%%%%%% Vektory $(1,2,3,4,5), (2,3,4,4,7), (1,1,1,3,4), (3,5,7,8,12)$ jsou lineárně závislé, protože odpovídající matice má hodnost 3, jak jsme již spočítali v příkladu\cite[AsimB]. \algoritmus [algolrovnost] %%%%%%%%%%% Věta\cite[rovnostobalu] společně s definicí hodnosti matice jako dimenzi lineárního obalu řádků matice\cite[dhodnost] nám dává návod, jak vyhodnotit, zda dva lineární obaly jsou stejné. Nechť $\vecc u_k$ a $\vecc v_m$ jsou vektory z $\R^n$ a cílem je ověřit, zda $\lob<\vecc u_k>=\lob<\vecc v_m>$, Do řádků matice $\A$ zapíšeme vektory $\vecc u_k$, do řádků matice $\B$ zapíšeme vektory $\vecc v_m$ a konečně do řádků matice $\C$ zapíšeme řádky obou matic společně. Pak uvedené lineární obaly se rovnají, pokud $\hod\A=\hod\B=\hod\C$. Přitom na výpočet hodnosti máme algoritmus\cite[metodahodnosti]. \priklad %%%%%%%% Ověříme, že $\lob<(1,2,4,2),(2,5,0,3),(4,9,8,7)>=\lob<(1,3,-4,1),(3,7,-4,4)>$. $$ %\eqalign{ \vcenter{ \hbox{$\A=\pmatrix{1&2&4&2\cr2&5&0&3\cr4&9&8&7}\sim \pmatrix{1&2&4&2\cr0&1&-8&-1},$}\medskip \hbox{$\B=\pmatrix{1&3&-4&1\cr3&7&-4&4}\sim \pmatrix{1&3&-4&1\cr0&1&-8&-1},$} }\qquad \C=\pmatrix{1&2&4&2\cr2&5&0&3\cr4&9&8&7\cr1&3&-4&1\cr3&7&-4&4}\sim \pmatrix{1&2&4&2\cr0&1&-8&-1}, %} $$ Protože $\hod\A=\hod\B=\hod\C=2$, uvedené lineární obaly se rovnají. \algoritmus [algoljeprvkem] %%%%%%%%%%% Věta\cite[pribaleni] společně s definicí hodnosti matice\cite[dhodnost] nám dává návod, jak poznat, že nějaký vektor $\vec v\in\R^n$ je prvkem lineárního obalu $\lob<\vecc u_k>$, kde vektory $\vecc u_k$ jsou také prvky z~$\R^n$. Stačí do matice $\A$ zapsat po řádcích vektory $\vecc u_k$ a do řádků matice $\B$ napsat totéž, ale navíc tam přidat řádek $\vec v$. Pak $\vec v$ leží v uvedeném lineárním obalu, právě když $\hod\A=\hod\B$. Přitom na výpočet hodnosti máme algoritmus\cite[metodahodnosti]. \priklad %%%%%%%% Ověříme, zda $(1,1,12,3)\in\lob<(1,2,4,2),(2,5,0,3),(4,9,8,7)>$. $$ \A=\pmatrix{1&2&4&2\cr2&5&0&3\cr4&9&8&7}\sim \pmatrix{1&2&4&2\cr0&1&-8&-1},\qquad \B=\pmatrix{1&2&4&2\cr2&5&0&3\cr4&9&8&7\cr1&1&12&3}\sim \pmatrix{1&2&4&2\cr0&1&-8&-1}. $$ Protože $\hod\A=\hod\B=2$, leží vektor $(1,1,12,3)$ v uvedeném lineárním obalu. \okraj Transpono\-vaná matice | Transponovana matice \definice [defAT] %%%%%%%%% Nechť $\A=(a_{i,j})\in\R^{m,n}$. Matici $\A^T=(a_{j,i})\in\R^{n,m}$ nazýváme {\em transponovanou maticí} k~matici $\A$. Matice $\A^T$ tedy vznikne z~matice $\A$ přepsáním řádků matice $\A$ do sloupců matice $\A^T$, respektive přepsáním sloupců matice $\A$ do řádků matice $\A^T$. \inl[matice: transponovaná, transponovaná: matice, 1AT] \priklad %%%%%%%% \vskip-\bigskipamount $$ \hbox{Je-li třeba } \A = \pmatrix{1&2&3\cr4&5&6}, \quad \hbox{pak je } \A^T = \pmatrix{1&4\cr2&5\cr3&6}. $$ \veta [ATT=A] %%%%%%%%%%%%% Pro každou matici $\A$ platí: $(\A^T)^T = \A$. \dukaz %%%%%% Věta plyne přímo z~definice\cite[defAT]. \veta* [hA=hAT] %%%%%%%%%%%%%% Pro každou matici $\A\in\R^{m,n}$ platí: $\hod(\A^T) = \hod(\A)$. \exdukaz %%%%%%%% Ukážeme nejprve, že $\hod(\A^T)\ge\hod(\A)$. Nechť $\A\in\R^{m,n}$ a označme $k=\hod(\A)$. Podle věty\cite[hod=maxradku] existuje $k$ lineárně nezávislých řádků matice $\A$. Označme je $\vecc b_k$. Zapišme si, co to znamená, že tyto řádky jsou lineárně nezávislé. Pro $$ \lkvecc \alpha.b_k = \vec o $$ musí být $\alpha_i=0$ $\forall i\in\{1,\ldots,k\}$. Tento požadavek vede na soustavu rovnic, která musí mít jedině triviální řešení: $$ \def\quad{\kern.3em } \matrix{ \alpha_1\,b_{1,1} + \alpha_2\,b_{2,1} + \cdots + \alpha_k\,b_{k,1} &=& 0, \cr \alpha_1\,b_{1,2} + \alpha_2\,b_{2,2} + \cdots + \alpha_k\,b_{k,2} &=& 0, \cr \hphantom{ \alpha_1\,b_{1,1} + \alpha_2\,b_{2,1} +{}} \cdots\hphantom{{}+\alpha_k\,b_{k,1}} \cr \alpha_1\,b_{1,n} + \alpha_2\,b_{2,n} + \cdots + \alpha_k\,b_{k,n} &=& 0. \cr }\rce(AT) $$ Koeficienty jednotlivých rovnic soustavy\cite(AT) odpovídají částem sloupců matice $\A$. Částmi sloupců v~tomto důkazu budeme označovat uspořádané $k$-tice obsahující jen ty prvky z~daného sloupce, které leží ve vybraných řádcích $\vecc b_k$. Aby bylo zaručeno pouze triviální řešení soustavy\cite(AT), musíme po přímém chodu Gaussovy eliminační metody dostat schodovitou matici o~$k$-řádcích (méně řádků by vedlo na nekonečně mnoho řešení). To podle vět\cite[hod=maxradku] a\cite[lobalymatic] znamená, že existuje $k$ lineárně nezávislých částí sloupců matice $\A$. Tytéž celé sloupce matice $\A$ jsou lineárně nezávislé (kdyby byly závislé, pak by stejná netriviální lineární kombinace celých sloupců dávala nulový vektor i na částech sloupců, ale my víme, že části sloupců jsou lineárně nezávislé). Máme tedy zaručeno, že v~matici $\A$ je aspoň $k$ lineárně nezávislých sloupců (zatím není vyloučeno, že jich může být více). Podle věty\cite[hod=maxradku] tedy je $\hod(\A^T)\geq k=\hod(\A)$. Máme $\hod\bigl((\A^T)^T\bigr)\geq \hod(\A^T)\geq \hod(\A)$, a přitom podle věty\cite[ATT=A] je $(\A^T)^T=\A$, takže všechny uvedené hodnosti se rovnají. \poznamka %%%%%%%%% Ukázali jsme, že hodnosti matice $\A$ a $\A^T$ se rovnají. To vysvětluje, proč jsme nedefinovali zvlášť \uv{řádkovou} hodnost matice jako dimenzi lineárního obalu řádků a zvlášť \uv{sloupcovou} hodnost jako dimezi lineárního obalu sloupců. Tato čísla jsou podle věty\cite[hA=hAT] stejná. \veta [hodminimum] %%%%% Nechť $\A\in\R^{m,n}$. Pak $\hod(\A) \leq \min(m,n)$. \inl[hodnost: matice] \dukaz %%%%%% Hodnost matice je menší nebo rovna počtu řádků z~věty\cite[hod=maxradku] a je menší nebo rovna počtu sloupců z~věty\cite[hA=hAT]. \okraj Příklad na spojení podprostorů | Priklad na spojeni podprostoru \poznamka %%%%%%%%% Na konci kapitoly\kcite\ktere[base] jsme uvedli \uv{přílepek} o spojení a průniku podprostorů. Nyní máme k dispozici větu\cite[lobalymatic], tedy aparát, pomocí kterého si můžeme tuto problematiku ilustrovat na příkladech. \priklad [pr-prunikspojeni] %%%%%%%% Jsou dány lineární podprostory $M$ a $N$ lineárního prostoru $\R^5$ pomocí lineárních obalů: $$ \eqalign{ M &= \bigl< (1,2,0,1,1), (1,3,1,3,4), (3,5,2,4,5) \bigr>, \cr N &= \bigl< (1,1,3,4,3), (1,0,2,2,0), (2,1,3,2,3), (0,1,2,4,3) \bigr>. } $$ Najdeme bázi a dimenzi prostorů $M$, $N$, $M\cap N$ a $M\vee N$. Podle věty\cite[lobalymatic] zachovává Gaussova eliminační metoda lineární obal řádků matice, takže budeme eliminovat následující matice: $$ \jot=0pt \eqalign{ M: &\quad \matice{1&2&0&1&1\cr 1&3&1&3&4\cr 3&5&2&4&5} \sim \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&\!-1&2&1&2} \sim \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&3&3&5} , \cr \noalign{\medskip} N: &\quad \matice{1&1&3&4&3\cr 1&0&2&2&0\cr 2&1&3&2&3\cr 0&1&2&4&3} \sim \matice{1&1&3&4&3\cr 0&-1&-1&-2&-3\cr 0&-1&-3&-6&-3\cr 0&1&2&4&3} \sim \matice{1&1&3&4&3\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&2&4&0\cr 0&0&1&2&0} \sim \matice{1&1&3&4&3\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&1&2&0}. } $$ Podle věty\cite[trojnezavis] jsou řádky matic zapsaných nejvíce vpravo lineárně nezávislé. Lineární obal těchto řádků zůstal zachován a je roven $M$, respektive $N$. Máme tedy: $$ \eqalign{ \hbox{báze $M$}: &\quad \bigl\{(1,2,0,1,1), (0,1,1,2,3), (0,0,3,3,5)\bigr\}, \quad \dim M = 3, \cr \hbox{báze $N$}: &\quad \bigl\{(1,1,3,4,3), (0,1,1,2,3), (0,0,1,2,0)\bigr\}, \quad \dim N = 3. } $$ Vzhledem k tomu, že tři vektory, kterými je zadán podprostor~$M$, jsou lineárně nezávislé, můžeme zapsat i jinou bázi~$M$: $\{(1,2,0,1,1), (1,3,1,3,4), (3,5,2,4,5)\}$. Vektory, kterými je zadán podprostor~$N$ jsou lineárně závislé, takže netvoří bázi. Platí $M\vee N =\lob = \lob<\hbox{báze}\;M\,\cup\,{}\hbox{báze}\;N>$, takže bázi tohoto podprostoru najdeme eliminací následující matice: $$ \displaylines{ M\vee N: \enspace \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&3&3&5\cr 1&1&3&4&3\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&1&2&0} \sim \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&3&3&5\cr 0&\!-1&3&3&2\cr 0&0&1&2&0} \sim \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&3&3&5\cr 0&0&4&5&5\cr 0&0&1&2&0} \sim \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&3&3&5\cr 0&0&0&\!-3&5\cr 0&0&0&\!-3&5} \sim \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&3&3&5\cr 0&0&0&\!-3&5}, \cr \hbox{báze}\; M\vee N: \quad \bigl\{(1,2,0,1,1), (0,1,1,2,3), (0,0,3,3,5), (0,0,0,-3,5) \bigr\}, \quad \dim (M\vee N) = 4. } $$ Podle věty\cite[dimspojeni] máme okamžitě dimenzi průniku: $$ \dim(M\cap N) = \dim M + \dim N - \dim (M\vee N) = 3 + 3 - 4 = 2, $$ bohužel nalezení báze průniku dá ještě trochu práce. Vektory společné oběma podprostorům musí jít zapsat jako lineární kombinace báze~$M$ i lineární kombinace báze~$N$: $$ \alpha\,(1,2,0,1,1)+ \beta\,(0,1,1,2,3) + \gamma\,(0,0,3,3,5) = a\,(1,1,3,4,3) + b\,(0,1,1,2,3) + c\,(0,0,1,2,0). \rce(hledamprunik) $$ Z tohoto požadavku nám vychází soustava pěti rovnic o šesti neznámých $\alpha, \beta, \gamma, a, b, c$. Eliminujeme matici této homogenní soustavy. $$ \matice{1&\kern4pt0&\kern4pt0&-1&0&0\cr2&1&0&-1&-1&0\cr0&1&3&-3&-1&-1\cr 1&2&3&-4&-2&-2\cr1&3&5&-3&-3&0}\sim \matice{1&\kern4pt0&\kern4pt0&-1&0&0\cr0&1&0& 1&-1&0\cr0&1&3&-3&-1&-1\cr 0&2&3&-3&-2&-2\cr0&3&5&-2&-3&0}\sim \cdots \sim \matice{1&\kern4pt0&\kern4pt0&-1&0&0\cr0&1&0& 1&-1&0\cr0&0&3&-4&0&-1\cr 0&0&0&1&0&1}. $$ Volíme $b=t$, $c=u$, pak vychází $a=-u$. Ostatní hodnoty proměnných nemusíme počítat a vrátíme se k pravé straně rovnosti\cite(hledamprunik). Vektory, které jsou společné oběma prostorům, musejí tedy splňovat: $$ -u\,(1,1,3,4,3) + t\,(0,1,1,2,3) + u\,(0,0,1,2,0) = t\,(0,1,1,2,3) + u\,(-1,-1,-2,-2,-3). $$ Je tedy $M\cap N = \bigl<(0,1,1,2,3), (1,1,2,2,3)\bigr>$ a tyto dva vektory tvoří jednu z možných bází lineárního prostoru $M\cap N$. Že průnik obsahuje vektor $(0,1,1,2,3)$ nás nepřekvapí, protože tento vektor byl součástí obou bází podprostorů $M$ i $N$. Soustavu jsme počítali jen kvůli tomu, abychom našli ten druhý vektor. \shrnuti %%%%%%%% Množina matic $\R^{m,n}$ tvoří lineární prostor. Vektory z $\R^n$ můžeme ztotožnit s maticemi z~$\R^{1,n}$ (řádkové vektory) nebo s~maticemi z~$\R^{n,1}$ (sloupcové vektory). Řádkové vektory můžeme klást pod sebe a tvořit matice, nebo můžeme sloupcové vektory klást vedle sebe a rovněž dostáváme matice. Hodnost matice je dimenze lineárního obalu řádků\lcite[dhodnost], což je totéž jako dimenze lineárního obalu sloupců\lcite[hA=hAT]. Na výpočet hodnosti matice se používá algoritmus\cite[metodahodnosti]. V této kapitole jsme si ukázali algoritmy vycházející z toho, že dané řádkové vektory zapíšeme pod sebe a vytvoříme matici, jejíž hodnost vypočítáme. Algoritmus\cite[algollnlz] umožní rozhodnout, zda jsou vektory lineárně závislé či nezávislé. Algoritmus\cite[algolrovnost] umožní ověřit rovnost obalů a algoritmus\cite[algoljeprvkem] odpoví na otázku, zda vektor leží v lineárním obalu daných vektorů. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Násobení matic | Nasobeni matic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \okraj Definice násobení matic | Definice nasobeni matic \definice* [soucinAB] %%%%%%%%% Nechť $\A=(a_{i,j})\in\R^{m,n}$ a $\B=(b_{j,k})\in\R^{n,p}$. Pak je definován {\em součin matic $\A\cdot\B$} (v~tomto pořadí) jako matice typu $(m,p)$ takto: každý prvek $c_{i,k}$ matice $\A\cdot\B$ je dán vzorcem $$ c_{i,k} = a_{i,1}\,b_{1,k} + a_{i,2}\,b_{2,k} + \cdots + a_{i,n}\,b_{n,k} = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k}, \quad i\in\{1,\ldots,m\},\quad k\in\{1,\ldots,p\}. \rce(cik) $$ \par\inl[násobení: matic, matice: násobení] \inl[součin: matic, matice: součin] \poznamka %%%%%%%%% Všimneme si, že násobení je definováno jen tehdy, pokud počet sloupců první matice je roven počtu řádků druhé matice. Výsledná matice má stejný počet řádků, jako první matice a stejný počet sloupců, jako druhá matice. Názorně: $$ \setbox0=\hbox{$\underbrace{\matrix {\circ&\circ&\cdots&\circ\cr \circ&\circ&\cdots&\circ\cr &&\cdots&\cr \circ&\circ&\cdots&\circ\cr}}$} \dimen0=\wd0 \setbox0=\vtop{\hbox{\box0}\kern2pt\hbox to\dimen0{\hfil$n$\hfil}}\dp0=0pt \setbox1=\hbox{$\underbrace{\matrix {\circ&\cdots&\circ\cr \circ&\cdots&\circ\cr \circ&\cdots&\circ\cr &\cdots&\cr \circ&\cdots&\circ\cr}}$} \dimen0=\wd1 \setbox1=\vtop{\hbox{\box1}\kern2pt\hbox to\dimen0{\hfil$p$\hfil}}\dp1=0pt \setbox2=\hbox{$\underbrace{\matrix {\circ&\cdots&\circ\cr \circ&\cdots&\circ\cr &\cdots&\cr \circ&\cdots&\circ\cr}}$} \dimen0=\wd2 \setbox2=\vtop{\hbox{\box2}\kern2pt\hbox to\dimen0{\hfil$p$\hfil}}\dp2=0pt % m\left\{\left(\box0\right)\right. \quad\cdot\quad n\left\{\left(\box1\right)\right. \quad=\quad \left.\left(\box2\right)\right\}m % \advance\belowdisplayskip by1.5\baselineskip \belowdisplayshortskip=\belowdisplayskip $$ Každý prvek matice $\A\cdot\B$ přitom musíme počítat podle vzorce\cite(cik) jako součet součinů odpovídajících prvků řádku první matice a sloupce druhé matice. Začátečníci mohou použít tzv.~\uv{dvouprstovou vizuální metodu}: při výpočtu čísla $c_{i,k}$ přiložte ukazováček levé ruky na začátek $i$-tého řádku první matice a ukazováček pravé ruky na začátek $k$-tého sloupce druhé matice. Pak pronásobte mezi sebou čísla, na která ukazují prsty, a výsledek uložte do sčítací paměti. Posuňte levý prst na další prvek v~řádku a pravý prst na další prvek v~sloupci. Znovu vynásobte a přičtěte výsledek ke sčítací paměti. Posunujte dále levý prst v~řádku a pravý prst ve sloupci, násobte a sčítejte ve sčítací paměti tak dlouho, dokud nevyčerpáte celý řádek první matice. To se stane podle definice v~okamžiku, kdy též vyčerpáte celý sloupec druhé matice. Výsledek sčítací paměti pak napište jako prvek $c_{i,k}$ do postupně budované výsledné matice $\A\cdot\B$. \priklad [prikladnasobeni] %%%%%%%% $$ \catcode`.=13 \def.{\cdot} \pmatrix{1&2&3&4\cr5&6&7&8\cr0&2&1&0} \cdot \pmatrix{1&2\cr3&4\cr5&6\cr2&7} = \pmatrix{1.1+2.3+3.5+4.2 \enskip & 1.2+2.4+3.6+4.7 \cr 5.1+6.3+7.5+8.2 \enskip & 5.2+6.4+7.6+8.7 \cr 0.1+2.3+1.5+0.2 \enskip & 0.2+2.4+1.6+0.7 \cr} = \pmatrix{30 & 56 \cr 74 & 132 \cr 11 & 14}. $$ \priklad* [nekomutuje] %%%%%%%% $$ \pmatrix{1&1\cr1&1} \cdot \pmatrix{\hfill1&\hfill1\cr-1&-1} = \pmatrix{0&0\cr0&0}, \qquad \pmatrix{\hfill1&\hfill1\cr-1&-1} \cdot \pmatrix{1&1\cr1&1} = \pmatrix{\hfill2&\hfill2\cr-2&-2}. $$ Tento příklad ilustruje, že násobení matic obecně nesplňuje komutativní zákon ani pro čtvercové matice, tj. existují matice $\A$, $\B$, pro které neplatí $\A\cdot\B = \B\cdot\A$. Pokud některá z~matic $\A$, $\B$ není čtvercová, pak součin $\B\cdot\A$ nemusí být vůbec definován, přestože součin $\A\cdot\B$ definován je. \inl[zákon: komutativní, komutativní: zákon] Příklad dále ukazuje, že není splněna ani vlastnost nuly, na kterou jsme zvyklí při násobení reálných čísel: je-li $a\not=0$, $b\not= 0$, pak $a\,b\not=0$. V~příkladu násobíme dvě nenulové matice, a přitom dostáváme matici nulovou. Musíme si z~toho odnést ponaučení, že násobení matic nesplňuje všechny vlastnosti, na které jsme zvyklí, a proto při úpravách vzorců obsahujících násobení matic si musíme dát pozor, co můžeme v~dané situaci udělat. \inl[násobení: matic, matice: násobení] \inl[součin: matic, matice: součin] Nabízí se přirozená otázka, zda násobení matic splňuje aspoň nějaké zákony, na které jsme zvyklí (jinak by bylo skoro zbytečné tuto operaci nazývat násobením). Následující věta ukazuje, že násobení matic je asociativní a také distributivní vzhledem ke sčítání matic. \veta* [soucinAB-vlastnosti] %%%%% Nechť $\alpha\in\R$ a matice $\A$, $\B$, $\C$ jsou odpovídajících typů tak, aby níže uvedené součiny a součty byly definovány. Pak platí $$ \abovedisplayskip=2pt \eqalign{ \bod (1) (\A\cdot\B)\cdot\C = \A\cdot(\B\cdot\C) \quad \hbox{(asociativní zákon)}, \cr \bod (2) (\A+\B)\cdot\C = \A\cdot\C + \B\cdot\C \quad \hbox{(distributivní zákon)},\cr \bod (3) \C\cdot(\A+\B) = \C\cdot\A + \C\cdot\B \quad \hbox{(distributivní zákon)},\cr \bod (4) \alpha(\A\cdot\B) = (\alpha\,\A)\cdot\B = \A\cdot(\alpha\,\B), \cr \bod (5) (\A\cdot\B)^T=\B^T\cdot\A^T. \cr} $$ \par\inl[násobení: matic, matice: násobení] \inl[součin: matic, matice: součin] \inl[asociativní: zákon, zákon: asociativní] \inl[distributivní: zákon, zákon: distributivní] \dukaz %%%%%% Jako cvičení doplňte ke každému vzorci věty předpoklady o~typech matic. Tyto předpoklady se budou pro různé vzorce lišit. V~tomto důkazu předpokládáme typy matic $(m,n)$, $(n,p)$ a $(p,q)$. (1) Označme $\A=(a_{i,j})$, $\B=(b_{j,k})$, $\C=(c_{k,l})$, $\A\cdot\B=(d_{i,k})$, $\B\cdot\C=(f_{j,l})$, $(\A\cdot\B)\cdot\C=(g_{i,l})$, $\A\cdot(\B\cdot\C)=(h_{i,l})$ pro $i\in\{1,\ldots,m\}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, $k\in\{1,\ldots,p\}$, $l\in\{1,\ldots,q\}$. Jde o~to ukázat, že $g_{i,l} = h_{i,l}$ pro všechna $i\in\{1,\ldots,m\}$ a $l\in\{1,\ldots,q\}$. Podle definice\cite[soucinAB] je $$ d_{i,k} = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k}, \quad f_{j,l} = \sum_{k=1}^p b_{j,k}\,c_{k,l}, $$ takže platí $$ \def\j{\vbox to0pt{\vss\hbox{$\scriptstyle j$}}} \displaylines{ g_{i,l} = \sum_{k=1}^p d_{i,k}\,c_{k,l} = \sum_{k=1}^p \left( \sum_{\j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k}\right)c_{k,l}\, = \sum_{k=1}^p \left( \sum_{\j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k}\,c_{k,l}\right) = X, \cr h_{i,l} = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,f_{j,l} = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,\left( \sum_{k=1}^p b_{j,k}\,c_{k,l}\right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{k=1}^p a_{i,j}\,b_{j,k}\,c_{k,l}\right) = Y. } $$ Vysvětlíme si, proč platí $X=Y$. Volme $i$, $l$ pevná. Součiny $a_{i,j}\cdot b_{j,k}\cdot c_{k,l}$ můžeme zapsat do tabulky, ve které index $j$ odpovídá řádku tabulky a index $k$ sloupci. Hodnota $X$ pak znamená součet sloupcových mezisoučtů v~tabulce a hodnota $Y$ součet řádkových mezisoučtů. Každá účetní ví, že obě hodnoty musí dát stejný výsledek. My ostatní to snadno nahlédneme. (2) Označme $\A=(a_{i,j})$, $\B=(b_{i,j})$, $\C=(c_{j,k})$, $(\A+\B)\cdot\C=(d_{i,k})$ pro $i\in\{1,\ldots,m\}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, $k\in\{1,\ldots,p\}$. Pak podle definic\cite[soucinAB] a\cite[deflpmatic] platí $$ d_{i,k} = \sum_{j=1}^n (a_{i,j} + b_{i,j})\, c_{j,k} = \sum_{j=1}^n (a_{i,j}\,c_{j,k} + b_{i,j}\,c_{j,k}) = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,c_{j,k} + \sum_{j=1}^n b_{i,j}\,c_{j,k}, $$ což odpovídá prvkům matice $\A\cdot\C + \B\cdot\C$. (3) Důkaz bychom provedli obdobně, jako v~případě (2). (4) Označme $\A=(a_{i,j})$, $\B=(b_{j,k})$ pro $i\in\{1,\ldots,m\}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, $k\in\{1,\ldots,p\}$. Platí $$ \alpha\,\sum_{j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k} = \sum_{j=1}^n \alpha\, a_{i,j}\,b_{j,k} = \sum_{j=1}^n (\alpha\, a_{i,j})\,b_{j,k} = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,(\alpha\,b_{j,k}), $$ což dokazuje vzorec:~(4). (5) Označíme $\A=(a_{i,j})$, $\B=(b_{j,k})$, $\C=\A\cdot\B=(c_{i,k})$, $i\in\{1,\ldots,m\}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, \hbox{$k\in\{1,\ldots,p\}$}. Je tedy $\A^T=(\alpha_{j,i})$, $\B^T=(\beta_{k,j})$, kde $\alpha_{j,i}=a_{i,j}$, $\beta_{k,j}=b_{j,k}$. Označme ještě součin $\D=\B^T\cdot\A^T=(d_{k,i})$. Podle definice násobení je $$ c_{i,k} = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k} = \sum_{j=1}^n \beta_{k,j}\,\alpha_{j,i} = d_{k,i}, $$ takže $\D^T=\C$, což dokazuje vzorec~(5). \priklad %%%%%%%% Nechť $\A$, $\B$, $\C$ jsou čtvercové matice. Spočítáme $(\A+\B)\cdot(\B+\C)$. Podle~(3) ve větě\cite[soucinAB-vlastnosti] je $(\A+\B)\cdot(\B+\C) = (\A+\B)\cdot \B + (\A+\B)\cdot \C = \A\cdot\B + \B\cdot\B + \A\cdot\C + \B\cdot\C$. Místo zápisu $\B\cdot\B$ budeme užívat zkratku $\B^2$. Konečný výsledek je $\A\cdot\B + \B^2 + \A\cdot\C + \B\cdot\C$. Jiný příklad: $(\A+\B)^2 = (\A+\B) \cdot (\A+\B) = (\A+\B)\cdot\A + (\A+\B)\cdot\B = \A^2 + \B^2 + \A\cdot\B + \B\cdot\A$. Tento výsledek obecně nelze zjednodušit, protože násobení matic není komutativní. Pouze tehdy, když pro tyto matice platí $\A\cdot\B = \B\cdot\A$, můžeme psát výsledek ve tvaru $\A^2 + 2\,\A\cdot\B + \B^2$. \okraj Blokové\hb násobení | Blokove nasobeni \poznamka %%%%%%%%% Matice může vzniknout sestavením menších matic vedle sebe anebo pod sebe. Například: $$ \A_1 = \pmatrix{1&2\cr 3&4}, \quad \A_2 = \pmatrix{6\cr 7}, \quad \A_3 = \pmatrix{8&9}, \quad \A_4 = \pmatrix{0}, \quad \B = \pmatrix {\A_1&\A_2\cr \A_3&\A_4} = \pmatrix {1&2&6\cr3&4&7\cr8&9&0} $$ Zde na matici $\B$ můžeme pohlížet jako na matici sestavenou například z bloků $\A_1$, $\A_2$, $\A_3$, $\A_4$. Bloky kladené vedle sebe musejí mít samozřejmě stejný počet řádků a bloky kladené pod sebe musejí mít stejný počet sloupců. \veta [ctyribloky] %%%%% Nechť $\A$ a $\B$ jsou matice sestavené po blocích takto: $$ \A = \pmatrix {\A_{1,1}& \A_{1,2} \cr \A_{2,1} & \A_{2,2}}, \quad \B = \pmatrix {\B_{1,1}& \B_{1,2} \cr \B_{2,1} & \B_{2,2}} $$ Nechť uvedené bloky jsou matice takového typu, že násobení matic $\A_{i,j}\cdot\B_{j,k}$ je definováno pro všechny případy, které se vyskytují v následujícím vzorci. Pak $$ \A\cdot \B = \pmatrix {\A_{1,1}\cdot\B_{1,1}+ \A_{1,2}\cdot\B_{2,1}&\ \A_{1,1}\cdot\B_{1,2}+ \A_{1,2}\cdot\B_{2,2}\cr \A_{2,1}\cdot\B_{1,1}+ \A_{2,2}\cdot\B_{2,1}&\ \A_{2,1}\cdot\B_{1,2}+ \A_{2,2}\cdot\B_{2,2}} $$ \vskip-2\baselineskip\null \dolu 12mm \obrazek .5+.06 11 obr5 { \p 7 15 {\hbox{1. úsek}} \p 7 65 {\hbox{2. úsek}} \p 14 -14 i \p 30 30 \A_{1,1} \p 30 70 \A_{1,2} \p 70 30 \A_{2,1} \p 70 70 \A_{2,2} \p 50 -10 {\left(\vrule height55pt width0pt \right.} \p 50 95 {\left.\vrule height55pt width0pt \right)} \p 50 107 {\cdot} \p -3 163 k \p 50 115 {\left(\vrule height50pt width0pt \right.} \p 50 215 {\left.\vrule height50pt width0pt \right)} \p 30 130 {\hbox{1. úsek}} \p 77 130 {\hbox{2. úsek}} \p 35 170 \B_{1,1} \p 35 195 \B_{1,2} \p 77 170 \B_{2,1} \p 77 195 \B_{2,2} } \dukaz %%%%%% Prvek $c_{i,k}$ součinu $\A\cdot\B$ se počítá z~prvků $i$-tého řádku matice $\A$ a $k$-tého sloup\-ce matice $\B$. Prochází-li $i$-tý řádek bloky $\A_{1,1}$ a $\A_{1,2}$ a $k$-tý sloupec bloky $\B_{1,1}$ a $\B_{2,1}$, pak zřejmě součin $\A_{1,1}\cdot\B_{1,1}$ pracuje s prvky prvního úseku $i$-tého řádku matice $\A$ a prvního úseku $k$-tého sloupce matice $\B$ a další součin $\A_{1,2}\cdot\B_{2,1}$ bere prvky z druhého úseku $i$-tého řádku matice $\A$ a druého úseku $k$-tého sloupce matice $\B$. Prvek $c_{i,k}$ je podle definice maticového součinu\cite[soucinAB] součtem odpovídajících prvků na $i$-tém řádku a $k$-tém sloupci v maticích $\A_{1,1}\cdot\B_{1,1}$ a $\A_{1,2}\cdot\B_{2,1}$. Analogicky je možno argumentovat v případě, že $i$-tý řádek nebo $k$-tý sloupec procházejí jinými bloky. Obtížně se o tom mluví, lepší je si toto maticové násobení \uv{nakreslit} (viz obrázek). $$ \eqalign{ c'_{i,k} &= \hbox{prvek}_{i,k}\hbox{ matice }\A_{1,1}\cdot\B_{1,1} = (\hbox{1. úsek $i$-tého řádku }\A)\cdot (\hbox{1. úsek $k$-tého sloupce }\B) \cr c''_{i,k} &= \hbox{prvek}_{i,k}\hbox{ matice }\A_{1,2}\cdot\B_{2,1} = (\hbox{2. úsek $i$-tého řádku }\A)\cdot (\hbox{2. úsek $k$-tého sloupce }\B) \cr c_{i,k} &= \hbox{prvek}_{i,k}\hbox{ matice }\A\cdot\B = (\hbox{celý $i$-tý řádek }\A)\cdot(\hbox{celý $k$-tý sloupec }\B) = c'_{i,k} + c''_{i,k}. } $$ \veta [soucinbloku] %%%%% Nechť $\A$ a $\B$ jsou matice sestavené po blocích takto: $$ \A = \pmatrix {\A_{1,1}& \A_{1,2}& \ldots& \A_{1,n} \cr \A_{2,1}& \A_{2,2}& \ldots& \A_{2,n} \cr & & \ldots& \cr \A_{m,1}& \A_{m,2}& \ldots& \A_{m,n}}, \quad \B = \pmatrix {\B_{1,1}& \B_{1,2}& \ldots& \B_{1,p} \cr \B_{2,1}& \B_{2,2}& \ldots& \B_{2,p} \cr & & \ldots& \cr \B_{n,1}& \B_{n,2}& \ldots& \B_{n,p}} $$ Nechť uvedené bloky jsou matice takového typu, že násobení matic $\A_{i,j}\cdot\B_{j,k}$ je definováno pro všechna $i\in\{1,\ldots,m\}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, $k\in\{1,\ldots,p\}$. Tedy počet sloupců bloku $\A_{i,j}$ je roven počtu řádků bloku~$\B_{j,k}$. Pak $$ \C= \A\cdot \B = \pmatrix {\C_{1,1}& \C_{1,2}& \ldots& \C_{1,p} \cr \C_{2,1}& \C_{2,2}& \ldots& \C_{2,p} \cr & & \ldots& \cr \C_{m,1}& \C_{m,2}& \ldots& \C_{m,p}}, \quad \hbox{kde}\quad \C_{i,k} = \sum_{j=1}^n \A_{i,j}\cdot \B_{j,k}. $$ \dukaz Je zřejmé, že $\C_{i,k}$ je blok typu $(u_i,v_k)$, kde $u_i$ je počet řádků bloku $\A_{i,1}$ a $v_k$ je počet sloupců bloku $\B_{1,k}$ a tento typ mají všechny součiny $\A_{i,j}\cdot \B_{j,k}$ pro všechna $j\in\{1,\ldots,n\}$, takže součet součinů ve vzorci pro $\C_{i,k}$ je definován. Větu lze dále dokázat analogicky, jako větu předchozí. Každý řádek matice $\A$ a sloupec matice $\B$ se nyní rozdělí na $n$~úseků. \poznamka %%%%%%%%% Povšimneme si, že pokud volíme ve větě\cite[soucinbloku] za bloky \uv{matice s jediným číslem} (matice z $\R^{1,1})$, pak věta rozepisuje definici maticového násobení. Zajímavé jsou pro nás ještě případy, kdy matice $\A$ je rozepsána do řádkových bloků nebo matice $\B$ je rozepsána do sloupcových bloků. To je formulováno v následujících větě. \veta [soucinsloupcu] %%%%% Nechť $\A\in\R^{m,n}$, $\B\in\R^{n,p}$. Nechť matice $\B$ je zapsána po sloupcích: $\B=(\vec b_1\ \vec b_2\ \ldots\ \vec b_p)$, tj. $\vec b_k$ jsou sloupcové vektory z~$\R^{n,1}$. Pak $$ \A\cdot\B = (\A\cdot\vec b_1\ \ \ \A\cdot\vec b_2\ \ \ldots \ \ \A\cdot\vec b_p) $$ \goodbreak \dukaz %%%%%% Stačí v předchozí větě\cite[soucinbloku] volit matici $\A$ obsahující jediný blok a matici $\B$ obsahující jako bloky své sloupce. V terminologii předchozí věty tedy $m=n=1$ a $p=$~počet sloupců matice $\B$. \poznamka %%%%%%%%% Věta\cite[soucinsloupcu] se dá lapidárně formulovat takto: sloupce maticového součinu $\A\cdot\B$ obsahují součiny celé matice $\A$ s odpovídajícími sloupci matice $\B$. Analogicky lze dokázat, že řádky maticového součinu $\A\cdot\B$ obsahují součiny odpovídajících řádků matice $\A$ s celou maticí $\B$. Tuto větu si přesně zforuluje již laskavý čtenář sám. \poznamka %%%%%%%%% Rozdělme v maticovém součinu $\A\cdot\B$ matici $\A$ na řádky a současně matici $\B$ na sloupce. Pak věta\cite[soucinbloku] nám říká, že každý prvek součinu $c_{i,k}$ se počítá jako maticový součin $i$-tého řádku matice $\A$ s~$k$-tým sloupcem matice $\B$. Každý takový součin je roven sumě ve vzorci\cite(cik). Takže tímto pohledem nezískáme nic jiného, než přímo definici maticového násobení\cite[soucinAB]. Jiný pohled na maticový součin dostaneme tím, že matici $\A$ rozdělíme na sloupce a matici $\B$ na řádky. Pak je $\A\cdot\B$ podle věty\cite[soucinbloku] součtem všech součinů $j$-tého sloupce matice $\A$ s $j$-tým řádkem matice~$\B$ pro $j\in\{1,2,\ldots,n\}$. Každý takový součin je tentokrát matice typu $(m,p)$. Maticový součin \uv{sloupec krát řádek} totiž vytvoří matici typu $(m,p)$, kde $m$ je počet prvků ve sloupci a $p$ je počet prvků v~řádku. Na druhé straně maticový součin \uv{řádek krát sloupec} vytvoří matici typu $(1,1)$, tedy matici s~jediným prvkem. \priklad %%%%%%%% Jiný pohled na maticový součin z předchozí poznámky ilustrujeme na příkladu\cite[prikladnasobeni]. Matice vynásobíme tak, že první matici rozdělíme na sloupce a druhou na řádky. Dostáváme $$ \displaylines{ \pmatrix{1&2&3&4\cr5&6&7&8\cr0&2&1&0} \cdot \pmatrix{1&2\cr3&4\cr5&6\cr2&7} = \pmatrix{1\cr5\cr0} \cdot \pmatrix{1&2} + \pmatrix{2\cr6\cr2} \cdot \pmatrix{3&4} + \pmatrix{3\cr7\cr1} \cdot \pmatrix{5&6} + \pmatrix{4\cr8\cr0} \cdot \pmatrix{2&7} = \cr {} = \pmatrix{1&2\cr5&10\cr0&0} + \pmatrix{6&8\cr18&24\cr6&8} + \pmatrix{15&18\cr35&42\cr5&6} + \pmatrix{8&28\cr16&56\cr0&0} = \pmatrix{30 & 56 \cr 74 & 132 \cr 11 & 14}. } $$ \okraj Strassenův algoritmus | Strassenův algoritmus \poznamka %%%%%%%%% Máme za úkol vynásobit dvě čtvercové matice z $\R^{n,n}$. Jak je to výpočetně náročné? Předpokládejme, že násobení čísel je podstatně \uv{dražší} operace než sčítání, takže se zaměříme na počet potřebných násobení dvou čísel a počet sčítání budeme zanedbávat. Pokud budeme postupovat při násobení čvercových matic podle definice\cite[soucinAB], budeme potřebovat pro výpočet každého prvku výsledku $n$ operací a těch prvků je $n^2$, takže dohoromady potřebujeme $n^3$ operací násobení. Lze na tom někde ušetřit? V následujícím textu ukážeme, že ano, pokud použijeme rekurzivní blokový přístup k násobení matic. Uvedeme nejprve klasickou rekurzi pro násobení a následně tzv.~{\em Strassenův algoritmus}, který rozšiřuje klasickou rekurzi a ušetří operace. \inl[Strassenův algoritmus, algoritmus: Strassenův] \algoritmus (klasická rekurze) [klasrek] %%%%%%%%%%% Předpokládejme, že násobíme čtvercové matice $\A$ a $\B$ z $\R^n$ a že navíc existuje přirozené $m$ tak, že $n=2^m$. Jinými slovy, každou matici lze rozkájet na čtyři čtvercové bloky stejně velké a tyto bloky lze znovu takto rozkrájet až na úroveň matic typu $(1,1)$. Jak se zachovat, pokud tento předpoklad není splněn, je zmíněno v~poznámce\cite[rekurzeruznych]. Proveďme výše zmíněné rozdělení matic $\A$ a $\B$ do bloků a použijme větu\cite[ctyribloky]: $$ \pmatrix{\A_1 &\A_2\cr \A_3&\A_4} \cdot \pmatrix{\B_1 &\B_2\cr \B_3&\B_4} = \pmatrix{\A_1\cdot\B_1+\A_2\cdot\B_3 & \A_1\cdot\B_2+\A_2\cdot\B_4\cr \A_3\cdot\B_1+\A_4\cdot\B_3 & \A_3\cdot\B_2+\A_4\cdot\B_4} $$ Vidíme, že algorimtus na násobení matic rekurzivně volá sebe sama celkem osmkrát, ovšem bloky, které se nyní násobí, jsou z~$\R^{n/2,n/2}$. Rekurzi můžeme nechat pokračovat až na úrověň bloků z~$\R^{1,1}$ a teprve v tom případě násobíme odpovídající čísla mezi sebou. \poznamka %%%%%%%%% Kolik potřebuje klasická rekurze operací násobení čísel? Je-li $F(n)$ počet potřebných operací pro výpočet součinu matic z~$\R^{n,n}$, kde $n=2^m$, pak platí: $$ \eqalign{ F(n) &= 8F(n/2) = 8(8F(n/4)) = 8(8(8F(n/2^3))) = \cdots = 8^m F(n/2^m) = 8^mF(1) =\cr &= 8^m = (2^3)^m = 2^{3m} = (2^m)^3 = n^3. } $$ Potřebujeme tedy stejný počet operací, jako kdybychom použili definici. \algoritmus (Strassen) [strassen] %%%%%%%%%%% Nechť dvě čtvercové matice $\A$ a $\B$ z $\R^{n,n}$ splňují stejné předpoklady, jako v předchozím algoritmu, tj. $n=2^m$ a rozdělme matice $\A$, $\B$ do bloků, jako před chvílí. Vypočteme pomocné matice: \inl[Strassenův algoritmus, algoritmus: Strassenův] $$ \eqalign{ &\X_1 = (\A_1 + \A_4)\cdot(\B_1+\B_4), \quad \X_2 = (\A_3 + \A_4)\cdot\B_1, \quad \X_3 = \A_1\cdot(\B_2-\B_4), \quad \X_4 = \A_4\cdot(\B_3-\B_1), \cr &\X_5 = (\A_1+\A_2)\cdot\B_4, \quad \X_6 = (\A_3-\A_1)\cdot(\B_1+\B_2), \quad \X_7 = (\A_2-\A_4)\cdot(\B_3+\B_4) } $$ Čtenář si jako cvičení ověří, že platí: $$ \pmatrix{\A_1 &\A_2\cr \A_3&\A_4} \cdot \pmatrix{\B_1 &\B_2\cr \B_3&\B_4} = \pmatrix{\X_1+\X_4-\X_5+\X_7\ & \X_3+\X_5\cr \X_2+\X_4& \X_1-\X_2+\X_3+\X_6}. $$ Povšimneme si, že nyní jsme potřebovali pouze sedm maticových násobení, takže voláme rekurzivně sebe sama jen sedmkrát. \poznamka %%%%%%%%% Kolik potřebujeme ve Strassenově algoritmu operací násobení jednotlivých čísel? Předpokládejme matice z $\R^{n,n}$ a $n=2^m$, neboli $m=\log_2 n$. Nechť $F(n)$ je počet operací násobení použitých ve Strassenově algoritmu, který sestavuje součin matic z~$\R^{n,n}$. Pak $$ \eqalign{ F(n) &= 7F(n/2) = 7(7F(n/4)) = 7(7(7F(n/2^3))) = \cdots = 7^m F(n/2^m) = 7^mF(1) =\cr &= 7^m = (2^{\log_2 7})^{\log_2 n} = 2^{\log_2 7\,\cdot\,\log_2 n} = n^{\log_2 7} \doteq n^{2{,}807}. } $$ Číslo $n^{2{,}807}$ je jistě menší než $n^3$, takže Strassenův algoritmus šetří počet násobení. Pro velká $n$ je úspora natolik výrazná, že přestane být nevýhodou, že potřebujeme poněkud více sčítání. V~knihovnách pro násobení velkých matic se proto typicky používá Strassenův algoritmus. \poznamka %%%%%%%%% V~článku\bcite[cw] Don Coppersmith a Shmuel Winograd uvádějí algoritmus, který má ještě lepší složitost: $n^{2{,}376}$, ovšem přidává tolik dodatečných režijních operací a paměťových nároků, že by byl užitečný jen pro tak rozsáhlé matice, které se v současné době nevejdou do počítače. Používá se tedy jen jako teoretická dosud známá nejlepší mez složitosti pro maticové násobení. Dosud přitom není dokázáno, jaká je skutečná nejlepší mez, tj. zda by bylo možné toto číslo ještě vylepšit. \poznamka [rekurzeruznych] %%%%%%%%% Pokud násobíme matice, které nejsou čvercové nebo nejsou typu $(2^m,2^m)$, pak je potřeba rozšířit matice o nulové řádky nebo sloupce nebo obojí tak, aby rozšířené matice byly typu $(2^m,2^m)$. Pak je možné použít výše uvedené rekurzivní algoritmy. V nich můžeme hlídat rozsah indexů jednotlivých bloků a pokud je celý blok v prostoru, kde jsou jen nuly, nemusí algoritmus součin počítat a rovnou vrátí jako výsledek nulový blok. Je to pouze technická vychytávka výše popsaných algoritmů, která neovlivní teoretické výsledky, o kterých jsme se zmínili dříve. Ve výsledku je pak potřeba zpětně odebrat rozšířující řádky a sloupce (které stejně vyjdou nulové). \okraj Komutující matice | Komutujici matice \definice %%%%%%%%% Nechť je dána čtvercová matice $\A\in\R^{n,n}$. Pokud matice $\B$ splňuje rovnost $\A\cdot\B=\B\cdot\A$, říkáme, že matice $\B$ {\em komutuje} s~maticí $\A$. \priklad %%%%%%%% Zabývejme se vlastnostmi matic $\B$, které komutují s pevně danou čtvercovou maticí $\A\in\R^{n,n}$. Například matice $\A$ komutuje sama se sebou, neboť součin $\A\cdot\A$ je pro čtvercovou matici definován a prohození činitelů vůbec nepoznáme. Matice $\B$ komutující s $\A$ musí mít stejný počet řádků jako matice $\A$ sloupců (aby bylo definováno $\A\cdot\B$) a také musí mít stejný počet sloupců jako matice $\A$ řádků (aby bylo definováno $\B\cdot\A$). To prakticky znamená, že matice $\B$ musí být také čtvercová, typu $(n,n)$. Z příkladu\cite[nekomutuje] víme, že ne všechny matice z $\R^{n,n}$ komutují s~danou čtvercovou maticí. Takže množina čtvercových matic komutujících s danou maticí $\A$ bude tvořit pomnožinu všech čtvercových matic. Ukážeme, že tato podmnožina je lineárním podprostorem všech čtvercových matic. Podle definice\cite[dlpp] stačí ukázat, že pokud jsou $\B$ a $\C$ komutující matice s~maticí $\A$ a $\alpha\in\R$, pak též $\B+\C$ a $\alpha\,\B$ jsou komutující matice. Předpokládejme tedy, že platí $\A\cdot\B=\B\cdot\A$, $\A\cdot\C=\C\cdot\A$. V~následujícím výpočtu použijeme věty\cite[soucinAB-vlastnosti], vzorce (2) až (4) a našeho předpokladu. $$\eqalign{ &\A\cdot(\B+\C) = \A\cdot\B + \A\cdot\C = \B\cdot\A + \C\cdot\A = (\B+\C)\cdot\A, \cr &\A\cdot(\alpha\,\B) = \alpha\,(\A\cdot\B) = \alpha\,(\B\cdot\A) = (\alpha\,\B)\cdot\A. \cr} $$ \par\inl[matice: komutující, komutující: matice] \priklad [basekomut] %%%%%%%% Najdeme bázi a dimenzi lineárního podprostoru $M$ všech matic komutujících s~maticí $$ \A = \pmatrix{1&2\cr3&4}. $$ Podle předchozího příkladu musejí být matice komutující s~maticí $\A$ rovněž typu $(2,2)$. Předpokládejme, že matice $\B$ lze zapsat ve tvaru $$ \B = \pmatrix{a&b\cr c&d}. $$ Jednotlivé součiny pak vypadají následovně $$ \pmatrix{a&b\cr c&d} \cdot \pmatrix{1&2\cr3&4} = \pmatrix{a+3b&2a+4b\cr c+3d&2c+4d}, \quad \pmatrix{1&2\cr3&4} \cdot \pmatrix{a&b\cr c&d} = \pmatrix{a+2c&b+2d\cr3a+4c&3b+4d}. $$ Tyto součiny se mají rovnat. Podle poznámky\cite[rovnostmatic] se dvě matice rovnají, pokud se vzájemně rovnají všechny jejich odpovídající prvky. To nás vede ke čtyřem rovnicím o~čtyřech neznámých, které upravíme Gaussovou elmininační metodou. $$ \let\thickmuskip=\thinmuskip \let\medmuskip=\thinmuskip \soustava{ & 3b &-2c & &= 0\cr 2a&+3b & &-2d &= 0\cr -3a& &-3c &+3d &= 0\cr &-3b &+2c & &= 0} \quad \pmatrix{\hfill0&\hfill3&-2&\hfill0\cr \hfill2&\hfill3&\hfill0&-2\cr -1&\hfill0&-1&\hfill1\cr\hfill0&-3&\hfill2&\hfill0} \sim \pmatrix{2&\hphantom{-}3&\hfill0&-2\cr 0&\hfill3&-2&\hfill0} \quad \soustava{2a+3b& &-2d&=0\cr 3b&-2c& &=0} $$ Proměnné $c$ a $d$ můžeme volit libovolně. Uvedené dvě rovnice nám umožňují dopočítat proměnné $b$ a $a$ takto: $b=2/3\,c$, $a=d-c$. Všechny matice, které komutují s~maticí $\A$ jsou tedy určeny dvěma parametry: $$ \B=\pmatrix{d-c&{2\over3}\,c\cr c& d} = c \pmatrix{-1&{2\over3}\cr \hfill1&0} + d \pmatrix{1&0\cr0&1}, \quad c\in\R,\quad d\in\R. $$ Lineární prostor všech komutujících matic $M$ se nám podařilo vyjádřit jako množinu všech lineárních kombinací dvou konstantních matic. Tuto skutečnost zapíšeme pomocí lineárního obalu takto: $$ M = \left< \pmatrix{-1&{2\over3}\cr \hfill1&0}, \pmatrix{1&0\cr0&1} \right> = \left< \pmatrix{-3& 2\cr \hfill3&0}, \pmatrix{1&0\cr0&1} \right>. $$ Poslední úpravu (pronásobení první matice třemi) jsme nemuseli dělat, pokud se spokojíme se zlomkem ve výsledku. V~modelových příkladech se dosti často snažíme dostat výsledek vyjádřitelný v~malých celých číslech. Není to samozřejmě naší povinností, pouze pak výsledek lépe vypadá a nás více potěší. \inl[příklad: modelový, modelový příklad] Protože poslední dvě uvedené matice jsou lineárně nezávislé (to snadno zjistíme) a jejich lineární obal je celý podprostor $M$, máme výsledek: $$ \hbox{Báze } M = \left\{\pmatrix{-3& 2\cr \hfill3&0}, \pmatrix{1&0\cr0&1} \right\}, \quad \hbox{tj. } \dim M = 2. $$ \okraj Matice\hb vektorů | Matice vektoru \poznamka [matvektoru] %%%%%%%%% V~definici\cite[defmatice] jsme zavedli matice, jejíž prvky jsou reálná nebo komplexní čísla. Občas se můžeme setkat s~maticemi, jejíž prvky jsou vektory, tedy prvky libovolného lineárního prostoru. Protože lze prvky lineárního prostoru podle definice\cite[dlp] násobit reálným číslem, lze přirozeně definovat též maticové násobení $\A\cdot\B$, kde $\A=(a_{i,j})\in\R^{m,n}$ je matice reálných čísel a $\B=(\vec b_{j,k})$ je matice typu $(n,p)$ obsahující vektory lineárního prostoru~$L$, tedy $\B\in L^{n,p}$. Výsledná matice $\A\cdot\B$ je z~množiny~$L^{m,p}$ a pro její prvky $\vec c_{i,k}$ platí: $$ \vec c_{i,k} = a_{i,1}\,\vec b_{1,k} + a_{i,2}\,\vec b_{2,k} + \cdots + a_{i,n}\,\vec b_{n,k} = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,\vec b_{j,k}. $$ \par\inl[matice: vektorů] \priklad %%%%%%%% Nechť $\A\in\R^{1,n}$ je matice reálných čísel a $\B\in L^{n,1}$ Pak součin $\A\cdot\B$ je lineární kombinace vektorů z~$\B$, přičemž prvky z~$\A$ jsou koeficienty této lineární kombinace. Názorně: $$ \pmatrix{a_1,&a_2,&\cdots,&a_n} \cdot \pmatrix{\vec b_1\cr\vec b_2\cr\vdots\cr\vec b_n} = \lkvecc a.b_n. $$ \poznamka* [ABlkB] %%%%%%%%% Předchozí příklad nám poskytuje další pohled na maticové násobení. Předpokládejme matice $\A\in\R^{m,n}$, $\B\in\R^{n,p}$, $\C=\A\cdot\B\in\R^{m,p}$. Na matici $\B$ se dívejme jako na jednosloupcovou matici jejích řádků. První řádek výsledné matice $\C$ obsahuje lineární kombinaci řádků matice $\B$, přičemž koeficienty této lineární kombince jsou v prvním řádku matice $\A$. Také každý $k$-tý řádek matice $\C$ obsahuje lineární kombinaci všech řádků matice $\B$ a její koeficienty jsou v $k$-tém řádku matice $\A$. \okraj Hodnost součinu matic | Hodnost soucinu matic \veta* [hodA.B] %%%%% Nechť $\A\in\R^{m,n}$, $\B\in\R^{n,p}$. Pak $\hod(\A\cdot\B)\le\hod\A$ a také $\hod(\A\cdot\B)\le\hod\B$. Jinými slovy: hodnost maticového součinu není větší než hodnosti jednotlivých činitelů. \dukaz Podle poznámky\cite[ABlkB] víme, že řádky matice $\A\B$ jsou lineárními kombinacemi řádků matice $\B$. Takže $\hbox{r:}\,\A\B\subseteq\lobr<\B>$, tj. $\lobr<\A\B>\subseteq\lob<{\lobr<\B>}>=\lobr<\B>$. Podle věty\cite[dimpodprostoru] tedy je $\dim\lobr<\A\B>\le\dim\lobr<\B>$, neboli $\hod(\A\cdot\B)\le\hod\B$. Protože platí věty\cite[hA=hAT] a\cite[soucinAB-vlastnosti], můžeme psát $\hod(\A\cdot\B) = \hod(\A\cdot\B)^T = \hod(\B^T\cdot\A^T)$ a z právě dokázané nerovnosti plyne, že $\hod(\B^T\cdot\A^T)\le\hod\A^T=\hod\A$. Dokázali jsme $\hod(\A\cdot\B)\le\hod\A$. %V~tuto chvíli máme prostředky pro slíbený důkaz věty\cite[stejnebase]. %Větu na tomto místě zopakujeme a dokážeme. % %\veta [stejnebase2] %%%%%% %Nechť $B_1$ a $B_2$ jsou dvě báze stejného lineárního prostoru $L$. %Pak jsou buď obě nekonečné, nebo mají obě stejný počet prvků. % %\dukaz %%%%%%% %Nechť jsou nejprve obě báze konečné, $B_1=\{\vecc b_n\}$, %$B_2=\{\vecc c_m\}$. Rovnost počtu prvků budeme dokazovat sporem, nechť tedy %$m>n$. Každý z~vektorů $\vecc c_m$ je prvkem $L=\lobr$, takže každý %z~těchto vektorů se dá vyjádřit jako lineární kombinace vektorů %$\vecc b_n$. Tuto skutečnost můžeme zapsat souhrnně pomocí maticového násobení: %$$ % \pmatrix{\vec c_1\cr\vec c_2\cr\vdots\cr\vec c_m} = % \pmatrix{a_{1,1}, & a_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n} \cr % a_{2,1}, & a_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n} \cr % & &\vdots & \cr % a_{m,1}, & a_{m,2}, &\ldots, & a_{m,n} \cr} \cdot % \pmatrix{\vec b_1\cr\vec b_2\cr\vdots\cr\vec b_n} % \rce(c=Ab) %$$ %Uvedená matice koeficientů lineárních kombinací je typu $(m,n)$. Podle %příkladu\cite[lzRn] jsou řádky této matice lineárně závislé. Podle %věty\cite[xr] musí existovat řádek s~indexem $r\in\{1,2,\ldots,m\}$ %takový, že tento řádek je lineární kombinací ostatních. Ze %vzorce\cite(c=Ab) pak okamžitě plyne, že vektor $\vec c_r$ je stejnou %lineární kominací ostatních vektorů z~množiny $B_2$. To je ale spor %s~předpokladem, že $B_2$ je lineárně nezávislá množina. % %Dále předpokládejme, že $B_1$ je konečná a $B_2$ nekonečná. Podle %poznámky\cite[lnnekmnozin] jsou všechny konečné podmnožiny %$K\subseteq B_2$ lineárně nezávislé. Volme $K$ takovou, aby měla více %prvků, než množina $B_1$. Stejně, jako v~předchozím případě lze %ukázat, že vektor $\vec c_r\in K$ je lineární kombinací ostatních %vektorů z~$K$, což je spor s~předpokladem, že $K$ je lineárně %nezávislá množina. Musí tedy být buď obě báze $B_1$ a $B_2$ nekonečné %nebo obě konečné a se stejným počem prvků. % %\poznamka %%%%%%%%%% %Hloubavého čtenáře může napadnout, proč jsme v~důkazu věty %argumentovali příkladem\cite[lzRn] a nepoužili jsme přímo třeba %větu\cite[hodminimum]. Je to tím, že pojem hodnost se opírá o~platnost %věty, kterou dokazujeme. Tento pojem tedy nemůžeme v~důkazu %věty použít, protože by se důkaz věty opíral o~platnost téže věty. %Tím by se nám naše teorie zhroutila jako domeček z~karet. \okraj Jednotková matice | Jednotkova matice \definice [defE] %%%%%%%%% Čtvercovou matici $\E\in\R^{n,n}$ nazýváme {\em jednotkovou maticí}, pokud pro její prvky~$e_{i,j}$ platí: $e_{i,j}=0$ pro $i\not=j$ a $e_{i,j}=1$ pro $i=j$. Názorně: $$ \E = \pmatrix{1&0&0&\cdots&0\cr0&1&0&\cdots&0\cr&&&\cdots\cr0&0&0&\cdots&1\cr}. $$ \par\inl[matice: jednotková, jednotková: matice] \poznamka [poznE] %%%%%%%%% Z~definice maticového násobení okamžitě plyne, že pro každou čtvercovou matici $\A\in\R^{n,n}$ je $\E\cdot\A = \A\cdot\E = \A$. Jednotková matice má tedy stejnou vlastnost vzhledem k~násobení, jako jednička při násobení reálných čísel. Pro reálná čísla taky platí, že $1\cdot a = a\cdot 1 = a$. Všimneme si také, že jednotková matice je komutující s~každou čtvercovou maticí. \poznamka %%%%%%%%% Vraťme se k~příkladu\cite[basekomut]. Tam jsme našli bázi, ve které je jednotková matice. To nás nepřekvapí, protože jednotková matice je komutující s~každou maticí. Dále s~maticí $\A$ komutuje stejná matice $\A$. Pokud víme, že $\dim M=2$ a matice $\A$ a $\E$ jsou lineárně nezávislé, můžeme rovnou prohlásit, že hledaná báze lineárního podprostoru $M$ je $\{\A,\E\}$. Zdálo by se, že jsme výpočty v~příkladu\cite[basekomut] dělali zbytečně. Není to tak docela pravda, protože dopředu nevíme, zda dimenze hledaného prostoru bude rovna dvěma. \okraj Inverzní\hb matice | Inversni matice \poznamka %%%%%%%%% V~definici\cite[defE] jsme zavedli jednotkovou matici s~podobnými vlastnostmi, jako má reálné číslo~1. Vraťme se znovu ke srovnání s~reálnými čísly. Pro každé nenulové reálné číslo $a$ existuje reálné číslo $b$ takové, že $ab=1$. Takové reálné číslo obvykle nazýváme převrácenou hodnotou čísla $a$ a označujeme $1/a$ nebo též $a^{-1}$. Analogicky definujeme \uv{převrácenou hodnotu matice}, tzv. inverzní matici. \definice* [inverseA] %%%%%%%%% Nechť $\A\in\R^{n,n}$ je čtvercová matice a $\E\in\R^{n,n}$ je jednotková matice. Matici $\B\in\R^{n,n}$, která splňuje vlastnost $ \A\cdot\B = \E = \B\cdot\A $ nazýváme {\em inverzní maticí} k~matici $\A$. Inverzní matici k~matici $\A$ označujeme symbolem $\A^{-1}$. \inl[matice: inverzní, inverzní: matice, 1A1] \veta [jedinainv] %%%%% Pokud k~matici $\A$ existuje inverzní matice, pak je tato inverzní matice jednoznačně určena. \inl[matice: inverzní, inverzní: matice] \dukaz %%%%%% Nechť má čtvercová matice $\A$ dvě inverzní matice $\B$ a $\C$. Ukážeme, že pak $\B=\C$. Platí: $$ \B=\B\cdot\E = \B\cdot(\A\cdot\C) = (\B\cdot\A)\cdot\C = \E\cdot\C = \C. \rce(B=C) $$ Zde jsme po řadě využili: poznámku\cite[poznE], vlastnost, že $\C$ je inverzní matice k~$\A$, vlastnost~(1) z~věty\cite[soucinAB-vlastnosti], vlastnost, že $\B$ je inverzní matice k~$\A$, a konečně znovu poznámku\cite[poznE]. %\veta [existinverse] %%%%% %Ke čtvercové matici z $\R^{n,n}$ existuje inverzní matice právě tehdy, %když $\hod(\A)=n$. %\inl[hodnost: matice, matice: inverzní, inverzní: matice] % %\dukaz %%%%%%% %Důkaz této věty přesuneme až do příští kapitoly o~determinantech. %Věta ukazuje, že matice, které mají hodnost rovnu počtu řádků %(tj. podle věty\cite[hod=maxradku] jsou všechny řádky lineárně %nezávislé) mají inverzní matici. Pokud jsou řádky lineárně závislé, %inverzní matice neexistuje. Můžeme tedy říci, že pokud jsou řádky ve %čtvercové matici lineárně závislé, je matice z~hlediska maticového %násobení \uv{skoro nulová} v~tom smyslu, že k~ní neexistuje inverzní %matice (podobně jako k~reálnému číslu nula neexistuje převrácená %hodnota). To nás inspiruje k~následující definici. \okraj Regulární, singulární matice | Regularni, singularni matice \definice* [dregul] %%%%%%%%% Čtvercová matice $\A\in\R^{n,n}$ se nazývá {\em regulární}, pokud pro $\A$ existuje inverzní matice. Čtvercová matice $\A\in\R^{n,n}$ se nazývá {\em singulární}, pokud není regulární. \inl[matice: singulární, singulární: matice] \inl[matice: regulární, regulární: matice] \veta [hodreg] %%%%% Matice $\A$ je regulární právě když $\hod\A=n$, kde $n$ je počet řádků matice~$\A$. \dukaz Nechť $\A$ je regulární, takže existuje $\A^{-1}$ tak, že $\A\cdot\A^{-1}=\E$. Podle věty\cite[hodA.B] se hodnost matice součinem nezvětší. Tedy $\hod\E=\hod(\A\cdot\A^{-1})\le\hod\A$. Zjevně je $\hod\E=n$, takže musí $\hod\A=n$. Nechť $\hod\A=n$. Takže řádky matice $\A$ jsou lineárně nezávislé a tvoří bázi $\R^n$. Označme ji $(B)$. Souřadnice $i$-tého řádku matice $\E$ vzhledem k $(B)$ napišme do $i$-tého řádku matice $\B$. Zřejmě je $\B\cdot\A=\E$ (viz poznamku\cite[ABlkB]). Protože $\hod\A=\hod\A^T$, jsou i sloupce matice $\A$ lineárně nezávislé a tvoří bázi $(B')$ lineárního prostoru $\R^n$. Souřadnice $i$-tého sloupce matice $\E$ vzhledem k $(B')$ napišme do $i$-tého sloupce matice $\C$. Zřejmě je $\C^T\cdot\A^T=\E$, neboli $\A\cdot\C=\E^T=\E$. Z rovností $\B\cdot\A=\E$ a $\A\cdot\C=\E$ plyne $\B=\C$. Proč? Stačí zopakovat výpočet\cite(B=C), který jsme provedli v důkazu věty\cite[jedinainv]. Podle definice je $\B$ inverzní matice k matici~$\A$. Matice $\A$ je tedy regulární. \veta [stacipul] %%%%% Nechť $\A\in\R^{n,n}$. Z existence matice $\B$ takové, že $\B\cdot\A=\E$, plyne, že $\A$ je regulární a $\B$ je její inverzní matice. Z existence matice $\C$ takové, že $\A\cdot\C=\E$, plyne, že $\A$ je regulární a $\C$ je její inverzní matice. \dukaz Stačí trasovat důkaz předchozí věty. Z existence $\B$ a z věty\cite[hodA.B] plyne, že $n=\hod(\B\cdot\A)\le\hod\A$, takže $\hod\A=n$. Nyní sestavíme matici $\C$ jako v předchozím důkazu a ukážeme, že $\A\cdot\C=\E$ a navíc $\B=\C$, takže je to inverzní matice k matici $\A$. Vyjdeme-li z existence matice $\C$, postupujeme obdobně. \poznamka %%%%%%%%% Předchozí věta říká, že v definici\cite[inverseA] je jedna z rovností $\A\cdot\B=\E$, \ $\B\cdot\A=\E$ \uv{nadbytečná}, protože z jedné rovnice plyne druhá a z druhé plyne první. \veta [regulkratregul] %%%%% Nechť $\A\in\R^{n,n}$ a $\B\in\R^{n,n}$ jsou regulární čtvercové matice. Pak matice $\A\cdot\B$ je rovněž regulární matice typu $(n,n)$. \dukaz %%%%%% Matice $\A\cdot\B$ je čtvercová typu $(n,n)$. To plyne přímo z~definice maticového součinu. Stačí tedy dokázat, že je regulární. Podle definice\cite[dregul] je matice regulární právě tehdy, když k~ní existuje inverzní matice. Podle předpokladu k~matici $\A$ existuje inverzní matice $\A^{-1}$ a k~matici $\B$ existuje inverzní matice $\B^{-1}$. Stačí ukázat, že existuje inverzní matice k~matici $\A\cdot\B$. Hledaná inverzní matice je tvaru $\B^{-1}\cdot\A^{-1}$, protože: $$ (\B^{-1}\cdot\A^{-1})\cdot(\A\cdot\B) = \B^{-1}\cdot(\A^{-1}\cdot\A)\cdot\B = \B^{-1}\cdot\E\cdot\B = \B^{-1}\cdot\B = \E. $$ \okraj Výpočet inverzní mati\-ce eliminací | Vypocet inversni matice eliminaci \priklad* [metodainverse] %%%%%%%% Na jednoduchém příkladu ukážeme obvyklý postup hledání inverzní matice k~dané matici~$\A$. Teprve pak dokážeme, že tento postup je oprávněný a vždy vede k~inverzní matici. \inl[metoda: počítání: inverzní matice] Naším úkolem bude najít inverzní matici k~matici $$ \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}} \A = \pmatrix{+1&2&3\cr-1&0&1\cr+2&2&1}. $$ Vedle prvků matice $\A$ napíšeme prvky jednotkové matice stejného typu (oddělíme od sebe pro přehlednost svislou čarou) a dále použijeme řádkové úpravy Gaussovy eliminační metody na matici $(\A|\E)$ jako celek. To znamená, že pracujeme s~řádky délky $2n$, v~našem konkrétním případě s~řádky o~šesti prvcích. Při~eliminaci se snažíme vlevo od svislé čáry dostat postupně jednotkovou matici. $$ \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}} \def\mmatrix#1{\left(\,\vcenter{\offinterlineskip \ialign{\hfil$##$&\quad\hfil$##$&\quad\hfil$##$&\hskip.7em \vrule\strut\hskip.7em\hfil$##$&&\quad\hfil$##$\cr#1\crcr}}\,\right)} % \displaylines{ \mmatrix{1&2&3&1&0&0\cr-1&0&1&0&1&0\cr2&2&1&0&0&1} \sim \mmatrix{1&+2&+3&+1&+0&+0\cr 0&2&4&1&1&0\cr0&-2&-5&-2&0&1} \sim \mmatrix{1&+2&+3&1&0&0\cr 0&2&4&1&1&0\cr0&0&1&1&-1&-1} \sim \cr \sim \mmatrix{1&+2&+0&-2&3&3\cr 0&2&0&-3&5&4\cr0&0&1&1&-1&-1} \sim \mmatrix{1&0&0&1&-2&-1\cr0&1&0&-{3\over2}&+{5\over2}&2\cr0&0&1&1&-1&-1}, \quad \A^{-1} = \pmatrix{+1&-2&-1\cr-{3\over2}&+{5\over2}&+2\cr+1&-1&-1}.} $$ Při přechodu z matice $\A$ na matici $\E$ v levém bloku jsme nejprve převedli matici $\A$ na schodovitou matici stejně, jako je popsáno v úvodní kapitole o Gaussově eliminační metodě (tzv.~{\em přímý chod eliminační metody\/}). Jsou-li ve schodovité matici na diagonále nenulové prvky, lze pokračovat tzv.~{\em zpětným chodem eliminační metody}. V něm nejprve násobíme poslední řádek vhodnými konstantami a přičítáme k řádkům nad ním. Tím dostáváme nuly v posledním sloupci nad nenulovým prvkem na pozici $(n,n)$. Pak přičítáme násobky předposledního řádku k předchozím a získáme nuly v předposledním sloupci. Takto postupně pokračujeme až dostaneme matici s nenulovými prvky na diagonále a s nulovými prvky jinde. Každý řádek takové matice vynásobíme převrácenou hodnotou jeho diagonálního prvku a dostáváme matici~$\E$. \inl[zpětný chod GEM, přímý chod GEM] Tvrdíme, že hledaná inverzní matice k~matici $\A$ je zapsána vpravo od svislé čáry v~poslední úpravě. Zformulujeme to jako algoritmus: \algoritmus* [algolinverse] %%%%%%%%%%% Pokud $(\A\,|\,\E)\sim(\E\,|\,\B)$, kde~\uv{$\sim$} znamená konečně mnoho řádkových úprav matice podle Gaussovy eliminační metody, pak $\B=\A^{-1}$. \inl[matice: inverzní, inverzní: matice] Zvídavý čtenář se oprávněně ptá, proč tato metoda dává inverzní matici. Sformulujeme tuto vlastnost jako větu\cite[inverse]. Nejprve si ale povšimneme důležité vlastnosti Gaussovy eliminace. \veta* [emulaceGEM] %%%%% Nechť $\A\sim\B$ jsou dvě matice. Pak existuje matice $\P$ taková, že $\B=\P\cdot\A$. \dukaz %%%%%% Protože podle věty\cite[lobalymatic] je $\lobr<\A>=\lobr<\B>$, jsou řádky matice $\B$ lineárními kombinacemi řádků matice~$\A$. Zapíšeme-li koeficienty těchto lineárních kombinací do řádků matice $\P$, dostáváme podle poznámky\cite[ABlkB] vztah~$\P\cdot\A=\B$. \veta [inverse] %%%%% Nechť $\A\in\R^{n,n}$ a nechť lze provést $(\A\,|\,\E)\sim(\E\,|\,\B)$, kde \uv{$\sim$} označuje konečný počet řádkových úprav podle eliminační metody a $\E$ značí jednotkovou matici z $\R^{n,n}$. Pak $\B=\A^{-1}$. \dukaz %%%%%% Podle věty\cite[emulaceGEM] existuje matice $\P$ taková, že $$\def\|{\,|\,} (\A\|\E) \sim (\E\|\B) = \P\cdot(\A \| \E) = (\P\A\|\P\E). $$ Protože $\B=\P\E$, je $\P=\B$. Protože $\E=\P\A$, je $\E=\B\A$. Podle věty\cite[stacipul] je $\B$ inverzní matice k~matici~$\A$. \poznamka [emulacesloupcu] %%%%%%%%% Kdybychom napsali jednotkovou matici pod matici $\A$ a aplikovali na sloupce této \uv{dvojmatice} sloupcové úpravy podle Gaussovy eliminační metody a získali nakonec v~horní části matici~$\E$, pak je ve spodní části matice inverzní. Při důkazu tohoto tvrzení bychom postupovali analogicky jako při řádkové metodě, jen maticemi $\P_i$, které \uv{emulují} sloupcové úpravy, bychom násobili matici~$\A$ zprava a nikoli zleva. Rozmyslete si, že není možné při metodě hledání inverzní matice kombinovat řádkové i sloupcové operace dohromady. Naráží to na skutečnost, že násobení matic není komutativní. \okraj Podmínky regularity | Podminky regularity \veta* [regulpodminky] %%%%% Nechť $\A\in\R^{n,n}$ je čtvercová matice. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní: \noindent (1) $\A$ je regulární, \noindent (2) $\A$ má inverzní matici $\A^{-1}$, \noindent (3) $\hod\A=n$, \noindent (4) Maticová rovnice $\A\X=\B$ s neznámou maticí $\X\in\R^{n,m}$ má řešení pro každou $\B\in\R^{n,m}$. \noindent (5) $\A\sim\E$, tj. existuje konečně kroků Gaussovy eliminační metody, které převedou $\A$ na $\E$. \dukaz $(1) \equiv (2)$ přímo z definice regulární matice. $(2) \equiv (3)$ z věty\cite[hodreg]. Ekvivalence zbývajících podmínek vyplyne z~implikací $(2)\impl(4)\impl(3)\impl(5)\impl(2)$. $(2)\impl(4)$: protože $\A^{-1}\B$ uvedenou rovnici řeší. Skutečně je $\A(\A^{-1}\B)=(\A\A^{-1})\B=\E\B=\B$. $(4)\impl(3)$: Je-li $\C$ řešení rovnice $\A\X=\E$, pak musí podle věty\cite[hodA.B] být $\hod\E=\hod(\A\cdot\C)\le\hod\A$. Protože $\hod\E=n$, musí $\hod\A=n$. $(3)\impl(5)$: Protože eliminace nemění hodnost, musí se po přímém chodu Gaussovy eliminace matice $\A$ proměnit ve schodovitou matici s nenulovými řádky, tedy s nenulovými čísly na diagonále. Pak lze provést zpětný chod eliminace a převést původní matici $\A$ na $\E$. $(5)\impl(2)$: Je-li $\A\sim\E$, pak $(\A\,|\,\E)\sim(\E\,|\,\A^{-1})$ podle věty\cite[inverse]. \poznamka %%%%%%%%% Další ekvivalentní podmínkou regularity matice $\A$ je lineární nezávislost jejích řádků (podle věty\cite[nezav=hod]) což je ekvivalentní s~lineární nezávislosti sloupců (podle věty\cite[hA=hAT]) a to je ekvivalentní s regularitou matice~$\A^T$. V následující kapitole si ještě ukážeme, že $\A$ je regulární právě tehdy, když má nenulový determinant (věta\cite[reguldet]). Pro singulární matice lze zformulovat analogické podmínky: $\A$ je singulární, právě když neexistuje inverzní matice, právě když $\A\X=\B$ nemá řešení pro některé matice $\B$, právě když $\hod\A=\lobr<\B>$. \dukaz Implikaci \uv{je-li $\A\sim\B$, pak $\lobr<\A>=\lobr<\B>$} jsme dokázali v~odstavci\cite[lobalymatic]. Nyní tedy předpokládáme $\lobr<\A>=\lobr<\B>$ a najdeme takový eliminační proces, který převede matici $\A$ na matici~$\B$. Nejprve najdeme schodovité matice s nenulovými řádky $\A'$ a $\B'$ takové, že $\A\sim\A'$ a $\B\sim\B'$. To je možné díky větě\cite[simhornitroj]. Stačí tedy ukázat, že $\A'\sim\B'$. Z věty\cite[lobalymatic] plyne, že $\lobr<\A>=\lobr<\A'>$ a $\lobr<\B>=\nobreak\lobr<\B'>$ a z předpokladu $\lobr<\A>=\lobr<\B>$ plyne $\lobr<\A'>=\lobr<\B'>$. Matice $\A'$ i $\B'$ mají lineárně nezávislé řádky a jejich počet je v obou případech roven $k=\hod\A=\hod\B=\hod\A'=\hod\B'$. Každý řádek matice $\B'$ je lineární kombinací řádků matice $\A'$, takže existuje čtvercová matice $\P$ (koeficientů těchto lineárních kombinací), pro kterou je $\P\cdot\A'=\B'$. Z věty\cite[hodA.B] plyne, že $\hod\P=k$, což je počet řádků matice~$\P$. Takže $\P$ je podle věty\cite[hodreg] regulární. Po použití věty\cite[P=sim] vidíme, že $\A'\sim\B'$. \okraj Elementárni matice | Elementarni matice \priklad* [P123] %%%%%%%% Jestliže $\A\sim\B$, pak podle věty\cite[emulaceGEM] existuje matice $\P$ taková, že $\B=\P\A$. Podívejme se, jak vypadá matice $\P$ v~případě jednotlivých elementárních kroků Gaussovy eliminační metody. (1) Nechť $\B$ vznikla z $\A$ prohozením $i$-tého řádku s $j$-tým. Snadno ověříme, že $\B=\P_1\cdot\A$, kde $\P_1$ je čtvercová matice, která vznikla z $\E$ prohozením $i$-ého řádku s~$j$-tým. (2) Nechť $\B$ vznikla z $\A$ vynásobením $i$-tého řádku nenulovou konstantou $\alpha$. Snadno ověříme, že $\B=\P_2\cdot\A$, kde $\P_2$ je čtvercová matice, kerá vznikla z $\E$ vynásobením $i$-ého řádku konstantou~$\alpha$. (3) Nechť $\B$ vznikla z $\A$ přičtením $\alpha$-násobku $j$-tého řádku $i$-tému. Snadno ověříme, že $\B=\P_3\cdot\A$, kde $\P_3$ je čtvercová matice, kerá vznikla z $\E$ záměnou nuly za prvek $\alpha$ na pozici $i,j$. \definice [delement] %%%%%%%%% Matice typu $\P_1$, $\P_2$ a $\P_3$ z příkladu\cite[P123] se nazývají {\em elementární matice}. \inl[matice: elementární, elementární matice] \veta [BsimPA] %%%%% Symbolem $\A\sim\B$ v~této větě značíme skutečnost, že matice $\B$ vznikla z matice $\A$ konečně mnoha kroky Gaussovy eliminační metody, přičemž není dovolen krok vynechání nebo přidání nulového řádku. Platí: $\A\sim\B$ právě tehdy, když existuje regulární matice $\P$ taková, že $\B=\P\cdot\A$. \dukaz Implikace \uv{je-li $\P$ regulární, pak $\P\A\sim\A$} je dokázána ve větě\cite[P=sim]. Je ovšem potřeba důkaz věty projít znovu a uvědomit si, že nebylo nutné použít krok vynechání nebo přidání nulového řádku. Nyní dokážeme opačnou implikaci. Předpokládejme, že $\A\sim\B$. Pak $$ \B = \C_m\cdot(\C_{k-1}\cdots(\C_2\cdot(\C_1\cdot \A))\cdots) = (\C_m\cdot\C_{k-1}\cdots\C_2\cdot\C_1)\cdot\A = \P\cdot\A, $$ kde $\C_k$ je elementární matice jednoho z typů $\P_1$, $\P_2$ a $\P_3$, která \uv{emuluje} provedení $k$-tého kroku eliminační metody. Jednotlivé elementární matice jsou zřejmě regulární, protože mají lineárně nezávislé řádky. Matice $\P$, která je součinem těchto elementárních regulárních matic, je podle věty\cite[regulkratregul] regulární. \okraj Lineární kombinace skupin vektorů z~$L$ | Linearni kombinace skupin vektoru z L \poznamka %%%%%%%%% V následujících odstavcích budeme pracovat se skupinou vektorů $\vecc x_n\in L$ a další skupinou vektorů $\vecc y_m\in L$, která vznikne jejich lineárními kombinacemi. Tedy $$ \vec y_1 = \alpha_{1,1}\vec x_1 + \cdots + \alpha_{1,n}\vec x_n, \quad \vec y_2 = \alpha_{2,1}\vec x_1 + \cdots + \alpha_{2,n}\vec x_n, \quad \ldots,\quad \vec y_m = \alpha_{m,1}\vec x_1 + \cdots + \alpha_{m,n}\vec x_n $$ Tyto rovnosti lze v souladu s poznámkou\cite[matvektoru] zapsat jako maticový součin $$ \pmatrix{\vec y_1\cr\vec y_2\cr\vdots\cr\vec y_m} = \A\cdot \pmatrix{\vec x_1\cr\vec x_2\cr\vdots\cr\vec x_n},\quad \hbox{stručně } \Y = \A\cdot\X, $$ kde $\A=(\alpha_{i,j})\in\R^{n,m}$, $\X=(\vecc x_n)^T\in L^{n,1}$, $\Y=(\vecc y_m)^T\in L^{m,1}$. \veta [XtoY] %%%%% Označme $\A=(\alpha_{i,j})\in\R^{n,m}$, $\X=(\vecc x_n)^T\in L^{n,1}$, $\Y=(\vecc y_m)^T\in L^{m,1}$ a nechť $\Y=\A\cdot\X$. Označme ještě $\vecc a_m\in\R^n$ řádky matice $\A$ a nechť $\vec b=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$ je nějaký vektor z~$\R^n$ a $\vec z=\lkvecc \beta.y_m$. Pak platí \noindent (1) $\vec b\in\lob<\vecc a_m>$ právě tehdy, když $\vec z\in\lob<\vecc y_m>$. \noindent (2) Jsou-li $\vecc x_n$ lineárně nezávislé v~$L$, pak $\vecc a_m$ jsou lineárně nezávislé v~$\R^n$ právě tehdy, když $\vecc y_m$ jsou lineárně nezávislé v~$L$. \noindent (3) Jsou-li $\vecc x_n$ lineárně nezávislé, pak $\dim\lob<\vecc a_m> = \dim\lob<\vecc y_m>$. \noindent (4) Je-li $m=n$ a $\vecc a_n$ jsou lineárně nezávislé, pak $\lob<\vecc x_n> = \lob<\vecc y_n>$. \dukaz %%%%%% (1) Nechť $\vec b\in\lob<\vecc a_m>$, tedy $\vec b=\lkvecc\gamma.a_m$, tj. $\vec b=(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A$. Protože $\A\cdot\X=\Y$, je $(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\Y= (\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A\cdot\X=\vec b\cdot\X=\vec z$. Takže $\vec z\in\lob<\vecc y_m>$ a lineární kombinace vektorů $\vecc y_m$, která tvoří $\vec z$, má stejné koeficienty, jako lineární kombinace vektorů $\vecc a_m$, která tvoří $\vec b$. Nechť nyní $\vec z\in\lob<\vecc y_m>$, tedy $\vec z=(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\Y$. Protože $\A\cdot\X=\Y$, musí být $\vec b\cdot\X = \vec z=(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\Y= (\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A\cdot\X$, takže je $\vec b=(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A$. Vektor $\vec b$ je tedy lineární kombinací řádků matice $\A$ s koeficienty $\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m$. (2) Nechť nejprve jsou vektory $\vecc a_m$ lineárně nezávislé. Označíme symbolem $\vec o$ nulový vektor v~$L$ a ukážeme, že lineární kombinace $(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\Y=\vec o$ musí být pouze triviální. Při označení $\vec b =\nobreak(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A$ je $\vec o=(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A\cdot\X=\vec b\cdot\X$. Lineární kombinace vektorů $\vecc x_n$ je zde rovna nulovému vektoru. Protože jsou vektory $\vecc x_n$ lineárně nezávislé, musí být tato kombinace triviální, neboli $\vec b=(0,0,\ldots,0)$. Je tedy $(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A=(0,0,\ldots,0)$. Levá strana této rovnosti je lineární kombinace řádků matice $\A$ s koeficienty $\gamma_i$, která je rovna nulovému řádku. Protože jsou tyto řádky lineárně nezávislé, musí $\gamma_i=0$ pro $i=1,2,\ldots,m$. Jsou-li vektory $\vecc a_m$ lineárně závislé, pak podle věty\cite[xr] existuje jeden vektor $\vec a_r$, který je lineární kombinací ostatních vektorů $\vec a_i$. Podobně jako v důkazu~(1) lze ukázat, že vektor $\vec y_r$ je pak lineární kombinací ostatních vektorů $\vec y_i$ a tato lineární kombinace má stejné koeficienty. Takže i~vektory $\vecc y_m$ jsou lineárně závislé. (3) Bázi $\lob<\vecc a_m>$ lze najít jako největší podmnožinu množiny řádků $\vecc a_i$. Bázi $\lob<\vecc y_m>$ lze vybrat stejným způsobem z množiny vektorů $\vecc y_m$. Z vlastnosti (2) plyne, že obě tyto podmnožiny musí být stejně početné. (4) Protože $\Y=\A\cdot\X$, je $\lob<\vecc y_n>\subseteq\lob<\vecc x_n>$. Protože $\vecc a_n$ jsou lineárně nezávislé, je matice $\A$ regulární, takže $\X=\A^{-1}\cdot\Y$. Z této rovnosti plyne, že $\lob<\vecc x_n>\subseteq\lob<\vecc y_n>$, takže platí obě inkluze a uvedené lineární obaly se rovnají. \poznamka* [XsimY] %%%%%%%%% Řádky matice $\A$ ve větě\cite[XtoY] jsou koeficienty lineárních kombinací, kterými měníme skupinu vektorů $\vecc x_n$ na novou skupinu vektorů $\vecc y_m$. Speciálně, je-li $\A$ některá z~elementárních matic $\P_1$, $\P_2$ a $\P_3$ z~příkladu\cite[P123], pak je regulární a má tedy lineárně nezávislé řádky. Podle (2) předchozí věty to znamená, že lineární nezávislost skupiny vektorů se nezmění změnou jejich pořadí, vynásobením jednoho vektoru nenulovou konstantou, přičtením násobku vektoru k jinému nebo konečným opakováním těchto úkonů. Z vlastnosti (4) předchozí věty dále vyplývá, že uvedené modifikace skupiny vektorů nezmění jejich lineární obal. To nám připomíná věty\cite[GEMzav] a\cite[lobalymatic], ale tam jsme pracovali jen s~řádky matice, tedy s~vektory z~$\R^n$. Nyní říkáme totéž o~vektorech z~libovolného lineárního prostoru~$L$. \shrnuti %%%%%%%% Součin matic $\A\cdot\B$ je definován\lcite[soucinAB] jen pro matice, kde $\A$ má stejný počet sloupců jako $\B$ řádků. Součin matic není obecně komutativní ani pro čtvercové matice. Ovšem platí asociativní i distributivní zákon\lcite[soucinAB-vlastnosti]. Matice lze násobit i po blocích~/\ncite[ctyribloky], \ncite[soucinbloku]/. Například součin matic $\A\cdot\B$ obsahuje ve sloupcích součiny matice $\A$ s jednotlivými sloupci matice $\B$\lcite[soucinsloupcu]. Blokovým násobením matic je inspirován Strassenův algoritmus, který má složitost pouze $n^{2,8}$, zatímco složitost maticového součinu podle definice je $n^3$. Existuje skupina matic, která s pevně danou čtvercovou maticí komutuje. Tato skupina tvoří podprostor všech čtvercových matic. Iverzní matice ke čtvercové matici $\A$ ja taková čtvercová matice $\A^{-1}$ stejného typu, která musí splňovat $\A\cdot\A^{-1}=\A^{-1}\cdot\A=\E$\lcite[inverseA], kde $\E$ je jednotková matice\lcite[defE]. Inverzní matice je jediná\lcite[jedinainv]. Z jedné definiční rovnosti plyne druhá\lcite[stacipul]. Matici, která má inverzní, nazýváme regulární\lcite[dregul]. Součin regulárních matic je matice regulární\lcite[regulkratregul]. Mezi ekvivalentní podmínky s regularitou matice $\A$ patří: $\hod\A={}$počet řádků, $\hbox{r:}\,\A$ je lineárně nezávislá množina, maticová rovnice $\A\X=\B$ má řešení pro každou pravou stranu, platí $\A\sim\E$\lcite[regulpodminky]. Na výpočet inverzní matice je možné použít algoritmus\lcite[algolinverse] založený na Gaussově eliminační metodě. Že metoda skutečně počítá inverzní matici plyne z tvrzení, že pokud $\A\sim\B$, pak existuje matice $\P$ tak, že $\B=\P\cdot\A$~/\ncite[emulaceGEM]/. Větu můžeme za podmínky regularity $\P$ zformulovat jako ekvivalenci\lcite[BsimPA]. V takovém případě je $\P$ součinem emelmentárních matic\lcite[delement]. Hodnost součinu matic je nejvýše rovna hodnosti jednotlivých činitelů\lcite[hodA.B]. Násobíme-li matici regulární maticí, hodnost se nezmění\lcite[hodPA]. Maticové násobení jsme použili k vyjádření přechodu jedné skupiny vektorů z~$L$ k lineárním kombinacím této skupiny vektorů. Odvodili jsme, že také na abstraktní vektory z~$L$ můžeme uplatnit kroky Gaussovy eliminační metody jako na řádky matice, přitom jejich lineární nezávislost a jejich lineární obal zůstávají v takovém případě zchovány\lcite[XsimY]. \icviceni 3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola LU rozklad | LU rozklad %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \poznamka %%%%%%%%% V této krátké kapitole ukážeme, že každou regulární matici lze (až na případné prohození sloupců) zapsat jako součin matic $\L$ a $\U$, kde $\L$ je dolní trojúhelníková matice (má nenulové prvky soustředěny v~dolním trojúhelníku) a $\U$ je horní trojúhelníková matice. Tento rozklad se používá při numerickém řešení soustav lineárních rovnic\lcite[LUsoustava], zejména při větším počtu pravých stran. Toto téma spadá spiše do numerické matematiky. Přesto jsem se rozhodl je sem zařadit, protože hlavní myšlenka LU rozkladu využívá důležitý poznatek, který byl vysloven v předchozí kapitole: jednotlivé kroky eliminační metody lze \uv{emulovat} násobením příslušnými regulárními maticemi zleva. Následující kapitoly nepředpokládají znalosti o LU rozkladu. Pokud tedy čtenář nemá zájem tuto záležitost poznat hlouběji, může bez uzardění tuto kapitolu přeskočit. \okraj Horní a dolní trojúhelníková matice | Horni a dolni trojuhelnikova matice \definice %%%%%%%%% Nechť $\A=(a_{ij})$ je čtvercová matice. Matici $\A$ nazýváme {\em horní trojuhelníkovou}, pokud má pod diagonálou jen nulové prvky (nenulové prvky jsou soustředěny v \uv{horním tojúhelníku}), tedy $a_{i,j}=0$ pro $i>j$. Matici $\A$ nazýváme {\em dolní trojúhelníkovou}, pokud má nad diagonálou jen nulové prvky, tedy $a_{i,j}=0$ pro~$ii_l$, a přitom $k2$. Jednotlivé inverze jsou na následujících permutacích vyznačeny obloučkem $$ \let\braceru=\relax \let\bracelu=\relax \def\o#1{\setbox0= \hbox{$\kern2pt\overbrace{\kern-2pt#1\kern-2pt}\kern2pt$}\ht0=2.1ex\box0} \def\to#1{\hbox{#1\rlap{\t{}}}} % (1,2,3),\quad (1,\o{3,2}), \quad (\o{2,1},3),\quad (\o{2,\o{3,1}}),\quad (\o{\o{3,1},2}), \quad (\o{\o{3,2},\kern-8pt\o{\kern8pt 1}}). $$ Jako cvičení doplňte obloučky (tj. jednotlivé inverze) ke všem permutacím čtyř prvků. \okraj Znaménko permutace | Znamenko permutace \definice [znper] %%%%%%%%% Pro každou permutaci $\pi=(i_1,\ldots,i_n)$ definujeme {\em znaménko permutace $\sgn\pi$} takto: $$ \sgn\pi=\cases{+1& \quad\hbox{má-li $\pi$ sudý počet inverzí} \cr -1& \quad\hbox{má-li $\pi$ lichý počet inverzí}} $$ \par\inl[znaménko: permutace, permutace: sudá, permutace: lichá] \priklad %%%%%%%% Permutace z~příkladu\cite[ukazkainverzi] mají tato znaménka: $$ \displaylines{ \sgn(1,2,3)=+1,\quad \sgn(1,3,2)=-1,\quad \sgn(2,1,3)=-1,\cr \sgn(2,3,1)=+1,\quad \sgn(3,1,2)=+1,\quad \sgn(3,2,1)=-1.} $$ Jako cvičení si rozmyslete, jak vypadají znaménka všech permutací čtyř prvků. \veta [prohperm] %%%%% Prohození jediné dvojice prvků v~permutaci způsobí změnu jejího znaménka. \dukaz %%%%%% Nechť $\pi=(\ldots,a,\ldots,b,\ldots)$ a $\pi_1=(\ldots,b,\ldots,a,\ldots)$ jsou dvě permutace, které se liší jen prohozením prvků $a, b$. Ukážeme, že rozdíl počtu inverzí permutací $\pi$ a $\pi_1$ je liché číslo. Inverze, ve kterých se nevyskytuje ani $a$, ani $b$, zůstávají v~obou permutacích stejné. Tvoří-li dvojice $(a,b)$ z~permutace $\pi$ inverzi, pak $(b,a)$ z~permutace $\pi_1$ inverzi netvoří a naopak. Zatím jsme tedy zjistili, že se permutace $\pi$ a $\pi_1$ liší o~jednu inverzi, což je liché číslo. Ještě prozkoumáme všechny inverze, ve kterých vystupuje $a$ nebo $b$ s~nějakým jiným prvkem. Ukážeme, že pokud tam dojde ke změně, pak jedině o~sudý počet inverzí. Uvažujme nějaký prvek $x$ s~menším indexem, než indexy prvků $a$ i $b$, nějaký prvek $y$ s~větším indexem, než indexy prvků $a$ i $b$ a nějaký prvek $z$, který má index mezi indexy $a$ a $b$. Názorně: $$ \pi=(\ldots,x,\ldots,a,\ldots,z,\ldots,b,\ldots,y,\ldots), \quad \pi_1=(\ldots,x,\ldots,b,\ldots,z,\ldots,a,\ldots,y,\ldots). $$ Nemusejí v~každém případě všechny tyto prvky existovat. Další rozbor tedy provedeme jen tehdy, pokud příslušný prvek existuje. Zabývejme se nejprve prvky $x$ a $y$. Případné inverze mezi prvky $(x,a)$, $(x,b)$, $(a,y)$ a $(b,y)$ zůstanou po prohození prvků $a,b$ v~nezměněném stavu. Zajímavý je tedy jen prvek $z$. Nechť nejprve $ay$, tj. $(x,y)$ tvoří inverzi v~permutaci $\pi$, pak po prohození sloupců budou tyto dva sloupce v~opačném pořadí. Dvojice prvků $(b,a)$ tedy bude tvořit inverzi v~permutaci $\pi^{-1}$. \veta [znpi-1] %%%%% Permutace $\pi$ a $\pi^{-1}$ mají vždy stejná znaménka. \dukaz %%%%%% Věta je přímým důsledkem věty\cite[inverzeinverzi]. \poznamka %%%%%%%%% V~předchozích definicích a větách jsme si řekli minimum toho, co potřebujeme vědět o~permutacích, abychom pochopili definici determinantu a odvodili jednoduché vlastnosti determinantu. Ve skutečnosti se u~permutací dá studovat ještě mnoho dalších vlastností, které zde nebudeme potřebovat. \okraj Definice\hb determi\-nantu | Definice determinantu \definice* [ddet] %%%%%%%%% Nechť $\A=(a_{i,j})\in\R^{n,n}$ je čtvercová matice. Číslo $$ \sum_{\pi=(i_1,i_2,\ldots,i_n)} \sgn\pi\cdot a_{1,i_1}\,a_{2,i_2}\cdots\,a_{n,i_n} \rce(vdetA) $$ nazýváme {\em determinantem matice $\A$} a značíme je $\det\A$. V~uvedeném vzorci se sčítá přes všechny permutace $n$ prvků, tj. jedná se podle věty\cite[pocetperm] o~$n!$ sčítanců. \inl[determinant, detA] \poznamka %%%%%%%%% Je možné, že vzorec z~definice\cite[ddet] je pro některé čtenáře málo srozumitelný. Pokusíme se jej proto v~této poznámce trochu vysvětlit a zlidštit. Představme si čtvercovou matici jako šachovnici rozměru $n\times n$ a pokusme se na ni rozmístit $n$ šachových věží tak, aby se vzájemně neohrožovaly. Podle poznámky\cite[inverzniperm], odst.~(3) je možné každé takové rozmístění popsat jednou permutací (pozice věží čteme po řádcích). Podle věty\cite[pocetperm] vidíme, že existuje $n!$ různých permutací, tedy existuje $n!$ různých řešení této šachové úlohy. Pro každé řešení této úlohy zapíšeme odpovídající permutaci, zjistíme znaménko této permutace, nadzvedneme věžičky a zapíšeme si hodnoty prvků, na kterých ty figurky stojí, vynásobíme tyto hodnoty mezi sebou a výsledek ještě násobíme znaménkem permutace. Pak si tento výsledek uložíme do paměti. Až projdeme všech $n!$ možností rozmístění věží, získáme v~paměti $n!$ sčítanců a ty sečteme. Výsledkem je determinant matice. \priklad [sarrus] %%%%%%%% Hledejme determinant matice z $\R^{3,3}$ tvaru $$ \A = \pmatrix{a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\cr a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\cr a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}}. $$ Podle vzorce z~definice\cite[ddet] budeme sčítat přes všechny permutace tří prvků. Těch je podle věty\cite[pocetperm] $3!=6$. Zapíšeme všechny tyto permutace, jejich znaménka a odpovídající rozmístění \uv{šachových věží}. $$ \font\bigO=cmsy10 scaled\magstep4 \def\o#1{{\ooalign{\hfil\hbox{$#1$}\hfil\crcr \raise-.8ex\hbox{\bigO\char"0D}}}} \displaylines{ \pi=(1,2,3),\quad \sgn\pi=+1, \quad \pmatrix{\o{a_{1,1}}&a_{1,2}&a_{1,3}\cr a_{2,1}&\o{a_{2,2}}&a_{2,3}\cr a_{3,1}&a_{3,2}&\o{a_{3,3}}}, \quad \hbox{sčítanec:}\quad + a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}. \cr \pi=(2,3,1),\quad \sgn\pi=+1, \quad \pmatrix{a_{1,1}&\o{a_{1,2}}&a_{1,3}\cr a_{2,1}&a_{2,2}&\o{a_{2,3}}\cr \o{a_{3,1}}&a_{3,2}&a_{3,3}}, \quad \hbox{sčítanec:}\quad + a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}. \cr \pi=(3,1,2),\quad \sgn\pi=+1, \quad \pmatrix{a_{1,1}&a_{1,2}&\o{a_{1,3}}\cr \o{a_{2,1}}&a_{2,2}&a_{2,3}\cr a_{3,1}&\o{a_{3,2}}&a_{3,3}}, \quad \hbox{sčítanec:}\quad + a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}. \cr \pi=(3,2,1),\quad \sgn\pi=-1, \quad \pmatrix{a_{1,1}&a_{1,2}&\o{a_{1,3}}\cr a_{2,1}&\o{a_{2,2}}&a_{2,3}\cr \o{a_{3,1}}&a_{3,2}&a_{3,3}}, \quad \hbox{sčítanec:}\quad - a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}. \cr \pi=(2,1,3),\quad \sgn\pi=-1, \quad \pmatrix{a_{1,1}&\o{a_{1,2}}&a_{1,3}\cr \o{a_{2,1}}&a_{2,2}&a_{2,3}\cr a_{3,1}&a_{3,2}&\o{a_{3,3}}}, \quad \hbox{sčítanec:}\quad - a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,3}. \cr \pi=(1,3,2),\quad \sgn\pi=-1, \quad \pmatrix{\o{a_{1,1}}&a_{1,2}&a_{1,3}\cr a_{2,1}&a_{2,2}&\o{a_{2,3}}\cr a_{3,1}&\o{a_{3,2}}&a_{3,3}}, \quad \hbox{sčítanec:}\quad - a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}. \cr \let\cdot=\, \det\A = a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3} + a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1} + a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2} - a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1} - a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,3} - a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}. } $$ Tento vzorec se dá zapamatovat pomocí mnemotechnické pomůcky: nejprve násobíme prvky na hlavní diagonále, dále ve směrech rovnoběžných s~hlavní diagonálou a součiny sčítáme. Pak násobíme prvky na vedlejší diagonále, dále ve směrech rovnoběžných s~vedlejší diagonálou, přičemž tyto součiny odečítáme. Této \uv{poučce o~diagonálách}, která je použitelná jen pro matice typu $(3,3)$, říkáme {\em Sarrusovo pravidlo}. Toto populární pravidlo tedy není nic jiného než rozepsání definice determinantu pro matice z~$\R^{3,3}$. \inl[pravidlo: Sarrusovo, Sarrusovo: pravidlo] Pro matici typu $(4,4)$ bychom dostali při výpočtu determinantu podle definice $4!=24$ sčítanců. Pro takovou matici se už těžko hledají mnemotechnické pomůcky. Má-li čtenář čas a místo na papíře, může se pokusit sestavit všechny permutace čtyř prvků, najít jejich znaménka a sečíst odpovídající součiny. Pokud čtenář nemá čas nebo místo na papíře, udělá nejlíp, když si počká na další metodu na počítání determinantů, která bude vyžadovat daleko méně početních úkonů. Na druhé straně rozepsání vzorce pro determinant matice typu $(4,4)$ je užitečné cvičení pro pochopení definice determinantu. \priklad [krizdet] %%%%%%%% Podobně, jako v~předchozím příkladě, odvodíme vzorec pro výpočet determinantu matice z~$\R^{2,2}$. $$ \font\bigO=cmsy10 scaled\magstep4 \def\o#1{{\ooalign{\hfil\hbox{$#1$}\hfil\crcr \raise-.8ex\hbox{\bigO\char"0D}}}} \displaylines{ \pi=(1,2),\quad \sgn\pi=+1, \quad \pmatrix{\o{a_{1,1}}&a_{1,2}\cr a_{2,1}&\o{a_{2,2}}}, \quad \pi=(2,1),\quad \sgn\pi=-1, \quad \pmatrix{a_{1,1}&\o{a_{1,2}}\cr \o{a_{2,1}}&a_{2,2}}, \cr \det\A = a_{1,1}\cdot a_{2,2} - a_{1,2}\cdot a_{2,1}.} $$ Pro úplnost uvedeme ještě hodnotu determinantu matice $\A=(a_{1,1})$ typu $(1,1)$. Zřejmě je $\det\A=a_{1,1}$. \definice [diagonala] %%%%%%%%% Nechť $\A=(a_{i,j})\in\R^{n,n}$ je čtvercová matice. {\em Hlavní diagonála matice $\A$} je skupina jejích prvků $a_{1,1}, a_{2,2}, \ldots, a_{n,n}$. {\em Vedlejší diagonála matice $\A$} zahrnuje prvky $a_{1,n}, a_{2,n-1}, \ldots, a_{n,1}$. {\em Prvek pod hlavní diagonálou} je každý prvek $a_{i,j}$, pro který platí $i>j$. {\em Prvek nad hlavní diagonálou} je každý prvek $a_{i,j}$, pro který platí $i. $$ \poznamka %%%%%%%%% Protože uvedené tři vektory z výsledku příkladu\cite[homoprikl] jsou lineárně nezávislé, tvoří jednu z možných bází prostoru $M_0$. To se nestalo náhodou, ale platí to vždy, jak ukazuje následující věta. \veta [homoveta] %%%%% Nechť $\A\,\vec x = \vec o$ je homogenní soustava lineárních rovnic o~$n$ neznámých, $k=n-\hod\A$. Pak existuje $k$ lineárně nezávislých vektorů $\vecc u_k$ z~$\R^n$ takových, že pro množinu $M_0$ všech řešení soustavy $\A\,\vec x = \vec o$ platí $$ M_0 = \lob<\vecc u_k> \quad\hbox{pro $k>0$},\qquad M_0 = \{\vec o\}\quad\hbox{pro $k=0$}. $$ Vektory $\vecc u_k$ tvoří jednu z možných bází lineárního prostoru všech řešení~$M_0$. \dukaz %%%%%% Vektory $\vecc u_k$ najdeme analogicky, jako jsme to udělali v~příkladu\cite[homoprikl]. Algoritmus\cite[metodahodnosti] zaručuje, že počet rovnic soustavy po eliminaci je roven $\hod\A$ a je roven počtu neznámých, které můžeme z rovnic vypočítat. Ostatních $k=n-\hod\A$ neznámých $x_{i_1}, x_{i_2}, \ldots, x_{i_k}$ může nabývat libovolných hodnot a zaveďme pro ně parametry $x_{i_1}=p_1, x_{i_2}=p_2, \ldots, x_{i_k}=p_k$. Všechna řešení získáme například dosazovací metodou použitou na rovnice po eliminaci (začínáme poslední rovnicí a končíme první). Z~tohoto řešení můžeme vytknout parametry: $$ (x_1, x_2, \ldots, x_n) = \lkvecc p.u_k \rce(uhomo) $$ a dostáváme hledané vektory $\vecc u_k$. Z uvedené rovnosti a z definice lineárního obalu\cite[linobal] přímo plyne, že pro množinu všech řešení platí $M_0 = \lob<\vecc u_k>$. Zbývá dokázat, že vektory $\vecc u_k$ jsou lineárně nezávislé. Označme $\vec u'_1\in\R^k$, $\vec u'_2\in\R^k, \ldots,$ $\vec u'_k\in\R^k$ ty části vektorů $\vecc u_k$, které obsahují jen složky $i_1, i_2, \ldots, i_k$. Protože platí rovnost\cite(uhomo) a také platí označení $x_{i_1} = p_1, x_{i_2}=p_2, \ldots, x_{i_k}=p_k$, dostáváme $$ \vec u'_1 = (1,0,0, \ldots,0),\quad \vec u'_2 = (0,1,0, \ldots,0),\quad \ldots,\quad \vec u'_k = (0,0,0, \ldots,1). $$ Toto jsou lineárně nezávislé vektory. Z toho plyne, že jsou lineárně nezávislé i vektory $\vecc u_k$, protože $\vecc {u'}_k$ jsou jejich části. Závěrečné tvrzení věty, že vektory $\vecc u_k$ tvoří bázi prostoru řešení homogenní soustavy, plyne přímo z definice báze\cite[dbase]. \veta* [dimhomo] %%%%% Nechť $M_0$ je lineární prostor všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic $\A\,\vec x = \vec o$ s~$n$ neznámými. Pak $\dim M_0 = n - \hod\A$. \dukaz %%%%%% Věta je přímým důsledkem předchozí věty\cite[homoveta]. \poznamka %%%%%%%%% Nechť $n$ je počet neznámých homogenní soustavy $\A\,\vec x = \vec o$. Pak z věty\cite[dimhomo] plyne tento důsledek: $$\eqalign{ \hod\A = n &\quad \hbox{pak soustava má jen nulové řešení},\cr \hod\A < n &\quad \hbox{pak soustava má nekonečně mnoho řešení}.} $$ \okraj Řešení nehomogenní soustavy | Reseni nehomogenni soustavy \definice [partikul] %%%%%%%%% Nechť $\A\,\vec x = \vec b$ je nehomogenní soustava lineárních rovnic o~$n$ neznámých a $\vec v\in\R^n$ je nějaké jedno její řešení. Takovému řešení $\vec v$ říkáme {\em partikulární řešení\/} nehomogenní soustavy. Pokud zaměníme sloupcový vektor $\vec b$ za nulový vektor stejného typu, dostáváme homogenní soustavu $\A\,\vec x = \vec o$, kterou nazýváme {\em přidruženou homogenní soustavou\/} k~soustavě $\A\,\vec x = \vec b$. \inl[soustava: rovnic: nehomogenní, nehomogenní: soustava rovnic] \inl[řešení: soustavy: patrikulární, partikulární: řešení soustavy] \inl[soustava: homogenní: přidružená, přidružená homogenní soustava] \veta [nehomoprst] %%%%% {(1)} Nechť $\vec v$ je partikulární řešení nehomogenní soustavy $\A\,\vec x = \vec b$ a $\vec u$ je libovolné řešení přidružené homogenní soustavy $\A\,\vec x = \vec o$. Pak $\vec v + \vec u$ je také řešením soustavy $\A\,\vec x = \vec b$. (2) Nechť $\vec v$ a $\vec w$ jsou dvě partikulární řešení nehomogenní soustavy $\A\,\vec x = \vec b$. Pak $\vec v - \vec w$ je řešením přidružené homogenní soustavy $\A\,\vec x = \vec o$. \dukaz %%%%%% (1) Podle předpokladu platí $\A\,\vec v = \vec b$, $\A\,\vec u = \vec o$. Pro součet $\vec v + \vec u$ pak platí $$ \A\,(\vec v + \vec u) = \A\,\vec v + \A\,\vec u = \vec b + \vec o = \vec b. $$ (2) Podle předpokladu platí $\A\,\vec v = \vec b$, $\A\,\vec w = \vec b$. Pro rozdíl $\vec v - \vec w$ pak platí $$ \A\,(\vec v - \vec w) = \A\,\vec v - \A\,\vec w = \vec b - \vec b = \vec o. $$ \veta* [partikul+obal] %%%%% Nechť $\vec v$ je partikulární řešení soustavy $\A\,\vec x = \vec b$ a $M_0$ je lineární prostor všech řešení přidružené homogenní soustavy $\A\,\vec x = \vec o$. Pak pro množinu $M$ všech řešení soustavy $\A\,\vec x = \vec b$ platí $$ M = \bigl\{\vec v + \vec u;\enspace \vec u\in M_0\bigr\}. $$ \dukaz %%%%%% Z vlastnosti (1) věty\cite[nehomoprst] plyne, že $\{\vec v + \vec u;\enspace \vec u\in M_0\} \subseteq M$. Stačí dokázat obrácenou inkluzi. Pokud $\vec w\in M$, pak podle vlastnosti (2) věty\cite[nehomoprst] existuje $\vec u = \vec w - \vec v \in M_0$, takže $\vec w\in \{\vec v + \vec u;\enspace \vec u\in M_0\}$. Platí tedy i obrácenná inkluze. \poznamka [v+M0] %%%%%%%%% Množinu všech řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic zapisujeme většinou zjednodušeně jako součet partikulárního řešení a lineárního prostoru všech řešení přidružené homogenní soustavy takto: $$ M = \vec v + M_0 = \vec v + \lob<\vecc u_k>. \rce(nehomoreseni) $$ Řešit nehomogenní soustavu tedy znamená najít partikulární řešení $\vec v$ a dále najít $k$ lineárně nezávislých řešení přidružené homogenní soustavy $\vecc u_k$ ($k$ je rovno počtu neznámých mínus hodnost matice soustavy). Výsledek je obvyklé psát ve tvaru\cite(nehomoreseni). \priklad [nehomoruc] %%%%%%%% Najdeme množinu všech řešení soustavy lineárních rovnic se šesti neznámými: $$ \soustava{x_1 +\1x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 3x_5 + 3x_6 =& 1 \cr x_1 +\1x_2 +\1x_3 + 3x_4 +\1x_5 +\1x_6 =& \!\!-1 \cr 2x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 6x_4 + 2x_5 + 8x_6 =& 10 } $$ Eliminujeme rozšířenou matici soustavy. $$ \def\+{\kern3pt} \def\|{\kern4pt\strut\vrule}\! \thickmuskip=3mu \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \|& 1 \cr 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \|& -1 \cr 2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 8 \|& 10 } \sim \matice{1 &\+1 & 2 &\+3 & 3 & 3 \|& 1 \cr 0 & 0 &-1 & 0 &-2 &-2 \|& -2 \cr 0 & 0 &-2 & 0 &-4 & 2 \|& 8 } \sim \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \|& 1 \cr 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \|& 2 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \|& 12 } \sim \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \|& 1 \cr 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \|& 2 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \|& 2 }.\! $$ Z poslední rovnice budeme počítat $x_6$, z předposlední rovnice $x_3$ a z první rovnice $x_1$. Hodnoty neznámých $x_2, x_4, x_5$ mohou být libovolné. Zaveďme pro ně parametry $x_2=t$, $x_4=u$, $x_5=v$. Z poslední rovnice máme $x_6=2$, z předposlední rovnice $x_3 = 2 -2v -2\cdot2 = -2 -2v$ a konečně z~první rovnice dostáváme $x_1 = 1 -t -2(-2-2v) -3u -3v -3\cdot2 = -1 -t +v -3u$. Výsledek sumarizujeme takto: $$\eqalign{ (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) &= (-1 -t +v -3u, t, -2 -2v, u, v, 2) =\cr &= (-1,0,-2,0,0,2) + t\,(-1,1,0,0,0,0) + u\,(-3,0,0,1,0,0) + v\,(1,0,-2,0,1,0). } $$ Z tohoto zápisu vyplývá, že množina všech řešení dané nehomogenní soustavy je rovna $$ M = (-1,0,-2,0,0,2) + \bigl<(-1,1,0,0,0,0), (-3,0,0,1,0,0), (1,0,-2,0,1,0)\bigr>. $$ Vektor $(-1,0,-2,0,0,2)$ je partikulárním řešením dané nehomogenní soustavy a vektory $(-1,1,0,0,0,0)$, $(-3,0,0,1,0,0)$, $(1,0,-2,0,1,0)$ tvoří bázi prostoru řešení přidružené homogenní soustavy. \poznamka %%%%%%%%% Ve výše uvedeném příkladě jsem spočítali partikulární řešení i bázi množiny řešení přidružené homogenní soustavy v jediném postupu. Často ale takovéto lineární úlohy řešíme ve dvou krocích. Nejprve najdeme bázi řešení přidružené homogení soustavy (to jsme provedli v~příkladu\cite[homoprikl]) a poté je třeba \uv{uhodnout} jedno řešení dané nehomogení soustavy. Takové řešení prohlásíme za partikulární řešení. Nakonec zapíšeme výsledek v souladu s poznámkou\cite[v+M0] ve formě \uv{partikulární řešení plus lineární obal báze množiny řešení přidružené homogenní soustavy}. Partikulární řešení můžeme najít po přímém chodu eliminační metody, když rozhodneme, které proměné budeme pomocí rovnic počítat. Těm ostatním proměným můžeme přidělit jakákoli čísla, třeba nuly. Po dosazení těchto čísel vzniká soustava, která má stejně rovnic jako neznámých a má regulární matici, tedy má jediné řešení. Toto řešení obsahuje hodnoty hledaných proměnných. Třeba v příkladě\cite[nehomoruc] jsme rozhodli, že budeme počítat proměnné $x_1, x_3, x_6$, takže při hledání partikulárního řešení proměnným $x_2, x_4, x_5$ přidělíme třeba nuly. Po dosazení těchto nul dostáváme soustavu s maticí $$ \def\|{\kern4pt\strut\vrule} \matice{1 & 2 & 3 \|& 1 \cr 0 & 1 & 2 \|& 2 \cr 0 & 0 & 1 \|& 2 }.\! $$ Nyní můžeme použít zpětný chod Gaussovy eliminační metody nebo počítat dosazovací metodou od poslední rovnice k první. Dostáváme řešení $x_1=-1, x_3=-2, x_6=2$, takže partikulárním řešením je $(-1,0,-2,0,0,2)$. \okraj Strojové\hb řešení\hb soustav | Strojove reseni soustav \poznamka %{\it O strojovém zpracování soustav lineárních rovnic}. %%%%%%%%% Při strojovém hledání řešení rozsáhlých soustav většinou jde o to najít jedno partikulární řešení a bázi prostoru řešení přidružené homogenní soustavy. Přitom není nutné programovat symbolické výpočty, jako je například vytýkání parametrů podle rovnosti\cite(uhomo). V následujícím textu ukážeme, že stačí využít Gaussovu eliminační metodu. K nalezení báze přidružené homogenní soustavy můžeme použít následující větu\cite[genbasehomo] a k nalezení partikulírního řešení využijeme větu\cite[genpartikul]. \veta [genbasehomo] %%%%% Nechť homogenní soustava lineárních rovnic $\A\vec x = \vec o$ má matici soustavy ve tvaru $$\A=(\E\,|\,\C),$$ kde $\E\in\R^{m,m}$ je jednotková matice a $\C\in\R^{m,k}$ je libovolná matice. Pak existuje báze řešení této soustavy $\vecc b_k$, která má tvar: $$ \pmatrix {\vec b_1\cr \vec b_2\cr \vdots \cr \vec b_k} = (-\C^T \,|\, \E'), $$ kde $\E'\in\R^{k,k}$ je jednotková matice. \dukaz Nejprve překontrolujeme rozměry matic. Nechť počet neznámých soustavy je $n$, takže matice soustavy $\A$ je typu $(m,n)$. Počet sloupců $n$ této matice se skládá z~$m$ sloupců (matice $\E$) a $k$ sloupců (matice $\C$). Je tedy $n=m+k$. Dimenze prostoru řešení je podle věty\cite[dimhomo] rovna počtu neznámých minus $\hod\A$, což je $n-m=k$. To sedí. Skutečně matice $\B=(-\C^T|\E')$ má $k$ řádků a tyto jsou lineárně nezávislé (díky matici $\E'$). Matice $\B$ tedy může obsahovat řádky báze prostoru řešení. Stačí jen ověřit, že každý řádek matice $\B$ řeší soustavu $\A\vec x = \vec o$. Tj. stačí ověřit, že $\A\cdot\B^T={\bf O}$, kde ${\bf O}$ je nulová matice typu $(m,k)$: $$ \A\cdot\B^T = (\E\,|\,\C)\cdot \pmatrix{-\C\cr\noalign{\smallskip\hrule\smallskip}\E'} = \E\cdot(-\C) + \C\cdot\E' = -\C+\C = {\bf O}. $$ \poznamka %%%%%%%%% Tato věta nám umožňuje rovnou napsat bázi řešení homogenní soustavy, pokud je matice soustavy v uvedeném tvaru. Dokonce, pokud matice soustavy není v uvedeném tvaru, je někdy možné jí eliminací do tohoto tvaru převést, tj. ekvivalentní soustava může mít tento tvar. Pokud ani ekvivalentní soustava nemá tento tvar, dá se prohozením pořadí neznámých dospět k požadovanému tvaru matice soustavy. V takovém případě je ovšem nutné před zapsáním báze prostoru řešení prohodit sloupce matice $\B=(-\C^T|\E')$ zpět. Místo dlouhého vysvětlování ukážeme použití věty na našem příkladu\cite[homoprikl]. \priklad [homostroj] %%%%%%%% Najdeme bázi prostoru řešení soustavy z příkladu\cite[homoprikl]. Eliminujeme matici soustavy: $$ \def\+{\kern3pt} \def\|{\kern4pt\strut\vrule}\! \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \cr 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \cr 2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 8 } \sim \matice{1 &\+1 & 2 &\+3 & 3 & 3 \cr 0 & 0 &-1 & 0 &-2 &-2 \cr 0 & 0 &-2 & 0 &-4 & 2 } \sim \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \cr 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 } \sim \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \cr 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }. $$ Eliminujeme dále zpětným chodem, abychom ve sloupcích 1, 3 a 6 dostali jednotkové vektory: $$ \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \cr 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } \sim \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } \sim \matice{1 &\ 1 &\ 0 &\ 3 & -1 &\ 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } . $$ Prohodíme druhý sloupec s třetím a poslední sloupec s novým třetím (měníme pořadí proměnných) $$ \matice{1 &\ 0 &\ 0 &\ 3 & -1 &\ 1 \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 } $$ a dostáváme matici podle předpokladu věty\cite[genbasehomo]. Bázi řešení soustavy s takovou maticí můžeme podle této věty zapsat do matice, kde každý řádek obsahuje jeden vektor báze: $$ \matice { -3 & 0 &\ 0 &\ 1 &\ 0 &\ 0 \cr 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }. $$ Zpětně přehodíme poslední sloupec s třetím a druhý s novým třetím a dostáváme matici, obsahující (po řádcích) bázi řešení původní soustavy $$ \matice { -3 &\ 0 & 0 &\ 1 &\ 0 &\ 0 \cr 1 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \cr -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 }. $$ \veta [genpartikul] %%%%% Nechť soustava lineárních rovnic $\A\vec x=\vec b$ má matici soustavy ve tvaru $$\A=(\E\,|\,\C),$$ kde $\E\in\R^{m,m}$ je jednotková matice a $\C\in\R^{m,k}$ je libovolná matice. Pak partikulárním řešením soustavy je vektor $\vec v=(\vec b^T,\vec o)$, kde $\vec o\in\R^k$ je nulový vektor. \dukaz %%%%%% Stačí dosadit: $$\A\cdot\pmatrix{\vec b\cr\vec o}= (\E\,|\,\C)\pmatrix{\vec b\cr\vec o} = \E\vec b + \C\vec o = \vec b.$$ \priklad [pstroj] %%%%%%%% V tomto příkladě si ukážeme \uv{strojové} řešení soustav lineárních rovnic s využitím vět\cite[genbasehomo] a\cite[genpartikul]. K řešení nepotřebujeme nic jiného než dobře namazaný stroj zvládající přímý a zpětný chod Gaussovy eliminační metody. Najdeme množinu řešení soustavy lineárních rovnic s rozšířenou maticí: $$ \def\+{\kern3pt} \def\|{\kern4pt\strut\vrule}\! \thickmuskip=3mu \matice{1 & \+1 & -1 & \+11 & \+1 \|& 3 \cr 1 & 2 & 2 & 8 & 2 \|& 5 \cr 2 & 5 & 7 & 17 & 6 \|& 18 \cr 3 & 6 & 6 & 28 & 7 \|& 21 } $$ Pomocí přímého chodu eliminační metody matici převedeme na schodovitou matici. Po prohození třetího sloupce s posledním pak dostáváme matici, na které můžeme použít zpětný chod Gaussovy eliminační metody tak, že v levém bloku dostaneme jednotkovou matici. Nad matici jsme si poznamenali změněné pořadí proměných. $$ \def\+{\kern3pt} \def\|{\kern4pt\strut\vrule}\! \thickmuskip=3mu \!\matice{1 & \+1 & -1 & \+11 & \+1 \|& 3 \cr 1 & 2 & 2 & 8 & 2 \|& 5 \cr 2 & 5 & 7 & 17 & 6 \|& 18 \cr 3 & 6 & 6 & 28 & 7 \|& 21 } \sim \mathop{\matice{1 & \+1 & -1 & \+11 & \+1 \|& 3 \cr 0 & 1 & 3 & -3 & 1 \|& 2 \cr 0 & 0 & 0 & 4 & 1 \|& 6 }} \limits^{\vbox{\hbox to90pt {$x_1\hss x_2\hss x_3\hss x_4\hss x_5$\kern 18pt}\kern3pt}} {\!\leftrightarrow\!} \mathop{\matice{1 & \+1 & \+1 & \+11 & -1 \|& 3 \cr 0 & 1 & 1 & -3 & 3 \|& 2 \cr 0 & 0 & 1 & 4 & 0 \|& 6 }} \limits^{\vbox{\hbox to90pt {$x_1\hss x_2\hss x_5\hss x_4\hss x_3$\kern 18pt}\kern3pt}} \sim \matice{1 & \+0 & \+0 & \+14 & -4 \|& 1 \cr 0 & 1 & 0 & -7 & 3 \|& -4 \cr 0 & 0 & 1 & 4 & 0 \|& 6 } \! $$ Podle věty\cite[genbasehomo] má tato soustava bázi řešení přidružené homogení soustavy zapsanou v řádcích matice: $$ (-\C^T\,|\,\E') = \matice{-14 & 7 & -4 & \+1 & \+0 \cr 4 & -3 & 0 & 0 & 1} $$ a podle věty\cite[genpartikul] je partikulární řešení ve tvaru $(1, -4, 6, 0, 0)$. Po zpětném přehození sloupců tak, abychom popsali výsledek pro neznámé v pořadí $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ dostáváme řešení: $$ (1,-4,0,0,6) + \lob<(-14,7,0,1,-4),\, (4,-3,1,0,0)>, $$ které jsme zapsali jako součet partikulárního řešení a lineárního obalu báze množiny řešení přidružené homogenní soustavy, tedy v souladu s poznámkou\cite[v+M0]. \okraj Geometrická interpretace\hb množiny\hb řešení | Geometricka interpretace mnoziny reseni \dolu 2mm \obrazek .5+.02 11 obr6 { \p 18 200 {\varrho} \p 95 200 {\varrho'} \p 45 120 \vec v \p 97 55 O \p 100 105 \vec u_1 \p 85 103 \vec u_2 \p 23 152 \vec u_1 \p 7 175 \vec u_2 } \poznamka [geomnadroviny] %%%%%%%%% Představme si soustavu lineárních rovnic se třemi neznámými a s~jedinou nenulovou rovnicí. Pokud interpretujeme každou uspořádanou trojici, která je řešením soustavy, jako souřadnice bodu v~geometrickém prostoru, pak množina všech těchto bodů vyplní rovinu. V případě, že je naše soustava homogenní, pak množina řešení tvoří lineární podprostor dimenze $3-1=2$, tj. vyplní rovinu $\varrho'$ procházející počátkem~$O$, tj. bodem se souřadnicemi $(0,0,0)$. V případě, že soutava má nenulovou pravou stranu, pak množinou řešení je rovina, která neprochází počátkem. Je to rovina $\varrho$ rovnoběžná s množinou řešení přidružené homogenní soustavy $\varrho'$ a prochází bodem, který je dán jako partikulární řešení $\vec v$. Viz obrázek. {\emergencystretch=2em\par} \dolu 2mm \obrazek .5+.02 11 obr7 { \p 18 200 {\varrho} \p 90 135 {\sigma} \p 52 120 p } \poznamka [pruniknadrovin] %%%%%%%%% Představme si soustavu dvou lineárně nezávislých lineárních rovnic o třech neznámých. Množinu řešení interpretujme jako body v prostoru stejně jako v předchozí poznámce. Řešení první rovnice vyplní rovinu $\varrho$ a řešení druhé rovnice vyplní rovinu $\sigma$ (viz obrázek). Takže řešení obou rovnic \uv{společně} je průnikem rovin $\varrho$ a $\sigma$. To je přímka, označme ji $p$. Dimenze množiny řešení přidružené homogenní soustavy je podle věty\cite[dimhomo] rovna $3-2=1$. \poznamka %%%%%%%%% Tři lineárně nezávislé rovnice o třech neznámých mají jednobodové řešení, které je průnikem tří rovin, kde každá rovina je množinou řešení jedné rovnice. \poznamka %%%%%%%%% Nemá-li soustava tří rovnic o třech neznámých řešení, pak jednotlivé rovnice mají jako své množiny řešení roviny, které nemají společný průnik. Uvědomíme si, jakým způsobem se to může stát: buď jsou dvě roviny rovnoběžné a nikoli totožné, nebo mají roviny jako průnik přímky, které jsou rovnoběžné. \poznamka* [nadrovina] %%%%%%%%% Má-li soustava lineárních rovnic $n$ neznámých, pak množinou řešení je podmnožina~$\R^n$. Představme si, že nyní $n>3$. S trochou fantazie je možné si i tyto podmnožiny představit geometricky jako {\em zobecněné roviny}. Pojem {\em zobecněná rovina} se používá pro analogický geometrický útvar jako je rovina nebo přímka v~geo\-metrickém prostoru, ale může mít libovolnou (třeba větší) dimenzi. Zobecněná rovina nemusí na rozdíl od lineárního podprostoru procházet počátkem. Pokud ji ale posuneme do počátku, tvoří podprostor. Mluvíme-li tedy o {\em dimenzi zobecněné roviny}, máme na mysli dimenzi lineárního podprostoru, který vznikne posunutím zkoumané zobecněné roviny tak, aby procházela počátkem. \inl[zobecněná rovina] Množina řešení jedné rovnice ze soustavy je zobecněná rovina, která má dimenzi $n-1$. Množina řešení celé soustavy $\A\vec x=\vec b$ je průnikem těchto zobecněných rovin a je to zase zobecněná rovina~$\varrho$, která má podle věty\cite[dimhomo] dimenzi $n-\hod\A$. Množina řešení přidružené homogenní soustavy $\A\vec x=\vec o$ je zobecněná rovina $\varrho'$ taková, že prochází počátkem a $\varrho=\vec v+\varrho'$, kde $\vec v$ je partikulární řešení. Tedy $\varrho$ vzniká z $\varrho'$ posunutím o~$\vec v$. Nebo obráceně, $\varrho'$ vzniká posunutím $\varrho$ o~vektor~$-\vec v$. Obrázky u poznámek\cite[geomnadroviny] a\cite[pruniknadrovin] lze využít jako ilustraci pro množiny řešení libovolné soustavy lineárních rovnic. První obrázek říká, že zobecněná rovina, která je množinou řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic, je posunutá z počátku o partikulární řešení. Druhý obrázek říká, že množina řešení je zobecněná rovina, která je průnikem nadrovin, které jsou řešeními jednotlivých rovnic. \poznamka %%%%%%%%% Řešení soustavy jako průnik řešení jednotlivých rovnic, jak je popsáno v předchozích poznámkách, je pohled na řešení po rozdělení rozšířené matice soustavy $(\A\,|\,\vec b)$ na jednotlivé řádky. Každý řádek odpovídá jedné rovnici. Někdy se hodí jiný, sloupcový pohled, na řešení sousavy. Rozepišme matici soustavy na sloupce $\A=(\A_1,\A_2,\ldots,\A_n)$. Pak maticové násobení ve výrazu $\A\vec x=\vec b$ můžeme přepsat takto: $$ \A\cdot{\bf x}\ = \ (\A_1,\A_2,\ldots,\A_n)\cdot\pmatrix{x_1\cr x_2\cr\vdots\cr x_n} = \ x_1\A_1 + x_2\A_2 + \cdots + x_n\A_n \ = \ {\bf b} $$ takže řešení obsahuje koeficienty takové lineární kombinace sloupců, která je rovna vektoru pravých stran~$\vec b$. \okraj Nejedno\-značnost zápisu řešení | Nejednoznacnost zapisu reseni \poznamka [popis-reseni] %%%%%%%%% Již v úvodní kapitole o Gaussově eliminační metodě jsme zmínili, že množinu řešení soustavy lineárních rovnic neumíme popsat jednoznačným způsobem. Výjimkou je pouze případ, kdy má soustava jediné řešení. Víme totiž, že každý netriviální lineární podprostor má nekonečně mnoho bází a má-li soustava více řešení, pak i partikulární řešení může každý řešitel zapsat jiné. K různým zápisům téže množiny řešení můžeme dospět při výpočtu třeba tak, že volíme rozdílnou skupinu neznámých, které mohou nabývat libovolných hodnot. I při stejné skupině těchto neznámých nás nikdo nenutí, abychom tyto neznámé položili rovny jednonásobku parametru. V~modelových řešeních příkladů ze skript se můžeme setkat někdy i s~jinak volenými parametry tak, aby výsledek vyšel bez použití zlomků pouze s malými celými čísly. Tuto dovednost nebudeme v praktických příkladech (které nejsou modelové) potřebovat, takže nás nemusí frustrovat, že nám vycházejí ve výsledcích zlomky. Můžeme ovšem v závěru výpočtu každý vektor báze vynásobit společným jmenovatelem všech zlomků v jednotlivých složkách a znovu dostáváme vektory báze stejného lineárního prostoru, tentokrát s celočíselnými složkami. \inl[příklad: modelový, modelový příklad] Kvůli nejednoznačnosti popisu řešení soustav lineárních rovnic je užitečné vědět, jak poznáme, že dva různé popisy řešení popisují stejnou množinu řešení. To je rozebráno podrobně v následující poznámce. %Může nás zajímat, zda náš výsledek a výsledek, který třeba najdeme %ve skriptech, popisují stejnou množinu řešení. Jak to poznáme? %Především báze prostoru řešení přidružené homogenní soustavy musí %obsahovat v obou výsledcích podle věty\cite[stejnebase] %stejný počet prvků. Ověříme ještě, že jsou v obou výsledcích skutečně %báze, tj.~že jsou vektory popisující prostor řešení přidružené %homogenní soustavy skutečně lineárně nezávislé. Dále zjistíme, zda %oba výsledky popisují stejný podprostor řešení přidružené homogenní %soustavy. Na to máme lagoritmus porovnávání lineárních obalů\cite[algolrovnost]. %Přitom rozdíl dvou partikulárních řešení musí rovněž ležet v množině %přidružené homogenní soustavy. V následující poznámce shrneme, jak lze %tento test provést. \poznamka* [ruznareseni] %%%%%%%%% Co uděláme, pokud se nám dostanou do ruky dva zápisy řešení nějaké soustavy lineárních rovnic, a přitom nemáme k dispozici původní soustavu a nemůžeme tedy dosazovat? Jak v~tomto případě poznáme, že oba zápisy popisují stejné řešení? Jsou dány třeba tyto zápisy: \line{\hss\vbox to0pt{\hsize=.2\hsize \kern20pt $$ \C = \pmatrix {\vec u_1\cr \vec u_2\cr \vdots\cr \vec u_k \cr \vec g_1\cr \vec g_2\cr \vdots\cr \vec g_k \cr \vec v - \vec w} $$ \vss}} \nobreak\vskip-\baselineskip {\hsize=.77\hsize $$ \vec v + \lob<\vecc u_k> \ \buildrel ?\over = \ \vec w + \lob<\vecc g_k> $$ Nejprve ověříme lineární nezávislost vektorů $\vecc u_k$ a lineární nezávislost vektorů $\vecc g_k$. Dále zjistíme algoritmem\cite[algolrovnost], zda jsou rovny lineární obaly. Nakonec zjistíme, zda obě partikulární řešení popisují stejnou množinu řešení třeba podle vlastnosti~(2) věty\cite[nehomoprst] tímto testem: $\vec v - \vec w \in \lob<\vecc u_k>$. Na to se hodí algoritmus\cite[algoljeprvkem]. Spojením obou algoritmů dostáváme následující test: uvedené množiny se rovnají právě tehdy když vektory $\vecc u_k$ jsou lineárně nezávislé i vektory $\vecc g_k$ jsou lineárně nezávislé a hodnost matice $\C$ (zapsaná zde vpravo) je rovna~$k$. Protože pro velká $k$ je matice $\C$ \uv{příliš vysoká}, je někdy výhodné místo toho počítat hodnost matice $\C^T$. Podle věty\cite[hA=hAT] dostaneme stejný výsledek, ale navíc šetříme papírem a dalšími kancelářskými technologiemi. \par} \priklad %%%%%%%% Prověříme, zda množina $$ M_1 = (1,2,-4,-1,1,2) + \bigl< (7,1,-4,-2,2,0), (-8,3,-2,2,1,0), (2,-2,-6,1,3,0) \bigr> $$ je rovna množině $M$ z příkladu\cite[nehomoruc]. Díky tomu, že naše řešení z příkladu\cite[nehomoruc] obsahuje na pozicích 2, 4 a 5 systematicky rozmístěné nuly a jedničky, můžeme okamžitě pohledem do těchto pozic psát následující koeficienty lineárních kombinací: $$ \def\+{\hphantom{+}} \eqalign{ (7,1,-4,-2,2,0) &=\+1\,(-1,1,0,0,0,0)-2\,(-3,0,0,1,0,0)+2\,(1,0,-2,0,1,0),\cr (-8,3,-2,2,1,0) &=\+3\,(-1,1,0,0,0,0)+2\,(-3,0,0,1,0,0)+1\,(1,0,-2,0,1,0),\cr (2,-2,-6,1,3,0) &=-2\,(-1,1,0,0,0,0)+1\,(-3,0,0,1,0,0)+3\,(1,0,-2,0,1,0),\cr (1,2,-4,-1,1,2) &= (-1,0,-2,0,0,2) + 2\,(-1,1,0,0,0,0)-1\,(-3,0,0,1,0,0)+1\,(1,0,-2,0,1,0). } $$ Tyto rovnosti platí i v ostatních složkách (nejen ve složkách 2, 4 a 5) a můžeme tedy prohlásit, že $M_1=M$. Pro porovnání zkusíme ještě metodu počítání hodnosti matice $\C$ z poznámky\cite[ruznareseni]. Nejprve musíme ověřit, zda jsou vektory $(7,1,-4,-2,2,0), (-8,3,-2,2,1,0), (2,-2,-6,1,3,0)$ lineárně nezávislé (například eliminací třířádkové matice obsahující tyto vektory). Zjistíme, že jsou lineárně nezávislé. Pak spočítáme hodnost matice $\C$: $$ \thickmuskip=3mu \!\C^T = \matice{\!-1 &-3 & 1 & 7 &-8 & 2 &-2 \cr 1 & 0 & 0 & 1 & 3 &-2 &-2 \cr 0 & 0 &-2 &-4 &-2 &-6 & 2 \cr 0 & 1 & 0 &-2 & 2 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 3 &-1 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } \sim \matice{\!-1 &-3 & 1 & 7 &-8 & 2 &-2 \cr 0 &-3 & 1 & 8 &-5 & 0 &-4 \cr 0 & 1 & 0 &-2 & 2 & 1 & 1 \cr 0 & 0 &-2 &-4 &-2 &-6 & 2 \cr 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 3 &-1 } \sim \matice{\!-1 &-3 & \,1 & \,7 &-8 & \,2 &-2 \cr 0 &-3 & 1 & 8 &-5 & 0 &-4 \cr 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 3 &-1 }.\! $$ Je $\hod\C = 3$, takže platí $M = M_1$. \okraj Soustavy se čtvercovou maticí | Soustavy se ctvercovou matici \poznamka %%%%%%%%% Je-li $\A$ čtvercová matice, pak je výhodné při řešení soustavy $\A\,\vec x = \vec b$ spočítat $\det\A$. Pro $\det\A\not=0$ je $\hod\A$ rovna počtu neznámých, tj. matice $\A$ je regulární a soustava má jediné řešení. Množina řešení přidružené homogenní soustavy obsahuje totiž v tomto případě jediné řešení: nulový vektor. Po vynásobení rovnosti $\A\,\vec x = \vec b$ inverzní maticí $\A^{-1}$ zleva máme okamžitě řešení soustavy $\vec x = \A^{-1}\,\vec b$. Navíc můžeme použít pro zjištění jednotlivých složek řešení tzv.~Cramerovo pravidlo (viz následující větu). Pro $\det\A=0$ je $\hod\A$ menší než počet neznámých. Pokud má tato soustava podle Frobeniovy věty\cite[frobeni] řešení, pak po eliminaci a odstranění nulových řádků dostáváme soustavu, která už nemá čtvercovou matici. V tomto případě nezbývá nic jiného, než použít postup pro nalezení všech řešení, který byl již vyložen dříve. \veta (Cramerovo pravidlo) * [cramer] %%%%% Nechť $\A$ je regulární čtvercová matice. Pak pro $i$-tou složku řešení soustavy $\A\,\vec x = \vec b$ platí $$ \alpha_i = {\det \B_i \over \det\A}\,, $$ kde matice $\B_i$ je shodná s maticí $\A$ až na $i$-tý sloupec, který je zaměněn za sloupec pravých stran. \inl[pravidlo: Cramerovo, Cramerovo: pravidlo] \dukaz %%%%%% Víme, že platí $\vec x = \A^{-1}\,\vec b$. Podle věty\cite[A-1D] platí $$ \A^{-1} = (c_{i,j}) = \left({ D_{j,i} \over \det\A }\right), \quad \hbox{kde $D_{i,j}$ je matice doplňků k matici $\A$.} $$ Nechť $b_i$ jsou složky sloupce $\vec b$. Podle definice maticového násobení je $$ \alpha_i = \sum_{j=1}^n c_{i,j}\,b_j = \sum_{j=1}^n { D_{j,i} \over \det\A }\, b_j = { 1 \over \det\A }\,\Bigl( D_{1,i}\,b_1 + D_{2,i}\,b_2 + \cdots + D_{k,i}\,b_k\Bigr) = {\det \B_i \over \det\A}. $$ V poslední rovnosti jsme využili větu o rozvoji determinantu matice $\B_i$ podle $i$-tého sloupce, viz poznámku\cite[rozvojdoplnku]. \priklad %%%%%%%% Při řešení soustavy $$ \matice{1 & 2 & 3 \cr 3 & 4 & 5 \cr 5 & 6 & 8} \cdot \matice{x_1 \cr x_2 \cr x_3} = \matice{10 \cr 11 \cr 12} $$ použijeme Cramerovo pravidlo. Dostáváme: $$ x_1 = {1\over D} \left| \matrix{10 & 2 & 3 \cr 11 & 4 & 5 \cr 12 & 6 & 8}\right| , \quad x_2 = {1\over D} \left| \matrix{1 & 10 & 3 \cr 3 & 11 & 5 \cr 5 & 12 & 8}\right| , \quad x_3 = {1\over D} \left| \matrix{1 & 2 & 10 \cr 3 & 4 & 11 \cr 5 & 6 & 12}\right| , \quad \hbox{kde } D = \left| \matrix{1 & 2 & 3 \cr 3 & 4 & 5 \cr 5 & 6 & 8}\right|. $$ Vypočítáním čtyř determinantů z uvedených matic typu (3,3) dostáváme výsledek $$ x_1 = { 18 \over -2 } = -9, \quad x_2 = { -19 \over -2 } = { 19 \over 2 }, \quad x_3 = { 0 \over -2 } = 0, \quad (x_1, x_2, x_3) = \left(\! -9, {19\over2}, 0 \right). $$ \poznamka %%%%%%%%% Cramerovo pravidlo se nejeví pro výpočet řešení soustavy s regulární maticí příliš účelné. Potřebujeme spočítat $n+1$ determinantů matic typu $(n,n)$, což je pro velká $n$ náročnější, než spočítat inverzní matici eliminační metodou. Výhodná může být tato metoda pouze tehdy, když nepotřebujeme znát všechny složky řešení, ale jen některé. Například můžeme mít nějaký fyzikální model vyjádřený rozsáhlou soustavou lineárních rovnic, přičemž z mnoha stovek výstupních veličin (tj. složek řešení) nás zajímá jen~pár. \priklad %%%%%%%% Budeme řešit soustavu lineárních rovnic $$ \soustava{x +& py +& z =& 1 \cr x +& 2y +& z =& \!-1 \cr & y +& pz =& \!-1 } $$ Rozlišíme různé množiny řešení této soustavy podle hodnot reálného parametru $p$. Determinant matice soustavy je roven $D = p\,(2-p)$, takže pro $p\not=0$ a $p\not=2$ je matice soustavy regulární a soustava má jediné řešení. Například Cramerovým pravidlem zjistíme toto řešení: $$ \def\+{\hphantom{+}} x = {1\over D} \, \left|\matrix{\+1&p&1\cr-1&2&1\cr-1&1&p}\right| = % { p\,(p+1) \over p\,(2-p) } = { p+1 \over 2-p }, \quad y = {1\over D} \, \left|\matrix{1&\+1&1\cr1&-2&0\cr0&-1&p}\right| = { 2 \over p-2 }, \quad z = {1\over D} \, \left|\matrix{1&p&\+1\cr1&2&-1\cr0&1&-1}\right| = { 1 \over 2-p }. $$ Pro $p=0$ a $p=2$ musíme řešit soustavu individuálně. $$ \def\|{\kern3pt\strut\vrule} \jot=0pt \eqalign{ p=0:&\enspace \matice{1&0&1\|&1\cr1&2&1\|&-1\cr0&1&0\|&-1} \sim \matice{1&0&1\|&1\cr0&1&0\|&-1}, \quad \vcenter{\vbox{\hsize=.5\hsize \noindent při $z=t$, vychází $y=-1$, $x=1-t$, \hfil\break tj. $(x,y,z) = (1-t, -1, t)= (1,-1,0)+t(-1,0,1)$, \hfil\break množina řešení: $M = (1,-1,0) + \bigl<(-1,0,1)\bigr>$. }} \cr \noalign{\medskip} p=2:&\enspace \matice{1&2&1\|&1\cr1&2&1\|&-1\cr0&1&2\|&-1} \sim \matice{1&2&1\|&1\cr0&0&0\|&-1}, \quad \hbox{podle Frobeniovy věty soustava pro $p=2$ nemá řešení.} } $$ %% Zarazeno nove od zari 2006 \okraj Více pravých stran | Vice pravych stran \poznamka [AX=B] %%%%%%%%% Seznámíme se s možnostmi řešení většího množství soustav lineárních rovnic se stejnou maticí soustavy, ale s různými pravými stranami. Máme tedy dánu následující \uv{soustavu soustav} lineárních rovnic: $$ \A\cdot\vec x_1 = \vec b_1, \quad \A\cdot\vec x_2 = \vec b_2, \quad \ldots, \quad \A\cdot\vec x_k = \vec b_k. $$ Matice soustavy $\A\in\R^{m,n}$ je společná všem soustavám. Podle věty\cite[soucinsloupcu] vidíme, že uvedená soustava soustav je ekvivalentní maticové rovnici $$ \A\cdot\X = \B $$ kde matice $\X=(\vec x_1\ \vec x_2\ \ldots\ \vec x_k)$ obsahuje vedle sebe napsané sloupcové vektory neznámých z jednotlivých soustav a matice $\B=(\vec b_1\ \vec b_2\ \ldots \vec b_k)$ obsahuje sloupcové vektory pavých stran. Vyřešit tuto soustavu soustav znamená najít podmnožiny z $\R^n$, které jsou množinami řešení jednotlivých soustav. Tyto množiny řešení jsou tvaru $\vec v_i + M_0$, $i\in\{1,2,\ldots,k\}$, kde $\vec v_i$ je partikulární $i$-té soustavy a $M_0$ je množina řešení přidružené homogenní soustavy $\A\vec x=\vec o$. Ta je společná všem soustavám. Při řešení takových soustav soustav je přirozené před zahájením eliminace zapsat všechny sloupce pravých stran vedle sebe a eliminovat společně celou matici. To ilustruje následující příklad. \priklad %%%%%%%% Řešme maticovou rovnost $$ \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \cr 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \cr 2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 8 } \cdot \X = \matice{2 & 4 & 3 & 3 \cr 2 & 2 & 1 & 3 \cr 1 & 2 & 3 & 4 }. $$ Soustavu soustav řešíme eliminací: $$ \thickmuskip=3mu \def\|{\kern4pt\strut\vrule}\! \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \|& 2 & 4 & 3 & 3 \cr 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \|& 2 & 2 & 1 & 3 \cr 2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 8 \|& 1 & 2 & 3 & 4 } \sim \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \|& 2 & 4 & 3 & 3 \cr 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \|& 0 & 2 & 2 & 0 \cr 0 &\ 0 &\ 2 &\ 0 &\ 4 &-2 \|&\ 3 &\ 6 &\ 3 &\ 2 } \sim \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \|& 2 & 4 & 3 & 3 \cr 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \|& 0 & 2 & 2 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \|&-3 &-2 &\ 1 &-2 }. $$ Přidruženou homogenní soustavu známe už z předchozích příkladů, takže víme, že její prostor řešení má bázi $\{(-1,1,0,0,0,0), (-3,0,0,1,0,0), (1,0,-2,0,1,0)\}$. Partikulární řešení budeme hledat pro každý sloupec pravých stran zvlášť. Počítat budeme poslední, třetí a první složku, v ostatních předpokládáme nuly. Pro sloupec $(2,0,-3)^T$ máme řešení $({3\over2},0,1,0,0,-{1\over2})$, pro sloupec $(4,2,-2)^T$ máme řešení $(-{1\over3},0,{8\over3},0,0,-{1\over3})$, pro sloupec $(3,2,1)^T$ máme řešení $(-{5\over6},0,{5\over3},0,0,{1\over6})$ a konečně pro sloupec $(3,0,-2)^T$ máme řešení $({8\over3},0,{2\over3},0,0,-{1\over3})$. Zapíšeme-li tato řešení do sloupců vedle sebe, máme jedno z možných řešení pro hledanou matici $\X$. Když k této matici přičteme matici, která bude mít čtyři stejné sloupce tvaru $\alpha\,(-1,1,0,0,0,0)^T+ \beta\,(-3,0,0,1,0,0)^T + \gamma\,(1,0,-2,0,1,0)^T$, $\alpha,\beta,\gamma\in\R$, dostáváme zápis obecně všech matic $\X$, které vyhovují zadané maticové rovnici. \poznamka %%%%%%%%% Maticovou rovnici $\X\A=\B$ (při daných maticích $\A$, $\B$) bychom řešili například tak, že transponujeme obě strany rovnosti. Tím dostáváme $\A^T\cdot\X^T=\B^T$ a problém je převeden na tvar, se kterým už si víme rady. \veta [AXBsimEX] %%%%% Nechť $\A$ je regulární matice a $\B$ je libovolná matice se stejným počtem řádků. Platí: \noindent (1) Maticová rovnost $\A\X=\B$ má jediné řešení a tím řešením je $\X=\A^{-1}\,\B$, \noindent (2) Je-li $(\A\,|\,\B) \sim (\E\,|\,\C)$, kde $\E$ je jednotková matice, pak $\C=\A^{-1}\,\B$. Neboli $(\A\,|\,\B)\sim(\E\,|\,\A^{-1}\,\B)$. \dukaz %%%%%% \noindent (1) Stačí rovnost $\A\X=\B$ vynásobit zleva maticí $\A^{-1}$. \noindent (2) Soustava $\A\X = \B$ je podle předpokladu ekvivaletní se soustavou $\E\X=\C$. Řešením soustavy $\E\X=\C$ je zřejmě matice $\C$. Protože Gaussova eliminační metoda nemění množinu řešení a podle (1) víme, že řešením obou soustav je $\A^{-1}\B$. Takže $\C=\A^{-1}\B$. \poznamka %%%%%%%%% Důsledkem této věty je napříkad metoda výpočtu inverzní matice. Inverzní matice je podle definice\cite[inverseA] taková matice $\X$, pro kterou platí $\A\X=\E$. Stačí tedy v předchozí větě volit $\B=\E$. \okraj Řešení soustav pomocí LU rozkladu | Reseni soustav pomoci LU rozkladu \poznamka %%%%%%%%% Předpokládejme regulární matici $\A\in\R^{n,n}$ a soustavu lineárních rovnic $\A\vec x = \vec b$. Jediné řešení této soustavy můžeme počítat ze vzorce $\A^{-1}\vec b$. K výpočtu matice $\A^{-1}$ eliminací potřebujeme $2n^3$ operací (za jednu operaci považujeme přičtení násobku jednoho čísla k jinému). A pro maticové násobení $\A^{-1}\vec b$ potřebujeme dalších $n^2$ operací. Je zřejmé, že přímá úprava rozšířené matice eliminací spotřebuje nepatrně méně operací: $n^2(n+1)=n^3+n^2$ operací. Ještě méně operací potřebujeme při řešení této soustavy LU rozkladem. Postup řešení je vysvětlen v následujícím algoritmu. \algoritmus [LUsoustava] %%%%%%%%%%% Nechť $\A$ je regulární matice, $\A\P=\L\U$ je její LU rozklad. Pak: $$ \eqalign{ \A=\L\U\P^T, \quad &\hbox{tedy soustavu }\A\vec x = \vec b \hbox{ lze zapsat ve tvaru } \L\,(\U\,(\P^T\vec x)) = \vec b\cr &\hbox{ a řešit postupně tři soustavy: } \L\vec z = \vec b, \quad \U\vec y = \vec z, \quad \P^T\vec x = \vec y } $$ Přitom první a třetí soustavu není nutné řešit, protože algoritmus LU rozkladu\cite[LUalgol] poskytuje jako vedlejší produkt matici $L'=L^{-1}$ a dále platí $\P=(\P^T)^{-1}$. Takže řešíme jedinou soustavu $\U\,\vec y = \L'\,\vec b$ a podle permutační matice $\P$ přehodíme případně pořadí proměnných, tedy provedeme $\vec x = \P\vec y$. \priklad %%%%%%%% Řešme LU rozkladem soustavu lineárních rovnic s maticí $$ \def\|{\kern4pt\strut\vrule} \A=\pmatrix{1&2&3\|&5\cr2&3&1\|&7\cr4&2&0\|&6} $$ LU rozklad matice této soustavy jsme provedli v příkladě\cite[pLU]. Takže víme, že $$ \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}} \L' = \pmatrix{+1&+0&+0\cr-2&+1&+0\cr+8&-6&+1}, \qquad \U = \pmatrix{1&+2&+3\cr0&-1&-5\cr0&+0&\,18}, \qquad \L'\cdot \vec b = \pmatrix{+1&+0&+0\cr-2&+1&+0\cr+8&-6&+1}\cdot\pmatrix{5\cr7\cr6} = \pmatrix{+5\,\cr-3\,\cr+4\,} $$ Soustava $\U\,\vec y = \L'\,\vec b$ má rozšířenou matici: $$ \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}} \def\|{\kern8pt\strut\vrule} \pmatrix{1&+2&+3\|&+5\,\cr0&-1&-5\|&-3\,\cr0&+0&\hfill18\|&+4\,}, $$ kterou vyřešíme postupným dosazením \uv{zespoda nahoru}: $y_3={2\over9}$, $y_2= {17\over9}$, $y_1={5\over9}$. Permutační matice $\P$ je v tomto případě jednotková, takže $x_1=y_1$, $x_2=y_2$, $x_3=y_3$ a dostávéme řešení soustavy $({5\over9},{17\over9},{2\over9})$. \poznamka %%%%%%%%% Kolik operací (přičtení násobku čísla k jinému) potřebujeme k vyřešení soustavy $\A\vec x=\vec b$ s regulární maticí typu $(n,n)$? K nalezení matic $\U$ a $\L'$ potřebuje algoritmus LU rozkladu zhruba $n^3/2$ operací. K výpočtu pravé strany $\vec z$ potřebujeme $n^2/2$ operací a k vyřešení soustavy $\U\vec y = \vec z$ potřebujeme také $n^2/2$ operací. K prohození proměnných (přechod mezi vektorem $\vec y$ a $\vec x$) potřebujeme zhruba $n$ operací, což je ve srovnání s počtem $n^2$ operací pro výpočet $\vec y$ zanedbatelné. Shrnutí: na přípravu matice $\A$ (LU rozklad) je potřeba $n^3/2$ operací a na výpočet řešení pak už stačí $n^2$ operací. Zdá se, že počet operací při řešení soustav pomocí LU rozkladu nebo Gaussovou eliminační metodou se příliš neliší. Ovšem jsou známy algoritmy LU rozkladu se stejnou složitostí jako násobení matic. Přitom násobení matic se dá optimalizovat tak, že potřebuje méně operací než $n^3$ (viz\cite[strassen]). Za určitých okolností při rozsáhlých soustavách může tedy být řešení soustav LU rozkladem efektivnější. %Je dobré si uvědomit, že při řešení obecných %soustav po přímém chodu Gaussovy eliminační metody a po %přehození proměnných, které z rovnic počítáme \uv{dopředu} %je levý blok v matici soustavy regulární. Viz třeba %příklad\cite[pstroj]. Ostatní sloupce vpravo od regulárního bloku %můžeme vnímat jako sloupce pravých stran. Takže i pro tento případ je %možné použít LU rozklad. \okraj Nulový prostor matice a~$\lobr<\A>$ | Nulovy prostor matice a \definice [nullprst] %%%%%%%%% Nechť $\A\in\R^{m,n}$. {\em Nulový prostor matice $\A$} je lineární podprostor všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic $\A\vec x=\vec o$. Tento podprostor značíme $\nullsp\A$. \inl[prostor: nulový matice, nulový: prostor matice] \poznamka %%%%%%%%% Je-li dána matice $\A$, pak k ní můžeme sestrojit dva lineární podprostory lineárního prostoru $\R^n$: nulový prostor $\nullsp\A$ a lineární obal řádků matice $\lobr<\A>$. Mezi těmito dvěma lineárními podprostory je zajímavý vztah: \veta %%%%% Nechť $\A\in\R^{m,n}$. Pak (1) pro každý vektor $\vec z\in\nullsp\A$ a pro každý vektor $\vec a\in\lobr<\A>$ platí: $\vec a\cdot\vec z^T = 0$. (2) $\lobr<\A>\cap \nullsp\A = \{\vec o\}$. (3) $\dim\lobr<\A> + \dim\nullsp\A = n$. (4) Pro každý vektor $\vec x\in\R^n$ existují jediné vektory $\vec a\in\lobr<\A>$ a $\vec z\in\nullsp\A$ tak, že $\vec x = \vec a + \vec z$. \dukaz (1) Rovnost $\vec a\cdot\vec x^T=0$ můžeme po složkách rozepsat jako $ a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = 0 $ a vnímat ji jako rovnici s koeficienty $\vec a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$. Protože $\vec a\in\lobr<\A>$, je $\vec a$ lineární kombinací řádků matice~$\A$, tedy uvedená rovnice vznikla jako lineární kombinace rovnic ze soustavy $\A\vec x=\vec o$. Řešení $\vec z\in\nullsp\A$ splňuje nejen všechny rovnice ze soustavy $\A\vec x=\vec y$, ale také všechny jejich lineární kombinace, takže platí $a_1z_1 + a_2z_2 + \cdots + a_nz_n = 0$. (2) Je-li $\vec x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\lobr<\A>\cap\nullsp\A$, musí $x_1x_1+x_2x_2+\cdots+x_n x_n = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 0$ a to je možné jen pro nulový vektor. (3) $\dim\lobr<\A>$ je hodnost $\A$ (podle definice). Vztah byl dokázán ve větě\cite[dimhomo]. (4) Předpokládejme, že $\hod\A=k$ a nechť $\vecc b_k$ je nějaká báze lineárního podprostoru $\lobr<\A>$ a nechť $\vec b_{k+1}, \vec b_{k+2}, \ldots, \vec b_n$ je báze lineárního podprostoru $\nullsp\A$. Pak podle věty\cite[lnMcupN] jsou vektory $\vecc b_n$ lineárně nezávislé a tvoří tedy bázi lineárního prostoru $\R^n$. Vektor $\vec x\in\R^n$ má vzhledem k této bázi souřadnice $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ a platí $$ \vec x = (\alpha_1\vec b_1 + \alpha_2\vec b_2 + \cdots + \alpha_k\vec b_k) + (\alpha_{k+1}\vec b_{k+1} + \alpha_{k+2}\vec b_{k+2} + \cdots + \alpha_n\vec b_n). $$ První závorka v tomto výrazu je rovna vektoru $\vec a$ a druhá vektoru $\vec z$. Jejich jednoznačnost plyne z~jednoznačnosti souřadnic vzhledem k bázi. \poznamka %%%%%%%%% Nechť $\A\in\R^{m,n}$ a $\vec a\in\lobr<\A>$. Nechť $\vec z$ leží v nulovém prostoru matice~$\A$. Protože $\vec a\cdot\vec z^T=\vec z\cdot\vec a^T=0$, vidíme, že vektor $\vec a$ řeší homogenní rovnici s koeficienty $\vec z=(z_1,z_2,\ldots,z_n)$. Sestavíme matici $\B$, která v řádcích obsahuje bázi nulového prostoru matice $\A$. Pak zřejmě $\vec a$ řeší soustavu $\B\vec x=\vec o$. Takže nejen $\nullsp\A=\lobr<\B>$, ale také $\nullsp\B=\lobr<\A>$. \shrnuti %%%%%%%% Množina řešení soustavy lineárních rovnic je dle Frobeniovy věty\lcite[frobeni] prázdná, právě když hodnost rozšířené matice soustavy je větší než hodnost matice soustavy. Množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic s $n$ neznámými tvoří lineární podprostor lineárního prostoru $\R^n$\lcite[homolinprst]. Dimenze tohoto podprostoru je rovna $n-\hod\A$, kde $\A$ je matice soustavy a $n$ je počet neznámých\lcite[dimhomo]. Množina řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic se dá zapsat jako součet patrikulárního řešení a množiny řešení přidružené homogenní soustavy~/\ncite[partikul+obal],~\ncite[v+M0]/. V této kapitole jsme si ukázali algoritmus na hledání báze množiny řešení přidružené homogenní soustavy i na hledání partikulárního řešení~/\ncite[genbasehomo],\cite[genpartikul]/. Množina řešení soustavy lineárních rovnic tvoří z geometrického pohledu zobecněnou rovinu, která je průnikem zobecněných rovin, které jsou řešeními jednotlivých rovnic~/\ncite[pruniknadrovin],\cite[nadrovina]/. Je to také zobecněná rovina, která vzniká posunutím zobecněné roviny popisující množinu řešení přidružené homogenní soustavy z počátku o vektor partikulárního řešení Množinu řešení soustav lineárních rovnic nelze popsat jednoznačně~/\ncite[popis-reseni],\cite[ruznareseni]/. Posali jsme si algritmus, podle kterého poznáme, že dva na první pohled různé zápisy popisují stejnou množinu řešení. Soustavy se čtvercovou maticí mají svou matici singulární (pak po eliminaci už nemají čtvercovou matici), nebo regulární. Ta má jediné řešení ve tvaru $\A^{-1}\vec b$. Jednotlivé složky takového řešení se dají spočítat jako podíl determinantů~/Cramerovo pravidlo\cite[cramer]/. Vyřešit maticovou rovnici $\A\X=\B$ znamená totéž, jako vyřešit soustavu soustav se stejnou maticí soustavy a s různými pravými stranami\lcite[AX=B]. Eliminace $(\A\,|\,\B)\sim(\E\,|\,\C)$ počítá součin $\C=\A^{-1}\,\B$, což je jediné řešení soustavy $\A\X=\B$ v případě, že matice $\A$ je regulární\lcite[AXBsimEX]. V závěru kapitoly jsme ukázali řešení soustav lineárních rovnic LU rozkladem. \icviceni 5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola [linzob2] Matice lineárního zobrazení | Matice linearniho zobrazeni %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \okraj Zobrazení typu $\A\cdot\vec x$ | Zobrazeni A.x \veta [aA] %%%%% Nechť $\A\in\R^{m,n}$ je matice. Pak zobrazení $\a:\R^n\to\R^m$ definované předpisem $\a(\vec x) = \A\cdot\vec x$ je lineární. \dukaz Podle definice\cite[linzob] stačí ověřit, že $$ \A\cdot(\vec x + \vec y) = \A\cdot\vec x + \A\cdot\vec y, \qquad \A\cdot(\alpha\vec x) = \alpha(\A\cdot\vec x), $$ což platí díky větě\cite[soucinAB-vlastnosti]. \poznamka %%%%%%%%% Zobrazení v předchozí větě zobrazuje sloupcové vektory na sloupcové vektory, tedy přesněji bychom měli psát $\a:\R^{n,1}\to\R^{m,1}$. Ovšem vzhledem k izomorfismu mezi $\R^{n,1}$ a $\R^n$ (viz poznámku\cite[radkovevektory]) nebudeme dále tuto skutečnost zbytečně zdůrazňovat. \priklad [R4toR3] %%%%%%%% Najdeme jádro, defekt a hodnost zobrazení $\a:\R^4\to\R^3$, které je dáno předpisem $\a(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1+3x_2+2x_3+2x_4,3x_1+x_2+2x_4,5x_1+7x_2+4x_3+6x_4)$. Ze vzorce pro hodnotu zobrazení okamžitě plyne, že $$ \a(x_1,x_2,x_3,x_4)^T = \pmatrix{x_1+3x_2+2x_3+2x_4\cr 3x_1+x_2+2x_4\cr 5x_1+7x_2+4x_3+6x_4} = \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 3 & 1 & 0 & 2\cr 5 & 7 & 4 & 6} \cdot\pmatrix{x_1\cr x_2\cr x_3\cr x_4} = \A\cdot\vec x $$ takže $\a(\vec x) = \A\cdot\vec x$, kde $\A\in\R^{3,4}$. Hodnost zobrazení $\a$ je podle definice\cite[defhod] rovna dimenzi lineárního podprostoru všech hodnot zobrazení a tento podprostor je roven lineárnímu obalu všech obrazů bázových vektorů. Ve vstupním lineárním prostoru použijeme strandardní bázi. Platí $$ \a(1,0,0,0)=(1,3,5), \quad \a(0,1,0,0)=(3,1,7), \quad \a(0,0,1,0)=(2,0,4), \quad \a(0,0,0,1)=(2,2,6). $$ Všimneme si, že díky vlastnostem maticového násobení jsou obrazy bázových vektorů rovny jednotlivým sloupcům matice $\A$. Hodnost zobrazení $\a$ je tedy rovna lineárnímu obalu sloupců matice $\A$, ale protože podle věty\cite[hA=hAT] je $\hod\A=\hod\A^T$, stačí počítat dimenzi lineárního obalu řádků matice $\A$, neboli hodnost matice $\A$. $$ \A = \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 3 & 1 & 0 & 2\cr 5 & 7 & 4 & 6} \sim \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 0 & 8 & 6 & 4}, \qquad \hod\A=2 $$ Je tedy $\hod\a = \hod\A = 2$. Jádro zobrazení $\a$ je podle definice\cite[jadro] množina všech $\vec x\in\R^4$ takových, že $\A\cdot\vec x=\vec o$. Je to tedy lineární podprostor všech řešení homogenní soustavy rovnic s maticí $\A$. Řešit soustavy lineárních rovnic umíme: $$ \eqalign{ \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 3 & 1 & 0 & 2\cr 5 & 7 & 4 & 6} \sim \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 0 & 1 & 3/4 & 1/2} \sim {} &\pmatrix{1 & 0 & -1/4 & 1/2\cr 0 & 1 & \hfill3/4 & 1/2} = (\E\,|\,\C),\cr \noalign{\vskip-5pt} (-\C^T\,|\,\E) = {} &\pmatrix{\hfill1/4& -3/4& 1& 0\cr -1/2& -1/2& 0& 1} \sim \pmatrix{1 &-3 &4 & \hfill 0\cr 1 &\hfill 1 &0 &-2} } $$ Při výpočtu jsme použili větu\cite[genbasehomo]. $\ker\a = \lob<(1,-3,4,0),(1,1,0,-2)>$, $\defekt\a = \dim\ker\a = 2$. Tento příklad ilustruje lineární zobrazení, které není prosté (protože $\defekt\a>0$) a také není \uv{na}~$\R^3$ (protože $\dim\R^3=3$, ale $\hod\a=2$). \veta [hod=hod] %%%%% Nechť $\A\in\R^{m,n}$. Hodnost lineárního zobrazení $\a:\R^n\to\R^m$, které je dáno předpisem $\a(\vec x)=\A\cdot\vec x$, je rovna hodnosti matice $\A$, tedy: $$ \hod\a = \hod\A $$ \dukaz Důkaz povedeme stejně, jako když jsme počítali hodnost zobrazení v předchozím příkladu. Nechť $\{\vecc e_n\}$ je standardní báze lineárního prostoru $\R^n$. Díky vlastnostem maticového násobení je $\A\cdot\vec e_i$ rovno $i$-tému sloupci matice $\A$. Podle definic\cite[defhod] a\cite[dhodnost] platí: $$ \hod\a = \dim\a(\R^n) = \dim \a(\lob<\vecc e_n>) = \dim \lob<\a(\vec e_1), \a(\vec e_2), \ldots, \a(\vec e_n)> = \hod\A^T = \hod\A. $$ \poznamka %%%%%%%%% Je-li dána matice $\A\in\R^{m,n}$, pak jádrem lineárního zobrazení $\A\cdot\vec x$ je lineární podprostor všech řešení homogenní soustavy $\A\cdot\vec x=\vec o$, tedy její nulový prostor $\nullsp\A$. \poznamka %%%%%%%%% Věta\cite[def+hod] \uv{$\defekt\a+\hod\a=\dim L_1$} přechází v případě zobrazení typu $\A\cdot\vec x$ na větu\cite[dimhomo] \uv{$\dim \nullsp\A+\hod\A = {}$počet neznámých soustavy lineárních rovnic s~maticí~$\A$}. Defekt je totiž dimenze kernelu, což je dimenze nulového prostoru matice $\A$. Hodnost zobrazení je dle věty\cite[hod=hod] rovna hodnosti matice. Konečně $\dim L_1$ je rovna počtu sloupců v matici $\A$, tedy počtu neznámých soustavy. \poznamka %%%%%%%%% V následujícím textu na chvíli opustíme zobrazení typu $\A\cdot\vec x$, abychom se k němu později znovu vrátili obohaceni o další poznatky o obecných lineárních zobrazeních. Pak už budeme moci dokázat, že každé lineární zobrazení lineárních prostorů konečné dimenze je (až na izomorfismus) zobrazení typu $\A\cdot\vec x$, kde $\A$ je nějaká matice. \okraj Lineární prostor\hb lineárních zobrazení | Linearni prostor linearnich zobrazeni \poznamka %%%%%%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou lineární prostory. Symbolem $T$ označme množinu všech lineárních zobrazení z $L_1$ do $L_2$. V následující definici zavedeme součet dvou zobrazení, které jsou prvky množiny~$T$, a $\alpha$-násobek takového zobrazení. Ve větě\cite[lpZzob] pak dokážeme, že množina $T$ s těmito operacemi tvoří lineární prostor. \definice [lplzob] %%%%%%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2,\, \b: L_1\to L_2$ jsou lineární zobrazení a $\alpha\in\R$. Pak definujeme součet lineárních zobrazení $\a+\b: L_1\to L_2$ předpisem $(\a+\b)(\vec x) = \a(\vec x) + \b(\vec x)$ pro všechna $\vec x\in L_1$. Dále definujeme $\alpha$-násobek zobrazení $\a$ jako zobrazení $\alpha\a : L_1\to L_2$, které splňuje $(\alpha\a)(\vec x) = \alpha\a(\vec x)$ pro všechna $\vec x\in L_1$. \veta [lpZzob] %%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou lineární prostory a označme $T=\{\a: L_1\to L_2\}$. Pak $T$ s operacemi podle definice\cite[lplzob] je lineární prostor. \dukaz %%%%%% Nejprve je potřeba dokázat, že součet lineárních zobrazení je lineární zobrazení a $\alpha$ násobek lineárního zobrazení je také lineární zobrazení. Tedy pro ně musí platit vlastnosti (1) a (2) z definice\cite[linzob]. Nechť $\a\in T, \b\in T, \alpha\in\R$. Pro $\vec x\in L_1, \vec y\in\nobreak L_1$ a $\gamma\in\R$ platí: $$ \eqalign{ (1)\ &\ (\a+\b)(\vec x+\vec y) = \a(\vec x+\vec y) + \b(\vec x+\vec y) = \bigl(\a(\vec x)+\a(\vec y)\bigr) + \bigl(\b(\vec x)+\b(\vec y)\bigr) =\cr &\hskip 71pt = \bigl(\a(\vec x)+\b(\vec x)\bigr) + \bigl(\a(\vec y)+\b(\vec y)\bigr) = (\a+\b)(\vec x) + (\a+\b)(\vec y),\cr (2)\ &\ (\a+\b)(\gamma \vec x) = \a(\gamma \vec x) + \b(\gamma \vec x) = \gamma \a(\vec x) + \gamma \b(\vec x) = \gamma\bigl(\a(\vec x)+\b(\vec x)\bigr) = \gamma (\a+\b)(\vec x), \cr &\ \hbox{tj. $\a+\b$ je lineární,}\cr (1)\ &\ (\alpha\a)(\vec x+\vec y) = \alpha \a(\vec x+\vec y) = \alpha \bigl(\a(\vec x) + \a(\vec y)\bigr) = \alpha\a(\vec x) + \alpha\a(\vec y) = (\alpha\a)(\vec x) + (\alpha\a)(\vec y), \cr (2)\ &\ (\alpha\a)(\gamma \vec x) = \alpha\a(\gamma \vec x) = \alpha\bigl(\gamma\a(\vec x)\bigr) = (\alpha\gamma)\a(\vec x) = \gamma\bigl(\alpha\a(\vec x)\bigr) = \gamma (\alpha\a)(\vec x),\cr &\ \hbox{tj. $\alpha\a$ je lineární.} } $$ Dále je třeba dokázat, že pro operace $+$ a $\cdot$ z definice\cite[lplzob] platí axiomy linearity, tedy vlastnosti (1) až (7) z definice\cite[dlp]. Argumentace je zcela stejná, jako v~příkadu\cite[LPfunkci], takže ji zde nebudeme opakovat. Rozdíl je jen v tom, že se při argumentaci neopíráme o vlastnosti sčítání a násobení reálných čísel, ale opíráme se o axiomy linearity, které platí v~lineárním prostoru $L_2$. \okraj Lineární\hb zobrazení\hb na bázi | Linearni zobrazeni na basi \poznamka %%%%%%%%% Následující věta ukazuje, že pokud známe hodnoty zobrazení $\a:L_1\to L_2$ jen na bázi lineárního prostoru $L_1$ a toto zobrazení má být lineární, pak takové zobrazení existuje a je hodnotami na bázi jednoznačně určeno. % Z této věty pak snadno odvodíme, že každé lineární zobrazení $\a:\R^n\to\R^m$ % je typu $\A\cdot\vec x$, kde $\A$ je matice typu $(m,n)$. \veta* [zobnabasi] %%%%% Nechť $\{\vecc b_n\}$ je báze lineárního prostoru $L_1$ a nechť jsou dány libovolné vektory $\vecc y_n$ z~lineárního prostoru $L_2$. Pak existuje právě jedno lineární zobrazení $\a:L_1\to L_2$, pro které platí $$ \a(\vec b_i) = \vec y_i, \quad \forall i \in \{1,2,\ldots,n\}. \rce(anabasi) $$ \dukaz %%%%%% (1) Existence. Nechť $\vec x\in L_1$. Protože $\{\vecc b_n\}$ je báze $L_1$, existují souřadnice $\alpha_i\in\R$ vektoru $\vec x$ takové, že $\vec x = \lkvecc \alpha.b_n$. Hodnotu zobrazení $\a$ v bodě $\vec x$ nyní definujeme takto: $$ \a(\vec x) = \lkvecc \alpha.y_n. \rce(apodlebase) $$ Zobrazení, které vektorům přiřazuje jejich souřadnice, je lineární (viz větu\cite[sour-lin]). Z toho plyne, že zobrazení $\a$ definované vzorcem\cite(apodlebase) je lineární. Pečlivější čtenář si to rozepíše podrobněji. Protože souřadnice vektoru $\vec b_i$ vzhledem k bázi $(B)$ jsou všechny nulové s výjimkou $i$-té souřadnice, která je rovna jedné, platí $$ \a(\vec b_i) = \sum_{\textstyle{j=0\atop j\not=i}}^n 0\cdot \vec y_j + 1\cdot \vec y_i = \vec y_i, $$ takže zobrazení definované vzorcem\cite(apodlebase) splňuje požadovanou vlastnost\cite(anabasi). (2) Jednoznačnost. Nechť ještě $\b:L_1\to L_2$ je lineární a splňuje vlastnost\cite(anabasi). Pak je lineární i zobrazení $(\a-\b):L_1\to L_2$, protože množina lineárních zobrazení tvoří podle věty\cite[lpZzob] lineární prostor. Platí $(\a-\b)(\vec b_i) = \vec o$ $\forall i\in\{1,2,\ldots,n\}$, protože $\a$ i $\b$ splňují vlastnost\cite(anabasi). Z~linearity zobrazení $\a-\b$ plyne, že $$ \eqalign{ (\a-\b)(\vec x) &= (\a-\b)(\lkvecc \alpha.b_n) = \cr &= \alpha_1\,(\a-\b)(\vec b_1) + \alpha_2\,(\a-\b)(\vec b_2) + \cdots + \alpha_n\,(\a-\b)(\vec b_n) = \cr &= \alpha_1\,\vec o + \alpha_2\,\vec o + \cdots + \alpha_n\,\vec o = \vec o. } $$ Vidíme, že zobrazení $\a-\b$ je nulové na celém definičním oboru, takže $\a=\b$. \poznamka %%%%%%%%% V důkazu věty\cite[zobnabasi] jsme uvedli důležitý vzorec\cite(apodlebase), který ukazuje, jak najít hodnotu lineárního zobrazení pro libovolný vektor $\vec x\in L_1$, známe-li hodnoty tohoto zobrazení jen na nějaké bázi lineárního prostoru $L_1$. \priklad [R3toR4] %%%%%%%% Předpokládejme, že $\a:\R^3 \to \R^4$ je lineární zobrazení. Najdeme vzorec pro výpočet hodnoty zobrazení $\a(x_1,x_2,x_3)$, je-li známo: $$ \a(1,1,2) = (1,0,1,0), \quad \a(1,2,2) = (2,0,2,0), \quad \a(2,1,5) = (1,2,2,1). $$ Protože jsou vektory $(1,1,2),(1,2,2),(2,1,5)$ lineárně nezávislé a jsou tři, tvoří podle poznámky\cite[dusl123] bázi lineárního prostoru~$\R^3$. Známe hodnoty hledaného zobrazení na bázi~$\R^3$, takže podle věty\cite[zobnabasi] můžeme jednoznačně určit hodnoty $\a$ i v ostatních bodech definičního oboru. Budeme postupovat stejně, jako v~důkazu věty\cite[zobnabasi]. Nechť $(x_1, x_2, x_3)$ je libovolný vektor z~$\R^3$. Najdeme souřadnice tohoto vektoru vzhledem k~uspořádané bázi $\bigl((1,1,2),(1,2,2),(2,1,5)\bigr)$: $$ (x_1,x_2,x_3) = \alpha\,(1,1,2) + \beta\,(1,2,2) + \gamma\,(2,1,5). $$ To vede na soustavu tří rovnic o třech neznámých $\alpha,\beta,\gamma$. Eliminujme její rozšířenou matici: $$ \def\|{\kern4pt\strut\vrule} \matice{1&1&2\|& x_1\cr 1&2&1\|& x_2\cr 2&2&5\|& x_3} \sim \matice{1&1&2\|& x_1\hfil\cr 0&1&\!-1\|& x_2-x_1\hfil\cr 0&0&1\|& x_3-2x_1} \sim \matice{1&0&0\|& 8x_1 - x_2 -3x_3\hfil\cr 0&1&0\|& -3x_1 + x_2 + x_3\hfil\cr 0&0&1\|& x_3-2x_1\hfil}. $$ Platí tedy $$ \eqalign{ (x_1,x_2,x_3) &= (8x_1 - x_2 -3x_3)\cdot(1,1,2) + (-3x_1 + x_2 + x_3)\cdot(1,2,2) + (x_3-2x_1)\cdot(2,1,5), \cr \a(x_1,x_2,x_3) &= \a\bigl((8x_1 - x_2 -3x_3)\cdot(1,1,2) + (-3x_1 + x_2 + x_3)\cdot(1,2,2) + (x_3-2x_1)\cdot(2,1,5)\bigr) = \cr &= (8x_1 - x_2 -3x_3)\cdot\a(1,1,2) + (-3x_1 + x_2 + x_3)\cdot\a(1,2,2) + (x_3-2x_1)\cdot\a(2,1,5) = \cr &= (8x_1 - x_2 -3x_3)\cdot(1,0,1,0) + (-3x_1 + x_2 + x_3)\cdot(2,0,2,0) + (x_3-2x_1)\cdot(1,2,2,1) = \cr &= (x_2,\; -4x_1+2x_3,\; -2x_1+x_2+x_3,\; -2x_1+x_3). } $$ \okraj Matice\hb zobrazení $\R^n\to\R^m$ | Matice zobrazeni Rn -> Rm \veta [aRA] %%%%% Pro každé lineární zobrazení $\a: \R^n\to\R^m$ existuje právě jedna matice $\A\in\R^{m,n}$ taková, že $\a(\vec x) = \A\cdot\vec x$. \dukaz Nechť je dáno zobrazení $\a:\R^n\to\R^m$. Označme $(S_n)=(\vecc e_n)$ standardní bázi v~$\R^n$. Hodnoty $\a(\vec e_i)$ pro $i=\{1,2,\ldots,n\}$ zapišme jako sloupcové vektory vedle sebe do matice, kterou označíme $\A$. Tedy $\A=\bigl(\a(\vec e_1)\ \a(\vec e_2)\ \ldots\ \a(\vec e_n)\bigr)$. Je zřejmé, že zobrazení, které vektoru $\vec x$ přiřadí vektor $\A\cdot\vec x$, má pro $\vec x\in\{\vecc e_n\}$ stejné hodnoty, jako dané zobrazení $\a$. Podle věty\cite[zobnabasi] existuje jediné lineární zobrazení s takovou vlastností. Proč je matice $\A$ zobrazením $\a$ jednoznačně určena? Jiná matice odpovídá zobrazení, které má jiné hodnoty pro $\vec x\in\{\vecc e_n\}$, takže to je jiné zobrazení. \definice [defaRA] %%%%%%%%% Nechť $\a:\R^n\to \R^m$ je lineární zobrazení. Matici $\A$, pro kterou je $\A\cdot\vec x = \a(\vec x)$ $\forall \vec x\in\R^n$, nazýváme {\em maticí lineárního zobrazení $\a$}. \poznamka %%%%%%%%% Důkaz věty\cite[aRA] dává návod, jak matici zobrazení $\a$ sestavit. Do sloupců matice je třeba zapsat obrazy vektorů standardní báze. \priklad [mR3toR4] %%%%%%%% V příkladu\cite[R3toR4] jsme měli zobrazení $\a:\R^3\to\R^4$ dáno hodnotami na bázi a vypočítali jsme, že $\a(x_1,x_2,x_3) = (x_2,\; -4x_1+2x_3,\; -2x_1+x_2+x_3,\; -2x_1+x_3)$. Nyní najdeme jeho matici, hodnost, jádro a defekt. Matici můžeme hledat dvěma způsoby. Obrazy bázových vektorů standardní báze musejí být zapsány postupně do sloupců matice $\A$. Nebo jinak: koeficienty lineárních kombinací jednotlivých složek obrazu vektoru $(x_1,x_2,x_3)$ musejí být zapsány do řádků matice $\A$. Vyzkoušejte si oba přístupy. Takže: $$ \A = \pmatrix{\hfill0&1&0\cr -4&0&2\cr -2&1&1\cr -2&0&1} $$ Hodnost zobrazení je rovna hodnosti jeho matice (věta\cite[hod=hod]), jádro zobrazení je rovno nulovému prostoru jeho matice a defekt je roven $\dim\R^n-\hod\a$. Níže jsou uvedeny s tím související výpočty. $$ \A = \pmatrix{\hfill0&1&0\cr -4&0&2\cr -2&1&1\cr -2&0&1} \sim \pmatrix{2&0&\!\!-1\cr 0&1&\hfill0}, \quad \vcenter{\hbox{$\hod\a = \hod\A = 2$} \hbox{$\defekt\a = 3 - \hod\a = 1$, $\ker\a = \nullsp\A = \lob<(1,0,2)>$.}} $$ \okraj Matice zobrazení vzhledem k bázím | Matice zobrazeni vzhledem k basim \obrazek .33+.02 11 obr8 { \p 22 16 L_1 \p 25 118 L_2 \p 20 65 {\a} \p 55 14 (B) \p 60 120 (C) \p 95 8 \c_B \p 95 126 \c_C \p 135 80 \a' \p 150 27 \R^n \p 150 123 \R^m \p 160 70 \A\cdot\vec x } \poznamka %%%%%%%%% V definici\cite[defaRA] jsme přiřadili matici každému lineárnímu zobrazení z $\R^n$ do $\R^m$. Omezili jsme se tedy na zobrazení, která zobrazují uspořádané $n$-tice na uspořádané $m$-tice. V~následující definici zavedeme matici lineárního zobrazení libovolných lineárních prostorů konečné dimenze. \definice* [defAa] %%%%%%%%% Nechť $\a: L_1\to L_2$ je lineární zobrazení a předpokládejme, že $\dim L_1=n$ a $\dim L_2=m$. Věta\cite[isoRn] nám zaručuje, že $L_1$ je izomorfní s $\R^n$ a $L_2$ je izomorfní s~$\R^m$. V lineárním prostoru~$L_1$ zvolme nějakou uspořádanou bázi $(B)$ a v~lineárním prostoru~$L_2$ zvolme uspořádanou bázi $(C)$. Označme $\c_B: L_1\to\R^n$ izomorfismus, který přiřazuje vektoru $\vec u\in L_1$ jeho souřadnice vzhledem k~uspořádané bázi $(B)$. Nechť dále $\c_C: L_2\to\R^m$ je izomorfismus, který přiřazuje vektoru $\vec v\in L_2$ jeho souřadnice vzhledem k~uspořádané bázi $(C)$. Složené zobrazení $\a' = \c_C \circ \a \circ \c_B^{-1}$ je zobrazením z~$\R^n$ do $\R^m$ a má tedy podle věty\cite[aRA] svou matici $\A\in\R^{m,n}$. Tuto matici nazýváme {\em maticí zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$} a značíme ji $\A=\m_{B,C}(\a)$. \ha 10 \inl[matice: zobrazení] \inl[matice: lineárního zobrazení] \veta* [Aasour] %%%%% Nechť $\a: L_1\to L_2$ je lineární zobrazení, $\dim L_1=n$ a $\dim L_2=m$. Nechť $(B)$ je uspořádaná báze v $L_1$ a $(C)$ je uspořádaná báze v $L_2$. Nechť $\A=\m_{B,C}(\a)$ je matice zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$. Nechť $\vec u\in L_1$, $\vec v\in L_2$, $\a(\vec u) = \vec v$. Nechť $\vec x=\c_B(\vec u)^T$ jsou souřadnice vektoru $\vec u$ vzhledem k~bázi $(B)$ a $\vec y=\c_C(\vec v)^T$ jsou souřadnice vektoru $\vec v$ vzhledem k bázi $(C)$. Pak $\A\cdot\vec x=\vec y$. Lapidárně řečeno, pro každé $\vec u\in L_1$ platí: $$ \A\cdot\pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}} = \pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \a(\vec u)\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}} \rce(akratsouradnice) $$ Obráceně: každá matice $\A\in\R^{m,n}$, která splňuje\cite(akratsouradnice) pro všechny vektory $\vec u\in L_1$, je maticí zobrazení $\a$ vzhledem k~bázím $(B)$ a $(C)$. \dukaz Věta je jen v jiné formě zapsaná definice\cite[defAa] matice lineárního zbrazení vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$. Zobrazení $\a'$ z této definice zobrazuje souřadnice vektoru $\vec u$ vzhledem k~bázi $(B)$ na souřadnice vektoru $\a(\vec u)$ vzhledem k~bázi $(C)$, tedy zobrazí $\vec x$ na $\vec y$. Matice $\A$ zobrazení $\a'$ podle definice\cite[defaRA] splňuje $\A\cdot\vec x = \vec y$. Obráceně: stačí ukázat, že nemohou existovat dvě různé matice splňující\cite(akratsouradnice) pro všechna $\vec u\in L_1$. Označme $(B)=(\vecc b_n)$ a dosadíme do rovnosti\cite(akratsouradnice) postupně $\vec u=\vec b_i$. Souřadnice vektoru $\vec b_i$ vzhledem k bázi $(B)$ je vektor $\vec e_i = (0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)^T$, kde jednička je v~$i$-té složce. Maticové násobení $\A\cdot\vec e_i$ je rovno $i$-tému sloupci matice $\A$. Takže matice $\A$ musí v $i$-tém sloupci obsahovat souřadnice vektoru $\a(\vec b_i)$ vzhledem k bázi $(C)$. Taková matice je jenom jediná a je zřejmě maticí zobrazení $\a$ vzhledem k~bázím $(B)$ a $(C)$. \veta* [Asloupce] %%%%% Nechť $\a: L_1\to L_2$ je lineární zobrazení. Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je uspořádaná báze v~$L_1$ a $(C)=(\vecc c_m)$ je uspořádaná báze v $L_2$. Matice $\A$ je maticí zobrazení $\a$ vzhledem k~bázím~$(B)$ a $(C)$ právě tehdy, když obsahuje v $i$-tém sloupci souřadnice vektoru $\a(\vec b_i)$ vzhledem k~bázi~$(C)$ pro všechna $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \dukaz Viz druhou část důkazu předchozí věty. \veta* [matzob] %%%%% Nechť $\a: L_1\to L_2$ je lineární zobrazení. Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je uspořádaná báze v~$L_1$ a $(C)=(\vecc c_m)$ je uspořádaná báze v $L_2$. Matice $\A$ je maticí zobrazení $\a$ vzhledem k~bázím~$(B)$ a $(C)$ právě tehdy, když splňuje maticovou rovnost $$ \bigl(\a(\vec b_1)\ \ \a(\vec b_2)\ \ \ldots\ \ \a(\vec b_n)\bigr) = (\vec c_1\ \ \vec c_2\ \ \ldots\ \ \vec c_m)\cdot\A. \rce(mzob) $$ Uvedenou rovnost čteme takto: jednořádková matice s obrazy bázových vektorů $\a(\vec b_i)$ je rovna součinu jednořádkové matice s bázovými vektory $\vec c_i$ a matice $\A\in\R^{m,n}$. \dukaz Matice $\A$ splňuje rovnost\cite(mzob) právě tehdy, když $i$-tý sloupec matice $\A$ obsahuje souřadnice vektoru $\a(\vec b_i)$ vzhledem k bázi $(C)$. Stačí si rozepsat maticové násobení na pravé straně rovnosti\cite(mzob) po sloupcích matice $\A$. Dále použijeme větu\cite[Asloupce]. \poznamka %%%%%%%%% Matici zobrazení jsme definovali jednak v definici\cite[defaRA] a také v~definici\cite[defAa]. Je zřejmé, že matice zobrazení bez uvedení bází (podle definice\cite[defaRA]) je z pohledu definice\cite[defAa] maticí zobrazení vzhledem ke standardním bázím $(S_n)$ v $\R^n$ a $(S_m)$ v $\R^m$. Je to z toho důvodu, že složky vektoru z $\R^n$ jsou podle věty\cite[snsour] rovny souřadnicím vektoru vzhledem ke standardní bázi. Domluvíme se na tom, že pokud budeme pracovat s lineárními zobrazeními $\R^n\to\R^m$ a pouze se standardními bázemi v $\R^n$ a $\R^m$, pak nemusíme v~případě matice zobrazení explicitně mluvit o bázích (jako v~definici\cite[defaRA]). V ostatních případech budeme báze v souvislosti s maticí zobrazení vždy uvádět. \priklad [derpol] %%%%%%%% Nechť $L_1$ je lineární prostor všech polynomů nejvýše třetího stupně a $L_2$ je lineární prostor všech polynomů nejvýše druhého stupně. Uvažujme zobrazení $\a: L_1\to L_2$, které derivuje polynomy, tedy $\a(p)=p'$. Toto zobrazení je zřejmě lineární. V lineárním prostoru $L_1$ zvolme uspořádanou bázi $(B)=(1,x,x^2,x^3)$ a v lineárním prostoru $L_2$ zvolme uspořádanou bázi $(C)=(1,x,x^2)$. Najdeme matici zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$. Obrazy bázových vektorů jsou: $\a(1) = 0$, $\a(x) = 1$, $\a(x^2) = 2x$, $\a(x^3) = 3x^2$. Souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi $(C)$ jsou: $\c_C(0) = (0,0,0)$, $\c_C(1) = (1,0,0)$, $\c_C(2x) = (0,2,0)$, $\c_C(3x^2) =\nobreak (0,0,3)$. Abychom získali matici zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$, je potřeba podle věty\cite[Asloupce] uvedené souřadnice zapsat do sloupců: $$ \A = \pmatrix{0&1&0&0\cr 0&0&2&0\cr 0&0&0&3} $$ Zkusme nyní derivovat polynomy pomocí maticového násobení. Polynom $ax^3+bx^2+cx+d$ má v~uspořádané bázi~$(B)$ souřadnice $(d,c,b,a)$. Souřadnice jeho obrazu (tj. v tomto příkladě jeho derivace) vzhledem k~uspořádané bázi $(C)$ najdeme podle věty\cite[Aasour] maticovým násobením: $$ \pmatrix{0&1&0&0\cr 0&0&2&0\cr 0&0&0&3}\cdot \pmatrix{d\cr c\cr b\cr a} = \pmatrix {c\cr 2b\cr 3a} $$ tedy zderivovaný polynom je $3a x^2 + 2bx + c$. \priklad [bR3toR4] %%%%%%%% Najdeme matici zobrazení $\a:\R^3\to\R^4$ z příkladu\cite[R3toR4] vzhledem k uspořádaným bázím $(B)$ a $(S_4)$, kde $(B) = \bigl((1,1,2),(1,2,2),(2,1,5)\bigr)$ a $(S_4)$ je standardní báze v $\R^4$. Protože souřadnice vektorů z $\R^4$ vzhledem ke standardní bázi $S_4$ jsou přímo rovny složkám těchto vektorů (viz větu\cite[snsour]), stačí napsat složky obrazů vektorů z $(B)$ do sloupců matice. Tyto obrazy jsou přímo v zadání příkladu: $$ \m_{B,S_4}(\a) = \pmatrix{1&2&1\cr 0&0&2\cr 1&2&2\cr 0&0&1}. $$ Povšimneme si, že k sestavení této matice jsme nepotřebovali znát vzorec pro $\a(x_1,x_2,x_3)$, stačilo sepsat do sloupců matice údaje, které byly obsahem zadání příkladu. Na druhé straně k sestavení matice~$\m_{S_3,S_4}$ (viz příklad\cite[mR3toR4]) jsme vzorec pro $\a(x_1,x_2,x_3)$ potřebovali znát. \okraj Transfor\-mace | Transformace \poznamka %%%%%%%%% V mnoha příkladech na lineární zobrazení se setkáváme se zobrazením do stejného lineárního prostoru. Bude tedy užitečné uvést následující definici. \definice %%%%%%%%% Lineární zobrazení $\a:L\to L$ (tj. z lineárního prostoru do {\it téhož\/} lineárního prostoru) se nazývá {\em lineární transformace}. Nechť $\a: L\to L$ je lineární transformace, $\dim L=n$. Matici $\m_{B,B}(\a)\in\nobreak\R^{n,n}$ nazýváme {\em maticí transformace vzhledem k uspořádané bázi $(B)$}. Ušetříme si tedy koktání: místo abychom mluvili o~matici lineárního zobrazení vzhledem k bázím $(B)$ a $(B)$, říkáme stručněji matice transformace vzhledem k~bázi~$(B)$. \inl[lineární: transformace, transformace] \inl[matice: transformace] \priklad [projekce] %%%%%%%% V lineárním prostoru $U_O$ orientovaných úseček se společným počátkem~$O$ (viz příklad\cite[lpvv]) jsou dány tři lineárně nezávislé vektory $\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3$. Uvažujme transformaci $\a: U_O\to U_O$, která každé orientované úsečce přiřadí její stín na rovině procházející vektory $\vec b_2, \vec b_3$, přitom světelné paprsky jsou rovnoběžné s~vektorem $\vec b_1$. Taková transformace se nazývá {\em projekce}. \inl[projekce] Zřejmě je $(B)=(\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3)$ uspořádaná báze lineárního prostoru $U_O$. Najdeme matici $\m_{B,B}(\a)$ transformace $\a$ vzhledem k uspořádané bázi $(B)$. Platí $\a(\vec b_1) = \vec o$, $\a(\vec b_2) = \vec b_2$, $\a(\vec b_3) = \vec b_3$. Souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi $(B)$ po řadě jsou $(0,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$. Tyto souřadnice zapíšeme do sloupců hledané matice: $$ \A = \pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&1}.\qquad \hbox{Protože platí:}\quad \pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&1}\cdot\pmatrix{x\cr y\cr z} = \pmatrix{0\cr y\cr z}, $$ má vektor $\vec u\in U_O$ se souřadnicemi $(x,y,z)$ svůj stín, který má souřadnice $(0,y,z)$. \priklad [rotace] %%%%%%%% V lineárním prostoru $U_O$ orientovaných úseček s počátkem v bodě $O$ (viz příklad\cite[lpvv]) zvolme podprostor $P$ dimenze~2 (vektory ležící ve společné rovině). V~tomto prostoru $P$ zvolme bázi $(B)=(\vec b_1,\vec b_2)$ tak, že vektory báze jsou na sebe kolmé a mají jednotkovou velikost (jako na obrázku níže). Transformaci, která otočí každý vzor o pevně zvolený úhel $\alpha$ označíme ${\cal R}_\alpha:P\to P$ a budeme jí říkat {\em rotace}. Najdeme matici $\m_{B,B}({\cal R}_\alpha)$ této transformace vzhledem k bázi $(B)$. \noendpar \dolu 8mm \obrazek .37+.02 12 obr10 { \p 110 54 O \p 103 160 \vec b_1 \p 60 150 \vec b_1' \p -4 54 \vec b_2 \p 6 8 \vec b_2' \p 95 86 {\alpha} \p 72 49 {\alpha} \p 110 136 {\cos\alpha} \p 110 0 {-\sin\alpha} \p 53 62 {\sin\alpha} \p 13 62 {\cos\alpha} } Na obrázku jsou kromě báze $(B)=(\vec b_1, \vec b_2)$ vyznačeny též obrazy báze ${\cal R}_\alpha(\vec b_1)=\vec b_1'$ a ${\cal R}_\alpha(\vec b_2)=\vec b_2'$, které jsou otočeny vzhledem ke svým vzorům o úhel $\alpha$. Z vlastností funkcí kosinus a sinus plyne, že $$\vec b_1' = (\cos\alpha)\,\vec b_1 + (\sin\alpha)\,\vec b_2,$$ Z tohoto vztahu okamžitě vidíme souřadnice obrazu $\vec b_1'$ vzhledem k~bázi $(B)$. V souladu s větou\cite[Asloupce] zapíšeme tyto souřadnice do prvního sloupce sestavované matice. Dále ze vztahu $$\vec b_2' =(-\sin\alpha)\,\vec b_1 +(\cos\alpha)\,\vec b_2$$ odhalíme souřadnice obrazu $\vec b_2'$ vzhledem k bázi $(B)$ a zapíšeme je do druhého sloupce hledané matice. Dostáváme $$ \m_{B,B}({\cal R}_\alpha) = \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha} $$ Nechť vektor $\vec u\in P$ má souřadnice $(x,y)$ vzhledem k bázi $(B)$. Vypočítáme souřadnice vektoru, který vznikne otočením vektoru $\vec u$ o úhlel $\alpha$. Použijeme větu\cite[Aasour]. $$ \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha} \cdot \pmatrix {x\cr y} = \pmatrix {x\cos\alpha - y\sin\alpha \cr x\sin\alpha + y\cos\alpha}. $$ Souřadnice otočeného vektoru vzhledem k bázi $(B)$ tedy jsou $(x',y')$, kde $$ \eqalign{ x'&=x\cos\alpha - y\sin\alpha, \cr y'&=x\sin\alpha + y\cos\alpha. } $$ \okraj Hodnost\hb matice a zobrazení | Hodnost matice a zobrazeni \veta* [hodhod] %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ je lineární zobrazení prostorů konečné dimenze, nechť $\A$ je jeho matice vzhledem k nějaké bázi $(B)$ v $L_1$ a bázi $(C)$ v $L_2$. Pak $\hod\a=\hod\A$. \dukaz Symboly $\a'$, $\c_B$ a $\c_C$ v tomto důkazu znamenají totéž co v~definici\cite[defAa]. Díky větě\cite[hod=hod] stačí ukázat, že $\hod\a=\hod\a'$, kde $\a'=\c_C\circ\a\circ\c_B^{-1}$, neboli $\a=\c_C^{-1}\circ\a'\circ\c_B$. Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je báze v $L_1$ a $(S_n)=(\vecc e_n)$ je standardní báze v $\R^n$. Platí $\vec e_i = \c_B(\vec b_i)$. Nyní spočítejme $\hod\a$: $$ \eqalign{ \hod\a&=\dim\a(L_1) = \dim\a\bigl(\lob<\vecc b_n>\bigr) = \dim\bigl\langle\a(\vec b_1), \a(\vec b_2), \ldots, \a(\vec b_n)\bigr\rangle =\cr &= \dim\bigl\langle\c_C^{-1}\circ\a'\circ\c_B(\vec b_1),\ \c_C^{-1}\circ\a'\circ\c_B(\vec b_2),\ \ldots,\ \c_C^{-1}\circ\a'\circ\c_B(\vec b_n)\bigr\rangle = \cr &= \dim\,\c_C^{-1}\bigl(\bigl\langle\a'(\vec e_1), \a'(\vec e_2), \ldots, \a'(\vec e_n)\bigr\rangle\bigr) \buildrel\star\over = \dim\bigl\langle\a'(\vec e_1), \a'(\vec e_2), \ldots, \a'(\vec e_n)\bigr\rangle = \cr &= \dim \a'\bigl(\lob<\vecc e_n>\bigr) = \dim\a'(\R^n) = \hod\a' } $$ Rovnost označená hvězdičkou platí kvůli tomu, že $\c_C^{-1}$ je isomorfismus, takže zachovává dimenzi lineárních podprostorů. \veta [regultransf] %%%%% Lineární transformace prostoru konečné dimenze je prostá právě tehdy, když má regulární matici. \dukaz Lineární transformace $\a: L\to L$ je prostá právě když má nulový defekt (viz větu\cite[defA=proste]). To platí právě tehdy, když $\hod\a=\hod\A=\dim L=n$ (viz věty\cite[def+hod] a \cite[hodhod]). Matice $\A\in\R^{n,n}$ transformace~$\a$ je regulární právě tehdy, když $\hod\A=n$ (viz větu\cite[hodreg]). \priklad %%%%%%%% Určíme hodnost a defekt lineárního zobrazení $\a$ z příkladu\cite[derpol]. Hodnost zobrazení $\a$ je rovna podle věty\cite[hodhod] hodnosti jeho matice. Tu jsme sestavili v příkladu\cite[derpol]. Matice zobrazení má hodnost~3, tedy i $\hod\a=3$. Defekt zobrazení $\a$ spočítáme podle vzorce $\defekt\a+\nobreak\hod\a = \dim L_1=4$, takže $\defekt\a=1$. \priklad %%%%%%%% Určíme hodnost a defekt lineárního zobrazení $\a$ z~příkladu\cite[projekce]. Hodnost zobrazení $\a$ je rovna podle věty\cite[hodhod] hodnosti jeho matice. Tu jsme sestavili v příkladu\cite[projekce]. Matice zobrazení má hodnost~2, tedy i $\hod\a=2$. Defekt zobrazení $\a$ spočítáme podle vzorce $\defekt\a+\nobreak\hod\a = \dim L_1=3$, takže $\defekt\a=1$. Toto zobrazení tedy převede 3D vzor ($\dim L_1=3$) na 2D obraz ($\hod\a=2$), tedy při tomto zobrazení ztrácíme informace z jedné dimenze ($\defekt\a=1$). To vysvětluje, proč se tomuto zobrazení říká projekce. S tímto slovem se jistě čtenář setkal v souvislosti s promítáním filmů. \priklad %%%%%%%% Protože matice z příkladů\cite[mR3toR4] a\cite[bR3toR4] jsou maticemi stejného lineárního zobrazení (jen vzhledem k různé bázi v $L_1$), mají hodnost rovnu hodnosti tohoto zobrazení. Tím je zaručeno, že tyto matice mají stejnou hodnost. Z výsledku příkadu\cite[mR3toR4] víme, že tyto matice mají hodnost~3. \priklad %%%%%%%% Matice rotace z příkladu\cite[rotace] je regulární, protože $\det\m_{B,B}({\cal R}_\alpha) = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$. Podle věty\cite[regultransf] je tedy rotace prostá transformace. \priklad [scale] %%%%%%%% Budeme pracovat se stejným lineárním podprostorem $P$ orientovaných úseček jako v~příkladu\cite[rotace] a zvolíme stejnou uspořádanou bázi $(B)$. Zvolme dále čísla $a\in\R$, $b\in\R$. Popíšeme transformaci ${\cal S}_{a,b}:P\to P$, která má matici $$ \A = \pmatrix {a & 0 \cr 0 & b} \rce(mscale) $$ vzhledem k bázi $(B)$. Po použití věty\cite[Aasour] vidíme, že vektor $\vec u\in P$ se souřadnicemi $(x,y)$ se zobrazí na vektor se souřadnicemi $(ax,by)$. Co to geometricky znamená pro různé parametry $a$, $b$? Při $a=1$ a $b=1$ zobrazení $\cal S$ ponechává vektor $\vec u$ beze změny. Takové transformaci říkáme {\em identita}. V případě $a=-1$ a $b=1$ zobrazení $\cal S$ transformuje vektor $\vec u$ na jeho osově souměrný protějšek podle osy, která prochází vektorem $\vec b_2$. V případě $a=1$ a $b=-1$ zobrazení $\cal S$ transformuje vektor $\vec u$ na jeho osově souměrný protějšek podle osy, která prochází vektorem $\vec b_1$. Takové transformace se nazývají {\em osová souměrnost}. V případě $a=-1$ a $b=-1$ zobrazení $\cal S$ zobrazí vektor $\vec u$ na vektor $-\vec u$ a této transformaci říkáme středová souměrnost (podle počátku $O$). V případě $a=0$ a $b=1$ je zobrazení $\cal S$ projekcí na přímku, která prochází vektorem $\vec b_2$. V případě $a=\nobreak1$ a $b=0$ je $\cal S$ projekcí na přímku, která prochází vektorem $\vec b_1$. V těchto případech se 2D vzor \uv{promítá} na 1D obraz, takže zde máme v množině vzorů i obrazů o jednu dimenzi méně než v~příkladu\cite[projekce]. Je~$\hod{\cal S}=1$ a $\defekt{\cal S}=1$. V případě $a>0$ a $b=1$ je obraz $a$-krát deformován ve směru vektoru $\vec b_1$. V případě $a=1$ a $b>0$ je obraz $b$-krát deformován ve směru vektoru $\vec b_2$. V případě $a>0$ a $b>0$ je obraz deformován v obou směrech. Takové transformaci říkáme {\em změna měřítka}. Při $a=b$ této transformaci říkáme {\em stejnolehlost}. Obecný případ $a\in\R$ a $b\in\R$ odpovídá transformaci změny měřítka případně složenou s osovou nebo středovou souměrností. Při $a=0$ nebo $b=0$ je $\cal S$ projekce. Při $a=0$ i $b=0$ je $\cal S$ zobrazení, které každému vektoru přiřadí nulový vektor. Defekt tohoto zobrazení je~2 a hodnost nula. Zobrazení ${\cal S}_{a,b}:P\to P$ s maticí\cite(mscale) budeme nadále říkat {\em změna měřítka}. Pod tímto pojmem budeme zahrnovat i všechny speciální případy zde vyjmenované. \okraj Jednoznač\-nost matice zobrazení | Jednoznacnost matice zobrazeni \veta* [aisoA] %%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou lineární prostory, $\dim L_1=n$, $\dim L_2=m$. Lineární prostor všech lineárních zobrazení z $L_1$ do $L_2$ je izomorfní s lineárním prostorem matic $\R^{m,n}$. \exdukaz Označme $T$ lineární prostor všech lineárních zobrazení z $L_1$ do $L_2$. Zvolme nějakou uspořádanou bázi v $L_1$ a označme ji $(B)$. Také označme $(C)$ uspořádanou bázi v $L_2$. (viz též obrázek u definice\cite[defAa]). Ukážeme, že zobrazení $\m_{B,C}: T\to \R^{m,n}$, které přiřazuje zobrazením z~$T$ jejich matice vzhledem k~bázím $(B)$ a $(C)$, je izomorfismus. Obrazy zobrazení $\m_{B,C}$ jednoznačně existují pro všechna $\a\in T$, protože každému $\a$ je jednoznačně přiřazeno $\a'=\c_C\circ\a\circ\c_B^{-1}$ a každému takovému $\a':\R^n\to\R^m$ je jednoznačně přiřazena matice $\A$ díky větě\cite[aRA]. Zobrazení $\m_{B,C}$ je prosté a~\uv{na}~$\R^{m,n}$. To plyne z rovnosti\cite(mzob), ve které vidíme, že matice $\A$ udává hodnoty zobrazení $\a$ na bázi $(B)$. Podle věty\cite[zobnabasi] existuje jediné lineární zobrazení s takto určenými hodnotami na bázi. Že je $\m_{B,C}$ lineární plyne z~toho, že $\m_{B,C}(\a)$ obsahuje ve sloupcích souřadnice obrazů báze $(B)$ vzhledem k $(C)$. Takže matice zobrazení $\a+\b$ je nutně součtem matic zobrazení $\a$ a $\b$ (obrazy báze se sčítají, jejich souřadnice rovněž). Podobné tvrzení platí pro $\alpha$-násobek. Zobrazení $\m_{B,C}:T\to\R^{m,n}$ je tedy prosté, na $\R^{m,n}$ a lineární. Je to tedy izomorfismus. \poznamka %%%%%%%%% V důkazu předchozí věty jsme ukázali, že přechod od lineárního zobrazení k jeho matici je izomorfismus. To je důvod, proč často matematik napíše matici a myslí přitom na lineární zobrazení nebo naopak, pracuje s lineárním zobrazením a hledá k němu matici. \vfil\break \okraj Matice\hb složeného zobrazení | Matice slozeneho zobrazeni \dolu 7mm \obrazek .4+.02 11 obr9 { \p 35 14 L_1 \p 45 80 L_2 \p 40 155 L_3 \p 50 45 {\a} \p 50 120 {\b} \p -3 90 {\b\circ\a} \p 65 8 (B) \p 75 77 (C) \p 65 153 (D) \p 104 15 \c_B \p 113 82 \c_C \p 107 155 \c_D \p 135 12 \R^n \p 135 74 \R^m \p 135 140 \R^p \p 123 35 \A\cdot\vec x \p 123 105 \B\cdot\vec y \p 163 60 (\B\cdot\A)\cdot\vec x } \veta* [slozmzob] %%%%% Nechť $L_1$, $L_2$, $L_3$ jsou lineární prostory konečné dimenze, $\a:L_1\to L_2$, $\b:L_2\to L_3$ jsou lineární zobrazení. Nechť dále $(B)$ je uspořádaná báze~$L_1$, $(C)$ je uspořádaná báze~$L_2$ a $(D)$ je uspořádaná báze~$L_3$. Předpokládejme ještě, že $\m_{B,C}(\a)=\A$ je matice zobrazení $\a$ vzhledem k~bázím $(B)$ a~$(C)$ a konečně $\m_{C,D}(\b)=\B$ je matice zobrazení $\b$ vzhledem k~bázím $(C)$ a~$(D)$. Pak $\B\cdot\A$ je matice složeného zobrazení $\b\circ\a$ vzhledem k~bázím $(B)$ a $(D)$. \inl[matice: složeného zobrazení] \dukaz %%%%%% Použijeme dvakrát za sebou větu\cite[Aasour]. Pro každý vektor $\vec u\in L_1$ platí: \ha5 $$ \B\cdot\A\cdot\pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}} = \B\cdot\pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \a(\vec u)\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}} = \pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \b\bigl(\a(\vec u)\bigr)\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(D)$}} $$ Platí $\b\bigl(\a(\vec u)\bigr) = (\b\circ\a)(\vec u)$. Z~věty\cite[Aasour] plyne, že $\B\cdot\A$ musí být maticí zobrazení $\b\circ\a$ vzhledem k~bázím $(B)$ a $(D)$. \poznamka %%%%%%%%% Větu\cite[slozmzob] můžeme stručně zapsat takto: $$ \m_{B,D}(\b\circ\a) = \m_{C,D}(\b) \cdot \m_{B,C}(\a) \rce(sloz) $$ \veta [Aainvers] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor konečné dimenze a $(B)$ je jeho uspořádaná báze. Nechť $\a: L\to L$ je prostá lineární tranformace. Pak $\a$ je izomorfismus, tj. existuje inverzní transformace $\a^{-1}$ a platí $$ \m_{B,B}(\a^{-1}) = \bigl(\m_{B,B}(\a)\bigr)^{-1}. $$ \dukaz Protože $\a$ je prostá, je $\defekt\a=0$. Podle věty\cite[def+hod] je $\defekt\a+\hod\a=0+\hod\a=\dim L$. Je $\hod\a=n$ a věta\cite[P=L] nám zaručí, že $\a(L)=L$. Takže transformace $\a$ je nejen prostá, ale i \uv{na}~$L$, tedy je to izomorfismus. Symbolem $\i$ označme identické zobrazení na $L$. Pro $\a^{-1}$ platí $\i=\a^{-1}\circ\a$. Podle věty\cite[slozmzob] tedy je $$ \m_{B,B}(\a^{-1})\cdot \m_{B,B}(\a) = \m_{B,B}(\i) = \E $$ Matice identity je jednotková matice $\E$. Matice $\m_{B,B}(\a)$ je podle věty\cite[regultransf] regulární, takže můžeme maticí $\bigl(\m_{B,B}(\a)\bigr)^{-1}$ vynásobit uvedenou rovnost zprava. Tím dostáváme dokazovaný vztah. \priklad %%%%%%%% Budeme pracovat v lineárním prostoru $P$ s uspořádanou bází $(B)$ jako v příkladu\cite[rotace]. Lineární transformace $\a: P\to P$ otočí vzor o stanovený úhel $\alpha$ a následně jej promítne na přímku procházející vektorem $\vec b_2$. Najdeme matici této transformace. Platí $\a={\cal S}_{0,1}\circ{\cal R}_\alpha$, kde ${\cal S}_{0,1}: P\to P$ je projekce a ${\cal R}_\alpha: P\to P$ je rotace o úhel $\alpha$. Matice těchto transformací vzhledem k bázi $(B)$ jsou: $$ \m_{B,B}({\cal R}_\alpha) = \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}, \qquad \m_{B,B}({\cal S}_{0,1}) = \pmatrix {0&0\cr0&1}. $$ Podle věty\cite[slozmzob] je matice složeného zobrazení $\a$ rovna $$ \m_{B,B}(\a) = \m_{B,B}({\cal S}_{0,1})\cdot\m_{B,B}({\cal R}_\alpha) = \pmatrix {0&0\cr0&1}\cdot \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha} = \pmatrix {0&0\cr \sin\alpha & \cos\alpha} $$ Má-li vektor $\vec u$ souřadnice $(x,y)$ vzhledem k $(B)$, pak $\a(\vec u)$ má vzhledem k $(B)$ souřadnice $(x',y')$: $$ \pmatrix{x'\cr y'} = \pmatrix {0&0\cr \sin\alpha & \cos\alpha} \cdot \pmatrix{x\cr y} = \pmatrix {0\cr (\sin\alpha)\,x + (\cos\alpha)\,y} $$ Povšimneme si, že kdybychom zobrazení složili v opačném pořadí, tj. ${\cal R}_\alpha\circ{\cal S}_{0,1}$, dostaneme jiný výsledek. Stejně tak součin matic těchto zobrazení v opačném pořadí dává jiný výsledek. \priklad %%%%%%%% Budeme stále pracovat v lineárním prostoru $P$ s uspořádanou bází $(B)$ jako v příkladu\cite[rotace]. Nakreslíme v něm přímku $p$ procházející počátkem, která svírá s vektorem $\vec b_1$ úhel $\alpha$. Najdeme matici osové souměrnosti podle přímky $p$. Osovou souměrnost podle $p$ vytvoříme složením tří zobrazení: nejprve otočíme přímku $p$ o úhel $-\alpha$. Její obraz tedy prochází vektorem $\vec b_1$. Dále provedeme osovou souměrnost podle přímky procházející vektorem $\vec b_1$ a nakonec otočíme obraz přímky na své místo otočením o úhel $\alpha$. Matice jednotlivých transformací vzhledem k~bázi $(B)$ jsou $$ \m_{B,B}({\cal R}_{-\alpha}) = \pmatrix {\phantom+\cos\alpha & \sin\alpha\cr -\sin\alpha & \cos\alpha}, \quad \m_{B,B}({\cal S}_{1,-1}) = \pmatrix{1&0\cr 0&\!\!\!-1}, \quad \m_{B,B}({\cal R}_\alpha) = \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}. $$ Hledaná matice osové souměrnosti podle přímky $p$ je součinem těchto matic ve správném pořadí: $$ \m_{B,B}(\a) = \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}\cdot \pmatrix{1&0\cr 0&\!\!\!-1} \cdot \pmatrix {\phantom+\cos\alpha & \sin\alpha\cr -\sin\alpha & \cos\alpha} = \pmatrix {\cos^2\alpha-\sin^2\alpha & 2\cos\alpha\sin\alpha\cr 2\cos\alpha\sin\alpha & -\cos^2\alpha+\sin^2\alpha} $$ Podle vzorečků o dvojnásobném úhlu můžeme výslednou matici přepsat do tvaru: $$ \m_{B,B}(\a) = \pmatrix{\cos2\alpha & \sin2\alpha\cr \sin2\alpha & -\cos2\alpha} $$ Má-li vektor $\vec u\in P$ souřadnice $(x,y)$ vzhledem k bázi $(B)$, pak jeho osově souměrný obraz podle přímky~$p$ má vzhledem k bázi $(B)$ souřadnice $(x',y')$: $$ \pmatrix {x'\cr y'} = \pmatrix{\cos2\alpha & \phantom+\sin2\alpha\cr \sin2\alpha & -\cos2\alpha} \cdot \pmatrix {x\cr y} = \pmatrix {(\cos2\alpha)\,x+(\sin2\alpha)\,y\cr (\sin2\alpha)\,x-(\cos2\alpha)\,y} $$ \okraj Matice\hb přechodu | Matice prechodu \definice* [defprech] %%%%%%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ a $(C)=(\vecc c_n)$ jsou dvě uspořádané báze lineárního prostoru $L$. Podle věty\cite[zobnabasi] existuje jediná lineární transformace $\a: L\to L$ taková, že $\a(\vec b_i)=\vec c_i$ pro všechna $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. Matici $\m_{B,B}(\a)$ transformace $\a$ vzhledem k bázi $(B)$ nazýváme {\em maticí přechodu od báze $(B)$ k bázi $(C)$} a značíme ji $\P_{B\to C}$. \veta* [mprech] %%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ a $(C)=(\vecc c_n)$ jsou dvě uspořádané báze lineárního prostoru $L$. Matice přechodu $\P_{B\to C}$ má následující vlastnosti: \noindent (1) $\P_{B\to C}$ má v $i$-tém sloupci souřadnice vektoru $\vec c_i$ vzhledem k bázi $(B)$ pro všechna $i\in\{1,2,\ldots,n\}$, \noindent (2) platí maticová rovnost $(\vec c_1\ \vec c_2\ \ldots\ \vec c_n) = (\vec b_1\ \vec b_2\ \ldots\ \vec b_n) \cdot \P_{B\to C}$, \noindent (3) $\P_{B\to C}=\m_{C,B}(\i)$, tj. $\P_{B\to C}$ je maticí identity vzhledem k bázím $(C)$ a $(B)$, \noindent (4) pro každý vektor $\vec u\in L$ platí $\P_{B\to C}\cdot \c_C(\vec u)^T = \c_B(\vec u)^T$, neboli $$ \P_{B\to C}\cdot \pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}} = \pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}}. $$ \dukaz (1) Podle věty\cite[Asloupce] obsahuje matice $\P_{B\to C}$ ve sloupcích souřadnice obrazů $\a(\vec b_i)=\vec c_i$ vzhledem k~bázi~$(B)$, kde $\a:L\to L$ je lineární transformace z~definice\cite[defprech]. (2) Rozepsáním součinu $(\vec c_1\ \vec c_2\ \ldots\ \vec c_n) = (\vec b_1\ \vec b_2\ \ldots\ \vec b_n) \cdot \P_{B\to C}$ po sloupcích matice $\P_{B\to C}$ shledáváme, že je tento součin ekvivalentní s~(1). (3) Vzorec (2) lze psát jako $\bigl(\i(\vec c_1)\ \i(\vec c_2)\ \ldots\ \i(\vec c_n)\bigr) = (\vec b_1\ \vec b_2\ \ldots\ \vec b_n) \cdot \P_{B\to C}$ a dívat se na něj úhlem pohledu vzorce\cite(mzob), kde $\a=\i$, a kde jsou prohozeny báze $(B)$ a $(C)$. (4) plyne z (3) a z věty\cite[Aasour]. \okraj Změna souřadnic při změně báze | Zmena souradnic pri zmene base \poznamka %%%%%%%%% Povšimneme si opačného pořadí bází ve vlastnostech (3) a (4) v předchozí větě. Vlastnost (4) říká, že matice přechodu od báze $(B)$ k bázi $(C)$ umožní počítat souřadnice vektoru vzhledem k bázi $(B)$, pokud jeho souřadnice známe vzhledem k bázi $(C)$. Je zde tedy opačný směr toku informace, než by vyplývalo z názvu matice. Název matice je odvozen z~vlastnosti $(2)$, tj. matice transformuje pomocí maticového násobení bázi $(B)$ na bázi $(C)$. \poznamka %%%%%%%%% Všechny vlastnosti ve větě\cite[mprech] jednoznačně určují matici přechodu $\P_{B\to c}$. Jinými slovy každá z nich by se dala použít jako definice pojmu matice přechodu. Je to tím, že každá podmínka vymezuje matici $\P_{B\to C}$ jednoznačně a ve větě\cite[mprech] jsme dokázali, že tato jediná matice je maticí přechodu od báze $(B)$ k~bázi $(C)$. \veta* [slozmprech] %%%%% Matice přechodu je regulární a platí \noindent (1) $\P_{C\to B} = (\P_{B\to C})^{-1}$, \noindent (2) $\P_{B\to C}\cdot \P_{C\to D} = \P_{B\to D}$. \dukaz $\P_{B\to C}$ je čtvercová matice, protože to je matice transformace. Protože obsahuje podle (1) věty\cite[mprech] ve sloupcích souřadnice bázových vektorů, jsou tyto sloupce lineárně nezávislé. Matice je tedy podle věty\cite[hodreg] regulární. (1) Vztah vyplyne například vynásobením rovnosti (2) ve větě\cite[mprech] maticí $(\P_{B\to C})^{-1}$ zprava. (2) Užitím vzorce\cite(sloz) a vlastnosti (3) věty\cite[mprech] dostáváme: $$ \P_{B\to C}\cdot \P_{C\to D} = \m_{C,B}(\i)\cdot\m_{D,C}(\i) = \m_{D,B}(\i) = \P_{B\to D}. $$ \algoritmus* [aprechod] %%%%%%%%%%% Odvodíme algoritmus na efektivní sestavení matice přechodu vzhledem k libovolným bázím. Pravda, vlastnost~(1) věty\cite[mprech] dává návod, jak matici přechodu sestavit. Ovšem někdy se stává, že se souřadnice vzhledem k bázi $(B)$ obtížně hledají. Najdeme v lineárním prostoru $L$ nějakou bázi, vzhledem ke které se souřadnice dobře hledají a označíme ji $(S)$. Báze $(S)$ může být standardní báze v $\R^n$, báze $(1,x,x^2,x^3)$ v lineárním prostoru polynomů nejvýše třetího stupně, báze orientovaných úseček jednotkové velikosti a na sebe kolmých v~lineárním prostoru $U_O$ atd. Nechť jsou dány báze $(B)$ a $(C)$ v lineárním prostoru $L$. Pro výpočet matice přechodu od báze $(B)$ k bázi $(C)$ použijeme vzorce z předchozí věty: $$ \P_{B\to C} = \P_{B\to S} \cdot \P_{S\to C} = (\P_{S\to B})^{-1} \cdot \P_{S\to C}. $$ Přitom matice na pravé straně rovnosti sestavíme snadno: do sloupců matice $\P_{S\to B}$ napíšeme souřadnice vektorů báze $(B)$ vzhledem k $(S)$ a do sloupců matice $\P_{S\to C}$ napíšeme souřadnice vektorů báze $(C)$ vzhledem k $(S)$. Abychom si ještě ušetřili práci s výpočtem inverzní matice a následným maticovým násobením, použijeme větu\cite[AXBsimEX], která říká $(\A\,|\,\B)\sim(\E\,|\,\A^{-1}\B)$, neboli $$ (\P_{S\to B}^{\phantom1}\,|\,\P_{S\to C})\ \sim\ (\E\,|\,\P_{S\to B}^{-1} \cdot \P_{S\to C}^{\phantom1}) = (\E\,|\,\P_{B\to C}). $$ Tím dostáváme následující algoritmus: Zapišme do sloupců matice souřadnice báze $(B)$ vzhledem k bázi $(S)$ a vedle svislé čáry ještě souřanice báze $(C)$ vzhledem k bázi $(S)$. Po elmininaci, která převede levý blok matice na jednotkovou matici, dostáváme v pravém bloku $\P_{B\to C}$, neboli matici přechodu od $(B)$ k $(C)$. \priklad %%%%%%%% V lineárním prostoru polynomů nejvýše třetího stupně jsou dány tři uspořádané báze: $$ \eqalign { (B) &= \bigl(x+1,x-1,(x+1)^2,(x+1)^3\bigr), \cr (C) &= (1, x+1, x^2+2, x^3+3), \cr (S) &= (x^3, x^2, x, 1) } $$ Najdeme matici přechodu od $(B)$ k $(C)$. Je zřejmé, že souřadnice polynomu se nám dobře počítají vzhledem k bázi $(S)$, takže zapíšeme-li do sloupců souřadnice vektorů z báze $(B)$ vzhledem k $(S)$, dostáváme okamžitě $\P_{S\to B}$. Podobně postupujeme u matice $\P_{S\to C}$: $$ \P_{S\to B} = \pmatrix {0&\hfill0&0&1\cr0&\hfill0&1&3\cr1&\hfill1&2&3\cr1&\!\!-1&1&1}, \qquad \P_{S\to C} = \pmatrix {0&0&0&1\cr0&0&1&0\cr0&1&0&0\cr1&1&2&3}. $$ Pomocí algoritmu\cite[aprechod] najdeme $\P_{B\to C}$. $$ \def\quad{\hskip7pt } \def\|{\kern7pt\strut\vrule} (\P_{S\to B}\,|\,\P_{S\to C}) = \pmatrix {0&\hfill0&0&1\|&0&0&0&1\cr0&\hfill0&1&3\|&0&0&1&0\cr 1&\hfill1&2&3\|&0&1&0&0\cr1&\!\!-1&1&1\|&1&1&2&3} \sim \pmatrix {1&0&0&0\|& \,\,1/2 &1 &-1/2 &\hfill4\cr 0&1&0&0\|& \!\!-1/2 &0 &-3/2 &\!-1\cr 0&0&1&0\|& 0 &0 &\,\,1 &\!-3\cr 0&0&0&1\|& 0&0&\,\,0&\hfill1} = (\E\,|\,\P_{B\to C}). $$ Báze $(S)$, $(B)$ a $(C)$ vymezují v tomto příkladě tři souřadnicové systémy stejného lineárního prostoru. Vezmene nyní jeden vektor (polynom) $p$ daný vzorcem $p(x)=2x^3+x^2-3x$. Zapíšeme postupně souřadnice tohoto polynomu ve všech třech souřadnicových sytémech. Souřadnice polynomu $p$ vzhledem k $(S)$ odhalíme snadno: $\c_S(p) = (2,1,-3,0)$. Zkusíme nyní najít jeho souřadnice vzhledem k bázi $(C)$. Podle vzorce (4) věty\cite[mprech] k tomu potřebujeme matici $\P_{C\to S}$. Tu~získáme jako inverzi k matici $\P_{S\to C}$: $$ \let\h=\hfill \P_{C\to S} = (\P_{S\to C})^{-1} = \pmatrix {0&0&0&1\cr0&0&1&0\cr0&1&0&0\cr1&1&2&3}^{-1} = \pmatrix {-3 &-2 &-1 &1\cr \h0&\h0&\h0&1\cr \h0&\h0&\h1&0\cr \h1&\h0&\h0&0}. $$ Od souřadnic polynomu $p$ vzhledem k bázi $(S)$ k souřadnicím vzhledem k~bázi $(C)$ přejdeme pomocí maticového násobení maticí $\P_{C\to S}$: $$ \let\h=\hfill \c_C(p)^T = \P_{C\to S}\cdot \c_S(p)^T = \pmatrix {-3 &-2 &-1 &1\cr \h0&\h0&\h0&1\cr \h0&\h0&\h1&0\cr \h1&\h0&\h0&0} \cdot \pmatrix {2\cr1\cr\!\!-3\cr0} = \pmatrix {\!-5\cr\!-3\cr1\cr2}. $$ Od souřadnic polynomu $p$ vzhledem k bázi $(C)$ k souřadnicím vzhledem k~bázi $(B)$ přejdeme pomocí maticového násobení maticí $\P_{B\to C}$. Tu jsme spočítali pomocí algoritmu\cite[aprechod]. $$ \let\h=\hfill \c_B(p)^T = \P_{B\to C}\cdot \c_C(p)^T = \pmatrix {1/2 &1 &-1/2 &\hfill4\cr \!\!-1/2 &0 &-3/2 &\!-1\cr 0 &0 &\,\,1 &\!-3\cr 0&0&\,\,0&\hfill1} \cdot \pmatrix {\!-5\cr\!-3\cr1\cr2} = \pmatrix{2\cr\!-1\cr\!-5\cr2}. $$ Od souřadnic polynomu $p$ vzhledem k bázi $(B)$ k souřadnicím vzhledem k~bázi $(S)$ přejdeme pomocí maticového násobení maticí $\P_{S\to B}$: $$ \let\h=\hfill \c_S(p)^T = \P_{S\to B}\cdot \c_B(p)^T = \pmatrix {0&\hfill0&0&1\cr0&\hfill0&1&3\cr1&\hfill1&2&3\cr1&\!\!-1&1&1} \cdot \pmatrix{2\cr\!-1\cr\!-5\cr2} = \pmatrix {2\cr1\cr\!\!-3\cr0} $$ a dostáváme souřadnice, které jsme měli na začátku. Šlo pouze o to procvičit si změny souřadnicového systému za použití maticového násobení. Výsledek můžeme srovnat s příkladem\cite[sourpolynomu], ve kterém jsme počítali totéž, ale souřadnice jsme hledali jako řešení soustavy lineárních rovnic. \priklad %%%%%%%% V lineárním prostoru $\R^3$ jsou dány dvě uspořádané báze: $$ (B) = \bigl( (1,1,1),(2,1,3),(1,0,4) \bigr), \qquad (C) = \bigl( (3,2,1),(2,1,4),(4,3,2) \bigr). $$ Navrhneme algoritmus, který převádí souřadnice vektoru $\vec u\in\R^3$ vzhledem k bázi $(B)$ na jeho souřadnice vzhledem k bázi $(C)$. Dané souřanice vzhledem k bázi $(B)$ označíme $(x,y,z)$. Hlednané souřadnice vzhledem k bázi $(C)$ označíme $(x',y',z')$. Pro přechod ze souřadnic vektoru vzhledem k bázi $(B)$ k souřadnicím vzhledem k bázi $(C)$ potřebujeme matici přechodu $\P_{C\to B}$. Tu vypočítáme pomocí algoritmu\cite[aprechod]. Do výchozí matice zapisujeme do sloupců souřadnice báze $(C)$ vzhledem ke standardní bázi a následně souřadnice báze $(B)$ vzhledem ke standardní bázi. Tyto souřadnice jsou přímo složky jednotlivých vektorů. $$ \def\|{\kern9pt\strut\vrule} \let\h=\hfill (\P_{S\to C}\,|\,\P_{S\to B}) = \pmatrix {3&2&4\|&1&2&1\cr2&1&3\|&1&1&0\cr1&4&2\|&1&3&4} \sim \pmatrix {1&0&0\|&\!\!-1 &\h1/2 &\h1/2\,\cr 0&1&0\|&\h0 &\h3/4 &\h5/4\,\cr 0&0&1\|&\h1 &-1/4 &-3/4\,} = (\E\,|\,\P_{C\to B}) $$ Souřadnice vzhledem k bázi $(C)$ získáme maticovým násobením $$ \let\h=\hfill \def\f#1/#2{{#1\over#2}} \pmatrix {x'\cr y'\cr z'} = \P_{C\to B}\cdot\pmatrix{x\cr y\cr z} = \pmatrix {\!\!-1 &\h1/2 &\h1/2\,\cr\h0&\h3/4&\h5/4\,\cr\h1 &-1/4 &-3/4\,} \cdot \pmatrix{x\cr y\cr z} = \pmatrix {-x+\f1/2y+\f1/2z\cr \f3/4y+\f5/4z\cr x-\f1/4y-\f3/4z}, $$ {\def\f#1/#2{{#1\over#2}} takže $x'=-x+\f1/2y+\f1/2z$, $\,y'=\f3/4y+\f5/4z$, $\,z'=x-\f1/4y-\f3/4z$. } \okraj Změna matice zobrazení při změně báze | Zmena matice zobrazeni pri zmene báze \veta* [zmenabase] %%%%% Nechť $\a: L_1\to L_2$ je lineární zobrazení lineárních prostorů konečné dimenze. Nechť $(B)$ a $(B')$ jsou dvě báze v $L_1$ a dále něchť $(C)$ a $(C')$ jsou dvě báze v $L_2$. Pak platí: \noindent (1) $\m_{B,C}(\a) \cdot \P_{B\to B'} = \m_{B',C}(\a)$, \noindent (2) $\P_{C'\to C} \cdot \m_{B,C}(\a) = \m_{B,C'}(\a)$, \noindent (3) $\P_{C'\to C} \cdot \m_{B,C}(\a) \cdot \P_{B\to B'} = \m_{B',C'}(\a)$. \dukaz Nechť $\i_1: L_1\to L_1$ je identita na $L_1$ a $\i_2: L_2\to L_2$ je identita na $L_2$. Platí $\i_2\circ\a = \a = \a\circ\i_1$. V důkazu použijeme vzorec\cite(sloz) a vlastnost (3) věty\cite[mprech] pro matici přechodu. (1) $\m_{B,C}(\a) \cdot \P_{B\to B'} = \m_{B,C}(\a) \cdot \m_{B',B}(\i_1) = \m_{B',C}(\a\circ\i_1) = \m_{B',C}(\a)$, (2) $\P_{C'\to C} \cdot \m_{B,C}(\a) = \m_{C,C'}(\i_2) \cdot \m_{B,C}(\a) = \m_{B,C'}(\i_2\circ\a) = \m_{B,C'}(\a)$, (3) dokážeme postupným použitím (1) a (2). \algoritmus [algA] %%%%%%%%%%% Podobně, jako v případě algoritmu\cite[aprechod], odvodíme algoritmus na nalezení matice zobrazení $\a: L_1\to L_2$ vzhledem k libovolným bázím. Zvolíme si bázi $(S)$ lineárního prostoru $L_2$, vzhledem ke které se souřadnice dobře hledají. Úkolem bude najít matici zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$. Pro matici $\m_{B,C}(\a)$ použijeme vzorec (2) věty\cite[zmenabase]: $$ \m_{B,C}(\a) = \P_{C\to S} \cdot \m_{B,S}(\a) = (\P_{S\to C})^{-1} \cdot \m_{B,S}(\a). $$ Matice na pravé straně této rovnice zapíšeme snadno: Matice $\m_{B,S}(\a)$ obsahuje ve sloupcích souřadnice obrazů $\a(\vec b_i)$ vzhledem k $(S)$ a matice $\P_{S\to C}$ má ve sloupcích souřadnice $\vec c_i$ vzhledem k $(S)$. Abychom si ještě ušetřili práci s výpočtem inverzní matice a následným maticovým násobením, použijeme větu\cite[AXBsimEX], která říká $(\A\,|\,\B)\sim(\E\,|\,\A^{-1}\B)$, neboli $$ \bigl(\P_{S\to C}\,|\,\m_{B,S}(\a)\bigr)\sim \bigl(\E\,|\,\P_{S\to C}^{-1} \cdot \m_{B,S}(\a)\bigr) = \bigl(\E\,|\,\m_{B,C}(\a)\bigr). $$ Dostáváme následující algoritmus: Do sloupců napíšeme pod sebe souřadnice vektorů $\vec c_i$ vzhledem k $(S)$, vpravo od nich vedle svislé čáry napíšeme do sloupců souřadnice vektorů $\a(\vec b_i)$ vzhledem k $(S)$. Pak matici eliminujeme tak, abychom v~levé části dostali $\E$. V pravé části pak máme matici zobrazení $\a$ vzhledem k~bázím $(B)$ a $(C)$. \priklad %%%%%%%% Je dáno lineární zobrazení $\a:L_1\to L_2$, které derivuje polynomy, stejně jako v~příkladu\cite[derpol]. Dále jsou dány báze: $$ (B) = (1,x+1,x^2+2,x^3+3) \quad \hbox{v prostoru $L_1$}, \qquad (C) = (x^2+3, x-2, x^2-x) \quad \hbox{v prostoru $L_2$}. $$ Najdeme $\m_{B,C}(\a)$, tedy matici zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$. Použijeme k tomu algoritmus\cite[algA]. Protože $\a$ derivuje polynomy, platí: $$ \a(1) = 0,\quad \a(x+1) = 1,\quad \a(x^2+2) = 2x, \quad \a(x^3+3) = 3x^2. $$ Souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi $(S)=(x^2,x,1)$ zapíšeme do sloupců matice a tím dostáváme matici $\m_{B,S}(\a)$. Matici $\P_{S\to C}$ sestavíme tak, že do sloupců zapíšeme souřadnice báze $(C)$ vzhledem k~bázi $(S)$. $$ \def\quad{\hskip6pt } \def\|{\kern9pt\strut\vrule} \let\h=\hfill \bigl(\P_{S\to C}\,|\,\m_{B,S}(\a)\bigr) = \pmatrix {1&\h0&\h1\|&0&0&0&3\cr 0&\h1&-1\|&0&0&2&0\cr 3&-2&\h0\|&0&1&0&0} \sim \pmatrix {1&0&0\|& \h1/5& \h4/5& \,\,\,6/5\cr 0&1&0\|& -1/5& \h6/5& \h9/5\cr 0&0&1\|&-1/5& -4/5& \h9/5} = \bigl(\E\,|\,\m_{B,C}(\A)\bigr) $$ \priklad %%%%%%%% Pokud jsou dány hodnoty lineárního zobrazení na bázi $(B)$, ale není znám vzorec pro výpočet hodnoty v libovolném bodě, pak podle věty\cite[zobnabasi] lineární zobrazení $\a$ s danou vlastností existuje a je právě jedno. Můžeme okamžitě sestavit matici $\m_{B,S}(\a)$. Pokud chceme najít vzorec pro toto zobrazení v libovolném bodě $\vec x$ a chceme pracovat se souřadnicemi $\vec x$ vzhledem k $(S)$ (což je obvyklé), je potřeba na matici $\m_{B,S}(\a)$ uplatnit přechod od báze $(B)$ k $(S)$, neboli použít vzorec~(1) věty\cite[zmenabase]. Předvedeme si to na zobrazení $\a:\R^3\to\R^4$ z~příkladu\cite[R3toR4]. Tam je dána uspořádaná báze $$ (B) = \bigl( (1,1,2),(1,2,2),(2,1,5) \bigr)\quad \hbox{v $\R^3$} $$ a obrazy zobrazení $\a$ na této bázi $$ \a(1,1,2) = (1,0,1,0), \quad \a(1,2,2) = (2,0,2,0), \quad \a(2,1,5) = (1,2,2,1). $$ V příkladu\cite[bR3toR4] jsme na základě těchto údajů sestavili matici $\m_{B,S_4}(\a)$, kde $(S_4)$ je standardní báze v~$\R^4$. Nyní potřebujeme provést ještě přechod od $(B)$ ke standarní bázi $(S_3)$ v~$\R^3$. K~tomu použijeme vzorec~(1) věty\cite[zmenabase]: $$ \m_{S_3,S_4}(\a) = \m_{B,S_4}(\a) \cdot \P_{B\to S_3} = \m_{B,S_4}(\a) \cdot (\P_{S_3\to B})^{-1} $$ Matice za posledním rovnítkem lze zapsat snadno. Ještě si můžeme ušetřit výpočet invernzí matice a následný maticový součin, pokud použijeme větu\cite[AXBsimEX], která říká $(\A\,|\,\B)\sim(\E\,|\,\A^{-1}\B)$. Bohužel, tentokrát máme součin v opačném pořadí, takže musíme přejít k transponovaným maticím: $$ \m_{S_3,S_4}(\a)^T = (\P_{S_3\to B}^T)^{-1}\cdot \m_{B,S_4}(\a)^T, \quad \hbox{takže:}\quad \bigl(\P_{S_3\to B}^T\,|\,\m_{B,S_4}(\a)^T\bigr) \sim % \bigl(\E\,|\,(\P_{S_3\to B}^T)^{-1}\cdot \m_{B,S_4}(\a)^T\bigr) = \bigl(\E\,|\m_{S_3,S_4}(\a)^T\bigr). $$ Z toho plyne algoritmus: tentokrát {\it do řádků} pod sebe napíšeme složky bázových vektorů z $(B)$ a vpravo od nich vedle svislé čáry zapíšeme {\it do řádků} složky obrazů báze. Po eliminaci, kdy vlevo je jednotková matice, najdeme vpravo transponovanou matici $\m_{S_3,S_4}(\A)$. $$ \def\|{\kern9pt\strut\vrule} \let\h=\hfill \pmatrix {1&1&2\|&1&0&1&0\cr 1&2&2\|&2&0&2&0\cr 2&1&5\|&1&2&2&1} \sim \pmatrix {1&0&0\|& 0&\!-4&\!-2&\!-2\cr 0&1&0\|& 1&\h0&\h1&\h0\cr 0&0&1\|& 0&\h2&\h1&\h1} = \bigl(\E\,|\m_{S_3,S_4}(\a)^T\bigr). $$ Náš výsledek se shoduje s výsledkem příkladu\cite[mR3toR4]. Ovšem na rozdíl od postupu v příkladu\cite[mR3toR4] jsme nyní nemuseli počítat vzorec pro $\a(x_1,x_2,x_3)$. Naopak, výstup z~právě odvozeného algoritmu se dá použít k~sestavení hledaného vzorce pro $\a(x_1,x_2,x_3)$, protože platí $$ \a(x_1,x_2,x_3)^T = \m_{S_3,S_4}(\a)\cdot \pmatrix {x_1\cr x_2\cr x_3}. $$ \priklad %%%%%%%% Nechť $\a$ je transformace z definice matice přechodu\cite[defprech], která zobrazí bázi $(B)$ na bázi~$(C)$. Víme, že $\m_{B,B}(\a) = \P_{B\to C}$. Jak vypadá matice $\m_{C,C}(\a)$? Podle věty\cite[zmenabase] je $\P_{C\to B}\m_{B,B}(\a)\P_{B\to C} = \m_{C,C}(\a)$. Takže $\m_{C,C}(\a) = \P_{C\to B}\P_{B\to C}\P_{B\to C} = \P_{B\to C}$. Matice přechodu $\P_{B\to C}$ je tedy rovna nejenom $\m_{B,B}(\a)$, ale také $\m_{C,C}(\a)$. \shrnuti %%%%%%%% Lineární zobrazení z $L_1$ do $L_2$ lze mezi sebou sčítat a lze je násobit konstantou, přičemž tato lineární zobrazení s uvedenými operacemi tvoří lineární prostor~/\ncite[lplzob],~\ncite[lpZzob]/. Jsou-li dány hodnoty na bázi, existuje právě jedno lineární zobrazení, které má tyto hodnoty\lcite[zobnabasi]. Nechť $L_1$ má konečnou uspořádanou bázi $(B)$ a $L_2$ má konečnou uspořádanou bázi $(C)$. Každé lineární zobrazení $\a: L_1\to L_2$ lze jednoznačně reprezentovat maticí $\A$ takovou, že platí $\A\cdot\vec x=\vec y$, kde $\vec x$ jsou souřadnice vzoru vzhledem k bázi $(B)$ a $\vec y$ jsou souřadnice obrazu vzhledem k~bázi~$(C)$. Tuto matici nazýváme maticí zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$\lcite[defAa]. Pro matici $\A$ zobrazení $\a$ platí, že ve sloupcích obsahuje souřadnice obrazů báze $(B)$ vzhledem k~bázi~$(C)$\lcite[Asloupce]. Totéž lze vyjádřit maticovým násobením\lcite[matzob]. Hodnost zobrazení $\a$ je rovna hodnosti jeho matice $\A$ /\ncite[hodhod],\cite[hod=hod]/. Souřadnice všech vektorů jádra zobrazení jsou množinou řešení homogenní soustavy rovnic $\A\vec x=\vec o$. Přiřazení, které lineárnímu zobrazení přidělí jeho matici vzhledem k pevně zvoleným bázím, je izomorfismus~/důkaz věty\cite[aisoA]/. Matice složeného zobrazení $\b\circ\a$ je rovna součinu jejich matic $\B\cdot\A$ ve stejném pořadí\lcite[slozmzob]. Matice inverzní transformace je rovna inverzní matici původní tansformace\lcite[Aainvers]. Matice přechodu $\P_{B\to C}$ od báze $(B)$ k bázi $(C)$ je maticí transformace, která zobrazí $\vec b_i$ z báze $(B)$ na $\vec c_i$ z báze $(C)$\lcite[defprech]. Obsahuje ve sloupcích souřadnice vektorů $\vec c_i$ vzhledem k bázi $(B)$ a je rovna matici identity vzhledem k bázím $(C)$ a $(B)$\lcite[mprech]. Matice $\P_{B\to C}$ umožní transformovat souřadnice vektoru $\vec x$ vzhledem k bázi $(C)$ na souřadnice téhož vektoru vzhledem k bázi $(B)$\lcite[mprech]. Pozor: báze jsou zde v opačném pořadí. Platí $\P_{B\to C}\cdot\P_{C\to D} = \P_{B\to D}$ a $\P_{B\to C} = (\P_{C\to B})^{-1}$\lcite[slozmprech]. Ve větě\cite[zmenabase] jsme si uvědomili, jak se změní matice zobrazení, pohneme-li první nebo druhou bází. Je potřeba matici zobrazení vynásobit z příslušné strany příslušnými maticemi přechodu. V odstavcích\cite[aprechod] a\cite[algA] jsme odvodili algoritmy na sestavení matice přechodu a matice zobrazení vzhledem k libovolným bázím, tj. i bázím, vzhledem k nimž se souřadnice vektorů počítají obtížněji. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Afinní transformace, matice v homogenních souřadnicích | Afinni transformace, matice v homogennich souradnicich %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \poznamka %%%%%%%%% V\kcite\ktere[linzob2] kapitole jsme se setkali s maticemi transformací otočení\lcite[rotace] a změny měřítka\lcite[scale]. Do této skupiny tranformací řadíme ještě transformaci posunutí, která ale není lineární, protože nulový vektor \uv{posune} na nenulový vektor, což způsobně vychované lineární zobrazení kvůli větě\cite[zobnuly] nedělá. Složením transformace posunutí s~lineární transformací dostáváme tzv.~{\em afinní transformaci}. Afinní transformace tedy nemá obecně svoji matici. V následujícím textu ukážeme, že při použití speciálních souřadnic (tzv. {\it homogenních souřadnic\/}) je možné sestavit i~matice všech afinních transformací a pracovat s nimi stejně jako s maticemi lineárních transformací. Tyto matice je možné v případě složené afinní transformace mezi sebou násobit. To má praktické využití například při programování transformací v~počítačové grafice. \poznamka [Aprst] %%%%%%%%% Nejprve si upřesníme vlastnosti geometrického prostoru, ve kterém budeme uvedené transformace uplatňovat. Tento prostor nazveme {\it afinní}. V něm budeme rozlišovat objekty dvou typů: {\em body\/} a {\em vektory}. Množinu všech bodů budeme značit $\X$. Do exaktního zavedení množiny $\X$ se nebudeme pouštět, stačí snad inuitivní chápání pojmu bod. Vektor je určen orientovanou úsečkou, která je vymezena dvěma body z~$\X$: počátečním a koncovým. Na rozdíl od lineárního prostoru $U_O$ z příkladu\cite[lpvv] není nutné, aby orientovaná úsečka začínala v~počátku. Navíc považujeme dvě orientované úsečky za reprezentanty stejného vektoru, pokud jsou rovnoběžné, stejně velké a stejně orientované. Součet dvou vektorů provedeme jako v lineárním prostoru $U_O$, když si narýsujeme jejich orientované úsečky tak, aby začínaly ve společném bodě a doplníme na rovnoběžník. Násobek vektoru konstantou provedeme také obdobně jako v lineárním prostoru $U_O$. Množinu všech takových vektorů značíme $V$. Je zřejmé, že společně s uvedenými operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru konstantou tvoří tato množina vektorů lineární prostor. Argumentuje se analogicky, jak v~případě lineárního prostoru orientovaných úseček $U_O$ v příkladu\cite[lpvv]. Dále zavedeme nové sčítání bodu $P\in\X$ s vektorem $\vec u\in V$ takto: součet $P + \vec u$ je koncový bod orientované úsečky vektoru $\vec u$, pokud její počáteční bod umístíme do bodu $P$. \okraj Afinní\hb prostor | Afinni prostor \definice* [defAprst] %%%%%%%%% {\em Afinní prostor\/} je množina bodů $\X$ společně s lineárním prostorem vektorů $V$. Zapisujeme jej jako dvojici $(\X,V)$. Kromě operací $+: V\times V\to V$ a $\cdot: \R\times V\to V$ splňující axiomy linearity~(1) až~(7) definice\cite[dlp] je zavedena ještě operace $+: \X\times V\to \X$ s vlastnostmi: $$ \eqalign{ (1)\ & P + \vec o = P \quad \hbox{pro všechny body $P\in\X$ \ ($\vec o\in V$ je nulový vektor)},\cr (2)\ & (P + \vec u) + \vec v = P + (\vec u+\vec v) \quad \hbox{pro všechny body $P\in\X$ a vektory $\vec u\in V$, $\vec v\in V$}, \cr (3)\ & \hbox{pro všechny body $P\in\X$, $Q\in\X$ existuje právě jeden vektor $\vec u\in V$ tak, že}\quad P = Q + \vec u } $$ \poznamka %%%%%%%%% Definice afinního prostoru je zavedena pomocí axiomů nové operace, jak je v algebře obvyklé. Nemusíme se tedy obtěžovat přesným vymezením pojmů bod z množiny $\X$ a vektor z~množiny~$V$. Také nemusíme vědět, jak konkrétně pracuje operace \uv{bod plus vektor}. Stačí, že tato operace splňuje uvedené axiomy. Z axiomů plyne, že \uv{vektorů je stejný počet jako bodů}. Přesněji, lze najít prosté zobrazení z množiny bodů na množinu vektorů. Stačí zvolit jeden bod $Q\in\X$ a dále pro všechna $P\in\X$ existuje podle axiomu (3) jediný vektor $\vec u\in V$. Tím je určeno prosté zobrazení z množiny bodů do množiny vektorů. Že je toto zobrazení \uv{na} plyne z toho, že ke každému vektoru $\vec u\in V$ lze zpětně sestrojit bod $P=Q+\vec u$. V dalším textu si vystačíme s představou geometrického prostoru s intuitivním pojetím bodů a vektorů podle poznámky\cite[Aprst]. Ukážeme, že tato představa je v souladu s definicí\cite[defAprst]. Tj. ověříme platnost axiomů pro operaci sčítání bodu $P$ s vektorem $\vec u$ zavedenou geometricky: $P+\vec u$ je koncový bod orientované úsečky vektoru $\vec u$, která začíná v bodě $P$. Axiom (1): Vektor $\vec o$ má koncový bod ve stejném místě jako počáteční. Takže operace $P+\vec o$ bod $P$ nezmění. Axiom (2): Narýsujeme od bodu $P$ orientovanou úsečku vektoru $\vec u$ a od koncového bodu této úsečky narýsujeme druhou orientovanou úsečku vektoru $\vec v$. Protože tyto dvě orientované úsečky vymezují \uv{sčítací rovnoběžník} pro výpočet $\vec u+\vec v$, je zřejmé, že $(P + \vec u) + \vec v = P + (\vec u+\vec v)$. Axiom (3): Vektor $\vec u$ je určený orientovanou úsečkou začínající v bodě $Q$ a končící v bodě $P$. Tento vektor budeme značit $P-Q$ nebo $\overrightarrow{QP}$. \poznamka %%%%%%%%% Lapidární shrnutí: v afinním prostoru používáme následující operace: $$\jot=0pt\eqalign{ \hbox{vektor $+$ vektor} &= \hbox{vektor}, \cr \hbox{konstanta $\cdot$ vektor} &= \hbox{vektor}, \cr \hbox{bod $+$ vektor} &= \hbox{bod}, \cr \hbox{bod $-$ bod} &= \hbox{vektor}, \cr \hbox{bod + bod} &\dots{} \hbox{\it nemá smysl}. } $$ s vlastnostmi (1) až (7) z definice\cite[dlp] a s vlastnostmi (1) až (3) z definice\cite[defAprst]. \definice %%%%%%%%% {\em Souřadnicový systém\/} v afinním prostoru $(\X,V)$ zavedeme tak, že zvolíme nějakou uspořádanou bázi $(B)$ lineárního prostoru $V$ a zvolíme bod $O\in\X$, kterému budeme říkat {\em počátek}. Souřadnicový systém budeme značit $(O,B)$. {\em Souřadnice vektoru $\vec u\in V$} vzhledem k systému $(O,B)$ jsou souřadnice vektoru $\vec u$ vzhledem k~uspořádané bázi $(B)$. {\em Souřadnice bodu $P\in\X$} vzhledem k systému $(O,B)$ jsou souřadnice vektoru $P-O$ vzhledem k~uspořádané bázi $(B)$. Vektor $P-O$ se nazývá {\em radiusvektor bodu $P$}. \definice %%%%%%%%% {\em Dimenze afinního prostoru\/} $(\X,V)$ je rovna dimenzi lineárního prostoru~$V$. Typicky používáme afinní prostory dimenze~2 (rovina) nebo dimenze~3 (naše geometrické vnímání světa). \veta [esour-lin] %%%%% Nechť $(\X,V)$ je afinní prostor, nechť dále $(O,B)$ je jeho souřadnicový systém. Nechť $\vec u\in V$, $\vec v\in V$ $\alpha\in \R$, $P\in\X$, $Q\in\X$. Symbolem $\c(.)$ značíme souřadnice bodu nebo vektoru vzhledem k~$(O,B)$. Platí $$ \eqalign { (1)\ & \c(\vec u+\vec v) = \c(\vec u) + \c(\vec v) \cr (2)\ & \c(\alpha\cdot\vec u) = \alpha\cdot\c(\vec u) \cr (3)\ & \c(Q+\vec u) = \c(Q) + \c(\vec u) \cr (4)\ & \c(P-Q) = \c(P) - \c(Q) \cr } $$ \dukaz %%%%%% (1) a (2) plyne z toho že $V$ je lineární prostor a $\c$ značí souřadnice vektoru vzhledem k uspořádané bázi~$(B)$. Zobrazení $\c$ je na množině $V$ podle věty\cite[sour-lin] lineární. (3) Radiusvektor bodu $Q+\vec u$ je součtem radiusvektoru bodu $Q$ s vektorem $\vec u$. Souřadnice bodů jsou definovány jako souřadnice jejich radiusvektorů. Na $V$ je podle věty\cite[sour-lin] zobrazení $\c$ lineární. (4) Vektor $P-Q$ je výsledkem operace \uv{radiusvektor bodu $P$ minus radiusvektor bodu~$Q$}. Další argumentace je stejná jako v důkazu~(3). %\dolu -2mm \obrazek .4+.03 11 obr11 { \p 128 20 \vec b_1 \p 108 -1 \vec b_2 \p 128 -1 \vec O \p 30 100 \vec u \p 98 80 \vec u \p 10 163 P \p 50 45 Q } \priklad [PQ] %%%%%%%% Na obrázku jsme vyznačili souřadnicový systém $(O,B)$ afinního prostoru dimenze~2. Vektory uspořádané báze $(B)=(\vec b_1, \vec b_2)$ jsou stejné velikosti a na sebe kolmé. To není nutné, ale je to praktické. Na obrázku jsou radiusvektory bodů $P\in\X$ a $Q\in\nobreak\X$, takže jsme schopni určit souřadnice bodů: $\c(P) = (7,5)$ a $\c(Q) = (2,3)$. Dále je vyznačena orientovaná úsečka vektoru $\vec u=P-Q$. Vektor $\vec u$ určený touto úsečkou má podle věty\cite[esour-lin] souřadnice rovny rozdílu souřadnic bodů: \ha 7 $$\c(\vec u) = \c(P) - \c(Q) = (7,5) - (2,3) = (5,2).$$ Na obrázku je u dvou různých orientovaných úseček připsáno stejné písmeno $\vec u$, protože tyto úsečky jsou rovnoběžné, stejně velké a stejně orientované. Považujeme je za reprezentanty stejného vektoru~$\vec u$. \okraj Homogenní souřadnice | Homogenni souradnice \definice* [dhomosour] %%%%%%%%% Nechť $(\X,V)$ je afinní prostor dimenze $n$ a $(O,B)$ je jeho souřadnicový systém. {\em Homogenní souřadnice} bodu $P\in\X$ jsou uspořádaná \hbox{$(n+1)$}-tice, která v prvních $n$ složkách obsahuje souřadnice bodu $P$ vzhledem k $(O,B)$ a v poslední složce obsahuje jedničku. {\em Homogenní souřadnice} vektoru $\vec u\in V$ jsou uspořádaná \hbox{$(n+1)$}-tice, která v prvních $n$ složkách obsahuje souřadnice vektoru $\vec u$ vzhledem k~$(O,B)$ a v poslední složce obsahuje nulu. Upozornění: rozšířenou verzi definice homogenních souřadnic bodu najde čtenář v odstavci\cite[dhomo2]. \priklad %%%%%%%% Vraťme se k bodům $P$ a $Q$ v příkladu\cite[PQ]. Homogenní souřadnice bodu $P$ jsou $(7,5,1)$, homogenní souřadnice bodu $Q$ jsou $(2,3,1)$. Homogenní souřadnice vektoru $\vec u=P-Q$ jsou $(5,2,0)$. \veta* %%%%% Vlastnosti (1) až (4) věty\cite[esour-lin] jsou splněny i v případě, že $\c(.)$ značí homogenní souřadnice. \dukaz %%%%%% V případě lineárních kombinací vektorů zůstává v poslední složce souřadnic nula. Při součtu bodu s vektorem je v poslední složce souřadnic odehrává výpočet $1+0=1$, tedy dostáváme homogenní souřadnice bodu. Při odečítání bodů se v poslední složce souřadnic odečítají jedničky a vzniká nula, dostáváme tedy homogenní souřadnice vektoru. \okraj Matice v~homogenních souřadnicích | Matice v homogennich souradnicich \definice* [Ahomo] %%%%%%%%% Nechť $(\X,V)$ je afinní prostor dimenze $n$ a $(O,B)$ jeho souřadnicový systém. Říkáme, že {\em transformace $\a:\X\to\X$ má matici $\A\in\R^{n+1,n+1}$ v homogeních souřadnicích vzhledem k $(O,B)$}, pokud pro každý bod $P\in\X$ jsou homogenní souřadnice obrazu $\a(P)$ rovny sloupcovému vektoru $\A\cdot\vec x$, kde $\vec x$ jsou homogenní souřadnice bodu $P$. Jinak řečeno, pro každý bod $P\in\X$ je $$ \A\cdot\pmatrix{\hbox{homogenní}\cr\hbox{souřadnice}\cr\hbox{bodu }P\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(O,B)$}} = \pmatrix{\hbox{homogenní}\cr\hbox{souřadnice}\cr\hbox{bodu }\a(P)\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(O,B)$}} $$ \poznamka %%%%%%%%% Nechť transformace $\a:\X\to\X$ má matici $\A$. Jak musí taková matice vypadat? Je-li $\vec x$ vektor homogenních souřadnic bodu, pak musí $\A\cdot\vec x$ být také vektor homogenních souřadnic bodu. Neboli jednička v poslední složce vektoru $\vec x$ musí zůstat zachována i po maticovém násobení. Z vlastností maticového náspobení vyplývá, že daný požadavek splňují všechny matice $\A\in\R^{n+1,n+1}$, které je možné do bloků rozepsat následovně: $$ \A = \pmatrix {\A' & \vec t\cr \vec o & 1}, \quad \rce(typA) $$ kde $\A'\in\R^{n,n}$ je libovolná matice, $\vec t\in\R^{n,1}$ je libovolný sloupcový vektor, $\vec o\in\R^{1,n}$ je nulový vektor a vpravo dole je jednička. Jinými slovy je to matice, která má v posledním řádku nuly s výjimkou posledního prvku, který je roven jedné. Nechť bod $P$ má vzhledem k $(O,B)$ souřadnice $\vec p\in\R^n$, takže jeho homogenní souřadnice jsou $(\vec p,1)$. Pak platí: $$ \A \cdot \pmatrix {\vec p^T\cr 1\,} = \pmatrix {\A' & \vec t\cr \vec o & 1} \cdot \pmatrix {\vec p^T\cr 1\,} = \pmatrix {\A'\vec p^T + \vec t\cr 1}. $$ Z maticového násobení snadno plyne, že součin dvou matic typu\cite(typA) je matice typu\cite(typA). Tento součin je maticí odpovídajícího složeného zobrazení, jak ukážeme ve větě\cite[slozhomo]. \priklad %%%%%%%% V afinním prostoru dimenze 2 jsou matice transformací v homogenních souřadnicích tvaru: $$ \pmatrix {a&b&c\cr d&e&f\cr 0&0&1},\qquad \hbox{tj.} \quad \pmatrix {x'\cr y'\cr 1} = \pmatrix {a&b&c\cr d&e&f\cr 0&0&1}\cdot \pmatrix{x\cr y\cr 1} = \pmatrix {ax +by + c\cr dx+ ey + f\cr 1}. $$ Transformace v 2D prostoru jsou tedy určeny maticemi se šesti parametry $a$ až $f$. \priklad %%%%%%%% V afinním prostoru dimenze 3 jsou matice transformací v homogenních souřadnicích tvaru: $$ \pmatrix {a&b&c&d\cr e&f&g&h\cr i&j&k&l\cr 0&0&0&1},\qquad \hbox{tj.} \quad \pmatrix {x'\cr y'\cr z'\cr 1} = \pmatrix {a&b&c&d\cr e&f&g&h\cr i&j&k&l\cr 0&0&0&1} \cdot \pmatrix {x\cr y\cr z\cr 1} = \pmatrix {ax+by+cz+d\cr ex+fy+gz+h\cr ix+jy+kz+l\cr 1}. $$ Transformace v 3D prostoru jsou tedy určeny maticemi s dvanácti parametry $a$ až $l$. \veta* [slozhomo] %%%%% Nechť $(\X,V)$ je afinní prostor dimenze $n$ a nechť $(O,B)$ je jeho souřadnicový systém. Nechť transformace $\a:\X\to\X$ má matici $\A$ v homogenních souřadnicích vzhledem k $(O,B)$ a transformace $\b:\X\to\X$ má matici $\B$ v homogenních souřadnicích vzhledem k $(O,B)$. Pak složené zobrazení $\b\circ\a$ má matici $\B\cdot\A$ v homogenních souřadnicích vzhledem k $(O,B)$. \dukaz Věta se dokáže stejně jako věta\cite[slozmzob]. Pouze místo slov \uv{souřadnice vektoru vzhledem k bázi} v~důkazu používáme slova \uv{homogenní souřadnice bodu vzhledem k $(O,B)$}. \priklad [elemhomo] %%%%%%%% Uvedeme matice elementárních transformací v afinním prostoru $(\X,V)$ dimenze~2. {\em Změna měřítka} $a$-krát ve směru první souřadnice a $b$-krát ve směru druhé má matici $$ \pmatrix {a& 0&0\cr 0&b&0\cr 0&0&1},\quad \hbox{protože}\quad \pmatrix {a& 0&0\cr 0&b&0\cr 0&0&1}\cdot \pmatrix {x\cr y\cr 1} = \pmatrix {a\,x\cr b\,y\cr 1}. $$ Změna měřítka tansformuje vektory stejně jako body. Tento typ transformace byl podrobně diskutován v příkladu\cite[scale]. {\em Rotace} o úhel $\alpha$ kolem počátku má matici $$ \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha&0\cr \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha&0\cr 0&0&1},\quad \hbox{protože}\quad \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha&0\cr \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha&0\cr 0&0&1}\cdot \pmatrix {x\cr y\cr 1} = \pmatrix {x\,\cos\alpha - y\,\sin\alpha\cr x\,\sin\alpha + y\,\cos\alpha\cr 1}. $$ Rotace transformuje vektory stejně jako body. Matice tohoto typu transformace byla odvozena v příkladu\cite[rotace]. Doplňujícím předpokladem pro tuto matici je souřadnicový systém s~bází vektorů, které jsou na sebe kolmé a mají stejnou velikost. {\em Posunutí} o vektor se souřadnicemi $(t_x,t_y)$ má matici $$ \pmatrix {1&0& t_x\cr 0&1&t_y\cr 0&0&1},\quad \hbox{protože}\quad \pmatrix {1&0& t_x\cr 0&1&t_y\cr 0&0&1}\cdot \pmatrix {x\cr y\cr 1} = \pmatrix {x+t_x\cr y+t_y\cr 1}. $$ Tato transformace posunuje jenom body, vektory nechává nezměněny. Další transformace v afinním prostoru $(\X, V)$ vznikají jako skládání těchto elementárních trnasformací. Složené zobrazení má podle věty\cite[slozhomo] matici rovnu součinu matic jednotlivých zobrazení. \priklad %%%%%%%% V afinním prostoru dimenze 2 najdeme matici $\A$ v homogenních souřadnicích takové transformace, která otáčí vzor kolem bodu se souřadnicemi $(2,3)$ o úhel $\alpha$. Tato transformace je složením tří transformací: nejprve posune bod $(2,3)$ do počátku, pak otočí obraz kolem počátku o~úhel~$\alpha$ a nakonec posune počátek zpět do bodu $(2,3)$. Matice transformace je součinem matic transformací, ze kterých je složena, přitom nejdříve aplikovaná transformace má svou matici nejvíce vpravo (viz větu\cite[slozhomo]). $$ \displaylines { \A = \biggl( \hbox{matice posunutí o $(2,3)$} \biggr) \cdot \biggl( \hbox{matice rotace o úhel $\alpha$} \biggr) \cdot \biggl( \hbox{matice posunutí o $(-2,-3)$} \biggr) =\cr = \pmatrix {1&0& 2\cr 0&1&3\cr 0&0&1} \cdot \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha&0\cr \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha&0\cr 0&0&1} \cdot \pmatrix {1&0& \!-2\cr 0&1&\!-3\cr 0&0&1} = \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha\ & -2\cos\alpha+3\sin\alpha+2\cr \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha\ &-2\sin\alpha-3\cos\alpha+3\cr 0&0&1}. } $$ \poznamka %%%%%%%%% V dalším textu ukážeme, že všechny transformace $\a:\X\to\X$, které mají matici v~homogenních souřadnicích, jsou tzv. {\em afinní transformace} a dále dokážeme, že všechny afinní transformace mají matici v~homogenních souřadnicích. \okraj Afinní\hb transformace | Afinni transformace \definice* [Atrans] %%%%%%%%% Nechť $(\X,V)$ je afinní prostor. Transformace $\a:\X\to\X$ se nazývá {\em afinní transformace} (krátce {\em afinita\/}), pokud existuje lineární transformace $\a': V\to V$ tak, že pro každý bod $P\in\X$ a pro každý vektor $\vec u\in V$ platí $$ \a(P+\vec u) = \a(P) + \a'(\vec u). $$ \veta* [anabasi] %%%%% Nechť $(\X,V)$ je afinní prostor dimenze $n$ a $(O,B)=(O,\vec b_1,\ldots,\vec b_n)$ je jeho souřadnicový systém. Pak afinní zobrazení $\a: \X\to\X$ je jednoznačně určeno svými obrazy v bodech $O$ a $O+\vec b_i$ pro $i\in\{1,\ldots,n\}$. \dukaz Protože $\a$ je afinní, existuje lineární zobrazení $\a': V\to V$, pro které platí $$\a(O+\vec b_i) = \a(O) + \a'(\vec b_i).$$ Známe-li hodnoty $\a(O+\vec b_i)$ a $\a(O)$, pak jsou tímto vzorcem určeny i hodnoty $\a'(\vec b_i)$ pro všechny bázové vektory $\vec b_i$. Lineární zobrazení $\a'$ je podle věty\cite[zobnabasi] těmito hodnotami jednoznačně určeno. Hodnota zobrazení $\a$ v každém bodě $P\in\X$ je pak jednoznačně určena ze vztahu $$\a(P) = \a\bigl(O+(P-O)\bigr) = \a(O) + \a'(P-O).$$ \veta [Ahomoa] %%%%% Nechť $(\X,V)$ je afinní prostor dimenze $n$ a $(O,B)$ je jeho souřadnicový systém. Pak každá transformace $\a:\X\to\X$, která má matici $\A$ v homogenních souřadnicích vzhledem k $(O,B)$, je afinní transformace. \dukaz Nechť $\A$ je matice zobrazení $\a$ v homogenních souřadnicích. Pak $\A$ je typu\cite(typA). Nechť $\vec u\in V$ má souřadnice $\vec c\in\R^n$ vzhledem k $(O,B)$. Pak má homogenní souřadnice $(\vec c, 0)$ a platí: $$ \A \cdot \pmatrix {\vec c^T\cr 0\,} = \pmatrix {\A' & \vec t\cr \vec o & 1} \cdot \pmatrix {\vec c^T\cr 0\,} = \pmatrix {\A'\cdot\vec c^T \cr 0} $$ takže maticové násobení $\A\cdot\vec x$ transformuje také homogenní souřadnice vektorů na homogenní souřadnice vektorů. K této transformaci homogenních souřadnic vektorů existuje zpětně transformace vektorů samotných $\a':V\to V$ taková že homogenní souřadnice obrazu $\a'(\vec u)$ jsou rovny sloupcovému vektoru $$ \A \cdot \pmatrix {\vec c^T\cr 0\,}. $$ Tato transformace $\a':V\to V$ je zjevně lineární a má matici $\A'$ vzhledem k bázi $(B)$. Nyní stačí dokázat, že $\a(P+\vec u) = \a(P) + \a'(\vec u)$ pro všechny body $P\in\X$ a všechny vektory $\vec u\in V$. Tato rovnost platí, protože $$ \A \cdot \left(\pmatrix {\vec p^T\cr 1} + \pmatrix {\vec c^T\cr 0}\right) = \A \cdot \pmatrix {\vec p^T\cr 1} + \A \cdot \pmatrix {\vec c^T\cr 0} $$ \veta* [zobhomo] %%%%% Nechť $(\X,V)$ je afinní prostor dimenze $n$ se souřadnicovým systémem $(O,B)$. Pak každé afinní zobrazení $\a$ má matici $\A$ v~homogenních souřadnicích vzhledem k $(O,B)$. \dukaz Protože $\a$ je afinní, existuje lineární transformace $\a':V\to V$ tak, že $\a(P+\vec u) = \a(P) + \a'(\vec u)$ pro všechny body $P\in\X$ a všechny vektory $\vec u\in V$. Do matice $\A$ zapíšeme nejprve homogenní souřadnice obrazů bázových vektorů $\a'(\vec b_i)$ a do posledního sloupce zapíšeme obraz $\a(O)$. Takto sestavená matice je zjevně typu\cite(typA). Označme $\b:\X\to\X$ transformaci, která má matici $\A$ v homogenních souřadnicích. Podle věty\cite[Ahomoa] je $\b$ afinní transformace. Když ukážeme, že $\b(O)=\a(O)$ a dále $\b(O+\vec b_i) = \a(O+\vec b_i)$ pro všechny bázové vektory $\vec b_i$, budeme podle věty\cite[anabasi] vědět, že $\a=\b$, tedy $\a$ má matici $\A$. Homogenní souřadnice počátku $O$ jsou všude nulové s výjimkou poslední složky, kde je jednička. Vektor těchto souřadnic označme $\vec e_{n+1}\in\R^{n+1}$. Homogenní souřadnice $\b(O)$ se počítají podle vzorce $\A\cdot\vec e_{n+1}^T$ a tento součin je roven poslednímu sloupci matice $\A$. Ten podle pravidla sestavení matice $\a$ obsahuje homogenní souřadnice obrazu $\a(O)$. Takže $\b(O)=\a(O)$. Homogenní souřadnice bázového vektoru $\vec b_i$ jsou všude nulové s výjimkou $i$-té složky. Vektor těchto souřadnic označme $\vec e_i\in\R^{n+1}$. Homogenní souřadnice $\b(O+\vec b_i)$ počítáme podle vzorce $\A\cdot(\vec e_{n+1}^T+\vec e_i^T)$. Tento součin je roven součtu $i$-tého sloupce matice $\A$ s posledním, tedy obsahuje (podle pravidla sestavení matice) homogenní souřadnice obrazu $\a(O) + \a'(\vec b_i) = \a(O+\vec b_i)$. Z toho plyne $\b(O+\vec b_i) = \a(O+\vec b_i)$. \veta %%%%% Nechť má afinní prostor $(\X,V)$ dimenzi $n$. Afinní transformace $\a:\X\to\X$ je prostá právě tehdy, když je na. \dukaz Afinní transformace $\a:\X\to\X$ je prostá právě tehdy, když její přidružená lineární transformace $\a': V\to V$ je prostá, právě tehdy, když $\defekt\a'=0$ právě tehdy, když $\hod\a'=n$ (viz větu\cite[def+hod]) právě tehdy, když $\a'$ je na $V$ právě tehdy, když $\a$ je na $\X$. \veta* %%%%% Složení dvou afinních transformací je afinní transformace. \dukaz Ve větě\cite[slozhomo] jsme ukázali, že složením dvou transformací, které mají svou matici v homogenních souřadnicích, je transfrormace, která má matici v homogenních souřadnicích. Dále ve větách\cite[Ahomoa] a\cite[zobhomo] jsme ukázali, že tranfsormace má matici v homogenních souřadnicích právě tehdy, když je afinní. \veta %%%%% Inverzní transformace k prosté afinní transformaci je afinní. \dukaz Má-li původní transformace matici $\A$ v homogenních souřadnicích, pak inverzní transformace má matici $\A^{-1}$ v homogenních souřadnicích. \veta %%%%% %Nechť $(\X,V)$ je afinní prostor dimenze aspoň 2 a $\a:\X\to\X$ je %prostá afinní transformace. Pak $\a$ transformuje rovnoběžné přímky na %rovnoběžné přímky. Prostá afinní transformace transformuje rovnoběžné přímky na rovnoběžné přímky. \dukaz Přímka v afinním prostoru $(\X,V)$ je množina $p=\{P+t\vec u;\,t\in\R\}$, kde $P\in\X$ je nějaký bod a $\vec u\in V$ je nenulový vektor. Vektoru $\vec u$ v tomto kontextu říkáme {\em směrový vektor přímky}. Dvě přímy jsou rovnoběžné nebo totožné, pokud jejich směrové vektory jsou lineárně závislé (tedy jeden je nenulovým násobkem druhého). Nechť $\a:\X\to\X$ je prostá afinní transformace a označme $p=\{P+t\vec u;\,t\in\R\}$ a $q=\{Q+t\vec v;\,t\in\R\}$ dvě různé rovnoběžné přímky. Takže $\vec u=\alpha\vec v$. Pak $$ \eqalign{ \a(p) &= \{\a(P+t\vec u);\,t\in\R\} = \{\a(P)+\a'(t\vec u);\,t\in\R\} = \{\a(P)+t\a'(\vec u);\,t\in\R\} = p' \cr \a(q) &= \{\a(Q+t\vec v);\,t\in\R\} = \{\a(Q)+\a'(t\vec v);\,t\in\R\} = \{\a(Q)+t\a'(\vec v);\,t\in\R\} = q' } $$ Je zřejmé, že $p'$ a $q'$ jsou přímky. Protože $\a$ je prosté, je prosté také $\a'$, takže vektory $\a'(\vec u)$ a $\a'(\vec u)$ jsou nenulové. Přímky $p'$ a $q'$ jsou rovnoběžné protože $\a'(\vec u) = \a'(\alpha\vec v) = \alpha \a'(\vec v)$. Navíc nejsou totožné, protože $\a$ je prosté. %V případě, že dimenze %afinního prostoru je 1, pak prosté afinní zobrazení transformuje %jedinou přímku na tu samou přímku a o rovnoběžnosti nemá smysl mluvit. \poznamka [arovnobeznost] %%%%%%%%% Předpokládejme nyní, že afinní zobrazení není prosté. V tomto případě se přímky mohou zobrazit do bodu nebo dvě rovnoběžné přímky se zobrazí do jedné přímky. Projděte si důkaz předchozí věty znova a rozmyslete si, že afinní zobrazení, které nemusí být prosté, nikdy nezobrazí rovnoběžky na různoběžky. \dolu 2mm \obrazek .5+.03 11 obr12 { \p 150 48 \vec b_1 \p 110 36 \vec b_2 \p 151 24 \vec O \p 98 115 \vec O' \p 55 82 \vec b_1' \p 120 10 \vec b_1' \p 78 192 \vec b_2' \p 129 120 \vec b_2' } \priklad %%%%%%%% V afinním prostoru dimen\-ze~2 najdeme matici $\A$ v homogenních souřadnicích takové afinní transformace, která zobrazí $\vec b_1$ na $\vec b_1'$, dále $\vec b_2$ zobrazí na $\vec b_2'$ a konečně $O$ zobrazí na $O'$ podle obrázku. Tato transformace například vezme obrázek z vyšrafovaného čtverce a protáhne jej, zkosí jej, zrcadlí jej (osová souměrnost), otočí jej a posune jej a tím vytvoří obraz původního obrázku ve vyznačeném rovnoběžníku. Uvědomíme si, že pokud je dána báze $(\vec b_1,\vec b_2)$ a pokud jsou dány vektory $\vec b_1'$ a $\vec b_2'$, pro které má být $\vec b_i'= \a'(\vec b_i)$ pro $i\in\{1,2\}$, pak lineární transformace $\a': V\to V$ s uvedenou vlastností podle věty\cite[zobnabasi] existuje a je jediná. Když k tomu přidáme požadavek na posunutí bodu $O$ do $O'$, je tím také určena transformace $\a:\X\to\X$. Matice této transformace má podle důkazu věty\cite[zobhomo] homogenní souřadnice vektorů $\vec b_i'$ a bodu $O'$ v odpovídajících sloupcích. Aby se nám na obrázku souřadnice vektorů $\vec b_i'$ vzhledem k bázi $(B)$ dobře hledaly, překreslili jsme jejich orientované úcečky také tak, aby začínaly v bodě $O$. Vidíme, že \ha 5 $$ \eqalign { \vec b_1' &= -1\cdot \vec b_1 + 2\cdot\vec b_2, \quad \hbox{takže vektor $\vec b_1'$ má souřadnice $(-1,2)$ vzhledem k $(B)$},\cr \vec b_2' &= \phantom+4\cdot \vec b_1 + 1\cdot\vec b_2, \quad \hbox{takže vektor $\vec b_2'$ má souřadnice $(4,1)$ vzhledem k $(B)$},\cr O'-O &= \phantom+3\cdot\vec b_1 + 2\cdot\vec b_2,\quad \hbox{takže bod $O'$ má souřadnice $(3,2)$ vzhledem k $(O,B)$}.\cr } $$ Hledanou matici $\A$ nyní vyplníme po sloupcích homogenními souřadnicemi vektorů $\vec b_1'$, $\vec b_2'$ a bodu $O'$: $$ \A = \pmatrix {\!-1&4&3\cr \hfill2&1&2\cr\hfill0&0&1}. $$ \poznamka %%%%%%%%% Dá se ukázat, že každá afinní transformace afinního prostoru dimenze 2 je výsledkem skládání elementárních operací změny měřítka, otočení a posunutí uvedených v příkladu\cite[elemhomo]. Důkaz tohoto tvrzení ponecháme až do kapitoly\kcite\ktere[skalsoucin] v~příkladu\cite[elemsloz]. \okraj Perspektivní projekce | Perspektivni projekce \poznamka [perspproj] V počítačové grafice se řeší otázka zobrazení 3D modelu na 2D stínítko monitoru. Můžeme to udělat odstraněním například souřadnice $z$ ze tří původních souřadnic 3D modelu, tedy $(x,y,z) \to (x,y)$. Toto zobrazení nazýváme ortografickou projekcí. Přirozenější ale je představit si oko pozorovatele (nebo kameru) jako centrum, do kterého se sbíhají všechny paprsky odrážející se od pozorovaných objektů. Před pozorovatele postavíme stínítko monitoru -- průhlednou rovinu. Každý pozorvaný bod má svůj paprsek směřující do oka a průsečík tohoto paprsku s rovinou stínítka je obraz pozorovaného bodu při perspektivní projekci. Situace je znázorněná na obrázku. Zde je oko pozorovatele umístěné do počátku souřadnic afinního prostoru a rovina stínítka je kolmá na osu $z$ a je umístěna ve vzdálenosti~1 od pozorovatele. Pozorovatel se dívá \uv{nahoru}. Je docela pohodlné ležet na gauči a zírat vzhůru. Za této situace se bod 3D scény se souřadnicemi $(x,y,z)$ zobrazí na stínítko do místa se souřadnicemi $(x/z,y/z,1)$ a po zanedbání souřadnice $z$ máme výsledné 2D souřadnice $(x/z,y/z)$. Tuto perpektivní projekci tedy můžeme popsat jako $(x,y,z)\to (x/z,y/z)$. Zjevně body se souřadnicemi $(x,y,0)$ původní 3D scény nejsou vidět a do 2D scény se nezobrazují. Pravda, nejsou vidět ani body za zády pozorovatele, tj. $(x,y,z)$ pro $z<0$. Pokud bychom je před projekcí neodstranili, pak by se nám při použití vzorce $(x,y,z)\to (x/z,y/z)$ také promítly do stínítka. Perspektivní projekce není afinní zobrazení. Zobrazuje sice přímky (neprocházející okem) na přímky, ale rovnoběžné přímky se mohou sbíhat ve společném bodě, což není podle\cite[arovnobeznost] vlastnost afinního zobrazení. V předchozím textu jsme ukázali, že matice všech afinních zobrazení v homogenních souřadnicích mají v posledním řádku $(0,\ldots,0,1)$. Dovolíme-li maticím nemít tuto vlastnost, můžeme pomocí maticového násobení postihnout i perspektivní projekci. Potřebujeme k tomu účelu ovšem rozšířit pojem homogenní souřadnice bodu. V poslední souřadnici od této chvíle připustíme jakékoli nenulové číslo, ne nutně jedničku: \definice* [dhomo2] %%%%%%%%% Nechť $(\X,V)$ je afinní prostor a $(O,B)$ jeho souřadnicový systém. Nechť bod $P\in\X$ má vzhledem k $(O,B)$ souřadnice $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. Pak jakoukoli uspořádanou $(n+1)$-tici $(tx_1,tx_2,\ldots,tx_n,t)$ pro $t\not=0$ nazýváme {\em homogenní souřadnice bodu\/}~$P$. \inl[souřadnice: homogenní, homogenní: souřadnice] \poznamka %%%%%%%%% Homogenní souřadnice bodu nejsou určeny touto definicí jednoznačně. Můžeme použít následující geometrickou představu: všechny homogenní souřadnice stejného bodu $P$ z~afinního prostoru $(\X,V)$ dimenze~$n$ vyplní (až na počátek) přímku v prostoru $\R^{n+1}$ homogenních souřadnic. Tato přímka vždy prochází počátkem prostoru $\R^{n+1}$. V~prostoru homogenních souřadnic $\R^{n+1}$ si vytvořme zobecněnou rovinu $\varrho=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n,1),\,x_i\in\R\}$. Bod $P$ je v~prostoru homogenních souřadnic reprezentován přímkou, která protíná rovinu $\varrho$ v bodě $P$ (po zanedbání poslední souřadnice). Všechny objekty v $\X$ mají v prostoru homogenních souřadnic o jednu dimenzi více, než v $\X$ samotném. Například přímka v $\X$ je rovinou v~$\R^{n+1}$ procházející počátkem. Přitom průsečík této roviny se zobecněnou rovinou $\varrho$ dává původní přímku. \poznamka %%%%%%%%% Pro popis perspektivní projekce 3D scény na 2D stínítko si vystačíme s~afinním prostorem dimenze~3 a se čtyřmi homogenními souřadnicemi na vstupu a s afinním prostorem dimenze 2 a třemi homogenními souřadnicemi na výstupu. Popíšeme perspektivní projekci, která je ve skutečných souřadnicích popsána vzorcem $(x,y,z)\to(x/z,y/z)$ a byla zmíněna v~poznámce\cite[perspproj]. Nechť homogenní souřadnice vzoru v~této projekci jsou $(x,y,z,1)$. Homogenní souřadnice obrazu jsou třeba $(x/z,y/z,1)$, ale stejný bod má též (v~souladu s definicí\cite[dhomo2] a při volbě $t=z$) homogenní souřadnice $(x,y,z)$. Matice perspektivní projekce v homogenních souřadnicích tedy vypadá následovně: $$ \pmatrix{1&0&0&0\cr0&1&0&0\cr0&0&1&0}, \qquad \hbox{protože}\quad \pmatrix{1&0&0&0\cr0&1&0&0\cr0&0&1&0}\cdot \pmatrix{x\cr y\cr z\cr 1} = \pmatrix{x\cr y\cr z} $$ Povšimneme si, že na vstupu máme bod z 3D popsaný čtyřmi homogenními souřadnicemi a na výstupu bod z 2D popsaný třemi homogenními souřadicemi. Bod na výstupu nemá poslední homogenní souřadnici vždy rovnu jedné. Chceme-li zjistit skutečné souřadnice tohoto bodu, musíme najít jiné homogenní souřadnice stejného bodu, které mají v poslední složce jedničku. Tedy: $(x/z,y/z,1)$. Skutečné 2D souřadnice tedy podle očekávání jsou $(x/z,y/z)$. \shrnuti %%%%%%%% Afinní prostor sestává z množiny bodů $\X$ a z lineárního prostoru~$V$\lcite[Aprst]. Je definována operace \uv{bod plus vektor je bod}, která splňuje axiomy (1) až (3)\lcite[defAprst]. Souřadnice bodu $P$ jsou souřadnice jeho radiusvektoru $P-O$. Souřadnice bodů i vektorů zachovávají potřebné operace\lcite[esour-lin]. Homogenní souřadnice bodu jsou souřadnice bodu následované jedničkou a homogenní souřadnice vektoru jsou souřadnice vektoru následované nulou\lcite[dhomosour]. Transformace $\a:\X\to\X$ jsou afinní, právě když mají matici v~homogenních souřadnicích~/\ncite[Ahomo], \ncite[Atrans], \ncite[Ahomoa],~\ncite[zobhomo]/. Skládání afinních transformací má v homogenních souřadnicích matici rovnou součinu matic jednotlivých transformací. Matice v homogenních souřadnicích má vždy v posledním řádku $(0,\ldots,0,1)$. Uvedli jsme si matice elementárních transformací: změna měřítka, rotace a posunutí\lcite[elemhomo]. Skládáním elementárních transformací lze vytvořit libovolnou afinní transformaci. Nechť $(\vecc b_n, O)$ je souřadnicový systém prostoru $(\X,V)$ Afinní transformace $\a:\X\to\X$ je jednoznačně určena svými obrazy bodu $O$ a bodů $O+\vec b_i$\lcite[anabasi]. Matice této transformace v homogeních souřadnicích má ve sloupcích homogenní souřadnice obrazů $\vec b_i$ následované sloupcem s homogenními souřadnicemi obrazu bodu~$O$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola [vlcisla] Vlastní číslo, vlastní vektor | Vlastni cislo, vlastni vektor %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \okraj Motivační příklad | Motivacni priklad \priklad %%%%%%%% Předpokládejme, že je dána lineární transformace $\a:\R^2\to\R^2$, která má svou matici $\A\in\R^{2,2}$. Je-li $\vec u\in\R^2$ nenulový vektor, pak množina $p=\{t\vec u;\, t\in\R\}$ je (z geometrického pohledu) přímka, procházející počátkem. Nenulovému vektoru $\vec u$ říkáme {\em směrový vektor přímky}. Transformace $\a$ zobrazuje přímky procházející počátkem na přímky procházející počátkem. Pokusíme se najít přímku procházející pořátkem, která se tranformací $\a$ zobrazí sama na sebe. Hledanou přímku označíme $p=\{t\vec u;\, t\in\R\}$. Musí platit $p = \a(p) = \{t\a(\vec u);\, t\in\R\}$, takže směrový vektor přímky $p$ a směrový vektor přímky $\a(p)$ musejí být lineárně závislé, tedy $\a(\vec u) = \lambda\vec u$. Je-li dána matice $\A$ zobrazení $\a$, pak se předchozí úloha dá formulovat takto: najít nenulový vektor $\vec u\in\R^2$ a číslo $\lambda\in\R$ tak, aby $\A\cdot\vec u = \lambda\vec u$. Rovnost se dá přepsat takto: $\A\cdot\vec u = \lambda\E\cdot\vec u$, neboli $(\A-\lambda\E)\cdot\vec u=\vec o$. Aby bylo možné najít nenulové řešení $\vec u$ této homogenní soustavy (s parametrem $\lambda\in\R$), musí její matice $\A-\lambda\E$ být singulární, neboli musí $\det(\A-\lambda\E)=0$. Je-li dána matice $\A\in\R^2$, pak rovnice $\det(\A-\lambda\E)=0$ je kvadratická rovnice v proměnné $\lambda$. Tato rovnice může, ale nemusí mít reálné kořeny. Pokud má reálné kořeny $\lambda_1$ a $\lambda_2$, pak lze najít nenulová řešení homogenních soustav $(\A-\lambda_1\E)\cdot\vec u=\vec o$ a $(\A-\lambda_2\E)\cdot\vec u=\vec o$. Označíme-li tato řešení $\vec u_1$ a $\vec u_2$, pak jsme našli dvě přímky $p_1=\{t\vec u_1\}$ a $p_2=\{t\vec u_2\}$, které se zobrazí na sebe. Uvedený postup ukážeme v následujících příkladech znovu a konkrétněji. \priklad %%%%%%%% Nechť lineární transformace $\a:\R^2\to\R^2$ má matici $$ \A = \pmatrix {5&2\cr -3&0} $$ Najdeme přímky, které tato transformace ponechá beze změny. Nechť $p=\{t(x_1,x_2);\,t\in\R\}$ je hledaná přímka. Musí platit $\a(x_1,x_2) = \lambda(x_1,x_2)$, neboli: $$ \pmatrix {5&2\cr -3&0}\cdot\pmatrix{x_1\cr x_2} = \lambda\pmatrix{x_1\cr x_2}, \quad \hbox{tj.}\quad \pmatrix {5-\lambda&2\cr -3&-\lambda}\cdot\pmatrix{x_1\cr x_2} = \pmatrix{0\cr0}. $$ Protože hledaný vektor $(x_1,x_2)$ musí být nenulový, musí mít uvedená homogenní soustava singulární matici. To znamená, že: $$ \det\pmatrix {5-\lambda&2\cr -3&-\lambda} = 0, \quad \hbox{tj.}\quad \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0, \quad \hbox{tj.}\quad \lambda = 2\quad\hbox{nebo}\quad \lambda=3. $$ Kořeny $\lambda=2$ a $\lambda=3$ postupně dosadíme do původní homogenní soustavy: $$ \lambda=2:\quad \pmatrix {5-2&2\cr -3&-2}\cdot\pmatrix{x_1\cr x_2} = \pmatrix{0\cr 0},\qquad \lambda=3:\quad \pmatrix {5-3&2\cr -3&-3}\cdot\pmatrix{x_1\cr x_2} = \pmatrix{0\cr 0}. $$ Nenulové řešení první soustavy je například $(-2,3)$ a nenulové řešení druhé soustavy je $(-1,1)$. Takže přímky $p_1=\{t(-2,3);\, t\in\R\}$ a $p_2=\{t(-1,1);\, t\in\R\}$ jsou hledané přímky, které se zobrazí na sebe. \priklad %%%%%%%% Nechť lineární transformace $\a:\R^2\to\R^2$ má matici $$ \A = \pmatrix {1&2\cr -2&3} $$ Najdeme přímky, které tato transformace ponechá beze změny. Postup nebudeme opakovat podrobně znovu. V jedné fázi výpočtu dostáváme determinant: $$ \det\pmatrix {1-\lambda&2\cr -2&3-\lambda} = 0, \quad \hbox{tj.}\quad \lambda^2 - 4\lambda + 7 = 0, \quad \hbox{tato rovnice nemá v $\R$ řešení.} $$ V tomto případě neexistuje žádná přímka procházející počátkem, kterou by daná lineární transformace ponechala beze změny. \poznamka %%%%%%%%% Číslům $\lambda$ v předchozích příkladech se říká {\em vlastní čísla matice}~$\A$, resp. {\em vlastní čísla transformace}~$\a$. Směrovým vektorům přímek, které transformace ponechává beze změny, říkáme {\em vlastní vektory}. Přesnější definici těchto pojmů zavedeme za chvíli. \poznamka %%%%%%%%% Z uvedených příkladů plyne, že vlastní čísla matice $\A$ lze počítat jako kořeny polynomu $\det(\A-\lambda\E)$. Tyto kořeny ovšem nemusejí být vždy reálné. Abychom měli zaručenu vždy existenci vlastního čísla, budeme muset připustit i~komplexní vlastní čísla a komplexní vlastní vektory. V této kapitole tedy bude užitečné pracovat s~lineárními prostory nad komplexními čísly (viz poznámku\cite[dlpnadC]) a s komplexními maticemi. Pak budeme mít zaručeno, že každá lineární transformace (resp. její matice) má vždy vlastní čísla a vlastní vektory. Bohužel, přechodem ke komplexním číslům musíme poněkud více přimhouřit obě oči, když chceme vlastní vektory interpretovat geometricky jako směrové vektory přímek, které transformace ponechává beze změny. Geometrický prostor, na který jsme zvyklí, je totiž izomorfní s~$\R^3$, nikoli s $\C^3$. V~modelových příkladech se pokusíme komplexním číslům vyhnout. \okraj Vlastní číslo, vlastní vektor | Vlastni cislo, vlastni vektor \definice* [dvl] %%%%%%%%% Nechť $L$ je lineární prostor konečné dimenze nad $\C$ a nechť $\a:L\to L$ je lineární transformace. Číslo $\lambda\in\C$ se nazývá {\em vlastním číslem transformace~$\a$}, pokud existuje vektor $\vec x\in L$, $\vec x\not=\vec o$ takový, že $\a(\vec x) = \lambda\,\vec x$. Vektor $\vec x$, který splňuje uvedenou rovnost, se nazývá {\em vlastní vektor transformace $\a$ příslušný vlastnímu číslu $\lambda$}. \inl[číslo: vlastní, vlastní: číslo, vektor: vlastní, vlastní: vektor] \poznamka %%%%%%%%% Pokud existuje vlastní číslo transformace $\a$, pak mu přísluší více vlastních vektorů. Přidáme-li k těmto vektorům vektor nulový, dostáváme lineární podprostor prostoru $L$. Skutečně, pokud $\vec x$, $\vec y$ splňují $\a(\vec x) = \lambda\,\vec x$, $\a(\vec y) = \lambda\,\vec y$, pak $$ \a(\vec x+\vec y) = \a(\vec x)+\a(\vec y) = \lambda\,\vec x+\lambda\,\vec y = \lambda\,(\vec x+\vec y), \qquad \a(\alpha\,\vec x) = \alpha\,\a(\vec x) = \alpha\lambda\,\vec x = \lambda\,(\alpha\,\vec x). $$ \poznamka %%%%%%%%% Pojem vlastní číslo definujeme nejenom pro lineární transformace, ale rovněž pro čtvercové matice. Záhy zjistíme, že mezi vlastním číslem transformace a její matice je úzká souvislost. \definice* [dvA] %%%%%%%%% Nechť $\A$ je čtvercová matice typu $(n,n)$ reálných nebo komplexních čísel. Číslo $\lambda\in\C$ se nazývá {\em vlastním číslem matice $\A$}, pokud existuje vektor $\vec x\in \C^{n,1}$, $\vec x\not=\vec o$, takový, že $\A\cdot\vec x = \lambda\,\vec x$. Vektor $\vec x$, který splňuje uvedenou rovnost, se nazývá {\em vlastní vektor matice $\A$ příslušný vlastnímu číslu~$\lambda$}. \inl[číslo: vlastní, vlastní: číslo, vektor: vlastní, vlastní: vektor] \veta [vlavlA] %%%%% Nechť $\a:L\to L$ je lineární transformace a $\A$ je jeho matice vzhledem k nějaké bázi $(B)$. Pak $\lambda$ je vlastním číslem transformace $\a$ právě tehdy, když je vlastním číslem matice $\A$. Navíc $\vec x$ je vlastní vektor transformace $\a$ příslušný $\lambda$ právě tehdy, když souřadnice vektoru $\vec x$ vzhledem k bázi $(B)$ tvoří vlastní vektor matice $\A$ příslušný $\lambda$. \dukaz %%%%%% Označme $\vec u\in\C^n$ souřadnice vektoru $\vec x$ v~bázi $(B)$. Podle věty\cite[Aasour] sloupec $\A\cdot \vec u$ obsahuje souřadnice obrazu $\a(\vec x)$ vzhledem k~bázi~$(B)$. Takže $\a(\vec x)=\lambda\,\vec x$ právě tehdy, když $\A\cdot\vec u =\lambda\,\vec u$. \poznamka %%%%%%%%% Množina všech vlastních čísel lineární transformace nebo matice se nazývá \hbox{\em spektrum}. Vlastním číslům/vektorům někteří čeští autoři říkají {\em charakteristická čísla/vektory\/} (anglicky eigen\-value, eigen\-vector, což je odvozeno z němčiny). \inl[spektrum: transformace, spektrum: matice] \inl[charakteristické: číslo, číslo: charakteristické] \inl[charakteristický: vektor, vektor: charakteristický] \inl[eigenvalue, eigenvector] \poznamka %%%%%%%%% Přikročíme nyní k výpočtu vlastních čísel, je-li dána čtvercová matice $\A$. Vyjdeme z~rovnosti $\A\cdot\vec x = \lambda\,\vec x = \lambda\,\E\cdot\vec x$. Z~obou stran této rovnice odečteme $\lambda\,\E\cdot\vec x$. Dostáváme vztah $\A\cdot\vec x-\lambda\,\E\cdot\vec x = (\A-\lambda\,\E)\cdot \vec x = \vec o$. Z definice vlastního čísla víme, že příslušný vlastní vektor $\vec x$ musí být nenulový. Je tedy zřejmé, že $\lambda$ bude vlastním číslem matice $\A$ právě tehdy, když homogenní soustava s maticí $\A-\lambda\,\E$ bude mít nenulové řešení. Tímto řešením pak bude vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu $\lambda$. Aby tato soustava měla nenulové řešení, musí její matice být singulární, tj. musí $\det(\A-\lambda\,\E)=0$. Tím máme odvozen vzorec na výpočet vlastních čísel. Uvědomíme si ještě, že $\det(\A-\lambda\,\E)$ je polynom v~proměnné~$\lambda$. Tento polynom se nazývá {\em charakteristický polynom\/} matice $\A$. Jeho stupeň je stejný, jako počet řádků matice $\A$. Označme toto číslo $n$. Abychom tedy našli všechna vlastní čísla dané matice, stačí najít všechny kořeny charakteristického polynomu této matice. Podle základní věty algebry těchto kořenů (včetně jejich násobnosti) je $n$. Každá matice má tedy $n$ vlastních čísel (obecně ne vzájmeně různých). Každá lineární transformace $\a:L\to L$ má tolik vlastních čísel, kolik je dimeze~$L$. \inl[metoda: počítání: vlastních čísel] \definice [chpolynom] %%%%%%%%% Nechť $\A$ je čtvercová matice. Polynom $\det (\A-\lambda\,\E)$ nazýváme {\em charakteristický polynom matice $\A$} a rovnost $\det (\A-\lambda\,\E)=0$ charakteristickou rovnicí. Je-li $\lambda$ $k$-násobným kořenem charakteristické rovnice, říkáme, že $\lambda$ je {\em $k$-násobným vlastním číslem}. \inl[charakteristický: polynom, polynom: charakteristický] \inl[násobnost: vlastního čísla] \priklad [3vvektory] %%%%%%%% Uvedeme ještě celý postup odvození výpočtu vlastních čísel matice (viz předchozí poznámku) znovu na konkrétním numerickém příkladě, protože odvození může pro někoho být na konkrétním příkladě názornější. Budeme hledat vlastní čísla a vlastní vektory matice $$ \A=\matice{5 & -2 & 2 \cr -1 & 4 & -1 \cr -4 & 4 & -1 \cr}. $$ Podle definice\cite[dvA] hledáme takové číslo $\lambda$ a vektor $\vec x=(x_1, x_2, x_3)$, aby byla splněna maticová rovnost $$ \matice{5 & -2 & 2 \cr -1 & 4 & -1 \cr -4 & 4 & -1 \cr}\cdot \matice {x_1\cr x_2\cr x_3\cr} = \lambda\, \matice {x_1\cr x_2\cr x_3\cr}, $$ a přitom vektor $\vec x$ byl nenulový. Rozepíšeme tuto rovnost do složek: $$ \let\quad=\relax \matrix{ 5x_1& {}-2x_2& {}+2x_3 &{}= \lambda x_1 \cr -x_1& {}+4x_2& {}-x_3 &{}= \lambda x_2 \cr -4x_1& {}+4x_2& {}-x_3 &{}= \lambda x_3 \cr } \qquad \hbox{tj.} \qquad \matrix{ (5-\lambda)x_1& \hfill{}-2x_2& \hfill{}+2x_3 &{}= 0 \cr \hfill-x_1& +(4-\lambda)x_2& \hfill{}-x_3 &{}= 0 \cr \hfill-4x_1& \hfill{}+4x_2& +(-1-\lambda)x_3 &{}= 0 \cr } $$ Potřebujeme, aby uvedená homogenní soustava se čtvercovou maticí měla nenulové řešení. Matice soustavy tedy musí být singulární, tj. musí mít nulový determinant: $$ \det\pmatrix{5-\lambda & -2 & 2 \cr -1 & 4-\lambda & -1 \cr -4 & 4 & -1-\lambda \cr} = 0. $$ Hledáme tedy $\lambda$ takové, aby $\det(\A-\lambda\E)=0$. Příště už toto odvození nebudeme opakovat, ale začneme rovnou od rovnice $\det(\A-\lambda\E)=0$. $$ \det(\A-\lambda\E)=(5-\lambda)(4-\lambda)(-1-\lambda)-16- \bigl(-8(4-\lambda) -4(5-\lambda) +2(-1-\lambda)\bigr) = -(\lambda-3)^2(\lambda-2), $$ takže vlastní čísla jsou $\lambda=3$ a $\lambda=2$. Najdeme ještě vlastní vektory. Nejprve najdeme vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu 3: $$ \pmatrix{5-3 & -2 & 2 \cr -1 & 4-3 & -1 \cr -4 & 4 & -1-3 \cr} = \matice {2 & -2 & 2 \cr -1 & 1 & -1 \cr -4 & 4 & -4 \cr} \sim \matice {1 & -1 & \ 1}. $$ Báze řešení homogenní soustavy s maticí $(1\ {-1}\ \ 1)$ je například $\{(1,1,0),(-1,0,1)\}$. Toto jsou dva lineárně nezávislé vlastní vektory, které přísluší vlastnímu číslu~3. Všechny vlastní vektory příslušející vlastnímu číslu~3 tvoří lineární obal této báze, ovšem bez nulového vektoru. Nyní najdeme vlastní vektory, které přísluší vlastnímu číslu~2: $$ \pmatrix{5-2 & -2 & 2 \cr -1 & 4-2 & -1 \cr -4 & 4 & -1-2 \cr} = \matice {3 & -2 & 2 \cr -1 & 2 & -1 \cr -4 & 4 & -3 \cr} \sim \matice {-1 & 2 & -1 \cr 0 & 4 & -1 \cr 0 & -4 & 1 \cr} \sim \matice {-1 & 2 & -1 \cr 0 & \ 4 & -1 \cr}. $$ Dimenze prostoru řešení homogenní soustavy s touto maticí je~1, tj. stačí najít jeden vektor řešení: $(-2,1,4)$ a ostatní vektory řešení jsou jeho násobky. Tato řešení (bez nulového) jsou též všechny vlastní vektory matice~$\A$, které přísluší vlastnímu číslu~2. Celkem tedy má matice $\A$ tři lineárně nezávislé vlastní vektory: $(1,1,0),(-1,0,1), (-2,1,4)$. První dva příslušejí vlastnímu číslu~3 a poslední přísluší vlastnímu číslu~2. \priklad [2vvektory] %%%%%%%% Následující příklad ukazuje, že nemusí existovat tolik lineárně nezávislých vlastních vektorů, kolik řádků má matice. Budeme hledat vlastní čísla a vlastní vektory matice: $$ \A=\matice{ 2 & 4 & -3 \cr -1 & 10 & -6 \cr -1 & 8 & -4 \cr}. $$ Vypočteme determinant matice $\A-\lambda\E$: $$ \det\pmatrix { 2-\lambda & 4 & -3 \cr -1 & 10-\lambda & -6 \cr -1 & 8 & -4-\lambda \cr} = -(\lambda-3)^2 (\lambda-2). $$ Vidíme, že matice má stejná vlastní čísla, jako matice z předchozího příkladu. Nyní vypočítáme vlastní vektory: $$ \eqalign{ \matrix {\lambda=3:\cr{}\cr{}\cr}& \pmatrix{ 2-3 & 4 & -3 \cr -1 & 10-3 & -6 \cr -1 & 8 & -4-3 \cr} = \matice{ -1 & \ 4 & -3 \cr -1 & 7 & -6 \cr -1 & 8 & -7 \cr} \sim \matice{ -1 & \ 4 & -3 \cr 0 & 3 & -3 \cr 0 & 4 & -4 \cr} \sim \matice{ -1 & \ 4 & -3 \cr 0 & 1 & -1 \cr} \quad \matrix {\hbox{vlastní }\cr\noalign{\vskip-3pt}\hbox{vektor:}\cr (1,1,1)\cr} \cr \matrix {\lambda=2:\cr{}\cr{}\cr}& \pmatrix{ 2-2 & 4 & -3 \cr -1 & 10-2 & -6 \cr -1 & 8 & -4-2 \cr} = \matice { 0 & \ 4 & -3 \cr -1 & 8 & -6 \cr -1 & 8 & -6 \cr} \sim \matice { -1 & \ 8 & -6 \cr 0 & 4 & -3 \cr} \quad \matrix {\hbox{vlastní }\cr\noalign{\vskip-3pt}\hbox{vektor:}\cr (0,3,4)\cr} } $$ Na rozdíl od předchozího příkladu vícenásobnému vlastnímu číslu~3 přísluší jen jeden lineárně nezávislý vlastní vektor. Tato matice má tedy dohromady jen dva lineárně nezávislé vlastní vektory: $(1,1,1), (0,3,4)$, které po řadě příslušejí vlastním číslům~3 a~2. \okraj Podobné\hb matice | Podobne matice \poznamka [stejnavlcisla] %%%%%%%%% Vlastní číslo transformace $\a$ je podle věty\cite[vlavlA] vlastním číslem všech matic této transformace (vzhledem k~rozličným bázím). Dvě matice, které jsou maticemi stejné lineární transformace (jen vzhledem k různé bázi) budeme nazývat {\em podobné}. Následující věta ukazuje, jaký platí mezi podobnými maticemi vztah. \veta %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor dimenze $n$ a nechť $(B)$ a $(B')$ jsou nějaké jeho uspořádané báze. Nechť $\a: L\to L$ je lineární transformace a nechť $\A$ je její matice vzhledem k bázi $(B)$ a $\B$ je její matice vzhledem k bázi $(B')$. Pak existuje regulární matice $\P\in\R^{n,n}$ tak, že $\B=\P^{-1}\cdot\A\cdot\P$. \dukaz Označme $\P=\P_{B\to B'}$ matici přechodu od $(B)$ k $(B')$. Podle věty\cite[zmenabase] (vzorce třetího) platí $\m_{B'B'}(\a) = \P_{B'\to B}\cdot\m_{B,B}(\a)\cdot\P_{B\to B'}$. Protože $\P_{B'\to B} = (\P_{B\to B'})^{-1} = \P^{-1}$ (viz větu\cite[slozmprech]), dostáváme $\m_{B'B'}(\a) = \P^{-1}\cdot\m_{B,B}(\a)\cdot\P$, neboli $\B=\P^{-1}\cdot\A\cdot\P$. \definice* [dpodobnost] %%%%%%%%% Matice $\A$ je {\em podobná\/} matici $\B$, pokud existuje regulární matice $\P$ taková, že platí $\B=\P^{-1}\cdot\A\cdot \P$. \inl[matice: podobná, podobnost: matic] \poznamka %%%%%%%%% Je-li $\A$ podobná $\B$, pak je i $\B$ podobná $\A$, protože místo matice $\P$ můžeme použít matici $\P^{-1}$. Stačí tedy říkat, že matice jsou si vzájemně podobné. Je-li $\A$ podobná $\B$ a $\B$ podobná $\C$, pak je $\A$ podobná $\C$, protože součin regulárních matic je matice regulární a protože $(\P\Q)^{-1}=\Q^{-1}\P^{-1}$. Matice je podobná sama sobě, protože $\E$ je regulární. \poznamka %%%%%%%%% Protože podobné matice jsou matice stejné lineární transformace, jen vzhledem k případně různým bázím, mají samozřejmě všechny vzájemně podobné matice stejná vlastní čísla. V~následující větě ukážeme, že mají i stejný charakteristický polynom. \veta* [vlcisloPAP] %%%%% Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. \dukaz Nechť $\P$ je regulární. Matice $\P^{-1}\A\P$ je podobná matici $\A$. Vypočteme její charakteristický polynom: $$\eqalign{ \det (\P^{-1}\A\P - \lambda\,\E) &= \det (\P^{-1}\A\P - \lambda\,\P^{-1}\E\P) = \det (\P^{-1}\A\P - \P^{-1}\lambda\,\E\P) =\cr &= \det (\P^{-1}\,(\A-\lambda\,\E)\,\P) = \det \P^{-1}\,\det (\A-\lambda\,\E)\, \det\P = \det (\A-\lambda\,\E),\cr} $$ protože $\det\P^{-1}\det\P=1$. \poznamka %%%%%%%%% Matice z příkladů\cite[3vvektory] a\cite[2vvektory] mají sice stejný charakteristický polynom, ale za chvíli ukážeme, že si nejsou podobné. Tvrzení věty\cite[vlcisloPAP] tedy nelze obrátit. \okraj Podobnost s~diagonální maticí | Podobnost s diagonalni matici \priklad %%%%%%%% Diagonální matice $$ \D = \pmatrix {\lambda_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \cr 0 & \lambda_2 & 0 & \ldots & 0 \cr 0 & 0 & \lambda_3 & \ldots & 0 \cr \noalign{\hbox to 10em{ \dotfill\quad}} 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda_n} $$ má charakteristický polynom $(\lambda_1-\lambda)\,(\lambda_2-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda)$, protože determinant diagonální matice $\D-\lambda\,\E$ je roven součinu prvků na diagonále. Vlastní čísla matice $\D$ tedy jsou $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$. \inl[matice: diagonální, diagonální: matice] Vlastní vektor matice $\D$ příslušný vlastnímu číslu $\lambda_i$ je vektor obsahující samé nuly s výjimkou $i$-té složky, ve které je nějaké nenulové číslo, třeba jednička. Matici $\D$ z tohoto příkladu budeme značit $\D=\diag(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$. Tím ušetříme papír. \inl[diag] \veta [PDAP] %%%%% Nechť $\A$ je čtvercová matice typu $(n,n)$. Sestavme libovolná komplexní čísla $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ do diagonální matice $\D=\diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ a libovolné nenulové vektory $\vec x_1, \ldots, \vec x_n$ z~$\C^n$ zapišme do sloupců matice~$\P$, tj. $\P=(\vec x_1, \ldots, \vec x_n)$. Pak platí: čísla $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ jsou vlastními čísly matice $\A$ a $\vec x_1, \ldots, \vec x_n$ jsou jejich odpovídající vlastní vektory právě tehdy, když je splněna rovnost $\P\D=\A\P$. \dukaz Rozepišme maticové násobení: $\P\D=(\vec x_1, \ldots, \vec x_n)\cdot \diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = (\lambda_1\,\vec x_1, \ldots, \lambda_n\,\vec x_n)$. Dále je $\A\P=\A(\vec x_1, \ldots, \vec x_n) = (\A\vec x_1, \ldots, \A\vec x_1)$. Máme tedy obě strany zkoumané rovnosti $\P\D=\A\P$ rozepsány do sloupců. Vidíme, že rovnost v $i$-tém sloupci $\lambda_i\,\vec x_i = \A\vec x_i$ platí právě tehdy, když $\lambda_i$ je vlastní číslo matice $\A$ a $\vec x_i$ je příslušný vlastní vektor. \veta [AjeD] %%%%% Nechť má čtvercová matice $\A$ s $n$ řádky $n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů (každý z~nich přísluší nějakému vlastnímu číslu matice). Pak je matice $\A$ podobná diagonální matici. \dukaz %%%%%% Sestavíme diagonální matici $\D$ z vlastních čísel příslušných vlastním vektorům $\vec x_1, \ldots, \vec x_n$. Dále použijeme předchozí větu. Protože matice $\P=(\vec x_1, \ldots, \vec x_n)$ obsahuje podle předpokladu věty lineárně nezávislé sloupce, je $\P$ regulární, takže je možné vztah $\P\D=\A\P$ vynásobit zprava maticí $\P^{-1}$. Dostáváme $\A=\P\D\P^{-1}$, takže matice $\A$ je podobná matici $\D$. \veta* [vPjsouvvektory] %%%%% Nechť je matice $\A$ podobná diagonální matici, to znamená, že existuje regulární matice $\P$ a diagonální matice $\D$ takové, že $\A=\P\D\P^{-1}$. Pak $\D$ obsahuje vlastní čísla matice $\A$ a ve sloupcích matice $\P$ jsou vlastní vektory příslušné (podle pořadí) odpovídajícím vlastním číslům zapsaným v~$\D$. \dukaz %%%%%% Po převedení vztahu $\A=\P\D\P^{-1}$ na $\A\P=\P\D$ stačí použít větu\cite[PDAP]. \priklad %%%%%%%% Matice z~příkladu\cite[3vvektory] má tři řádky a tři lineárně nezávislé vlastní vektory. Jsou tedy splněny předpoklady věty\cite[AjeD] a matice je podobná diagonální matici. Věta\cite[vPjsouvvektory] nám dává návod, jak najít matici~$\P$ a diagonální matici. Sestavíme vlastní vektory $(1,1,0),(-1,0,1), (-2,1,4)$ do sloupců a dostáváme matici $\P$. Sestavíme v~odpovídajícím pořadí vlastní čísla do diagonální matice, a dostáváme matici $\D$, pro kterou platí $\A=\P\D\P^{-1}$. Konkrétně: $$ \A = \matice{5 & -2 & 2 \cr -1 & 4 & -1 \cr -4 & 4 & -1 \cr} = \matice { 1 & -1 & -2 \cr 1 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 4 \cr} \cdot \matice { 3 & \ 0 & \ 0 \cr 0 & 3 & 0 \cr 0 & 0 & 2 \cr} \cdot \matice { 1 & -1 & -2 \cr 1 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 4 \cr}^{-1}\!\!. $$ \priklad %%%%%%%% Matice z příkladu\cite[2vvektory] nemá tolik lineárně nezávislých vlastních vektorů, jako je počet jejích řádků. To znamená, že není podobná diagonální matici (kdyby byla, pak dostaneme spor s~větou\cite[vPjsouvvektory]. Protože matice z~příkladu\cite[3vvektory] je podobná diagonální matici, zatímco matice z příkladu\cite[2vvektory] není, nejsou si tyto matice ani vzájemně podobné. \veta [vlastnijsouLN] %%%%% Vlastní vektory, které příslušejí vzájemně různým vlastním číslům, jsou lineárně nezávislé. \dukaz %%%%%% Jeden vlastní vektor je samozřejmě lineárně nezávislý, protože je podle definice nenulový. Dále postupujeme indukcí. Přepokládáme, že matice $\A$ má lineárně nezávislé vlastní vektory $\vec x_1, \ldots \vec x_k$ příslušející různým vlastním číslům $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ a přidáme do této skupiny vlastní vektor $\vec x_{k+1}$ příslušející zatím nepoužitému vlastnímu číslu $\lambda_{k+1}$. Předpokládáme rovnost $\sum_{i=1}^{k+1}\alpha_i\vec x_i=\vec o$ a ukážeme, že všechny koeficienty $\alpha_i$ musejí být nulové. Tím dokážeme lineární nezávislost. Vektory v~uvedené rovnosti píšeme do sloupců a rovnost vynásobíme zleva maticí $\A-\lambda_{k+1}\E$. Dostáváme: $$(\A-\lambda_{k+1}\E)\,\sum_{i=1}^{k+1}\alpha_i\vec x_i= \sum_{i=1}^{k+1}\alpha_i(\A\vec x_i-\lambda_{k+1}\vec x_i) = \sum_{i=1}^{k+1}\alpha_i(\lambda_i\vec x_i-\lambda_{k+1}\vec x_i) = \sum_{i=1}^{k+1}\alpha_i(\lambda_i-\lambda_{k+1})\,\vec x_i = \vec o. $$ Koeficient u posledního sčítance v této rovnosti je nulový, protože $\lambda_{k+1}-\lambda_{k+1}=0$. Podle indukčního předpokladu jsou vektory $\vec x_1, \ldots \vec x_k$ lineárně nezávislé, takže i ostatní koeficienty musejí být nulové. Protože ale $\lambda_i\not=\lambda_{k+1}$, musí $\alpha_i=0$ pro $i\in\{1,\ldots,k\}$. Dosadíme-li tento poznatek do výchozího tvaru rovnosti, máme $0\,\vec x_1+\cdots+0\,\vec x_k+\alpha_{k+1}\vec x_{k+1} = \alpha_{k+1}\vec x_{k+1}=\vec o$. Protože $\vec x_{k+1}$ je vlastní vektor a tudíž nenulový, musí $\alpha_{k+1}=0$. \poznamka [zarukapodobnosti] %%%%%%%%% Nechť $\A$ je typu $(n,n)$ a nechť jsou všechna vlastní čísla matice $\A$ jednonásobná. To znamená, že existuje~$n$ různých vlastních čísel. Pak podle předchozí věty jim příslušející vlastní vektory jsou lineárně nezávislé. Podle věty\cite[AjeD] je tedy matice $\A$ podobná diagonální matici. \poznamka %%%%%%%%% Má-li matice $\A$ vícenásobná vlastní čísla, pak se může stát, že je podobná s diagonální maticí. Záleží na tom, zda se povede najít $n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů. Vzhledem k tomu, že vlastní vektory leží v nulových prostorech matic $\A-\lambda\E$ (kde $\lambda$ je vlastní číslo), půjde o to, jakou mají tyto prostory dimenzi. Odpověď na to dávají následující věty. \veta %%%%% Jestliže $\A$ a $\B$ jsou podobné matice, pak $\dim\nullsp(\A-\lambda\E) = \dim\nullsp(\B-\lambda\E)$. \dukaz Protože $\dim\nullsp(\A-\lambda\E) = n-\hod(\A-\lambda\E)$, kde $n$ je počet řádků matice $\A$, stačí dokázat, že $\hod(\A-\lambda\E) = \hod(\B-\lambda\E)$. Z~věty\cite[hodPA] víme, že platí: $$ \hod(\B-\lambda\E) = %\hod(\P^{-1}\A\P - \lambda\E) = \hod(\P^{-1}\A\P - \lambda\P^{-1}\E\P) = \hod(\P^{-1}(\A-\lambda\E)\P) = \hod(\A-\lambda\E) $$ \veta [nullgek] %%%%% Nechť $\lambda_i$ je $k$-násobné vlastní číslo matice $\A$ a nechť $d$ je dimenze nulového prostoru matice $\A-\lambda_i\E$. Pak $d\le k$. \dukaz V nulovém prostoru matice $\A-\lambda_i\E$ můžeme najít bázi, která má $d$ vektorů: $\vecc b_d$ a doplníme ji na bázi prostoru $\C^n$: $(B) = (\vecc b_d, \ldots, \vec b_n)$. Nechť $\a: \C^n\to\C^n$ je transformace definována vzorcem $\a(\vec x) = \A\vec x$ a nechť $\B$ je matice této transformace vzhledem k bázi $(B)$. Je zřejmé, že matice $\A$ a $\B$ jsou si vzájemně podobné, protože jsou to matice stejné lineární transformace. Zvolme $\vec b_j$ z báze $(B)$ pro $j\le d$. Souřadnice tohoto vektoru vzhledem k bázi $(B)$ označme $\vec y_j$. Tyto souřadnice obsahují jedinou jedničku v $j$-té složce, jinak nuly. Platí $\B\vec y_j = \lambda_i\vec y_j$, takže $j$-tý sloupec matice $\B$ je roven $j$-tému sloupci matice $\lambda_i \E$. Matice $\B$ má tedy následující blokový tvar (první blok je čtvercový s $d$ řádky a sloupci): $$ \B = \pmatrix {\lambda_i \E & \B'\cr \O & \C}, \quad\hbox{tj.}\quad p(\lambda) = \det(\B-\lambda\E) = \det \pmatrix {(\lambda_i-\lambda)\,\E & \B'\cr \O & \C'} = (\lambda_i-\lambda)^d\,\det(\C'), $$ takže $\lambda_i$ je aspoň $d$-násobným kořenem charakteristického polynomu matice $\B$, tj. podle věty\cite[vlcisloPAP] je aspoň $d$-násobným kořenem charakteristického polynomu matice $\A$. \veta [N1cupN2] %%%%% Nechť $\lambda$ je vlastní číslo matice $\A$. Nechť $N_1$ je lineárně nezávislá množina vlastních vektorů, které nepříslušejí vlastnímu číslu $\lambda$ a dále $N_2$ je lineárně nezávislá množina vlastních vektorů, které příslušejí vlastnímu číslu $\lambda$. Pak množina $N_1\cup N_2$ je lineárně nezávislá. \dukaz Označme $N_1 = \{\vecc x_k\}$ a $N_2 = \{\vec x_{k+1}, \ldots, \vec x_m\}$. Lineární nezávislost množiny vektorů $N_1\cup\nobreak N_2 = \{\vecc x_m\}$ se ověří stejně jako v důkazu věty\cite[vlastnijsouLN]. Lineární kombinaci těchto vektorů, kterou položíme rovnu nulovému vektoru, násobíme zleva maticí $\A-\lambda\E$. Tím zjistíme, že koeficienty u vektorů $\vecc x_k$ musejí být nulové. Konečně kvůli tomu, že $N_2$ je lineárně nezávislá, dostáváme nulové koeficienty i u vektorů $\vec x_{k+1}, \ldots, \vec x_m$. \veta* %%%%% Matice $\A$ je podobná s diagonální maticí právě tehdy, když pro každé vlastní číslo $\lambda_i$ násobnosti $k_i$ platí $\dim\nullsp(\A-\lambda_i\E) = k_i$. \dukaz Nechť $\A$ typu $(n,n)$ je podobná s diagonální maticí. Pak $\P$ ve vzorci $\A\P = \P\D$ musí být regulární. V matici $\P$ jsou ve sloupcích vlastní vektory, takže musí existovat $n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů. Podle věty\cite[nullgek] můžeme z každého nulového prostoru matice $\A-\lambda_i\E$ vybrat maximálně $k_i$ lineárně nezávislých vektorů. Jinde se vlastní vektory nenalézají. Abychom získali $n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů, je třeba z každého nulového prostoru matice $\A-\lambda_i\E$ vzít právě $k_i$ lineárně nezávislých vektorů, takže $\dim\nullsp(\A-\lambda_i\E) = k_i$. Nechť obráceně $\dim\nullsp(\A-\lambda_i\E) = k_i$. Z každého nulového prostoru vybereme $k_i$ lineárně nezávislých vektorů. Množina všech takto vybraných vektorů je podle věty\cite[N1cupN2] lineárně nezávislá, takže jimi sestavená matice $\P$ je regulární a je možné ze vzorce $\A\P=\P\D$ přejít na $\A = \P\D\P^{-1}$. \poznamka %%%%%%%%% Stále předpokládáme čtvercovou matici $\A$ typu $(n,n)$. Jestliže $\dim\nullsp(\A-\lambda_i\E)$ je menší než násobnost vlastního čísla $\lambda_i$, pak $\A$ není podobná s diagonální maticí. Příklad\cite[2vvektory] ilustruje, že takové případy opravdu nastávají. Matice $\A$ je pak podobná jen \uv{skoro diagonální matici}, která má na hlavní diagonále vlastní čísla a těsně nad touto diagonálou se občas vyskytují jedničky. Této matici se říká {\em Jordanův kanonický tvar}. Je potřeba definovat tzv. {\em zobecněný vlastní vektor\/} a tento pojem použít k~vybudování regulární matice $\P$, která převádí matici $\A$ na Jordanův kanonický tvar. Všechny tyto pojmy vyžadují hlubší studium a přesahují bohužel rámec tohoto úvodního textu. Pro další studium lze doporučit\bcite[krajnik]. \inl[Jordanův: kanonický tvar, vlastní: vektor: zobecněný, zobecněný: vlastní vektor] \poznamka %%%%%%%%% Věty\cite[AjeD] a\cite[vPjsouvvektory] se dají formulovat z úhlu pohledu lineární transformace: \veta [vvlzob] %%%%% Nechť $\a:L\to L$ je lineární transformace, $\dim L=n$. Transformace $\a$ má $n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů právě tehdy, když existuje báze $(B)$ prostoru $L$ taková, že $\a$ má vzhledem k této bázi diagonální matici $\D$. Přitom na diagonále matice $\D$ jsou vlastní čísla transformace $\a$ a báze $(B)$ obsahuje vlastní vektory příslušné vlastním číslům v~matici $\D$ ve stejném pořadí. \dukaz %%%%%% Zvolme nějakou výchozí bázi $(V)$ prostoru $L$. Označme symbolem $\A$ matici transformace $\a$ vzhledem k~bázi~$(V)$. Existence báze $(B)$ takové, že matice transformace $\a$ vzhledem k ní je $\D$, je ekvivalentní s~platností vztahu $\A=\P\D\P^{-1}$, kde $\P$ je matice přechodu od $(V)$ k $(B)$. Dále při důkazu tvrzení \uv{právě tehdy když} použijeme v jednom směru větu\cite[AjeD]. V druhém směru použijeme větu\cite[vPjsouvvektory] a skutečnost, že matice přechodu $\P$ obsahuje ve sloupcích souřadnice báze $(B)$ vzhledem k bázi $(V)$. \poznamka %%%%%%%%% Při práci s lineární transformací se někdy hodí zvolit takovou bázi, ve které je matice této transformace \uv{co nejbližší} matici diagonální. Právě vyslovená věta říká, že za jistých okolností lze zvolit bázi, vzhledem ke které je matice transformace přímo diagonální. Pak můžeme na danou transformaci pohlížet jen jako na transformaci změny měřítka ($\lambda_1$ krát první souřadnice, $\lambda_2$ krát druhá souřadnice, atd. až $\lambda_n$ krát poslední souřadnice). \poznamka %%%%%%%%% Nechť dimenze $L$ je rovna $n$ a vraťme se k představě vlastních vektorů jako směrových vektorů přímek, které lineární transformace nechává beze změny (viz motivační příklady v úvodu této kapitoly). Povede-li se najít $n$ různých přímek, které transformace $\a$ ponechává beze změny, pak jejich směrové vektory tvoří bázi, vzhledem ke které má transformace $\a$ diagonální matici. \shrnuti %%%%%%%% Definovali jsme vlastní číslo a vlastní vektory transformace\lcite[dvl]. Vlastní vektor je směrový vektor přímky, kterou nechává transformace beze změny a vlastní číslo je koeficient změny měřítka ve směru vlastního vektoru. Vlastní číslo transformace je vlastním číslem každé její matice, třebaže jsou to matice vzhledem k různým bázím~/\ncite[dvA],~\ncite[vlavlA]/. Vlastní čísla počítáme jako kořeny chrakteristického polynomu $\det(\A-\lambda\E)$\lcite[chpolynom]. Dvě matice stejné transformace vzhledem k různým bázím se nazývají podobné\lcite[dpodobnost]. Mají stejný charakteristický polynom\lcite[vlcisloPAP]. Podobnost s diagonální maticí je zaručena pro matice se vzájemně různými vlastními čísly\lcite[zarukapodobnosti]. Ovšem i některé matice s násobnými vlastními čísly jsou podobné s diagonální, ale ne všechny. Je-li $\D$ diagonální matice, se kterou je podobná matice $\A$, pak $\D$ obsahuje vlastní čísla matice $\A$ a sestavíme-li do sloupců matice $\P$ vlastní vektory odpovídající vlastním číslům $\A$, pak $\A=\P\D\P^{-1}$. \icviceni 7 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola [skalsoucin] Lineární prostory se skalárním součinem | Linearni prostory se skalarnim soucinem %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \poznamka %%%%%%%%% Lineární prostor je libovolná množina, na které je definováno sčítání a násobení konstantou tak, aby byly splněny vlastnosti~(1) až~(7) z~definice\cite[dlp]. Pokud na takové množině navíc definujeme násobení prvků {\it mezi sebou\/} tak, že výsledek násobení je reálné číslo a násobení splňuje níže uvedené vlastnosti~(1) až~(4), definovali jsme na lineárním prostoru skalární součin. Ten nám umožní pracovat s~novými vlastnostmi prvků lineárního prostoru, jako je jejich velikost a úhel mezi dvěma prvky. \okraj Definice\hb skalárního\hb součinu | Definice skalarniho soucinu \definice* [dlpss] %%%%%%%%% Nechť $L$ je lineární prostor. Operaci $\cdot: L\times L\to \R$ nazveme {\em skalárním součinem}, pokud splňuje $\forall\vec x\in L$, $\forall\vec y\in L$, $\forall \vec z\in L$, $\forall \alpha\in\R$ následující vlastnosti $$ \eqalign{ \bod (1) \vec x\cdot\vec y = \vec y\cdot\vec x, \cr \bod (2) (\vec x + \vec y)\cdot \vec z = \vec x\cdot\vec z + \vec y\cdot\vec z, \cr \bod (3) (\alpha\cdot\vec x)\cdot\vec y = \alpha\cdot(\vec x\cdot\vec y), \cr \bod (4) \vec x\cdot\vec x \geq 0, \quad \vec x\cdot\vec x = 0 \hbox{ jen tehdy, když } \vec x = \vec o. } $$ Ve vlastnosti (4) značí symbol $\vec o$ nulový vektor lineárního prostoru~$L$. \inl[axiomy: skalárního součinu, součin: skalární, skalární: součin] Lineární prostor $L$, na kterém je definován skalární součin, nazýváme {\em lineárním prostorem se skalárním součinem}. \inl[prostor: se skalárním součinem] \poznamka %%%%%%%%% Je třeba rozlišovat mezi podobně znějícími pojmy \uv{skalární násobek} a~\uv{skalární součin}. Skalární násobek $\cdot:\R\times L\to L$ je násobek vektoru reálným číslem, který je definován v každém lineárním prostoru. Na druhé straně skalární součin $\cdot:L\times L\to\R$ je součin vektorů mezi sebou. \poznamka %%%%%%%%% Upozorňujeme, že stejně jako v definici lineárního prostoru\cite[dlp], jsou ve vlastnostech~(1) až~(4) definice skalárního součinu používány symboly~\uv{$+$} a~\uv{$\cdot$} v různých významech podle toho, jakého typu jsou jejich operandy. Například první~\uv{$+$} ve vlastnosti~(2) označuje sčítání vektorů podle definice lineárního prostoru, zatímco druhé~\uv{$+$} v této vlastnosti je sčítáním reálných čísel. Nebo první symbol~\uv{$\cdot$} ve vlastnosti~(3) znamená skalární násobek definovaný v~lineárním prostoru~$L$, druhý symbol~\uv{$\cdot$} označuje skalární součin. Třetí symbol~\uv{$\cdot$} ve vlastnosti~(3) je součin reálných čísel a poslední symbol~\uv{$\cdot$} v~této vlastnosti znovu znamená skalární součin. Dále připomínáme, že budeme symbol~\uv{$\cdot$} jako dosud často vynechávat, takže místo $\vec x\cdot\vec y$ budeme stručně psát $\vec x\vec y$. \poznamka [complss] %%%%%%%%% Všimneme si, že jsme v definici\cite[dlp] lineárního prostoru definovali tento prostor \uv{nad reálnými čísly}, protože jsme definovali násobek vektoru {\it reálným číslem}. Nic nám ale nebránilo zcela stejně definovat násobek vektoru komplexním číslem. Až dosud jsme mohli nahradit slovo \uv{reálné číslo} slovem \uv{komplexní číslo} a naše teorie by zůstala platná. Všechny předchozí věty by nadále platily. Kdybychom ale chtěli definovat skalární součin jako komplexní číslo, museli bychom upravit vlastnost~(1) definice\cite[dlpss] takto: $$ (1)\quad \vec x\vec y = \overline{\vphantom{i}\vec y\vec x}, $$ kde pruh nad komplexním číslem $\vec y\vec x$ značí komplexně sdružené číslo. Některá tvrzení se tedy budou v~případě komplexního skalárního součinu nepatrně lišit od tvrzení, která níže dokážeme. Protože se většina čtenářů tohoto textu nachází zatím v~prvním semestru a nemá za sebou analýzu komplexních čísel, zjednodušíme si život tím, že zůstaneme u~reálných čísel. Pro odvození důležitých vlastností lineárních prostorů se skalárním součinem nám to bude stačit. Zájemce o důsledky definice komplexního skalárního součinu odkážeme například na učebnici\bcite[bican]. \veta [nulaxx] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor se skalárním součinem, $\vec o$ je jeho nulový vektor. Pak pro všechna $\vec x\in L$, $\vec y\in L$ a $\vec z\in L$ platí: (1) $\vec x\cdot\vec o = \vec o\cdot\vec x = 0$, (2) $\vec z\cdot(\vec x + \vec y) = \vec z\vec x + \vec z\vec y$. \dukaz %%%%%% První vlastnost plyne z vlastnosti~(7) definice lineárního prostoru\cite[dlp] a z vlastnosti~(3) definice skalárního součinu\cite[dlpss]. Platí $(0\vec y)\cdot\vec x = 0\cdot\vec x\vec y = 0$ Druhá vlastnost plyne z komutativity skalárního součinu, tj.~z~vlastnosti~(1) definice\cite[dlpss] a dále z~vlastnosti~(2) této definice. \okraj Skalární\hb součiny na~$\R^n$ | Skalarni souciny na Rn \priklad [stss] %%%%%%%% Pro $\vec x\in\R^n$, $\vec y\in\R^n$, $\vec x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$, $\vec y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ definujme $$ \vec x\cdot\vec y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n. \rce(stss) $$ Ukážeme, že takto definovaný součin vektorů $\vec x$ a $\vec y$ je skalárním součinem. Je $\vec x\cdot\vec y\in\R$. Nechť ještě $\vec z\in\R^n$, $\vec z = (z_1, z_2, \ldots, z_n)$ a $\alpha\in\R$. Ověříme postupně vlastnosti~(1) až (4): $$ \eqalign{ \bod (1) \vec x\cdot \vec y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n = y_1 x_1 + y_2 x_2 + \cdots + y_n x_n = \vec y\cdot\vec x, \cr \bod (2) (\vec x+\vec y)\cdot \vec z = (x_1+y_1)\,z_1 + (x_2+y_2 )\,z_2 + \cdots + (x_n+y_n)\,z_n = \cr &\qquad\qquad = x_1 z_1 + x_2 z_2 + \cdots + x_n z_n + y_1 z_1 + y_2 z_2 + \cdots + y_n z_n = \vec x\cdot\vec z + \vec y\cdot\vec z, \cr \bod (3) (\alpha\cdot\vec x)\cdot\vec y = \alpha x_1 y_1 + \alpha x_2 y_2 + \cdots + \alpha x_n y_n = \alpha\,(x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n) = \alpha\,(\vec x\cdot\vec y), \cr \bod (4) \vec x\cdot\vec x = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \geq 0. } $$ Vidíme, že z~$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 0$ plyne $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$, takže je splněna i druhá část vlastnosti~(4). Skalární součin na $\R^n$ definovaný vzorcem\cite(stss) nazýváme {\em standardním skalárním součinem}. Následující příklady ukazují, že existují i jiné skalární součiny na $\R^n$. \inl[standardní: skalární součin, skalární: součin: standardní] \priklad [nssnaR2] %%%%%%%% Definujme součin na $\R^2$ takto $$ (x_1, x_2) \cdot (y_1, y_2) = x_1 y_1 + 6 x_2 y_2 + 2 x_1 y_2 + 2 x_2 y_1. $$ Ukážeme, že takto definovaný součin je skalárním součinem na $\R^2$. Ověříme vlastnosti (1) až~(4) definice\cite[dlpss] $$ \eqalign{ \bod (1) (x_1, x_2) \cdot (y_1, y_2) = x_1 y_1 + 6 x_2 y_2 + 2 x_1 y_2 + 2 x_2 y_1 = \cr &\qquad\qquad = y_1 x_1 + 6 y_2 x_2 + 2 y_1 x_2 + 2 y_2 x_1 = (y_1, y_2)\cdot (x_1, x_2), \cr \bod (2) \bigl( (x_1, x_2)+(y_1, y_2) \bigr) \cdot (z_1, z_2) = (x_1+y_1)\,z_1 + 6 (x_2+y_2)\,z_2 + 2(x_1+y_1)\,z_2 + 2(x_2+y_2)\,z_1 = \cr &\qquad\qquad = x_1 z_1 + 6 x_2 z_2 + 2 x_1 z_2 + 2 x_2 z_1 + y_1 z_1 + 6 y_2 z_2 + 2 y_1 z_2 + 2 y_2 z_1 = \cr &\qquad\qquad = (x_1, x_2) \cdot (z_1, z_2) + (y_1, y_2) \cdot (z_1,z_2), \cr \bod (3) \bigl (\alpha\,(x_1,x_2)\bigr) \cdot (y_1, y_2) = (\alpha\,x_1, \alpha\,x_2) \cdot (y_1, y_2) = \alpha x_1 y_1 + 6\alpha x_2 y_2 + 2 \alpha x_1 y_2 + 2\alpha x_2 y_1 = \cr &\qquad\qquad = \alpha\,(x_1 y_1 + 6 x_2 y_2 + 2 x_1 y_2 + 2 x_2 y_1) = \alpha\,\bigl( (x_1, x_2) \cdot (y_1, y_2) \bigr), \cr \bod (4) (x_1, x_2)\cdot(x_1, x_2) = x_1^2 + 6 x_2^2 + 4 x_1 x_2 \buildrel ? \over \geq 0. } $$ Abychom dokázali vlastnost (4), potřebujeme pro $x_1\not=0$, $x_2\not=0$ dokázat, že $x_1^2 + 6 x_2^2 + 4 x_1 x_2 > 0$. Nechť $a=x_2/x_1$, tj. $x_2 = a x_1$. Po dosazení je $x_1^2 + 6 a^2 x_1^2 + 4 a x_1^2 = x_1^2 (1 + 6a^2 + 4a)$. Aby byl daný výraz větší než nula, stačí aby $6a^2 + 4a + 1 > 0$, $\forall a\in\R$. Protože diskriminant této kvadratické nerovnice je roven $D=16-24 = -8 < 0$, je nerovnost $6a^2 + 4a + 1 > 0$ splněna pro všechna $a\in\R$. \priklad %%%%%%%% Ukážeme, že předpis $(x_1, x_2) \circ (y_1, y_2) = x_1 y_1 + 2 x_2 y_2 + 2 x_1 y_2 + 2 x_2 y_1$ není skalárním součinem. Vlastnosti~(1) až~(3) jsou zřejmě splněny. Není splněna vlastnost~(4), protože například $$ (-1,1)\circ (-1,1) = 1 + 2 - 2 - 2 = -1 \not> 0. $$ \okraj Symetrické a pozitivně definitní\hb matice | Symetricke a pozitivne definitni matice \poznamka %%%%%%%%% Výše uvedené příklady nás vedou k otázce, jak charakterizovat všechny skalární součiny na $\R^n$ a jak je rychle poznat. Souvisí to s~tzv.~pozitivně definitními a symetrickými maticemi. %Tato látka není %obsahem tohoto semestru, nebyla odpřednášena a nebudu ji ani zkoušet. Níže uvádím nejdůležitější výsledky z~této oblasti jen pro čtenáře, který chce být lépe informován. Nám ostatním bude v~dalším textu stačit existence standardního skalárního součinu na $\R^n$ a povědomí, že existují i jiné skalární součiny. Téma symetrických a pozitivně definitních matic je možno přeskočit a věnovat se rovnou definici velikosti vektoru\cite[velikost]. %Pokud vás téma symetrických a %pozitivně definitních matic v tuto chvíli více nezajímá, račte %přeskočit následující dvě definice a větu a věnujte se rovnou definici %velikosti vektoru. \definice [symmat] %%%%%%%%% Čtvercová matice $\A\in\R^{n,n}$ je {\em symetrická}, pokud platí $\A^T = \A$. \inl[matice: symetrická, symetrická: matice] \definice [posdefmat] %%%%%%%%% Nechť $\A\in\R^{n,n}$ je čtvercová matice. Označme $\A_i\in\R^{n-i,n-i}$ čtvercovou matici, která vzniká z~matice $\A$ vynecháním posledních $i$ řádků a posledních $i$ sloupců. Matice $\A$ se nazývá {\em pozitivně definitní}, pokud všechny determinanty $\det\A_i$, $i\in\{0,1,2,\ldots,n-1\}$ jsou kladné. \inl[matice: pozitivně definitní, pozitivně definitiní: matice] \poznamka %%%%%%%%% Pozitivně definitní matice je vždy regulární, protože $\det\A = \det\A_0 > 0$. \veta [maticesoucinuRn] %%%%% Nechť $\A\in\R^{n,n}$ je čtvercová matice. Definujme součin na $\R^n$ takto. Pro $\vec x\in\R^n$, $\vec y\in\R^n$ je $$ \vec x\cdot\vec y = \vec x\cdot\A\cdot\vec y^T, $$ kde na pravé straně rovnosti je maticový součin jednořádkové matice $\vec x$, která obsahuje složky vektoru~$\vec x$, s maticí $\A$ a s maticí $\vec y^T$, což je sloupec složek vektoru $\vec y$. Pak $\vec x\cdot\vec y$ je skalárním součinem právě tehdy, když $\A$ je symetrická a pozitivně definitní matice. \dukaz %%%%%% Uvedeme jen stručný náznak. Pro vlastnost~(1) skalárního součinu je nutná symetrie matice~$\A$. Vlastnost~$(2)$ a $(3)$ je zaručena pro jakoukoli čtvercovou matici~$\A$. Konečně vlastnost~$(4)$ je zaručena díky tomu, že matice~$\A$ je pozitivně definitní. Na oprávněnou otázku \uv{proč} zde máme malý prostor pro odpověď. Odkazujeme například na učebnici\bcite[bican]. \priklad %%%%%%%% Vraťme se k~příkladu\cite[nssnaR2]. Tam je skalární součin definován takto: $$ \vec x\cdot\vec y = (x_1, x_2)\cdot\matice{1&2\cr2&6}\cdot \matice{y_1\cr y_2}. $$ Protože pro uvedenou matici platí $\A=\A^T$, jedná se o symetrickou matici. Spočteme dále jednotlivé determinanty: $\det\A_0=\det\A=2$, $\det\A_1=\det(1)=1$. Protože oba determinanty jsou kladná čísla, jedná se o~pozitivně definitní matici. Podle věty\cite[maticesoucinuRn] je definovaný součin skalárním součinem. \okraj Velikost\hb vektoru | Velikost vektoru \poznamka %%%%%%%%% Budeme definovat velikost vektoru a úhel mezi dvěma nenulovými vektory na obecných lineárních prostorech se skalárním součinem. Tyto pojmy definujeme jen pomocí skalárního součinu pro zcela libovolné vektory. V následující kapitole ukážeme, že pokud budeme pracovat s~vektory s~geometrickým významem (např.~s~orientovanými úsečkami), pak pojmy velikost a úhel nyní zavedené abstraktně budou znamenat přesně to, co od nich z~geometrického hlediska očekáváme. %Toto jsou docela názorné geometrické pojmy a souvislost %těchto pojmů s tím, na co jsme zvyklí z geometrie, ukážeme %podrobněji až v následující kapitole. \definice* [velikost] %%%%%%%%% Nechť $L$ je lineární prostor se skalárním součinem. Pro $\vec x\in L$ definujeme {\em velikost vektoru~$\vec x$} hodnotou $\sqrt{\vec x\cdot\vec x}$. Velikost vektoru $\vec x$ značíme $\|\vec x\|$, takže je $$ \|\vec x\| = \sqrt{\vec x\cdot\vec x}, \qquad \hbox{tj. }\ \|\vec x\|^2 = \vec x\cdot\vec x. $$ Místo pojmu \uv{velikost vektoru} se často používá pojem {\em norma vektoru}\ifbook, viz též definici\cite[dnorma]\fi. \inl[velikost: vektoru, norma, 0normx] \poznamka [poznvelikost] %%%%%%%%% Vidíme, že velikost je nezáporné číslo a že každý vektor má svou velikost. To nám zaručuje vlastnost~(4) definice\cite[dlpss]. Je $\vec x\cdot\vec x\geq0$, takže odmocnina z~tohoto čísla je definována. Dále vidíme, že jedině nulový vektor má velikost rovnu nule a žádný jiný. To nám zaručuje druhá část vlastnosti~(4). \veta [absvelikost] %%%%% Nechť $\vec x$ je prvkem lineárního prostoru se skalárním součinem, $\alpha\in\R$. Pak $$ \|\alpha\,\vec x\| = |\alpha|\cdot\|\vec x\|. $$ \dukaz %%%%%% $\|\alpha\,\vec x\| = \sqrt{\vphantom{{}^2}(\alpha\,\vec x)\cdot(\alpha\,\vec x)} = \sqrt{\alpha^2\,\vec x\cdot\vec x} = \sqrt{\alpha^2} \cdot \sqrt{\vec x\cdot\vec x\vphantom{{}^2}} = |\alpha|\cdot\|\vec x\|$. \okraj Úhel dvou vektorů | Uhel dvou vektoru \definice* [uhel] %%%%%%%%% Nechť $L$ je lineární prostor se skalárním součinem a $\vec x\in L$, $\vec y\in L$, $\vec x\not=\vec o$, $\vec y\not=\vec o$. Pak {\em úhel mezi vektory $\vec x$ a $\vec y$} je takové číslo~$\phi\in\langle0,\pi)$, pro které platí $$ \cos\phi = {\vec x\cdot\vec y \over \|\vec x\|\cdot\|\vec y\|}. \rce(uhel) $$ \par\inl[úhel: vektorů] \poznamka %%%%%%%%% Zabývejme se otázkou, zda každé dva nenulové vektory mají definován úhel mezi sebou. Především podle poznámky\cite[poznvelikost] platí, že $\|\vec x\|\not=0$, $\|\vec y\|\not=0$, protože $\vec x\not=\vec o$, $\vec y\not=\vec o$. Takže se ve zlomku z~rovnosti\cite(uhel) nedělí nulou. Aby existovalo $\phi$ takové, že platí\cite(uhel), musí platit $$ -1 \leq {\vec x\cdot\vec y \over \|\vec x\|\cdot\|\vec y\|} \leq 1. $$ Tento požadavek zaručuje následující věta. \veta (Schwartzova nerovnost) * [schwartz] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor se skalárním součinem a $\vec x\in L$, $\vec y\in L$. Pak platí: $$ |\vec x\cdot\vec y| \leq \|\vec x\|\cdot\|\vec y\|. \rce(schwartz) $$ \par\inl[nerovnost: Schwartzova, Schwartzova: nerovnost] \dukaz %%%%%% Nechť $\alpha\in\R$. Násobme sám se sebou vektor $\vec x-\alpha\,\vec y$. Podle vlastnosti~(4) definice\cite[dlpss] je $$ 0\leq (\vec x-\alpha\,\vec y)\cdot(\vec x-\alpha\,\vec y) = \vec x\cdot\vec x - \alpha\cdot 2(\vec x\cdot\vec y) + \alpha^2\cdot (\vec y\cdot\vec y) . $$ V úpravách jsme použili vlastnosti~(2) a~(3) definice\cite[dlpss]. Označme $A=\vec y\cdot\vec y = \|\vec y\|^2$, $B=-2(\vec x\cdot\vec y)$, $C=\vec x\cdot\vec x= \|\vec x\|^2$. Dostáváme $$ 0\leq A\,\alpha^2 + B\,\alpha + C . $$ Tato nerovnost musí platit pro všechna $\alpha\in\R$. Diskriminant této kvadratické nerovnice tedy nesmí být kladný. Z toho nám vyplývá podmínka pro čísla $A,B,C$: $$ \displaylines{ B^2 - 4AC \leq 0, \quad \hbox{tj.}\quad B^2 \leq 4AC, \quad \hbox{tj.}\quad \bigl(-2(\vec x\cdot\vec y)\bigr)^2 \leq 4\, \|\vec x\|^2 \|\vec y\|^2, \cr \hbox{tj.}\quad {(-2)^2}\, {(\vec x\cdot\vec y)^2} \leq {4\, \|\vec x\|^2 \|\vec y\|^2}, \quad \hbox{tj.}\quad \sqrt{(\vec x\cdot\vec y)^2} \leq \sqrt{\|\vec x\|^2} \sqrt{\|\vec y\|^2} \quad \hbox{tj.}\quad |\vec x\cdot\vec y| \leq \|\vec x\|\cdot\|\vec y\|. } $$ \okraj Vzdálenost vektorů | Vzdalenost vektoru \definice [vzdalenost] %%%%%%%%% Nechť $L$ je lineární prostor se skalárním součinem. {\em Vzdálenost vektoru $\vec x$ od vektoru $\vec y$} definujeme jako $\|\vec y-\vec x\|$. Podle věty\cite[absvelikost] je $\|\vec y-\vec x\|=\|\vec x-\vec y\|$, takže často mluvíme o {\em vzdálenosti dvou vektorů $\vec x$ a $\vec y$\/} (bez závislosti na jejich pořadí). \inl[vzdálenost: vektorů] \veta (trojúhelníková nerovnost) * [trojnerovnost] %%%%% Pro velikosti vektorů platí $$ \|\vec x+\vec y\| \leq \|\vec x\|+\|\vec y\|. \rce(trojnerovnost) $$ \par\inl[nerovnost: trojúhelníková, trojúhelníková: nerovnost] \dukaz %%%%%% $ \|\vec x + \vec y\|^2 = (\vec x+\vec y)\cdot(\vec x+\vec y) = \vec x\,\vec x + 2\,\vec x\,\vec y + \vec y\,\vec y \leq \|\vec x\|^2 + 2\,\|\vec x\|\cdot\|\vec y\| + \|\vec y\|^2 = \bigl(\|\vec x\| + \|\vec y\|\bigr)^2 $. Ve~výpočtu jsme použili Schwartzovu nerovnost\cite[schwartz]. Po odmocnění dostáváme dokazovanou nerovnost. \poznamka %%%%%%%%% Vysvětlíme si, proč se dokázaná nerovnost nazývá trojúhelníková. Tu někteří čtenáři znají geometricky formulovanou třeba takto: součet délek dvou stran v trojúhelníku je vždy větší než délka strany třetí. Nechť vektory $\vec a$, $\vec b$ a $\vec c$ jsou prvky lineárního prostoru se skalárním součinem a představme si je jako vrcholy pomyslného trojúhelníka. Velikost stran je totéž jako vzdálenost odpovídajících vektorů. Geometrické tvrzení o velikostech stran trojúhelníka tedy můžeme pomocí definice\cite[vzdalenost] přepsat takto: $$ \|\vec a-\vec b\| \leq \|\vec a-\vec c\| + \|\vec c-\vec b\|. $$ Při volbě $\vec x = \vec a-\vec c$, $\vec y = \vec c-\vec b$ přechází uvedená nerovnost na tvar\cite(trojnerovnost). \priklad %%%%%%%% Uvažujme lineární prostor $\R^4$ se standardním skalárním součinem\cite(stss). Ukážeme, jak vypadá velikost vektoru $(1,2,3,4)$ a jaký je úhel mezi vektory $(1,2,3,4)$ a $(1,0,0,2)$. Podle definice\cite[velikost] a podle\cite(stss) je $$ \bigl\| (1,2,3,4) \bigr\| = \sqrt{ (1,2,3,4)\cdot(1,2,3,4) } = \sqrt { 1^2+2^2+3^2+4^2 } = \sqrt {30}. $$ Podle definice\cite[uhel] platí pro úhel $\phi$ následující rovnost: $$ \cos\phi = { (1,2,3,4)\cdot(1,0,0,2) \over \bigl\|(1,2,3,4)\bigr\| \cdot \bigl\|(1,0,0,2)\bigr\|} = { 1+0+0+4\cdot2 \over \sqrt{30}\cdot\sqrt{1+4} } = { 9 \over \sqrt{150} }, \quad \hbox{tj.}\quad \phi = \arccos { 9 \over \sqrt{150} }. $$ \priklad [elemsloz] %%%%%%%% Označme symbolem $U_O$ množinu orientovaných úseček v rovině se společným počátkem~$O$. Ukážeme, že každá lineární transformace $\a: U_O\to U_O$ je rovna složení konečně mnoha otočení a změny měřítka. Je-li $\hod\a = 0$, pak transformace vše zobrazí do nulového vektoru. Takovou transformaci zapíšeme jako změnu měřítka s koeficienty $0,0$. Je-li $\hod\a=1$, pak transformace $\a$ je projekce. Jádrem zobrazení jsou vektory v jedné přímce. Aplikujme otočení, které zajistí, že tato přímka se kryje s první souřadnicovou osou. Pak aplikujeme změnu měřítka s koeficientem $0,r$ (jak zvolit parametr $r$ je popsáno níže). Nakonec druhou souřadnicovou osu otočíme tak, aby se kryla s $\a(U_O)$. Je-li $\hod\a=2$, pak dva na sebe kolmé bázové vektory s jednotkovou velikostí se zobrazí na dva lineárně nezávislé vektory $\vec b_1', \vec b_2'$. Pokusíme se tyto vektory transformovat zpět pomocí otočení a změny měřítka na původní bázové vektory. Tím popíšeme $\a^{-1}$. Protože inverze k otočení je otočení a inverze ke změně měřítka s nenulovými koeficienty je změna měřítka, je možné zapsat jako složení těchto transformací i původní transformaci $\a$. Nejprve aplikujeme otočení, které způsobí, že delší z vektorů $\vec b_1', \vec b_2'$ se kryje s první souřadicovou osou. Pak aplikujeme změnu měřítka s koeficienty $1,t$, která nemění delší z vektorů. Parametr $t$ volíme tak, aby po změně měřítka měl (původně) kratší vektor stejnou velikost, jako jeho delší bráška. Dále provedeme otočení tak, aby osa úhlu těchto vektorů se kryla s první osou. Poté provedeme změnu měřítka s parametry $u,1$, aby sledované vektory byly na sebe kolmé. Dále otočíme tyto vektory tak, aby se kryly s osami a nakonec provedeme změnu měřítka tak, aby měly jednotkovou velikost. Jak zvolíme parametr $r$? Zvolme vektor $\vec w$, který leží v $\a(U_O)$ a má jednotkovou velikost. Jeho obraz $\a(\vec w)$ také leží na přímce $\a(U_O)$, takže platí $\a(\vec w) = r\,\vec w$. Parametr $r$ je tedy velikost obrazu $\a(\vec w)$. Jak zvolíme paramter $t$? Nechť delší vektor má velikost $v$ a kratší vektor má souřadnice $(a,b)$ vzhledem k bázi $(B)$. Po změně měřítka má tento vektor souřadnice $(a,tb)$ a má tedy velikost $\sqrt{a^2+t^2b^2}$, což se musí rovnat $v$. Takže $$ a^2+t^2b^2 = v^2, \qquad t^2b^2 = v^2-a^2, \quad t = \sqrt{v^2-a^2\over b^2}. $$ Číslo $v^2-a^2$ je zaručeně nezáporné, protože $v^2$ je větší než $a^2+b^2$. Číslo $b$ je nenulové, protože vektory jsou lineárně nezávislé. Jak zvolíme parametr $u$? Nechť $\vec b_1''$ má souřadnice $(a,b)$ vzhledem k bázi $(B)$ a vektor $\vec b_2''$ má souřadnice $(a,-b)$ vzhledem ke stejné bázi. Po změně měřítka s parametry $u,1$ budou mít tyto vektory souřadnice $(ua,b)$, $(ua,-b)$. Mají být na sebe kolmé, tedy skalární součin těchto vektorů má být nulový: $$ (ua,b)\cdot(ua,-b) = u^2a^2-b^2 = 0, \quad \hbox{takže} \quad u^2a^2 = b^2, \quad u = {b\over a}. $$ \priklad [sskonv] %%%%%%%% Nechť $L$ je lineární prostor spojitých funkcí definovaných na konečném uzavřeném intervalu~$D\subseteq\R$. Ukážeme, že předpis $$ \def\dx{{\,\rm d}x} f\cdot g = \int_D f(x)\,g(x)\dx $$ definuje skalární součin na lineárním prostoru $L$. Ověříme vlastnosti~(1) až~(4). Nechť $f\in L$, $g\in L$, $h\in L$ a $\alpha\in\R$. Pak platí $$ \def\dx{{\,\rm d}x} \eqalign{ \bod (1) f\cdot g = \int_D f(x)\,g(x)\dx = \int_D g(x)\,f(x)\dx = g\cdot f, \cr \bod (2) (f+g)\cdot h = \int_D \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,h(x)\dx = \int_D \bigl(f(x)\,h(x) + g(x)\,h(x)\bigr)\dx = \cr &\hskip6em = \int_D f(x)\,h(x)\dx + \int_D g(x)\,h(x)\dx = f\cdot h + g\cdot h, \cr \bod (3) (\alpha f)\cdot g = \int_D \alpha f(x)\,g(x)\dx = \alpha\cdot\int_D f(x)\,g(x)\dx = \alpha\,(f\cdot g), \cr \bod (4) f\cdot f = \int_D f^2(x) \dx \geq 0, \cr &\hskip6em \int_D f^2(x)\dx = 0 \quad \hbox{jen tehdy, když $f(x)=0\;\forall x\in D$, protože $f$ je spojitá}. } $$ Příklad ilustruje, že i na lineárních prostorech nekonečné dimenze jsme schopni definovat skalární součin. Z tohoto skalárního součinu odvozená~{\em norma funkce $f$} $\|f\|$, \uv{úhel $\phi$ mezi funkcemi~$f$ a $g$} a \uv{vzdálenost dvou funkcí~$f$ a~$g$} $\|f-g\|$ se počítá takto: $$ \def\dx{{\,\rm d}x} \|f\| = \sqrt{ \int_D f^2(x)\dx }, \quad \phi = \arccos {\int_D f(x)g(x)\dx \over \sqrt {\int_D f^2(x)\dx \int_D g^2(x)\dx}}, \quad \|f-g\| = \sqrt{ \int_D \bigl(f(x)-g(x)\bigr)^2\dx }. $$ \inl[norma: funkce] \okraj Kolmé\hb vektory | Kolme vektory \poznamka %%%%%%%%% Protože máme na lineárních prostorech se skalárním součinem definován úhel mezi nenulovými vektory, můžeme pro každé dva nenulové vektory rozhodnout, kdy jsou na sebe kolmé. Je to tehdy, když je $\cos\phi = 0$, neboli $\vec x\cdot\vec y = 0$. Z~toho vyplývá následující definice. \definice [kolmost] %%%%%%%%% Nechť $L$ je lineární prostor se skalárním součinem. Dva nenulové vektory $\vec x\in L$ a $\vec y\in L$ {\em jsou na sebe kolmé\/} (značíme $\vec x \kolmy\vec y$), pokud je $\vec x\cdot\vec y = 0$. \inl[kolmé: vektory, vektor: kolmý] \inl[0kolm] \priklad %%%%%%%% (Pythagorova věta.) Nechť $\vec x\in L$, $\vec y\in L$ jsou nenulové vektory, které jsou na sebe kolmé. Pak platí $$ \|\vec x\|^2 + \|\vec y\|^2 = \|\vec x-\vec y\|^2. $$ Zdůvodnění je jednoduché: $ \|\vec x-\vec y\|^2 = (\vec x-\vec y)\cdot(\vec x-\vec y) = \vec x\cdot\vec x - 2\vec x\cdot\vec y + \vec y\cdot\vec y = \|\vec x\|^2 -2\cdot0 + \|\vec y\|^2 $. Geometrická interpretace tohoto příkladu je následující. Trojúhleník s vrcholy $\vec o$, $\vec x$ a $\vec y$ je pravoúhlý s~pravým úhlem při vrcholu $\vec o$. Čísla $\|\vec x\|$, $\|\vec y\|$ jsou velikosti odvěsen a $\|\vec x-\vec y\|$ je velikost přepony. \inl[věta: Pythagotova, Pythagotova: věta] \okraj Ortonor\-mální báze | Orthonormalni base \definice* [ortonormalni] %%%%%%%%% Nechť $B=\{\vecc b_n\}$ je báze lineárního prostoru se skalárním součinem. Bázi $B$ nazýváme {\em ortogonální}, pokud $\vec b_i\kolmy\vec b_j$ $\forall i\in\{1,2,\ldots,n\}$, $\forall j\in\{1,2,\ldots,n\}$, $i\not=j$. \inl[báze: ortogonální, ortogonální: báze] Bázi $B$ nazýváme {\em ortonormální}, pokud je ortogonální, a navíc $\|\vec b_i\|=1$, $\forall i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \inl[báze: ortonormální, ortonormální: báze] \veta [ortobase] %%%%% Báze $B=\{\vecc b_n\}$ je ortonormální právě tehdy, když $$ \vec b_i\cdot\vec b_j = \cases{ 0 \hbox{ pro } i\not=j, \cr 1 \hbox{ pro } i=j.} $$ \dukaz %%%%%% Báze $B$ je ortonormální právě tehdy, když (podle definice\cite[ortonormalni]) platí $\vec b_i\cdot\vec b_j = 1$ pro $i=j$ a navíc je ortogonální, tj.~$\vec b_i\kolmy\vec b_j$ pro $i\not=j$. To podle definice\cite[kolmost] znamená, že $\vec b_i\cdot\vec b_j=0$ pro $i\not=j$. \veta* [soucin-dle-souradnic] %%%%% Nechť $(B)$ je ortonormální uspořádaná báze lineárního prostoru~$L$ se skalárním součinem. Pak pro všechna $\vec x\in L$, $\vec y\in L$, $\vec x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)_{(B)}$, $\vec y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)_{(B)}$ lze skalární součin počítat ze souřadnic vektorů takto: $$ \vec x\cdot\vec y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n. $$ \dukaz %%%%%% Podle předpokladu je $\vec x = \lkvecc x.b_n$, $\vec y =\lkvecc y.b_n$. Počítejme $\vec x\cdot\vec y$: $$ \displaylines{ \vec x\cdot\vec y = (\lkvecc x.b_n)\cdot(\lkvecc y.b_n) = \cr = x_1 y_1\,\vec b_1\cdot\vec b_1 + x_1 y_2\,\vec b_1\cdot\vec b_2 + \cdots + x_1 y_n\,\vec b_1\cdot\vec b_n + x_2 y_1\,\vec b_2\cdot\vec b_1 + x_2 y_2\,\vec b_2\cdot\vec b_2 + \cdots + x_2 y_n\,\vec b_2\cdot\vec b_n + \cdots + x_n y_n\,\vec b_n\cdot\vec b_n = \cr = x_1 y_1\cdot1 + x_1 y_2\cdot0 + \cdots + x_1 y_n\cdot0 + x_2 y_1\cdot0 + x_2 y_2\cdot1 + \cdots + x_2 y_n\cdot0 + \cdots + x_n y_n\cdot1 = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n. } $$ V úpravách jsme využili větu\cite[ortobase] a toho, že báze $B$ je ortonormální. \priklad %%%%%%%% Nechť $\R^n$ je lineární prostor se standardním skalárním součinem zavedeným v~příkladu\cite[stss]. Pak standardní báze $$ S = \bigl\{ (1,0,0,\ldots,0), (0,1,0,\ldots,0), \ldots, (0,0,0,\ldots,1) \bigr\} $$ je ortonormální bází. \veta* [kolmeLN] %%%%% Nechť $\vecc x_n$ jsou nenulové vektory lineárního prostoru se skalárním součinem, které jsou na sebe navzájem kolmé, tj. $\vec x_i\cdot \vec x_j= 0$ pro $i\ne j$ a $\vec x_i\cdot \vec x_i>0$. Pak jsou tyto vektory lineárně nezávislé. \dukaz %%%%%% Podle definice lineární nezávislosti stačí ověřit, že z rovnosti $$ \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n = \vec o $$ nutně plyne, že všechna čísla čísla $\alpha_i$ jsou nulová. Vynásobíme-li obě strany uvedené rovnosti skalárně vektorem $\vec x_i$, dostáváme na levé straně součet nul s~výjimkou jediného sčítance, protože vektor $\vec x_i$ je kolmý na všechny všechny ostatní vektory $\vec x_j$. Máme tedy $$ \alpha_i\,\vec x_i\cdot \vec x_i = \vec o\cdot \vec x_i = 0. $$ Protože $\vec x_i\cdot \vec x_i$ je nenulové číslo, musí být $\alpha_i=0$. Tuto operaci můžeme provést pro každý index $i\in\{1,2,\ldots,n\}$, takže všechna čísla čísla $\alpha_i$ jsou nutně nulová. \veta* [karsouradnice] %%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je ortonormální báze lineárního prostoru se skalárním součinem. Pak pro souřadnice libovolného vektoru $\vec x$ platí $$ \vec x = (\vec x{\cdot}\vec b_1, \,\vec x{\cdot}\vec b_2, \,\ldots,\, \vec x{\cdot}\vec b_n)_{(B)}. $$ \dukaz %%%%%% Označme $\vec y=(\vec x\cdot\vec b_1)\,\vec b_1 + (\vec x\cdot\vec b_2)\,\vec b_2 + \cdots + (\vec x\cdot\vec b_n)\,\vec b_n$. Podle definice souřadnic vzhledem k~bázi máme dokázat, že $\vec x=\vec y$. Násobme vektor $\vec y$ vektorem $\vec b_i$: $$ \vec y\cdot\vec b_i = \bigl((\vec x\cdot\vec b_1)\,\vec b_1 + (\vec x\cdot\vec b_2)\,\vec b_2 + \cdots + (\vec x\cdot\vec b_n)\,\vec b_n\bigr)\cdot\vec b_i = (\vec x\cdot\vec b_i)\,\vec b_i\cdot\vec b_i = \vec x\cdot\vec b_i, $$ protože báze $(B)$ je ortonormální. Máme tedy výsledek $\vec x\cdot\vec b_i =\vec y\cdot\vec b_i$ $\forall i \in \{1,2,\ldots,n\}$. Vektor $\vec x-\vec y$ je kolmý na všechny prvky $\vec b_i$, protože z předchozího výpočtu plyne $(\vec x-\vec y)\cdot \vec b_i =0$. Pokud by $\vec x\ne\vec y$, pak podle věty\cite[kolmeLN] jsou vektory $\vecc b_n, \vec x-\vec y$ lineárně nezávislé, ale to je ve sporu s tím, že $(B)$ je báze. Musí tedy být $\vec x = \vec y$. \poznamka %%%%%%%%% Předchozí věta má názornou geometrickou interpretaci. Souřadnice $\vec x\cdot \vec b_i$ jsou vlastně kolmé průměty vektoru $\vec x$ na vektory báze $\vec b_i$. O těchto pojmech pohovoříme podrobněji v následující kapitole. \veta [uhly-k-osam] %%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je ortonormální báze lineárního prostoru se skalárním součinem a $\vec x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)_{(B)}$ je jeho libovolný vektor. Pak úhel $\phi_i$ mezi vektorem $\vec x$ a vektorem $\vec b_i$ lze počítat podle vzorce $$ \cos\phi_i = {x_i\over \|\vec x\|}\,. $$ \dukaz %%%%%% Podle definice\cite[uhel] je $$ \cos\phi_i = {\vec x\cdot\vec b_i \over \|\vec x\|\,\|\vec b_i\|} = {\vec x\cdot\vec b_i \over \|\vec x\|} = {x_i\over \|\vec x\|}\,. $$ V úpravách jsme využili toho, že $\|\vec b_i\|=1$ (báze je ortonormální) a dále věty\cite[karsouradnice], podle které je $x_i=\vec x\cdot\vec b_i$. \poznamka %%%%%%%%% Protože je $\|\vec x\|^2 / \|\vec x\|^2 = 1$ a dále je $\|\vec x\|^2 = x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$, plyne z věty\cite[uhly-k-osam] zajímavý důsledek: $$ \cos^2 \phi_1 + \cos^2 \phi_2 + \cdots + \cos^2 \phi_n = 1, $$ kde $\phi_i$ jsou úhly mezi vektorem $\vec x$ a vektory ortonormální báze. \okraj Ortogonali\-zační proces | Orthogonalisacni proces \poznamka %%%%%%%%% Je přirozené se ptát, zda každý lineární prostor (aspoň konečné dimenze) má ortonormální bázi. Věta\cite[existencebase] ukazuje, že každý lineární prostor má bázi. Následující věta ukazuje, že každá konečná báze se dá v~jistém smyslu pozměnit tak, aby se z~ní stala ortonormální báze. \veta (Schmidtův ortogonalizační proces) * [ortogonalizace] %%%%% Nechť $\{\vecc b_n\}$ je báze lineárního prostoru~$L$ se skalárním součinem. Pak existuje ortonormální báze $\{\vecc c_n\}$ taková, že $$ \lob<\vecc b_k> = \lob<\vecc c_k>, \qquad \forall k\in\{1,2,\ldots,n\}. $$ \par\inl[Schmidtův: ortogonalizační proces, ortogonalizační proces: Schmidtův] \dukaz %%%%%% Nejprve vysvětlíme ideu důkazu, která je v tomto případě asi důležitější než podrobné počítání. Vektor $\vec c_1$ volíme stejný jako $\vec b_1$ jen s tím rozdílem, že jej~\uv{normalizujeme}. To znamená, že jej násobíme vhodnou konstantou, aby $\|\vec c_1\| = 1$. Představme si dále, že už jsme našli $\vecc c_k$ takové, že $\lob<\vecc b_k> = \lob<\vecc c_k>$, a přitom vektory $\vecc c_k$ jsou na sebe vzájemně kolmé a mají jednotkovou velikost. Vektor $\vec b_{k+1}$ nyní~\uv{ortogonalizujeme}, tj. upravíme tak, aby byl kolmý na všechny vektory z~$\lob<\vecc c_k>$. Ukážeme později, že k~tomu účelu stačí od vektoru $\vec b_{k+1}$ odečíst určitou lineární kombinaci vektorů $\vecc c_k$. Takto upravený vektor dále~\uv{normalizujeme}, tj. vynásobíme vhodnou konstantou, aby $\|\vec c_{k+1}\| = 1$. Tím se jeho kolmost vůči ostatním vektorům z~$\lob<\vecc c_k>$ nepokazí. Protože vektor $\vec c_{k+1}$ vznikl jako lineární kombinace vektorů $\vecc c_k, \vec b_{k+1}$, je $$ \lob<\vecc c_k, \vec c_{k+1}> = \lob<\vecc c_k, \vec b_{k+1}> = \lob<\vecc b_{k+1}>. $$ Tím jsme rozšířili naši novou postupně budovanou ortonormální bázi o další vektor. Opakovaným použitím tohoto postupu dostáváme hledanou ortonormální bázi $\{\vecc c_n\}$. Nyní stačí jen podrobněji ukázat, jak se vektor~\uv{normalizuje} a \uv{ortogonalizuje}. Normalizaci libovolného vektoru $\vec x$ provedeme tak, že položíme $\vec x' = (1/\|\vec x\|)\cdot \vec x$. Skutečně je: $$ \|\vec x'\|^2 = \vec x'\cdot \vec x' = {1\over\|\vec x\|}\,\vec x\cdot {1\over\|\vec x\|}\,\vec x = {1\over\|\vec x\|^2}\, \vec x\,\vec x = {1\over\|\vec x\|^2}\, \|\vec x\|^2 = 1. $$ Nechť $\vec b_{k+1}\not\in\lob<\vecc c_k>$ a nechť vektory $\vecc c_k$ jsou na sebe navzájem kolmé a mají jednotkovou velikost. Vektor $\vec b_{k+1}$ \uv{ortogonalizujeme} tak, že položíme $$ \vec b_{k+1}' = \vec b_{k+1} - \sum_{i=1}^k (\vec b_{k+1}\cdot\vec c_i)\,\vec c_i. $$ Nově vytvořený vektor $\vec b_{k+1}'$ je kolmý na všechny vektory $\vecc c_k$, protože: $$ \vec b_{k+1}'\cdot\vec c_j = \left(\vec b_{k+1}-\sum_{i=1}^k(\vec b_{k+1}\cdot\vec c_i)\,\vec c_i\right) \cdot\vec c_j = \vec b_{k+1}\cdot\vec c_j - \sum_{i=1}^k(\vec b_{k+1}\cdot\vec c_i)\,(\vec c_i\cdot\vec c_j) = \vec b_{k+1}\cdot\vec c_j - \vec b_{k+1}\cdot\vec c_j = 0. $$ V uvedeném součtu jsou ostatní sčítanci nuloví, protože vektory $\vecc c_k$ jsou podle předpokladu na sebe navzájem kolmé. \okraj Ortogonální matice | Ortogonalni matice \definice [dortomat] %%%%%%%%% Matice $\A\in\R^{n,n}$, pro kterou platí $\A^T\cdot\A = \E$, se nazývá {\em ortogonální}. \veta [ortomat-zaklad] %%%%% Nechť $\A\in\R^{n,n}$. V $\R^n$ předpokládejme standardní skalární součin. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (1) $\A$ je ortogonální. (2) $\A\cdot\A^T = \E$ (3) $\A^T$ je ortogonální (4) $\A$ obsahuje ve sloupcích ortonormální bázi $\R^n$. (5) $\A$ obsahuje v řádcích ortonormální bázi $\R^n$. (6) $\A$ je maticí přechodu mezi dvěma ortonormálními bázemi. (7) $\A$ je maticí transformace, kterí zobrazí ortonormální bázi na ortonormální bázi. \dukaz (1)$\impl$(2): Protože $\A^T\cdot\A = \E$, je $\A$ regulární a $\A^{-1}=\A^T$. Inverzní matice k matici $\A$ vždy komutuje s maticí $\A$. (2)$\impl$(3): Přímo z definice ortogonální matice. (3)$\impl$(1): Protože $(\A^T)^T = \A$. (1)$\equiv$(4): Rovnost $\A^T\cdot\A$ rozepsaná po sloupcích matice $\A = (\vecc a_n)$ říká, že $\vec a_i^T\cdot \vec a_j = 0$ pro $i\not=j$ a $\vec a_i^T\cdot \vec a_i = 1$. Přitom součin $\vec a_i^T\cdot \vec a_j$ je standarní skalární součin v $\R^n$. (4)$\equiv$(5): protože (1)$\equiv$(3). (4)$\impl$(6): $\A$ je maticí přechodu od strandardní báze k bázi $\A = (\vecc a_n)$, kterí je podle předpokladu ortogonální. (6)$\impl$(1): $\A = (\vecc a_n)$. Sloupce $\vec a_i$ obsahují podle\cite[mprech] souřadnice vektorů $\vec b_i$ vzhledem k ortogonální bázi $(C)$, přitom $(B) = (\vecc b_n)$ je také ortonormální báze. Takže $\vec b_i\cdot\vec b_j$ je rovno nule pro $i\not=j$ a jedné pro $i=j$. Podle věty\cite[soucin-dle-souradnic] se skalární součin vektorů $\vec b_i$ dají spočítat pomocí souřadnic: $\vec a_i^T\cdot \vec a_j = 0$ pro $i\not=j$ a $\vec a_i^T\cdot \vec a_i = 1$, takže $\A$ je ortogonální. (6)$\equiv$(7): Viz definici matice přechodu\cite[defprech]. \priklad %%%%%%%% Matice otočení a matice osové souměrosti jsou ortogonální: $$ \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha\cr \sin\alpha&\cos\alpha}, \qquad \pmatrix {1&0\cr 0&-1}. $$ Skutečně: $$ \pmatrix {\cos\alpha& \sin\alpha\cr -\sin\alpha&\cos\alpha}\cdot \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha\cr \sin\alpha&\cos\alpha} = \pmatrix {1&0\cr 0&1}, \qquad \pmatrix {1&0\cr 0&-1}\cdot\pmatrix {1&0\cr 0&-1} = \pmatrix {1&0\cr 0&1}. $$ Tyto matice jsou maticemi transformací, které zobrazují ortonormální bázi na ortonormální bázi (transformace zachovává velikosti a úhly). \veta [ortomat] %%%%% (1) Je-li $\A$ ortogonální, pak $\det\A = 1$ nebo $\det\A = -1$. (2) Součin ortogonálních matice je ortogonální. (3) Je-li $\A$ ortogonální a je-li ${\bf x}$ sloupcový vektor, pak $\A\cdot{\bf x}$ má stejnou velikost jako vektor ${\bf x}$. \dukaz (1): $ 1 = \det\E = \det(\A\cdot\A^T) = (\det\A)\, (\det\A^T) = (\det\A)^2. $ (2): $ (\A\cdot\B)^T\cdot (\A\cdot\B) = \B^T\cdot\A^T\cdot\A\cdot\B = \B^T\cdot\E\cdot\B = \E. $ (3): $ \|\A{\bf x}\|^2 = (\A{\bf x})^T\cdot(\A{\bf x}) = {\bf x}^T\cdot\A^T\cdot \A\cdot{\bf x} = {\bf x}^T\cdot{\bf x} = \|{\bf x}\|^2. $ \okraj QR rozklad | QR rozklad \veta [QR] %%%%% Je-li $\A$ regulární matice, pak existuje ortogonální matice $\Q$ a horní trojúhelníková matice~$\R$ tak, že $$ \A=\Q\cdot\R. $$ \dukaz Sloupce matice $\A$ tvoří nějakou bázi $(B)$. Tuto bázi pozměníme Schmidtovým ortogonalizačním procesem\cite[ortogonalizace] na ortonormální bázi $(C)$. Bázi $(C)$ zapíšeme do sloupců matice $\Q$. Matice $\R$ je maticí přechodu od ortonormální báze $(C)$ k bázi $(B)$. Obsahuje souřadnice vektorů $\vec b_k$ z báze $(B)$ vzhledem k~$(C)$. Díky vlastnosti Schmidtova ortogonalizačního procesu $$ \lob<\vecc b_k> = \lob<\vecc c_k>, \qquad \forall k\in\{1,2,\ldots,n\}. $$ jsou souřadnice vektoru $\vec b_k$ vzhledem k $(C)$ pro $i>k$ nulové, takže $\R$ je horní trojúhelníková. \poznamka %%%%%%%%% Ortogonální matice jsou hojně používány v numerických metodách, neboť jsou numericky stabilní. Díky~(3) věty\cite[ortomat] se totiž násobením ortogonální maticí chyba nezvětšuje. Věta o QR rozkladu je jen jiný pohled na Schmidtův ortogonalizační proces. Říká, že máme-li ve sloupcích matice $\A$ nějakou bázi, pak ji můžeme \uv{narovnat}, aby byla ortonormální a takto opravenou bázi zapsat do matice $\Q$. Přitom matice $\R$ je maticí koeficientů tohoto \uv{narovnání}. Dá se ukázat, že ortonogonální matice je vždy maticí nějakého otočení (při větší dimenzi je možné otáčet v různých směrech). Toto otočení je případně složeno s osovou souměrností (ve více dimenzích překlopením jednoho bázového vektoru do \uv{protisměru}). V případě matic $\A\in\C^{n,n}$ je analogií ortogonální matice tzv.~{\em unitární matice\/} definovaná v\cite[unitarmat]. Důvod použití komplexně sdružených čísel v definici unitární matice souvisí s axiomem~(1) skalárního součinu\cite[dlpss], který je pro komplexní čísla modifikován v souladu s poznámkou\cite[complss]. \definice [unitarmat] %%%%%%%%% Matice $\A^H\in\C^{n,m}$ se nazývá {\em Hermitovsky sdružená} k matici $\A\in\C^{m,n}$ pokud je transponovaná a místo každého prvku je v matici zapsán prvek komplexně sdružený. Matice $\A\in\C^{n,n}$ se nazývá {\em unitární}, pokud $\A^H\cdot\A = \E$. \shrnuti %%%%%%%% V lineárním prostoru jsme zavedli skalární součin pomocí axiomů\lcite[dlpss]. Ukázali jsme, že axiomy vyhovují nejen standardnímu skalárnímu součinu\lcite[stss], ale je možné zavést i jiné skalární součiny. Je-li na lineárním prostoru $L$ definován skalární součin, pak je možno měřit velikosti vektorů\lcite[velikost] a úhly mezi nenulovými vektory\lcite[uhel]. Abychom měli jistotu, že vzorec pro úhel dává výsledek pro libovolné nenulové vektory, museli jsme dokázat Schwartzovu nerovnost\lcite[schwartz]. Dva nenulové vektory jsou na sebe kolmé, právě když jejich skalární součin je roven nule. Zavedli jsme ortonormální bázi\lcite[ortonormalni] a ukázali důležité vlastnosti této báze~/\ncite[soucin-dle-souradnic],\cite[karsouradnice],\cite[uhly-k-osam]/. Ukázali jsme, že lze každou konečnou bázi upravit Schmidtovým ortogonalizačním procesem tak, aby upravená báze byla ortonormální, přitom lineární obaly prvních $k$ vektorů obou bází zůstávají shodné. Základní vlastnosti ortogonální matice\lcite[dortomat] jsou shrnuty v\cite[ortomat-zaklad],\cite[ortomat] a\cite[QR]. \icviceni 8 \iffalse %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola [analgeom] Aplikace lineární algebry v geometrii | Aplikace linearni algebry v geometrii %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \okraj Euklidovský prostor | Euklidovsky prostor \poznamka %%%%%%%%% Budeme pracovat s bodovým euklidovským prostorem. Bohužel nemáme zde místo na podrobné definování základních pojmů tohoto prostoru. Vycházíme tedy z toho, že čtenář intuitivně tuší, co to je bod, úsečku si představí jako nejkratší spojnici mezi dvěma body, nebo jako množinu bodů, která tuto spojnici vyplňuje. Jiné množiny bodů vytvářejí přímky nebo roviny. Všechny tyto množiny bodů jsou podmnožinami třírozměrného bodového euklidovského prostoru, označovaného obvykle $\E_3$. Jeho \uv{třírozměrnost} vyplývá z toho, že jsme schopni v tomto prostoru sestrojit maximálně tři na sebe navzájem kolmé přímky. Rovněž to souvisí s tím, že lineární prostory orientovaných úseček v~$\E_3$ mají dimenzi rovnu třem. \inl[bod, euklidovský: prostor, prostor: euklidovský, E3]% \inl[geometrie: euklidovská, euklidovská: geometrie]% % V bodovém prostoru $\E_3$ umíme měřit vzdálenost mezi libovolnými dvěma body a úhel mezi dvěma úsečkami, které mají společný jeden krajní bod. Předpokládáme tedy, že jsme vybaveni nějakým měřítkem a úhloměrem. Stupnice na našem měřítku vychází z nějaké jednotky vzdálenosti (metr, stopa aj.) a nebudeme tuto jednotku při popisování geometrických vlastností dále zmiňovat. \priklad [UOznovu] %%%%%%%% V příkladech\cite[lpvv] a\cite[UOlnlz] jsme zavedli lineární prostor vázaných vektorů $U_O$ tak, že jsme zvolili jeden bod prostoru $\E_3$ a označili jej $O$. Na množině všech orientovaných úseček začínajících v~bodě $O$ jsme definovali sčítání (doplněním na rovnoběžník) a násobení konstantou (násobením velikosti úsečky). V příkladě\cite[lpvv] jsme ukázali, že množina takových úseček tvoří lineární prostor podle obecné definice lineárního prostoru a v příkladě\cite[UOlnlz] jsme naznačili, jak souvisí pojmy lineární závislost a nezávislost vektorů s geometrickými vlastnostmi lineárního prostoru $U_O$. \inl[prostor: UO, prostor: orientovaných úseček] Zopakujeme nyní hlavní výsledky těchto příkladů a přidáme další poznatky. Nulový vektor $\vec o\in U_O$ je úsečka s nulovou velikostí, tj. koncový bod splývá s počátečním bodem. Jeden vektor $\vec u\in U_O$ je lineárně nezávislý právě tehdy, když je nenulový. Dva vektory $\{\vec u, \vec v\} \subset U_O$ jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když neleží ve společné přímce. Tři vektory $\{\vec u, \vec v, \vec w\}\subset U_O$ jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když neleží ve společné rovině. Čtyři vektory z~$U_O$ jsou vždy lineárně závislé. Z toho plyne, že $\dim U_O=3$ a bázi $U_O$ tvoří libovolné tři vektory, které neleží ve společné rovině. Je-li $\vec u\in U_O$ nenulový, pak $\lob<\vec u>$ je množina vektorů, jejichž koncové body vyplňují přímku procházející bodem $O$. Jsou-li $\{\vec u, \vec v\} \subset U_O$ lineárně nezávislé, pak $\lob<\vec u, \vec v>$ je množina vektorů, jejichž koncové body vyplňují rovinu procházející bodem $O$. Jsou-li konečně tři vektory $\{\vec u, \vec v, \vec w\}\subset U_O$ lineárně nezávislé, pak koncové body vektorů z~$\lob<\vec u, \vec v, \vec w>$ vyplňují celý prostor~$\E_3$. \okraj Souřadnice orientovaných úseček | Souradnice orientovanych usecek Je-li $B = \{ \vec b_1, \vec b_2, \vec b_3 \} \subset U_O$ lineárně nezávislá množina, pak tvoří bázi $U_O$ a pro každý vektor $\vec u \in U_O$ existuje právě jedna lineární kombinace vektorů $\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3$, která je rovna vektoru~$\vec u$. Koeficienty této lineární kombinace jsou podle definice\cite[souradnice] souřadnicemi vektoru $\vec u$ vzhledem k~uspořádané bázi $(B)$. Tyto souřadnice tvoří uspořádanou trojici reálných čísel a zobrazení, které každému vektoru $\vec u\in U_O$ přiřadí uspořádanou trojici jeho souřadnic z $\R^3$ je podle věty\cite[sour-lin] izomorfismus. Toto zobrazení přenáší pojmy lineární závislost, podprostor a lineární obal z~\uv{geometrického} lineárního prostoru $U_O$ na \uv{numerický} lineární prostor~$\R^3$. Jinými slovy, místo abychom zjišťovali tyto pojmy na lineárním prostoru $U_O$, kde sčítání je definováno doplňováním na rovnoběžník (potřebujeme dvě pravítka resp. kružítko na konstruování rovnoběžníků), budeme je ověřovat jen numericky v~$\R^3$ (vystačíme si se sčítáním a násobením reálných čísel). To je základním principem tzv. {\em analytické geometrie}. Tuto teorii rozpracoval v 17.~století francouzský matematik René Descartes. Po něm se nazývá souřadnicový systém kartézský. \inl[geometrie: analytická, analytická: geometrie] \inl[Descartes René] %Na tomto převodu %geometrického a konstruktivního problému na numerický výpočet je %založena disciplína, která se nazývá {\em analytická geometrie}. \okraj Skalární\hb součin orientovaných úseček | Skalarni soucin orientovanych usecek \priklad [ssnaUO] %%%%%%%% Na lineárním prostoru $U_O$ nyní definujeme skalární součin. Nechť $\vec u$ a $\vec v$ jsou dvě orientované úsečky začínající v bodě~$O$. Pokud je aspoň jedna z nich nulová, definujeme skalární součin~$\vec u\cdot\vec v = 0$. Jsou-li obě úsečky nenulové, pak existuje rovina $\varrho$, ve které leží společně obě úsečky. Přiložíme v této rovině úhloměr k daným úsečkám a změříme úhel $\phi$ mezi těmito úsečkami. Skalární součin pak definujeme vzorcem $$ \vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\phi , \rce(ssnaUO) $$ kde $\|\vec u\|$ a $\|\vec v\|$ jsou velikosti těchto úseček zjištěné měřítkem. \inl[součin: skalární, skalární: součin] Ukážeme, že uvedený vzorec definuje skalární součin v souladu s obecnou definicí\cite[dlpss], tj. že platí vlastnosti~(1) až (4). $$ \eqalign{ \bod(1) \vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\phi = \|\vec v\|\,\|\vec u\|\,\cos\phi = \vec v\cdot\vec u, \cr \bod(2) (\vec u + \vec v)\cdot\vec w \buildrel ? \over = \vec u\cdot\vec w + \vec v\cdot\vec w \quad \hbox{(vysvětlíme později)}, \cr \bod(3) (\alpha\,\vec u)\cdot\vec v = \|\alpha\,\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\phi = \cases {\alpha \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\phi = \alpha\,(\vec u\cdot\vec v), \quad \hbox{pro } \alpha\geq 0, \cr -\alpha \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos(\phi+\pi) = \alpha \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\phi = \alpha\,(\vec u\cdot\vec v), \quad \hbox{pro } \alpha< 0, } \cr \bod(4) \vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2\,\cos 0 = \|\vec u\|^2 \geq 0. } $$ Předpokládejme ještě~$\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2 = 0$. Z toho plyne, že velikost úsečky $\vec u$ je nulová, takže nutně musí být $\vec u = \vec o$. Zbývá nám dokázat vlastnost~(2). Jsou-li některé z úseček nulové, je tvrzení~(2) okamžitě splněno. Nechť jsou tedy všechny tři úsečky nenulové. Nechť dále $\phi_1$ je úhel mezi $\vec u$ a $\vec w$. Označme $p_1 = \|\vec u\|\,\cos\phi_1$ velikost kolmého průmětu úsečky $\vec u$ na úsečku $\vec w$. Ze vzorce\cite(ssnaUO) vidíme, že $p_1 = \vec u \cdot\vec w / \|\vec w\|$. Označme ještě $p_2$ velikost kolmého průmětu úsečky $\vec v$ na úsečku $\vec w$ a konečně $p_0$ velikost kolmého průmětu součtu $\vec u+\vec v$ na úsečku $\vec w$. Z~geometrických vlastností rovnoběžníků a průmětů plyne, že $p_0=p_1+p_2$ (udělejte si náčrtek). Protože platí $$ p_1 = {\vec u \cdot\vec w \over \|\vec w\|},\quad p_2 = {\vec v \cdot\vec w \over \|\vec w\|},\quad p_0 = {(\vec u+\vec v) \cdot\vec w \over \|\vec w\|}, $$ je po vynásobení rovnosti $p_0=p_1+p_2$ číslem $\|\vec w\|$ požadovaná rovnost~(2) dokázána. \poznamka %%%%%%%%% Při ověřování vlastnosti~(4) jsme mimochodem zjistili, že velikost úsečky odvozená ze skalárního součinu (definice\cite[velikost]) je rovna velikosti úsečky zjištěné měřítkem. Úhel mezi úsečkami podle definice\cite[uhel] je také roven skutečnému úhlu mezi úsečkami. To plyne přímo ze vzorce\cite(ssnaUO). \poznamka %%%%%%%%% K definování skalárního součinu na lineárním prostoru orientovaných úšeček jsme v~předchozím příkladu použili kromě měřítka ještě úhloměr a nějaký stroj, který nám vyhodnotí funkci kosinus. Ukážeme, že lze modifikovat definici tak, že místo úhloměru a stroje na kosinus si vystačíme jen s~pravítkem s~ryskou (na sestrojování kolmic). Nechť $\vec u$ a $\vec v$ jsou nenulové orientované úsečky začínající ve společném bodě~$O$. Nechť $p$ je přímka, která obsahuje úsečku~$\vec v$. Pomocí pravítka s~ryskou sestrojíme kolmici na přímku $p$, která prochází koncovým bodem úsečky~$\vec u$. Průsečík přímky~$p$ a sestrojené kolmice označme $P$. Nyní definujeme $$ \vec u \cdot \vec v = \pm \|\vec v\|\cdot \hbox{velikost úsečky $OP$}, $$ kde místo znaku~\uv{$\pm$} použijeme znaménko~\uv{$+$}, je-li úsečka $OP$ shodně orientovaná s~úsečkou $\vec v$, a použijeme znaménko~\uv{$-$}, jsou-li tyto úsečky opačně orientované. Uvědomíme si, že úsečka $OP$ je kolmým průmětem úsečky $\vec u$ na přímku~$p$, velikost tohoto průmětu je podle kosinové věty rovna (až na znaménko) číslu $\|\vec u\|\cos\phi$, kde $\phi$ je úhel mezi úsečkami $\vec u$ a $\vec v$. Vidíme tedy, že je definice skalárního součinu shodná s~definicí podle vzorce\cite(ssnaUO). \okraj Kolmý průmět vektoru na vektor | kolmy prumet vektoru na vektor Kolmý průmět vektoru $\vec u$ na nenulový vektor $\vec v$ je názorná geometrická aplikace skalárního součinu a má obecnou platnost i v lineárních prostorech s větší dimenzí. Stojí za to tento pojem formálně definovat pro libovolný lineární prostor se skalárním součinem: \definice [kolmyprumet] %%%%%%%%% Nechť $L$ je lineární prostor se skalárním součinem, $\vec u\in L, \vec v\in L, \vec v \ne \vec o$. Pak vektor $$ {\vec u \cdot \vec v \over \|\vec v\|^2}\,\,\vec v $$ nazýváme {\em kolmý průmět vektoru $\vec u$ na vektor $\vec v$}. \inl[kolmý průmět, průmět: kolmý] Číslo ${(\vec u \cdot \vec v) \,/\, \|\vec v\|}$ je velikost kolmého průmětu vektoru $\vec u$ na vektor $\vec v$ \uv{až na znaménko}. Toto číslo je záporné právě tehdy, když kolmý průmět na vektor $\vec v$ má opačný směr než vektor $\vec v$. \inl[velikost: kolmého průmětu] \okraj Ortonor\-mální báze v~$U_O$ | Orthonormalni base v UO \priklad [baseUO] %%%%%%%% Nechť $U_O$ je lineární prostor se skalárním součinem z~příkladu\cite[ssnaUO]. Sestrojíme dvě orientované úsečky začínající v bodě $O$ s~velikostí~$1$, které jsou na sebe kolmé (ověříme úhloměrem). Tyto dvě úsečky leží v~jednoznačně určené rovině $\varrho$. Sestrojíme třetí úsečku velikosti~$1$, která začíná v bodě~$O$ a je kolmá na rovinu~$\varrho$. Tyto tři úsečky označíme $\vec i$, $\vec j$, $\vec k$. Je zřejmé, že $B = \{\vec i, \vec j, \vec k\}$ je ortonormální bází lineárního prostoru~$U_O$. \inl[prostor: UO, prostor: orientovaných úseček] \inl[báze: ortonormální, ortonormální: báze] \poznamka %%%%%%%%% Souřadnice vektoru $\vec u\in U_O$ vzhledem k ortonormální bázi $B = \{\vec i, \vec j, \vec k\}$ jsou podle věty\cite[karsouradnice] a definice\cite[kolmyprumet] velikostmi (až na znaménko) kolmých průmětů vektoru $\vec u$ na vektory $\vec i,\, \vec j,\, \vec k$. To nám umožňuje velmi snadno najít souřadnice geometrickými prostředky a dále se souřadnicemi (uspořádanými trojicemi v~$\R^3$) pracovat numericky. \inl[souřadnice: vektoru] \priklad %%%%%%%% Nechť $B = \{\vec i, \vec j, \vec k\}$ je báze z~příkladu\cite[baseUO]. Uspořádejme tuto bázi, tj. záleží nám na pořadí prvků $\vec i, \vec j, \vec k$. Vidíme, že jakákoli jiná uspořádaná ortonormální báze vzniká současným otočením úseček $\vec i, \vec j, \vec k$ kolem bodu~$O$ nebo současným otočením úseček $\vec i, \vec j, -\vec k$ kolem bodu~$O$. Přechod mezi bází $(B) = \bigl(\vec i, \vec j, \vec k\bigr)$ a $(B') = \bigl(\vec i, \vec j, -\vec k\bigr)$ nelze realizovat současným otočením všech úseček. Dá se ukázat, že pokud báze $C$ vzniká z báze $B$ otočením úseček kolem bodu~$O$, má matice přechodu $\A_{(B,C)}$ kladný determinant. Dále matice přechodu od báze $B$ k bázi $B'$ vypadá takto $$ \A_{(B,B')} = \matice{1&0&0\cr0&1&0\cr0&\kern6pt0&-1}. $$ Je tedy $\det\A_{(B,B')} = -1$. To nás vede k následující definici kladně orientované báze. \okraj Kladně orientovaná báze | Kladne orientovana base \definice [kladneUO] %%%%%%%%% Nechť $U_O$ je lineární prostor se skalárním součinem podle příkladu\cite[ssnaUO]. Ortonormální uspořádanou bázi $(B)=\bigl(\vec i, \vec j, \vec k\bigr)$ nazýváme {\em kladně orientovanou}, pokud při vhodném umístění a natočení pozorovatele vzhledem k této bázi směřuje úsečka $\vec i$ směrem k~pozorovateli, $\vec j$ vpravo od pozorovatele a $\vec k$ nahoru. Mnemotechnickou pomůckou je tzv.~{\em pravidlo pravé ruky}. Přiložíme-li pravou ruku k vektorům $\vec i$, $\vec j$ tak, aby prsty směřovaly od $\vec i$ k~$\vec j$, potom palec naznačuje směr vektoru~$\vec k$. Všechny báze $(C)$ (ne nutně ortonormální), které mají matici přechodu od $(B)$ k~$(C)$ s kladným determinantem, nazýváme {\em kladně orientované báze}. Všechny báze $(D)$, které mají matici přechodu od $(B)$ k~$(D)$ se záporným determinantem, nazýváme {\em záporně orientované báze}. \inl[báze: kladně orientovaná, kladně orientovaná: báze] \inl[báze: záporně orientovaná, záporně orientovaná: báze] \inl[prostor: UO, prostor: orientovaných úseček] \inl[pravidlo: pravé ruky] \poznamka %%%%%%%%% Na lineárním prostoru~$U_O$ jsme rozdělili všechny báze do dvou skupin: kladně orientované báze a záporně orientované báze. Matice přechodu je podle věty\cite[slozmprech] vždy regulární, takže je jednoznačně dáno, zda je báze kladně nebo záporně orientovaná (determinant matice přechodu je vždy nenulový). Podle vět\cite[slozmprech] a \cite[soucindet] také okamžitě vidíme, že matice přechodu mezi kladně orientovanými bázemi má vždy kladný determinant, matice přechodu mezi záporně orientovanými bázemi má také kladný determinant a matice přechodu od kladně orientované báze k~záporně orientované bázi má záporný determinant stejně jako matice přechodu od záporně orientované báze ke kladně orientované bázi. \poznamka %%%%%%%%% V libovolném lineárním prostoru konečné dimenze jsme schopni rozlišit dvě skupiny uspořádaných bází tak, že matice přechodu od báze z jedné skupiny k bázi v druhé skupině má záporný determinant a matice přechodu od báze k bázi uvnitř skupiny má kladný determinant. Nejedná se tedy jen o geometrickou vlastnost lineárního prostoru $U_O$. Je proto vhodné uvést následující obecnou definici: \definice [orientovat] %%%%%%%%% {\em Orientovat} libovolný lineární prostor s konečnou dimenzí znamená prohlásit jednu jeho uspořádanou bázi $(B)$ za výchozí kladně orientovanou. Uspořádaná báze $(C)$ se nazývá {\em kladně orientovaná}, pokud matice přechodu od výchozí báze $(B)$ k bázi $(C)$ má kladný determinant. Uspořádaná báze $(D)$ se nazývá {\em záporně orientovaná}, pokud matice přechodu od výchozí báze $(B)$ k bázi $(D)$ má záporný determinant. \inl[orientace: prostoru, prostor: orientovaný] \inl[báze: kladně orientovaná, kladně orientovaná: báze] \inl[báze: záporně orientovaná, záporně orientovaná: báze] \priklad [orientaceUO] %%%%%%%% Orientaci lineárního prostoru $U_O$ jsme provedli v definici\cite[kladneUO]. \poznamka %%%%%%%%% Již dříve jsme mluvili o \uv{orientovaných} úsečkách. Ačkoli jsme použili stejné slovo, s~orientací lineárního prostoru to příliš nesouvisí. Orientace úsečky znamená určení pořadí jejích krajních bodů, nebo (jinak řečeno) rozlišení mezi počátečním a konečným bodem úsečky. \okraj Vektorový součin | Vektorovy soucin \poznamka %%%%%%%%% V další části textu definujeme {\em vektorový součin}, což je operace, která dvěma vektorům přiřadí jako výsledek vektor (na rozdíl od skalárního součinu, který dvěma vektorům přiřadí číslo, neboli skalár). Vektorový součin definujeme prozatím na lineárním prostoru $U_O$ orientovaných úseček, který již známe z~příkladů\cite[UOznovu],\cite[ssnaUO],\cite[baseUO] a\cite[orientaceUO]. \definice [vs] %%%%%%%%% Nechť $U_O$ je lineární prostor orientovaných úseček. {\em Vektorový součin\/} je zobrazení (označujeme jej křížkem) $\times: U_O\times U_O \to U_O$, které splňuje následující vlastnosti. (A) Jsou-li vektory $\{\vec u, \vec v\}\subset U_O$ lineárně závislé, definujeme $\vec u\times \vec v = \vec o$ (nulový vektor). (B) Jsou-li vektory $\{\vec u, \vec v\}\subset U_O$ lineárně nezávislé, pak je vektor $\vec u\times \vec v$ jednoznačně určen následujícími třemi vlastnostmi: (1) $(\vec u\times \vec v) \kolmy \vec u$, $(\vec u\times \vec v) \kolmy \vec v$, (2) $\|\vec u\times \vec v\| = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin \phi$, kde $\phi$ je úhel mezi vektory $\vec u$ a $\vec v$. (3) Uspořádaná báze $(\vec u, \vec v, \vec u\times \vec v)$ je kladně orientovaná. \inl[prostor: UO, prostor: orientovaných úseček] \inl[součin: vektorový, vektorový: součin] \poznamka %%%%%%%%% Vidíme, že skutečně vlastnosti (1) až (3) určují vektorový součin jednoznačně. První vlastnost udává, že výsledek bude kolmý na rovinu určenou $\lob<\vec u, \vec v>$, druhá vlastnost určuje velikost výsledného vektoru a třetí vlastnost orientaci (zda výsledný vektor bude orientován vzhledem k~rovině určené $\lob<\vec u, \vec v>$ \uv{nahoru} nebo \uv{dolu}. \priklad %%%%%%%% Nechť $(B)=(\vec i, \vec j, \vec k)$ je ortonormální kladně orientovaná uspořádaná báze lineárního prostoru $U_O$. Pak podle definice je $$\displaylines{ \vec i \times \vec i = \vec j \times \vec j = \vec k \times \vec k = \vec o, \cr \vec i \times \vec j = \vec k, \quad \vec j \times \vec i = - \vec k, \quad \vec i \times \vec k = - \vec j, \quad \vec k \times \vec i = \vec j, \quad \vec j \times \vec k = \vec i, \quad \vec k \times \vec j = - \vec i. } $$ \veta (souřadnice vektorového součinu) [vs-souradnice] %%%%% Nechť $(B)=(\vec i, \vec j, \vec k)$ je ortonormální kladně orientovaná uspořádaná báze lineárního prostoru $U_O$, $\vec u = (u_1, u_2, u_3)_{(B)}$, $\vec v = (v_1, v_2, v_3)_{(B)}$. Pak platí: $$ \vec u\times \vec v = \left ( \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|, - \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|, \,\left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right| \right )_{(B)}. \rce(vs-poc) $$ \par\inl[souřadnice: vektorového součinu] \dukaz %%%%%% Pokud jsou vektory $\vec u, \vec v$ lineárně závislé, pak všechny determinanty ve vzorci\cite(vs-poc) jsou nulové a výsledný vektor $\vec u\times \vec v$ má nulové souřadnice, takže je v~souladu s~definicí nulový. Zbývá tedy ověřit vlastnosti (1) až (3) z~definice vektorového součinu pro případ, že vektory $\vec u, \vec v$ jsou lineárně nezávislé. Ad (1). Ověříme $(\vec u\times \vec v)\kolmy \vec u$. Dva vektory jsou kolmé, pokud jejich skalární součin je nulový. Skalární součin můžeme počítat ze souřadnic podle věty\cite[soucin-dle-souradnic]: $$ \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right| \, u_1 - \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right| \, u_2 + \left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right| \, u_3 = \left |\matrix{u_1& u_2& u_3\cr v_1& v_2& v_3\cr u_1& u_2& u_3}\right| = 0. $$ Při úpravách jsme využili rozvoje determinantu podle třetího řádku a dále toho, že determinant je roven nule, pokud se v něm dva řádky opakují. Podobně by to dopadlo při ověřování $(\vec u\times \vec v)\kolmy \vec v$. Ad (2). $$\eqalign{ \|\vec u\times \vec v\|^2 &= \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|^2 + \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|^2 + \left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right|^2 = \hbox{\it poněkud pracnější výpočet je zde vynechán} = \cr &= (u_1^2 + u_2^2 + u_3^2)\,(v_1^2 + v_2^2 + v_3^2) - (u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3)^2 = \|\vec u\|^2 \, \|\vec v\|^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2 = \cr &= \|\vec u\|^2 \, \|\vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 \, \|\vec v\|^2 \, \cos^2\phi = \|\vec u\|^2 \, \|\vec v\|^2 \, (1 - \cos^2\phi) = \|\vec u\|^2 \, \|\vec v\|^2 \, \sin^2\phi. } $$ Po odmocnění vychází požadovaná vlastnost. Ad (3). Především velikost vektoru $\vec u\times \vec v$ je pro lineárně nezávislé vektory $\vec u, \vec v$ nenulová a tento vektor je kolmý na oba vektory $\vec u, \vec v$. Množina $\{\vec u, \vec v, \vec u\times \vec v\}$ tedy tvoří bázi lineárního prostoru~$U_O$. Matice $$ \A = \pmatrix {u_1& v_1& %\phantom{+} \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|\cr u_2& v_2& -\left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|\cr u_3& v_3& %\phantom{+} \left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right|} $$ je maticí přechodu od kladně orientované báze $(\vec i, \vec j, \vec k)$ k~bázi $(\vec u, \vec v, \vec u\times \vec v)$. Její determinant spočítáme rozvojem podle třetího sloupce: $$ \det\A = \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|^2 + \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|^2 + \left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right|^2 > 0. $$ Je tedy i báze $(\vec u, \vec v, \vec u\times \vec v)$ kladně orientovaná. \poznamka %%%%%%%%% Věta\cite[vs-souradnice] nám nejen dává možnost počítat souřadnice vektorového součinu ze souřadnic vstupních vektorů, ale inspiruje nás k definici vektorového součinu na $\R^3$: \definice [vsnaR3] %%%%%%%%% Nechť $\vec u\in\R^3$, $\vec v\in\R^3$, $\vec u = (u_1, u_2, u_3)$, $\vec v = (v_1, v_2, v_3)$. Pak definujeme {\em vektorový součin na $\R^3$} předpisem: $$ \vec u\times \vec v = \left ( \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|, - \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|, \,\left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right| \right ). $$ \par\inl[vektorový: součin, součin: vektorový] \poznamka %%%%%%%%% Definici vektorového součinu lze rozšířit na libovolný lineární prostor $L$ dimenze~3 se skalárním součinem, který byl orientován. Stačí použít definici\cite[vs] a uvědomit si, že se tato definice neopírá o~žádné speciální vlastnosti množiny~$U_O$. Vychází pouze z~těchto předpokladů: (1) Dimenze lineárního prostoru $L$ musí být rovna třem. (2) Na lineárním prostoru $L$ musí být definován skalární součin. (3) Lineární prostor $L$ musí být orientován. Rovněž důkaz věty\cite[vs-souradnice] se opíral jen o výše uvedené vlastnosti lineárního prostoru a věta tedy platí pro každý takový lineární prostor. Je třeba si uvědomit, že definici vektorového součinu nelze rozšířit na lineární prostory jiných dimenzí než~3. \veta (základní vlastnosti vektorového součinu) [zv-vs] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor s vektorovým součinem a $\vec u\in L$, $\vec v\in L$, $\vec w\in L$, $\alpha\in\R$. Platí: $$\eqalign{ \vec u \times \vec u &= \vec o, \cr \vec u \times \vec v &= - (\vec v \times \vec u) \qquad \hbox{(antikomutativní zákon)},\cr (\alpha\,\vec u) \times \vec v &= \alpha \, (\vec u \times \vec v) = \vec u \times (\alpha\,\vec v), \cr (\vec u + \vec v)\times \vec w &= \vec u \times \vec w + \vec v \times \vec w \qquad \hbox{(první distributivní zákon)},\cr \vec u \times (\vec v + \vec w) &= \vec u \times \vec v + \vec u \times \vec w \qquad \hbox{(druhý distributivní zákon)}. \cr } $$ \par\inl[zákon: antikomutativní, anitkomutativní: zákon] \inl[zákon: distributivní, distributivní: zákon] \dukaz %%%%%% Snadno se dá ověřit, že tyto vzorce platí, pokud si zvolíme nějakou uspořádanou kladně orientovanou ortonormální bázi a budeme pracovat podle věty\cite[vs-souradnice] se souřadnicemi těchto vektorů vzhledem k takto zvolené bázi. \poznamka %%%%%%%%% Asociativní zákon pro vektorový součin neplatí, protože je $(\vec i\times \vec i)\times \vec j = \vec o\times \vec j = \vec o$, zatímco $\vec i \times (\vec i \times \vec j) = \vec i \times \vec k = -\vec j$, kde $(\vec i, \vec j, \vec k)$ je uspořádaná kladně orientovaná ortonormální báze. Nemá tedy smysl psát $\vec u\times \vec v \times \vec w$ bez použití závorek. Při opakovaném vektorovém součinu vždy musíme pomocí závorek vyznačit, v~jakém pořadí budeme násobit. \inl[zákon: asociativní, asociativní: zákon] \priklad %%%%%%%% Spočítáme $(2\vec u - 5\vec v)\times (\vec u + 3\vec v)$ s využitím věty\cite[zv-vs]: $$\eqalign { (2\vec u - 5\vec v)\times (\vec u + 3\vec v) &= (2\vec u - 5\vec v)\times \vec u + (2\vec u - 5\vec v)\times (3\vec v) =\cr &= (2\vec u)\times \vec u + (-5\vec v)\times \vec u + (2\vec u)\times (3\vec v) + (-5\vec v)\times (3\vec v) =\cr &= 2\,(\vec u\times \vec u) - 5\,(\vec v \times \vec u) + 6\,(\vec u\times \vec v) -15\,(\vec v \times \vec v) =\cr &= 2\,\vec o - 5\,(-(\vec u\times \vec v)) + 6\,(\vec u\times \vec v) - 15\,\vec o = 11\,(\vec u\times \vec v). } $$ \veta (geometrický význam vektorového součinu) [vs-geom] %%%%% Nechť vektory $\vec u, \vec v$ jsou lineárně nezávislé. Velikost vektorového součinu $\vec u\times\vec v$ je rovna ploše rovnoběžníka určeného svými stranami $\vec u$ a $\vec v$. \inl[obsah: rovnoběžníka] \dukaz %%%%%% Stačí si uvědomit, že číslo $\|\vec v\|\,\sin\phi$ (kde $\phi$ je úhel mezi vektory $\vec u$, $\vec v$) je rovno podle vlastnosti funkce sinus výšce zmíněného rovnoběžníka a $\|\vec u\|$ je jeho základna. Na základní škole jsme se učili, že plocha rovnoběžníka se počítá jako základna krát výška, tedy $\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin \phi$, což je podle vlastnosti (2) definice\cite[vs] rovno velikosti vektorového součinu. \okraj Smíšený\hb součin | Smiseny soucin \definice [smisenys] %%%%%%%%% Nechť $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ jsou vektory z lineárního prostoru se skalárním a vektorovým součinem. Pak číslo $\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)$ nazýváme {\em smíšeným součinem vektorů $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ (v tomto pořadí)}. \inl[součin: smíšený, smíšený: součin] \veta (smíšený součin ze souřadnic vektorů) [sms-souradnice] %%%%% Nechť $(B)=(\vec i, \vec j, \vec k)$ je ortonormální kladně orientovaná uspořádaná báze lineárního prostoru se skalárním a vektorovým součinem, nechť vektory $\vec u$, $\vec v$ a $\vec w$ mají souřadnice: $\c_B(\vec u) = (u_1, u_2, u_3)$, $\c_B(\vec v) = (v_1, v_2, v_3)$, $\c_B(\vec w) = (w_1, w_2, w_3)$. Pak je smíšený součin $\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)$ roven determinantu: $$ \left| \matrix{u_1& u_2& u_3\cr v_1& v_2& v_3\cr w_1& w_2& w_3\cr} \right|. $$ \dukaz %%%%%% Věta plyne přímo z definice smíšeného součinu a vět\cite[vs-souradnice],\cite[soucin-dle-souradnic]. Rozvojem determinantu podle prvního řádku dostáváme požadovaný výsledek. \veta (geometrický význam smíšeného součinu) [sms-geom] %%%%% Absolutní hodnota smíšeného součinu lineárně nezávislých vektorů $\vec u, \vec v, \vec w$ je rovna objemu rovnoběžnostěnu určeného svými stranami $\vec u, \vec v, \vec w$. \inl[objem: rovnoběžnostěnu] \dukaz %%%%%% Velikost vektorového součinu $\vec v \times \vec w$ je podle věty\cite[vs-geom] roven ploše základny rovnoběžnostěnu. Rozepíšeme skalární součin pomocí kosinu úhlu $\phi$ mezi vektorem $\vec u$ a vektorem $\vec v\times \vec w$: $$ \|\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)\| = \|\vec v\times \vec w\|\cdot\|\vec u\|\,|\cos\phi| = \hbox{základna}\cdot\hbox{výška} = \hbox{objem rovnoběžnostěnu}. $$ Číslo $\|\vec u\|\,|\cos\phi|$ je rovno požadované výšce, protože se jedná o velikost kolmého průmětu vektoru $\vec u$ na vektor $\vec v\times \vec w$ a vektor $\vec v\times \vec w$ je kolmý na základnu. \poznamka %%%%%%%%% Je-li báze $(\vec u, \vec v, \vec w)$ kladně orientovaná, vychází smíšený součin kladně, protože úhel~$\phi$ z~důkazu předchozí věty je menší než $\pi/2$. Je-li ale tato báze záporně orientovaná, vychází smíšený součin jako záporné číslo, neboť úhel $\phi$ je větší než $\pi/2$. \poznamka %%%%%%%%% Dá se ukázat, že absolutní hodnota determinantu matice typu $(n,n)$ určuje objem rovnoběžnostěnu, který je určen svými stranami, jejichž souřadnice jsou zapsány do řádků této matice. Rovnoběžnostěn se \uv{rozprostírá} v~$n$-dimenzionálním prostoru. Pomocí determinantů tedy můžeme měřit $n$-dimenzionální objemy. Věty\cite[sms-souradnice] a\cite[sms-geom] ilustrují, že determinanty měří objemy rovnoběžnostěnu aspoň pro dimenzi~3. %Tato problematika ovšem překračuje rámec osnov, které nám %pouze určují seznámit se s objemy třírozměrných rovnoběžnostěnů jako %velikostmi determinantů matic typu $(3,3)$. Tento úkol jsme splnili %tím, že jsme se seznámili s~větami\cite[sms-souradnice] a\cite[sms-geom]. \okraj Prostor $V_3$ volných\hb vektorů | Prostor V3 volnych vektoru \poznamka %%%%%%%%% Lineární prostor~$U_O$ z~příkladů\cite[UOznovu],\cite[ssnaUO] a\cite[baseUO] má jednu nevýhodu. Obsahuje jen úsečky, které začínají v~pevně zvoleném bodě~$O$. Často ale při modelování fyzikálních situací ztotožňujeme orientovanou úsečku s jinou, která začíná v~jiném bodě, ale je s původní úsečkou rovnoběžná, má stejnou velikost a stejnou orientaci. Z tohoto důvodu je výhodné zavést lineární prostor tzv.~{\em volných vektorů~$V_3$}, ve kterém budeme ztotožňovat dvě úsečky, pokud jsou rovnoběžné, mají stejnou velikost a jsou stejně orientované. \inl[prostor: volných vektorů, V3] \inl[volný: vektor, vektor: volný] \definice [dV3] %%%%%%%%% Nechť $U_O$ je lineární prostor z~příkladů\cite[UOznovu] a\cite[ssnaUO]. Volme $\vec u_O\in U_O$. Množinu všech orientovaných úseček, které jsou s~úsečkou $\vec u_O$ rovnoběžné a mají stejnou velikost a orientaci nazýváme {\em vektorem lineárního prostoru~$V_3$}. \inl[prostor: volných vektorů, V3] Nechť $\vec u$ je vektor lineárního prostoru~$V_3$ Jde tedy o~množinu vzájemně rovnoběžných úseček stejně velkých a stejně orientovaných. Jakoukoli orientovanu úsečku z~této množiny nazýváme {\em reprezentantem vektoru $\vec u$}. \inl[reprezentant: vektoru] Na lineárním prostoru~$V_3$ definujeme sčítání vektorů a skalární násobek. Nechť $\vec u\in V_3$, $\vec v\in V_3$. Volme nějaký bod~$O\in\E_3$. Existuje právě jeden reprezentant vektoru $\vec u$, který začíná v~bodě~$O$. Označme jej $\vec u_O$. Dále nechť $\vec v_O$ je reprezentant vektoru $\vec v$ začínající v~bodě~$O$. Pak je definován součet $\vec w_O=\vec u_O+\vec v_O$ na lineárním prostoru~$U_O$. Součet $\vec u + \vec v$ je takový prvek z~$V_3$, pro který je $\vec w_O$ jeho reprezentantem začínajícím v bodě~$O$. Je to tedy množina všech orientovaných úseček rovnoběžných, stejně velkých a stejně orientovaných, jako úsečka~$\vec w_O$. Skalární násobek definujeme podobně. Nechť je $\vec u\in V_3$, $\alpha\in\R$. Pro $\vec u$ existuje reprezentant $\vec u_O$ začínající v~bodě~$O$. K němu existuje skalární násobek definovaný v $U_O$. Označme jej $\vec w_O = \alpha\,\vec u_O$. Výsledný vektor $\alpha\,\vec u$ je vektorem z~$V_3$ takovým, že $\vec w_O$ je jeho reprezentant. Skalární součin vektorů $\vec u\in V_3$, $\vec v\in V_3$ definujeme jako skalární součin jejich reprezentantů $\vec u_O$ a $\vec v_O$ v~lineárním prostoru~$U_O$. Vektorový součin $\vec u \times \vec v$ definujeme tak, že reprezentanty $\vec u_O$ a $\vec v_O$ vektorů $\vec u$ a $\vec v$ vynásobíme v~lineárním prostoru $U_O$. Výsledný součin $\vec u\times \vec v$ je takový vektor, pro který je $\vec u_O\times\vec v_O$ jeho reprezentantem začínajícím v~bodě $O$. \poznamka %%%%%%%%% Dá se snadno ukázat, že výše definovaný součet, skalární násobek, skalární součin a vektorový součin vektorů z~$V_3$ nejsou závislé na volbě bodu $O\in\E_3$. \poznamka %%%%%%%%% Volme pevně bod $O\in\E_3$. Uvažujme zobrazení, které každému vektoru $\vec u_O\in U_O$ přiřadí $\vec u\in V_3$ tak, že $\vec u_O$ je reprezentantem vektoru $\vec u$ začínajícím v bodě $O$. Toto zobrazení je prosté a na. Navíc je lineární. Jedná se tedy o~izomorfismus. Všechny pojmy, které jsme definovali na $U_O$ lze prostřednictvím tohoto izomorfismu definovat i na lineárním prostoru~$V_3$. Například: \definice [baseV3] %%%%%%%%% {\em Ortonormální báze na $V_3$} je taková báze, jejíž reprezentanti začínající v nějakém bodě~\hbox{$O\in\E_3$} tvoří ortonormální bázi v~$U_O$. Viz příklad\cite[baseUO]. {\em Kladně orientovaná báze na~$V_3$} ja taková báze, jejíž reprezentanti začínající v~nějakém bodě~$O\in\E_3$ tvoří kladně orientovanou bázi v~$U_O$. Viz definici\cite[kladneUO]. \inl[báze: ortonormální, ortonormální: báze] \inl[báze: kladně orientovaná, kladně orientovaná: báze] \okraj Součet bodu s~vektorem | Soucet bodu s vektorem \poznamka %%%%%%%%% Pro potřeby popisů geometrických objektů se kromě součtu volných vektorů mezi sebou hodí definovat součet bodu s volným vektorem a rozdíl bodů. \definice [bod+vektor] %%%%%%%%% Pro každý bod $A\in\E_3$ a volný vektor $\vec v\in V_3$ existuje právě jeden reprezentant vektoru~$\vec v$, který začíná v bodě $A$. Koncový bod $B\in\E_3$ tohoto reprezentanta nazýváme {\em součtem bodu $A$ s~vektorem~$\vec v$} a značíme $B=A+\vec v$. \inl[součet: bodu s vektorem] Pro každé dva body $A\in\E_3$, $B\in\E_3$ existuje $\vec v\in V_3$ takový, že orientovaná úsečka s počátkem v~bodě~$A$ a koncem v bodě~$B$ je reprezentantem tohoto vektoru. Vektor $\vec v$ nazýváme {\em rozdílem $B-A$}, píšeme $\vec v = B-A$. Vektor $B-A$ se často značí symbolem $\overrightarrow {AB}$. \inl[rozdíl: bodů] \poznamka %%%%%%%%% Shrneme si, co s čím můžeme sčítat a s jakým výsledkem: $$\eqalign{ \hbox{volný vektor $\pm$ volný vektor} &= \hbox{volný vektor}, \cr \hbox{bod $\pm$ volný vektor} &= \hbox{bod}, \cr \hbox{bod + bod} &\dots{} \hbox{\it nemá smysl}, \cr \hbox{bod $-$ bod} &= \hbox{volný vektor}.} $$ Definice sčítání bodu s vektorem a odčítání bodů se vzájemně doplňují, tj.~platí $A + (B-A) = B$. \okraj Přímka a rovina | Primka a rovina \priklad [popisprimky] %%%%%%%% V návaznosti na příklad\cite[UOznovu] a definici\cite[bod+vektor] dostáváme následující popisy přímek a rovin v~bodovém prostoru $\E_3$. Nechť $\vec u\in V_3$ je nenulový vektor, $A\in\E_3$. Pak $$ p = A + \lob<\vec u> = \{X\in\E_3;\, X = A + t\,\vec u,\, t\in\R \} $$ je přímka v bodovém prostoru $\E_3$, která prochází bodem $A$ a je rovnoběžná se všemi reprezentanty vektoru $\vec u$. Vektor~$\vec u$ se nazývá {\em směrovým vektorem\/} přímky~$p$. Nechť dále $\{\vec u, \vec v\}\subset V_3$ jsou lineárně nezávislé vektory. Pak $$ \varrho = A + \lob<\vec u, \vec v> = \{X\in\E_3;\, X = A + r\,\vec u + s\,\vec v, \, r\in\R,\, s\in\R \} $$ je rovina v bodovém prostoru $\E_3$, která prochází bodem $A$. Navíc reprezentanti vektorů $\vec u$ a $\vec v$ s~počátkem v bodě~$A$ leží uvnitř této roviny. Vektorům $\vec u$, $\vec v$ říkáme {\em směrové vektory roviny}. \inl[přímka, rovina] \inl[směrový: vektor: přímky] \inl[směrový: vektor: roviny] Existuje nekonečně mnoho bodů a nekonečně mnoho směrových vektorů, pomocí kterých je určena stejná přímka resp. stejná rovina. S touto nejednoznačností jsme se už setkali při řešení soustav lineárních rovnic v~poznámkách\cite[popis-reseni] a\cite[ruznareseni]. \okraj Souřadnicový systém v $\E_3$ | Souradnicovy system v E3 \definice [soursystem] %%%%%%%%% Libovolný bod $O\in \E_3$ společně s uspořádanou bází $(B)=(\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3)$ vektorů z~$V_3$ tvoří {\em souřadnicový systém bodového prostoru $\E_3$}. {\em Souřadnice vektoru $\vec u\in V_3$ v tomto souřadnicovém systému} definujeme jako souřadnice vektoru $\vec u$ vzhledem k uspořádané bázi~$(B)$. {\em Souřadnice bodu $A\in \E_3$ v tomto souřadnicovém systému} definujeme jako souřadnice vektoru $A-O$. Vektor $A-O$ nazýváme v tomto kontextu {\em radiusvektorem bodu $A$}. \inl[souřadnice: bodu, souřadnice: vektoru, souřadnicový systém] \inl[radiusvektor] Přímky $O+\lob<\vec b_1>$, $O+\lob<\vec b_2>$, $O+\lob<\vec b_3>$ jsou {\em osy souřadnicového systému}. \inl[osa: souřadnic] Je-li báze $(B)$ ortogonální, nazýváme odpovídající souřadnicový systém {\em pravoúhlý}. Je-li báze $(B)$ ortonormální, nazýváme odpovídající souřadnicový systém {\em kartézský}. Je-li báze $(B)$ kladně orientovaná, mluvíme též o~{\em kladně orientovaném souřadnicovém systému}. \inl[pravoúhlý: souřadnicový systém, souřadnicový: systém: pravoúhlý] \inl[kartézský: souřadnicový systém, souřadnicový: systém: kartézský] \inl[kladně orientovaný: souřadnicový systém, souřadnicový: systém: kladně orientovaný] \poznamka %%%%%%%%% Uvědomíme si podrobně, co to znamená, že bod $A$ má souřadnice $(a_1,a_2,a_3)$ vzhledem k~nějakému souřadnicovému systému $(O,(\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3))$. Podle výše uvedené definice to znamená, že vektor $A-O$ má souřadnice $(a_1,a_2,a_3)$, což podle definice souřadnic vektoru vzhledem k bázi znamená, že $$ (A-O) = a_1\vec b_1 + a_2\vec b_2 + a_3\vec b_3. $$ \veta [sourbodu] %%%%% Zvolme pevně souřadnicový systém bodového prostoru $\E_3$, vzhledem ke kterému budeme udávat souřadnice bodů a vektorů. Tento souřadnicový systém nemusí být nutně kartézský. Nechť $A\in\E_3$ má souřadnice $(a_1,a_2,a_3)$, $B\in\E_3$ má souřadnice $(b_1,b_2,b_3)$, $\vec u\in V_3$ má souřadnice $(u_1,u_2,u_3)$, $\vec v\in V_3$ má souřadnice $(v_1,v_2,v_3)$, $\alpha\in\R$, $\beta\in\R$. Potom platí: (1) Vektor $\alpha\,\vec u + \beta\,\vec v$ má souřadnice $\alpha\,(u_1,u_2,u_3) + \beta\,(v_1,v_2,v_3)$. (2) Bod $A+\vec u$ má souřadnice $(a_1,a_2,a_3)+(u_1,u_2,u_3)$. (3) Vektor $\overrightarrow{AB}=B-A$ má souřadnice $(b_1,b_2,b_3)-(a_1,a_2,a_3)$. \dukaz %%%%%% Ad (1). Zobrazení, které přiřadí vektorům jejich souřadnice, je podle věty\cite[sour-lin] lineární. Ad (2). $(A-O)+\vec u$ je radiusvektor bodu $A+\vec u$. Dále se použije vlastnost~(1). Ad (3). Využijeme například toho, že $A+(B-A)=B$. \poznamka %%%%%%%%% Protože podle předchozí věty se operace sčítání bodů s vektory dají převést na operace sčítání uspořádaných trojic jejich souřadnic, bývá často zvykem ztotožnit body z $\E_3$ a vektory z~$V_3$ s~uspořádanými trojicemi jejich souřadnic. Píšeme tedy například $A=(1,2,-5)$ a čteme, že bod $A$ má souřadnice $(1,2,-5)$. V jiné literatuře (např.\bcite[demlova]) se skutečnost, že bod $A$ má dány souřadnice, zapisuje bez rovnítka a do hranatých závorek. Náš příklad se souřadnicemi $(1,2,-5)$ by vypadal takto: $A[1,2,-5]$. Osobně toto značení nemám v oblibě, protože mezi označením bodu $A$ a jeho souřadnicemi $[1,2,-5]$ chybí symbol pro sloveso. \priklad %%%%%%%% Vypočteme vzdálenost dvou bodů $A\in\E_3$ a $B\in\E_3$, pokud známe jejich souřadnice v~kartézském souřadnicovém systému. Vzdálenost bodů $A$ a $B$ je rovna velikosti vektoru $B-A$ a tu spočítáme podle definice velikosti jako $\sqrt{(B-A)\cdot(B-A)}$. Přitom skalární součin spočítáme podle věty\cite[soucin-dle-souradnic]. Uvedeme konkrétní příklad. Nechť $A=(1,2,-5)$, $B=(3,2,1)$. Vzdálenost těchto bodů je rovna velikosti vektoru $B-A$, který má podle věty\cite[sourbodu] souřadnice $(2,0,6)$. Počítáme velikost: $$ \|(2,0,6)\| = \sqrt{(2,0,6)\cdot(2,0,6)} = \sqrt{2^2+0^2+6^2} = \sqrt{40}. $$ Uvedený postup s~použitím věty\cite[soucin-dle-souradnic] lze použít jen pro souřadnice v~kartézském souřadnicovém systému, protože tato věta předpokládá souřadnice vektoru vzhledem k~ortonormální bázi. \inl[vzdálenost: bodů] \priklad %%%%%%%% Vypočteme obsah trojúhelníka v bodovém prostoru $\E_3$, pokud jsou dány kartézské souřadnice jeho vrcholů $A, B, C$. Podle věty\cite[vs-geom] je obsah rovnoběžníka roven velikosti vektorového součinu jeho stran. Trojúhelník pak bude mít obsah poloviční. Obsah trojúhelníka tedy můžeme počítat takto: $$ P = {\|(B-A)\times (C-A)\| \over 2}. $$ \par\inl[obsah: trojúhelníka] Jsou-li dány kartézské souřadnice vrcholů třeba takto: $A=(1,2,2)$, $B=(2,-3,3)$, $C=(1,4,5)$, pak stačí dosadit do právě odvozeného vzorce: $$\eqalign{ P &= {\bigl\|\bigl((2,-3,3)-(1,2,2)\bigr)\times \bigl((1,4,5)-(1,2,2)\bigr)\bigr\| \over 2} = {\|(1,-5,1)\times (0,2,3)\| \over 2} =\cr &= {\|(-17, -3, 2)\| \over 2} = {\sqrt{17^2 + 3^2 + 2^2} \over 2} = {\sqrt{302}\over 2}. } $$ Při výpočtu jsme použili nejen věty\cite[sourbodu], ale též věty\cite[vs-souradnice] pro výpočet vektorového součinu ze souřadnic a věty\cite[soucin-dle-souradnic] pro výpočet skalárního součinu, který jsme potřebovali na výpočet velikosti vektoru. Posledně zmíněné věty předpokládají souřadnice vzhledem k ortonormální bázi, a proto bylo nutné mít souřadnice bodů zadány v~{\it kartézském\/} systému souřadnic. \priklad %%%%%%%% Vypočteme objem čtyřstěnu, určeného vrcholy $A, B, C, D$. Tyto vrcholy jsou dány v~kartézských souřadnicích. Podle vět\cite[sms-souradnice] a\cite[sms-geom] je objem rovnoběžnostěnu roven absolutní hodnotě z~determinantu, ve kterém jsou v~řádcích napsány souřadnice jeho stran. Čtyřstěn bude mít objem šestinový, protože do rovnoběžnostěnu se vejde právě šest čtyřstěnů se shodným objemem. Kdo o tom pochybuje, rozkrájí si za domácí cvičení kostku tvrdého sýra na šest čtyřstěnů se stejným objemem. Nechť $\A$ je matice, která má v prvním řádku souřadnice vektoru $B-A$, ve druhém řádku souřadnice $C-A$ a ve třetím řádku souřadnice $D-A$. Pak objem čtyřstěnu $V$ je roven $|\det\A|/6$. Věta\cite[sms-souradnice] předpokládá ortonormální bázi, proto je potřeba pracovat se souřadnicemi bodů v~{\it kartézském\/} systému souřadnic. \inl[objem: čtyřstěnu] \okraj Rovnice přímky | Rovnice primky \priklad %%%%%%%% Ukážeme si, jak popíšeme přímku v~souřadnicovém systému. Podle příkladu\cite[popisprimky] a věty\cite[sourbodu] je přímka~$p$ procházející bodem $A=(a_1,a_2,a_3)$ se směrovým vektorem $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$ množinou takových bodů $X=(x,y,z)$, pro které platí: $$ X = A + t\,\vec u,\, t\in\R \quad \hbox{tj.}\quad (x,y,z) = (a_1, a_2, a_3) + t\,(u_1,u_2,u_3), t\in\R. $$ Po rozepsání této rovnosti do jednotlivých souřadnic dostáváme {\em parametrické rovnice přímky\/}: $$ \eqalign{ x &= a_1 + t\,u_1, \cr y &= a_2 + t\,u_2, \cr z &= a_3 + t\,u_3. \cr } $$ Pokud vypočítáme z každé rovnice parametr $t$ a výsledky položíme sobě rovny, dostáváme tzv.~{\em kanonickou rovnici přímky\/}: $$ {x-a_1 \over u_1} = {y-a_2 \over u_2} = {z-a_3 \over u_3}. $$ \par\inl[rovnice: přímky: parametrické, parametrické: rovnice: přímky] \inl[rovnice: přímky: kanonická, kanonická: rovnice: přímky] \priklad %%%%%%%% Popíšeme přímku, která prochází body $A=(1,2,3)$ a $B=(2,2,0)$. Směrovým vektorem přímky je například vektor $B-A=(1,0,-3)$ a přímka má tvar: $$ p = A + \lob = (1,2,3) + \lob<(1,0,-3)> = \bigl\{(x,y,z);\, (x,y,z) = (1,2,3) + t\,(1,0,-3),\,t\in\R\bigr\}. $$ Odtud dostáváme parametrické rovnice přímky: $$ \eqalign { x &= 1 + t, \cr y &= 2, \cr z &= 3 - 3t. } $$ a kanonický tvar: $$ {x-1 \over 1} = {y-2\over 0} = {z-3\over -3}. $$ Na zlomky v kanonickém tvaru pohlížíme jako na formální zápisy a nepozastavujeme se nad tím, že se tam může vyskytnout dělení nulou. Kanonický tvar nám poskytuje informaci o souřadnicích směrového vektoru ve jmenovatelích zlomků a souřadnice bodu $A\in p$ přečteme v~čitatelích zlomků. \priklad [vzdalenost-primka-bod] %%%%%%%% Ukážeme, jak spočítáme vzdálenost bodu $Q\in\E_3$ od přímky $p=A+\lob<\vec u>$. Tato vzdálenost je rovna výšce rovnoběžníka určeného stranami $Q-A$ a $\vec u$. Základna tohoto rovnoběžníka má velikost~$\|\vec u\|$. Platí tedy: $$ \hbox{vzdálenost bodu $Q$ od přímky $p$} = \hbox{výška rovnoběžníka} = {\hbox{obsah rovnoběžníka} \over \hbox{velikost základny}} = {\|(Q-A)\times \vec u\| \over \|\vec u\|}. $$ \par\inl[vzdálenost: bodu od přímky] \okraj Vzájemná poloha\hb dvou přímek | Vzajemna poloha dvou primek \priklad [dveprimky] %%%%%%%% Vyšetříme vzájemnou polohu dvou přímek $p=A+\lob<\vec u>$ a $q=B+\lob<\vec v>$. Jsou-li vektory $\vec u, \vec v, B{-}A$ lineárně nezávislé, pak přímky neleží ve společné rovině a jsou tedy {\em mimoběžné}. Níže ukážeme, jak vypočítáme vzdálenost těchto přímek. \inl[mimoběžky] Jsou-li vektory $\vec u, \vec v, B{-}A$ lineárně závislé, pak přímky leží ve společné rovině a mohou být různoběžné, rovnoběžné nebo totožné. Jsou-li v takovém případě vektory $\vec u, \vec v$ lineárně nezávislé, jsou přímky {\em různoběžné}. Níže ukážeme, jak vypočítáme průsečík a úhel mezi různoběžkami. Jsou-li konečně vektory $\vec u, \vec v$ lineárně závislé, jedná se o {\em rovnoběžky} a v případě, že bod $B\in p$, pak tyto rovnoběžky splývají v~přímku jedinou. Níže ukážeme, jak vypočítáme vzdálenost rovnoběžek. \inl[různoběžky] {\bf Vzdálenost dvou mimoběžek} počítáme z objemu rovnoběžnostěnu, určeného svými stranami $\vec u, \vec v, B{-}A$, který z jedné strany lze počítat jako absolutní hodnotu smíšeného součinu a z druhé strany je tento objem roven obsahu rovnoběžníka základny krát výška. Tato výška je přitom hledaná vzdálenost. Platí tedy: $$ \hbox{vzdálenost mimoběžek} = {\hbox{objem rovnoběžnostěnu} \over \hbox{obsah základny}} = {|(B-A)\cdot(\vec u\times\vec v)| \over \|\vec u\times\vec v\|} = {|\det\A| \over \|\vec u\times\vec v\|}, \rce(vzdalenostmimo) $$ kde matice $\A$ obsahuje postupně řádky se souřadnicemi vektorů $B-A$, $\vec u$, $\vec v$. {\bf Vzdálenost rovnoběžek} vypočítáme jako vzdálenost bodu na jedné rovnoběžce od rovnoběžky druhé. To jsme dělali v~příkladu\cite[vzdalenost-primka-bod]. Máme tedy už odvozený vzorec: $$ \hbox{vzdálenost rovnoběžek} = {\|(B-A)\times \vec u\|\over \|\vec u\|}. $$ {\bf Úhel mezi různoběžkami} je roven úhlu $\phi$ mezi vektory $\vec u$, $\vec v$, který spočítáme podle definice\cite[uhel]. Může se ale stát, že tento úhel vychází větší než $\pi/2$. V takovém případě je úhel mezi přímkami roven $\pi-\phi$. Tento vzorec vyplývá z~toho, že mezi různoběžkami můžeme měřit dva úhly a za \uv{oficiální} úhel mezi nimi považujeme ten menší z nich. Protože platí $|\cos\phi| = \cos\phi$ pro $0\le\phi\le\pi/2$ a $|\cos\phi| = \cos(\pi-\phi)$ pro $\pi/2<\phi\le\pi$, můžeme oba případy zahrnout do jediného vzorce, ve kterém píšeme absolutní hodnotu skalárního součinu: $$ \cos\phi = {|\vec u\cdot\vec v| \over \|\vec u\|\, \|\vec v\|}. \rce(uhelmimobezek) $$ {\bf Souřadnice průsečíku různoběžek} spočítáme jako společné řešení parametrických rovnic jednak pro přímku $p$ a jednak pro přímku $q$. \inl[vzdálenost: mimoběžek] \inl[úhel: přímek] \inl[vzdálenost: rovnoběžek] \inl[průsečík: různoběžek] \priklad %%%%%%%% Vyšetříme vzájemnou polohu přímek $p$ a $q$, které jsou dány svými parametrickými rovnicemi v kartézském souřadnicovém systému: $$ \let\quad=\relax p: ~~\matrix{x &{}= 1 + t\cr y &{}= \hfill 2t \cr z &{}= 2\hfill} \qquad q: ~~\matrix{x &{}= 3 + t\cr y &{}= 2 \hfill\cr z &{}= 1 - t}~~. $$ Z rovnic okamžitě vidíme souřadnice bodu, kterým přímka prochází a souřadnice směrového vektoru: $$ p = (1,0,2) + \lob<(1,2,0)>, \qquad q = (3,2,1) + \lob<(1,0,-1)>. $$ Při označení $A=(1,0,2)$, $B=(3,2,1)$ je $B-A=(2,2,-1)$. Zjistíme lineární závislost vektoru $B-A$ a směrových vektorů tak, že zapíšeme souřadnice těchto vektorů do matice a počítáme determinant: $$ \left| \matrix{2 & 2 &-1 \cr 1 & 2 & \phantom{+}0 \cr 1 & 0 & -1} \right| = 0. \rce (detprimek) $$ Zkoumané vektory jsou lineárně závislé, přímky tedy leží ve společné rovině. Protože směrové vektory $(1,2,0)$, $(1,0,-1)$ jsou lineárně nezávislé, $p$, $q$ jsou {\em různoběžky}. Úhel mezi různoběžkami počítáme podle vzorce\cite(uhelmimobezek): $$ \cos \phi = {|(1,2,0)\cdot(1,0,-1)| \over \|(1,2,0)\|\,\, \|(1,0,-1)\|} = {|1+0+0| \over \sqrt{1^2+2^2+0^2}\sqrt{1^1+0^2+1^2} } = {1\over \sqrt{10}}, \quad \hbox{tj.} \quad \phi = \arccos {1\over \sqrt{10}}. $$ Průsečík vychází z rovnic $x=x$, $y=y$, $z=z$, kde za souřadnice $x, y, z$ dosadíme pravé strany odpovídajících parametrických rovnic a u~přímky $q$ zvolíme pro parametr jiné označení: $$ \eqalign{ 1 + t &= 3 + s \cr 2t &= 2 \cr 2 &= 1 - s } $$ Soustava je sice \uv{přeurčena} (je zde více rovnic než neznámých), ale protože nám vyšel determinant\cite(detprimek) nulový, má tato soustava určitě řešení. Řešením je v tomto případě $t = 1$, $s = -1$. Dosazením třeba $t=1$ do parametrických rovnic přímky $p$ dostáváme souřadnice průsečíku: $P=(1,0,2) + 1\cdot(1,2,0) = (2,2,2)$. \priklad %%%%%%%% Vyšetříme vzájemnou polohu přímky $p$ procházející body $A$, $B$ s přímkou $q$ procházející body $C$, $D$. Body jsou dány v~kartézských souřadnicích takto: $A=(1,2,3)$, $B=(3,2,1)$, $C=(1,0,2)$, $D=(4,2,3)$. Směrový vektor přímky $p$ je třeba $B-A=(2,0,-2)\sim(1,0,-1)$. Za vlnkou jsme napsali sice jiný směrový vektor, ale je to rovněž směrový vektor přímky $p$ a navíc má souřadnice, se kterými se nám bude pohodlněji pracovat. Směrový vektor přímky $q$ je třeba $D-C=(3,2,1)$. Máme tedy: $$ p = (1,2,3) + \lob<(1,0,-1)>, \qquad q = (1,0,2) + \lob<(3,2,1)>. $$ Snadno ověříme, že vektory $A-C, (1,0,-1), (3,2,1)$ jsou lineárně nezávislé, takže přímky jsou {\em mimoběžné}. Determinant matice, obsahující souřadnice těchto vektorů, je roven~$-6$. Vzdálenost mimoběžek počítáme podle vzorce\cite(vzdalenostmimo): $$ { |\det\A|\over \|(1,0,-1)\times(3,2,1)\| } = { | -6 | \over \|(2,-4,2)\| } = { 6 \over \sqrt{2^2 + 4^2 + 2^2} } = {6\over \sqrt{24}}. $$ \okraj Rovnice\hb roviny | Rovnice roviny \priklad %%%%%%%% Ukážeme si, jak můžeme popsat rovinu $\varrho$ v souřadnicovém systému. Nechť je rovina~$\varrho$ určena bodem $A=(a_1,a_2,a_3)$, kterým prochází, a dvěma lineárně nezávislými směrovými vektory \hbox{$\vec u=(u_1,u_2,u_3)$}, $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$. Podle příkladu\cite[popisprimky] je rovina~$\varrho$ množinou takových bodů $X=(x,y,z)$, pro které platí: $$ X = A + t\,\vec u + s\,\vec v, t\in\R, s\in\R, \quad \hbox{tj.}\quad (x,y,z) = (a_1,a_2,a_3) + t\,(u_1,u_2,u_3) + s\,(v_1,v_2,v_3), t\in\R, s\in\R. $$ Rozepsáním do jednotlivých souřadnic nám vycházejí {\em parametrické rovnice roviny\/}: $$ \eqalign{ x &= a_1 + t\,u_1 + s\,v_1 \cr y &= a_2 + t\,u_2 + s\,v_2 \cr z &= a_3 + t\,u_3 + s\,v_3 \cr } $$ Na rozdíl od parametrických rovnic přímky se s parametrickými rovnicemi roviny moc často nesetkáme. Místo toho se pracuje s~{\em normálovým vektorem roviny}, což je libovolný nenulový vektor $\vec n$, který je kolmý na rovinu~$\varrho$. Rovina je určena jedním bodem $A=(a_1,a_2,a_3)$, kterým prochází, a normálovým vektorem $\vec n=(a,b,c)$. Rovina je pak množinou takových bodů $X=(x,y,z)$, pro které platí: $$ (X-A)\kolmy \vec n, \quad \hbox{tj.}\quad (X-A)\cdot\vec n = 0, \quad \hbox{tj.}\quad (x-a_1, y-a_2, z-a_3)\cdot (a,b,c) = 0. $$ V kartézském souřadnicovém systému můžeme pro výpočet skalárního součinu použít větu\cite[soucin-dle-souradnic] a dostáváme {\em normálovou rovnici roviny}, nebo prostě jen {\em rovnici roviny\/}: $$ ax + by + cz + d = 0, \quad \hbox{kde}\quad d = - a a_1 - b a_2 - c a_3. $$ Uvědomíme si, že v rovnici roviny jsou přímo čitelné souřadnice normálového vektoru roviny $\vec n=(a,b,c)$, což je velmi užitečná informace. \inl[rovnice: roviny: parametrické, parametrické: rovnice: roviny] \inl[rovnice: roviny: normálová, normálová: rovnice: roviny, rovnice: roviny] \inl[normálový: vektor, vektor: normálový] \priklad %%%%%%%% Ukážeme si, jak je možné přejít od směrových vektorů $\vec u$, $\vec v$ roviny $\varrho$ k~normálové rovnici roviny. Protože směrové vektory $\vec u$ a $\vec v$ jsou lineárně nezávislé, je $\vec n=\vec u\times \vec v$ normálovým vektorem roviny. Je totiž podle definice vektorového součinu kolmý na oba vektory $\vec u$ a $\vec v$ a tedy je kolmý na celou rovinu~$\varrho$. Abychom našli konstanty $a,b,c$ použité v~normálové rovnici roviny, stačí tedy vypočítat vektorový součin $\vec u\times \vec v$. Konstantu $d$ dopočítáme buď ze skutečnosti, že je dán bod $A\in\E_3$, který v~rovině leží, nebo vyhodnocením skalárního součinu jako v~předchozím příkladu. Existuje ještě jeden způsob sestavení normálové rovnice ze směrových vektorů $\vec u$, $\vec v$. Rovina $\varrho$, která prochází bodem $A\in\E_3$, je totiž také množinou bodů $X\in\E_3$, pro které je trojice vektorů $(X-A), \vec u, \vec v$ lineárně závislá. Jinými slovy pro matici, která obsahuje v řádcích souřadnice těchto vektorů, musí platit, že má nulový determinant. Při $A=(a_1,a_2,a_3)$, $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$, $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$, $X=(x,y,z)$ nám vychází: $$ \left| \matrix {x-a_1 & y-a_2 & z-a_3 \cr u_1 & u_2 & u_3 \cr v_1 & v_2 & v_3} \right| = 0. $$ Výpočtem tohoto determinantu dostáváme normálovou rovnici roviny. \priklad %%%%%%%% Najdeme rovnici roviny, která prochází body $A=(1,2,3)$, $B=(1,1,1)$, $C=(2,0,2)$. Jedná se o rovinu, která prochází například bodem $A$ a je určena směrovými vektory $B-A$, $C-A$. Jinými slovy $$ \varrho = A + \lob< B-A, C-A > = (1,2,3) + \lob<(0, -1, -2), (1, -2, -1)>. $$ Je tedy $\varrho$ množina takových bodů $X=(x,y,z)$, pro které platí $$ (x,y,z) = (1,2,3) + t\,(0, -1, -2) + s\,(1, -2, -1),\, t\in\R,\, s\in\R. $$ Odtud dostáváme parametrické rovnice roviny $\varrho$: $$ \eqalign{ x &= 1 + s \cr y &= 2 - t - 2s \cr z &= 3 - 2t - s } $$ Normálový vektor roviny $\varrho$ spočítáme jako vektorový součin směrových vektorů: $$ \vec n = (0, -1, -2) \times (1, -2, -1) = (-3, -2, 1). $$ Rovnice roviny má tedy tvar $-3x -2y + z + d = 0$. Konstantu $d\in\R$ najdeme například na základě skutečnosti, že $A\in\varrho$, takže musí platit $$ -3\cdot 1 -2\cdot 2 + 3 + d = 0, \quad \hbox{tj.} \quad d = 4 \quad\hbox{a rovnice roviny je:} \quad -3x -2y + z + 4 = 0. $$ Druhý způsob sestavení rovnice roviny výpočtem determinantu vypadá takto: $$ \left| \matrix {x-1 & y-2 & z-3 \cr 0& -1& -2 \cr 1& -2& -1} \right| = 0, \quad\hbox{tj.}\quad -3x -2y + z + 4 = 0. $$ \priklad [bod-rovina] %%%%%%%% Najdeme vzdálenost bodu $Q\in\E_3$ od roviny~$\varrho$. Nechť $A$ je libovolný bod roviny $\varrho$. Vzdálenost bodu $Q$ od roviny $\varrho$ je rovna absolutní hodnotě kolmého průmětu vektoru $Q-A$ do normálového vektoru~$\vec n$ roviny~$\varrho$. Na výpočet velikosti kolmého průmětu vektoru použijeme skalární součin podle definice\cite[kolmyprumet]. Dostáváme: $$ \hbox{vzdálenost bodu od roviny} = {|(Q-A)\cdot \vec n| \over \|\vec n\|}. \rce(bod-od-roviny) $$ \par\inl[vzdálenost: bodu od roviny] Nechť například $Q=(1,4,3)$ a rovina $\varrho$ má rovnici $3x - 2y + 4z + 6 = 0$ v~kartézských souřadnicích. Z~rovnice roviny okamžitě vidíme souřadnice normálového vektoru $\vec n=(3,-2,4)$. Musíme ještě najít aspoň jedno řešení rovnice roviny, abychom získali souřadnice bodu $A\in\varrho$. Při $x=0$ a $z=0$ vychází $y=3$, takže použijeme bod $A=(0,3,0)$, $Q-A=(1,1,3)$. Hledaná vzdálenost je: $$ v = {|(1,1,3)\cdot (3,-2,4)| \over \|(3,-2,4)\| } = {| 1\cdot3 + 1\cdot(-2) + 3\cdot4 | \over \sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2}} = {13\over \sqrt{29}}. $$ \okraj Vzájemná poloha\hb přímky a roviny | Vzajemna poloha primky a roviny \priklad %%%%%%%% Vyšetříme vzájemnou polohu přímky $p=A+\lob<\vec u>$ a roviny~$\varrho$, která prochází daným bodem $B$ a má normálový vektor~$\vec n$. Je-li $\vec u\kolmy\vec n$, neboli $\vec u\cdot\vec n=0$, pak je přímka rovnoběžná s rovinou. V takovém případě ještě může nastat situace, kdy celá přímka leží v rovině, což zjistíme například podle toho, že $(B-A)\kolmy\vec n$, neboli $(B-A)\cdot\vec n=0$. Pokud je přímka rovnoběžná s rovinou, určíme vzdálenost přímky~$p$ od roviny~$\varrho$ stejně jako vzdálenost bodu~$A\in p$ od roviny~$\varrho$. To jsme se naučili v~předchozím příkladě\cite[bod-rovina]. Je-li $\vec u\cdot\vec n\ne 0$, pak přímka $p$ protíná rovinu $\varrho$ v~jediném bodě. Průsečík najdeme tak, že dosadíme hodnoty $x, y, z$ z~parametrických rovnic přímky do rovnice roviny. Tím dostaneme hodnotu parametru, který nám dá po dosazení do parametrických rovnic souřadnice hledaného průsečíku. Tento postup ilustrujeme v~následujícím příkladě. Úhel mezi přímkou $p$ protínající rovinu $\varrho$ a touto rovinou je roven $\alpha=\pi/2-\phi$, kde $\phi$ je úhel mezi směrovým vektorem přímky $\vec u$ a normálovým vektorem roviny $\vec n$. Pokud $\phi$ vychází větší než $\pi/2$, vezmeme místo něj úhel $\pi-\phi$ stejně, jako jsme to dělali při zjišťování úhlu mezi přímkami. Platí: $$ \sin\alpha = \cos(\pi/2 - \alpha) = \cos\phi = {|\vec u\cdot\vec n|\over \|\vec u\|\,\,\|\vec n\|}, \quad\hbox{tj.}\quad \alpha = \arcsin {|\vec u\cdot\vec n|\over \|\vec u\|\,\,\|\vec n\|}\,. \rce(uhelprimky+roviny) \inl[úhel: přímky a roviny, vzdálenost: přímky od roviny, průsečík: přímky s rovinou] $$ \priklad %%%%%%%% Vyšetříme vzájemnou polohu přímky $p=(1,2,3) + \lob<(1,0,2)>$ a roviny~$\varrho$, která prochází bodem $B=(3,3,1)$ a má normálový vektor $\vec n=(2,1,0)$. Souřadnice jsou dány v~kartézském souřadnicovém systému. Na základě skutečnosti, že $B\in\varrho$, můžeme doplnit konstantu~$d$ do rovnice roviny, kterou zatím máme ve tvaru $2x + y + 0z + d = 0$. Dosazením souřadnic bodu $B$ máme $2\cdot3 + 3 + d = 0$, takže $d=-9$ a rovnice roviny~$\varrho$ je ve tvaru $2x + y - 9 = 0$. Směrový vektor přímky $(1,0,2)$ není kolmý na normálový vektor roviny $(2,1,0)$, protože skalární součin $(1,0,2)\cdot(2,1,0)=2$. Přímka tedy protíná rovinu. Spočítáme úhel mezi přímkou a rovinou podle vzorce\cite(uhelprimky+roviny): $$ \alpha = \arcsin {|(1,0,2)\cdot(2,1,0)| \over \|(1,0,2)\|\,\,\|(2,1,0)\| } = \arcsin {2\over \sqrt{5}\sqrt{5}} = \arcsin {2\over 5}\,. $$ Nyní spočítáme průsečík přímky~$p$ s rovinou $\varrho$. Do rovnice roviny dosadíme parametrické rovnice přímky $x=1+t$, $y=2$, $z=3+2t$: $$ 2\cdot(1+t) + 2 - 9 = 0, \quad\hbox{tj.}\quad 2t - 5 = 0, \quad\hbox{tj.}\quad t = {5\over 2}\,. $$ Průsečík má souřadnice $P=(1,2,3) + {5\over 2}\,(1,0,2) = ({7\over2},2,8)$. \okraj Vzájemná poloha\hb dvou rovin | Vzajemna poloha dvou rovin \priklad [dveroviny] %%%%%%%% Vyšetříme vzájemnou polohu dvou rovin. Nechť rovina $\varrho$ prochází bodem $A$ a má normálový vektor $\vec m$ a rovina $\sigma$ prochází bodem $B$ a má normálový vektor $\vec n$. Pokud jsou vektory $\vec m$ a $\vec n$ lineárně nezávislé, roviny se protínají v přímce $p$. Tuto průsečnici najdeme jako množinu všech řešení soustavy dvou lineárních rovnic rovin~$\varrho$ a $\sigma$ o třech neznámých $x, y, z$. Nebo můžeme vypočítat směrový vektor průsečnice jako vektorový součin $\vec u=\vec m\times\vec n$, protože průsečnice musí být kolmá k~oběma normálovým vektorům. I v tomto případě ale musíme najít ještě aspoň partikulární řešení zmíněné soustavy dvou lineárních rovnic, abychom mohli průsečnici popsat ve tvaru \hbox{$p=P+\lob<\vec u>$}. Pokud jsou vektory $\vec m$ a $\vec n$ lineárně závislé, roviny jsou rovnoběžné nebo splývají. Druhý případ poznáme tak, že je $B\in\varrho$. Vzdálenost rovnoběžných rovin $\varrho$ a $\sigma$ vypočítáme jako vzdálenost bodu $B\in\sigma$ od roviny $\varrho$, viz příklad\cite[bod-rovina]. Úhel mezi dvěma různoběžnými rovinami $\varrho$ a $\sigma$ je shodný s úhlem $\phi$ mezi vektory $\vec m$ a $\vec n$ až na to, že pokud vychází tento úhel větší než $\pi/2$, bereme místo něj hodnotu $\pi-\phi$ (podobně jako při měření úhlu mezi přímkami). Dostáváme tedy vzorec: $$ \phi = \arccos {|\vec m\cdot\vec n| \over \|\vec m\|\, \|\vec n\|}\,. \rce(uhelrovin) $$ \par\inl[úhel: rovin, vzdálenost: rovin, průsečnice: rovin] \priklad %%%%%%%% Jsou dány roviny $\varrho$ a $\sigma$ svými rovnicemi v kartézských souřadnicích: $$ \eqalign{ \varrho: \qquad & x + y + 2z - 1 = 0, \cr \sigma: \qquad & x - y \phantom{{}+ 2z} + 1 = 0. } \rce(soustavarovin) $$ Vyšetříme jejich vzájemnou polohu. Normálový vektor roviny~$\varrho$ je $(1,1,2)$ a normálový vektor roviny~$\sigma$ je $(1,-1,0)$. Tyto dva vektory jsou lineárně nezávislé, takže se roviny protínají. Množina všech řešení soustavy\cite(soustavarovin) je $$ p=(0,1,0) + \lob<(-1,-1,1)>, $$ což je průsečnice rovin~$\varrho$ a $\sigma$. Úhel mezi rovinami je $$ \phi = \arccos {|(1,1,2)\cdot(1,-1,0)| \over \|(1,1,2)\|\,\,\|(1,-1,0)\|} = \arccos 0 = {\pi\over2}, $$ takže roviny jsou na sebe kolmé. \priklad %%%%%%%% Jsou dány roviny $\varrho$ a $\sigma$ svými rovnicemi v kartézských souřadnicích: $$ \eqalign{ \varrho: \qquad & \mathbin{\phantom{-}}x + y - 2z - 1 = 0 \cr \sigma: \qquad & -x - y + 2z + 3 = 0 } \rce(soustavarovin2) $$ Vyšetříme jejich vzájemnou polohu. Normálový vektor roviny~$\varrho$ je $(1,1,-2)$ a normálový vektor roviny~$\sigma$ je $(-1,-1,2)$. Tyto dva vektory jsou lineárně závislé, takže roviny~$\varrho$ a $\sigma$ jsou rovnoběžné. Protože soustava\cite(soustavarovin2) nemá žádné řešení, roviny nesplývají. Najdeme si nějaké body $A\in\varrho$, $B\in\sigma$. Při $y=0$, $z=0$ vychází pro rovinu~$\varrho$ souřadnice $x=1$ a pro rovinu $\sigma$ vychází $x=3$. Máme tedy $A=(1,0,0)$, $B=(3,0,0)$. Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin spočítáme jako vzdálenost bodu $B$ od roviny $\varrho$ podle vzorce\cite(bod-od-roviny): $$ v = {|(B-A)\cdot \vec n| \over \|\vec n\|} = {|(2,0,0)\cdot (1,1,-2)| \over \|(1,1,-2)\|} = {2\over \sqrt{1^2+1^2+2^2} } = {2\over \sqrt{6}}\,. $$ \okraj Souměrné body | Soumerne body \priklad %%%%%%%% Najdeme bod $Q'$, který je souměrný s~bodem $Q$ podle roviny~$\varrho$. Nechť má tato rovina v~kartézských souřadnicích rovnici $x-2y+z-1=0$ a nechť je $Q=(-1,5,0)$. Body $Q$ a $Q'$ leží na společné kolmici~$k$ k rovině~$\varrho$, jsou stejně vzdáleny od roviny a leží v~opačných částech prostoru $\E_3$, které rovina~$\varrho$ ohraničuje. Směrový vektor kolmice $k$ je roven normálovému vektoru roviny~$\varrho$, takže je $$ k=(-1,5,0)+\lob<(1,-2,1)>. $$ Dosadíme hodnoty $x,y,z$ z~parametrických rovnic kolmice do rovnice roviny: $$ x=-1+t, \quad y=5-2t, \quad z=t, \quad (-1+t) -2\,(5-2t) + t -1 = -12 + 6t = 0, \quad\hbox{tj.}\quad t = 2. $$ Pokud pro $t=2$ získáme průsečík kolmice s rovinou, pak pro dvojnásobnou hodnotu parametru $t=4$ dostaneme hledaný bod $Q'$. Je tedy $Q'=(-1,5,0) + 4\,(1,-2,1) = (3,-3,4)$. \inl[bod: souměrný: podle roviny] \priklad %%%%%%%% Najdeme bod $Q'$, který je souměrně sdružený podle přímky $p=A+\lob<\vec u>$ s~bodem~$Q$. Body $Q$ a $Q'$ leží na společné přímce $k$, která je kolmá na přímku~$p$ a protíná ji. Mají stejnou vzdálenost od průsečíku $P$ a leží na opačných polopřímkách přímky $k$, které mají počátek v~bodě~$P$. Přímka~$k$ leží v~rovině~$\sigma$, která je kolmá na vektor $\vec u$, takže $\vec u$ je normálovým vektorem této roviny. Průsečík~$P$ spočítáme jako průsečík roviny $\sigma$ s~přímkou $p$ a pro hledaný bod $Q'$ platí $Q' = P + (P-Q)$. Nechť jsou například dány kartézské souřadnice $Q=(-4,5,8)$, $A=(-6,1,1)$, $\vec u=(5,1,3)$. Rovnice roviny $\sigma$ je $5x+y+3z+d=0$. Protože $Q\in\sigma$, dostáváme $d=-9$, takže rovina $\sigma$ je určena rovnicí $5x+y+3z-9=0$. Spočítáme dále průsečík přímky~$p$ s rovinou~$\sigma$: $$ 5\,(-6+5t) + (1+t) + 3\,(1+3t) - 9 = -35 + 35t = 0, \quad\hbox{tj.}\quad t = 1. $$ Průsečík přímky $p$ s rovinou $\sigma$ tedy je $P=(-6,1,1) + 1\,(5,1,3) = (-1,2,4)$. Nyní spočítáme souřadnice hledaného bodu: $$ Q' = (-1,2,4) + (P-Q) = (-1,2,4) + (3,-3,-4) = (2,-1,0). $$ \par\inl[bod: souměrný: podle přímky] \okraj Tři roviny | Tri roviny \priklad %%%%%%%% Ukážeme geometrickou interpretaci množiny řešení soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých. Ztotožníme-li uspořádanou trojici $(x,y,z)$ s bodem v $\E_3$, pro který jsou $(x,y,z)$ jeho souřadnice vzhledem k nějakému pevně zvolenému souřadnicovému systému, můžeme mluvit o množinách řešení soustavy jako o bodech, přímkách a rovinách. Pak jsou jednotlivé rovnice soustavy též rovnicemi rovin. Tři rovnice v soustavě znamenají, že pracujeme se třemi rovinami. Množina všech řešení takové soustavy je pak společným průnikem všech tří rovin. Dvě rovnice jsou rovnicemi stejné roviny právě tehdy, když jedna rovnice je násobkem druhé. Pro další rozbor tento případ vyloučíme a budeme tedy pracovat se třemi rovinami, z~nichž žádné dvě nejsou totožné. Označíme ještě symbolem $M_0$ lineární prostor řešení přidružené homogenní soustavy. Případ $\dim M_0 = 3$ můžeme vyloučit, protože rovnice roviny nemohou mít všechny koeficienty nulové. Má-li soustava řešení, pak nemůže $\dim M_0 = 2$, protože to by znamenalo, že všechny tři roviny jsou totožné. Takový případ jsme před chvílí rovněž vyloučili. Má-li soustava řešení a je-li $\dim M_0 = 1$ (tj. hodnost matice soustavy je rovna~2), pak množina všech řešení tvoří přímku, která je společnou průsečnicí všech tří rovin. Má-li soustava jediné řešení (tj. hodnost matice soustavy je rovna~3), pak toto řešení tvoří bod~$P$, který je společným průsečíkem všech tří rovin. Každé dvě roviny mají společnou průsečnici a tyto tři průsečnice se rovněž protínají v~bodě~$P$. Je-li množina řešení prázdná (tj. hodnost matice soustavy je 2 a rozšířené matice soustavy je~3), pak roviny jsou buď všechny tři vzájemně rovnoběžné, nebo jsou dvě roviny rovnoběžné a třetí je protíná nebo se tyto tři roviny protínají každá s každou v nějaké průsečnici a tyto tři průsečnice jsou rovnoběžné. K rozlišení těchto případů můžeme použít testy na lineární závislost a nezávislost normálových vektorů odpovídajících rovin podobně, jako v příkladě\cite[dveroviny]. \icviceni 9 \fi %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Polynomy | Polynomy %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \poznamka %%%%%%%%% S polynomy jsme se v tomto textu už na mnoha místech setkali. Pracovali jsme s~nimi jako s funkcemi danými jistým vzorcem a shledali jsme, že množina polynomů tvoří lineární prostor. V~této kapitole se na polynomy podíváme poněkud důkladněji a budeme vyšetřovat zejména vlastnosti jejich kořenů. \okraj Definice\hb polynomu | Definice polynomu \poznamka %%%%%%%%% Na polynom se můžeme dívat dvěma pohledy. Buď jako na funkci danou jistým vzorcem (definice\cite[dpolf]) nebo polynom ztotožníme s tím vzorečkem samotným (definice\cite[dpolv]). Každý přístup vede k jinému způsobu porovnávání dvou polynomů, sčítání polynomů a násobení polynomu konstantou nebo polynomem. Zavedeme tedy lineární prostor polynomů jednak jako podprostor funkcí se sčítáním a násobením obvyklým pro funkce. Dále zavedeme jiný lineární prostor polynomů jako vzorečků se sčítáním a násobením těch vzorečků. Nakonec ukážeme, že tyto dva lineární prostory jsou izomorfní, tedy, že mezi polynomy jako funkcemi a polynomy jako vzorečky existuje vzájemně jednoznačný vztah. Pokud se čtenář nechce zatěžovat intuitivně samozřejmými úvahami o tom, že polymom vnímaný jako vzoreček podle definice\cite[dpolv] je víceméně totéž, co polynom vnímaný jako funkce podle definice\cite[dpolf], může následující text přeskočit a pokračovat až definicí\cite[defstup]. \definice [dpolf] %%%%%%%%% {\em Polynom\/} je reálná funkce reálné proměnné, tedy $p:\R\to\R$, která má pro všechna $x\in\R$ funkční hodnotu $p(x)$ danou vzorcem $$ p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n, \rce(defpol) $$ kde $a_0, \ldots, a_n$ jsou nějaká reálná čísla, která nazýváme {\em koeficienty\/} polynomu. Jinými slovy: je-li funkce $p$ polynomem, existuje přirozené číslo $n$ a konstanty $a_0, \ldots, a_n$ tak, že pro funkční hodnoty $p(x)$ platí uvedený vzorec pro všechna $x\in\R$. \inl[polynom, koeficienty: polynomu] \poznamka [polfplus] %%%%%%%%% Dva polynomy $p$ a $q$ podle této definice se rovnají, pokud se rovnají jako funkce, tedy pokud $p(x)=q(x)$ pro všechna $x\in\R$. Součet dvou polynomů $p$ a $q$ je funkce $p+q$, pro kterou je $(p+q)(x) = p(x)+q(x)$ pro všechna $x\in\R$. Konečně pro $\alpha\in\R$ je $\alpha$-násobek polynomu $p$ taková funkce $\alpha p$, pro kterou platí $(\alpha p)(x) = \alpha\cdot p(x)$ pro všechna $x\in\R$. \priklad %%%%%%%% Funkce, jejíž hodnota v bodě $x\in\R$ je daná vzorcem $x^3-2x^2-4$, je polynom. Jeho koeficienty jsou $a_0=-4$, $a_1=0$, $a_2=-2$ a $a_3=1$. Povšimněme si, že je zde použit vzorec\cite(defpol) v~opačném pořadí \uv{od nejvyšší mocniny proměnné k mocninám nižším}. Toto je dost častý zápis vzorců pro polynomy. Vzhledem k tomu, že sčítání reálných čísel je komutativní, na pořadí sčítanců nezáleží. \priklad %%%%%%%% Funkce $\exp$, jejíž hodnota v bodě $x\in\R$ je daná vzorcem $\exp(x)=e^x$, není polynom. To znamená, že neexistuje konečné množství konstant $a_0,a_1,\ldots,a_n$ takové, že $e^x$ lze vypočítat podle vzorce\cite(defpol) pro všechny $x\in\R$. Abychom to dokázali, vypůjčíme si znalosti z analýzy. Je zřejmé, že pokud opakovaně derivujeme vzorec\cite(defpol) podle proměnné~$x$ více než $n$~krát, dostáváme nulovou funkci. Takže každý polynom $p$ má tu vlastnost, že pro něj existuje přirozené číslo $k$ takové, že $k$-tá derivace polynomu~$p$ je nulová funkce. Je známo, že funkce $\exp$ je odolná vůči libovolnému množství derivování: dostáváme zase funkci $\exp$, která je nenulová. Takže tato funkce nemůže být polynom. Z analogických důvodů například funkce sinus a kosinus nejsou polynomy. Poznamenejme ještě, že hodnoty uvedených funkcí se dají přibližně počítat pomocí polynomů (tzv. {\em Taylorovy polynomy\/}). Toto téma ovšem překračuje rámec tohoto textu. \inl[polynom: Taylorův, Taylorův: polynom] \poznamka %%%%%%%%% Následuje alternativní definice polynomu, v algebře možná obvyklejší: \definice [dpolv] %%%%%%%%% {\em Polynom\/} je vzoreček $$ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n, \rce(defpolv) $$ kde $a_0, \ldots, a_n$ jsou nějaká reálná čísla, která nazýváme {\em koeficienty\/} polynomu a $x$ je formální proměnná (která samozřejmě může být označena jiným písmenem). Polynom v tomto pojetí je určen jednoznačně konečně mnoha koeficienty $a_0, \ldots, a_n$, pomocí kterých lze uvedený vzoreček sestavit. {\em Hodnota polynomu s koeficienty $a_0, \ldots, a_n$ v bodě $\alpha$} je číslo $a_0 + a_1 \alpha + a_2 \alpha^2 + \cdots + a_n \alpha^n$. \definice [polvplus] %%%%%%%%% Předpokládejme definici polynomů\cite[dpolv]. Nechť polynom $p$ má koeficienty $a_0, \ldots, a_m$ a polynom $q$ má koeficienty $b_0, \ldots, b_n$. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že $m\le n$. Definujeme: {\em Rovnost polynomů\/}: Říkáme, že $p=q$ (tj. polynomy se rovnají), pokud $a_i=b_i$ pro $i\in\{0,\ldots,m\}$ a při $mm$ a $b_i=0$ pro $i>n$. \dukaz Je $p(x)=a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m$ a $q(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n$. Pro všechna $x\in\R$ spočítáme $p(x)\,q(x)$. Pro větší pohodlí přitom značíme $a_i=0$ pro $i>m$ a $b_i=0$ pro $i>n$. $$ \eqalign{ p(x)\,q(x) &= (a_0 + a_1 x + \cdots+ a_m x^m) \cdot (b_0 + b_1 x + \cdots+ b_n+ x^n) = (a_0 b_0) + (a_0 b_1 + a_1 b_0)\, x + {}\cr &+ (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)\, x^2 + \cdots + (a_0 b_{m+n} + a_1 b_{m+n-1} +\cdots+ a_{m+n} b_0)\, x^{m+n}. }$$ \okraj Stupeň\hb součtu,\hb násobku a součinu | Stupen souctu, nasobku a soucinu \veta [pstupen] %%%%% Nechť $p$ je polynom stupně $m$ a $q$ je polynom stupně $n$. Pak $p+q$ je polynom stupně nejvýše $\max(m,n)$, $\alpha\,p$ je polynom stupně $m$ pro $\alpha\not=0$ a je to polynom stupně $-1$ pro $\alpha=0$. Konečně pro nenulové polynomy $p$ a $q$ je $pq$ polynom stupně $m+n$. Je-li $p$ nebo $q$ nulový, pak $pq$ je polynom stupně~$-1$. \dukaz Tvrzení plyne přímo z vět o počítání koeficientů součtu a součinu polynomů a z definice stupně polynomu. \poznamka %%%%%%%%% Je potřeba si uvědomit, že stupeň součtu polynomů nemusí dosahovat maximum stupňů jednotlivých polynomů, které sčítáme. Kupříkladu $$ (x^3 + 2x^2 - x + 1) + (-x^3 -2x^2 + 2x +3) = x + 4. $$ Součet těchto polynomů stupně 3 je polynom stupně 1. Je dobré si také uvědomit, že stupeň součtu určitě nabývá maxima stupňů jednotlivých polynomů, které sčítáme, pokud stupně sčítaných polynomů jsou různé. \okraj Částečný podíl polynomů | Castecny podil polynomu \poznamka [castecnypodilp] %%%%%%%%% Podíl dvou polynomů (definovaný jako podíl funkcí) nemusí být polynom. Nechť jsou dány polynomy $p$ a $q$, přitom $q$ je nenulový. Je možné provést aspoň částečný podíl těchto polynomů se zbytkem, tedy najít takové polynomy $r$ a $z$, aby polynom $z$ měl menší stupeň než $q$ a aby platilo $$ {p(x)\over q(x)} = r(x) + {z(x) \over q(x)} $$ pro všechna $x\in\R$ taková, že $q(x)\not=0$. V tomto kontextu říkáme polynomu $r$ {\em částečný podíl\/} polynomů $p$ a $q$. Polynomu $z$ říkáme {\em zbytek\/} po dělení polynomu $p$ polynomem $q$. Následující věta ukazuje, že pro každé polynomy $p$ a $q$ ($q$ nenulový) existuje jejich částečný podíl a zbytek po jejich dělení. Přitom jsou polynomy $r$ a $z$ určeny jednoznačně. \inl[podíl: polynomů, částečný podíl: polynomů, zbytek při dělení polynomů] \veta [delenip] %%%%% Nechť $p$, $q$ jsou polynomy, $q$ nenulový. Pak existuje právě jeden polynom $r$ a právě jeden polynom $z$ tak, že (i) $p=rq+z$, (ii) stupeň $z$ je menší než stupeň $q$. \dukaz Existence polynomů $r$ a $z$ vyplývá z následujícího algoritmu, pomocí kterého je možné tyto polynomy na základě daných polynomů $p$ a $q$ najít. \inl[metoda: počítání: částečného podílu polynomů] \medskip \def\bodik(#1) {\par\indent\llap{(#1) }\hangindent=\parindent\hangafter=1\relax} \bodik (1) Položme $r=0$ (nulový polynom) a $z=p$. Dále označme písmenem $n$ stupeň polynomu $q$ a písmenem~$c$ jeho koeficient s~indexem $n$ (tj. nenulový koeficient u nejvyšší mocniny polynomu $q$). \bodik (2) Je-li stupeň $z$ menší než $n$, algoritmus končí. \bodik (3) Nechť $m$ je stupeň polynomu $z$ a nechť $d$ je jeho koeficient s indexem $m$ (koeficient u nejvyšší mocniny). Platí $m\ge n$, protože není splněna podmínka z kroku~(2). K polynomu $r$ přičteme polynom daný vzorcem $(d/c)\,x^{m-n}$ a od polynomu $z$ odečteme polynom daný vzorcem $(d/c)\,x^{m-n}\, q(x)$. Vznikají nové polynomy $r_1$ a $z_1$, které dále označíme $r$ a $z$ a vracíme se ke kroku~(2). \medskip \noindent V kroku~(3) se snižuje stupeň polynomu $z$, protože se od tohoto polynomu odečítá sčítanec s nejvyšší mocninou. Tím je zaručeno, že stupeň polynomu $z$ postupně klesá a algoritmus určitě skončí. Krok~(2) navíc zaručuje, že je splněno~(ii) z~tvrzení věty. Další vlastností algoritmu je skutečnost, že v každém okamžiku platí pro polynomy $r$ a $z$ podmínka~(i), takže tato podmínka je splněna i po ukončení algoritmu. Především v kroku~(1) je $r=0$ a $z=p$, takže $rq+z=0q+p=p$ a podmínka~(i) je splněna. Dále v~kroku~(3) máme zaručeno, že $p=rq+z$ a ukážeme, že platí také $p=r_1q + z_1$. Pro všechna $x\in\R$ je $$ \eqalign{ r_1(x)\,q(x) + z_1(x) &= \left(r(x)+{d\over c}\,x^{m-n}\right)\,q(x) + \left(z(x)-{d\over c}\,x^{m-n}\,q(x)\right) =\cr &= r(x)\,q(x) + {d\over c}\,x^{m-n}\,q(x) + z(x) - {d\over c}\,x^{m-n}\,q(x) = r(x)\,q(x) + z(x) = p(x). }$$ Jednoznačnost polynomů $r$ a $z$ je jednoduchým důsledkem věty o stupni součtu a součinu polynomů. Kdyby existovaly polynomy $r_2$ a $z_2$, které rovněž splňují~(i) a~(ii), pak je $p=rq+z = r_2q+z_2$, takže $(r-r_2)\,q = z_2-z$. Kdyby $r-r_2$ nebyl nulový polynom, pak stupeň polynomu $(r-r_2)q$ by byl větší nebo roven stupni $q$, zatímco polynom $z_2-z$ má stupeň menší než $q$. To je ovšem spor. Takže musí $r-r_2$ být nulový polynom a pak nutně též $z_2-z$ je nulový polynom. Jinými slovy $r=r_2$ a $z=z_2$, takže polynomy $r$, $z$ jsou určeny podmínkami~(i) a~(ii) jednoznačně. \priklad %%%%%%%% Najdeme částečný podíl a zbytek při dělení polynomu $2x^5-3x^4+3x^3-x^2-6x+8$ polynomem $x^2-2x+4$. Algoritmus popsaný v důkazu věty\cite[delenip] se zapisuje většinou do následujícího schématu: $$ \def\0{\phantom0} \setbox0=\hbox{$(2x^5-3x^4+3x^3-\0x^2-\06x+\08\rlap)$} \def\r#1{\setbox2=\hbox{$#1$}\hbox to\wd0{\hss\copy2}} \def\l#1{\hbox to\wd0{$#1$\hss}} \def\rule{\vskip-5pt\hbox to\wd0{\hss\hbox to\wd2{\hrulefill}}} \def\-{\llap{$-$}} \hbox{\vtop{ \hbox{\copy0} \l{\llap{$-$}(2x^5-4x^4+8x^3)} \smallskip\hrule\smallskip \r{x^4-5x^3-\0x^2-\06x+\08} \r{\-(x^4-2x^3+4x^2\rlap)\phantom{{}-06x+08}} \rule \r{-3x^3-5x^2-\06x+\08} \r{\-(-3x^3+6x^2-12x\rlap)\phantom{{}+08}} \rule \r{-11x^2+\06x+\08} \r{\-(-11x^2+22x-44\rlap)} \rule \r{-16x+52} }$\hskip8pt\hbox{:}\hskip4pt(x^2-2x+4) = 2x^3+x^2-3x-11$} $$ V prvním řádku (před symbolem \uv{:}) je výchozí hodnota polynomu $z$ podle kroku~(1). Sčítanec s nejvyšší mocninou polynomu $z$ je $2x^5$ a ten podělíme prvním sčítancem polynomu $q$, tj. $x^2$. Výsledek zapíšeme vedle rovnítka: $2x^3$. Tímto výsledkem násobíme celý polynom $q$ a píšeme pod výchozí polynom $z$ do druhého řádku. Tyto dva polynomy odčítáme a výsledek píšeme pod čáru. Vzniká nová hodnota polynomu~$z$. Sčítanec s nejvyšší mocninou je nyní $x^4$ a ten znovu dělíme $x^2$ a výsledek $+x^2$ připisujeme vedle rovnítka. Tímto výsledkem znovu násobíme celý polynom $q$ a píšeme do čtvrtého řádku. Pod čáru zapíšeme do pátého řádku rozdíl, tedy novou hodnotu polynomu $z$. Postupujeme tak dlouho, dokud polynom $z$ má stupeň větší nebo roven stupni polynomu $q$. Teprve na devátém řádku jsme dosáhli skutečného zbytku, neboť nyní tento polynom má stupeň menší než stupeň polynomu~$q$. Výsledek částečného podílu můžeme zapsat takto: $$ {2x^5-3x^4+3x^3-x^2-6x+8 \over x^2-2x+4} = 2x^3+x^2-3x-11 + {-16x+52 \over x^2-2x+4}. $$ \definice [podilp] %%%%%%%%% Nechť zbytek po dělení polynomu $p$ polynomem $q$ je nulový polynom. Pak říkáme, že {\em $q$~dělí $p$} nebo že {\em $p$ je dělitelný polynomem $q$}. Částečný podíl $r$ v takovém případě nazýváme {\em podíl polynomů $p$ a $q$} a značíme $p/q$. \inl[dělitenost: polynomů, podíl: polynomů] \poznamka %%%%%%%%% Podíl polynomů $p$ a $q$ (pokud existuje) podle předchozí definice je polynom. Pokud bychom ovšem definovali podíl polynomů jako podíl funkcí, tj. takovou funkci $f$, jejíž hodnoty $f(x)$ jsou rovny podílu $p(x)/q(x)$ všude tam, kde $q(x)\not=0$, pak bychom nemuseli dostat polynom, protože definiční obor takové funkce $f$ nemusí obsahovat všechna reálná čísla $\R$. Pravda, pokud je polynom $p$ dělitelný polynomem $q$, pak funkci $f$ lze spojitě dodefinovat v bodech $x$, pro které je $q(x)=0$. Takto rozšířená funkce $f$ je pak totožná s podílem polynomů podle předchozí definice\cite[podilp]. To plyne z~následující věty. \veta %%%%% Nechť polynom $p$ je dělitelný polynomem $q$. Pak $(p/q)\,q=p$. \dukaz Polynom $(p/q)=r$ a $z=0$ při značení podle věty\cite[delenip]. Pak dokazované tvrzení je vlastnost~(i) uvedené věty. \okraj {}Hornerovo schéma | Hornerovo schema \poznamka %%%%%%%%% Nechť je dán polynom $p$ svými koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$. K nalezení hodnoty $p(\alpha)$ můžeme použít jednak vzorec\cite(defpol) $$ p(\alpha) = a_n\alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + a_{n-2}\alpha^{n-2} + \cdots + a_2\alpha^2 + a_1 \alpha + a_0 \rce(amaterp) $$ nebo můžeme tento vzorec přezávorkovat do tvaru $$ p(\alpha) = ((\cdots((a_n\alpha + a_{n-1})\,\alpha + a_{n-2})\,\alpha + \cdots + a_2)\,\alpha + a_1)\,\alpha + a_0 \rce(opravdovyp) $$ a hodnotu $p(\alpha)$ počítat postupně vyhodnocováním závorek od vnitřní k vnější. Snadno zjistíme (roznásobením závorek), že oba vzorce dávají skutečně tutéž hodnotu $p(\alpha)$, ovšem vzorec\cite(opravdovyp) je daleko méně numericky náročný. Představme si, že stupeň polynomu je 1524. Podle vzorce\cite(amaterp) bychom museli počítat nejprve mocninu $\alpha^{1524}$, zatímco vzorec\cite(opravdovyp) nás do ničeho takového nenutí. Programátorští amatéři (kteří bohužel často fušují programátorům do řemesla) se poznají například podle toho, že pro vyhodnocení polynomu v bodě $\alpha$ použijí vzorec\cite(amaterp) a hloupě argumentují tím, že počítač je rychlý. Ano, je rychlý, ale jakmile bude potřeba vyhodnocovat tisíce polynomů v tisících různých bodech, a přitom ty polynomy budou mít stupeň kolem tisíce a bude potřeba tento postup opakovat, tak se přístup k programování hodně pozná. Na druhé straně opravdový programátor vyhodnotí polynom v bodě $\alpha$ podle vzorce\cite(opravdovyp) a využije k tomu ještě možnosti procesoru. Například do registru A uloží hodnotu $\alpha$ a registr B pronuluje a vyhradí pro mezivýpočty. Pak vyzvedne z paměti hodnotu $a_n$ a přičte ji k B. Dále násobí A s B a výsledek uloží do B, dále vyzvedne z paměti $a_{n-1}$ a přičte k B, pak opět násobí A s B a výsledek uloží do B, atd. K vyhodnocení polynomu stupně~$n$ v bodě $\alpha$ stačí provést $n$ násobení a $n$ sčítání. Bohužel opravdových programátorů je málo, a proto software mnohdy vypadá jak vypadá. Uživatel pak nešťastně čeká u svého kompu a nemůže se dočkat výsledku. Hledí do blba, protože na blba, který to naprogramoval, nemá možnost se podívat. Často se mu také draze koupený software zhroutí, protože například postup podle vzorce\cite(amaterp) není numericky stabilní. \poznamka %%%%%%%%% Budeme si hrát na pana Hornera, který používal vzorec\cite(opravdovyp) dávno před tím, než se objevily první počítače a který si zapisoval mezivýsledky do přehledného schématu. Záhy uvidíme, že ty mezivýsledky i ono přehledné schéma se budou hodit. Označme obsah nejvíce vnitřní závorky ve vzorci\cite(opravdovyp) symbolem $b_{n-2}$, obsah další závorky označme $b_{n-3}$ a tak dále až konečně poslední závorka (vnější) obklopuje výraz označený $b_0$. K tomu dopišme $b_{n-1}=a_n$. Pro mezivýsledky $b_k$ tedy platí: $b_{n-1}=a_n$, $b_{k-1}=a_k+\alpha b_k$ pro $k=n-1, n-2, \ldots, 3, 2, 1$. Celý výpočet hodnoty $p(\alpha)$ zapíšeme do třířádkového tzv.~{\em Hornerova schématu\/}. V prvním řádku jsou koeficienty polynomu $p$ a ve třetím řádku zmíněné mezivýpočty $b_i$. $$ \vbox{\halign{&\ \hfil$#$\hfil\ \cr & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_2 & a_1 & a_0 \cr \alpha: & & \alpha b_{n-1} & \alpha b_{n-2} & \ldots & \alpha b_2 & \alpha b_1 & \alpha b_0 \cr \noalign{\smallskip\hrule\smallskip} & b_{n-1} & b_{n-2} & b_{n-3} & \ldots & b_1 & b_0 & p(\alpha) \cr }} $$ Schéma v druhém a třetím řádku plníme postupně zleva doprava tak, že do druhého řádku šikmo přepisujeme hodnotu třetího řádku násobenou $\alpha$ a následně směrem dolů sčítáme. \inl[Hornerovo: schéma, schéma: Hornerovo] \priklad [horner1] %%%%%%%% Najdeme hodnotu polynomu $2x^8-3x^7-11x^6+5x^5+11x^3-2x^2-9x-2$ v bodě $3$ za použití Hornerova schématu. $$ \def\0{\phantom{-0}}\def\={\phantom-} \vbox{\halign{&\ \hfil$#$\ \cr & 2 & -3 & -11 & \05 & \00 & \=11 & -2 & -9 & -2 \cr x=3: & & \06 & 9 & -6 & -3 & -9 & \06 & \=12 & \09 \cr \noalign{\smallskip\hrule\smallskip} & 2 & 3 & -2 & -1 & -3 & 2 & 4 & 3 & 7\rlap{${}=p(3)$} \cr }} $$ Do prvního řádku jsme nejdříve zapsali všechny koeficienty daného polynomu a nedopustili jsme se školácké chyby, že bychom zapomněli na koeficient $a_4=0$. Druhý řádek jsme nechali prázdný a udělali jsme sčítací čáru. Pod ní jsme přepsali číslo 2 ($b_7=a_8$). Pak tuto dvojku násobíme trojkou (hodnotou~$x$) a píšeme do druhého řádku následujícího sloupce:~6. Ve sloupci sčítáme. Dostáváme 3. Tuto trojku násobíme znovu hodnotou $x=3$ a výsledek 9 píšeme do druhého řádku následujícího sloupce. Sčítáme, násobíme, sčítáme, násobíme atd. až nakonec dospíváme k~číslu 7, což je hodnota daného polynomu v~bodě $x=3$. \veta [horner3] %%%%% Mezivýsledky $b_i$ z Hornerova schématu jsou koeficienty částečného podílu polynomu $p$ při dělení polynomem daným vzorcem $x-\alpha$. Zbytek tohoto dělení je konstantní polynom $p(\alpha)$. \dukaz Je $b_{n-1}=a_n$ a platí $b_{k-1}=a_k+\alpha b_k$ (neboli $a_k=b_{k-1}-\alpha b_k$) pro $k=n-1, n-2, \ldots, 3, 2, 1$. Podle posledního sloupce Hornerova schématu je $a_0+\alpha b_0=p(\alpha)$, neboli $a_0= p(\alpha) - \alpha b_0$. Tyto skutečnosti dosadíme do vzorce pro výpočet hodnoty polynomu $p$ v bodě $x\in\R$: $$ \eqalign{ p(x) &= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \cr &= b_{n-1} x^n + (b_{n-2} - \alpha b_{n-1})\, x^{n-1} + \cdots + (b_1 - \alpha b_2) x^2 + (b_0 - \alpha b_1)\,x + p(\alpha) - \alpha b_0 = \cr &= x\,(b_{n-1} x^{n-1} + b_{n-2} x^{n-2} + \cdots + b_1 x + b_0) - \alpha\,(b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_2 x^2 + b_1 x + b_0) + p(\alpha) = \cr &= (b_{n-1} x^{n-1} + b_{n-2} x^{n-2} + \cdots + b_2 x^2 + b_1 x + b_0)\,(x-\alpha) + p(\alpha). }$$ \priklad %%%%%%%% Najdeme částečný podíl a zbytek při dělení polynomu z příkladu\cite[horner1] polynomem $x-3$. Podle předchozí věty je $$ {2x^8-3x^7-11x^6+5x^5+11x^3-2x^2-9x-2 \over x-3} = 2x^7+3x^6-2x^5-x^4-3x^3+2x^2+4x+3 + {7\over x-3}. $$ Koeficienty částečného podílu jsme opsali z třetího řádku Hornerova schématu v příkladu\cite[horner1]. Toto je zřejmě méně pracná metoda hledání částečného podílu, než metoda popsaná v důkazu věty\cite[delenip]. Bohužel se tato metoda dá použít jen při dělení polynomu lineárním polynomem tvaru $x-\alpha$. Ovšem s~dělením takovým lineárním polynomem se často setkáme například při rozkladu na kořenové činitele polynomu. \okraj Polynomy nad $\R$ a\hb nad $\C$ | Polynomy nad R a nad C \poznamka %%%%%%%%% Až dosud jsme s polynomy pracovali jako s reálnými funkcemi reálné proměné případně jako se vzorečky, které mají reálné koeficienty a do kterých dosazujeme za formální proměnnou reálná čísla. Těmto polynomům říkáme {\em polynomy nad $\R$}, neboli polynomy nad reálnými čísly. Místo reálných čísel ale můžeme používat jakýkoli číselný obor, ve kterém umíme čísla mezi sebou sčítat, odčítat, násobit a dělit (podle jistých vlastností, podrobněji si o tom povíme v kapitole\kcite\ktere[grupy]). Pokud budeme za polynom považovat komplexní funkci komplexní proměnné danou vzorečkem\cite(defpolv), ve kterém jsou koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$ komplexní čísla a za proměnou $x$ dosazujeme komplexní čísla, mluvíme o {\em polynomu nad \C}. Pokud zaměníme slovo \uv{reálný} slovem \uv{komplexní} a symbol $\R$ symbolem $\C$ v celém předchozím textu v této kapitole, všechna tvrzení zůstávají v platnosti. Budeme-li v následujícím textu v této kapitole mluvit o polynomech a nespecifikujeme číselný obor, budeme předpokládat polynomy nad $\C$. Je to z~toho důvodu, že budeme vyšetřovat vlastnosti kořenů polynomů. Reálné kořeny polynomů nad $\R$ přitom nemusejí existovat. \okraj Kořen polynomu | Koren polynomu \definice [dkoren] %%%%%%%%% {\em Kořen polynomu\/} $p$ je takové číslo $\alpha\in\C$, pro které je $p(\alpha) = 0$. Pokud $\alpha$ je kořen polynomu $p$, pak polynom daný vzorcem $x-\alpha$ pro všechna $x\in\C$ nazýváme {\em kořenový činitel polynomu\/}~$p$. \inl[kořen: polynomu, kořenový činitel] \veta [korencdeli] %%%%% Polynom $p$ je dělitelný svým kořenovým činitelem. \dukaz Zbytek po dělení polynomu $p$ polynomem $x-\alpha$ má podle věty\cite[delenip] stupeň menší než~1, tedy jedná se o konstantu. Označme ji $c$. Pro všechna $x\in\C$ platí: $p(x) = r(x)\,(x-\alpha) + c$. Po dosazení $x=\alpha$ máme $p(\alpha) = r(\alpha)\cdot 0 + c = c$. Protože $\alpha$ je kořen, je $p(\alpha)=0$, takže $c=0$. Skutečně tedy polynom $x-\alpha$ dělí polynom $p$ beze zbytku. %\poznamka %%%%%%%%%% %Obrácené tvrzení {\it polynom dělitelný činitelem $x-\alpha$ má kořen %$\alpha$} se dokáže snadno: existuje polynom $q$ tak, že %$p(x)=(x-\alpha)\,q(x)$ pro všechna $x\in\C$. Stačí nyní volit %$\alpha=0$ a máme $p(0)= 0\,q(\alpha) = 0$. \poznamka [prozklad] %%%%%%%%% Nechť $\alpha_1$ je kořen nenulového polynomu $p$. Zatím ponecháme stranou problém hledání kořene a spokojíme se s tím, že kořen polynomu $p$ existuje a označíme jej $\alpha_1$. Podle předchozí věty je možné dělit kořenovým činitelem, neboli $p(x) = r_1(x) \, (x-\alpha_1)$. Z této rovnosti plyne, že všechny kořeny polynomu~$r_1$ jsou zároveň kořeny polynomu $p$. Polynom $p$ má kromě kořenů polynomu $r_1$ navíc jen kořen $\alpha_1$. Je tedy možné hledat další kořeny polynomu $p$ tak, že najdeme kořeny polynomu $r_1$. Přitom tento polynom má podle věty\cite[pstupen] o~jedničku menší stupeň, než má polynom~$p$. Nechť $\alpha_2$ je kořen polynomu $r_1$. Máme tedy $p(x) = r_2(x)\,(x-\alpha_1)\,(x-\alpha_2)$. Další kořeny polynomu~$p$ můžeme hledat tak, že najdeme kořeny polynomu $r_2$. Úvahu opakujeme tak dlouho, až se polynom $r_i$ stane konstantním polynomem nebo až nastane situace, že polynom $r_i$ nebude mít kořeny. Postup skončí určitě po konečně mnoha krocích, neboť stupně polynomu $r_i$ se snižují. V závěru tedy máme $$ p(x) = r_m(x)\,(x-\alpha_1)\,(x-\alpha_2)\,\cdots\,(x-\alpha_m), \rce(rozkladp) $$ kde $r_m$ je polynom bez kořenů (věta\cite[fund] ukáže, že takový případ nastává jen pro konstatní polynom) a $\alpha_i$ jsou všechny kořeny polynomu $p$. V zápise\cite(rozkladp) se mohou některé kořeny $\alpha_i$ vyskytovat vícekrát. Takovým kořenům říkáme vícenásobné, viz následující definice. \definice [dnasobnost] %%%%%%%%% Kořen $\alpha$ nenulového polynomu $p$ nazýváme $k$-násobný, pokud polynom $(x-\alpha)^k$ dělí polynom $p$, a přitom polynom $(x-\alpha)^{k+1}$ nedělí polynom~$p$. Občas je užitečné mluvit také o číslu $\alpha$ jako o~0-násobném kořenu polynomu $p$ tehdy, když číslo $\alpha$ není kořenem polynomu~$p$. \inl[násobnost: kořenu, kořen: násobnost] \veta [nasobnostk] %%%%% Nenulový polynom $p$ má kořen $\alpha$ násobnosti~$k$ právě tehdy, když existuje polynom $q$ tak, že $p(x)=(x-\alpha)^kq(x)$ a současně $q(\alpha)\not=0$. \dukaz Protože $(x-\alpha)^k$ dělí polynom $p$ právě tehdy, když existuje polynom $q$ tak, že $p(x)=(x-\alpha)^kq(x)$ pro všechna $x\in\C$, stačí podle definice\cite[dnasobnost] dokázat, že $(x-\alpha)^{k+1}$ nedělí $p$ právě když $q(\alpha)\not=0$, neboli $(x-\alpha)^{k+1}$ dělí $p$ právě když $q(\alpha)=0$. Nechť $(x-\alpha)^{k+1}$ dělí $p$, tedy existuje polynom $r$ tak, že $p(x)=(x-\alpha)^k(x-\alpha)\,r(x)$. Z jednoznačnosti podílu je zřejmé, že musí $q(x)=(x-\alpha)\,r(x)$, takže $q(\alpha)=0$. Obráceně, pokud $q(\alpha)=0$, pak podle věty\cite[korencdeli] existuje polynom $r$ tak, že $q(x)=(x-\alpha)\,r(x)$. Z~toho plyne, že $p(x)=(x-\alpha)^k(x-\alpha)\,r(x)$, neboli $(x-\alpha)^{k+1}$ dělí~$p$. \priklad [nasobnost2] %%%%%%%% Dejme tomu, že víme, že polynom $x^6-5x^5-15x^4+85x^3+10x^2-372x+360$ má kořen~2. Určíme násobnost tohoto kořene. Označme zkoumaný polynom písmenem~$p$. Výpočtem hodnoty $p(2)$ za použití Hornerova schématu musí vyjít~0. Navíc třetí řádek schématu obsahuje podle věty\cite[horner3] koeficienty polynomu $r_1$, pro který platí $p(x)=r_1(x)\,(x-2)$. Můžeme tedy tento řádek ztotožnit s prvním řádkem navazujícího Hornerova schématu, ve kterém ověřujeme, zda dvojka je kořenem polynomu $r_1$. Pokud zjistíme, že ano, pak už víme, že dvojka je aspoň dvojnásobným kořenem. V takovém případě můžeme pokračovat dalším navazujícím Hornerovým schématem až do doby, než polynom $r_i$ nebude mít kořen dvojku. $$ \def\rule#1{\noalign{\vskip-5pt}\multispan#1 \hrulefill \cr} \vbox{\halign{&\quad \hfil$#$\cr & 1 & -5 & -15 & 85 & 10 & -372 & 360 \cr \llap{2}: & & 2 & -6 & -42 & 86 & 192 & -360 \cr \rule 8 & 1 & -3 & -21 & 43 & 96 & -180 & 0 \cr \llap{2}: & & 2 & -2 & -46 & -6 & 180 \cr \rule 7 & 1 & -1 & -23 & -3 & 90 & 0 \cr \llap{2}: & & 2 & 2 & -42 & -90 \cr \rule 6 & 1 & 1 & -21 & -45 & 0 \cr \llap{2}: & & 2 & 6 & -30 \cr \rule 5 & 1 & 3 & -15 & -75 \cr }} $$ Vidíme tedy, že $p(x)=(x^3+x^2-21x-45)(x-2)^3$. Přitom hodnota polynomu $x^3+x^2-21x-45$ pro $x=2$ je~$-75$, takže dvojka není kořenem tohoto polynomu. Číslo~2 je tedy trojnásobný kořen polynomu~$p$. Násobnost kořene tedy můžeme zjistit opakovaným použitím navazujícího Hornerova schématu, přičemž násobnost je počet výsledných řádků končících nulou s tím, že další řádek už nulou nekončí. \okraj Hledáme kořeny polynomu | Hledame koreny polynomu \poznamka [hledanikorenu] %%%%%%%%% Hledat kořeny polynomu, neboli řešit algebraickou rovnici~$p(x)=0$, je úloha důležitá a v praxi často potřebná. Bohužel neexistuje obecný postup, jak na základě znalostí koeficientů polynomu $a_0,a_1,\ldots,a_n$ zjistit přesně kořeny tohoto polynomu. Postupy existují pro velmi speciální typy polynomů, například pro polynomy nízkých stupňů. V této poznámce připomeneme, jak je možné hledat kořeny polynomů nízkých stupňů. \medskip \def\bodik(#1) {\par\indent\llap{$#1$) }\hangindent=\parindent\hangafter=1\relax} \bodik (-1) Kořeny polynomu stupně $-1$ (tedy nulového polynomu) jsou všechna komplexní čísla. \bodik (0) Polynom nultého stupně (tedy nenulová konstanta) nemá kořen. \bodik (1) Polynom prvního stupně $ax+b$ ($a\not=0$, tzv. lineární polynom) má jeden kořen $-b/a$. \inl[polynom: lineární, lineární: polynom] \bodik (2) Polynom druhého stupně $ax^2+bx+c$ ($a\not=0$, nazývaný též kvadratický polynom) má dva kořeny \hbox{$(-b+\sqrt{b^2-4ac})/2a, (-b-\sqrt{b^2-4ac})/2a$}. Je-li $b^2-4ac=0$, jedná se o jeden dvojnásobný kořen. \inl[polynom: kvadratický, kvadratický: polynom] \bodik (3) Polynom třetího stupně (tzv. kubický polynom) má tři kořeny, které lze z koeficientů polynomu spočítat pomocí tzv. Cardanových vzorců. Tyto vzorce je možné dohledat v matematických tabulkách (například\bcite[bartsch] nebo\bcite[rektorys]), ovšem pro jejich přílišnou komplikovanost se s nimi člověk často nesetká. Používají se jen v~některých počítačových programech často bez vědomí uživatele. \inl[polynom: kubický, kubický: polynom] \inl[vzorce: Cardanovy, Cardanovy: vzorce] \bodik (4) Polynom čtvrtého stupně má čtyři kořeny, které lze spočítat z koeficientů polynomu pomocí vzorců, jež je možné dohledat v tabulkách. Ani v tomto případě se s těmito vzorci často nesetkáváme. \bodik (5) Pro polynomy pátého a vyššího stupně neexistují obecné vzorce pro výpočet kořenů z koeficientů polynomu. Není pravda, že by v budoucnu někdo tyto vzorce mohl objevit. Niels Abel totiž dokázal, že je to nemožné. \medskip Příroda nám prostřednictvím Abela uštědřila další lekci: poodhalila nám své tajemství, které v~tomto případě zní: v určitých partiích jsem neodhalitelná. \inl[příroda, Abel: Niels Henrik] Je potřeba si uvědomit, že neexistence vzorců pro výpočet kořenů polynomů stupně pátého a vyššího nemá co dělat s existencí nebo neexistencí těch kořenů samotných. Matematik občas pracuje s faktem, že dokáže něčeho existenci a současně dokáže, že to co existuje, neumí spočítat. Tak je tomu i v tomto případě, jak za chvíli ukáže fundamentální věta algebry\cite[fund]. \priklad [binomp] %%%%%%%% Uvažujme tzv.~{\em binomickou rovnici}, tj. rovnici tvaru $x^n-a=0$, kde $n>0$ je přirozené číslo a $a\in\C$. Řešení této rovnice jsou všechny kořeny polynomu $x^n-a$. To je další speciální typ polynomu, u~kterého umíme najít všechny kořeny, dokonce pro libovolný stupeň takového polynomu. \inl[rovnice: binomická, binomická: rovnice] Binomickou rovnici $x^n-a=0$ přepíšeme do tvaru $x^n=a$ a odmocníme, tj.~formálně dostáváme \hbox{$x=\root n\,\of a$}. Úkolem je najít všechny $n$-té odmocniny z komplexního čísla $a$. Toto číslo zapíšeme ve tvaru $a=|a|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha)$, kde $|a|$ je velikost čísla $a$ a $\alpha$ je úhel v rovině komplexních čísel mezi kladnou reálnou osou a polopřímkou s počátkem v bodě~$0$ procházející bodem~$a$ (tzv.~{\em argument\/} komplexního čísla~$a$). S~využitím Moivreovy věty \ifbook (viz cvičení\cite[cv-indukce], případ~k) \fi dostáváme $$ \left(\root n\,\of {|a|}\left(\cos{\alpha+2k\pi\over n} + i\sin{\alpha+2k\pi\over n}\right)\right)^n = |a|\left(\cos(\alpha+2k\pi) + i\sin(\alpha+2k\pi)\right) = a $$ pro všechna $k\in\{0,1,2,\ldots,n-1\}$. Takže komplexní čísla $$ \root n\,\of {|a|}\left(\cos{\alpha+2k\pi\over n} + i\sin{\alpha+2k\pi\over n}\right) $$ jsou pro $k\in\{0,1,2,\ldots,n-1\}$ různé $n$-té odmocniny z čísla~$a$. Všechna tato čísla řeší danou binomickou rovnici. Ze vzorce\cite(rozkladp) plyne, že polynom stupně $n$ má nejvýše $n$ kořenů, takže uvedené $n$-té odmocniny z čísla $a$ jsou {\it všechny} kořeny polynomu $x^n-a$. %Dosadíme-li za $k$ postupně $0,1,2,\ldots,n-1$, dostáváme $n$ různých %komplexních čísel, která všechna nazýváme $n$-tými odmocninami z čísla $a$, %protože jejich $n$-tá mocnina se skutečně rovná číslu~$a$. Jedná se o %všechny kořeny polynomu $x^n-a$. \inl[argument: komplexního čísla] \inl[odmocnina: komplexního čísla] \inl[věta: Moivreova, Moivreova: věta] %Poznamenávám ještě, že identitě $e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha$ %se obvykle říká Moivreova věta. Funkci $e^x$ pro \hbox{$x\in\C$} většinou %definujeme jako řadu $\sum_{k=0}^\infty x^k/k!$. Pokud kosinus a %sinus definujeme jako reálnou a imaginární část čísla $e^{i\alpha}$, %je Moivreova věta triviálním důsledkem definice. Pokud ale definujeme %goniometrické funkce jinak, pak je potřeba Moivreovu větu dokázat. \veta (fundamentální věta algebry) [fund] %%%%% Každý polynom stupně aspoň prvého má v $\C$ kořen. \inl[věta: fundamentální, fundamentální věta algebry] \inl[věta: algebry: základní, základní věta algebry] \dukaz Tato věta je jednoduchým důsledkem složitějších výsledků z komplexní analýzy. Většinou se tedy důkaz věty v prvních semestrech vysokoškolského studia neuvádí s poukazem na to, že věta bude dokázána později. Z tohoto pohledu se mi líbí důkaz uvedený v\bcite[ptak], který se opírá o~relativně jednoduchou matematiku. Důkaz zde skoro doslova přepisuji včetně některého značení (písmeno $\xi$ čteme~ksí). Připouštím, že ke čtení potřebuje být čtenář v pohodě a bez spěchu. Chci proto naléhavě upozornit, že následující pasáž textu je určena jen pro hloubavého čtenáře. Ostatní čtenáři přejdou rovnou k poznámce\cite[poznrozklad]. V důkazu věty budeme na mnoha místech používat $|xy|=|x|\,|y|$ pro $x,y\in\C$. Tuto vlastnost můžeme ověřit převedením komplexních čísel na tvar $x=|x|\,e^{i\alpha}, y=|y|\,e^{i\beta}$ a využitím faktu, že $\left|e^{i(\alpha+\beta)}\right|=1$ (což plyne z~Moivreovy věty, viz\cite[binomp]). Dále často použijeme trojúhelníkovou nerovnost, tedy $|x+y|\le|x|+|y|$ pro $x,y\in\C$. Ověříme např. při značení $x=a+ib, y=c+id$. $|x+y|^2=(a+c)^2+(b+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd$, $(|x|+|y|)^2=a^2+b^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+c^2+d^2$. Po odečtení a druhém umocnění máme dokázat $(ac+bd)^2\le(a^2+b^2)(c^2+d^2)$, což plyne z~nerovnosti $0\le(ad-bc)^2$. K důkazu fundamentální věty algebry použijeme tři pomocné věty (lemmata): \inl[věta: pomocná, pomocná věta, lemma] \veta [flemm1] %%%%% Nechť $p$ je polynom stupně aspoň prvého. Pak $\lim |p(x)| = +\infty$ pro $|x|\to+\infty$, neboli $\forall K\ge0\,\,\exists r>0$ tak, že pro všechna $x\in\C$, pro něž $|x|>r$, platí $|p(x)|>K$. \goodbreak \dukaz Nechť $p$ má koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$, $n\ge0$, $a_n\not=0$. Pro $x\in\C$ je $$|a_nx^n| = \bigl|p(x)-(a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0)\bigr| \le |p(x)|+|a_{n-1}x^{n-1}|+\cdots+|a_1x|+|a_0|, $$ takže pro $x\not=0$ je $$|p(x)| \ge |a_n| |x|^n - \cdots - |a_1|\,|x| - |a_0| = |x|^n \left(|a_n| - {|a_{n-1}| \over |x|} - \cdots - {|a_1|\over|x|^{n-1}} - {|a_0|\over |x|^n} \right). $$ Pokud $|x|\to+\infty$, pak $|p(x)|\to+\infty$, protože závorka v posledním výrazu má limitu $|a_n|\not=0$. \veta [flemm2] %%%%% Nechť $p$ je polynom stupně aspoň prvého. Pak funkce $|p|:\C\to\R$ definovaná vztahem $|p|(x)=|p(x)|$ má lokální minimum na $\C$. \dukaz Označme $K=|p(0)|+1$. Podle předchozí věty existuje $r>0$ tak, že $|p(x)|>K$ pro všechna $x\in\C, |x|> r$. Označme $S_r=\{x\in\C;\, |x|\le r\}$, tj. kroužek komplexních čísel o poloměru $r$ se středem~0. Na okraji kroužku $S_r$ je $|p(x)|\ge K$, protože $|p|$ je spojitá a vně kroužku má hodnoty větší než $K$. Protože $S_r$ je omezený a kompaktní, dosahuje spojitá funkce $|p|$ na $S_r$ svého minima. Toto minimum je menší než $K$, protože $0\in S_r$ a $|p(0)|=K-1$. Takže minimum leží uvnitř kroužku $S_r$ a jde o lokální minimum funkce $|p|$ na $\C$. \veta [flemm3] %%%%% Nechť $p$ je polynom stupně aspoň prvého. Nechť číslo $x_0\in\C$ je zvoleno tak, že $|p(x_0)|>0$. Potom funkce $|p|:\C\to\R$ nemá lokální minimum v~$x_0$. Jinými slovy, existuje $\xi\in\C$ (komplexní číslo určující směr, ve kterém $|p|$ klesá) tak, že pro dostatečně malé $t>0$ je $|p(x_0+t\xi)| < |p(x_0)|$. \dukaz Označme $c=p(x_0)\not=0$. Polynom daný vzorcem $p(x)-c$ je z předpokladu o stupni $p$ nenulový. Číslo $x_0$ je kořenem polynomu $p-c$ a nechť $m$ je násobnost~$x_0$. Je $m\ge1$ a podle věty\cite[nasobnostk] polynom $(x-x_0)^m$ dělí polynom $p-c$, neboli existuje nenulový polynom $q$ tak, že $p(x)-c = (x-x_0)^mq(x)$ pro všechna $x\in\C$. Označme $d = q(x_0) \not=0$. Volme $\xi\in\C$ tak, aby $\xi^m=-{c\over d}$. To je možné, stačí najít nějakou $m$-tou odmocninu z~komplexního čísla~$-{c\over d}$, viz příklad\cite[binomp]. Je tedy $\xi^m\,{d\over c}=-1$. Pro $t\in\R$ počítejme $p(x_0+t\xi)$: $$ p(x_0+t\xi) = c + (t\xi)^m q(x_0+t\xi) = c + (t\xi)^m \bigl(q(x_0+t\xi)-d+d\bigr) = c + t^m\xi^m d + t^m\xi^m \bigl(q(x_0+t\xi)-d\bigr). $$ Poslední závorku označíme $r(t)=q(x_0+t\xi)-d$, tj. $r:\R\to\C$ je polynom. Nechť $b_0,b_1,\ldots,b_s$ jsou jeho koeficienty. Protože $r(0)=0$ (viz $d=q(x_0)$), je $b_0=0$, takže $r(t) = t(b_1+b_2t+\cdots+b_st^{s-1})$. Najdeme $K\ge0$ takové, že $|r(t)|\le Kt$ pro všechna $t\in\langle0,1\rangle$. To se podaří, protože pro $t\in\langle0,1\rangle$ je $|r(t)|=|t|\,|b_1+\cdots+b_st^{s-1}| \le |t|(|b_1|+\cdots+|b_st^{s-1}|) = |t|(|b_1|+\cdots+|b_s|\,t^{s-1}) \le |t|(|b_1|+\cdots+|b_s|)$, takže stačí volit $K=|b_1|+\cdots+|b_s|$. Vraťme se k počítání $p(x_0+t\xi)$. Využijeme rovnost $\xi^m\,{d\over c}=-1$. $$ p(x_0+t\xi) = c + t^m\xi^m d + t^m\xi^m r(t) = c \left(1+t^m\xi^m {d\over c} + t^m\xi^m {r(t)\over c}\right) = c \left(1-t^m+t^m\xi^m {r(t)\over c}\right), $$ takže $|p(x_0+t\xi)| = |c| \,\left|1-t^m + t^m\xi^m {r(t)\over c}\right|$. Cílem je ukázat, že posledně jmenovaná absolutní hodnota je menší než~1 pro malá kladná~$t$. Využijeme odhad $|r(t)|\le Kt$: $$ \left|1-t^m + t^m\xi^m {r(t)\over c}\right| \le \left|1-t^m\right| + \left|t^m\xi^m {Kt\over c}\right| = 1-t^m + t^{m+1} K\left|{\xi^m \over c}\right| = 1+t^m\left(t K\left|{\xi^m \over c}\right| - 1\right). $$ Pro dostatečně malá $t>0$ je poslední závorka blízká číslu $-1$, tedy záporná, takže uvedený výraz jako celek je menší než~$1$. \bigskip\noindent{\bf Důkaz fundamentální věty algebry\cite[fund].} %%%%%%% Podle věty\cite[flemm2] funkce $|p|:\C\to\R$ nabývá svého lokálního minima. Podle věty\cite[flemm3] toto minimum není v bodě, ve kterém $|p(x)|>0$. Protože $|p(x)|\ge0$, musí být hledané minimum v bodě $x\in\C$, pro které je $|p(x)|=0$, tj.~$p(x)=0$. Existence kořenu je dokázána. \okraj Rozklad na kořenové činitele | Rozklad na korenove cinitele \poznamka [poznrozklad] %%%%%%%%% Důsledkem věty\cite[fund] je skutečnost, že polynom $r_m$ ve vzorci\cite(rozkladp) je konstantní. Z~toho a z věty\cite[pstupen] také plyne, že polynom $p$ má ve vzorci\cite(rozkladp) tolik kořenových činitelů, kolik je jeho stupeň. Počítáme-li tedy každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost, můžeme říci, že polynom má stejný počet kořenů, jako je jeho stupeň. Konečně, protože $(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_m)=1x^m + \cdots$, musí být konstantní polynom $r_m$ roven koeficientu $a_m$, což je nenulový koeficient u nejvyšší mocniny polynomu $p$. Všechny tyto poznatky zformulujeme do následující věty. \veta [komplrozklad] %%%%% Nechť $p$ je nenulový polynom stupně~$n$ s koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$ a nechť $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s\in\C$ jsou všechny jeho navzájem různé kořeny. Nechť $k_i$ je násobnost kořenu $\alpha_i$ pro $i\in\{1,2,\ldots,s\}$. Pak platí $k_1+k_2+\cdots+k_s=n$ a dále pro všechna $x\in\C$ je $$ p(x) = a_n\,(x-\alpha_1)^{k_1}(x-\alpha_2)^{k_2}\cdots(x-\alpha_s)^{k_s}. $$ Tomuto zápisu říkáme {\em rozklad polynomu na kořenové činitele}. \inl[rozklad: na kořenové činitele] \dukaz Viz poznámku\cite[poznrozklad]. \veta [maxkorenup] %%%%% Nenulový polynom stupně $n$ má nejvýše $n$ různých komplexních kořenů. \dukaz Věta je přímým důsledkem věty\cite[komplrozklad]. \veta %%%%% Pokud se dva polynomy stupně nejvýše~$n$ shodují v $n+1$ různých bodech, pak jsou totožné. Jinými slovy, polynom stupně $n$ je jednoznačně určen svými hodnotami v $n+1$ bodech. \dukaz Předpokládáme, že pro polynomy $p$ a $q$ existují vzájemně různá čísla $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n,\alpha_{n+1}$ taková, že $p(\alpha_i)=q(\alpha_i)$ pro $i\in\{1,2,\ldots,n,n+1\}$. Protože polynomy $p$ a $q$ mají stupeň nejvýše~$n$, je podle věty\cite[pstupen] rozdíl $p-q$ polynom stupně nejvýše~$n$, který má kořeny $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n,\alpha_{n+1}$. Těch kořenů je více, než je jeho stupeň. To podle věty\cite[maxkorenup] není možné jinak, než že je polynom $p-q$ nulový. Takže $p=q$ a důkaz je hotov. \poznamka %%%%%%%%% Bude následovat několik modelových příkladů na rozklad polynomu na kořenové činitele. Je potřeba si uvědomit, že tyto příklady jsou schválně voleny tak, aby se povedlo kořeny uhádnout. Poznámka\cite[hledanikorenu] ale mluví jasně: moc možností při hledání kořenů nemáme. Modelové příklady na hledání kořenů jsou často typické tím, že se dá uhádnout kořen jako malé celé číslo nebo jednoduchý zlomek. Abychom mohli hádat jen z~konečně mnoha možností, využijeme následující dvě věty. \inl[příklad: modelový, modelový příklad] \veta [delia0] %%%%% Nechť polynom $p$ má celočíselné koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$. Je-li $\alpha$ celočíselným kořenem polynomu $p$, pak $\alpha$ dělí koeficient~$a_0$. \dukaz Věta je speciálním případem následující věty pro $d=1$. \veta [delirac] %%%%% Nechť polynom $p$ stupně $n$ má celočíselné koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$. Je-li $\alpha={c\over d}$ racionálním kořenem polynomu $p$ a čísla $c,d$ jsou celá nesoudělná, pak $c$ dělí~$a_0$ a $d$ dělí~$a_n$. \dukaz Protože $c\over d$ je kořen, platí $$ a_0 + a_1\,{c\over d} + a_2\,\left({c\over d}\right)^2 + \cdots + a_n\,\left({c\over d}\right)^n = 0. $$ Po převedení $a_0$ na druhou stranu rovnosti, vynásobení rovnosti číslem $d^n$ a vytknutí čísla $c$ dostáváme $$ c\,(a_1 d^{n-1} + a_2 cd^{n-2} + a_3 c^2d^{n-3} + \cdots + a_n c^{n-1}) = -a_0 d^n. $$ Číslo $e=-d^n$ je nesoudělné s $c$ a uvedená závorka obsahuje celé číslo, které označíme~$k$. Výše uvedená rovnost má tvar $c\cdot k = a_0\cdot e$. Číslo $c$ tedy musí dělit $a_0$. Nyní vyjádříme z původní rovnosti $a_n$: $$ d\,(a_0 d^{n-1} + a_1 cd^{n-2} + a_2 c^2d^{n-3} + \cdots + a_{n-1} c^{n-1}) = -a_n c^n. $$ Podobnou úvahou jako před chvílí dospíváme k závěru, že $d$ musí dělit $a_n$. \priklad [polyn360] %%%%%%%% Najdeme rozklad na kořenové činitele polynomu z příkladu\cite[nasobnost2], který je dán vzorcem $$ p(x) = x^6-5x^5-15x^4+85x^3+10x^2-372x+360. $$ Podle věty\cite[delia0] je možno celočíselné kořeny hledat jen mezi děliteli čísla~360. Bohužel dělitelů čísla 360 je mnoho. Čtenář si za domácí cvičení zkusí všechny dělitele vypsat. Shledá, že jich je 48, pokud ovšem nezapomene zapsat i záporné dělitele. Obvykle začínáme dosazovat takové dělitele, které jsou v~absolutní hodnotě co nejmenší. Tedy $p(1)=64$ (není kořen), $p(-1)=648$ (není kořen), $p(2)=0$ (ejhle, je to kořen)! Navíc, jak ukazuje příklad\cite[nasobnost2], je tento kořen dokonce trojnásobný, takže s~využitím výsledku toho příkladu máme $p(x) = (x^3+x^2-21x-45)(x-2)^3$. Další kořeny polynomu $p$ jsou určitě i kořeny polynomu $x^3+x^2-21x-45$. Dále tedy hledáme kořeny jen tohoto kubického polynomu~$r$. Hádáme dále celá čísla (protože v modelových příkladech nás nikdo nebude nutit použít Cardanovy vzorce). Stačí se omezit na dělitele čísla~45, tedy na čísla z~množiny $\{-45, -15, -9, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 9, 15, 45\}$. Jedničku a mínus jedničku už jsme testovali s~negativím výsledkem v~případě polynomu~$p$, nemusíme ji tedy zkoušet znovu. Vyzkoušíme $r(3)=-72$ (není kořen), $r(-3)=0$ (ejhle kořen)! Hornerovo schéma pro $-3$ vypadá takto: $$ \def\rule#1{\noalign{\vskip-5pt}\multispan#1 \hrulefill \cr} \vbox{\halign{&\quad \hfil$#$\cr & 1 & 1 & -21 & -45 \cr \llap{$-3$}: & & -3 & 6 & 45 \cr \rule 5 & 1 & -2 & -15 & 0 \cr \llap{$-3$}: & & -3 & 15 \cr \rule 4 & 1 & -5 & 0 \cr }} $$ Vidíme, že číslo $-3$ je dvojnásobný kořen a že je $x^3+x^2-21x-45=(x+3)^2(x-5)$, takže~5 je poslední kořen vyšetřovaného polynomu. Máme rozklad: $$ x^6-5x^5-15x^4+85x^3+10x^2-372x+360 = (x-2)^3(x+3)^2(x-5). $$ Polynom $p$ má tedy následující kořeny: 2 (trojnásobný kořen), $-3$ (dvojnásobný kořen) a~$5$ (jednonásobný kořen). \priklad [polyn26] %%%%%%%% Najdeme rozklad polynomu $3x^6-8x^5+22x^4+54x^3-5x^2-26x$ na kořenové činitele. Označme vyšetřovaný polynom písmenem~$p$. Především, tento polynom má koeficient $a_0=0$, takže nula je kořenem polynomu. Kořenový činitel $x-0$ píšeme stručně jako $x$ a vznikne jednoduše vytknutím proměnné $x$ ze zadaného výrazu: $$ p(x) = x\,(3x^5-8x^4+22x^3+54x^2-5x-26). $$ Dále stačí najít rozklad polynomu $3x^5-8x^4+22x^3+54x^2-5x-26$, který označíme~$q$. Nejprve hádáme celočíselné kořeny mezi děliteli čísla 26: $q(1)=40$ (není kořen), $q(-1)=0$ (ejhle, kořen)! Navazujícím Hornerovým schématem vyzkoumáme jeho násobnost: $$ \def\rule#1{\noalign{\vskip-5pt}\multispan#1 \hrulefill \cr} \vbox{\halign{&\quad \hfil$#$\cr & 3 & -8 & 22 & 54 & -5 & -26 \cr \llap{$-1$}: & & -3 & 11 & -33 & -21 & 26 \cr \rule 7 & 3 & -11 & 33 & 21 & -26 & 0 \cr \llap{$-1$}: & & -3 & 14 & -47 & 26 \cr \rule 6 & 3 & -14 & 47 & -26 & 0 \cr \llap{$-1$}: & & -3 & 17 & -64 \cr \rule 5 & 3 & -17 & 64 & -90 \cr }} $$ Číslo $-1$ je tedy dvojnásobným kořenem a máme $q(x)=(x+1)^2(3x^3-14x^2+47x-26)$ Dále budeme rozkládat uvedený kubický polynom, který označíme $r$. Pokračujeme ve zkoumání dělitelů čísla 26: \hbox{$r(2)=36$} (není kořen), $r(-2)=-200$ (není kořen), $r(13)=4810$ (není kořen), $r(-13)=-9594$ (není kořen), $r(26)=44460$ (není kořen), $r(-26)=-63440$ (není kořen). Z věty\cite[delia0] plyne, že polynom $r$ nemá žádný celočíselný kořen. Protože koeficient u nejvyšší mocniny je $a_3=3\not=1$, podle věty\cite[delirac] je možné, že kořenem bude zlomek, jehož čitatel dělí 26 a jmenovatel dělí~3. Vyzkoušíme $r(1/3)\doteq -11{,}777$ (není kořen), $r(-1/3)\doteq -43{,}333$ (není kořen), $r(2/3)=0$ (ejhle kořen)! Pomocí Hornerova schématu můžeme najít rozklad: $$ \def\rule#1{\noalign{\vskip-5pt}\multispan#1 \hrulefill \cr} \vbox{\halign{&\quad \hfil$#$\cr & 3 & -14 & 47 & -26 \cr \llap{$2/3$}: & & 2 & -8 & 26 \cr \rule 5 & 3 & -12 & 39 & 0 \cr }} $$ Takže $r(x)=(x-{2\over3})(3x^2-12x+39)$. Kořeny kvadratického polynomu umíme najít: $$ {12\pm\sqrt{144-468}\over 6} = {12\pm i\sqrt{324}\over 6} = {12\pm 18i\over 6} = 2\pm 3i. $$ Hledaný rozklad tedy je $$ \textstyle p(x) = 3x\,(x+1)^2(x-{2\over3})(x-2+3i)(x-2-3i). $$ Povšimněte si, že v rozkladu je kromě kořenových činitelů uveden koeficient u nejvyšší mocniny $a_6$ polynomu $p$. Na něj nesmíme zapomenout. Polynom~$p$ má nulu jako jednonásobný kořen, $-1$ je dvojnásobný kořen, $2\over3$ je jednonásobný kořen a konečně čísla $2+3i$ a $2-3i$ jsou vzájemně komplexně sdružené jednonásobné kořeny. \priklad [nenajdukoreny] %%%%%%%% Pokusíme se najít rozklad na kořenové činitele polynomu z příkladu\cite[horner1], tedy $$ p(x) = 2x^8-3x^7-11x^6+5x^5+11x^3-2x^2-9x-2. $$ Pokud má tento polynom racionální kořeny, pak podle věty\cite[delirac] jejich čitatel musí dělit dvojku a jmenovatel musí také dělit dvojku. Kořeny budeme tedy hádat z množiny $\{-2,-1,-{1\over2},{1\over2},1,2\}$. Pusťme se do toho: $p(1)=-9$ (není kořen), $p(-1)=-17$ (není kořen), $p(2)=-356$ (není kořen), $p(-2)=-48$ (není kořen), $p(1/2)\doteq -5{,}656$ (není kořen), $p(-1/2)\doteq 0{,}328$ (není kořen). Zjistili jsme, že tento polynom nemá racionální kořeny. Podle fundamentální věty algebry\cite[fund] tento polynom kořen má, podle jednoduchých důsledků této věty tento polynom dokonce má osm kořenů, pokud každý počítáme tolikrát, kolik je jeho násobnost. Tyto kořeny jsou zřejmě iracionální čísla nebo se jedná o komplexní kořeny s nenulovou imaginární částí. Bohužel, ani jeden takový kořen neumíme najít, ačkoli koeficienty toho polynomu vypadají celkem nevinně (jsou to malá celá čísla). Můžeme tedy pouze prohlásit, že rozklad na kořenové činitele tohoto polynomu existuje, ale nevíme, jak tento rozklad vypadá. Chtěl bych velmi upozornit, že toto je obvyklý jev. Pokud náhodně vybereme z osudí, ve kterém jsou všechny polynomy, jeden, pak skoro jistě neumíme najít jeho kořeny. Desítky, možná stovky, příkladů, které se vyskytují v učebnicích základního kurzu o polynomech, jsou vyumělkované a voleny tak, aby bylo možné nějak kořeny najít. Daleko typičtější je ovšem příklad tento: kořeny najít neumíme. V praxi se můžeme setkat navíc s polynomy vysokých stupňů, jejichž koeficienty ani nejsou celá čísla. Pak si můžeme být skoro jisti, že kořeny najít nelze. Protože ale úloha rozkladu na kořenové činitele a hledání kořenů je pro další výpočty většinou potřebná, je nutné přistoupit k hledání kořenů alespoň přibližně numerickými metodami. Tato problematika ale nespadá do náplně tohoto textu. Pro ilustraci jsem použil řešítko v~Maple, které má v sobě zabudovány numerické metody hledání kořenů. Pro daný polynom vyšel tento přibližný výsledek: $$ \eqalign{ &x_1 \doteq -2{,}05376,\quad x_2 \doteq -0{,}55262,\quad x_3 \doteq -0{,}25957,\quad x_4 \doteq 2{,}99882, \cr &x_{5,6} \doteq -0{,}26936 \pm 1{,}00279\,i,\quad x_{7,8} \doteq 0{,}95292 \pm 0{,}37662\,i, \cr &p(x) = 2 \,(x-x_1)\,(x-x_2)\,(x-x_3)\,(x-x_4)\,(x-x_5)\,(x-x_6)\,(x-x_7)\,(x-x_8). } $$ \par\inl[Maple] \priklad %%%%%%%% Najdeme rozklad polynomu $x^n-a$ na kořenové činitele. Využijeme výsledku příkladu\cite[binomp]. Rozklad na kořenové činitele je $$ x^n-a = \prod_{k=0}^{n-1} \left(x-\root n\,\of {|a|}\,\left(\cos{\alpha+2k\pi\over n} + i\sin{\alpha+2k\pi\over n}\right)\right), \rce(birozklad) $$ kde symbol $\prod$ značí součin výrazů, které následují, pro $k$ od nuly do $n-1$. \priklad [binom8] %%%%%%%% Najdeme rozklad polynomu $x^8-1$ na kořenové činitele. Je potřeba najít osmé odmocniny z jedné. Jedničku pišme jako $1=1\,e^{i(0+2k\pi)}$. Všechny kořeny jsou ve tvaru $$ \root 8\,\of 1 = e^{i{2k\pi\over8}} = \cos{k\pi\over4} + i\sin{k\pi\over4}, \quad k\in\{0,1,2,3,4,5,6,7\}. $$ Pro $k=0$ je $\root8\,\of1=1$, pro $k=1$ a $k=7$ je $\root8\,\of1={\sqrt2\over2}\pm i{\sqrt2\over2}$, pro $k=2$ a $k=6$ je $\root8\,\of1=\pm i$, pro $k=3$ a $k=5$ je $\root8\,\of1=-{\sqrt2\over2}\pm i{\sqrt2\over2}$ a konečně pro $k=4$ je $\root8\,\of1=-1$. Z tohoto hlediska je nutno tento příklad považovat za modelový, neboť potřebné hodnoty funkcí sinus a kosinus byly tabulkové. Kdybychom počítali např.~$\root7\,\of1$, tabulkových hodnot bychom nemohli využít a museli bychom nechat výsledek ve tvaru\cite(birozklad) nebo jej vyčíslit numericky. Rozklad polynomu $x^8-1$ na kořenové činitele je $$ \textstyle x^8-1 = \bigl(x-1\bigr) \,\bigl(x-{\sqrt2\over2}-i{\sqrt2\over2}\bigr) \,\bigl(x-{\sqrt2\over2}+i{\sqrt2\over2}\bigr) \,\bigl(x-i\bigr)\,\bigl(x+i\bigr) \,\bigl(x+{\sqrt2\over2}-i{\sqrt2\over2}\bigr) \,\bigl(x+{\sqrt2\over2}+i{\sqrt2\over2}\bigr) \,\bigl(x+1\bigr). $$ \okraj Reálný rozklad | Realny rozklad \poznamka %%%%%%%%% V příkladech\cite[polyn26],\cite[nenajdukoreny],\cite[binom8] vyšly komplexní kořeny vzájemně po dvou komplexně sdružené. Následující věty ukazují, že se nejedná o náhodu, ale pro polynomy s reálnými koeficienty je to zákonitá vlastnost. \veta [alphaspruhem] %%%%% Je-li $\alpha$ kořen polynomu $p$ s reálnými koeficienty, pak komplexně sdružené číslo $\overline\alpha$ je také kořenem polynomu~$p$. \dukaz Připomenu, že komplexně sdružené číslo značíme pruhem nad číslem a definujeme jako číslo s~opačnou imaginární částí, tj. $\overline{a+ib}=a-ib$. Dále je potřeba připomenout základní vlastnosti: \medskip $x=\overline x$ právě když $x\in\R$, protože $\overline{a+0i}=a-0i=a$. $\overline x + \overline y = \overline {x+y}$, protože $\overline{a+ib}+\overline{c+id} = a+c-i(b+d) = \overline{a+ib+c+id}$. $\overline x\,\overline y = \overline{xy}$, protože $(a-ib)(c-id)=ac-bd-i(bc+ad)=\overline{ac-bd+i(bc+ad)} = \overline{(a+ib)(c+id)}$. $\overline {x^n}= {\overline x}^n$, protože $\overline {x \vphantom{X}}\cdot\overline {x^{n-1}} = \overline {x\,x^{n-1}} = \overline {x^n}$. \medskip \noindent Jelikož $\alpha$ je kořen, platí $p(\alpha)=0$. Máme dokázat, že $p(\overline\alpha)=0$. $$ \eqalign{ p(\overline\alpha) &= a_0 + a_1\overline\alpha + a_2\overline\alpha^2 + \cdots + a_n\overline\alpha^n = \overline{a_0} + \overline{a_1}\,\,\overline\alpha + \overline{a_2}\,\,\overline\alpha^2 + \cdots + \overline{a_n}\,\,\overline\alpha^n = \cr &= \overline{a_0} + \overline{a_1}\,\,\overline\alpha + \overline{a_2}\,\,\overline{\alpha^2} + \cdots + \overline{a_n}\,\,\overline{\alpha^n} = \overline{a_0} + \overline{a_1\,\alpha} + \overline{a_2\,\alpha^2} + \cdots + \overline{a_n\,\alpha^n} = \cr &= \overline{a_0 + a_1\alpha + a_2\alpha^2 + \cdots + a_n\alpha^n} = \overline{p(\alpha)} = \overline 0 = 0. } $$ Nejprve jsme využili toho, že koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$ jsou reálné. Další rovnosti plynou ze základních vlastností komplexně sdruženého čísla. Věta nevylučuje případ, že $\alpha$ je reálný kořen. Pak ale $\overline\alpha=\alpha$, což je také (tentýž) kořen. \veta [nasobnostpruhu] %%%%% Nechť $\alpha$ je kořen nenulového polynomu $p$ s reálnými koeficienty. Pak kořeny $\alpha$ a $\overline\alpha$ mají stejnou násobnost. \dukaz %%%%%% Předpokládejme, že násobnost kořene $\alpha$ je $k$ a násobnost $\overline\alpha$ je $k'$. Bez újmy na obecnosti je možno předpokládat $k\le k'$. V rozkladu na kořenové činitele polynomu $p$ se vyskytuje kromě $(x-\alpha)$ také činitel $(x-\overline\alpha)$. Součin těchto dvou činitelů $$ (x-\alpha)(x-\overline\alpha) = (x-a-ib)(x-a+ib) = x^2 -2ax + a^2+b^2 $$ je polynom s reálnými koeficienty. Označme jej $q$. Polynom $q^k$ má také reálné koeficienty a navíc dělí polynom $p$ beze zbytku. Označme $p/q=r$. Polynom $r$ má (díky algoritmu pro dělení polynomu polynomem) reálné koeficienty. Nemůže se tedy stát, aby $r$ měl jen kořen $\overline\alpha$, a přitom neměl kořen $\alpha$. Násobnosti tedy musejí být stejné. \poznamka [realrozklad] %%%%%%%%% Pokud je dán polynom s reálnými koeficienty, pak podle předchozí věty má stejný počet kořenových činitelů tvaru $x-\alpha$ jako činitelů tvaru $x-\overline\alpha$. Tyto činitele můžeme po dvou roznásobit a vytvořit tak kvadratické polynomy s reálnými koeficienty $$ (x-\alpha)\,(x-\overline\alpha) = (x-a-ib)\,(x-a+ib) = x^2 -2ax + a^2+b^2 = x^2 + cx + d. $$ Tím se v rozkladu na součin polynomů vyhneme práci s komplexními čísly. To může být pro uživatele, který pracuje s reálnými polynomy a očekává tedy reálné rozklady, důležité. Zformulujeme proto větu o~reálném rozkladu na součin polynomů. \veta [rrozkladp] %%%%% Nechť nenulový polynom $p$ stupně $n$ má reálné koeficienty. Nechť $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ jsou všechny jeho vzájemně různé reálné kořeny s násobnostmi po řadě $k_1,k_2,\ldots,k_s$. Nechť $\beta_1,\overline{\beta_1}, \ldots, \beta_t, \overline{\beta_t}$ jsou všechny vzájemně různé komplexní kořeny polynomu $p$ s nenulovou imaginární částí, které mají v~souladu s~větou\cite[nasobnostpruhu] násobnosti po řadě $r_1,r_1,r_2,r_2,\ldots,r_t,r_t$. Pak je $$ n = k_1 + k_2 + \cdots + k_s + 2\,(r_1 + r_2 + \cdots + r_t) $$ a existují reálná čísla $c_i, d_i$, pro $i\in\{1,\ldots,t\}$ tak, že pro všechna $x\in\R$ je $$ p(x) = a_n\,(x-\alpha_1)^{k_1} (x-\alpha_2)^{k_2} \cdots (x-\alpha_s)^{k_s} (x^2 + c_1 x + d_1)^{r_1} (x^2 + c_2 x + d_2)^{r_2} \cdots (x^2 + c_u x + d_t)^{r_t}. $$ Uvedený vzorec se nazývá {\em reálný rozklad polynomu $p$}. \inl[rozklad: reálný, reálný: rozklad] \dukaz Je $(x-\beta_i)(x-\overline{\beta_i}) = x^2 + c_i x + d_i$, viz poznámku\cite[realrozklad]. Vše ostatní plyne z věty\cite[komplrozklad]. \priklad %%%%%%%% Rozklad na kořenové činitele v příkladu\cite[polyn360] je současně reálným rozkladem, protože polynom nemá komplexní kořeny s nenulovou imaginární částí. Polynom z příkladu\cite[polyn26] má reálný rozklad $p(x)=3x\,(x+1)^2(x-{2\over3})\,(x^2-4x+13)$. Polynom z příkladu\cite[binom8] má reálný rozklad $ p(x) = (x-1)\, (x+1)\, (x^2+1)\, (x^2+\sqrt2\,x+1)\, (x^2-\sqrt2\,x+1)$. Konečně polynom z příkladu\cite[nenajdukoreny] má reálný rozklad přibližně: $ p(x)\doteq 2 \,(x-x_1)\,(x-x_2)\,(x-x_3)\,(x-x_4)\, (x^2+0{,}53872\,x + 1{,}07814)\, (x^2-1{,}90584\,x + 1{,}0499). $ \priklad %%%%%%%% Rozložíme polynom $x^5-10x^4+32x^3-8x^2-140x+200$ na reálné kořenové činitele. Využijeme přitom nápovědy, že číslo $3+i$ je kořenem tohoto polynomu. Především je zřejmé, že se jedná o modelový příklad. Je totiž nereálné, aby nám v~reálném životě někdo napovídal nereálný kořen reálného polynomu. Protože má polynom reálné koeficienty, je podle věty\cite[alphaspruhem] také číslo $3-i$ kořenem. Známe tedy dva kořeny. Nyní máme dvě možnosti, jak dále postupovat. Můžeme například pomocí Hornerova schématu dosadit jednak $3+i$ a následně $3-i$ do polynomu. Druhou možností je roznásobit kořenové činitele příslušející známým kořenům a podělit výsledným kvadratickým polynomem daný polynom. Vyzkoušíme si obě metody. Nejprve zkusíme dosazovat kořeny do Hornerova schématu. Zpočátku to půjde ztuha, protože člověk nenásobí dvě komplexní čísla mezi sebou denně. $$ \def\p{\phantom{{}-2i}}\def\pp{\phantom{{}+20i}} \def\i{\phantom{{}-i}} \def\rule#1{\noalign{\vskip-5pt}\multispan#1 \hrulefill \cr} \vbox{\halign{&\qquad \hfil$#$\cr & 1 & -10\i & 32\p & -8\p & -140\pp & 200 \cr \llap{$3+i$}: & & 3+i & -22-4i & 34-2i & 80+20i & -200 \cr \rule 7 & 1 & -7+i & 10-4i & 26-2i & -60+20i & 0 \cr \llap{$3-i$}: & & 3-i & -12+4i & -6+2i & 60-20i \cr \rule 6 & 1 & -4\i & -2\p & 20\p & 0\pp \cr }} $$ Ne náhodou máme na posledním řádku schématu reálná čísla. Tento řádek totiž obsahuje koeficienty polynomu $r$, pro který je $p(x) = (x-3-i)\,(x-3+i)\, r(x)$. Jak jsme ukázali v důkazu věty\cite[nasobnostpruhu], polynom~$r$ má reálné koeficienty. Je tedy $p(x)=(x-3-i)\,(x-3+i)\,(x^3-4x^2-2x+20)$. Než začneme rozkládat polynom $r$, zkusíme se ke stejnému mezivýsledku dostat druhou metodou. Roznásobíme nejdříve kořenové činitele $(x-3-i)\,(x-3+i) = x^2-6x+10$. Tím jsme se hned na začátku zbavili malého měkkého~$i$. Abychom získali polynom $r$, musíme bohužel dělit polynom $p$ polynomem $x^2-6x+10$. $$ \def\0{\phantom0} \setbox0=\hbox{$(x^5-10x^4+32x^3-\08x^2-140x+200\rlap)$} \def\r#1{\setbox2=\hbox{$#1$}\hbox to\wd0{\hss\copy2}} \def\l#1{\hbox to\wd0{$#1$\hss}} \def\rule{\vskip-5pt\hbox to\wd0{\hss\hbox to\wd2{\hrulefill}}} \def\-{\llap{$-$}} \hbox{\vtop{ \hbox{\copy0} \l{\llap{$-$}(x^5-\06x^4+10x^3)} \smallskip\hrule\smallskip \r{-4x^4+22x^3-\08x^2-140x+200} \r{\-(-4x^4+24x^3-40x^2\rlap)\phantom{{}-140x+200}} \rule \r{-2x^3+32x^2-140x+200} \r{\-(-2x^3+12x^2-\020x\rlap)\phantom{{}+200}} \rule \r{20x^2-120x+200} \r{\-(20x^2-120x+200\rlap)} \rule \r{0} }$\hskip8pt:(x^2-6x+10) = x^3-4x^2-2x+20$} $$ Ne náhodou vyšel zbytek po dělení nula. Polynom $x^2-6x+10$ musí dělit polynom $p$, protože se jedná o součin kořenových činitelů. Nyní se nám obě metody setkávají. Potřebujeme rozložit polynom $r$ na kořenové činitele. Hádáme mezi děliteli čísla~$20$: $r(1)=15$ (není kořen), $r(-1)=17$ (není kořen), $r(2)=8$ (není kořen), $r(-2)=0$ (ejhle kořen)! Po vydělení kořenovým činitelem $x+2$ (nebo použitím Hornerova schématu) dostáváme $r(x)=(x+2)\,(x^2-6+10)$. Protože polynom $x^2-6+10$ už v rozkladu jednou máme, shledáváme, že kořeny $3\pm i$ jsou dvojnásobné. Reálný rozklad polynomu $p$ tedy je $$ p(x) = (x+2) \, (x^2-6+10)^2. $$ \okraj Parciální zlomky | Parcialni zlomky \poznamka %%%%%%%%% V kalkulu jedné proměnné se studenti většinou seznamují se skutečností, že funkce dané podílem polynomů lze integrovat tak, že se tento podíl rozepíše na součet polynomu a parciálních zlomků. Přitom polynomy se integrují snadno a pro každý typ parciálního zlomku existuje integrační vzoreček. Podlě věty\cite[delenip] je možné funkci danou podílem polynomů částečně podělit. Platí $p/q = r + z/q$, přitom stupeň $z$ je menší než stupeň $q$. Zlomek $z/q$ je dále možno rozepsat na součet parciálních zlomků, jak uvidíme v následující větě\cite[parczl]. Nejprve ovšem potřebujeme dokázat pomocnou větu: \veta [parczlpom] %%%%% Nechť stupeň polynomu $p$ je menší než stupeň polynomu $q$ a nechť $\alpha\in\C$ je $k$-násobným kořenem polynomu $q$. Symbolem $q_1$ označme polynom, který splňuje $q(x) = (x-\alpha)^k q_1(x)$ pro všechna $x\in\C$. Pak existuje číslo $a\in\C$ a polynom $p_1$ tak, že platí $$ {p(x) \over q(x)} = {a\over (x-\alpha)^k} + {p_1(x) \over (x-\alpha)^{k-1} q_1(x)} $$ pro všechna $x\in\C$ s výjimkou kořenů polynomu $q$. Přitom stupeň $p_1$ je menší než stupeň $(x-\alpha)^{k-1} q_1(x)$. \dukaz Vynásobením dokazované rovnosti polynomem $q$ dostaneme ekvivalentní rovnost: $$ p(x) = a\,q_1(x) + p_1(x)\,(x-\alpha). $$ Dosazením $x=\alpha$ dostáváme $p(\alpha) = a\,q_1(\alpha)$, tedy $a = p(\alpha)/q_1(\alpha)$. Tento výpočet lze provést, protože díky větě\cite[nasobnostk] je $q_1(\alpha)\not = 0$. Polynom $p(x) - a\,q_1(x)$ má kořen $\alpha\in\C$, protože $p(\alpha) - \bigl(p(\alpha)/q_1(\alpha)\bigr)\,q_1(\alpha) = 0$. Existuje tedy podle věty\cite[korencdeli] polynom $p_1$ tak, že $ p(x) - a\,q_1(x) = p_1(x)\,(x-\alpha)$. Přičtením $a\,q_1(x)$ a vydělením polynomem $q$ dostáváme dokazovanou rovnost. Protože ${\rm St}(p_1)+1 \le \max\bigl({\rm St}(p),{\rm St}(q_1)\bigr) < {\rm St}(q)$, \ je $\ {\rm St}(p_1) < {\rm St}(q) - 1$. Takže platí i tvrzení o~stupni polynomu~$p_1$. \veta [parczl2] %%%%% Nechť stupeň polynomu $p$ je menší než stupeň polynomu $q$ a nechť $\alpha$ je $k$-násobným kořenem polynomu $q$. Symbolem $q_1$ označme polynom, který splňuje $q(x) = (x-\alpha)^k q_1(x)$ pro všechna $x\in\C$. Pak existují čísla $a_1,a_2,\ldots, a_k\in\C$ a polynom $p_2$ tak, že platí: $$ {p(x) \over q(x)} = {a_k\over (x-\alpha)^k} + {a_{k-1}\over (x-\alpha)^{k-1}} + \cdots + {a_1\over (x-\alpha)} + {p_2(x) \over q_1(x)} $$ pro všechna $x\in\C$ s výjimkou kořenů polynomu $q$. Přitom stupeň $p_2$ je menší než stupeň $q_1$. \dukaz Opakovaným použitím věty\cite[parczlpom]. \veta [parczl] %%%%% Podíl polynomů $p/q$, kde stupeň $p$ je menší než stupeň $q$, je roven součtu konečně mnoha tzv.~{\em parciálních zlomků\/} tvaru: $$ {a\over (x-\alpha)^u} $$ kde $a\in\C$ je konstanta, $\alpha\in\C$ je kořen $q$ násobnosti $k$ a $u\le k$, $u\in\N$. \dukaz Použijeme větu\cite[parczl2] postupně na všechny kořeny polynomu $q$. \poznamka %%%%%%%%% Důkazy vět\cite[parczlpom] a\cite[parczl2] jsou konstruktivní, tj. poskytují návod, jak spočítat konstanty, které se vyskytují v čitatelích všech parciálních zlomků. Čtenář by měl umět po pečlivém přečtení těchto důkazů implementovat algoritmus, který pro každé dva polynomy $p$ a $q$ (stupeň $p$ je menší než stupeň~$q$ a u polynomu $q$ jsou známy kořeny) sestaví součet parciálních zlomků. V kurzech kalkulu jedné proměné se při integrování lomených funkcí (tj. funkcí ve tvaru podílu polynomů) pracuje s~vybranými příklady, ve kterých se podaří najít kořeny jmenovatele. Je třeba si ale uvědomit, že pokud se nepodaří kořeny jmenovatele přesně najít (což je u polynomů stupně páteho a vyššího obvyklé), pak nelze přesně sestavit ani parciální zlomky a integrovat můžeme jen \uv{teoreticky}. \poznamka %%%%%%%%% Abychom se při integraci vyhnuli komplexním číslům, rozepisují se podíly polynomů s~reálnými koeficienty na součet parciálních zlomků dvou druhů. Věta o součtu {\it reálných\/} parciálních zlomků má tvar: \veta [parczlrell] %%%%% Podíl polynomů $p/q$, kde stupeň $p$ je menší než stupeň $q$ a oba mají reálné koeficienty, je roven součtu konečně mnoha tzv.~{\em parciálních zlomků\/} tvaru: $$ {a\over (x-\alpha)^u} \quad\hbox{nebo}\quad {bx+c \over (x^2+s x + t)^v}, $$ kde $a\in\R$ je konstanta, $\alpha\in\R$ je kořen polynomu $q$ násobnosti $k$ a $u\le k$, $u\in\N$. Dále $b,c\in\R$ jsou konstanty, kvadratický polynom $(x^2+s x + t)$ má reálné koeficienty a je součinem $(x-\beta)\cdot(x-\overline\beta)$, kde $\beta\in\C$, $\beta\not\in\R$ je kořen polynomu $q$ násobnosti $r$ a platí $v\le r$, $v\in\N$. \dukaz Ve větách\cite[parczlpom] a\cite[parczl2] nahradíme všude množinu $\C$ množinou $\R$. Věty pak platí za předpokladu, že $p$ a $q$ jsou polynomy s reálnými koeficienty. K tomu musíme použít ještě následující větu: \veta [parczlrel] %%%%% Nechť $p$ a $q$ jsou polynomy s reálnými koeficienty a nechť stupeň $p$ je menší než stupeň $q$. Předpokládejme, že $\beta\in\C$, $\beta\not\in\R$ je $k$-násobným kořenem polynomu $q$. Symbolem $q_1$ označme polynom, který splňuje $q(x) = (x-\beta)^k(x-\overline\beta)^k q_1(x)$ pro všechna $x\in\C$. Pak existují čísla $b\in\R$, $c\in\R$ a polynom $p_1$ s reálnými koeficienty tak, že platí $$ {p(x) \over q(x)} = {bx+c\over (x-\beta)^k(x-\overline\beta)^k} + {p_1(x) \over (x-\beta)^{k-1}(x-\overline\beta)^{k-1} q_1(x)} $$ pro všechna $x\in\C$ s výjimkou kořenů polynomu $q$. Přitom stupeň polynomu $p_1$ je menší než stupeň $(x-\beta)^{k-1}(x-\overline\beta)^{k-1} q_1(x)$. \dukaz Vynásobením dokazované rovnosti polynomem $q$ dostaneme ekvivalentní rovnost: $$ p(x) = (bx+c)\,q_1(x) + p_1(x)\,(x-\beta)\,(x-\overline\beta). $$ Dosazením $x=\beta$ dostáváme $p(\beta) = (b\,\beta+c)\,q_1(\beta)$. Musí tedy platit $b\,\beta+c = p(\beta)/q_1(\beta)$. Tento výpočet lze provést, protože díky větám\cite[nasobnostk] a\cite[nasobnostpruhu] je $q_1(\beta)\not = 0$. Označme $\beta = u+iv$ a $p(\beta)/q_1(\beta) = t+is$, kde $u,v,t,s\in\R$. Je $b\,(u+iv)+c = t+is$, takže $b=s/v$ a $c=t-(s/v)\,u$. Z výpočtu plyne, že čísla $b, c$ existují a jsou reálná. Polynom $p(x) - (bx+c)\,q_1(x)$ má kořen $\beta\in\C$, protože $p(\beta) - \bigl(p(\beta)/q_1(\beta)\bigr)\,q_1(\beta) = 0$. Tento polynom má také kořen $\overline\beta$, protože má reálné koeficienty a platí věta\cite[alphaspruhem]. Existuje tedy podle věty\cite[korencdeli] polynom $p_1$ s reálnými koeficienty tak, že $ p(x) - (bx+c)\,q_1(x) = p_1(x)\,(x-\beta)(x-\overline\beta)$. Přičtením $(bx+c)\,q_1(x)$ a vydělením polynomem $q$ dostáváme dokazovanou rovnost. Protože ${\rm St}(p_1)+2 \le \max\bigl({\rm St}(p),{\rm St}(q_1)+1\bigr) < {\rm St}(q)$, \ je $\ {\rm St}(p_1) < {\rm St}(q) - 2$. Takže platí i tvrzení o~stupni polynomu~$p_1$. \poznamka %%%%%%%%% Ukázkové příklady na převod lomené funkce na součet parciálních zlomků najde čtenář v~mnoha jiných učebních textech ke kalkulu. Nebo může použít matematický software, který zvládá rozpis na součet parciálních zlomků. Nás zde hlavně zajímalo zdůvodění vyslovených vět. \okraj Ireducibilní polynomy | Ireducibilni polynomy \definice [polireduc] %%%%%%%%% Nechť polynom $p$ má koeficienty z nějakého tělesa~$T$. Pokud vyhodnocujeme polynom jen pro $x\in T$ a operace $+$, $\cdot$ ve vzorci pro hodnotu polynomu jsou operace definované v~tělese $T$, pak říkáme, že polynom $p$ je {\em nad tělesem $T$}. Nechť $p$ je polynom nad tělesem $T$. Říkáme, že {\em $p$ je reducibilní v~$T$}, pokud existují polynomy $q$, $r$ stupně aspoň prvního nad~$T$ tak, že $p=q\,r$. Polynom $p$ je {\em ireducibilní v~$T$}, jestliže není reducibilní v~$T$. \inl[polynom: reducibilní, reducibilní: polynom] \inl[polynom: ireducibilní, ireducibilní: polynom] \poznamka %%%%%%%%% Slovo {\em ireducibilní\/} můžeme přeložit jako {\em nerozložitelný\/} na součin polynomů nižšího stupně v~číselném oboru koeficientů, který je stanoven tělesem~$T$. Například polynom $x^2+1$ je ireducibilní v~$\R$, ale není ireducibilní v~$\C$, protože $x^2+1=(x-i)(x+i)$. Z definice je zřejmé, že konstantní polynomy a polynomy stupně prvního jsou určitě ireducibilní v~libovolném tělese, protože podle věty\cite[pstupen] nemohou existovat dva polynomy stupně aspoň prvního, jejichž součin je polynom stupně nejvýše prvního. Z fundamentální věty algebry plyne tento důležitý poznatek: {\it ireducibilní polynomy v~$\C$ jsou pouze polynomy stupně nejvýše prvního}, nebo jinak: {\it všechny polynomy stupně aspoň druhého jsou v~$\C$ reducibilní}, nebo ještě jinak: {\it pro každý nenulový polynom existuje rozklad na kořenové činitele, což je rozklad na součin ireducibilních polynomů v~$\C$}. Reálný rozklad popsaný ve větě\cite[rrozkladp] je rozkladem na součin ireducibilních polynomů v~$\R$. Z~této věty plyne, že {\it ireducibilní polynom v $\R$ má stupeň nejvýše~$2$}. Ireducibilní polynom $ax^2+bx+c$ v~$\R$ stupně druhého poznáme tak, že má záporný diskriminant $D=b^2-4ac$. Má-li polynom stupně aspoň druhého nad tělesem $T$ kořen v tělese~$T$, pak je reducibilní v~$T$. Obrácené tvrzení \uv{nemá-li polynom v~tělese $T$ kořen, pak je ireducibilní v~$T$\/} neplatí. Například $(x^2+1)^2$ nemá v $\R$ kořen, ale lze jej rozložit na součin polynomů $(x^2+1)\,(x^2+1)$ s~reálnými koeficienty. \priklad %%%%%%%% Polynom $x^8-1$ z příkladu\cite[binom8] má rozklad na součin ireducibilních polynomů v $\C$: $$ \textstyle x^8-1 = \bigl(x-1\bigr) \,\bigl(x-{\sqrt2\over2}-i{\sqrt2\over2}\bigr) \,\bigl(x-{\sqrt2\over2}+i{\sqrt2\over2}\bigr) \,\bigl(x-i\bigr)\,\bigl(x+i\bigr) \,\bigl(x+{\sqrt2\over2}-i{\sqrt2\over2}\bigr) \,\bigl(x+{\sqrt2\over2}+i{\sqrt2\over2}\bigr) \,\bigl(x+1\bigr), $$ zatímco rozklad téhož polynomu na součin ireducibilních polynomů v~$\R$ je $$ x^8-1 = (x-1)\, (x+1)\, (x^2+1)\, (x^2+\sqrt2\,x+1)\, (x^2-\sqrt2\,x+1) $$ a konečně rozklad na součin ireducibilních polynomů v~$\Q$ (tělese racionálních čísel) vypadá následovně: $$ x^8-1 = (x-1)\, (x+1)\, (x^2+1)\, (x^4+1). $$ \shrnuti %%%%%%%% Polynom jsme zavedli jako funkci danou vzorečkem\lcite[dpolf] nebo jako vzoreček samotný\lcite[dpolv]. Definovali jsme součet a skalární násobek těchto vzorečků\lcite[polvplus] a ukázali, že tvoří lineární prostor\lcite[PX], který je izomorfní s prostorem polynomů jako funkcí\lcite[polyniso]. Kromě sčítání polynomů a násobení polynomu konstantou umíme polynomy také násobit mezi sebou\lcite[psoucin] a hledat částečný podíl\lcite[delenip]. Uvedli jsme si\lcite[horner3], že Hornerovo schéma umožní nejen efektivně vyhodnocovat polynomy ve zvolených bodech $\alpha$, ale mezivýpočty navíc tvoří koeficienty částečného podílu vyhodnocovaného polynomu polynomem $(x-\alpha)$. Definovali jsme kořen polynomu\lcite[dkoren] a dokázali, že polynom je dělitelný svým kořenovým činitelem beze zbytku\lcite[korencdeli]. Z toho vyplynul rozklad polynomu na součin kořenových činitelů\lcite[prozklad]. Základní věta algebry\lcite[fund] zaručuje, že tento rozklad lze provést v oboru komplexních čísel. Přitom si musíme být vědomi, že pro obecné polynomy stupně pátého a vyššího vzorce na přesný výpočet kořenů z koeficinetů neexistují\lcite[hledanikorenu], takže rozklad je možné psát jen teoreticky. Uvedli jsme si věty~/\ncite[delia0], \ncite[delirac]/, které uvádějí, že v případě celočíselných koeficientů dělí případné celočíselné kořeny koeficient $a_0$ resp. případný racionální kořen má jistý vztah ke koeficientům $a_0$ a $a_n$. Ovšem problém je v tom, že polynom s celočíselnými koeficienty nemusí mít žádný racionální kořen (což je navíc typická vlastnost). Pomůže nám to ke hledání kořenů jen pro \uv{modelové příklady}. Věty~/\ncite[alphaspruhem], \ncite[nasobnostpruhu]/ říkají, že polynomy s reálnými koeficienty mají své nereálné komplexní kořeny v párech vzájemně komplexně sdružené a stejné násobnosti. To inspiruje k reálnému rozkladu polynomu na součin: stačí snásobit kořenové činitele typu $(x-\alpha)(x-\overline\alpha)$, což je kvadratický polynom s reálnými koeficienty a se záporným diskriminantem. Krátce jsme zmínili rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky~/\ncite[parczl],\cite[parczl2]/ včetně reálné alternativy~/\ncite[parczlrell],\cite[parczlrel]/. Definovali jsme pojem ireducibilní polynom\lcite[polireduc]. % LocalWords: Polynomy polynomy %% zarazeno nove od zari 2006 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola [grupy] Grupa, těleso | Grupa, teleso %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \pozn [pteleso] %%%%% Následující text až do konce kapitoly je poněkud abstraknější povahy. Přitom se jeho znalost nepředpokládá pro pochopení dalších kapitol. Pokud tedy čtenář nechce být hned v~počátku studia zahlcen pojmy o algebraických strukturách, může tento text přeskočit. \pozn Reálná čísla jsou množina prvků, které umíme vzájemně sčítat a vzájemně násobit. Přesněji, je to množina $\R$, na které jsou definovány obvyklé operace $+: \R\times\R\to\R$ a $\cdot: \R\times\nobreak\R\to\nobreak\R$\penalty-500 \space s~jistými vlastnostmi (asociativní zákon, distributivní zákon, atd.). Těmito vlastnostmi se budeme inspirovat a pokusíme se vybudovat abstraktní algebraickou strukturu, tzv. {\it těleso}. Jedním z možných konkrétních příkladů tělesa pak samozřejmě budou reálná čísla. Jenomže kromě nich budeme nacházet i jiné příklady těles. Začneme nejprve strukturou s~jedinou operací. \okraj Grupa | Grupa \definice [dgrupa] %%%%%%%%% Množinu $G$, na které je definována operace $\Circ: G\times G\to G$ nazýváme {\em grupou}, pokud pro tuto operaci platí: $$\eqalign{ \bod (1) \forall x, y, z \in G: (x\Circ y)\Circ z = x\Circ (y\Circ z) \quad\hbox{ (asociativní zákon)}, \cr \bod (2) \exists e\in G, \hbox{ pro které platí }\forall x\in G: e\Circ x = x\Circ e = x \quad\hbox{ (existence neutrálního/jednotkového prvku)}, \cr \bod (3) \forall x\in G \ \exists y\in G: x\Circ y = y\Circ x = e \ \hbox{ (existence opačného/inverzního prvku $y$ pro každý prvek $x$)}. \cr \noalign{\medskip\hbox{\kern-5pt Pokud navíc platí}\medskip} \bod (4) \forall x, y \in G: x\Circ y = y\Circ x \quad\hbox{ (komutativní zákon)}, \cr} $$ pak grupu $G$ nazýváme {\em komutativní grupou}. Z historických důvodů a z úcty k norskému matematikovi, který rozpracoval teorii grup a bohužel zemřel mlád na zákeřnou nemoc ve věku 26 let, se komutativní grupa nazývá též {\em Abelova grupa}. \inl[grupa, axiomy: grupy] \inl[grupa: Abelova, Abelova grupa] \inl[Abel: Niels Henrik] \inl[grupa: komutativní, grupa: nekomutativní] \inl[prvek: neutrální, prvek: jednotkový, prvek: inverzní, prvek: opačný] \inl[neutrální: prvek, jednotkový: prvek, inverzní: prvek, opačný: prvek] \inl[zákon: asociativní, zákon: komutativní, komutativní: zákon, asociativní: zákon] \poznamka %%%%%%%%% Niels Abel mimo jiné pomocí teorie grup dokázal, že nelze pro obecný polynom stupně vyššího než~4 najít vzorec na výpočet jeho kořenů z~jeho koeficientů. Pro polynomy stupně 1, 2, 3 a 4 přitom takové vzorce existují. Pro stupeň 2 se jej žáci učí zpaměti: $x_{1,2}=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/2a$. \inl[Abel: Niels Henrik] \inl[kořen: polynomu] \priklad %%%%%%%% Jednoprvková množina $G=\{e\}$ s operací $e\Circ e=e$ je nejmenší možnou grupou. \inl[grupa: jednoprvková] \priklad %%%%%%%% Množina $\R$ s operací sčítání tvoří grupu. Skutečně platí asociativní zákon pro sčítání reálných čísel: $(x+y)+z=x+(y+z)$, dále existuje neutrální prvek 0, pro který $0+x=x+0=x$ a konečně pro každé $x\in\R$ existuje $y= -x$ tak, že $x + y = y + x = 0$. Navíc se jedná o grupu komutativní, protože sčítání reálných čísel je komutativní. \inl[grupa: R] Pokud operaci grupy značíme symbolem \uv{$+$} (jako v tomto příkladě), pak obvykle o prvku $e$ z~vlastnosti~(2) mluvíme jako o neutrálním prvku a značíme ho symbolem \uv{0} (též nula, nulový prvek) a prvek $y$ z vlastnosti (3) nazývame {\em opačný\/} a značíme $-x$. Přičtení opačného prvku v komutativní grupě pak nazýváme {\em odečítání\/} a místo $a+(-b)$ píšeme $a-b$. \inl[opačný: prvek, prvek: opačný, odečítání] \priklad %%%%%%%% Množina $\R\setminus\{0\}$ s operací násobení tvoří grupu. Skutečně platí asociativní zákon pro násobení reálných čísel: $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$, dále existuje jednotkový prvek 1, pro který $1\cdot x=x\cdot 1=x$ a konečně pro každé $x\in\R\setminus\{0\}$ existuje $y= x^{-1}$ tak, že $x\cdot y = y\cdot x = 1$. Navíc se jedná o grupu komutativní, protože násobení reálných čísel je komutativní. \inl[grupa: R] Pokud operaci grupy značíme symbolem \uv{$\cdot$}, pak obvykle prvek $e$ z vlastnosti~(2) značíme symbolem~\uv{1} (jedna, jednotkový prvek). Prvek $y$ z vlastnosti (3) nazývame {\em inverzní\/} a značíme $x^{-1}$. Násobení inverzním prvkem v komutativní grupě nazýváme {\em dělení\/} a místo $a\cdot b^{-1}$ píšeme $a/b$ nebo $a\over b$. \inl[inverzní: prvek, prvek: inverzní] \priklad %%%%%%%% Množina $\R$ s operací násobení netvoří grupu, protože 0 nemá inverzní prvek. \priklad %%%%%%%% Množina všech reálných funkcí $F=\{f: \R\to\R,\,\hbox{$f$ je prostá a \uv{na}}\}$ s operací {\it skládání funkcí} $\circ:F\times F\to F$, definovanou pomocí $(g\circ f) (x)$ = $g\bigl(f(x)\bigr)$ $\forall x\in\R$, tvoří grupu. Skutečně platí asociativní zákon $(f\circ g)\circ h = f\circ(g\circ h)$ a existuje jednotkový prvek: identické zobrazení $i$, pro které $i(x)=x$. Ke každé prosté funkci $f$ lze setrojit funkci inverzní $f^{-1}$ tak, že $f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f = i$. Přitom se nejedná o grupu komutativní, protože například pro $f(x)=x^3$, $g(x)=1+x$ je $(f\circ g) (x) = (1+x)^3$, zatímco $(g\circ f) (x) = 1+x^3$. \inl[grupa: funkcí, grupa: nekomutativní] \priklad [gpermutaci] %%%%%%%% Kdybychom v předchozím příkladě místo funkcí $f$ z $\R$ na $\R$ uvažovali prostá zobrazení $p$ z nějaké množiny $M$ na $M$, dostáváme znovu grupu, která nemusí být komutativní. V případě konečné množiny $M$ se jedná o grupu permutací. \inl[grupa: permutací, grupa: nekomutativní, permutace] \priklad %%%%%%%% Množina $M\subseteq\R^{n,n}$ všech regulárních matic (viz\cite[dregul]) s~operací násobení matic tvoří příklad nekomutativní grupy. \inl[grupa: regulárních matic, grupa: nekomutativní] \priklad [Gcyclic] %%%%%%%% Množina čísel $\{0,1,2,\ldots,k-1\}$ s operací $a\oplus b=a+b$ modulo $k$ tvoří komutativní grupu. Připomínáme, že \uv{$x$ modulo $y$} je zbytek při dělení čísla~$x$ číslem~$y$. Neutrálním prvkem této grupy je 0 a opačným prvkem k~prvku $a\not=0$ je prvek $k-a$. Samozřejmě, opačným prvkem k prvku neutrálnímu je prvek neutrální, což ostatně platí v~libovolné grupě. \inl[grupa: komutativní] \priklad %%%%%%%% Lineární prostor se svou operací sčítání vektorů (podle definice\cite[dlp]) tvoří komutativní grupu. Skutečně, asociativní zákon je postulován vlastností (2) v~definici\cite[dlp], neutrálním prvkem je nulový vektor (viz vlastnost (1) věty\cite[nulprvek]) a opačný vektor k vektoru $\vec x$ je vektor $-\vec x = (-1)\cdot \vec x$, protože $$ (-1)\cdot\vec x + \vec x = (-1)\cdot\vec x + 1\cdot\vec x = (-1+1) \cdot \vec x = 0\cdot \vec x = \vec o. $$ Konečně z vlastnosti (1) definice\cite[dlp] plyne, že se jedná o grupu komutativní. \inl[grupa: komutativní] \pozn [gdlp] %%%%% Obráceně, pomocí pojmu grupa můžeme významně zkrátit naší definici lineárního prostoru\cite[dlp]: {\em Lineárním prostorem} je množina $L$, která s operací $+:L\times L\to L$ tvoří komutativní grupu. Dále musí být na množině $L$ definována operace $\cdot:\R\times L\to L$, s vlastnostmi $\forall \alpha, \beta\in\R, \forall \vec x, \vec y\in L$: $$\eqalign{ \bod (A) \alpha\cdot(\beta\cdot\vec x) = (\alpha\beta)\cdot\vec x, \cr \bod (B) \alpha\cdot(\vec x + \vec y) = \alpha\cdot\vec x + \alpha\cdot\vec y, \cr \bod (C) (\alpha+\beta)\cdot\vec x = \alpha\cdot\vec x + \beta\cdot\vec x, \cr \bod (D) 1\cdot \vec x = \vec x. \cr} $$ \par\inl[prostor: lineární, lineární: prostor, axiomy: lineárního prostoru] Vzhledem k tomu, že vlastnosti (1), (2) definice\cite[dlp] přímo korespondují s vlastnostmi komutativní grupy, stačí ověřit, že nám z této nové definice vyplyne vlastnost (7) definice\cite[dlp], která jediná zde chybí. Existence nulového vektoru je zajištěna jako existence neutrálního prvku $\vec o$ v grupě. Je potřeba ukázat, že pro libovolný $\vec x\in L$ je vektor $0\cdot \vec x$ roven neutrálnímu prvku $\vec o$. K vektoru $0\cdot\vec x$ ovšem existuje v grupě prvek opačný $-\,0\cdot\vec x$. Ten přičteme k oběma stranám rovnice $0\cdot\vec x=(0+0)\cdot\vec x = 0\cdot\vec x+0\cdot\vec x$. Na levé straně dostáváme $0\cdot\vec x + (-\,0\cdot\vec x) = \vec o$. Na pravé straně je $ 0\cdot\vec x+0\cdot\vec x + (-0\cdot\vec x) = 0\cdot\vec x + \vec o = 0\cdot\vec x$. Porovnáním levé a pravé strany máme výsledek $\vec o = 0\cdot\vec x$. \inl[vektor: nulový, nulový: vektor] \poznamka %%%%%%%%% Axiomy grupy v definici\cite[dgrupa] explicitně neuvádějí, že v grupě existuje jen jediný neutrální prvek a ke každému prvku existuje jen jediný prvek opačný. Následující věta ukazuje, že to nicméně platí jako jednoduchý důsledek axiomů. \veta [jedinye] %%%%% {}(A) Každá grupa má jen jediný neutrální/jednotkový prvek. (B) Ke každému prvku grupy existuje jediný opačný/inverzní prvek. \inl[prvek: neutrální, neutrální: prvek, prvek: jednotkový, jednotkový: prvek] \inl[prvek: opačný, opačný: prvek, prvek: inverzní, inverzní: prvek] \dukaz %%%%%% (A) Předpokládáme dva neutrální prvky $e_1$, $e_2$. Musí platit $e_1=e_1\Circ e_2$, protože $e_2$ je neutrální. Musí také platit $e_2=e_1\Circ e_2$, protože $e_1$ je neutrální. Takže $e_1=e_1\Circ e_2=e_2$ a neutrální prvky se neliší. (B) Nechť $x\in G$ má dva inverzní/opačné prvky $y_1$ a $y_2$. Označme $e$ neutrální prvek. Pak platí: $y_1 = e\Circ y_1 = (y_2\Circ x)\Circ y_1 = y_2\Circ(x\Circ y_1) = y_2\Circ e = y_2$, takže $y_1=y_2$. \veta [gruparesirovnice] %%%%% Nechť na neprázdné množině $G$ je dána operace $\Circ:G\times G\to G$, pro kterou platí asociativní zákon (1) z definice grupy\cite[dgrupa]. Pak vlastnosti (2) a (3) z definice grupy jsou ekvivalentní s vlastností: pro každé $a, b\in G$ existují $x, y\in G$, které řeší rovnice $a\Circ x = b$ a $y\Circ a = b$. \dukaz Nechť nejprve platí vlastnosti (1), (2), (3) z definice grupy\cite[dgrupa]. Označme $a^{-1}$ inverzní prvek k~prv\-ku~$a$. Pak $x=a^{-1}\Circ b$ řeší rovnici $a\Circ x = b$, protože $a\Circ(a^{-1}\Circ b) = (a\Circ a^{-1})\Circ b = e\Circ b = b$. Z~podobných důvodů $y=b\Circ a^{-1}$ řeší rovnici $y\Circ a = b$. Nechť nyní platí asociativní zákon (1) a umíme řešit uvedené rovnice. Volme $a\in G$. Označme $e_a$ řešení rovnice $a\Circ x = a$, tj. platí $a\Circ e_a=a$. Ukážeme nejprve, že pro libovolné $b\in G$ je $b\Circ e_a=b$. Nechť $y\in G$ řeší rovnici $y\Circ a=b$. Pak platí $b\Circ e_a=(y\Circ a)\Circ e_a=y\Circ(a\Circ e_a)=y\Circ a=b$. Vidíme tedy, že řešení $e_a$ rovnice $a\Circ x = a$ nezávisí na volbě prvku $a$, takže stačí prvek $e_a$ označovat $e$. Podobně lze ukázat, že také řešení rovnice $y\Circ a=a$ nezávisí na volbě prvku $a$. Označme toto řešení $f$. Nyní podobně jako v~důkazu věty\cite[jedinye] je $f\Circ e=f$, protože $e$ řeší $a\Circ e=a$ a platí $f\Circ e=e$, protože $f$ řeší $f\Circ a=a$. Takže $e=f$ a toto je jednotkový prvek grupy. Sestrojíme inverzní prvek k prvku $x\in G$. Nechť $u$ řeší rovnici $x\Circ u=e$ a $v$ řeší rovnici $v\Circ x=e$. Platí $v=v\Circ e=v\Circ(x\Circ u)=(v\Circ x)\Circ u=e\Circ u=u$, takže $u=v$ je inverzní prvek k prvku $x$. %a $e_b$ řešení rovnice %$y\Circ b = b$. Ukáži nejprve, že $e_a=e_b$. %Označím $u$ řešení rovnice $u\Circ a=e_b$ a $v$ řešení rovnice %$b\Circ v=e_a$. %Rovnost $a\Circ e_a = a$ vynásobím $u$ zleva a rovnost %$e_b\Circ b = b$ vynásobím %$v$ zprava: $u\Circ a\Circ e_a = u\Circ a$, $e_b\Circ b \Circ v = %b\Circ v$. Protože $u$ řeší rovnici $u\Circ a=e_b$ a $v$ řeší rovnici $b\Circ %v=e_a$, dostávám: $e_b\Circ e_a = e_b$ a $e_b\Circ e_a = %e_a$. Takže $e_b = e_b\Circ e_a = e_a$. Z~případu $a=b$ vyplývá, že %řešení rovnice $a\Circ x = a$ je stejné jako řešení rovnice $x\Circ a = a$, takže v %tomto případě nezáleží na pořadí násobení. Při $a\not=b$ dostáváme, že %řešení rovnic $a\Circ x = a$, $x\Circ a = a$ nezávisí na volbě prvku %$a$. Toto řešení je neutrální prvek $e$. Nyní sestrojím inverzní %prvek k prvku $x$. Nechť $u$ řeší rovnici $x\Circ u=e$ a $v$ řeší %rovnici $v\Circ x=e$. Vynásobením první rovnice prvkem $v$ zleva %a druhé prvkem $u$ zprava dostáváme $v\Circ x\Circ u=v$, $v\Circ %x\Circ u=u$. Takže $u=v$ a toto je hledaný inverzní prvek k prvku $x$. \okraj Pologrupa, grupoid | Pologrupa, grupoid \pozn %%%%% Vzhledem k předchozí větě se v některé literatuře definuje grupa jen pomocí asociativního zákona a řešitelnosti rovnic (jen dvě vlastnosti). Pokud platí jen asociativní zákon a řešitelnost rovnic není požadována, mluví se o {\em pologrupě}. Pokud je pouze dána operace $\Circ:G\times G\to G$ bez dalších vlastností, mluví se v některé literatuře o {\em grupoidu}. Takže množina s operací je grupoid. Grupoid s~asociativním zákonem je pologrupa. Pologrupa s řešitelností rovnic je grupa. \inl[pologrupa, grupoid, grupa] \okraj Podgrupa | Podgrupa \definice %%%%%%%%% Nechť $G$ je grupa s operací $\Circ$. Pokud $G_1\subset G$ je sama o sobě grupou se stejnou operací (tj. speciálně $\Circ:G_1\times G_1\to G_1$ a platí vlastnosti (1)--(3) definice grupy\cite[dgrupa]), nazýváme $G_1$ {\em podgrupou} grupy~$G$. \inl[podgrupa] \pozn [podstruktura] %%%%% Výše uvedenou definici uvádím hlavně proto, aby měl čtenář možnost ji porovnat s~definicí podprostoru\cite[dlpp] a shledal, že základní myšlenka definice podstruktury je pořád stejná. V~případě ověřování podgrupy je kontrola asociativního zákona (1) zbytečná (je zaručen už ve vnější grupě), ale vlastnosti $x\Circ y\in G_1$, $e\in G_1$ a existence inverzního prvku v $G_1$ jsou podstatné. \priklad %%%%%%%% Množina $\bf Z$ celých čísel s operací sčítání \uv{$+$} je podgrupou grupy $\R$ reálných čísel se stejnou operací. \priklad %%%%%%%% Množina ${\bf Z}\setminus\{0\}$ celých nenulových čísel s operací násobení \uv{$\cdot$} není podgrupou grupy $\R\setminus\{0\}$ reálných čísel se stejnou operací, protože k číslům různým od $-1$ a $1$ neexistuje na množině ${\bf Z}\setminus\{0\}$ inverzní prvek. Na druhé straně se jedná o pologrupu, protože násobení je uzavřeno na nenulová celá čísla a je samozřejmě asociativní. \okraj Těleso | Teleso \definice [dteleso] %%%%%%%%% {\em Těleso\/} je množina $T$ se dvěma operacemi obvykle označovanými $+:T\times T\to T$ a $\cdot:T\times T\to T$, které mají následující vlastnosti: (1) $T$ s operací \uv{$+$} je komutativní grupa. Neutrální prvek této grupy je označen symbolem $0$. (2) $T\setminus\{0\}$ s operací \uv{$\cdot$} je komutativní grupa. Jednotkový prvek této grupy se značí symbolem $1$. (3) Operace \uv{$+$} a \uv{$\cdot$} splňují distributivní zákon: $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c$. \inl[těleso, axiomy: tělesa, zákon: distributivní, distributivní: zákon] \poznamka %%%%%%%%% Někteří autoři v definici tělesa nepožadují komutativitu grupy vzhledem k násobení a pokud je splněna, mluví o {\em komutativním tělese}. Existují příklady, kdy komutativita násobení není splněna Důležitým příkladem jsou {\em kvaterniony\/}: čísla podobná komplexním, ale se třemi nezávislými imaginárními jednotkami. Kvaterniony se užívají například při popisu 3D~transformací v počítačové grafice\bcite[zara]. V~našem textu budeme u těles vždy předpokládat komutativitu obou operací. \inl[těleso: komutativní, komutativní: těleso] \inl[těleso: nekomutativní, nekomutativní: těleso] \inl[kvaterniony] \priklad %%%%%%%% Reálná čísla s operacemi sčítání a násobení tvoří těleso. \inl[těleso: R] \priklad %%%%%%%% Racionální čísla jsou podtělesem tělesa reálných čísel. Podtěleso je definováno v~souladu s~poznámkou\cite[podstruktura] jako podmnožina tělesa, která sama o sobě se stejnými operacemi tvoří těleso. \inl[podtěleso] \priklad %%%%%%%% Množina celých čísel s operacemi sčítání a násobení netvoří těleso, protože pro operaci násobení neexistuje pro všechna nenulová celá čísla inverzní prvek jako celé číslo. Toto je příklad struktury, která má všechny vlastnosti tělesa s výjimkou jediné: není zaručena existence inverzního prvku pro~násobení. Taková struktura se nazývá {\em okruh}. \inl[okruh] \priklad %%%%%%%% Množina komplexních čísel s operacemi sčítání a násobení tvoří těleso. \inl[těleso: C] \veta [vteleso] %%%%% Pro libovolné prvky $a, b$ z tělesa platí: $a\cdot b = 0$ právě tehdy, když $a=0$ nebo $b=0$. \dukaz ($\Rightarrow$): $T\setminus\{0\}$ musí být podle vlastnosti (2) definice\cite[dteleso] vzhledem k násobení grupa, tj. součin dvou nenulových prvků musí být prvek nenulový. Jinými slovy, pokud součin vychází nulový, musí aspoň jeden z činitelů být nula. ($\Leftarrow$): Je třeba dokázat, že $0\cdot a = 0$. Protože 0 je neutrální prvek vzhledem ke sčítání, platí $0+0=0$. Díky distributivnímu zákonu je $0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a$. K oběma stranám rovnosti přičteme opačný prvek k prvku $0\cdot a$, tedy prvek $-\,0\cdot a$. Na levé straně dostáváme 0 a na pravé $0\cdot a$. \okraj Galoisovo těleso se dvěma prvky | Galoisovo teleso se dvema prvky \priklad [pZ2] %%%%%%%% Těleso musí podle definice obsahovat 0 a 1 a tyto dva prvky musejí být různé. Takže těleso musí obsahovat aspoň dva prvky. Ukážeme, že existuje těleso, které obsahuje jen tyto dva prvky, tedy $T=\{0,1\}$. \penalty-200 Operaci \uv{$+$} definujeme: $0+0=0, \ 0+1=1+0=1, \ 1+1=0$. Operaci \uv{$\cdot$} definujeme jako obvyklé násobení: $0\cdot0=0\cdot1=1\cdot0=0, \ 1\cdot1=1$. Množina $T=\{0,1\}$ s takto zavedenými operacemi tvoří těleso. Skutečně, pro operaci \uv{$+$} platí asociativní zákon, 0 je neutrální prvek, opačný prvek k $0$ je $0$ a opačný prvek k $1$ je $1$. Grupa $T\setminus\{0\}$ vzhledem k násobení je jednoprvková a všechny vlastnosti grupy zde platí zcela samozřejmě. Je rovněž splněn distributivní zákon. Sčítání je v tomto tělese totéž co odečítání. Inverzní prvek k 1 je 1. Tělesa s konečně mnoha prvky se z historických důvodů nazývají {\em Galoisova tělesa}. V našem příkladě $T=\{0,1\}$ se tedy jedná o Galoisovo těleso se dvěma prvky. Évariste Galois byl francouzský matematik, který bohužel zemřel mlád ve věku 20 let na následky zranění v souboji. I jeho teorie dokazuje mimo jiné nemožnost algebraického popisu kořenů polynomů stupně většího než 4. Tato teorie je známější než Abelova, ovšem byla zveřejněna o pět let později. \inl[těleso: Galoisovo, Galoisovo: těleso, těleso: konečné, konečné: těleso] \inl[těleso: Z2, Z2, těleso: GF2, GF2] \inl[Galois Évariste] \inl[Avel: Niels Henrik] \poznamka %%%%%%%%% Je-li třeba na dvouprvkové množině definovat operace sčítání a násobení tak, abychom získali těleso, není možné to udělat jinak, než v příkladu\cite[pZ2]. Především 0 je neutrální prvek vzhledem ke sčítání, takže podle vlastnosti~(2) definice grupy\cite[dgrupa] musí $0+0=0$, $0+1=1+0=1$. Dále množina $\{1\}$ musí být grupou vzhledem k násobení, takže musí $1\cdot1=1$. Dále musí platit $0\cdot a=a\cdot 0=0$, jinak by nebyla splněna věta\cite[vteleso]. Zbývá otázka, zda můžeme definovat $1+1=1$. Nemůžeme, protože pak by prvek~1 neměl prvek opačný. \okraj {\tenrm GF($p$)}, ${\bf Z}_p$ | GF(p), Zp \priklad [modulo] %%%%%%%% Na množině $\{0, 1, \ldots, p-1\}$ definujme operace \uv{$+$} a \uv{$\cdot$} jako obvyklé sčítání a násobení, ovšem na výsledek aplikujme proces \uv{modulo $p$}. Takže například pro $p=5$ pracujeme s množinou $\{0,1,2,3,4\}$ a platí $4+3 = 2$, protože zbytek po dělení čísla 7 číslem 5 je 2. Nebo $4\cdot4 = 1$, protože zbytek po dělení čísla 16 číslem 5 je 1. Nechť nejprve $p$ není prvočíslo, tj. je tvaru součinu $p=m\,n$. Pak $m\cdot n=0$ modulo $p$, a přitom čísla $m$ a $n$ jsou nenulová. Podle věty\cite[vteleso] se nemůže jednat o těleso, protože součin nenulových čísel musí v~tělese vyjít jako číslo nenulové. Nechť $p$ je prvočíslo. Ukážeme, že $M=\{0, 1, \ldots, p-1\}$ s~operacemi \uv{$+$, $\cdot$ modulo $p$} tvoří těleso. Především $M$ se sčítáním modulo $p$ je komutativní grupa (viz příklad\cite[Gcyclic]). Operace násobení modulo~$p$ je asociativní, komutativní a jednotkovým prvkem je číslo~$1$. Distributivní zákon plyne z~distributivního zákona běžných operací \uv{$+$} a \uv{$\cdot$}. Nejvíce práce dá nalezení inverzního prvku pro $a\in M\setminus\{0\}$. Prvek $a$ nechme pevný a uvažujme všechna čísla \uv{$ak$ modulo $p$} pro $k\in\{1, 2, \ldots, p-1\}$. Tato čísla jsou pro různá~$k$ vzájemně různá (viz níže) a pokrývají tedy celou množinu $\{1, 2, \ldots, p-1\}$. Musí tedy existovat takové~$k$, že $ak=1$~mod~$p$. Toto~$k$ je inverzním prvkem k~prvku $a$. V~úvaze ještě chybí obhájit, že čísla \uv{$ak$~modulo~$p$} jsou pro různá~$k$ vzájemně různá. Předpokládejme, že existují čísla $k_1, k_2\in M\setminus\{0\}$, $k_1\geq k_2$ taková, že $ak_1=ak_2$~mod~$p$, tj. $a(k_1-k_2)=mp$ pro nějaké $m\geq0$. Rovnost vydělíme číslem $a$. Protože $a. $$ {\bf Řešení:} Protože Gaussova eliminace nemění lineární obal, najdeme bázi eliminací: $$ \matice {1&0&1&0&1\cr 1&1&0&0&1\cr 1&0&0&1&1\cr 0&1&1&0&0} \sim \matice {1&0&1&0&1\cr 0&1&1&0&0\cr 0&0&1&1&0\cr 0&1&1&0&0} \sim \matice {1&0&1&0&1\cr 0&1&1&0&0\cr 0&0&1&1&0\cr 0&0&0&0&0}. $$ Báze $M$ je tedy například $(1,0,1,0,1), (0,1,1,0,0), (0,0,1,1,0)$. Dimenze $M$ je tři. \poznamka %%%%%%%%% Protože $\Z_2^n$ obsahuje konečný počet vektorů, můžeme (na rozdíl od lineárních prostorů nad $\R$) vypsat podprostor nebo lineární obal výčtem prvků. Pro podprostor $M$ z předchozího příkladu platí: $$ \eqalign{ M &= \{ (0,0,0,0,0), (1,0,1,0,1), (0,1,1,0,0), (0,0,1,1,0),\cr & \qquad (1,1,0,0,1), (1,0,0,1,1), (0,1,0,1,0), (1,1,1,1,1) \}. \cr} $$ Jak se dá takový výčet prvků najít? Především pro $\vec x \not=\vec o$ je $\lob<\vec x> = \{\vec o, \vec x\}$. Skutečně, vektor $\vec x$ můžeme násobit jen jedničkou nebo nulou. To jsou všechny lineární kombinace, které můžeme s~vektorem~$\vec x$ vytvořit. Množina $M$ má tříprvkovou bázi $\{\vec a, \vec b, \vec c\}$. Takže pro sestavení lineárního obalu stačí najít všechny lineární kombinace těchto tří vektorů: $\vec o, \ \vec a, \ \vec b, \ \vec c, \ \vec a+\vec b, \ \vec a+\vec c, \ \vec b+\vec c, \ \vec a+\vec b+\vec c$. \priklad %%%%%%%% Zjistěte počet prvků lineárního (pod)prostoru nad $\Z_2$, který má dimenzi~$n$. {\bf Řešení:} Má-li (pod)prostor dimenzi $n$, pak má $n$ prvkovou bázi $\vecc b_n$. Abychom získali všechny lineární kombinace těchto vektorů, musíme každý vektor násobit jedničkou nebo nulou. Máme tedy $2^n$ lineárních kombinací. Tyto kombinace vyplňují celý lineární (pod)prostor a jsou navzájem různé. Kdyby se totiž dvě lineární kombinace s~různými koeficienty rovnaly, pak jejich odečtením dostáváme netriviální lineární kombinaci rovnu nulovému vektoru. To je spor se skutečností, že $\vecc b_n$ je báze. Závěr: počet prvků lineárního (pod)prostoru nad $\Z_2$ dimenze $n$ je $2^n$. Například podprostor $M$ z~příkladu\cite[Z2M] má dimenzi~3 a má tedy $2^3=8$ prvků. \priklad %%%%%%%% Najděte všechna řešení $\vec x\in \Z_2^6$ homogenní soustavy rovnic $\A\,\vec x = \vec o$, je-li $$ \A = \pmatrix { 1&1&0&1&0&1\cr 1&0&1&1&0&0\cr 0&1&0&0&1&1\cr 1&0&0&1&1&0\cr 1&1&1&0&0&1}. $$ {\bf Řešení:} Najdeme matici ekvivalentní soustavy s lineárně nezávislými řádky: $$ \pmatrix { 1&1&0&1&0&1\cr 1&0&1&1&0&0\cr 0&1&0&0&1&1\cr 1&0&0&1&1&0\cr 1&1&1&0&0&1} \sim \pmatrix { 1&1&0&1&0&1\cr 0&1&1&0&0&1\cr 0&1&0&0&1&1\cr 0&1&0&0&1&1\cr 0&0&1&1&0&0} \sim \pmatrix { 1&1&0&1&0&1\cr 0&1&1&0&0&1\cr 0&0&1&0&1&0\cr 0&0&0&1&1&0}. $$ Hodnost matice soustavy je 4, dimenze prostoru je 6, takže dimenze množiny řešení je 2. Hledáme tedy dvě lineárně nezávislá řešení: $(?,?,?,?,1,0)$ a $(?,?,?,?,0,1)$. Dosazením \uv{zespoda nahoru} dostáváme následující řešení: $(0,1,1,1,1,0)$, $(0,1,0,0,0,1)$. Množina všech řešení je lineárním obalem těchto dvou řešení a obsahuje $2^2=4$ vektory: $$ \lob<(0,1,1,1,1,0), (0,1,0,0,0,1)> = \{(0,0,0,0,0,0), (0,1,1,1,1,0), (0,1,0,0,0,1), (0,0,1,1,1,1)\}. $$ \poznamka %%%%%%%%% Při hledání báze prostoru řešení můžeme také využít větu\cite[genbasehomo]. V předchozím příkladě bychom pak pokračovali v eliminaci zpětným chodem: $$ \pmatrix { 1&1&0&1&0&1\cr 0&1&1&0&0&1\cr 0&0&1&0&1&0\cr 0&0&0&1&1&0} \sim \pmatrix { 1&0&0&0&0&0\cr 0&1&0&0&1&1\cr 0&0&1&0&1&0\cr 0&0&0&1&1&0}. $$ Tvar matice $(\E|\C)$ odpovídá předpokladu věty\cite[genbasehomo], takže řádky báze řešení tvoří matici: $$ \pmatrix {0&1&1&1&1&0 \cr 0&1&0&0&0&1}. $$ Poznamenejme, že nemusíme přecházet od matice $\C$ k~matici $-\C$, protože v aritmetice $\Z_2$ jsou obě matice stejné. \okraj Kód, kódové slovo | Kod, kodove slovo \definice [dkod] %%%%%%%%% Nechť $A$ je konečná množina (tzv. {\em abeceda}). Pak {\it slovo} je libovolná konečná posloupnost prvků z $A$. {\it Kódování\/} v obecném smyslu zahrnuje (1) algoritmus, kterým informace převádíme do posloupnosti slov (tzv. {\em kodér\/}) a (2) algoritmus, kterým zpětně z~těchto slov získáváme původní informaci ({\em dekodér\/}). Slova, která vytváří kodér, se nazývají {\em kódová slova}. Množina všech kódových slov se nazývá {\em kód}. Je-li kód množinou slov stejné délky (každé kódové slovo má stejný počet znaků abecedy), mluvíme o~tzv. {\it blokovém kódu}. Blokový kód {\em délky $n$} značí, že všechna kódová slova mají $n$ znaků abecedy. \inl[abeceda, slovo, kódování, kodér, dekodér, slovo: kódové, kódové: slovo] \inl[kód, kód: blokový, blokový: kód] \poznamka %%%%%%%%% Typicky $A=\{0,1\}$, tj. abeceda se skládá jen ze dvou znaků (tzv. bitů, anglicky bits, což je původně zkratka z BInary digiTS) a slova jsou posloupnosti těchto bitů. \inl[bit] \priklad %%%%%%%% ASCII kód je množina 7bitových slov, která reprezentují jednotlivá písmena anglické abecedy a další běžné znaky (číslice, tečku, vykřičník, otazník, mezeru, {\tt\#} neboli vězení atd.). Tato množina obsahuje 91 slov, protože v době vzniku tohoto kódu byl požadavek na kódování 91 znaků. Kodér i dekodér pak pracují s tabulkou těchto znaků, u kterých jsou uvedena odpovídající kódová slova. Tato tabulka může být na straně kodéru technicky realizována třeba ovladačem klávesnice a na straně dekodéru fontem. Jedná se o blokový kód. Od počátku existence počítačů byl tento blokový kód rozšířen o redundantní nulový bit na začátku, takže často je ASCII kód prezentován jako množina 8bitových slov. Později začal být tento bit využíván pro různá rozšíření ASCII kódu, která zahrnují i reprezentaci některých písmen s diakritickými znaménky. \inl[kód: ASCII, ASCII: kód] \poznamka %%%%%%%%% Je potřeba si uvědomit, že slova jsou do paměťového média nebo do přenosové linky vkládána za sebou bez oddělovačů. Blokový kód má tu výhodu, že dekodér dokáže snadno rozdělit tento \uv{tok znaků abecedy} na slova a těm pak přidělit význam například pomocí nějaké tabulky. Nevýhoda blokového kódu spočívá v tom, že plýtvá místem, neboť tušíme, že pokud navrhneme pro častěji se vyskytující slova kratší posloupnosti znaků, celkový počet znaků abecedy pro přenášené/ukládané informace může být menší. To ostatně je (alespoň zhruba) i vlastnost přirozeného jazyka. Tam máme ovšem abecedu rozsáhlejší (nebinární) a za prvek abecedy můžeme považovat i mezeru: oddělovač mezi slovy, který dekodéru pomůže. Nebo v Morseově abecedě máme také tři znaky: tečka, čárka a mezera. Bez mezery by bylo dekódování morseovky nemožné. Máme-li k dispozici jen binární abecedu $A=\{0,1\}$, pak je potřeba při návrhu kódu se slovy nestejné délky myslet na možnosti dekodéru. Je to technicky možné, ale není to obsahem tohoto textu. Příkladem neblokového kódu je UTF8, který kóduje znaky abeced všech jazyků světa. Písmena anglické abecedy a běžné znaky jsou reprezentovány 8bitovým slovem, ale písmena dalších jazyků jsou kódována 16bitovým slovem nebo i delším (24 bitů a 32 bitů). \inl[UTF8: kód, kód: UTF8] Nadále budeme pracovat jen s blokovými kódy nad binární abecedou. \okraj Kódování s~detekcí a opravou chyb | Kodovani s detekci a opravou chyb \poznamka %%%%%%%%% Nechť $K$ je blokový kód délky~$n$ nad binární abecedou $A$. Pak platí $K\subseteq A^n$. Pokud $K\not=A^n$, pak mezi uspořádanými $n$-ticemi z~$A$ existují nekódová slova, tj. taková, která kodér nikdy nevytvoří a která nemají přidělen význam. Přijme-li dekodér (např. za nekvalitní linkou) nekódové slovo, je si jist, že při přenosu linkou došlo k chybě. Může například v takovém případě požádat pomocí jiných technických prostředků kodér, aby vyslal slovo znovu. Nebo se může pokusit chybu opravit. Tušíme jisté problémy: šum na lince může způsobit tak nešťasnou chybu, že se z jednoho kódového slova stane jiné kódové slovo a dekodér nic nepozná. Je tedy rozumné kódování navrhnout tak, aby například omezený počet chyb v jednom slově (tj. záměn nuly za jedničku a naopak) zaručil, že se z~kódového slova stane slovo nekódové. Znovu můžeme hledat analogii v přirozeném jazyce. Překlep ve slově jsme velmi často schopni detekovat i opravit. Někdy ale překlep může způsobit, že vzniká jiné běžné slovo jazyka. Člověk jako dekodér ani s tímto druhem chyby nemá většinou problém, protože pracuje s kontextem celé věty (větší skupiny slov). Takto inteligentní dekodér ale nebude naším cílem. Vystačíme si s detekováním a opravováním chyb jen na úrovni jednotlivých slov. \definice [hammingd] %%%%%%%%% Nechť $A=\{0,1\}$. {\em Hammingova velikost slova $\vec u\in A^n$} je počet jedniček v tomto slově a značíme ji $\|\vec u\|$. {\em Hammingova vzdálenost slov $\vec v\in A^n$ a $\vec w\in A^n$} je počet bitů, ve kterých se tato dvě slova liší. Značíme ji $\d(\vec v,\vec w)$. \inl[velikost: slova: Hammingova, Hammingova: velikost slova] \inl[vzdálenost: Hammingova, Hammingova: vzdálenost slov] \poznamka [hammingp] %%%%%%%%% Nechť $A=\{0,1\}$ a $\vec v, \vec w\in A^n$. Pak $\vec v+\vec w$ (v aritmetice $\Z_2$) je slovo, které má jedničky právě v~místech, kde se $\vec v$ a $\vec w$ liší. Takže platí: $\d(\vec v,\vec w)= \|\vec v+\vec w\|$. \poznamka %%%%%%%%% Předpokládejme, že $\vec v$ je slovo vyslané kodérem a $\vec w$ slovo přijaté dekodérem. Pak $\d(\vec v,\vec w)$ udává počet chyb ve slově, které vznikly během přenosu. Poznámka v poznámce: předpokládáme, že díky technickým parametrům zařízení nikdy nedojde k~chybě, kdy se jednička nebo nula ze slova zcela vytratí nebo vznikne nová, tj. nikdy nehrozí riziko, že by na straně dekodéru byl přečten jiný počet jedniček a nul než byl vyslán kodérem. \priklad [kod2] %%%%%%%% Je dán tento kód: $K=\{0000, 0011, 0101, 1001, 0110, 1010, 1100, 1111\}$. Jedná se o~blokový binární kód délky 4. Pro potřeby tohoto příkladu nebudeme specifikovat druh informace, kterou potřebujeme přenášet. Protože kód obsahuje jen 8 slov, může být původní informace zapsána pomocí nějaké 8 znakové abecedy. Zajímavé na tomto kódu je, že každé kódové slovo obsahuje sudý počet jedniček. Pokud dojde k~jediné chybě ve slovu, máme jistotu, že dekodér přijme nekódové slovo (s lichým počtem jedniček) a ohlásí chybu. Je-li pravděpodobnost výskytu dvou nebo více chyb v jednom slově zanedbatelná a nám postačuje jen detekovat chyby (neopravovat je), je toto rozumný návrh kódu. Povšimneme si, že minimální Hammingova vzdálenost mezi dvěma různými kódovými slovy tohoto kódu je 2, takže jedna chyba způsobí vytvoření nekódového slova. \priklad [kod4] %%%%%%%% Je dán blokový kód délky 8 bitů: $K=\{00000000, 00001111, 11110000, 11111111\}$. Minimální Hammingova vzdálenost mezi kódovými slovy je~4, takže ani tři chyby ve slově nezpůsobí přechod na jiné kódové slovo a dekodér správně detekuje chybu přenosu. Dekodér dokonce dokáže v tomto kódu opravit jednu chybu a detekovat výskyt dvou chyb ve slově. Chybu opraví tak, že se od přijatého slova $\vec w$ vrátí ke kódovému slovu $\vec v$ takovému, že Hammingova vzdálenost $\d(\vec v,\vec w)=1$. Samozřejmě, naučíme-li dekodér opravovat jednu chybu ve slově, pak už nemusí být schopen vždy správně detekovat tři chyby. Může se totiž stát, že místo toho opraví jeden bit a dostane jiné kódové slovo. \priklad [vzdalenost+oprava] %%%%%%%% Nechť minimální Hammingova vzdálenost mezi kódovými slovy je $d>2$. Rozhodněte (A)~kolik chyb ve slově může dekodér detekovat, pokud po něm nechceme, aby chyby opravoval, a (B)~kolik chyb ve slově může opravit a kolik jich může aspoň detekovat bez opravy. Odpověď: (A) Dekodér může spolehlivě detekovat nejvýše $d-1$ chyb. (B) Je-li $d$ sudé, může dekodér opravit jednu až $d/2-1$ chyb a detekovat $d/2$ chyb bez opravy. Je-li $d$ liché, může opravit jednu až $(d-1)/2$ chyb a žádné množství chyb nedetekuje bez opravy. Je samozřejmě možné i jiné rozvržení. Např. pro $d$ liché necháme dekodér opravit nejvýše $(d-3)/2$ chyb a při výskytu $(d-1)/2$ nebo $(d+1)/2$ chyb ve slově jen chyby detekujeme bez opravy. \inl[detekce chyb, oprava chyb] \okraj Lineární kód | Linerani kod \poznamka %%%%%%%%% Při návrhu dekodéru s detekcí nebo opravou chyb se s výhodou využijí nástroje lineární algebry, jako je násobení matic, vymezení podprostorů a bází, řešení homogenních soustav atd. Binární slova délky $n$ budeme v tomto případě považovat za vektory z~lineárního prostoru $\Z_2^n$, takže je můžeme sčítat. Ostatně, už v poznámce\cite[hammingp] jsem zmínil sčítání slov $\vec v$ a $\vec w$. V teorii kódování se binární slova zapisují jedničkami a nulami bez mezer (viz příklady\cite[kod2] a\cite[kod4]), zatímco v lineární algebře jsme dosud zapisovali vektory do závorek a jejich složky oddělovali čárkami. Věřím, že nedojde k~nedorozumění, pokud dále v textu o kódování budu zapisovat vektory způsobem, jako v příkladu\cite[kod2]. \definice [dlkod] %%%%%%%%% Binární blokový kód $K$ délky $n$ je {\em lineární}, pokud $K$ tvoří lineární podprostor lineárního prostoru $\Z_2^n$. Jestliže dimenzi tohoto podprostoru označíme $k$, pak mluvíme o {\em lineárním $(n,k)$ kódu}. \inl[kód: lineární, lineární: kód] \veta [nejmhm] %%%%% Nejmenší Hammingova vzdálenost mezi slovy lineárního kódu $K$ je rovna nejmenší Hammingově velikosti nenulového kódového slova. \dukaz Stačí si uvědomit, že pro $\vec v_1, \vec v_2\in K$ je $\|\vec v_1+\vec v_2\| = \d(\vec v_1,\vec v_2)$, a přitom $\vec v_1+\vec v_2\in K$, protože $K$ je lineární kód. Navíc $\|\vec v\| = \d(\vec v, \vec o)$. \priklad %%%%%%%% Kód z příkladu\cite[kod2] je lineární, protože $K$ tvoří podprostor lineárního prostoru $\Z_2^4$. Skutečně, sečteme-li dva vektory se sudým počtem jedniček, dostameme vektor se sudým počtem jedniček. Výsledek násobení vektoru z~$K$ konstantou $\alpha$ zůstane v~$K$, protože v~$\Z_2$ číslo $\alpha$ může být jen~0 nebo~1. Báze kódu z příkladu\cite[kod2] je například $\{0011, 0101, 1100\}$, takže dimenze kódu je 3 a jedná se tedy o {\it lineární $(4,3)$ kód}. \poznamka %%%%%%%%% Příklad\cite[kod2] ilustruje tzv. kódování s kontrolním bitem parity. Původní informaci s osmi znaky je možné kódovat blokovým binárním kódem $\{000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111\}$, tedy stačí nám tři bity. Pokud chceme detekovat jednu chybu ve slově, přidáme čtvrtý tzv. {\em kontrolní bit}, který nastavíme na 0, pokud je v původním tříbitovém slově sudý počet jedniček a nastavíme ho na 1, pokud je v původním slově lichý počet jedniček. Dostáváme tak kód z~příkladu\cite[kod2]. \inl[kontrolní: bit] \inl[kód: s kontrolním bitem parity] Tento postup můžeme použít na jakýkoli \uv{výchozí} binární blokový kód délky~$k$ se všemi $2^k$ kódovými slovy. Přidáním kontrolního bitu parity dostáváme lineární $(k+1,k)$ kód, kterým jsme schopni detekovat jednu chybu ve slově. Dekodér pak odstraní kontrolní bit z každého přijatého slova a získá tím původní kódovanou informaci. \poznamka %%%%%%%%% Vstupní informace je často připravena už jako posloupnost slov binárního blokového kódu délky $k$, ve kterém všechna slova jsou kódová. Naším úkolem je pak rozšířit tento kód o dalších $n-k$ tzv. {\em kontrolních bitů}, abychom dostali lineární $(n,k)$ kód. Kodér tedy očekává na vstupu libovolné slovo délky $k$ a jeho úkolem je zkopírovat bity vstupu do výstupu (tzv. {\em informační bity\/}) a přidat $n-k$ kontrolních bitů. Dekodér pak použije tyto kontrolní bity pro detekci a případnou opravu chyb a poté je odstraní a ponechá jen informační bity. Cílem je navrhnout kódování, které má co nejmenší {\em redundanci\/} (tj. poměr počtu kontrolních bitů ku počtu všech přenášených bitů ve slově), protože ta zatěžuje linku nebo paměťové médium režijními informacemi, které uživatel ze svého pohledu nevyužije. Přitom ale chceme co nejschopnější dekodér, který by detekoval a opravoval chyby a navíc by měl pracovat efektivně. \inl[informační: bit, redundance] \inl[kontrolní: bit] Z pohledu lineární algebry je výše popsaný přechod od kódu délky $k$ na lineární kód délky $n>k$ lineární zobrazení $\a:\Z_2^k\to\Z_2^n$, které je prosté (jinak by docházelo ke ztrátě informace). Podle poznámky\cite[poznalob] množina obrazů tohoto zobrazení (neboli kód) tvoří lineární podporostor v~$\Z_2^n$. Bázi tohoto podprostoru můžeme hledat tak, že sepíšeme bázi ve výchozím prostoru $\Z_2^k$ a najdeme její obraz za použití zobrazení~$\a$. Tento obraz podle věty\cite[zobnabasi] jednoznačně určuje zobrazení $\a$ na celém $\Z_2^k$. Kodérem je přímo zobrazení $\a$ a možným dekodérem je zobrazení inverzní k $\a$ definované na $\a(Z_2^k)$. Ovšem dekodér se musí umět vyrovnat i se slovy, která jsou nekódová, tj. neleží v~množině $\a(Z_2^k)$. To inverzní zobrazení k~$\a$ neumí. \priklad [doublekod] %%%%%%%% Nechť je vstupní informace kódována binárním blokovým kódem délky $k$ se všemi $2^k$ slovy. Kodér této informace navrhneme tak, že každé vstupní slovo zopakuje a vytvoří výstupní slovo délky $2k$. Tím vzniká lineární $(2k,k)$ kód. Minimální Hammingova vzdálenost mezi dvěma kódovými slovy je~2, takže dekodér spolehlivě detekuje jednu chybu ve slově. Za jistých okolností může detekovat i více chyb ve slově, pokud chyba v první polovině slova se nezopakuje na stejném bitu druhé poloviny slova. V~žádném případě ale dekodér nemůže odhalenou chybu spolehlivě opravit. Redundance je příliš vysoká, a přitom neumíme ani opravit chyby. Asi to nebude nejlepší možný návrh kódování. \inl[kód: opakovací] \priklad %%%%%%%% Kód z příkladu\cite[kod4] je lineární. Nevýhoda tohoto kódu ale spočívá v tom, že kódová slova mohou reprezentovat jen čtyři rozdílné stavy původní informace, ale mají příliš mnoho bitů, které zbytečně zatěžují paměťové médium nebo přenosové linky. Proto se Hamming zaměřil na hledání jiných vhodnějších lineárních kódů. \okraj Generující a kontrolní matice | Generujici a kontrolni matice \definice [dHG] %%%%%%%%% {\em Generující matice lineárního kódu $K$} je po řádcích zapsaná báze tohoto kódu. {\em Kontrolní matice lineárního kódu $K$} je taková matice $\H$ s lineárně nezávislými řádky, pro kterou platí: množina řešení homogenní soustavy $\H\,\vec x=\vec o$ je rovna kódu $K$. \inl[matice: generující, generující: matice, matice: kontrolní, kontrolní: matice] \veta [vlHG] %%%%% Nechť $\G$ je generující matice a $\H$ kontrolní matice lineárního $(n,k)$ kódu. Pak $\G$ má $k$~řádků a $\H$ má $n-k$ řádků. Obě matice mají $n$ sloupců. Jinými slovy, generující matice má tolik řádků, kolik je v kódu informačních bitů, kontrolní matice má tolik řádků, kolik má kód kontrolních bitů a počet sloupců obou matic je roven počtu přenášených bitů v jednom slově. \dukaz Matice $\G$ má $k$ řádků, protože báze prostoru dimenze $k$ obsahuje $k$ vektorů. Počet řádků matice $H$ plyne z~věty\cite[dimhomo]. Konečně $n$ sloupců obou matic plyne přímo z definice těchto matic. \priklad [kod22] %%%%%%%% Kód z příkladu\cite[kod2] může mít následující generující matici: $$ \G = \pmatrix {1 & 0 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 1 & 1}, $$ protože $\{1001, 0101, 0011\}$ je báze kódu $K$. Popíšu, jak se obvykle tato báze sestavuje. Vyjde se ze standardní báze vstupního kódu: $\{100, 010, 001\}$ a aplikuje se na ní zobrazení kodéru. Všechny tři prvky této báze mají lichý počet jedniček, takže poslední kontrolní bit kodér nastaví na jedničku. Kontrolní matice našeho kódu je $$ \H = \pmatrix {1 & 1 & 1 & 1}, $$ protože množina řešení rovnice $x_1+x_2+x_3+x_4=0$ je shodná s množinou slov, které mají sudý počet jedniček (sčítáme jedničky modulo~2), a to jsou právě všechna kódová slova. \priklad [doublekod2] %%%%%%%% Kódujme vstupní informaci v blokovém kódu délky 4 podle příkladu\cite[doublekod] (zdvojení slova). Dostáváme lineární (8,4) kód. Jeho generující matice je $$ \G = \pmatrix { 1&0&0&0&1&0&0&0\cr 0&1&0&0&0&1&0&0\cr 0&0&1&0&0&0&1&0\cr 0&0&0&1&0&0&0&1\cr }. $$ K vytvoření této báze jsem použil stejný postup, jako v předchozím příkladě. Na standardní bázi prostoru $\Z_2^4$ jsem aplikoval zobrazení kodéru. Kontrolní matice je výjimečně v tomto příkladě $\H=\G$, protože soustava rovnic $$ \eqalign{ x_1+x_5 &= 0 \cr x_2+x_6 &= 0 \cr x_3+x_7 &= 0 \cr x_4+x_8 &= 0 } $$ má za řešení právě taková slova, pro která první bit je roven pátému, druhý šestému, třetí sedmému a čtvrtý osmému, tj. obě části slova se rovnají a jedná se o kódové slovo. \poznamka %%%%%%%%% Generující matice sama o sobě jednoznačně určuje lineární kód. Kontrolní matice sama o sobě také jednoznačně určuje lineární kód. Tyto dvě matice jsou v následujícím \uv{duálním} vztahu: \veta [vlHG2] %%%%% Nechť $\G$ je generující a $\H$ je kontrolní matice lineárního $(n,k)$ kódu. Pak $\H\cdot\G^T = \O_1$ a také $\G\cdot\H^T = \O_2$, kde $\O_1$ je nulová matice s $n-k$ řádky a $k$ sloupci a $\O_2=\O_1^T$. \dukaz Kód s uvedenými maticemi označíme písmenem $K$. Řádky matice $\G$ alias sloupce matice $\G^T$ jsou podle definice generující matice prvky kódu~$K$. Podle definice kontrolní matice musí tyto sloupce matice $\G^T$ alias prvky kódu $K$ být řešením soustavy $\H\,\vec x=\vec o$. Přesně to říká vztah $\H\cdot\G^T = \O_1$, pokud jej rozepíšeme po jednotlivých sloupcích matice $\G^T$. Vztah $\G\cdot\H^T = \O_2$ vzniká transponováním matic na levé i pravé straně vztahu $\H\cdot\G^T = \O_1$. \poznamka [odGkH] %%%%%%%%% Předchozí věta ukazuje, že nejen řádky matice $\G$ řeší soustavu $\H\vec x=\vec o$, ale také řádky matice $\H$ řeší soustavu $\G\vec x=\vec o$. Známe-li jen jednu z těchto matic, pak druhou lze najít tak, že najdeme bázi množiny řešení odpovídající homogenní soustavy rovnic a zapíšeme ji do řádků. Protože velmi často je generující matice vytvořena za použití standardní báze vstupního prostoru $\Z_2^k$ a aplikací algoritmu kodéru na tuto bázi, který kopíruje informační bity a přidává kontrolní bity na konec slova, je matice $\G$ často ve tvaru $\G = (\E|\C)$, kde $\E$ je jednotková matice typu $(k,k)$. Matici $\H$ pak můžeme snadno najít podle věty\cite[genbasehomo], přitom místo matice $-\C^T$ stačí použít matici $\C^T$, protože v~aritmetice $\Z_2$ je $\C=-\C$. Dostáváme $\H=(\C^T|\E')$, kde $\E'$ je jednotková matice typu $(n-k,n-k)$. \priklad %%%%%%%% S využitím věty\cite[genbasehomo] zkusíme sestavit kontrolní matice z příkladů\cite[kod22] a\cite[doublekod2], pokud je dána jen generující matice. Příklad\cite[kod22]. Matice $\C$ z rovnosti $\G=(\E|\C)$ obsahuje sloupec jedniček. $\C^T$ je tedy řádek jedniček, ke kterému podle věty\cite[genbasehomo] vpravo připíšeme jednotkovou matici typu $(1,1)$. Dostáváme matici $\H$. Příklad\cite[doublekod2]. Matice $\C$ z rovnosti $\G=(\E|\C)$ je jednotková matice, takže $\C^T=\C$. K této jednotkové matici podle věty\cite[genbasehomo] připíšeme jednotkovou matici typu $(4,4)$. Dostáváme tím matici $\H$, která je výjimečně rovna matici $\G$. \definice [dsystemkod] %%%%%%%%% Pokud existuje generující matice lineárního kódu ve tvaru $\G=(\E|\C)$, kde $\E$ je jednotková matice, nazýváme takový kód {\em systematický}. \inl[kód: systematický, systematický: kód] \poznamka [HGprechod] %%%%%%%%% Předchozí poznámka\cite[odGkH] ukazuje, že pro systematické kódy můžeme z generující matice snadno sestavit matici kontrolní ve tvaru $\H=(\C^T|\E')$. Také obráceně, pokud je dána kontrolní matice ve tvaru $\H=(\C^T|\E')$, je možné snadno přejít k matici generující tvaru $\G=(\E|\C)$. \poznamka %%%%%%%%% Nechť je dána generující matice, která není tvaru $(\E|\C)$. Protože generující matice obsahuje v řádcích bázi kódu, je možné eliminací této matice přejít k jiné generující matici téhož kódu. Stačí si uvědomit, že Gaussova eliminace nemění lineární obal řádků. Může se tedy stát, že po eliminaci dostaneme novou generující matici ve tvaru $\G=(\E|\C)$ a shledáme, že kód je systematický. Pokud ani po eliminaci generující matice nelze dosáhnout tvaru $(\E|\C)$, jedná se o nesystematický kód. I v tomto případě je ovšem eliminací možné dospět k matici, která se od matice $(\E|\C)$ liší jen prohozením některých sloupců. Nesystematický kód se tedy od systematického liší jen pořadím bitů v~jednotlivých kódových slovech. Přechod od generující matice ke kontrolní (nebo obráceně) je u nesystematického kódu obtížnější, protože nelze přímo použít větu\cite[genbasehomo], ale před jejím použitím musíme prohodit sloupce generující matice, pak přejít ke kontrolní matici a u ní prohodit sloupce zpět. Podobně bychom postupovali, pokud přecházíme od kontrolní matice nesystematického kódu k matici generující. \inl[systematický: kód, kód: systematický, nesystematický: kód, kód: nesystematický] Systematický kód získáme zaručeně v případě, kdy necháme kodér kopírovat informační bity vstupního slova do výstupu a pak přidat bity kontrolní. Pokud ale kodér informační bity \uv{promíchá} s bity kontrolními, pak kód nemusí být systematický. \veta [HDE] %%%%% Kód je systematický právě tehdy, když existuje kontrolní matice tohoto kódu tvaru $(\C^T|\E')$, kde $\E'$ je jednotková matice. \dukaz Tvrzení věty je důsledkem skutečnosti, že kód má generující matici tvaru $\G=(\E|\C)$ právě tehdy, když má kontrolní matici tvaru $\H=(\C^T|\E')$. \poznamka [elimH] %%%%%%%%% Je-li dána kontrolní matice v jiném tvaru než $(\C^T|\E')$, pak z toho ještě neplyne, že kód není systematický. Eliminací kontrolní matice můžeme získat jinou kontrolní matici, která ovšem přísluší stejnému kódu. Stačí si uvědomit, že eliminací matice soustavy dostáváme případně matici jiné soustavy, ale se stejnou množinou řešení. Pokud tedy po eliminaci kontrolní matice získáme matici tvaru $(\C^T|\E')$, pak je kód systematický. \okraj Kodér lineárního kódu | Koder linearniho kodu \veta [koderzob] %%%%% Nechť $\G$ je generující matice lineárního $(n,k)$ kódu. Nechť dále $\a: \Z_2^k\to\Z_2^n$ je lineární zobrazení, které zobrazuje standardní bázi prostoru $\Z_2^k$ na řádky matice $\G$. Pak matice $\G^T$ je maticí lineárního zobrazení $\a$ vzhledem ke standardním bázím. \inl[kodér] \dukaz Matice lineárního zobrazení obsahuje podle definice\cite[matzob] ve sloupcích souřadnice obrazů báze vstupního prostoru vzhledem k bázi výstupního prostoru. V našem případě generující matice $\G$ obsahuje v řádcích souřadnice obrazů (při zobrazení $\a$) standardní báze $\Z_2^k$ vzhledem ke standardní bázi v $\Z_2^n$. Abychom z řádků matice dostali sloupce podle definice matice lineárního zobrazení, stačí matici $\G$ transponovat. \poznamka %%%%%%%%% Zobrazení $\a$ z předchozí věty matematicky popisuje kodér lineárního kódu. Jeho generující matice je $\G$. Věta říká, že $\G^T$ je matice zobrazení tohoto kodéru vzhledem ke standardním bázím. Vstupuje-li vektor $\vec u\in\Z_2^k$ do kodéru, pak jeho výstupem je vektor~$\vec v\in\Z_2^n$, který spočítáme podle věty\cite[Aasour] jako součin matice zobrazení a vstupního vektoru: $$ \vec v^T = \G^T \cdot \vec u^T, \qquad \hbox{neboli:} \quad \vec v = \vec u \cdot \G. $$ \poznamka [jenkontrolni] %%%%%%%%% Pokud kodér kopíruje $k$ vstupních bitů do výstupu a pak přidá kontrolní bity, nemusíme prvních $k$ bitů výstupu počítat maticovým násobením. Stačí tímto násobením počítat kontrolní bity. Generující matice má v tomto případě tvar $\G=(\E|\C)$. Označíme-li $\vec u$ slovo, které vstupuje do kodéru a $\vec v'$ vektor, který obsahuje jen kontrolní bity výstupního slova, pak platí: $$ \vec v' = \vec u \cdot \C. $$ \okraj Dekodér lineárního kódu | Dekoder linearniho kodu \poznamka %%%%%%%%% Dekodér při kontrole, zda se jedná o kódové slovo, použije kontrolní matici. Nechť dekodér přijme slovo $\vec w$. Pak $\H\cdot\vec w^T$ je nulový vektor právě tehdy, když je slovo $\vec w$ kódové. V takovém případě dekodér předpokládá, že nedošlo při přenosu slova k chybě, odstraní kontrolní bity a tím získá původní informaci. Pokud $\H\cdot\vec w^T$ není nulový vektor, dekodér má jistotu, že došlo k chybě a že $\vec w$ není kódové slovo. Má-li chybu opravit, pak údaj $\H\cdot\vec w^T$ bude při opravě potřebovat. Napíšeme-li výsledek násobení $\H\cdot\vec w^T$ do řádku, dostáváme tzv. {\em syndrom} vektoru $\vec w$. \inl[dekodér] \definice [dsyndrom] %%%%%%%%% Nechť $\H$ je kontrolní matice lineárního kódu. {\em Syndrom\/} slova $\vec w$ je vektor $\vec s$, pro který platí $\vec s^T=\H\cdot\vec w^T$. Nechť $\vec v$ je slovo vyslané kodérem a $\vec w$ je slovo přijaté dekodérem. Pak $\vec e=\vec w-\vec v$ je {\it chybové slovo}. Protože v $\Z_2^n$ je $-\vec v= \vec v$, chybové slovo lze počítat jako $\vec w+\vec v$. \inl[syndrom] \poznamka %%%%%%%%% Jedničkové bity chybového slova označují místa, kde došlo k poškození slova $\vec v$. Úkolem dekodéru je na základě znalosti $\vec w$ zjistit chybové slovo $\vec e$. Pokud se mu to podaří, pak vypočte původní informaci jako $\vec v=\vec w-\vec e$. Než se pustíme do sestavování tabulky, podle které bude dekodér opravovat chyby, je potřeba si uvědomit platnost dvou tvrzení. První z nich platí dokonce obecně na libovolném lineárním prostoru. \veta [afinM1M2] %%%%% Nechť $K$ je lineární podprostor lineárního prostoru $L$ a nechť $\vec e_1\in L$, $\vec e_2\in L$. Pak množiny $ M_1=\{\vec e_1+\vec v; \ \vec v\in K\} $, $ M_2=\{\vec e_2+\vec v; \ \vec v\in K\} $ jsou buď disjunktní nebo totožné. \dukaz Sporem. Předpokládáme, že množiny $M_1$ a $M_2$ mají společný bod $\vec a$ a přitom nejsou totožné, tj. existuje vektor $\vec b\in M_1$, který neleží v $M_2$. Protože $\vec a$ i $\vec b$ leží v množině $M_1$, je $\vec a=\vec e_1+\vec u$, $\vec b=\vec e_1+\vec v$, kde $\vec u$ i $\vec v$ leží v $K$. Pak $\vec w=\vec b-\vec a=\vec v-\vec u$ leží v $K$, protože $K$ je podprostor. Je tedy $\vec b=\vec a+\vec w$. Protože $\vec a$ leží i v množině $M_2$, je $\vec a=\vec e_2+\vec x$, kde $\vec x\in K$. Dosadíme-li tento poznatek do vztahu pro $\vec b$, dostaneme $\vec b=\vec e_2+\vec x+\vec w$. Protože $K$ je podprostor, $\vec x+\vec w$ leží v~$K$. Je tedy $\vec b=\vec e_2+\vec z$, kde $\vec z\in K$. To ale znamená, že $\vec b\in M_2$, což je sporu s předpokladem. \veta [osyndromu] %%%%% Nechť $\vec v$ je kódové slovo a $\vec e$ je libovolné slovo. Pak slova $\vec e$ i $\vec e+\vec v$ mají stejný syndrom. Jinými slovy kódová slova modifikovaná stejnou chybou vytvářejí skupinu slov se společným syndromem. \dukaz $\H\cdot(\vec e+\vec v)^T=\H\cdot\vec e^T+\H\cdot\vec v^T= \H\cdot\vec e^T+\vec o^T=\H\cdot\vec e^T$. \poznamka %%%%%%%%% Pokud požadujeme nejen detekci, ale i opravu chyb lineárního kódu, může dekodér pracovat s následující {\em tabulkou pro opravování chyb\/}: \medskip\hbox to\hsize{\hfil\vbox{\offinterlineskip \halign{\hfil$#$\hfil \qquad \vrule height10pt depth5pt&&\qquad\hfil$#$\hfil\cr \vec o & \vec o & \vec v_2 & \vec v_3 & \dots & \vec v_{2^k} \cr \vec s_2 & \vec e_2 & \vec e_2+\vec v_2 & \vec e_2+\vec v_3 & \dots & \vec e_2+\vec v_{2^k} \cr \vec s_3 & \vec e_3 & \vec e_3+\vec v_2 & \vec e_3+\vec v_3 & \dots & \vec e_3+\vec v_{2^k} \cr \dots & \dots \cr \vec s_{2^{(n-k)}} & \vec e_{2^{(n-k)}} & \vec e_{2^{(n-k)}}+\vec v_1 & \vec e_{2^{(n-k)}}+\vec v_2 & \dots & \vec e_{2^{(n-k)}}+\vec v_{2^k}\cr }}\hfil}\medskip Vlevo od svislé čáry jsou syndromy, k těm se vrátím později. Nejprve vysvětlím obsah tabulky vpravo od svislé čáry. Tam jsou rozmístěna všechna slova lineárního prostoru $\Z_2^n$. V prvním řádku jsou kódová slova (je jich $2^k$) a v ostatních řádcích jsou slova nekódová. Počet řádků je $2^{(n-k)}$, protože tak získáme celkový počet slov $2^n=2^k\cdot2^{(n-k)}$. V prvním sloupci (vpravo od čáry) je nahoře umístěno nulové slovo a pod ním jsou postupně všechna chybová slova, která chceme, aby dekodér uměl odhalit a chybu opravit. Na ostatních pozicích tabulky jsou součty chybového slova v~řádku s kódovým slovem ve sloupci. Tabulku vytvoříme tak, že zapíšeme nejprve do prvního řádku nulové kódové slovo a pak ostatní kódová slova (na pořadí nezáleží). Do druhého řádku napíšeme nejprve chybové slovo, které chceme dekodérem opravovat, a dále příslušné součty. Chybové slovo nesmí být slovem kódovým. Na třetím řádku napíšeme další chybové slovo. Toto chybové slovo se {\it nesmí vyskytovat nikde na předchozích řádcích}. K~němu do řádku doplníme příslušné součty. Tak postupujeme dále, až vytvoříme tabulku s $2^{(n-k)}$ řádky. První řádek tabulky obsahuje lineární prostor $K$, druhý řádek tabulky obsahuje množinu $K+\vec e_2$, která je podle věty\cite[afinM1M2] disjunktní s $K$. Platí totiž $\vec e_2\not\in K$. Třetí řádek obsahuje množinu $K+\vec e_3$, která je disjunktní s $K$ i s $K+\vec e_2$, protože $\vec e_3\not\in K$ a $\vec e_3\not\in K+\vec e_2$, takže můžeme dvakrát použít větu\cite[afinM1M2]. A~tak dále. Slova v jednom řádku jsou samozřejmě různá. Máme tedy zaručeno, že žádné slovo se v~tabulce neopakuje a že jsou vyčerpána všechna slova prostoru $\Z_2^n$. Pokud nyní dekodér přijme slovo $\vec w$, vyhledá ho v tabulce. Například slovo našel na $i$-tém řádku tabulky. Dekodér na základě toho rozhodne, že došlo k chybě $\vec e_i$ a opraví ji tak, že provede $\vec w-\vec e_i$. (Místo odčítání může vykonat $\vec w+\vec e_i$, protože v aritmetice $\Z_2$ to dopadne stejně). Pokud $\vec w$ bylo na $j$-tém sloupci tabulky, dekodér se tímto postupem vrací ke kódovému slovu $\vec v_j$. Aby dekodér nemusel prohledávat celou tabulku o $2^n$ slovech, vypočte nejdříve syndrom přijatého vektoru: $\vec s^T = \H\cdot\vec w^T$. Vlevo od svislé čáry jsou syndromy všech slov, které jsou napsány vpravo na stejném řádku (viz věta\cite[osyndromu]). Prohledáním tabulky syndromů a porovnáním se syndromem slova $\vec w$ dekodér odhalí správně řádek tabulky, ve kterém slovo $\vec w$ leží. Dekodér tedy nemusí pracovat s celou tabulkou, ale jen se sloupcem syndromů a sloupcem chybových slov. \priklad %%%%%%%% Než se pustíme do formulace požadavků na ideální kód pro opravu chyb, zkusíme sestavit tabulku pro opravování chyb pro případ kódů, kde to nebude příliš užitečné: kód s kontrolním bitem parity a opakovací kód. Tím odhalíme problémy, kterých bychom se měli při návrhu kódů s opravou chyb vyvarovat. {\bf Lineární (4,3) kód s kontrolním bitem parity} má například tuto tabulku pro opravování chyb: \medskip\hbox to\hsize{\hfil\vbox{\offinterlineskip \halign{\hfil$#$\hfil \quad \vrule height10pt depth5pt&&\quad\hfil$#$\hfil\cr %\hbox{syndrom} & \vbox{\hbox{chybové}\smallskip\hbox{ slovo}} & \rlap{ostatní slova} \cr 0 & 0000 & 0011 & 0101 & 0110 & 1001 & 1010 & 1100 & 1111 \cr 1 & 1000 & 1011 & 1101 & 1110 & 0001 & 0010 & 0100 & 0111 \cr }}\hfil}\medskip V této tabulce jsme zvolili chybové slovo 1000. Proto dekodér při obdržení nekódového slova opraví první bit. Kdybychom zvolili jiné chybové slovo (např. 0100), dostaneme jinou tabulku: druhý řádek bude obsahovat slova v jiném pořadí. Dekodér podle takové pozměněné tabulky bude po přijetí nekódového slova opravovat jiný bit. Bohužel, nemáme žádnou záruku, že dekodér opraví správný bit. Tabulka určuje pevně jeden bit, který bude dekodér opravovat. Lepší by bylo, kdybychom v prvním sloupci s chybovými slovy měli zapsána všechna chybová slova tvaru 1000, 0100, 0010, 0001. To bychom ale potřebovali mít v tabulce pět řádků a ne jen dva. Dva řádky v tabulce jsou důsledkem toho, že kód pracuje jen s jedním kontrolním bitem a že $2^1=2$. Můžeme tedy říci, že pro úspěšnou opravu chyb je jeden kontrolní bit málo. To ostatně člověk intuitivně tuší i bez sestavování tabulek pro opravování chyb. {\bf Lineární (6,3) opakovací kód} s kontrolní i generující maticí $$ \H = \G =\pmatrix {1&0&0&1&0&0\cr0&1&0&0&1&0\cr0&0&1&0&0&1} $$ může mít například následující tabulku pro opravování chyb: \medskip\hbox to\hsize{\hfil\vbox{\offinterlineskip \halign{\hfil$#$\hfil \quad \vrule height10pt depth5pt&&\quad\hfil$#$\hfil\cr 000 & 000000 & 100100 & 010010 & 001001 & 110110 & 011011 & 101101 & 111111 \cr 100 & 100000 & 000100 & 110010 & 101001 & 010110 & 111011 & 001101 & 011111 \cr 010 & 010000 & 110100 & 000010 & 011001 & 100110 & 001011 & 111101 & 101111 \cr 001 & 001000 & 101100 & 011010 & 000001 & 111110 & 010011 & 100101 & 110111 \cr 110 & 110000 & 010100 & 100010 & 111001 & 000110 & 101011 & 011101 & 001111 \cr 101 & 101000 & 001100 & 111010 & 100001 & 011110 & 110011 & 000101 & 010111 \cr 011 & 011000 & 111100 & 001010 & 010001 & 101110 & 000011 & 110101 & 100111 \cr 111 & 111000 & 011100 & 101010 & 110001 & 001110 & 100011 & 010101 & 000111 \cr }}\hfil}\medskip Pokud dekodér pracuje podle této tabulky a přijme například slovo 111110, vypočte nejdříve syndrom $\H\cdot(111110)^T=(001)^T$, Dekodér zjistil, že slovo leží ve čtvrtém řádku tabulky. Tam je zvoleno chybové slovo 001000, takže dekodér opraví třetí bit a z přijatého slova 111110 dostává kódové slovo 110110. Jestliže předpokládáme, že přijaté slovo obsahuje jednu chybu, pak výše uvedená oprava nemusí být jediná možná. Opravou posledního bitu ve slově 111110 také dostáváme kódové slovo 111111. Problém tohoto kódu z pohledu tabulky pro opravování chyb je, že chybová slova s jednou jedničkou se objeví dvě na společném řádku tabulky. Na dalších řádcích (za čtvrtým řádkem) už nemůžeme použít chybové slovo 000001, protože toto slovo se na čtvrtém řádku už objevilo. Pokud bychom na čtvrtém řádku použili chybové slovo 000001, pak by se na tomto řádku zase vyskytlo i 001000. Množina slov vedle konkrétního syndromu se totiž nemůže změnit, protože se jedná o množinu řešení soustavy $\H\vec x^T =\vec s^T$. Takže bychom dostali sice jinou tabulku pro opravování chyb, ale chybová slova s jednou jedničkou by se ani tak nepodařilo oddělit do jednotlivých řádků. Ačkoli (na rozdíl od kódu s kontrolním bitem parity) máme v tabulce dostatečný počet řádků, nemáme možnost dostat všechna chybová slova s jednou jedničkou do prvního sloupce tabulky. Dokonce jsme nuceni na posledním řádku tabulky použít chybové slovo se třemi jedničkami. \poznamka [podminkykodu] %%%%%%%%% Nezdary při opravování chyb v předchozím příkladě nás inspirují k~formulaci podmínek na kód, který spolehlivě opravuje jednu chybu. Předpokládáme lineární $(n,k)$ kód. Chybových slov s jednou jedničkou je $n$ a potřebujeme je všechna rozmístit do prvního sloupce tabulky pro opravování chyb. Žádná jiná chybová slova se v tomto sloupci nesmějí objevit. Z toho vyplývá, že počet řádků tabulky musí být $n+1$ (první řádek tabulky obsahuje samotný kód). Protože počet řádků tabulky je $2^{(n-k)}$, máme podmínku $2^{(n-k)}=n+1$. Označíme-li počet kontrolních bitů $c=n-k$, pak je uvedená podmínka asi lépe čitelná ve tvaru $n=2^c-1$. Celkový počet bitů $n$ tedy musí být o jedničku menší než mocnina dvojky a hodnota této mocniny udává počet kon\-trolních bitů. Postupně pro $c=2,3,4,5,6,\dots$ dostáváme (3,1), (7,4), (15,11), (31,26), (63,57),~\dots kódy. Abychom mohli rozmístit všechna chybová slova s jednou jedničkou do prvního sloupce, potřebujeme ještě zaručit, že žádné slovo s jednou jedničkou není kódové slovo a že dvě slova s jednou jedničkou nebudou mít stejný syndrom. Tuto podmínku nejlépe charakterizuje následující věta. \veta [syndrom1] %%%%% Slovo s jednou jedničkou je kódové právě tehdy, když kontrolní matice obsahuje nulový sloupec. Dvě různá slova s jednou jedničkou mají společný syndrom právě tehdy, když kontrolní matice obsahuje aspoň dva stejné sloupce. \dukaz Stačí si uvědomit, že syndrom slova s jednou jedničkou na $i$-tém místě je roven $i$-tému sloupci kontrolní matice. To vyplývá z maticového násobení $\H\cdot\vec w^T=\vec s^T$. \okraj {}Hammingův kód | Hamminguv kod \poznamka %%%%%%%%% Aby lineární $(n,k)$ kód opravoval všechny jednoduché chyby ve slově, je podle poznámky\cite[podminkykodu] nutné, aby $n=2^c-1$, kde $c=n-k$, a dále podle věty\cite[syndrom1] je nutné, aby kontrolní matice neměla žádný sloupec nulový a všechny sloupce od sebe vzájemně různé. Těch sloupců musí být $n=2^c-1$, a přitom výška sloupce je $c$. Z toho nám vyplývá jediný možný tvar kontrolní matice (až na pořadí sloupců): v jednotlivých sloupcích kontrolní matice napíšeme ve dvojkové soustavě všechna čísla $1,2,3,\ldots, n$. Lineárnímu kódu s takovou kontrolní maticí říkáme {\em Hammingův kód}. \inl[kód: Hammingův, Hammingův: kód] \priklad [hamming74] %%%%%%%% Ukážeme si Hammingův $(7,4)$ kód. Podle předchozí poznámky napíšeme ve dvojkové soustavě do sloupců kontrolní matice čísla 1,2,3,4,5,6,7: $$ \H=\matice{0&0&0&1&1&1&1\cr 0&1&1&0&0&1&1\cr 1&0&1&0&1&0&1\cr}. $$ Syndromy a první sloupec tabulky pro opravování chyb napíšeme (kvůli úspoře místa v tomto textu) místo do sloupců do řádků: \medskip \line{\hss\vbox{\halign{&\quad\hfil#\hfil\quad\cr 000 &001 &010 &011 &100 &101 &110 &111 \cr 0000000&1000000&0100000&0010000&0001000&0000100&0000010&00000001 \cr }}\hss} \medskip Vidíme, že při této volbě pořadí sloupců kontrolní matice má dekodér výrazně usnadněnou práci: nemusí prohledávat v tabulce syndromů, aby zjistil odpovídající chybové slovo. Stačí, aby interpretoval syndrom jako číslo zapsané ve dvojkové soustavě. Toto číslo udává pozici bitu chybového slova, kde se nalézá jednička. Jak tedy bude dekodér postupovat při obdržení slova $\vec w$? Vypočte syndrom pomocí $\vec s^T=\H\cdot\vec w^T$ a interpretuje jej jako číslo $i$ ve dvojkové soustavě. Je-li $i=0$, je $\vec w$ kódové slovo a dekodér nic neopravuje. Je-li $i>0$, pak dekodér opraví v obdrženém slově $i$-tý bit. Tím je kompletně navržen dekodér Hammingova $(7,4)$ kódu a zbývá ještě navrhnout kodér. Eliminací kontrolní matice přecházíme ke kontrolní matici stejného kódu (poznámka\cite[elimH]): $$ \H=\matice{0&0&0&1&1&1&1\cr 0&1&1&0&0&1&1\cr 1&0&1&0&1&0&1\cr} \sim \matice{1&0&1&1&0&1&0\cr 1&1&0&0&1&1&0\cr 1&0&1&0&1&0&1\cr} \sim \matice{0&1&1&1&1&0&0\cr 1&1&0&0&1&1&0\cr 1&0&1&0&1&0&1\cr} \sim \matice{0&1&1&1&1&0&0\cr 1&0&1&1&0&1&0\cr 1&1&0&1&0&0&1\cr} = \H'. $$ Podle věty\cite[HDE] se tedy jedná o systematický kód, protože $\H'=(\C^T|\E')$. Podle poznámky\cite[HGprechod] nyní přejdeme ke generující matici $\G=(\E|\C)$: $$ \G=\matice{1&0&0&0&0&1&1\cr 0&1&0&0&1&0&1\cr 0&0&1&0&1&1&0\cr 0&0&0&1&1&1&1\cr}. $$ Kodér necháme nejprve kopírovat první čtyři informační bity do výstupu a další tři kontrolní bity $\vec v'$ počítáme ze vstupního slova $\vec u$ podle poznámky\cite[jenkontrolni]: $$ \vec v' = \vec u \cdot \matice{0&1&1\cr 1&0&1\cr 1&1&0\cr 1&1&1\cr}. $$ \poznamka %%%%%%%%% Analogicky se postupuje při návrhu $(15,11)$, $(31,26)$, $(63,57)$ atd. Hammingových kódů. Všimněte si, že s rostoucím $n$ se výrazně zlepšuje poměr informačních bitů ku celkovému počtu přenášených bitů. To je pro uživatele, kteří se zajímají jen o informační bity, dobrá zpráva. Ovšem prodlužováním délky přenášených slov se zase zvyšuje pravděpodobnost výskytu více než jedné chyby ve slově. Dekodér Hammingova kódu v takovém případě selže. \okraj Rozšířený Hammingův kód | Rozsireny Hamminguv kod \poznamka %%%%%%%%% Ve výpočetní technice se pracuje s přenosy 8 bitů, 16 bitů, 32 bitů atd. Hammingův kód předpokládá přenos slov délky o jeden bit kratší. Co se zbylým bitem? Použijeme jej pro kontrolu parity. Tím dostáváme {\em rozšířený Hammingův kód}, který umožní spolehlivě opravit jednu chybu a detekovat chyby dvě. \inl[kód: Hammingův: rozšířený, rozšířený: Hammingův: kód] \priklad %%%%%%%% K Hammingovu kódu $(7,4)$ přidáme kontrolní bit parity a dostáváme lineární $(8,4)$ kód s~následující kontrolní maticí: $$ \H=\matice{0&0&0&1&1&1&1&0\cr 0&1&1&0&0&1&1&0\cr 1&0&1&0&1&0&1&0\cr 1&1&1&1&1&1&1&1\cr}. $$ Tento kód umí opravit jednu chybu ve slově a detekovat chyby dvě. Jak dekodér může postupovat? Přijme slovo $\vec w$ a vypočte syndrom $\vec s^T=\H\cdot\vec w^T$. Je-li syndrom nulový vektor, je slovo $\vec w$ kódové a dekodér nic neopravuje. Jsou-li první tři bity syndromu nulové a poslední nenulový, došlo při přenosu jen k~chybě posledního kontrolního bitu parity. Je-li na prvních třech pozicích syndromu aspoň jeden bit nenulový a poslední bit syndromu je rovněž nenulový, došlo k lichému počtu chyb ve slově. Dekodér předpokládá, že došlo k jediné chybě a podle prvních třech bitů syndromu zjistí, který bit ve slově má opravit (stejně jako v~příkladu\cite[hamming74]). Je-li konečně poslední bit syndromu nulový, ale syndrom obsahuje aspoň jeden nenulový bit, pak došlo k sudému počtu chyb. Tento počet chyb neumí dekodér opravit, ale detekuje tento stav jako dvojnásobnou chybu. \poznamka %%%%%%%%% Všimněte si, že nejmenší Hammingova vzdálenost mezi dvěma slovy rozšířeného Hammingova kódu je 4. To je v~souladu s~výsledky příkladu\cite[vzdalenost+oprava]. \icviceni 10 \ifbook \input polynomy \fi \kapitola [literatura] Literatura | Literatura \bib [adamek] J. Adámek, {\it Foundations of Coding.} A Wiley-Interscience publication, New York 1991. \bib [bartik] V. Bartík, {\it Úvod do algebry.} Text k přednášce 1996 na \urllink{http://math.feld.cvut.cz/bartik/}. \bib [bartsch] H.--J. Bartsch, {\it Matematické vzorce.} Academia, Praha 2006 (4. vydání). \bib [beezer] R. A. Beezer, {\it A First Course in Linear Algebra.} Tacoma, Washington, USA 2007. Text je mj. volně dostupný na \urllink{http://linear.ups.edu/}. \bib [bican] L. Bican, {\it Lineární algebra a geometrie.} Academia, Praha 2002. \bib [birkhoff] G. Birkhoff, S. MacLane, {\it Algebra.} Chelsea Pub Co, (3rd edition) 1993. Existuje slovenský překlad staršího vydání {\it Prehľad modernej algebry}, Alfa, Bratislava, 1979. \bib [cw] Don Coppersmith and Shmuel Winograd. {\it Matrix multiplication via arithmetic progressions.} Journal of Symbolic Computation, 9:251?280, 1990. \bib [demlova] M. Demlová, B. Pondělíček, {\it Úvod do algebry.} Vydavatelství ČVUT, Praha 1996. \bib [dont] M. Dont, {\it Elementy numerické lineární algebry.} Vydavatelství ČVUT, Praha 2004. \bib [gelfand] I. M. Gelfand, {\it Lineární algebra.} Překlad M. Fiedler, ČSAV, Praha 1953. \bib [hefferon] J. Hefferon, {\it Linear Algebra.} Colchester, Vermont USA, volně dostupné na \hfil\break \urllink{http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/}. \bib [jilkova] S. Jílková, V. Maňasová, Z. Tischerová, {\it Lineární algebra -- úlohy.} Vydavatelství ČVUT, Praha 1987. \bib [kalousova] A. Kalousová, {\it Skripta z algebry.} Text volně dostupný například\hfil\break z~\urllink{ftp://math.feld.cvut.cz/pub/kalous/Skripta/skripta.pdf} \bib [kepka] T. Kepka, {\it Algebra.} Poznámky z přednášek na MFF UK dostupné např. na\hfil\break \urllink{http://lucy.troja.mff.cuni.cz/labtf/poznamky/}. \bib [korinek] V. Kořínek, {\it Základy algebry.} Klasická učebnice algebry, Academia, Praha 1956 (2. vydání). \bib [krajnik] E. Krajník, {\it Základy maticového počtu.} Vydavatelství ČVUT, Praha 2006. \bib [mahel] V. Mahel \& kol. kat. matematiky, {\it Sbírka úloh z lineární algebry a analytické geometrie.} Vydavatelství ČVUT, Praha 1986. \bib [matousek] J. Matoušek, {\it Šestnáct miniatur.} Volně dostupný text s aplikacemi lineární algebry tam, kde bychom to možná nečekali, \urllink{http://kam.mff.cuni.cz/\string~matousek/la1.html}. \bib [zahradnik] L. Motl, M. Zahradník, {\it Pěstujeme lineární algebru.} MFF UK, Praha 1994 (skriptum přístupné na \urllink{http://www.kolej.mff.cuni.cz/\string~lmotm275/skripta/}). \ifbook \bib [olsak] P. Olšák, {\it Lineární algebra.} Volně dostupný text na \urllink{http://petr.olsak.net/linal.html}. \else \bib [olsak-ua] P. Olšák, {\it Úvod do algebry, zejména lineární.} FEL ČVUT, Praha 2007. \fi \bib [TBN] P. Olšák, {\it \TeX{}book naruby.} Konvoj, Brno 2001 (2. vydání). Text volně dostupný například na\hfil\break \urllink{http://petr.olsak.net/tbn.html}. \bib [prochazka] L. Procházka, {\it Algebra.} Academia, Praha 1990. \bib [proskurjakov] I. V. Proskurjakov, {\it Sbornik zadač po linějnoj algebre.} Uzdavatělstvo Nauka, Moskva 1970. \bib [ptak] P. Pták, {\it Introduction to Linear Algebra.} Vydavatelství ČVUT, Praha 2006. \bib [rektorys] K. Rektorys, {\it Přehled užité matematiky.} Prometheus, Praha 2003 (6. vydání). \bib [vopenka] P. Vopěnka, {\it Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci -- rozpravy s geometrií.} Práh, Praha 2003. \bib [vyborny] K. Výborný, M. Zahradník \& kol. {\it Sbírka příkladů z lineární algebry.} Volně dostupný text k nalezení například na \urllink{http://www.kolej.mff.cuni.cz/\string~lmotm275/skripta/}. \bib [zara] J. Žára, B. Beneš, J. Sochor, P. Felkel, {\it Moderní počítačová grafika.} Computer Press, 2005 (2. vydání). %\bib [rozcestnik] Rozcestník volně dostupných textů k algebře % v češtině:\hfil\break % \urllink{http://home.pf.jcu.cz/\string~novakp08/Matematika/Algebra.htm}. % \delejrejstrik \end