
\chyph
\nopagenumbers

\input ofs [a35]

\setfonts [NewCentury/16] \setmath[//]

\fontdef\bfont  [NewCentury/34]
\fontdef\bbfont [NewCentury/64]
\fontdef\tt     [Courier/16]

\baselineskip=22pt \normalbaselineskip=18pt 
\topskip=26pt
\emergencystretch=2em
\parindent=0pt

\ifx\pdfoutput\undefined
\def\pdfsetcmykcolor#1{}
\def\pdfsetcmyKcolor#1{}
\def\linalcite[#1]{\csname c:#1\endcsname}
\def\aimlink#1{}
\def\beglink#1{}
\def\endlink{}
\def\cf[#1]{}
\def\url[#1]{}
\else
\pdfcompresslevel=9
\def\pdfsetcmyKcolor#1{\special{PDF:#1 k #1 K}}
\def\pdfsetcmykcolor#1{\special{PDF:#1 k}}
\ifx\pdfannotlink\undefined
   \let\pdfannotlink=\pdfstartlink
\fi
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\def\linalcite[#1]{\if|#1|\else\pdfannotlink height14pt depth5pt
      attr{/Border[0 0 0]} goto file{linal.pdf} name{c:#1}\relax
      \Green \csname c:#1\endcsname\Black\pdfendlink\fi} 
\def\aimlink#1{%  
   \pdfdest name{#1} xyz\relax}
\def\beglink#1{%          % Za��tek textu odkazu, #1 je kl�� odkazu
   \Green \pdfannotlink height14pt depth5pt 
     attr{/Border[0 0 0]} goto name{#1}\relax}
\def\endlink{\pdfendlink\Black}  
\def\cf[#1]#2{\expandafter \ifx \csname c:#1\endcsname \relax
   \errmessage {UNKNOWN link [#1]}\fi
   \pdfannotlink height14pt depth5pt
      attr{/Border[0 0 0]} goto file{linal.pdf} name{c:#1}\relax
   \Green #2\Black\pdfendlink} 
\def\url[#1]#2{\leavevmode\pdfannotlink height 14pt depth 5pt 
   user{/Border[0 0 0]/Subtype/Link/A << /Type/Action/S/URI/URI(#1)>>}\relax
   \Green{#2}\Black\pdfendlink}
\fi

\def\Blue{\pdfsetcmykcolor{0.9 0.9 0.1 0}}
\def\Red{\pdfsetcmykcolor{0.1 0.9 0.9 0}}
\def\Brown{\pdfsetcmykcolor{0 0.85 0.87 0.5}}
\def\Green{\pdfsetcmykcolor{0.9 0.1 0.9 0.5}}
\def\Black{\pdfsetcmykcolor{0 0 0 1}}
\def\Purple{\pdfsetcmyKcolor{.45 .86 0 0}}

\vsize=14cm
\hoffset=-.9cm
\voffset=-1.4cm
\hsize=18.7cm

\def\refkapitola #1#2{}
\def\refokraj    #1#2{}
\def\refodstavec [#1]#2{\expandafter\gdef\csname c:#1\endcsname {#2}}
\def\startcviceni #1#2{}
\input linal.ref

\def\em{\leavevmode\aftergroup\Black\Red\it}
\def\R{{\bf R}}
\def\N{{\bf N}}
\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\C{{\bf C}}
\def\D{{\bf D}}
\def\E{{\bf E}}
\def\H{{\bf H}}
\def\G{{\bf G}}
\def\O{{\bf O}}
\def\P{{\bf P}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\X{{\bf X}}
\def\Z{{\bf Z}}
\let\phi=\varphi
\def\diag{\mathop{\rm diag}}
\def\konv{\mathbin{\ast}}
\let\impl=\Rightarrow
\def\lob<#1>{\langle#1\rangle}
\def\lobr<#1>{\langle\hbox{r:}\,#1\rangle}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\sgn{\mathop{\rm sgn}}
\def\a{{\cal A}}
\def\b{{\cal B}}
\def\i{{\cal I}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\defekt{\mathop{\rm def}}
\def\kolmy{\mathbin{\bot}}
\def\df#1{\buildrel\hbox{\sevenrm df}\over#1}
\let\vector\overrightarrow
\def\vec#1{{\bi#1}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lkvecc #1.#2_#3{#1_1\,\vec#2_1+#1_2\,\vec#2_2+\cdots+#1_#3\,\vec#2_#3}
\def\odsun{\hskip4em{}}
\def\teckacarka{\mathcode`\.="013B }
\def\soustava#1{\vcenter{\bigspaces\def\1{\hphantom1}\def\.{\rlap.}%
   \ialign{&\hfil${}##{}$\cr#1\crcr}}}
\def\bigspaces{\thickmuskip=10mu\medmuskip=7mu\relax}
\def\nobigspaces{\let\bigspaces=\relax}
\def\matice#1{\left(\kern-3pt\vcenter
  {\tabskip=5pt\halign{&\strut\hfil$##$\cr#1\crcr}}\kern-3pt\right)}
\def\bb#1 {\par\indent\llap{#1 }\hang\ignorespaces}
\def\bod(#1){({\rm#1})&\quad}
\let\bs=\bigskip

\def\savelabel#1{\if|#1|\else\expandafter \ifx \csname c:#1\endcsname \relax
      \errmessage {UNKNOWN [#1] label}\fi
  \aimlink{c:#1}\fi}

\def\definice [#1]{\vfil\break
   \savelabel{#1}
   \noindent \llap{\linalcite[#1]\kern9pt}%
   {\bf \Blue Definice.\Black} \ignorespaces}

\def\veta [#1]{\vfil\break
   \savelabel{#1}
   \noindent \llap{\linalcite[#1]\kern9pt}%
   {\bf \Red V�ta.\Black} \ignorespaces}

\def\upozorneni #1. {\bigskip
   \leavevmode\hbox{\bf \Red Upozorn�n� #1.\Black\space}\ignorespaces}
\def\doporuceni #1. {\bigskip
   \leavevmode\hbox{\bf \Blue Doporu�en� #1.\Black\space}\ignorespaces}

\def\pozn {\vskip1.5\baselineskip
   {\bf Pozn�mka.} \ignorespaces}

\def\kapitola #1 | #2 \par{\vfil\break \def\nazevkapitoly{#1}}

\headline={\Purple\setfonts[/12] \llap{\the\pageno\kern9pt}\leaders
    \vrule height 3pt depth-2.6pt \hfil\kern9pt
    \it \nazevkapitoly\Black}

\def\c[#1]#2{%
   \expandafter \ifx \csname c:#1\endcsname \relax
      \errmessage {UNKNOWN [#1] label}\fi
   \leavevmode\beglink{c:#1}#2\endlink}

\def\cite[#1]{~\c[#1]{\csname c:#1\endcsname}}
\def\fcite[#1]{~\cf[#1]{\csname c:#1\endcsname}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Titul
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\leftskip=0pt plus 1fil \headline={\hfil}

\vglue 1cm

{\bfont

Petr Ol��k

\vskip1cm

{\bbfont V�cuc}

\vskip.5cm

z textu 
\url[http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal.pdf]{Line�rn� algebra}

\vskip1cm

}
ur�eno pro prom�t�n� na p�edn�ce \uv{�vod do algebry}

\bigskip

\url[http://www.olsak.net/linal.html]{\tt http://www.olsak.net/linal.html}

\url[http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/]%
    {\tt http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/}

\url[http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/]{\tt http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/}

\vfil\break

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola �vodn� pozn�mky | Uvodni poznamky
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\upozorneni1.
Nedoporu�uji tento text p��mo tisknout. K tisku je vhodn� pou��t
text 
\url[http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal.pdf]{Line�rn� algebra} 
a nikoli jeho v�cuc. Nebo si m��ete po��dit skripta
\url[http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/]{�vod do algebry, zejm�na line�rn�}.
Pokud p�esto chcete
tisknout v�cuc, doporu�uji pou��t 
\url[http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal-sp.pdf]{n�sleduj�c� verzi}, 
kde jsou jednotliv�
obrazovky uspo��d�ny po �ty�ech na str�nce, tj. redukujete spot�ebu
kancel��sk�ch technologi� na �tvrtinu.

\upozorneni2.
Tento v�cuc nen� ur�en k samostatn�mu studiu. Je pouze podporou
p�edn�ky. Jenom {\em absolutn� mimo�\/} je schopen pro��tat zde uveden�
v�ty a definice bez ilustrac�, bez vysv�tlen� v�znamu v�t, bez jejich
pou�it� v d�kazech dal��ch v�t a bez podp�rn�ch
p��klad�. Tyto definice a v�ty jsou sice j�drem v�uky
p�edm�tu �vod do algebry, ale na p�edn�k�ch a cvi�en�ch se budeme sna�it, aby
bylo toto j�dro co nejp��stupn�j��. Proto na nich zazn� mno�stv�
ilustra�n�ch p��klad�, koment��� a vysv�tlen�, kter� ov�em nejsou
j�drem v�uky tohoto p�edm�tu, ale pomohou v�m to j�dro l�pe pochopit.

\vfil\break

\doporuceni1.
Jak jste si asi v�imli, zelen� text je aktivn� a m��ete na n�j
kliknout k dosa�en� dal��ch informac�. Aby byly v�echny odkazy
funk�n�, je pot�eba m�t krom� tohoto v�cucu ve stejn�m adres��i i
pln� text 
\url[http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal.pdf]{Line�rn�
algebra} ve form�tu PDF.
��sla po stran�ch definic a v�t se shoduj� se stejn�mi ��sly v~pln�m
textu a pokud na n� kliknete, objev� se p��slu�n� pas� pln�ho textu 
(tedy nap��klad v�ta v�etn� d�kazu).

\doporuceni2. 
Pokud si vytisknete tento v�cuc (p�edpokl�d�m, �e 
\url[http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal-sp.pdf]{v~�sporn� variant�}),
pak si nap��klad m��ete na sv�j v�tisk vpisovat vysv�tluj�c� koment��e
a d�kazy v�t, kter� usly��te na p�edn�ce. Nemus�te se tam pak
zdr�ovat p�episov�n�m definic a v�t, ale m��ete se l�pe soust�edit na
jejich pochopen�.

\vfil\break

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Polynomy | Polynomy
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice []
{\em Polynom\/} je re�ln� funkce re�ln� prom�nn� (nebo komplexn�
funkce komplexn� prom�nn�), kter� je d�na vzorcem
$$
  p(x) = a_n\, x^n + a_{n-1}\, x^{n-1} + \cdots + a_1\, x + a_0,
$$
kde $a_0, a_1, \ldots, a_n \in \R$ (nebo ${}\in\C$) jsou 
{\em koeficienty polynomu} a $x$ je prom�nn�.

Polynom zna��me mal�mi p�smeny $p$, $q$, $p_1$, $p_2$ atd. P�ip��eme-li
z�vorku za toto p�smeno, nap�. $p(x)$, m�me na mysli hodnotu polynomu
v bod� $x$. Toto je obvykl� zna�en�, jak� se pou��v� pro libovoln�
funkce (nejen pro polynomy).

{\em Stupe�} polynomu je nejvy��� $k$ takov�, �e koeficient
$a_k\not=0$. Jsou-li v�echny koeficienty nulov�, klademe stupe� roven
$-1$. Takov�mu polynomu ��k�me {\em nulov� polynom}.

\veta []
Polynom je jednozna�n� ur�en sv�mi koeficienty (ignorujeme nulov�
koeficienty s indexem v�t��m ne� stupe�). 

To znamen�, �e dva r�zn� polynomy (ve smyslu r�zn� funkce) 
maj� odli�n� koeficienty a obr�cen�
polynomy zadan� r�zn�mi koeficienty jsou r�zn� funkce.

Nulov� polynom m� v�echny koeficienty nulov�.

\veta []
Sou�et a rozd�l polynom� je polynom. N�sobek polynomu konstantou je
polynom. Sou�in polynom� je polynom. Pod�l polynom� nemus� b�t
polynom.

{\bf Pozn�mka.} Odvo�te si vzorce pro koeficienty polynomu, kter� je sou�tem,
rozd�lem a sou�inem polynom� se zadan�mi koeficienty. Odvo�te tak�
vzorce pro stupe� sou�tu, rozd�lu a sou�inu polynom�.

\veta []
Polynomy $p$ a $q$ je mo�no \uv{d�lit se zbytkem}. 

Pro polynomy $p$,
$q$ ($q$ nenulov�) existuj� polynomy $r$ a $z$ s vlastnostmi: 

(A) $\,p/q = r + z/q$,\quad (B) stupe� $z$ je men�� ne� stupe� $q$.

Polynomu $r$ v tomto kontextu ��k�me {\em ��ste�n� pod�l} a polynomu
$z$ ��k�me {\em zbytek}.

\definice []
{\em Ko�en\/} polynomu $p$ je takov� ��slo $\alpha$ (re�ln� nebo komplexn�),
pro kter� je $p(\alpha)=0$.

\veta []
��slo $\alpha$ je ko�enem polynomu $p$ pr�v� tehdy, kdy� existuje
polynom~$r$ takov�, �e $p(x)=(x-\alpha)\,r(x)$ pro v�echna $x\in\R$
(nebo $x\in\C$).

Je-li $\alpha$ ko�enem polynomu $p$, pak polynomu $(x-\alpha)$
��k�me {\em ko�enov� �initel\/} polynomu $p$.

\veta []
{\bf (Z�kladn� v�ta algebry)}. Ka�d� polynom stupn� aspo� prvn�ho m�
aspo� jeden komplexn� ko�en.

\bigskip

{\bf D�sledek v�ty.} Ka�d� polynom $p$ stupn� $n\ge 1$ lze rozepsat na
sou�in ko�enov�ch �initel�:
$$
  p(x) = a\,(x-\alpha_1)\,(x-\alpha_2)\,\cdots\,(x-\alpha_n)
$$
kde $a$ je konstanta a $\alpha_i\in\C$ jsou v�echny ko�eny polynomu $p$.

\bigskip

V tomto z�pise se stejn� hodnoty ko�en� mohou vyskytovat opakovan�.
{\em N�sobnost ko�enu} je po�et v�skyt� hodnoty tohoto ko�enu
v~sou�inu ko�enov�ch �initel�.

\veta []
Pro obecn� polynom stupn� p�t�ho nebo vy���ho nelze naj�t vzorec na
v�po�et ko�en� polynomu z jeho koeficient� takov�, kter� by se
op�ral o kone�n� mno�stv� operac� s��t�n�, ode��t�n�, n�soben�, d�len�
a odmoc�ov�n�.

\bigskip
{\bf Pozn�mka 1.} Tato v�ta nen� v rozporu se z�kladn� v�tou
algebry. Ko�eny v�dy existuj�, ale �asto je neum�me naj�t.

\bigskip
{\bf Pozn�mka 2.} Pokud se v tomto kurzu setk�te s p��klady, kter�
maj� ilustrovat rozklad polynomu na ko�enov� �initele, jsou voleny
speci�ln� tak, aby ko�eny �lo n�jak�m trikem nal�zt. Zde uveden� 
v�ta ��k�, �e tyto triky nemohou b�t univerz�ln�mi postupy pro 
hled�n� rozkladu jak�hokoli polynomu.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Line�rn� prostor | Linearni prostor
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice[dlp]
%%%%%%%%%%%%%%
{\em Line�rn�m prostorem} naz�v�me ka�dou nepr�zdnou mno�inu~$L$, 
na kter� je definov�no s��t�n�  $+: L\times L \to L$ a n�soben�
re�ln�m  ��slem $\cdot: \R\times L \to L$ a tyto operace spl�uj� pro ka�d� 
$\vec x\in L, \vec y\in L, \vec z\in L, \alpha\in\R, \beta\in\R$ vlastnosti:
$$\null\indent\vcenter{\openup\jot
  \ialign{\strut$#$&\quad$\displaystyle{#}$\hfil&\quad#\unskip\hfil\cr
  (1)  &  \vec x + \vec y = \vec y + \vec x  & (komutativn� z�kon s��t�n�) \cr
  (2)  &  (\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z) 
                     & (asociativn� z�kon s��t�n�) \cr
  (3)  &  \alpha\cdot(\beta\cdot\vec x) = (\alpha\beta)\cdot\vec x
                     & (asociativn� z�kon n�soben�) \cr
  (4)  &  \alpha\cdot(\vec x + \vec y) = \alpha\cdot\vec x + \alpha\cdot\vec y
             & (distributivn� z�k. pro s��t�n� vektor�) \cr
  (5)  &  (\alpha+\beta)\cdot\vec x = \alpha\cdot\vec x + \beta\cdot\vec x
             & (distributivn� z�kon pro s��t�n� ��sel) \cr 
  (6)  &  1 \cdot\vec x = \vec x     & (vlastnost re�ln�ho ��sla 1) \cr 
  (7)  &  \hbox{existuje $\vec o\in L$, �e pro ka�d� $\vec x\in L$ je }
              0\cdot\vec x = \vec o \hskip-6.5cm
                            & \cr
       &  &  (existence nulov�ho prvku). \cr
}}
$$
Prvky line�rn�ho prostoru naz�v�me {\em vektory}. Re�ln�mu ��slu
v~kontextu n�soben� $\cdot: \R\times L \to L$ ��k�me {\em skal�r}.
Prvku $\vec o\in L$ z~vlastnosti (7) ��k�me {\em nulov� prvek} nebo 
{\em nulov� vektor}.


\veta [nulprvek]
%%%%%%%%%%%%%%%%
Pro \c[dlp]{nulov� prvek} $\vec o$ \c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $L$ plat� vlastnosti:
$$\eqalign{
\bod (1) \vec x + \vec o = \vec x   \qquad \forall\, \vec x \in L \cr
\bod (2) \alpha\cdot\vec o = \vec o \qquad \forall\, \alpha\in\R \cr
\bod (3) \hbox{Nech� $\vec x\in L$}. \quad
         \hbox{Je-li}\quad \alpha\cdot\vec x = \vec o
         \quad\hbox{a}\quad \alpha\ne0, \quad
         \hbox{pak}\quad \vec x = \vec o. \cr}
$$

\definice [dlpp]
%%%%%%%%%%%%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor} s~operacemi \uv{$+$} a \uv{$\cdot$}.
Nepr�zdnou mno�inu $M\subseteq L$ naz�v�me 
{\em line�rn�m podprostorem prostoru $L$}, 
pokud pro v�echna $\vec x\in M, \vec y\in M$ a $\alpha\in\R$ plat�:
$$\eqalign{
\bod (1)  \vec x + \vec y \in M, \cr
\bod (2)  \alpha\cdot\vec x \in M, \cr }
$$

\veta [pruniklpp]
%%%%%%%%%%%%%%%%%
Nech� $M\subseteq L$ a $N\subseteq L$ jsou \c[dlpp]{line�rn� podprostory} 
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru}~$L$. Pak plat�:
$$\eqalign{
\bod (1) M\cap N \hbox{ je line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $L$}\cr
\bod (2)  M\cup N 
     \hbox{ nemus� b�t line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $L$}\cr}
$$



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Line�rn� z�vislost a nez�vislost, line�rn� obal, b�ze, dimenze | 
          Linearni zavislost a nezavislost, linearni obal, base, dimense
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice [lk]
%%%%%%%%%%%%%%
Nech� $\vecc x_n$ jsou \c[dlp]{vektory} (tj.~prvky n�jak�ho
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru}). {\em Line�rn� kombinac�\/} vektor�
$\vecc x_n$ rozum�me vektor
$$
  \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n,
$$
kde $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ jsou n�jak� re�ln� ��sla.
T�mto ��sl�m ��k�me {\em koeficienty\/} line�rn� kombinace.

\definice [trivlk]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\em Trivi�ln�\/} \c[lk]{line�rn� kombinace} vektor� $\vecc x_n$
je takov� line�rn� kombinace, kter� m� v�echny \c[lk]{koeficienty} nulov�, 
tj.
$$0 \vec x_1 + 0 \vec x_2 + \cdots + 0 \vec x_n.$$ 

{\em Netrivi�ln�\/}
\c[dlp]{line�rn� kombinace} je takov� line�rn� kombinace, kter� nen� trivi�ln�,
tj.~aspo� jeden jej� \c[lk]{koeficient} je nenulov�.


\definice [LZskupiny]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Skupinu \c[dlp]{vektor�} $\vecc x_n$ naz�v�me
{\em line�rn� z�vislou}, pokud existuje 
\c[trivlk]{netrivi�ln� line�rn� kombinace}
vektor� $\vecc x_n$, kter� je rovna
\c[dlp]{nulov�mu vektoru}. Stru�n� ��k�me, {\em �e vektory  
$\vecc x_n$ jsou line�rn� z�visl�}.

\pozn
Vektory  
$\vecc x_n$ jsou {\em line�rn� z�visl�},
pokud existuj� re�ln� ��sla $\alpha_1 ,\alpha_2, \ldots, \alpha_n$
tak, �e aspo� jedno z~nich je nenulov�, a p�itom plat�
$$
  \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ 
  \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n = \vec o.
$$

\definice [LNskupiny]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Skupinu \c[dlp]{vektor�} $\vecc x_n$ naz�v�me
{\em line�rn� nez�vislou}, pokud nen� \c[LZskupiny]{line�rn� z�visl�}. Stru�n�
��k�me, �e {\em vektory
$\vecc x_n$ jsou line�rn� nez�visl�}.

\pozn
Vektory jsou {\em line�rn� nez�visl�}, pokud neexistuje 
\c[trivlk]{netrivi�ln� line�rn� kombinace} t�chto
vektor�, kter� je rovna \c[dlp]{nulov�mu vektoru}.

\bigskip
{\bf Jinak:}
Vektory jsou {\em line�rn� nez�visl�}, pokud jedin�
\c[trivlk]{trivi�ln� line�rn� kombinace} je rovna \c[dlp]{nulov�mu vektoru}.

\bigskip
{\bf Jinak:}
Vektory $\vecc x_n$ jsou {\em line�rn� nez�visl�}, pokud
z~p�edpokladu
$$
  \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ 
  \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n = \vec o.
$$
nutn� plyne, �e $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0$.


\veta[lnlz]
%%%%%
Nech� $\vecc x_n$ jsou prvky n�jak�ho
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru}~$L$. Pak plat�:

(1) \c[LZskupiny]{Line�rn� z�vislost} �i \c[LNskupiny]{nez�vislost} 
\c[dlp]{vektor�} 
$\vecc x_n$ se nezm�n� p�i zm�n� po�ad� 
t�chto vektor�.

(2) Jestli�e se mezi $\vecc x_n$ vyskytuje
\c[dlp]{nulov� vektor}, pak jsou tyto 
\c[dlp]{vektory} \c[LZskupiny]{line�rn� z�visl�}.

(3) Jestli�e se ve skupin� \c[dlp]{vektor�} $\vecc x_n$
n�kter� vektor vyskytuje aspo� dvakr�t, je tato skupina vektor�
\c[LZskupiny]{line�rn� z�visl�}.

(4) Jestli�e jsou \c[dlp]{vektory} $\vecc x_n$
\c[LZskupiny]{line�rn� z�visl�} a $\vec x_{n+1}\in L$, pak jsou i 
\c[dlp]{vektory}
$\vecc x_n, \vec x_{n+1}$ \c[LZskupiny]{line�rn� z�visl�}. 

(5) Jestli�e jsou \c[dlp]{vektory} $\vecc x_n$
\c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�}, pak jsou i \c[dlp]{vektory} 
$\vecc x_{n-1}$ \c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�}.

(6) Samotn� \c[dlp]{vektor} $\vec x_1$ je \c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�} 
pr�v� tehdy, kdy� je \c[dlp]{nenulov�}.


\veta [xr]
%%%%%
Nech� $n\geq2$.
\c[dlp]{Vektory} $\vecc x_n$ jsou \c[LZskupiny]{line�rn� z�visl�}
pr�v� tehdy, kdy� existuje index $r\in\{1,\ldots,n\}$ takov�, �e 
\c[dlp]{vektor} $\vec x_r$ je roven \c[lk]{line�rn� kombinaci}
ostatn�ch \c[dlp]{vektor�}.


\definice [neklz]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor}.
Nepr�zdn� kone�n� mno�ina \c[dlp]{vektor�} $K\subseteq L$, 
$K=\{\vecc x_n\}$
se naz�v� {\em line�rn� z�visl�}, pokud jsou vektory 
$\vecc x_n$ \c[LZskupiny]{line�rn� z�visl�}.

\bigskip
Nekone�n� mno�ina \c[dlp]{vektor�} $M\subseteq L$ se naz�v� 
{\em line�rn� z�visl�},
pokud existuje kone�n� $K\subseteq M$, kter� je 
\c[neklz]{line�rn� z�visl�}.

\bigskip
Mno�ina $M\subseteq L$ se naz�v� {\em line�rn� nez�visl�},
pokud nen� \c[neklz]{line�rn� z�visl�}.

\bigskip
Pr�zdnou mno�inu pova�ujeme v�dy za line�rn� nez�vislou.

\pozn
Nepr�zdn� kone�n� mno�ina \c[dlp]{vektor�} 
$K=\{\vecc x_n\}$
se naz�v� {\em line�rn� nez�visl�}, pokud jsou vektory 
$\vecc x_n$ \c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�}.

Nekone�n� mno�ina \c[dlp]{vektor�} $M\subseteq L$ se naz�v� {\em line�rn� nez�visl�},
pokud v�echny kone�n� podmno�iny $K\subseteq M$ jsou \c[neklz]{line�rn� nez�visl�}.

\definice [linobal]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor}. {\em Line�rn� obal}
skupiny \c[dlp]{vektor�} $\vecc x_n$ je mno�ina v�ech
\c[lk]{line�rn�ch kombinac�} \c[dlp]{vektor�} $\vecc x_n$. 
{\hbadness=1288\par}

\bs
{\em Line�rn� obal} kone�n� mno�iny $K\subseteq L$, 
$K=\{\vecc x_n\}$ ztoto��ujeme s~\c[linobal]{line�rn�m obalem
skupiny vektor�} $\vecc x_n$.

\bs
{\em Line�rn� obal} nekone�n� mno�iny $M\subseteq L$ je sjednocen�
\c[linobal]{line�rn�ch obal�} v�ech kone�n�ch podmno�in mno�iny $M$.

\bs
\c[linobal]{Line�rn� obal skupiny vektor�} $\vecc x_n$ zna��me
{\em $\lob<\vecc x_n>$}. \c[linobal]{Line�rn� obal
mno�iny} $M$ zna��me symbolem {\em $\lob<M>$}. 

\let\orilob=\lob
\def\lob<#1>{\c[linobal]{\orilob<#1>}}

\veta [subobal]
%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor}, $M\subseteq L$, $N\subseteq L$. Pokud
je $M\subseteq N$, pak plat� $\lob<M>\subseteq\lob<N>$.

\veta [loblob]
%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor} a $M\subseteq L$. Pak plat�:
$$\eqalign{
\bod (1) M\subseteq \lob<M> \cr
\bod (2) \lob<M> = \lob<{\lob<M>}> \cr
\bod (3) \hbox{Je-li } \vec z\in\lob<M>, \hbox{ pak }
         \lob<M>=\lob<M\cup\{\vec z\}>
}
$$

\veta [lob=lpp]
%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor}, $M\subseteq L$. Mno�ina $M$ je
\c[dlpp]{line�rn�m podprostorem} \c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $L$ pr�v� tehdy, kdy�
$\lob<M>=M$.

\veta [lobjemin]
%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor} a $M\subseteq L$ je libovoln� mno�ina.
Pak $P=\lob<M>$ je nejmen�� \c[dlpp]{line�rn� podprostor}, pro kter� plat�
$M\subseteq P$.

\veta [pridanivektoru]
%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlpp]line�rn� prostor, $M\subseteq L$ je 
\c[neklz]{line�rn� nez�visl� mno�ina} a 
$\vec z\not\in \lob<M>$. Pak t� $M\cup\{\vec z\}$ je 
\c[neklz]{line�rn� nez�visl� mno�ina}.

\veta [lnlob]
%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor}. Mno�ina $N\subseteq L$ je
\c[neklz]{line�rn� nez�visl�} pr�v� tehdy, kdy� pro v�echny vlastn� podmno�iny
$M\subset N$, $M\not=N$ plat� $\lob<M>\subset\lob<N>$,
$\lob<M>\not=\lob<N>$.

\definice [dbase]
%%%%%%%%%
{\em B�ze} \c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $L$ je takov� podmno�ina $B\subseteq L$, 
pro kterou plat�
$$\eqalign{
\bod (1) B \hbox{ je line�rn� nez�visl�}\cr
\bod (2) \lob<B> = L \cr}
$$

\veta [existencebase]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Nech� $L$ je \cf[trivprostor]{netrivi�ln�} \c[dlp]{line�rn� prostor}. 
Pro ka�dou \c[neklz]{line�rn�
nez�vislou} mno�inu $N\subseteq L$ existuje \c[dbase]{b�ze} $B$ 
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $L$ takov�, �e $N\subseteq B$. Pro ka�dou mno�inu 
$M\subseteq L$ takovou, �e $\lob<M>=L$, existuje 
\c[dbase]{b�ze} $B$ \c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $L$ takov�, �e $B\subseteq M$.

\veta [steinitz]
%%%%%
(Steinitzova o v�m�n�).
Nech� $L$ je line�rn� prostor, $M\subseteq L$ je libovoln� mno�ina
a $N\subseteq \lob<M>$ je line�rn� nez�visl� mno�ina, obsahuj�c� $k$ vektor�.
Pak lze odebrat z~mno�iny $M$ jej�ch $k$~vektor� a vytvo�it tak mno�inu
$M_1$, pro kterou plat�:
$$
  \lob <M> = \lob<M_1\cup N>.
$$
Jin�mi slovy, odebr�n�m vhodn�ch $k$ vektor� z $M$ a nahrazen�m t�chto vektor�
v�emi line�rn� nez�visl�mi vektory z~$N$ se line�rn� obal $\lob<M>$ nezm�n�.

\veta [steinitz2]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor, $M\subseteq L$ je libovoln� mno�ina
a $N\subseteq \lob<M>$ je line�rn� nez�visl� mno�ina. Pak po�et prvk�
mno�iny $N$ je men�� nebo roven po�tu prvk� mno�iny $M$.

\veta [stejnebase]
%%%%%
Nech� $B_1$ a $B_2$ jsou dv� \c[dbase]{b�ze} stejn�ho 
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $L$.
Pak jsou bu� ob� nekone�n�, nebo maj� ob� stejn� po�et prvk�.

\definice [ddimense]
%%%%%%%%%
{\em Dimenze} \c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $L$ je po�et prvk� \c[dbase]{b�ze}. Tuto
hodnotu ozna�ujeme symbolem {\em $\dim L$}. Dimenzi jednobodov�ho \c[dlp]{line�rn�ho
prostoru} $L=\{\vec o\}$ pokl�d�me rovnu nule.

\let\oridim=\dim
\def\dim{\c[ddimense]{\oridim}}

\veta [dimpodprostoru]
%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor} a $M\subseteq L$ je 
\c[dlpp]{line�rn� podprostor}
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $L$. Pak $\dim M \leq \dim L$.

\veta [123]
%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor}, $\dim L = n$ a 
$M=\{\vecc x_m\}$. Pak plat�:

\bs
(1) Je-li $M$ \c[neklz]{line�rn� nez�visl�}, pak $m \leq n$.

\bs
(2) Je-li $m>n$, pak $M$ je \c[neklz]{line�rn� z�visl�}.

\bs
(3) Nech� $m=n$. Pak $M$ je 
\c[neklz]{line�rn� nez�visl�} pr�v� tehdy, kdy� $\lob<M>=L$. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Matice | Matice
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice [defmatice]
%%%%%%%%%
{\em Matice typu $(m,n)$} je uspo��dan� $m$-tice prvk� z~$\R^n$.
Jednotliv� slo�ky t�to $m$-tice naz�v�me {\em ��dky matice}. 
Nech� $\vec a_r = (a_{r,1}, a_{r,2}, \ldots, a_{r,n})$ je $r$-t�
\c[defmatice]{��dek matice typu $(m,n)$}. 
$s$-t� slo�ka tohoto ��dku $a_{r,s}\in\R$
se naz�v� {\em $(r,s)$-t� prvek} matice. 
\c[defmatice]{��dky matice} $\A$ zapisujeme
jako skute�n� ��dky pod sebe takto:
$$
  \A = \pmatrix{a_{1,1}, & a_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n} \cr
               a_{2,1}, & a_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n} \cr
                        &          &\vdots  &  \cr
               a_{m,1}, & a_{m,2}, &\ldots, & a_{m,n} \cr}
$$
nebo zap��eme jen stru�n� \c[defmatice]{prvky matice} $\A$ takto:
$$
\A=(a_{r,s}), \quad r\in\{1,2,\ldots,m\}, s\in\{1,2,\ldots,n\}.
$$
Nech� $\A=(a_{r,s}), r\in\{1,\ldots,m\}, s\in\{1,\ldots,n\}$. 
Uspo��danou $m$-tici re�ln�ch ��sel $(a_{1,s}, a_{2,s}, \ldots, a_{m,s})$
naz�v�me {\em $s$-t�m sloupcem matice $\A$}.

\c[defmatice]{Matici typu $(m,n)$}, kter� m� v�echny prvky nulov�, naz�v�me {\em
nulovou matic�}.

\c[defmatice]{Matici typu $(m,n)$} naz�v�me {\em �tvercovou matic�}, pokud $m=n$.

\definice [deflpmatic]
%%%%%%%%%
Nech� $\A=(a_{r,s}),\B=(b_{r,s})$ jsou \c[defmatice]{matice typu $(m,n)$}. 
\c[defmatice]{Matici $\C$ typu $(m,n)$} naz�v�me 
{\em sou�tem matic} $\A,\B$ (zna��me {\em $\C=\A+\B$}), pokud
pro \c[defmatice]{prvky matice} $\C=(c_{r,s})$ plat� 
$c_{r,s} = a_{r,s} + b_{r,s}$, $r\in\{1,2,\ldots,m\}, s\in\{1,2,\ldots,n\}$.
Nech� $\alpha\in\R$. {\em $\alpha$-n�sobek} \c[defmatice]{matice} $\A$
je \c[defmatice]{matice}
$\alpha\cdot\A=(\alpha\,a_{r,s})$. N�zorn�:
$$
  \def\quad{\hskip.4em }
  \A+\B = 
  \pmatrix{a_{1,1}+b_{1,1}, & a_{1,2}+b_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n}+b_{1,n} \cr
           a_{2,1}+b_{2,1}, & a_{2,2}+b_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n}+b_{2,n} \cr
                                    &          &\vdots  &  \cr
           a_{m,1}+b_{m,1}, & a_{m,2}+b_{m,2}, &\ldots, & a_{m,n}+b_{m,n} \cr},
$$
\bs
$$
 \alpha\cdot\A =
  \pmatrix{\alpha\,a_{1,1}, & \alpha\,a_{1,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{1,n} \cr
           \alpha\,a_{2,1}, & \alpha\,a_{2,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{2,n} \cr
                                    &          &\vdots  &  \cr
           \alpha\,a_{m,1}, & \alpha\,a_{m,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{m,n} \cr}.
$$


\veta [maticeLP]
%%%%%
Mno�ina v�ech \c[defmatice]{matic stejn�ho typu $(m,n)$} 
tvo�� se \c[deflpmatic]{s��t�n�m matic} a
\c[deflpmatic]{n�soben�m matice re�ln�m ��slem} 
\c[dlp]{line�rn� prostor}. 
\c[dlp]{Nulov� vektor} tohoto 
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru} je 
\c[defmatice]{nulov� matice}.


\definice [sim]
%%%%%%%%%
Symbolem $\A\mathbin{\em\sim}\B$ ozna�ujeme skute�nost, �e 
\c[defmatice]{matice} $\B$ vznikla
z~\c[defmatice]{matice} $\A$ kone�n�m po�tem 
krok� podle \cf[GEM]{Gaussovy elimina�n� metody}.

\let\orisim=\sim
\def\sim{\c[sim]{\orisim}}

\veta [symetriesim]
%%%%%
Relace \uv{$\sim$} je symetrick�, tj. $\A\sim\B$ pr�v� tehdy, 
kdy� $\B\sim\A$.

\definice [lobradku]
%%%%%%%%%
\c[linobal]{Line�rn� obal} mno�iny v�ech ��dk� 
\c[defmatice]{matice} $\A$ zna��me $\lobr<\A>$.

\let\orilobr=\lobr
\def\lobr<#1>{\c[lobradku]{\orilobr<#1>}}

\veta [lobalymatic]
%%%%%
Je-li $\A\sim\B$, pak $\lobr<\A>=\lobr<\B>$.

\definice [dhodnost]
%%%%%%%%%
{\em Hodnost matice $\A$}  zna��me $\hod(\A)$ a
definujeme $\hod(\A)=\dim\lobr<\A>$. 

\let\orihod=\hod
\def\hod{\c[dhodnost]{\orihod}}

\veta [hodAB]
%%%%%
Je-li $\A\sim\B$, pak $\hod(\A)=\hod(\B)$. Jin�mi slovy, Gaussova elimina�n�
metoda nem�n� \c[dhodnost]{hodnost matice}.

\veta [hod=maxradku]
%%%%%
\c[dhodnost]{Hodnost matice} je maxim�ln� po�et 
line�rn� nez�visl�ch ��dk� matice.
P�esn�ji �e�eno, jedn� se o~po�et prvk� takov� mno�iny ��dk�, kter� je
nejpo�etn�j��, a p�itom \c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�}.

\definice [hornitroj]
%%%%%%%%%
Nech� \c[defmatice]{matice} $\A$ m� ��dky $\vecc a_n$, ��dn� z~nich nen� nulov�. 
Nech� pro ka�d� dva po sob� jdouc� ��dky $\vec a_i$, $\vec a_{i+1}$ plat�:
m�-li ��dek $\vec a_i$ prvn�ch $k$ slo�ek nulov�ch, mus� m�t ��dek
$\vec a_{i+1}$ aspo� prvn�ch $k+1$ slo�ek nulov�ch.
Pak \c[defmatice]{matici} $\A$ naz�v�me {\em horn� troj�heln�kovou matic�}.

\veta [trojnezavis]
%%%%%
\c[hornitroj]{Horn� troj�heln�kov� matice} m� v�dy 
\c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�} ��dky.

\veta [simhornitroj]
%%%%%
Ka�dou \c[defmatice]{matici} lze p�ev�st kone�n�m po�tem 
krok� \cf[GEM]{Gaussovy elimina�n�
metody} na \c[hornitroj]{horn� troj�hlen�kovou matici}.

\definice [defAT]
%%%%%%%%%
Nech� $\A=(a_{i,j})$ je \c[defmatice]{matice} typu $(m,n)$. Matici $\A^T=(a_{j,i})$,
kter� je typu $(n,m)$, naz�v�me {\em transponovanou matic�} k~matici $\A$. 
Matice $\A^T$ tedy vznikne z~matice $\A$ p�eps�n�m ��dk� matice 
$\A$ do sloupc� matice $\A^T$, respektive p�eps�n�m sloupc� 
matice $\A$ do ��dk� matice $\A^T$.

\veta [ATT=A]
%%%%%%%%%%%%%
Pro ka�dou \c[defmatice]{matici} $\A$ plat�: $(\A^T)^T = \A$

\veta [hA=hAT]
%%%%%%%%%%%%%%
Pro ka�dou \c[defmatice]{matici} $\A$ plat�: $\hod(\A^T) = \hod(\A)$.

\veta [hodminimum]
%%%%%
Nech� $\A$ je \c[defmatice]{matice} typu $(m,n)$. Pak $\hod(\A) \leq \min(m,n)$.

\definice [soucinAB]
%%%%%%%%%
Nech� $\A=(a_{i,j})$ je \c[defmatice]{matice} typu $(m,n)$ a
$\B=(b_{j,k})$ je \c[defmatice]{matice}
typu $(n,p)$. Pak je definov�n {\em sou�in matic $\A\cdot\B$} 
(v~tomto po�ad�) jako matice typu $(m,p)$ takto: 
ka�d� prvek $c_{i,k}$ matice $\A\cdot\B$ je d�n vzorcem
$$
\eqalign{
  c_{i,k} &= a_{i,1}\,b_{1,k} + a_{i,2}\,b_{2,k} + \cdots + a_{i,n}\,b_{n,k}\cr 
  &= \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k}, \quad 
  i\in\{1,\ldots,m\},\quad k\in\{1,\ldots,p\}
}
%  \rce(cik)
$$

\veta [soucinAB-vlastnosti]
%%%%%
Nech� $\alpha\in\R$ a \c[defmatice]{matice} $\A$, $\B$, $\C$ jsou odpov�daj�c�ch 
typ� tak, aby n��e uveden� sou�iny byly definov�ny. Pak plat�
$$\eqalign{ 
  \bod (1) (\A\cdot\B)\cdot\C = \A\cdot(\B\cdot\C),\cr
  \bod (2) (\A+\B)\cdot\C = \A\cdot\C + \B\cdot\C,\cr
  \bod (3) \C\cdot(\A+\B) = \C\cdot\A + \C\cdot\B,\cr
  \bod (4) \alpha(\A\cdot\B) = (\alpha\,\A)\cdot\B =
            \A\cdot(\alpha\,\B). \cr
  \bod (5) (\A\cdot\B)^T=\B^T\cdot\A^T \cr}
$$

%\veta [stejnebase2]
%%%%%%
%Nech� $B_1$ a $B_2$ jsou dv� \c[dbase]{b�ze} stejn�ho \c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $L$.
%Pak jsou bu� ob� nekone�n�, nebo maj� ob� stejn� po�et prvk�.

\definice [defE]
%%%%%%%%%
�tvercovou \c[defmatice]{matici} $\E$ typu $(n,n)$ naz�v�me {\em jednotkovou matic�},
pokud pro jej� prvky~$e_{i,j}$ plat�: $e_{i,j}=0$ pro 
$i\not=j$ a $e_{i,j}=1$ pro $i=j$. N�zorn�:
$$
  \E = 
  \pmatrix{1&0&0&\cdots&0\cr0&1&0&\cdots&0\cr&&&\cdots\cr0&0&0&\cdots&1\cr}
$$

\definice [inverseA]
%%%%%%%%%
Nech� $\A$ je \c[defmatice]{�tvercov� matice} typu $(n,n)$ a $\E$ je jednotkov�
matice stejn�ho typu. Matici $\B$ typu $(n,n)$, kter�
spl�uje vlastnost 
$$
  \A\cdot\B = \E = \B\cdot\A
$$ 
naz�v�me  {\em inverzn� matic�} k~matici $\A$. Inverzn� matici 
k~matici $\A$ ozna�ujeme symbolem $\A^{-1}$.

\veta [jedinainv]
%%%%%
Pokud k~matici $\A$ existuje inverzn� matice, pak je tato inverzn�
matice jednozna�n� ur�ena.

\veta [existinverse]
%%%%%
Ke \c[defmatice]{�tvercov� matici} typu $(n,n)$ existuje 
\c[inverseA]{inverzn� matice} pr�v� tehdy,
kdy� $\hod(\A)=n$.

\definice [dregul]
%%%%%%%%%
\c[defmatice]{�tvercov� matice} $\A$ typu $(n,n)$ se naz�v� {\em regul�rn�}, pokud 
$\hod(\A)=n$. \c[defmatice]{�tvercov� matice} se naz�v� {\em singul�rn�}, 
pokud nen� regul�rn�, tj.~$\hod(\A)<n$.

\veta [regulkratregul]
%%%%%
Nech� $\A$ a $\B$ jsou \c[dregul]{regul�rn� �tvercov� matice} typu $(n,n)$. Pak
matice $\A\cdot\B$ je rovn� regul�rn� matice typu $(n,n)$.

\veta [emulaceGEM]
%%%%%
Nech� $\A\sim\B$ jsou dv� \c[defmatice]{matice}, p�i�em� v~eliminaci ozna�en� zde
symbolem \uv{$\sim$} nebyl pou�it krok vynech�n� nebo p�id�n� nulov�ho
��dku. Pak existuje \c[dregul]{regul�rn� �tvercov� matice} $\P$ takov�, 
�e $\B=\P\cdot\A$.

\veta [inverse]
%%%%%
Nech� $\A$ je \c[dregul]{regul�rn�} a $(\A|\E)\sim(\E|\B)$, kde 
\uv{$\sim$} ozna�uje kone�n� po�et ��dkov�ch �prav podle 
\cf[GEM]{elimina�n� metody} a $\E$ 
\c[defE]{jednotkovou matici}. Pak $\B=\A^{-1}$.

\veta [hodPA]
%%%%%
Nech� $\A$ je libovoln� matice (ne nutn� �tvercov�) a $\P$, $\Q$ jsou
regul�rn� matice takov�, �e je definov�no n�soben� $\P\cdot\A$ a $\A\cdot\Q$.
Pak $\hod\A=\hod(\P\cdot\A)=\hod(\A\cdot\Q)$.
Jin�mi slovy: n�soben� regul�rn� matic� nem�n� hodnost.

\veta [hodAcdotB]
%%%%%
Je-li $\A\cdot\B$ definov�no, pak $\hod(\A\cdot\B)\leq\min(\hod\A,\hod\B)$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Determinant | Determinant
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice [permutace]
%%%%%%%%%
Nech� $M$ je kone�n� mno�ina o~$n$ prvc�ch. {\em Permutace prvk�
mno�iny $M$} je uspo��dan� \hbox{$n$-tice} prvk� mno�iny $M$ takov�, �e ��dn�
prvek z~mno�iny $M$ se v~n� neopakuje. Permutaci prvk� mno�iny 
$M=\{1,2,\ldots,n\}$ naz�v�me stru�n� {\em permutac� $n$ prvk�}.

\veta [pocetperm]
%%%%%
Po�et r�zn�ch \c[permutace]{permutac� $n$ prvk�} je roven ��slu $n!\,$.

\definice [invp]
%%%%%%%%%
Nech� $(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ je \c[permutace]{permutace $n$ prvk�}. 
{\em Po�et inverz�} t�to permutace je po�et takov�ch dvojic $(i_k,i_l)$, pro
kter� plat� $i_k>i_l$, a p�itom $k<l$.

\definice [znper]
%%%%%%%%%
Pro ka�dou \c[permutace]{permutaci $\pi=(i_1,\ldots,i_n)$} definujeme 
{\em znam�nko permutace $\sgn\pi$} takto: 
$$
  \sgn\pi=\cases{+1& \quad\hbox{m�-li $\pi$ sud� \c[invp]{po�et inverz�}} \cr 
                 -1& \quad\hbox{m�-li $\pi$ lich� \c[invp]{po�et inverz�}}}
$$

\veta [prohperm]
%%%%%
Prohozen� jedin� dvojice prvk� v~\c[permutace]{permutaci} zp�sob�
zm�nu \c[znper]{jej�ho znam�nka}.

\definice [inverznip]
%%%%%%%%%
Nech� $\pi=(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ je \c[permutace]{permutace $n$ prvk�}. 
{\em Inverzn� permutac� k~permutaci~$\pi$} je permutace 
$(j_1,j_2,\ldots,j_n)$, pro kterou plat� $j_{i_k}=k$ pro v�echna
$k\in\{1,2,\ldots,n\}$. Tuto permutaci ozna�ujeme znakem~$\pi^{-1}$.

\veta [inverzeinverzi]
%%%%%
Nech� $\pi$ je \c[permutace]{permutace $n$ prvk�}. Pak $\pi^{-1}$ m� stejn� 
\c[invp]{po�et inverz�}, jako $\pi$.

\veta [znpi-1]
%%%%%
\c[permutace]{Permutace} $\pi$ a $\pi^{-1}$ maj� v�dy stejn� znam�nka.

\definice [ddet]
%%%%%%%%%
Nech� $\A=(a_{i,j})$ je \c[defmatice]{�tvercov� matice} typu $(n,n)$. ��slo
$$
  \sum_{\pi=(i_1,i_2,\ldots,i_n)} 
  \sgn\pi\cdot a_{1,i_1}\,a_{2,i_2}\cdots\,a_{n,i_n}
%  \rce(vdetA)
$$
naz�v�me {\em determinantem matice $\A$} a zna��me je $\det\A$.
V~uveden�m vzorci se s��t� p�es v�echny \c[permutace]{permutace $n$ prvk�}, 
tj. jedn� se podle v�ty\cite[pocetperm] o~$n!$ s��tanc�.

\let\oridet=\det
\def\det{\c[ddet]{\oridet}}

\definice [diagonala]
%%%%%%%%%
Nech� $\A=(a_{i,j})$ je \c[defmatice]{matice} typu $(n,n)$. {\em Hlavn� diagon�la
matice $\A$} je skupina jej�ch prvk� 
$a_{1,1}, a_{2,2}, \ldots, a_{n,n}$.
{\em Vedlej�� diagon�la matice $\A$} zahrnuje prvky
$a_{1,n}, a_{2,n-1}, \ldots, a_{n,1}$. {\em Prvek pod hlavn�
diagon�lou} je ka�d� prvek $a_{i,j}$, pro kter� plat� $i>j$.
{\em Prvek nad hlavn� diagon�lou} je ka�d� prvek $a_{i,j}$, pro kter�
plat� $i<j$.

\veta [zvdet]
%%%%%
Z�kladn� vlastnosti \c[ddet]{determinantu}.

(V1) Jestli�e se \c[defmatice]{matice} $\B$ li�� od 
\c[defmatice]{matice} $\A$ jen prohozen�m jedn�
dvojice ��dk�, pak $\det\B=-\det\A$.

(V2) Jestli�e \c[defmatice]{matice} $\A$ m� dva stejn� ��dky, 
pak $\det\A=0$.

V~dal��ch vlastnostech (V3) a� (V5) ozna�ujeme symbolem 
$\pmatrix{\vdots\cr\vec a_i\cr\vdots}$ \c[defmatice]{matice}, kter� se li��
pouze v~$i$-t�m ��dku, zde ozna�en�m $\vec a_i$. V~��dc�ch, kter� 
jsou vyzna�eny te�kami, se jednotliv� matice shoduj�. 
$$\eqalign{
\bod (V3) \det\pmatrix{\vdots\cr\alpha\,\vec a_i\cr\vdots} =
          \alpha\,\det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_i\cr\vdots} \cr
\bod (V4) \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_i\cr\vdots} + 
          \det\pmatrix{\vdots\cr\vec b_i\cr\vdots} =
          \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_i+\vec b_i\cr\vdots} \cr
\bod (V5) \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_i+\alpha\,\vec a_j\cr\vdots} =
          \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_i\cr\vdots}, \quad 
          \hbox{kde $\vec a_j$ je jin� ��dek t�e matice}.
}
$$

\veta [reguldet]
%%%%%
\c[defmatice]{�tvercov� matice} $\A$ je \c[dregul]{regul�rn�} 
pr�v� tehdy, kdy� $\det\A\not=0$.

\veta [det=detT]
%%%%%
Nech� $\A$ je \c[defmatice]{�tvercov� matice}. Pak $\det\A=\det\A^T$.

\veta [rozvojdet]
%%%%%
{\it O~rozvoji deterinantu podle $r$-t�ho ��dku}.
Nech� $\A=(a_{r,s})$ je \c[defmatice]{�tvercov� matice} typu $(n,n)$ 
a $\A_{i,j}$ jsou \c[defmatice]{matice}
typu $(n-1,n-1)$, kter� vzniknou z~matice $\A$ vynech�n�m $i$-t�ho 
��dku a $j$-t�ho sloupce. Pak pro ka�d� $r\in\{1,\ldots,n\}$
plat�
$$
  a_{r,1}\,(-1)^{r+1}\det\A_{r,1} + a_{r,2}\,(-1)^{r+2}\,\det\A_{r,2} 
  + \cdots + a_{r,n}\,(-1)^{r+n}\det\A_{r,n} 
  = \det\A
%  \rce(rozvojkk)
$$
Je-li d�le $t\in\{1,\ldots,n\}$, $t\not=r$, pak plat�
$$
  a_{r,1}\,(-1)^{t+1}\det\A_{t,1} + a_{r,2}\,(-1)^{t+2}\det\A_{t,2} 
  + \cdots + a_{r,n}\,(-1)^{t+n}\det\A_{t,n} 
  = 0
%  \rce(rozvojkl)
$$

\definice [doplnek]
%%%%%%%%%
Nech� $\A$ je \c[defmatice]{�tvercov� matice} typu $(n,n)$. {\em Dopln�k matice $\A$
v~pozici $(i,j)$} je ��slo $D_{i,j}$, definovan� vzorcem:
$D_{i,j} = (-1)^{i+j}\,\det\A_{i,j}$, 
kde $\A_{i,j}$ je matice typu $(n-1,n-1)$, 
kter� vznikne z~matice $\A$ vynech�n�m 
$i$-t�ho ��dku a $j$-t�ho sloupce.

\veta [soucindet]
%%%%%
Nech� $\A$, $\B$ jsou \c[defmatice]{�tvercov� matice}. Pak 
$\det\A\,\det\B = \det(\A\cdot\B)$.

\veta [exinv]
%%%%%
Ke \c[defmatice]{�tvercov� matici} $\A$ existuje 
\c[inverseA]{inverzn� matice} pr�v� tehdy, kdy�
$\A$ je \c[dregul]{regul�rn�}.

\veta [detA-1]
%%%%%
Nech� $\A$ je \c[dregul]{regul�rn� matice}. Pak $\det\A^{-1} = 1/\det\A$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Soustavy line�rn�ch rovnic | Soustavy linearnich rovnic
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice [dsoustava]
%%%%%%%%%
Nech� $\A$ je \c[defmatice]{matice} re�ln�ch ��sel typu $(m,n)$, nech� d�le 
$\vec x$ je jednosloupcov� 
\c[defmatice]{matice} symbol� $\pmatrix{x_1\cr\vdots\cr x_n}$ typu
$(n,1)$ a  $\vec b$ je \c[defmatice]{matice} re�ln�ch ��sel 
$\pmatrix{b_1\cr\vdots\cr b_m}$ typu $(m,1)$. Pak maticovou rovnost
$$
  \A\,\vec x = \vec b
$$
nav�v�me {\em soustavou $m$ line�rn�ch rovnic o $n$ nezn�m�ch}.
Matici $\A$ naz�v�me {\em matic� soutavy} a vektor
$\vec b^T = (b_1, \ldots, b_m)$ naz�v�me 
{\em vektorem prav�ch stran}. P�ip��eme-li k~matici soustavy do
dal��ho sloupce matici $\vec b$ odd�lenou (pouze pro p�ehlednost)
svislou �arou, dost�v�me matici $(\A|\vec b)$ typu $(m,n+1)$, kterou
naz�v�me {\em roz���enou matic� soustavy}.

\definice [dreseni]
%%%%%%%%%
{\em �e�en�m soustavy\/} $\A\,\vec x = \vec b$ je takov� vektor 
$$
  \vec a = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) \in \R^n, 
$$
pro 
kter� plat�: dosad�me-li hodnoty $\alpha_i$ za symboly $x_i$, pak
je spln�na po�adovan� maticov� rovnost, tj. 
$$
  \A\cdot\pmatrix{\alpha_1\cr\alpha_2\cr\vdots\cr\alpha_n} =
         \pmatrix{b_1\cr b_2\cr\vdots\cr b_m}.
%  \rce(resenisoustavy)
$$ 
{\em �e�it soustavu\/} $\A\,\vec x = \vec b$ znamen� nal�zt v�echna jej�
�e�en�, tj. nal�zt podmno�inu $\R^n$ v�ech �e�en� t�to soustavy.

\veta [frobeni]
%%%%%
(Frobeniova).
\c[dsoustava]{Soustava} $\A\,\vec x = \vec b$ m� 
\c[dreseni]{�e�en�} pr�v� tehdy, kdy�
$$
  \hod\A = \hod (\A|\vec b), 
$$
tj.~kdy� \c[dhodnost]{hodnost} 
\c[dsoustava]{matice soustavy} se rovn� 
hodnosti \c[dsoustava]{roz���en� matice soustavy}.

\definice [eqsoust]
%%%%%%%%%
Nech� $\A\,\vec x = \vec b$ je 
\c[dsoustava]{soustava $m$ line�rn�ch rovnic o $n$
nezn�m�ch} a $\C\,\vec x = \vec d$ je 
\c[dsoustava]{soustava $k$ line�rn�ch rovnic
o~stejn�m po�tu $n$ nezn�m�ch}. ��k�me, �e tyto soustavy jsou 
{\em ekvivalentn�}, pokud ob� soustavy maj� stejn� mno�iny �e�en�.

\veta [exeqsoust]
%%%%%
Ke ka�d� \c[dsoustava]{soustav�} $\A\,\vec x = \vec b$ 
lze nal�zt \c[eqsoust]{ekvivalentn�
soustavu} $\C\,\vec x = \vec d$, jej�� \c[defmatice]{matice} $\C$ 
je \c[hornitroj]{horn� troj�heln�kov�}.

\definice [dhomo]
%%%%%%%%%
Existuje-li v \c[defmatice]{matici} $\vec b$ aspo� 
jeden prvek nenulov�, ��k�me, �e
je \c[dsoustava]{soustava line�rn�ch rovnic} $\A\,\vec x = \vec b$ 
{\em nehomogenn�}. 
Jsou-li v�echny prvky v \c[defmatice]{matici} $\vec b$ nulov�, 
naz�v�me \c[dsoustava]{soustavu rovnic}
{\em homogenn�} a zapisujeme ji takto:
$$
  \A\,\vec x = \vec o \qquad
  \hbox{(symbolem $\vec o$ nyn� zna��me jednosloupcovou nulovou matici).} 
$$

\veta [homolinprst]
%%%%%
Mno�ina v�ech \c[dreseni]{�e�en�} 
\c[dhomo]{homogenn� soustavy} $\;\A\,\vec x = \vec o\;$ s~$n$
nezn�m�mi tvo�� \c[dlpp]{line�rn� podprostor} 
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $\R^n$.

\veta [homoveta]
%%%%%
Nech� $\A\,\vec x = \vec o$ je 
\c[dhomo]{homogenn� soustava line�rn�ch rovnic}
o~$n$ nezn�m�ch, $k=n-\hod\A$. Pak existuje $k$ 
\c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�ch vektor�} 
$\vecc u_k$ z~$\R^n$ takov�ch, �e pro mno�inu $M_0$ v�ech 
\c[dreseni]{�e�en� soustavy} $\A\,\vec x = \vec o$ plat�
$$
  M_0 = \lob<\vecc u_k>.
$$
\c[dlp]{Vektory} $\vecc u_k$ tvo�� jednu z mo�n�ch 
\c[dbase]{b�z�} \c[dlp]{line�rn�ho prostoru} v�ech 
\c[dreseni]{�e�en�}~$M_0$.

\veta [dimhomo]
%%%%%
Nech� $M_0$ je \c[dlp]{line�rn� prostor} v�ech 
\c[dreseni]{�e�en�} \c[dhomo]{homogenn� soustavy
line�rn�ch rovnic} $\A\,\vec x = \vec o$ s~$n$ nezn�m�mi. 
Pak $\dim M_0 = n - \hod\A$.

\definice [partikul]
%%%%%%%%%
Nech� $\A\,\vec x = \vec b$ je 
\c[dhomo]{nehomogenn� soustava line�rn�ch rovnic}
o~$n$ nezn�m�ch a $\vec v\in\R^n$ je n�jak� jedno jej� 
\c[dreseni]{�e�en�}. Takov�mu
�e�en� $\vec v$ ��k�me {\em partikul�rn� �e�en�\/} 
\c[dhomo]{nehomogenn� soustavy}. 

Pokud zam�n�me \c[defmatice]{matici} $\vec b$ za nulovou matici stejn�ho
typu, dost�v�me \c[dhomo]{homogenn� soustavu} $\A\,\vec x = \vec o$, kterou
naz�v�me {\em p�idru�enou homogenn� soustavou\/} k~\c[dsoustava]{soustav�}
$\A\,\vec x = \vec b$.

\veta [nehomoprst]
%%%%%
{(1)} Nech� $\vec v$ je \c[partikul]{partikul�rn� �e�en�} 
\c[dhomo]{nehomogenn� soustavy} 
$\A\,\vec x = \vec b$ a $\vec u$ je libovoln� \c[dreseni]{�e�en�} 
\c[partikul]{p�idru�en� homogenn� soustavy} 
$\A\,\vec x = \vec o$. Pak $\vec v + \vec u$ je
tak� \c[dreseni]{�e�en�m} soustavy $\A\,\vec x = \vec b$.

(2) Nech� $\vec v$ a $\vec w$ jsou dv� 
\c[partikul]{partikul�rn� �e�en�} 
\c[dhomo]{nehomogenn� soustavy} $\A\,\vec x = \vec b$. 
Pak $\vec v - \vec w$ je \c[dreseni]{�e�en�m}
\c[partikul]{p�idru�en� homogenn� soustavy} $\A\,\vec x = \vec o$.

\veta [partikul+obal]
%%%%%
Nech� $\vec v$ je \c[partikul]{partikul�rn� �e�en�} 
\c[dsoustava]{soustavy} $\A\,\vec x = \vec b$ a
$M_0$ je \c[dlp]{line�rn� prostor} v�ech \c[dreseni]{�e�en�} 
\c[partikul]{p�idru�en� homogenn� soustavy}
$\A\,\vec x = \vec o$. Pak pro mno�inu $M$ v�ech 
\c[dreseni]{�e�en� soustavy} 
$\A\,\vec x = \vec b$ plat�
$$
  M = \bigl\{\vec v + \vec u;\enspace \vec u\in M_0\bigr\}.
$$

\veta [cramer]
%%%%%
(Cramerovo pravidlo).
Nech� $\A$ je \c[dregul]{regul�rn� �tvercov� matice}. 
Pak pro $i$-tou slo�ku \c[dreseni]{�e�en� soustavy} 
$\A\,\vec x = \vec b$ plat�
$$
  \alpha_i = {\det \B_i \over \det\A}\,,
$$
kde \c[defmatice]{matice} $\B_i$ je shodn� 
s \c[defmatice]{matic�} $\A$ a� na $i$-t� sloupec, kter�
je zam�n�n za sloupec prav�ch stran.

\veta [genbasehomo]
%%%%%
Nech� homogenn� soustava line�rn�ch rovnic $\A\vec x = \vec o$ m�
matici soustavy ve tvaru $$\A=(\E|\C),$$ kde $\E$ je jednotkov� matice
typu $(m,m)$ a $\C$ je libovoln� matice typu $(m,k)$. 
Pak existuje b�ze �e�en� t�to soustavy $\vecc b_k$, 
kter� m� tvar:
$$
  \pmatrix {\vec b_1\cr \vec b_2\cr \vdots \cr \vec b_k} = (-\C^T | \E'), 
$$
kde $\E'$ je jednotkov� matice typu $(k,k)$.

\veta [AXBsimEX]
%%%%%
Nech� $\A$ je reul�rn� matice a $\B$ je libovoln� matice se stejn�m
po�tem ��dk�. 
Rovnost $\A\cdot\X=\B$ je ekvivalentn� s~$(\A|\B)\sim(\E|\X)$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Line�rn� prostory kone�n� dimenze | Linearni prostory konecne dimense
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice [dspoj]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor}, $M$ a $N$ jsou jeho 
\c[dlpp]{podprostory}.
Mno�inu $\lob<M\cup N>$ naz�v�me {\em spojen�m podprostor� $M$ a $N$} 
a zna��me $M\vee N$.

\let\orivee=\vee
\def\vee{\c[dspoj]{\orivee}}

\veta [spojeni=soucet]
%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor}, $M$ a $N$ 
jsou jeho \c[dlpp]{podprostory}.
Pro podprostor $M\vee N$ plat�:
$$
  M\vee N = \{\vec y+\vec z;\; \vec y\in M, \vec z\in N\}.
$$

\veta [dimspojeni]
%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor} 
kone�n� \c[ddimense]{dimenze}, $M$ a $N$ jsou 
jeho podprostory. Pak
$$
  \dim M + \dim N = \dim (M\cap N) + \dim (M\vee N)
$$

\definice [ubase]
%%%%%%%%%
Nech� $B=\{\vecc b_n\}$ je \c[dbase]{b�ze} 
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru}~$L$. Z�le��-li n�m
na po�ad� prvk� b�ze $\vecc b_n$ (tj.~po�adujeme, aby $\vec b_1$ byl
prvn� prvek b�ze, $\vec b_2$ druh� prvek atd.), pak mluv�me 
o~{\em uspo��dan� b�zi}. Uspo��dan� b�ze je tedy uspo��dan� $n$-tice
prvk� b�ze, tj.~$(\vecc b_n)$. Skute�nost, �e b�ze~$B$ je uspo��dan�,
budeme vyzna�ovat symbolem $(B)$.

\definice [souradnice]
%%%%%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ubase]{uspo��dan� b�ze} 
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru}~$L$
a $\vec x\in L$ je libovoln� \c[dlp]{vektor}. Uspo��danou $n$-tici re�ln�ch 
��sel $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ naz�v�me {\em sou�adnicemi
vektoru~$\vec x$ vzhledem k~uspo��dan� b�zi~$(B)$}, pokud plat�
$$
  \vec x = \lkvecc \alpha.b_n .
$$
Skute�nost, �e $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ jsou sou�adnice
vektoru $\vec x$ vzhledem k~uspo��dan� b�zi~$(B)$ budeme zapisovat takto:
$$
  \vec x = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)_{(B)}
$$

\veta [jednsouradnice]
%%%%%
Nech� $(B)$ je \c[ubase]{uspo��dan� b�ze}
\c[dlp]{line�rn�ho porostoru}~$L$. 
Pak pro ka�d� prvek $\vec x\in L$ jsou \c[souradnice]{sou�adnice} 
$\vec x$ vzhledem k b�zi~$(B)$ ur�eny jednozna�n�.

\veta [sour-vektor]
%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je uspo��dan� b�ze line�rn�ho prostoru~$L$.
Pak pro ka�d� prvek $\vec a\in\R^n$, 
$\vec a = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$, existuje $\vec x\in L$
takov�, �e $\vec x = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)_{(B)}$.

\definice [dprechodu]
%%%%%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ a $(C)=(\vecc c_n)$ jsou dv� 
\c[ubase]{uspo��dan� b�ze} stejn�ho \c[dlp]{line�rn�ho prostoru}~$L$. 
\c[defmatice]{Matici} $\A$, kter� spl�uje maticovou rovnost
$$
  (\vecc b_n)\cdot \A = (\vecc c_n)
%  \rce(mprechodu)
$$
naz�v�me {\em matic� p�echodu od uspo��dan� b�ze $(B)$ k~uspo��dan� 
b�zi~$(C)$}. Na defini�n� rovnost se d�v�me jako na
sou�in jedno��dkov� matice vektor� $(\vecc b_n)$ s matic� $\A$ 
re�ln�ch ��sel typu~$(n,n)$, kter� se m� rovnat jedno��dkov� matici 
vektor�~$(\vecc c_n)$.

Matici p�echodu od b�ze $(B)$ k b�zi $(C)$ budeme �asto pro n�zornost
ozna�ovat $\A_{(B,C)}$.

\veta [exprechodu]
%%%%%
Pro ka�d� dv� \c[ubase]{uspo��dan� b�ze} stejn�ho 
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $(B)$ a
$(C)$ existuje pr�v� jedna \c[dregul]{regul�rn�} 
\c[dprechodu]{matice p�echodu} $\A_{(B,C)}$.

\veta [inverseprechodu]
%%%%%
Je-li $\A$ \c[dprechodu]{matice p�echodu od b�ze $(B)$ k b�zi $(C)$}, 
pak $\A^{-1}$ je \c[dprechodu]{matice p�echodu od b�ze $(C)$ k b�zi $(B)$}.

\veta [prechodsouradnic]
%%%%%
Nech� $(B)$ a $(C)$ jsou dv� \c[ubase]{uspo��dan� b�ze}
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru}~$L$, 
$\A_{(B,C)}$ je \c[dprechodu]{matice p�echodu od $(B)$ k~$(C)$}. 
Pak pro \c[souradnice]{sou�adnice}
ka�d�ho \c[dlp]{vektoru} $\vec x\in L$, 
$\vec x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)_{(B)} = (y_1, y_2, \ldots, y_n)_{(C)}$
plat�:
$$
  \A_{(B,C)}\cdot\pmatrix{y_1\cr\vdots\cr y_n} = 
  \pmatrix{\strut x_1\cr\vdots\cr x_n}
%  \rce(prechsour)
$$

\veta [ABCD]
%%%%%
Nech� $\A_{(B,C)}$ je 
\c[dprechodu]{matice p�echodu od b�ze $(B)$ k b�zi $(C)$} a
$\A_{(C,D)}$ je 
\c[dprechodu]{matice p�echodu od b�ze $(C)$ k b�zi $(D)$}. Pak pro
\c[dprechodu]{matici p�echodu $\A_{(B,D)}$ od b�ze $(B)$ k b�zi $(D)$} plat�
$$
  \A_{(B,D)} = \A_{(B,C)} \cdot \A_{(C,D)}
$$

\veta [sourslozka]
%%%%%
Nech� $\vec a\in\R^n$, $\vec a = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$.
Slo�ky $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ jsou 
\c[souradnice]{sou�adnicemi}
\c[dlp]{vektoru} $\vec a$ vzhledem ke standardn� \c[dbase]{b�zi} $(S)$:
$$
  (S) = \bigl( (1,0,0,\ldots,0), (0,1,0,\ldots,0), 
        \ldots, (0,0,0,\ldots,1) \bigr).
$$

\veta [Sprechod]
%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ubase]{uspo��dan� b�ze}
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru}~$\R^n$.
\c[dprechodu]{Matice p�echodu od standardn� b�ze $(S)$ k b�zi $(B)$} m� tvar
$$
  \A_{(S,B)} = (\vec b_1^T, \vec b_2^T, \ldots, \vec b_n^T)
$$
kde symbolem $\vec b_i^T$ zna��me sloupec slo�ek vektoru $\vec b_i$.
Jin�mi slovy, uvedenou matici p�echodu sestav�me tak, �e zap��eme
jednotliv� vektory b�ze vedle sebe, slo�ky t�chto vektor� zap��eme do
sloupc�.

\veta [metodaprechodu]
%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ a $(C)=(\vecc c_n)$ jsou 
\c[ubase]{uspo��dan� b�ze} 
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru}~$\R^n$. Pak pro 
\c[dprechodu]{matice p�echodu} 
$\A_{(B,C)}$ a $\A_{(C,B)}$ plat�
$$
  (\A_{(C,B)}\,|\,\E) \sim 
  (\vec b_1^T, \vec b_2^T, \ldots \vec b_n^T \,|\,
   \vec c_1^T, \vec c_2^T, \ldots \vec c_n^T) \sim
  (\E\,|\,\A_{(B,C)}),
$$
kde \uv{$\sim$} zna�� kone�n� mnoho krok� 
\cf[GEM]{Gaussovy elimina�n� metody},
$\E$ je \c[defE]{jednotkov� matice} a $\vec b_i^T$ resp.~$\vec c_j^T$ jsou
vektory $\vec b_i$ resp.~$\vec c_j$, jejich� slo�ky jsou zaps�ny 
do sloupc�. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Line�rn� zobrazen� | Linearni zobrazeni
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice [zobr]
%%%%%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou libovoln� mno�iny. {\em Zobrazen�m
$\a$ z mno�iny $L_1$ do mno�iny $L_2$} rozum�me jak�koli p�edpis,
kter� ka�d�mu prvku z mno�iny $L_1$ p�i�ad� jednozna�n�m zp�sobem
n�jak� prvek z mno�iny $L_2$. Skute�nost, �e $\a$ je zobrazen�
z~mno�iny $L_1$ do mno�iny $L_2$ zapisujeme 
{\em $\a: L_1\to L_2$}.

Je-li $\vec x\in L_1$, pak zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ p�i�ad�
prvku $\vec x$ jednozna�n� n�jak� prvek z mno�iny $L_2$. 
Tento prvek ozna�ujeme symbolem $\a(\vec x)\in L_2$ a ��k�me mu {\em
hodnota zobrazen� $\a$ v bod�~$\vec x$}. Je-li $M\subseteq L_1$, 
pak definujeme
$$
  \a(M) = \bigl\{\vec y\in L_2;\; \exists \vec x\in M,\; 
                \a(\vec x) = \vec y \bigr\}.
$$

\definice [defna]
%%%%%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou libovoln� mno�iny a uva�ujme
\c[zobr]{$\a: L_1\to L_2$}. Pokud plat� $\a(L_1) = L_2$, ��k�me, �e 
$\a$ je zobrazen� z~mno�iny $L_1$ {\em na mno�inu $L_2$}. 

\definice [proste]
%%%%%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou libovoln� mno�iny a uva�ujme
\c[zobr]{$\a: L_1\to L_2$}. Zobrazen� $\a$ je {\em prost�}, pokud
pro ka�d� dva prvky $\vec x_1\in L_1$, $\vec x_2\in L_1$,
$\vec x_1\not=\vec x_2$ plat� $\a(\vec x_1)\not=\a(\vec x_2)$.

\definice [linzob]
%%%%%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou line�rn� prostory, 
\c[zobr]{$\a: L_1\to L_2$ je zobrazen� z $L_1$ do $L_2$}. 
Zobrazen�~$\a$ naz�v�me 
{\em line�rn�m zobrazen�m}, pokud pro v�echna $\vec x\in L_1$,
$\vec y\in L_1$, $\alpha\in\R$ plat�
$$
  \eqalign{
   \bod(1)  \a(\vec x + \vec y) = \a(\vec x) + \a(\vec y) \cr
   \bod(2)  \a(\alpha\cdot\vec x) = \alpha\cdot \a(\vec x) }
$$

\veta [principsupozice]
%%%%%
(Princip superpozice).
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou \c[dlp]{line�rn� prostory}. 
\c[zobr]{Zobrazen� $\a: L_1\to L_2$} je 
\c[linzob]{line�rn�} pr�v� tehdy, kdy�
pro v�echna $\vec x\in L_1$, $\vec y\in L_1$, $\alpha\in\R$,
$\beta\in\R$ plat�
$$
  \a(\alpha\,\vec x + \beta\,\vec y) =
  \alpha\,\a(\vec x) + \beta\,\a(\vec y)
%  \rce(superpozice)
$$

\veta [zobnuly]
%%%%%
Pro \c[linzob]{line�rn� zobrazen� $\a: L_1\to L_2$} plat� 
$\a(\vec o_1) = \vec o_2$, kde $\vec o_1$ je 
\c[dlp]{nulov� vektor line�rn�ho
prostoru}~$L_1$ a $\vec o_2$ je 
\c[dlp]{nulov� vektor line�rn�ho
prostoru}~$L_2$.

\veta [alob]
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{line�rn� zobrazen�}, $M\subseteq L_1$.
Pak $\a\bigl(\lob<M>\bigr) = \bigl<\a(M)\bigr>$.

\definice [jadro]
%%%%%%%%%
Nech� $L_1$, $L_2$ jsou \c[dlp]{line�rn� prostory}, 
$\vec o_2$ je \c[dlp]{nulov� vektor}
v~\c[dlp]{line�rn�m prostoru} $L_2$ a $\a: L_1\to L_2$ je
\c[linzob]{line�rn� zobrazen�}. Mno�inu
$$
  \ker\a = \{\vec x\in L_1;\; \a(\vec x) = \vec o_2\}
$$
naz�v�me {\em j�drem line�rn�ho zobrazen� $\a$}.

\veta [ker=lp]
%%%%%
\c[jadro]{J�dro line�rn�ho zobrazen�} 
$\a: L_1\to L_2$ tvo�� \c[dlpp]{line�rn� podprostor}
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru}~$L_1$.

\veta [obrazy]
%%%%%
Mno�ina $\a(L_1)$ v�ech \c[zobr]{hodnot} 
\c[linzob]{line�rn�ho zobrazen�} $\a: L_1\to L_2$
tvo�� \c[dlpp]{line�rn� podprostor} 
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru}~$L_2$.


\definice [defhod]
%%%%%%%%%
{\em Defekt line�rn�ho zobrazen�} $\a: L_1\to L_2$ je 
definov�n, jako $\dim\ker\a$ a {\em hodnost line�rn�ho zobrazen�}~$\a$
je definov�na jako $\dim\a(L_1)$. Defekt $\a$ zna��me {\em $\defekt\a$}
a hodnost~$\a$ zna��me {\em $\orihod\a$}. Je tedy
$$
  \eqalign{
  \defekt\a &= \dim\ker\a \cr
  \orihod\a   &= \dim\a(L_1) }
$$ 

\def\hoda{\c[defhod]{\orihod}}
\let\oridefekt=\defekt
\def\defekt{\c[defhod]{\oridefekt}}

\veta [zobnabasi]
%%%%%
Nech� $\{\vecc b_n\}$ je \c[dbase]{b�ze} 
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $L_1$ a nech� jsou
d�ny libovoln� \c[dlp]{vektory} $\vecc y_n$ 
z~\c[dlp]{line�rn�ho prostoru} $L_2$. Pak
existuje pr�v� jedno \c[linzob]{line�rn� zobrazen�} $\a:L_1\to L_2$, pro 
kter� plat�
$$
  \a(\vec b_i) = \vec y_i, \quad \forall i \in \{1,2,\ldots,n\}
%  \rce(anabasi)
$$

\veta [zobzavisle]
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{line�rn� zobrazen�}. Pak plat�:

(1) Jsou-li $\vecc x_n$ \c[LZskupiny]{line�rn� z�visl� vektory} v~$L_1$,
pak jsou i \c[dlp]{vektory} 
$\a(\vec x_1),\a(\vec x_2),\ldots,\a(\vec x_n)$ 
\c[LZskupiny]{line�rn� z�visl�} v~$L_2$.

(2) Jsou-li $\vecc x_n$ \c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl� vektory} v~$L_1$,
pak \c[dlp]{vektory} $\a(\vec x_1),\a(\vec x_2),\ldots,\a(\vec x_n)$ v~$L_2$
nemus� b�t \c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�}.

\veta [zob123]
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{line�rn� zobrazen�}. 
N�sleduj�c� podm�nky jsou ekvivalentn�:

(1) $\a$ je \c[proste]{prost�}.

(2) $\defekt\a = 0$.

(3) Jsou-li $\vecc x_n$ \c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�}, jsou
\c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�} i \c[dlp]{vektory} 
$\a(\vec x_1),\a(\vec x_2),\ldots,\a(\vec x_n)$.

\definice [slozzob]
%%%%%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ a $\b:L_2\to L_3$ jsou \c[zobr]{zobrazen�}. Symbolem
$\b\circ\a:L_1\to L_3$ ozna�ujeme {\em slo�en� zobrazen�}, kter� je
definov�no p�edpisem $(\b\circ\a)(\vec x) = \b\bigl(\a(\vec x)\bigr)$,
$\forall \vec x\in L_1$.

\veta [slozlin]
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ a $\b:L_2\to L_3$ jsou \c[linzob]{line�rn� zobrazen�}.
Pak je \c[linzob]{line�rn�} t� 
\c[slozzob]{slo�en� zobrazen�} $\b\circ\a:L_1\to L_3$.

\definice [Izob]
%%%%%%%%%
{\em Identick� zobrazen�} je \c[zobr]{zobrazen�} 
$\i:L\to L$, kter� je definov�no p�edpisem $\i(\vec x) = \vec x$.
Stru�n� naz�v�me zobrazen� $\i$ {\em identitou}. 

Nech� $\a:L_1\to L_2$ je prost� zobrazen�. Pak definujeme 
{\em inverzn� zobrazen�} $\a^{-1}:\a(L_1)\to L_1$ jako takov� zobrazen�,
kter� spl�uje $\a^{-1}\circ\a=\i$, kde $\i:L_1\to L_1$ je identita.

\veta [exIzob]
%%%%%
Je-li $\a:L_1\to L_2$ \c[proste]{prost�}, pak existuje pr�v� jedno 
\c[Izob]{inverzn� zobrazen�} $\a^{-1}:\a(L_1)\to L_1$.

\veta [invjelin]
%%%%%
Je-li $L$ \c[dlp]{line�rn� prostor}, pak 
\c[Izob]{identita} $\i:L\to L$ je \c[linzob]{line�rn�}.
Je-li $\a:L_1\to L_2$ \c[linzob]{line�rn�} a 
\c[proste]{prost� zobrazen�}, pak t� 
$\a^{-1}:\a(L_1)\to L_1$ je \c[linzob]{line�rn�}.  

\veta [inversena]
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{line�rn�}, 
\c[proste]{prost�} a \c[defna]{\uv{na}}~$L_2$. Pak je
\c[Izob]{inverzn� zobrazen�} $\a^{-1}:L_2\to L_1$ rovn� 
\c[linzob]{line�rn�}, \c[proste]{prost�}
a \c[defna]{\uv{na}}~$L_1$.

\definice [isomorfismus]
%%%%%%%%%
\c[zobr]{Zobrazen�} $\a:L_1\to L_2$ naz�v�me {\em izomorfismus}, pokud je
\c[linzob]{line�rn�}, \c[proste]{prost�} a 
\c[defna]{\uv{na}}~$L_2$.

\c[dlp]{Line�rn� prostor} $L_1$ naz�v�me {\em izomorfn� s~$L_2$}, pokud
existuje izomorfismus $\a:L_1\to L_2$. Proto�e 
k~\c[proste]{prost�mu} \c[linzob]{line�rn�mu 
zobrazen�}, kter� je \c[defna]{\uv{na}}~$L_2$, existuje 
\c[Izob]{inverzn� zobrazen�} 
$\a^{-1}:L_2\to L_1$, kter� je podle v�ty\cite[inversena] rovn�
izomorfismem,  plat�: je-li $L_1$ izomorfn� s~$L_2$, je t� 
$L_2$ izomorfn� s~$L_1$. �asto proto ��k�me, �e $L_1$ a $L_2$ jsou
(vz�jemn�) izomorfn�.

\veta [isoRn]
%%%%%
Ka�d� \c[dlp]{line�rn� prostor} $L$, pro kter� je $\dim L=n$, je 
\c[isomorfismus]{izomorfn�} s~\c[dlp]{line�rn�m prostorem}~$\R^n$.

\veta [slozisomor]
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ a $\b:L_2\to L_3$ jsou izomorfismy. Pak je
izomorfismem i slo�en� zobrazen� $\b\circ\a:L_1\to L_3$.

\veta [iso=dim]
%%%%%
Dva \c[dlp]{line�rn� prostory} kone�n� 
\c[ddimense]{dimenze} jsou \c[isomorfismus]{izomorfn�} pr�v� tehdy, kdy�
se rovnaj� jejich \c[ddimense]{dimenze}. 

\definice [matzob]
%%%%%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou \c[dlp]{line�rn� prostory} kone�n� 
\c[ddimense]{dimenze},
$\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{line�rn�}. Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je 
\c[ubase]{uspo��dan� b�ze}~$L_1$ a $(C)=(\vecc c_m)$ je 
\c[ubase]{uspo��dan� b�ze}~$L_2$.
\c[defmatice]{Matici} $\A$ typu $(m,n)$, kter� spl�uje maticovou rovnost
$$
  \bigl(\a(\vec b_1), \a(\vec b_2), \ldots, \a(\vec b_n)\bigr) 
  = (\vecc c_m)\cdot\A
%  \rce(mzob)
$$
naz�v�me {\em matic� zobrazen� $\a$ vzhledem k~uspo��dan�m 
b�z�m $(B)$ a $(C)$}.
Na defini�n� rovnost se d�v�me jako na
sou�in jedno��dkov� matice vektor�~$(\vecc c_m)$
s~matic� $\A$ re�ln�ch ��sel typu~$(m,n)$, 
kter� se m� rovnat jedno��dkov� matici vektor�
$\bigl(\a(\vec b_1), \a(\vec b_2), \ldots, \a(\vec b_m)\bigr)$ 

\veta [exmzob]
%%%%%
Nech� plat� p�edpoklady z definice\cite[matzob]. Pak 
\c[matzob]{matice
$\A$ zobrazen�~$\a$ vzhledem k~b�z�m $(B)$ a $(C)$} existuje 
a je ur�ena jednozna�n�.

\veta [mat=zob]
%%%%%
Nech� $L_1$, $L_2$ jsou \c[dlp]{line�rn� prostory} kone�n� 
\c[ddimense]{dimenze},
$(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ubase]{uspo��dan�
b�ze}~$L_1$ a $(C)=(\vecc c_m)$ je \c[ubase]{uspo��dan� b�ze}~$L_2$.
Pak ke ka�d� \c[defmatice]{matici} $\A$ typu $(m,n)$ 
existuje pr�v� jedno \c[linzob]{line�rn�
zobrazen�} $\a:L_1\to L_2$ takov�, �e $\A$ je \c[matzob]{matic� zobrazen�
$\a$ vzhledem k b�z�m $(B)$ a~$(C)$}.

\veta [hodzob]
%%%%%
Nech� $(B)$ je \c[ubase]{b�ze} v~$L_1$, $(C)$ je 
\c[ubase]{b�ze} v~$L_2$, $\a:L_1\to L_2$
je \c[linzob]{line�rn�} a $\A$ je 
\c[matzob]{matic� zobrazen�~$\a$ vzhledem k~b�z�m $(B)$ a
$(C)$}. Pak $\hod\A = \hoda\a$.

\veta [sourzob]
%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ubase]{b�ze} v~$L_1$, 
$(C)=(\vecc c_m)$ je \c[ubase]{b�ze} 
v~$L_2$, $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{line�rn�} a 
$\A$ je \c[matzob]{matic� zobrazen�~$\a$ vzhledem k~b�z�m $(B)$ a
$(C)$}. Pak pro ka�d� \c[dlp]{vektor} $\vec x\in L_1$, 
$\vec x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)_{(B)}$, plat� pro 
\c[souradnice]{sou�adnice vektoru}
$\a(\vec x) = (y_1, y_2, \ldots, y_m)_{(C)}$ n�sleduj�c� vzorec:
$$
  \A\cdot \pmatrix{x_1\cr x_2\cr \vdots\cr x_n} =
  \pmatrix{y_1\cr y_2\cr \vdots\cr y_m}
%  \rce(sourzob)
$$

\veta [def+hod]
%%%%%
Nech� $L_1$, $L_2$ jsou \c[dlp]{line�rn� prostory} kone�n� 
\c[ddimense]{dimenze}, 
$\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{line�rn�}. Pak 
$$
  \defekt\a + \hoda\a = \dim L_1.
$$

\veta [slozmzob]
%%%%%
Nech� $L_1$, $L_2$, $L_3$ jsou \c[dlp]{line�rn� prostory}
kone�n� \c[ddimense]{dimenze},
$\a:L_1\to L_2$, $\b:L_2\to L_3$ jsou \c[linzob]{line�rn� zobrazen�}. Nech�
d�le $(B)$ je \c[ubase]{uspo��dan� b�ze}~$L_1$, $(C)$ je 
\c[ubase]{uspo��dan� b�ze}~$L_2$ a
$(D)$ je \c[ubase]{uspo��dan� b�ze}~$L_3$. P�edpokl�dejme je�t�, �e
$\A$ je \c[matzob]{matice zobrazen� $\a$ vzhledem k~b�z�m $(B)$ a~$(C)$} 
a kone�n�
$\B$ je \c[matzob]{matice zobrazen� $\b$ vzhledem k~b�z�m $(C)$ a~$(D)$}.
Pak $\B\cdot\A$ je 
\c[matzob]{matice} \c[slozzob]{slo�en�ho zobrazen�} $\b\circ\a$
vzhledem k~b�z�m $(B)$ a $(D)$.

\veta [maticeidentity]
%%%%%
Nech� $(B)$ a $(C)$ jsou dv� \c[ubase]{b�ze} 
\c[dlp]{line�rn�ho prostoru}~$L$. Pak \c[matzob]{matice}
\c[Izob]{identick�ho zobrazen�} $\i:L\to L$ vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(C)$ 
je rovna \c[dprechodu]{matici p�echodu $\A_{(C,B)}$ 
od b�ze $(C)$ k b�zi $(B)$}.

\veta [aruznebase]
%%%%%
Nech� $\a: L_1\to L_2$ je line�rn� zobrazen� a nech� $(B_1)$, $(C_1)$ 
jsou b�ze line�rn�ho prostoru~$L_1$ a $(B_2)$, $(C_2)$ jsou b�ze
line�rn�ho prostoru $L_2$. Ozna�me symbolem 
$\A_{(B_1,C_1)}$ matici p�echodu od b�ze $(B_1)$ k $(C_1)$ a 
$\A_{(C_2,B_2)}$ matici p�echodu od b�ze $(C_2)$ k $(B_2)$.
Je-li $\A$ matice zobrazen� $\a$ vzhledem 
k~b�z�m $(B_1)$, $(B_2)$, pak $\A_{(C_2,B_2)}\cdot \A\cdot \A_{(B_1,C_1)}$
je matice t�ho� line�rn�ho zobrazen� vzhledem k b�z�m $(C_1)$,
$(C_2)$.

\definice [dzobB]
%%%%%%%%%
Nech� $\a: L\to L$ je line�rn� zobrazen� (line�rn� prostor vzor� i
obraz� je stejn� a m� kone�nou dimenzi).
M�sto, abychom mluvili o matici 
line�rn�ho zobrazen� vzhledem ke stejn�m b�z�m $(B)$ a $(B)$ (to
p�sob�, jako bychom koktali), stru�n� se zmi�ujeme 
o~{\em matici zobrazen� $\a$ vzhledem k~b�zi~$(B)$}.

\veta [aruznebase2]
%%%%%
Nech� $\a: L\to L$ je line�rn� zobrazen�, $(B)$, $(C)$ jsou dv� b�ze
line�rn�ho prostoru $L$ a $\A_{(B,C)}$ je matice p�echodu od b�ze $(B)$
k b�zi $(C)$. Je-li $\A$ matice zobrazen� $\a$ vzhledem k b�zi $(B)$,
pak $\A_{(B,C)}^{-1}\cdot\A\cdot\A_{(B,C)}$ je matic� t�ho� line�rn�ho
zobrazen� vzhledem k b�zi $(C)$.

\definice [dpodobnost]
%%%%%%%%%
Matice $\A$ je {\em podobn�\/} matici $\B$, pokud existuje
regul�rn� matice $\P$ takov�, �e plat� $\B=\P^{-1}\cdot\A\cdot \P$.

\definice [dvl]
%%%%%%%%%
Nech� $\a:L\to L$ je line�rn� zobrazen�. ��slo $\lambda\in\C$ se naz�v� {\em
vlastn�m ��slem zobrazen�~$\a$}, pokud existuje vektor $\vec x\in L$,
$\vec x\not=\vec o$ takov�, �e $\a(\vec x) = \lambda\,\vec x$.
Vektor $\vec x$, kter� spl�uje uvedenou rovnost, se naz�v� {\em
vlastn� vektor zobrazen� $\a$ p��slu�n� vlastn�mu ��slu $\lambda$}.

\definice [dvA]
%%%%%%%%%
Nech� $\A$ je �tvercov� matice typu $(n,n)$ re�ln�ch nebo komplexn�ch
��sel. ��slo $\lambda\in\C$ se
naz�v� {\em vlastn�m ��slem matice $\A$}, pokud existuje $\vec x\in
\C^n$, $\vec x\not=\vec o$ takov�, �e $\A\cdot\vec x^T = \lambda\,\vec x^T$.
Vektor $\vec x$, kter� spl�uje uvedenou rovnost, se naz�v� {\em
vlastn� vektor matice $\A$ p��slu�n� vlastn�mu ��slu $\lambda$}.

\veta [vlavlA]
%%%%%
Nech� $\a:L\to L$ je line�rn� zobrazen� a $\A$ je jeho matice vzhledem
k n�jak� b�zi $(B)$. Pak $\lambda$ je vlastn�m ��slem zobrazen� $\a$ pr�v� 
tehdy, kdy� je vlastn�m ��slem matice $\A$. Nav�c $\vec x$ je vlastn� 
vektor zobrazen� $\a$ p��slu�n� $\lambda$ pr�v� tehdy, kdy� sou�adnice
vektoru $\vec x$ vzhledem k b�zi $(B)$ tvo��
vlastn� vektor matice $\A$ p��slu�n� $\lambda$.

\definice [chpolynom]
%%%%%%%%%
Nech� $\A$ je �tvercov� matice. Polynom $\det (\A-\lambda\,\E)$
naz�v�me {\em charakteristick� polynom matice $\A$} a rovnost
$\det (\A-\lambda\,\E)=0$ charakteristickou rovnic�. Je-li $\lambda$ 
$k$-n�sobn�m ko�enem charakteristick� rovnice, ��k�me, �e $\lambda$ je
{\em $k$-n�sobn�m vlastn�m ��slem}.

\veta [vlcisloPAP]
%%%%%
Podobn� matice maj� stejn� charakteristick� polynom.

\veta [PDAP]
%%%%%
Nech� $\A$ je �tvercov� matice typu $(n,n)$.
Sestavme libovoln� komplexn� ��sla $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ do
diagon�ln� matice $\D=\diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$
a libovoln� nenulov� vektory $\vec x_1, \ldots, \vec x_n$ z~$\C^n$  
zapi�me do sloupc� matice~$\P$, tj. $\P=(\vec x_1^T, \ldots, \vec x_n^T)$.
Pak plat�: ��sla $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ jsou vlastn�mi ��sly
matice $\A$ a $\vec x_1, \ldots, \vec x_n$ jsou jejich odpov�daj�c�
vlastn� vektory pr�v� tehdy, kdy� je spln�na rovnost $\P\D=\A\P$.

\veta [AjeD]
%%%%%
Nech� m� �tvercov� matice $\A$ s $n$ ��dky $n$ line�rn� nez�visl�ch
vlastn�ch vektor� (ka�d� z~nich p��slu�� n�jak�mu vlastn�mu ��slu matice).
Pak je matice $\A$ podobn� diagon�ln� matici. 

\veta [vPjsouvvektory]
%%%%%
Nech� je matice $\A$ podobn� s~diagon�ln� matic�, tj.
existuje regul�rn� matice $\P$ a diagon�ln� matice $\D$ takov�, 
�e $\A=\P\D\P^{-1}$.
Pak $\D$ obsahuje vlastn� ��sla matice $\A$ a ve sloupc�ch matice $\P$
jsou vlastn� vektory p��slu�n� (podle po�ad�) odpov�daj�c�m 
vlastn�m ��sl�m zapsan�m v~$\D$.

\veta [vlastnijsouLN]
%%%%%
Vlastn� vektory, kter� p��slu�ej� vz�jmen� r�zn�m vlastn�m ��sl�m, jsou
line�rn� nez�visl�.

\veta [vvlzob]
%%%%%
Nech� $\a:L\to L$ je line�rn� zobrazen�, $\dim L=n$. Zobrazen� $\a$ m�
$n$ line�rn� nez�visl�ch vlastn�ch vektor� pr�v� tehdy, kdy� existuje b�ze $(B)$
prostoru $L$ takov�, �e $\a$ m� vzhledem k t�to b�zi diagon�ln�
matici $\D$. P�itom na diagon�le matice $\D$ jsou vlastn� ��sla
zobrazen� $\a$ a b�ze $(B)$ obsahuje vlastn� vektory p��slu�n�
vlastn�m ��sl�m v~matici $\D$ ve stejn�m po�ad�.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Line�rn� prostory se skal�rn�m sou�inem |
          Linearni prostory se skalarnim soucinem
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice [dlpss]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlp]{line�rn� prostor}. Operaci $\cdot: L\times L\to \R$
nazveme {\em skal�rn�m sou�inem}, pokud spl�uje $\forall\vec x\in L$,
$\forall\vec y\in L$, $\forall \vec z\in L$, 
$\forall \alpha\in\R$ n�sleduj�c� vlastnosti
$$
  \eqalign{
  \bod (1) \vec x\cdot\vec y = \vec y\cdot\vec x \cr
  \bod (2) (\vec x + \vec y)\cdot \vec z =
            \vec x\cdot\vec z + \vec y\cdot\vec z \cr
  \bod (3) (\alpha\cdot\vec x)\cdot\vec y = \alpha\cdot(\vec x\cdot\vec y) \cr
  \bod (4) \vec x\cdot\vec x \geq 0, \quad 
           \vec x\cdot\vec x = 0 \hbox{ jen tehdy, kdy� } \vec x = \vec o }
$$
Ve vlastnosti (4) zna�� symbol $\vec o$ \c[dlp]{nulov� vektor line�rn�ho 
prostoru}~$L$.

\veta [nulaxx]
%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlpss]{line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem}, 
$\vec o$ je jeho \c[dlp]{nulov� vektor}. 
Pak pro v�echna $\vec x\in L$, $\vec y\in L$ a 
$\vec z\in L$ plat�: (1) $\vec x\cdot\vec o = \vec o\cdot\vec x = 0$,
(2) $\vec z\cdot(\vec x + \vec y) = \vec z\vec x + \vec z\vec y$.

\definice [symmat]
%%%%%%%%%
\c[defmatice]{�tvercov� matice} $\A$ typu $(n,n)$ 
je {\em symetrick�}, pokud plat� \hbox{$\A^T = \A$}.

\definice [posdefmat]
%%%%%%%%%
Nech� $\A$ je \c[defmatice]{�tvercov� matice} typu $(n,n)$.
Ozna�me $\A_i$ \c[defmatice]{�tvercovou matici} typu $(n-i,n-i)$, kter� 
vznik� z~matice $\A$ vynech�n�m posledn�ch $i$ ��dk� a posledn�ch
$i$ sloupc�. Matice $\A$ se naz�v� {\em pozitivn� definitn�}, 
pokud v�echny \c[ddet]{determinanty} $\det\A_i$, $i\in\{0,1,2,\ldots,n-1\}$ 
jsou kladn�.

\veta [maticesoucinuRn]
%%%%%
Nech� $\A$ je \c[defmatice]{�tevrcov� matice} typu $(n,n)$.
Definujme sou�in na $\R^n$ takto. Pro $\vec x\in\R^n$, 
$\vec y\in\R^n$ je
$$
  \vec x\cdot\vec y = \vec x\cdot\A\cdot\vec y^T,
$$
kde na prav� stran� rovnosti je \c[soucinAB]{maticov� sou�in} 
jedno��dkov� matice 
$\vec x$, kter� obsahuje slo�ky vektoru~$\vec x$,
s matic� $\A$ a s matic� $\vec y^T$, co�
je sloupec slo�ek vektoru $\vec y$.

Pak $\vec x\cdot\vec y$ je \c[dlpss]{skal�rn�m sou�inem} pr�v� tehdy, kdy�
$\A$ je \c[symmat]{symetrick�} a \c[posdefmat]{pozitivn� definitn� matice}.

\definice [velikost]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlpss]{line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem}. Pro
$\vec x\in L$ definujeme {\em velikost vektoru~$\vec x$} hodnotou
$\sqrt{\vec x\cdot\vec x}$. Velikost vektoru $\vec x$ zna��me
$|\vec x|$, tak�e je
$$
  |\vec x| = \sqrt{\vec x\cdot\vec x}, \qquad \hbox{tj. }
  |\vec x|^2 = \vec x\cdot\vec x
$$ 

\veta [absvelikost]
%%%%%
Nech� $\vec x$ je prvkem 
\c[dlpss]{line�rn�ho prostoru se skal�rn�m sou�inem},
$\alpha\in\R$. Pak 
$$
  |\alpha\,\vec x| = |\alpha|\cdot|\vec x|.
$$
Z�pis $|\alpha|$ zde zna�� absolutn� hodnotu re�ln�ho ��sla, ostatn�
symboly~\uv{$|~|$} znamenaj� \c[velikost]{velikosti vektor�}.

\definice [uhel]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlpss]{line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem}
a $\vec x\in L$, $\vec y\in L$, $\vec x\not=\vec o$,
$\vec y\not=\vec o$. Pak {\em �hel mezi vektory
$\vec x$ a $\vec y$} je takov� ��slo~$\phi$, pro kter� plat�
$$
  \cos\phi = {\vec x\cdot\vec y \over |\vec x|\cdot|\vec y|}
%  \rce(uhel)
$$

\veta [schwartz]
%%%%%
(Schwartzova nerovnost).
Nech� $L$ je \c[dlpss]{line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem} a 
$\vec x\in L$, $\vec y\in L$. Pak plat�: 
$$
  |\vec x\cdot\vec y| \leq |\vec x|\cdot|\vec y|.
%  \rce(schwartz)
$$
Symbol \uv{$|~|$} na lev� stran� nerovnice znamen� absolutn� hodnotu
re�ln�ho ��sla, zat�mco stejn� symboly na prav� stran� nerovnice ozna�uj�
\c[velikost]{velikost vektoru}.

\definice [vzdalenost]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlpss]{line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem}. 
{\em Vzd�lenost vektoru $\vec x$ od vektoru $\vec y$} definujeme jako 
$|\vec y-\vec x|$. Podle v�ty\cite[absvelikost] je 
$|\vec y-\vec x|=|\vec x-\vec y|$, tak�e �asto mluv�me 
o {\em vzd�lenosti dvou vektor� $\vec x$ a $\vec y$\/} (bez z�vislosti
na jejich po�ad�).

\veta [trojnerovnost]
%%%%%
(Troj�heln�kov� nerovnost).
Pro \c[velikost]{velikosti vektor�} plat� 
$$
  |\vec x+\vec y| \leq |\vec x|+|\vec y|.
%  \rce(trojnerovnost)
$$

\definice [kolmost]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlpss]{line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem}. Dva 
\c[dlp]{nenulov� vektory} $\vec x\in L$ a $\vec y\in L$ 
{\em jsou na sebe kolm�},
(zna��me $\vec x \kolmy\vec y$), pokud je $\vec x\cdot\vec y = 0$.

\let\orikolmy=\kolmy
\def\kolmy{\c[kolmost]{\orikolmy}}

\definice [ortonormalni]
%%%%%%%%%
Nech� $B=\{\vecc b_n\}$ je \c[dbase]{b�ze} 
\c[dlpss]{line�rn�ho prostoru se skal�rn�m sou�inem}.
B�zi $B$ naz�v�me {\em ortogon�ln�}, pokud
$\vec b_i\kolmy\vec b_j$ $\forall i\in\{1,2,\ldots,n\}$, 
$\forall j\in\{1,2,\ldots,n\}$, $i\not=j$.

B�zi $B$ naz�v�me {\em ortonorm�ln�}, pokud je ortogon�ln�, a nav�c
$|\vec b_i|=1$, $\forall i\in\{1,2,\ldots,n\}$.

\veta [ortobase]
%%%%%
\c[dbase]{B�ze} $B=\{\vecc b_n\}$ je \c[ortonormalni]{ortonorm�ln�} 
pr�v� tehdy, kdy� 
$$
  \vec b_i\cdot\vec b_j = \cases{ 0 \hbox{ pro } i\not=j, \cr 
                                  1 \hbox{ pro } i=j.}
$$

\veta [soucin-dle-souradnic]
%%%%%
Nech� $(B)$ je \c[ortonormalni]{ortonorm�ln� uspo��dan� b�ze} 
\c[dlpss]{line�rn�ho prostoru~$L$ se skal�rn�m sou�inem}. 
Pak pro v�echna $\vec x\in L$, $\vec y\in L$,
$\vec x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)_{(B)}$, $\vec y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)_{(B)}$ 
lze \c[dlpss]{skal�rn� sou�in} po��tat ze 
\c[souradnice]{sou�adnic vektor�} takto:
$$
  \vec x\cdot\vec y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n.
$$

\veta [kolmeLN]
%%%%%
Nech� $\vecc x_n$ jsou \c[dlp]{nenulov� vektory} 
\c[dlpss]{line�rn�ho prostoru se skal�rn�m sou�inem}, 
kter� jsou na sebe navz�jem \c[kolmost]{kolm�}, 
tj. $\vec x_i\cdot \vec x_j= 0$ pro $i\ne j$ a $\vec x_i\cdot \vec x_i>0$.
Pak jsou tyto vektory \c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�}.

\veta [karsouradnice]
%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ortonormalni]{ortonorm�ln� b�ze} 
\c[dlpss]{line�rn�ho prostoru se skal�rn�m sou�inem}. 
Pak pro \c[souradnice]{sou�adnice} libovoln�ho \c[dlp]{vektoru} $\vec x$
plat�
$$
  \vec x = (\vec x{\cdot}\vec b_1, \,\vec x{\cdot}\vec b_2, \,\ldots,\,
            \vec x{\cdot}\vec b_n)_{(B)}.
$$

\veta [uhly-k-osam]
%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ortonormalni]{ortonorm�ln� b�ze} 
\c[dlpss]{line�rn�ho prostoru se skal�rn�m sou�inem} 
a $\vec x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)_{(B)}$ je 
jeho libovoln� \c[dlp]{vektor}. Pak \c[uhel]{�hlel}
$\phi_i$ mezi vektorem $\vec x$ a vektorem $\vec b_i$ lze po��tat
podle vzorce
$$
  \cos\phi_i = {x_i\over |\vec x|}\,.
$$

\veta [ortogonalizace]
%%%%%
(Schmidt�v ortogonaliza�n� proces).
Nech� $\{\vecc b_n\}$ je \c[dbase]{b�ze} 
\c[dlpss]{line�rn�ho prostoru~$L$ se skal�rn�m sou�inem}. 
Pak existuje \c[ortonormalni]{ortonorm�ln� b�ze}
$\{\vecc c_n\}$ takov�, �e
$$
  \lob<\vecc b_k> = \lob<\vecc c_k>, \qquad 
  \forall  k\in\{1,2,\ldots,n\}
$$

\iffalse  %%% Tuto aplikaci v STM nepou�iju

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Aplikace line�rn� algebry v geometrii |
          Aplikace linearni algebry v geometrii
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice [kolmyprumet]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je \c[dlpss]{line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem}, 
$\vec u\in\nobreak L$, 
$\vec v\in\nobreak L, \vec v \ne \vec o$. Pak ��slo
$$
  {\vec u \cdot \vec v \over |\vec v|}
$$
naz�v�me {\em kolm� pr�m�t vektoru $\vec u$ na vektor $\vec v$}.

\definice [kladneUO]
%%%%%%%%%
Nech� $U_O$ je \c[dlpss]{line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem} podle 
p��kladu\fcite[ssnaUO]. 
\c[ortonormalni]{Ortonorm�ln� uspo��danou b�zi} 
$(B)=\bigl(\vec i, \vec j, \vec k\bigr)$ naz�v�me 
{\em kladn� orientovanou}, pokud p�i vhodn�m um�st�n� a nato�en� 
pozorovatele vzhledem k t�to b�zi sm��uje �se�ka 
$\vec i$ vpravo od pozorovatele, $\vec j$ sm�rem 
k~pozorovateli a $\vec k$ nahoru.

V�echny \c[dbase]{b�ze} $(C)$ (ne nutn� ortonorm�ln�), kter� maj� 
\c[dprechodu]{matici p�echodu od $(B)$ k~$(C)$} s~kladn�m 
\c[ddet]{determinantem}, 
naz�v�me {\em kladn� orientovan� b�ze}.
V�echny b�ze $(D)$, kter� maj� 
\c[dprechodu]{matici p�echodu od $(B)$ k~$(D)$}
se z�porn�m \c[ddet]{determinantem}, naz�v�me {\em z�porn� orientovan� b�ze}.

\definice [orientovat]
%%%%%%%%%
{\em Orientovat} libovoln� \c[dlp]{line�rn� prostor} 
s kone�nou \c[ddimense]{dimenz�} znamen�
prohl�sit jednu jeho uspo��danou b�zi $(B)$ za v�choz� kladn� orientovanou.
\c[ubase]{Uspo��dan� b�ze} $(C)$ se naz�v� {\em kladn� orientovan�}, pokud 
\c[dprechodu]{matice p�echodu od v�choz� b�ze $(B)$ k b�zi $(C)$} 
m� kladn� \c[ddet]{determinant}.
\c[ubase]{Uspo��dan� b�ze} $(D)$ se naz�v� {\em z�porn� orientovan�}, 
pokud \c[dprechodu]{matice p�echodu od v�choz� b�ze $(B)$ k b�zi $(D)$}
m� z�porn� \c[ddet]{determinant}.

\definice [vs]
%%%%%%%%%
Nech� $U_O$ je \c[dlp]{line�rn� prostor} 
\cf[UOznovu]{orientovan�ch �se�ek}.
{\em Vektorov� sou�in\/} je zobrazen� (ozna�ujeme jej k���kem)
$\times: U_O\times U_O \to U_O$, kter� spl�uje n�sleduj�c� vlastnosti.

(A) Jsou-li \c[dlp]{vektory} $\{\vec u, \vec v\}\subset U_O$ 
    \c[LZskupiny]{line�rn� z�visl�},
    definujeme $\vec u\times \vec v = \vec o$ (nulov� vektor).

(B) Jsou-li \c[dlp]{vektory} $\{\vec u, \vec v\}\subset U_O$ 
    \c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�}, pak je 
    vektor $\vec u\times \vec v$ jednozna�n� ur�en
    n�sleduj�c�mi t�emi vlastnostmi:

(1) $(\vec u\times \vec v) \kolmy \vec u$, $(\vec u\times \vec v) \kolmy \vec v$,  

(2) $|\vec u\times \vec v| = |\vec u|\,|\vec v|\,\sin \phi$, kde
    $\phi$ je �hel mezi vektory $\vec u$ a $\vec v$.

(3) Uspo��dan� b�ze $(\vec u, \vec v, \vec u\times \vec v)$ je 
    \c[kladneUO]{kladn� orientovan�}.

\let\oritimes=\times
\def\times{\c[vs]{\oritimes}}

\veta [vs-souradnice]
%%%%%
(Sou�adnice vektorov�ho sou�inu).
Nech� $(B)=(\vec i, \vec j, \vec k)$ je \c[ortonormalni]{ortonorm�ln�}
\c[kladneUO]{kladn� orientovan�} \c[ubase]{uspo��dan� b�ze} 
\cf[UOznovu]{line�rn�ho prostoru $U_O$},
$\vec u = (u_1, u_2, u_3)_{(B)}$, $\vec v = (v_1, v_2, v_3)_{(B)}$.
Pak plat�:
$$
  \vec u\times \vec v = \left (
   \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|,
   - \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|,
   \,\left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right|
   \right )_{(B)}.
%   \rce(vs-poc)
$$

\definice [vsnaR3]
%%%%%%%%%
Nech� $\vec u\in\R^3$,  $\vec v\in\R^3$, 
$\vec u = (u_1, u_2, u_3)$, $\vec v = (v_1, v_2, v_3)$. Pak definujeme
{\em vektorov� sou�in na $\R^3$} p�edpisem:
$$
  \vec u\oritimes \vec v = \left (
   \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|,
   - \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|,
   \,\left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right|
   \right ).
$$

\veta [zv-vs]
%%%%%
(Z�kladn� vlastnosti vektorov�ho sou�inu).
Nech� $L$ je \c[dlpss]{line�rn� prostor} s~\c[vs]{vektorov�m sou�inem} a 
$\vec u\in L$, $\vec v\in L$, $\vec w\in L$, 
$\alpha\in\R$.
Plat�:
$$\eqalign{
  \vec u \times \vec u &= \vec o \cr
  \vec u \times \vec v &= - (\vec v \times \vec u)
  \qquad \hbox{(antikomutativn� z�kon)}\cr
  (\alpha\,\vec u) \times \vec v &= \alpha \, (\vec u \times \vec v) =
  \vec u \times (\alpha\,\vec v) \cr
  (\vec u + \vec v)\times \vec w &= 
  \vec u \times \vec w + \vec v \times \vec w \cr
  \vec u \times (\vec v + \vec w) &= 
  \vec u \times \vec v + \vec u \times \vec w \cr
}
$$

\veta [vs-geom]
%%%%%
(Geometrick� v�znam vektorov�ho sou�inu).
Nech� \c[dlp]{vektory} $\vec u, \vec v$ jsou 
\c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�}.
\c[velikost]{Velikost} \c[vs]{vektorov�ho sou�inu} $\vec u\times\vec v$ 
je rovna plo�e rovnob�n�ka ur�en�ho sv�mi stranami 
$\vec u$ a $\vec v$.

\definice [smisenys]
%%%%%%%%%
Nech� $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ jsou 
\c[dlp]{vektory} z \c[dlpss]{line�rn�ho prostoru
se skal�rn�m} a \c[vs]{vektorov�m sou�inem}. Pak ��slo 
$\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)$ naz�v�me 
{\em sm��en�m sou�inem vektor� $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$
(v tomto po�ad�)}.

\veta [sms-souradnice]
%%%%%
(Sm��en� sou�in ze sou�adnic vektor�).
Nech� $(B)=(\vec i, \vec j, \vec k)$ je 
\c[ortonormalni]{ortonorm�ln�} \c[kladneUO]{kladn� 
orientovan�} \c[ubase]{uspo��dan� b�ze} 
\c[dlpss]{line�rn�ho prostoru se skal�rn�m} a
\c[vs]{vektorov�m sou�inem},
$\vec u = (u_1, u_2, u_3)_{(B)}$, 
$\vec v = (v_1, v_2, v_3)_{(B)}$,
$\vec w = (w_1, w_2, w_3)_{(B)}$.
Pak je \c[smisenys]{sm��en� sou�in} 
$\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)$ roven
\c[ddet]{determinantu}:
$$
  \left| \matrix{u_1& u_2& u_3\cr
                 v_1& v_2& v_3\cr
                 w_1& w_2& w_3\cr} \right|.
$$

\veta [sms-geom]
%%%%%
(Geometrick� v�znam sm��en�ho sou�inu).
Absolutn� hodnota \c[smisenys]{sm��en�ho sou�inu} 
\c[LNskupiny]{line�rn� nez�visl�ch vektor�} 
$\vec u, \vec v, \vec w$
je rovna objemu rovnob�nost�nu ur�en�ho sv�mi stranami
$\vec u, \vec v, \vec w$.

\definice [dV3]
%%%%%%%%%
Nech� $U_O$ je \c[dlp]{line�rn� prostor} 
z~p��klad�\fcite[UOznovu] a\fcite[ssnaUO].
Volme $\vec u_O\in U_O$. Mno�inu v�ech orientovan�ch �se�ek, kter� jsou 
s~�se�kou $\vec u_O$ rovnob�n� a maj� stejnou velikost a orientaci
naz�v�me {\em vektorem line�rn�ho prostoru~$V_3$}.

Nech� $\vec u$ je vektor line�rn�ho prostoru~$V_3$ Jedn� se
tedy o~mno�inu vz�jemn� rovnob�n�ch �se�ek stejn�
velk�ch a stejn� orientovan�ch. Jakoukoli orientovanu �se�ku 
z~t�to mno�iny naz�v�me {\em reprezentantem vektoru $\vec u$}.

Na line�rn�m prostoru~$V_3$ definujeme s��t�n� vektor� a skal�rn�
n�sobek. Nech� $\vec u\in V_3$, $\vec v\in V_3$. Volme 
n�jak� bod~$O\in\E_3$. Existuje pr�v� jeden reprezentant vektoru
$\vec u$, kter� za��n� v~bod�~$O$. Ozna�me jej $\vec u_O$.
D�le nech� $\vec v_O$ je reprezentant vektoru $\vec v$ za��naj�c� 
v~bod�~$O$. Pak je definov�n sou�et $\vec w_O=\vec u_O+\vec v_O$ na
line�rn�m prostoru~$U_O$. Sou�et $\vec u + \vec v$ je takov� prvek
z~$V_3$, pro kter� je $\vec w_O$ jeho reprezentantem za��naj�c�m 
v bod�~$O$. Je to tedy mno�ina v�ech orientovan�ch �se�ek
rovnob�n�ch, stejn� velk�ch a stejn� orientovan�ch, jako 
�se�ka~$\vec w_O$.

\vfil\break

Skal�rn� n�sobek definujeme podobn�. Nech� je $\vec u\in V_3$, 
$\alpha\in\R$. Pro $\vec u$ existuje reprezentant $\vec u_O$ za��naj�c� 
v~bod�~$O$. K n�mu existuje skal�rn� n�sobek definovan� v $U_O$.
Ozna�me jej $\vec w_O = \alpha\,\vec u_O$. V�sledn� vektor
$\alpha\,\vec u$ je vektorem z~$V_3$ takov�m, �e $\vec w_O$ je jeho
reprezentant. 

Skal�rn� sou�in vektor� $\vec u\in V_3$, $\vec v\in V_3$
definujeme jako skal�rn� sou�in jejich reprezentant� $\vec u_O$ a
$\vec v_O$ v~line�rn�m prostoru~$U_O$.

Vektorov� sou�in $\vec u \times \vec v$ definujeme tak, �e
reprezentanty $\vec u_O$ a $\vec v_O$  vektor� 
$\vec u$ a $\vec v$ vyn�sob�me v~line�rn�m
prostoru $U_O$. V�sledn� sou�in $\vec u\times \vec v$ je takov� vektor,
pro kter� je $\vec u_O\times\vec v_O$ jeho reprezentantem za��naj�c�m
v~bod� $O$.

\definice [baseV3]
%%%%%%%%%
{\em Ortonorm�ln� b�ze na $V_3$} je takov� \c[dbase]{b�ze}, jej�� 
\c[dV3]{reprezentanti}
za��naj�c� v n�jak�m bod�~\hbox{$O\in\E_3$} tvo�� 
\c[ortonormalni]{ortonorm�ln� b�zi} v~$U_O$.
Viz p��klad\fcite[baseUO].

{\em Kladn� orientovan� b�ze na~$V_3$} ja takov� \c[ubase]{b�ze}, 
jej�� \c[dV3]{reprezentanti} za��naj�c� v~n�jak�m bod�~$O\in\E_3$ 
tvo�� \c[kladneUO]{kladn� orientovanou b�zi v~$U_O$}.

\definice [bod+vektor]
%%%%%%%%%
Pro ka�d� bod $A\in\E_3$ a \c[dV3]{voln� vektor} $\vec v\in V_3$ 
existuje pr�v� jeden 
\c[dV3]{reprezentant} vektoru~$\vec v$, kter� za��n� v bod� $A$. Koncov�
bod $B\in\E_3$ tohoto reprezentanta naz�v�me {\em sou�tem bodu $A$ 
s~vektorem~$\vec v$} a zna��me $B=A+\vec v$.

Pro ka�d� dva body $A\in\E_3$, $B\in\E_3$ existuje $\vec v\in V_3$
takov�, �e orientovan� �se�ka s po��tkem v~bod�~$A$ a koncem 
v bod�~$B$ je \c[dV3]{reprezentantem} tohoto vektoru. 
Vektor $\vec v$ naz�v�me
{\em rozd�lem $B-A$}, p��eme $\vec v = B-A$. Vektor $B-A$ se �asto
zna�� symbolem $\overrightarrow {AB}$.

\definice [soursystem]
%%%%%%%%%
Libovoln� bod $O\in \E_3$ spole�n� s \c[ubase]{uspo��danou b�z�} 
$(B)=(\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3)$ 
\c[dV3]{vektor� z~$V_3$} tvo��
{\em sou�adnicov� syst�m bodov�ho prostoru $\E_3$}. 

{\em Sou�adnice vektoru $\vec u\in V_3$ v tomto sou�adnicov�m syst�mu} 
definujeme jako \c[souradnice]{sou�adnice vektoru} $\vec u$ vzhledem 
k~\c[ubase]{uspo��dan� b�zi}~$(B)$.

{\em Sou�adnice bodu $A\in \E_3$ v tomto sou�adnicov�m syst�mu}
definujeme jako sou�adnice vektoru $A-O$. Vektor $A-O$ naz�v�me 
v tomto kontextu {\em radiusvektorem bodu $A$}.

P��mky $O+\lob<\vec b_1>$, $O+\lob<\vec b_2>$, $O+\lob<\vec b_3>$
jsou {\em osy sou�adnicov�ho syst�mu}. 

Je-li \c[ubase]{b�ze} $(B)$ \c[ortonormalni]{ortogon�ln�}, 
naz�v�me odpov�daj�c� sou�adnicov�
syst�m {\em pravo�hl�}. Je-li \c[ubase]{b�ze} $(B)$ 
\c[ortonormalni]{ortonorm�ln�}, naz�v�me
odpov�daj�c� sou�adnicov� syst�m {\em kart�zsk�}. Je-li b�ze $(B)$
\c[kladneUO]{kladn� orientovan�}, 
mluv�me t� o~{\em kladn� orientovan�m sou�adnicov�m
syst�mu}.

\veta [sourbodu]
%%%%%
Zvolme pevn� 
\c[soursystem]{sou�adnicov� syst�m bodov�ho prostoru $\E_3$}, vzhledem ke
kter�mu budeme ud�vat \c[soursystem]{sou�adnice bod� a vektor�}. 
Tento sou�adnicov�
syst�m nemus� b�t nutn� \c[soursystem]{kart�zsk�}.
Nech� $A\in\E_3$ m� \c[soursystem]{sou�adnice} $(a_1,a_2,a_3)$, 
$B\in\E_3$ m� \c[soursystem]{sou�adnice} $(b_1,b_2,b_3)$,
$\vec u\in V_3$ m� \c[soursystem]{sou�adnice} $(u_1,u_2,u_3)$,
$\vec v\in V_3$ m� \c[soursystem]{sou�adnice} $(v_1,v_2,v_3)$,
$\alpha\in\R$, $\beta\in\R$.
Potom plat�:

(1) Vektor $\alpha\,\vec u + \beta\,\vec v$ m� 
    \c[soursystem]{sou�adnice}
    $\alpha\,(u_1,u_2,u_3) + \beta\,(v_1,v_2,v_3)$.

(2) Bod $A+\vec u$ m� \c[soursystem]{sou�adnice} $(a_1,a_2,a_3)+(u_1,u_2,u_3)$.

(3) Vektor $\overrightarrow{AB}=B-A$ m� \c[soursystem]{sou�adnice} 
    $(b_1,b_2,b_3)-(a_1,a_2,a_3)$.

\fi

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola           Line�rn� algebra v teorii k�dov�n� | 
                    Linearni algebra v teorii kodovani
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice [dZ2]
%%%%%%%%%
{\em T�leso $\Z_2$} je dvoubodov� mno�ina $\{0, 1\}$, na kter� je
definov�no s��t�n� $+:\Z_2\times\Z_2\to\Z_2$ a n�soben� 
$\cdot:\Z_2\times\Z_2\to\Z_2$ takto:
$$
  \def\|{\kern6pt\vrule height17pt depth 7pt&\kern-3pt}
  \matrix { \phantom0\llap{+}  \| 0 & 1 \cr \noalign{\hrule}
             0 \| 0 & 1 \cr \noalign{\vskip-2pt}
             1 \| 1 & 0 \cr} \qquad \qquad
  \matrix { \phantom0\llap{$\cdot$}  \| 0 & 1 \cr \noalign{\hrule}
             0 \| 0 & 0 \cr \noalign{\vskip-2pt}
             1 \| 0 & 1 \cr}
$$
Tedy: \ $0+0=0$, \quad $0+1=1+0=1$, \quad $1+1=0$, \quad
$0\cdot0=0\cdot1=1\cdot0=0$, \quad $1\cdot1=1$.

\definice [dkod]
%%%%%%%%%
Nech� $A$ je kone�n� mno�ina (tzv. {\em abeceda}). Pak {\it slovo} je
libovoln� kone�n� posloupnost prvk� z $A$.

{\it K�dov�n�\/} v obecn�m smyslu zahrnuje
(1) algoritmus,
kter�m informace p�ev�d�me do posloupnosti slov (tzv. {\em kod�r\/}) a
(2) algoritmus, kter�m 
zp�tn� z~t�chto slov z�sk�v�me p�vodn� informaci ({\em dekod�r\/}).

Slova, kter� vytv��� kod�r, se naz�vaj� {\em k�dov� slova}. 
Mno�ina v�ech k�dov�ch slov se naz�v� {\em k�d}.

Je-li k�d mno�inou slov stejn� d�lky (ka�d� k�dov� slovo m�
stejn� po�et znak� abecedy), mluv�me o~tzv. {\it blokov�m k�du}.
Blokov� k�d {\em d�lky $n$} zna��, �e v�echna k�dov� slova maj� $n$ znak� abecedy.

\definice [hammingd]
%%%%%%%%%
Nech� $A=\{0,1\}$.
{\em Hammingova velikost slova $\vec u\in A^n$} je po�et
jedni�ek v tomto slov� a zna��me ji $||\vec u||$. 
{\em Hammingova vzd�lenost slov $\vec v\in A^n$ a $\vec w\in A^n$}
je po�et bit�, ve kter�ch se tato dv� slova li��. Zna��me ji
$\d(\vec v,\vec w)$.

\definice [dlkod]
%%%%%%%%%
Bin�rn� blokov� k�d $K$ d�lky $n$ je {\em line�rn�}, pokud $K$
tvo�� line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $\Z_2^n$.
Jestli�e dimenzi tohoto podprostoru ozna��me $k$, pak mluv�me o 
{\em line�rn�m $(n,k)$ k�du}.

\veta [nejmhm]
%%%%%
Nejmen�� Hammingova vzd�lenost mezi slovy line�rn�ho k�du $K$ je rovna
nejmen�� Hammingov� velikosti nenulov�ho k�dov�ho slova.

\definice [dHG]
%%%%%%%%%
{\em Generuj�c� matice line�rn�ho k�du $K$} je po ��dc�ch zapsan� b�ze
tohoto k�du.

{\em Kontroln� matice line�rn�ho k�du $K$} je takov� matice $\H$ 
s line�rn� nez�visl�mi ��dky, pro kterou plat�: mno�ina �e�en� 
homogenn� soustavy $\H\,\vec x=\vec o$ je rovna k�du $K$.

\veta [vlHG]
%%%%%
Nech� $\G$ je generuj�c� matice a $\H$ kontroln� matice line�rn�ho
$(n,k)$ k�du. Pak $\G$ m� $k$~��dk� a $\H$ m� $n-k$ ��dk�. Ob� matice
maj� $n$ sloupc�. Jin�mi slovy generuj�c� matice m� tolik ��dk�, kolik
je v k�du informa�n�ch bit�, kontroln� matice m� tolik ��dk�, kolik 
m� k�d kontroln�ch bit� a po�et sloupc� obou matic je roven po�tu
p�en�en�ch bit� v jednom slov�.

\veta [vlHG2]
%%%%%
Nech� $\G$ je generuj�c� a $\H$ je kontroln� matice line�rn�ho $(n,k)$
k�du.  Pak $\H\cdot\G^T = \O_1$ a tak� $\G\cdot\H^T = \O_2$, kde
$\O_1$ je nulov� matice s $n-k$ ��dky a $k$ sloupci a $\O_2=\O_1^T$.

\definice [dsystemkod]
%%%%%%%%%
Pokud existuje generuj�c� matice line�rn�ho k�du ve tvaru
$\G=(\E|\C)$, kde $\E$ je jednotkov� matice, naz�v�me takov� k�d {\em
systematick�}. 

\veta [HDE]
%%%%%
K�d je systematick� pr�v� tehdy kdy� existuje kontroln� matice tohoto
k�du tvaru $(\C^T|\E')$, kde $\E'$ je jednotkov� matice.

\veta [koderzob]
%%%%%
Nech� $\G$ je generuj�c� matice line�rn�ho $(n,k)$ k�du.
Nech� d�le $\a: \Z_2^k\to\Z_2^n$ je line�rn� zobrazen�,
kter� zobrazuje standardn� b�zi prostoru $\Z_2^k$ na ��dky matice $\G$.
Pak matice $\G^T$ je matic� line�rn�ho zobrazen� 
$\a$ vzhledem ke standardn�m b�z�m.

\definice [dsyndrom]
%%%%%%%%%
Nech� $\H$ je kontroln� matice line�rn�ho k�du. {\em Syndrom\/} slova
$\vec w$ je vektor $\vec s$, pro kter� plat� $\vec s^T=\H\cdot\vec w^T$.

Nech� $\vec v$ je slovo vyslan� kod�rem a $\vec w$ je slovo p�ijat�
dekod�rem. Pak $\vec e=\vec w-\vec v$ je {\it chybov� slovo}.
Proto�e v $\Z_2^n$ je $-\vec v= \vec v$, chybov� slovo
lze po��tat jako $\vec w+\vec v$.

\veta [afinM1M2]
%%%%%
Nech� $K$ je line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $L$ a
nech� $\vec e_1\in L$, $\vec e_2\in L$.
Pak mno�iny 
$
    M_1=\{\vec e_1+\vec v, \  \vec v\in K\} $, $
    M_2=\{\vec e_2+\vec v, \  \vec v\in K\} 
$
jsou bu� disjunktn� nebo toto�n�.

\veta [osyndromu]
%%%%%
Nech� $\vec v$ je k�dov� slovo a $\vec e$ je libovoln� slovo. 
Pak slova $\vec e$ i $\vec e+\vec v$ maj� stejn� syndrom.
Jin�mi slovy k�dov� slova modifikovan� stejnou chybou
vytv��ej� skupinu slov se spole�n�m syndromem.

\veta [syndrom1]
%%%%%
Slovo s jednou jedni�kou je k�dov� pr�v� tehdy, kdy� kontroln�
matice obsahuje nulov� sloupec. Dv� r�zn� slova s jednou jedni�kou
maj� spole�n� syndrom pr�v� tehdy, kdy� kontroln� matice obsahuje
aspo� dva stejn� sloupce.



\end











