\chyph \nopagenumbers \input ofs [a35] \setfonts [NewCentury/16] \setmath[//] \fontdef\bfont [NewCentury/34] \fontdef\bbfont [NewCentury/64] \fontdef\tt [Courier/16] \baselineskip=22pt \normalbaselineskip=18pt \topskip=26pt \emergencystretch=2em \parindent=0pt \ifx\pdfoutput\undefined \def\pdfsetcmykcolor#1{} \def\pdfsetcmyKcolor#1{} \def\linalcite[#1]{\csname c:#1\endcsname} \def\aimlink#1{} \def\beglink#1{} \def\endlink{} \def\cf[#1]{} \def\url[#1]{} \else \pdfcompresslevel=9 \def\pdfsetcmyKcolor#1{\special{PDF:#1 k #1 K}} \def\pdfsetcmykcolor#1{\special{PDF:#1 k}} \ifx\pdfannotlink\undefined \let\pdfannotlink=\pdfstartlink \fi \pdfpagewidth=21cm \pdfpageheight=15cm \def\linalcite[#1]{\if|#1|\else\pdfannotlink height14pt depth5pt attr{/Border[0 0 0]} goto file{linal.pdf} name{c:#1}\relax \Green \csname c:#1\endcsname\Black\pdfendlink\fi} \def\aimlink#1{% \pdfdest name{#1} xyz\relax} \def\beglink#1{% % Začátek textu odkazu, #1 je klíč odkazu \Green \pdfannotlink height14pt depth5pt attr{/Border[0 0 0]} goto name{#1}\relax} \def\endlink{\pdfendlink\Black} \def\cf[#1]#2{\expandafter \ifx \csname c:#1\endcsname \relax \errmessage {UNKNOWN link [#1]}\fi \pdfannotlink height14pt depth5pt attr{/Border[0 0 0]} goto file{linal.pdf} name{c:#1}\relax \Green #2\Black\pdfendlink} \def\url[#1]#2{\leavevmode\pdfannotlink height 14pt depth 5pt user{/Border[0 0 0]/Subtype/Link/A << /Type/Action/S/URI/URI(#1)>>}\relax \Green{#2}\Black\pdfendlink} \fi \def\Blue{\pdfsetcmykcolor{0.9 0.9 0.1 0}} \def\Red{\pdfsetcmykcolor{0.1 0.9 0.9 0}} \def\Brown{\pdfsetcmykcolor{0 0.85 0.87 0.5}} \def\Green{\pdfsetcmykcolor{0.9 0.1 0.9 0.5}} \def\Black{\pdfsetcmykcolor{0 0 0 1}} \def\Purple{\pdfsetcmyKcolor{.45 .86 0 0}} \vsize=14cm \hoffset=-.9cm \voffset=-1.4cm \hsize=18.7cm \def\refkapitola #1#2{} \def\refokraj #1#2{} \def\refodstavec [#1]#2{\expandafter\gdef\csname c:#1\endcsname {#2}} \def\startcviceni #1#2{} \input linal.ref \def\em{\leavevmode\aftergroup\Black\Red\it} \def\R{{\bf R}} \def\N{{\bf N}} \def\A{{\bf A}} \def\B{{\bf B}} \def\C{{\bf C}} \def\D{{\bf D}} \def\E{{\bf E}} \def\H{{\bf H}} \def\G{{\bf G}} \def\O{{\bf O}} \def\P{{\bf P}} \def\Q{{\bf Q}} \def\X{{\bf X}} \def\Z{{\bf Z}} \let\phi=\varphi \def\diag{\mathop{\rm diag}} \def\konv{\mathbin{\ast}} \let\impl=\Rightarrow \def\lob<#1>{\langle#1\rangle} \def\lobr<#1>{\langle\hbox{r:}\,#1\rangle} \def\hod{\mathop{\rm hod}} \def\sgn{\mathop{\rm sgn}} \def\a{{\cal A}} \def\b{{\cal B}} \def\i{{\cal I}} \def\ker{\mathop{\rm Ker}} \def\defekt{\mathop{\rm def}} \def\kolmy{\mathbin{\bot}} \def\df#1{\buildrel\hbox{\sevenrm df}\over#1} \let\vector\overrightarrow \def\vec#1{{\bi#1}} \def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}} \def\lkvecc #1.#2_#3{#1_1\,\vec#2_1+#1_2\,\vec#2_2+\cdots+#1_#3\,\vec#2_#3} \def\odsun{\hskip4em{}} \def\teckacarka{\mathcode`\.="013B } \def\soustava#1{\vcenter{\bigspaces\def\1{\hphantom1}\def\.{\rlap.}% \ialign{&\hfil${}##{}$\cr#1\crcr}}} \def\bigspaces{\thickmuskip=10mu\medmuskip=7mu\relax} \def\nobigspaces{\let\bigspaces=\relax} \def\matice#1{\left(\kern-3pt\vcenter {\tabskip=5pt\halign{&\strut\hfil$##$\cr#1\crcr}}\kern-3pt\right)} \def\bb#1 {\par\indent\llap{#1 }\hang\ignorespaces} \def\bod(#1){({\rm#1})&\quad} \let\bs=\bigskip \def\savelabel#1{\if|#1|\else\expandafter \ifx \csname c:#1\endcsname \relax \errmessage {UNKNOWN [#1] label}\fi \aimlink{c:#1}\fi} \def\definice [#1]{\vfil\break \savelabel{#1} \noindent \llap{\linalcite[#1]\kern9pt}% {\bf \Blue Definice.\Black} \ignorespaces} \def\veta [#1]{\vfil\break \savelabel{#1} \noindent \llap{\linalcite[#1]\kern9pt}% {\bf \Red Věta.\Black} \ignorespaces} \def\upozorneni #1. {\bigskip \leavevmode\hbox{\bf \Red Upozornění #1.\Black\space}\ignorespaces} \def\doporuceni #1. {\bigskip \leavevmode\hbox{\bf \Blue Doporučení #1.\Black\space}\ignorespaces} \def\pozn {\vskip1.5\baselineskip {\bf Poznámka.} \ignorespaces} \def\kapitola #1 | #2 \par{\vfil\break \def\nazevkapitoly{#1}} \headline={\Purple\setfonts[/12] \llap{\the\pageno\kern9pt}\leaders \vrule height 3pt depth-2.6pt \hfil\kern9pt \it \nazevkapitoly\Black} \def\c[#1]#2{% \expandafter \ifx \csname c:#1\endcsname \relax \errmessage {UNKNOWN [#1] label}\fi \leavevmode\beglink{c:#1}#2\endlink} \def\cite[#1]{~\c[#1]{\csname c:#1\endcsname}} \def\fcite[#1]{~\cf[#1]{\csname c:#1\endcsname}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Titul %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\leftskip=0pt plus 1fil \headline={\hfil} \vglue 1cm {\bfont Petr Olšák \vskip1cm {\bbfont Výcuc} \vskip.5cm z textu \url[http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal.pdf]{Lineární algebra} \vskip1cm } určeno pro promítání na přednášce \uv{Úvod do algebry} \bigskip \url[http://www.olsak.net/linal.html]{\tt http://www.olsak.net/linal.html} \url[http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/]% {\tt http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/} \url[http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/]{\tt http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/} \vfil\break } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Úvodní poznámky | Uvodni poznamky %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \upozorneni1. Nedoporučuji tento text přímo tisknout. K tisku je vhodné použít text \url[http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal.pdf]{Lineární algebra} a nikoli jeho výcuc. Nebo si můžete pořídit skripta \url[http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/]{Úvod do algebry, zejména lineární}. Pokud přesto chcete tisknout výcuc, doporučuji použít \url[http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal-sp.pdf]{následující verzi}, kde jsou jednotlivé obrazovky uspořádány po čtyřech na stránce, tj. redukujete spotřebu kancelářských technologií na čtvrtinu. \upozorneni2. Tento výcuc není určen k samostatnému studiu. Je pouze podporou přednášky. Jenom {\em absolutní mimoň\/} je schopen pročítat zde uvedené věty a definice bez ilustrací, bez vysvětlení významu vět, bez jejich použití v důkazech dalších vět a bez podpůrných příkladů. Tyto definice a věty jsou sice jádrem výuky předmětu Úvod do algebry, ale na přednáškách a cvičeních se budeme snažit, aby bylo toto jádro co nejpřístupnější. Proto na nich zazní množství ilustračních příkladů, komentářů a vysvětlení, které ovšem nejsou jádrem výuky tohoto předmětu, ale pomohou vám to jádro lépe pochopit. \vfil\break \doporuceni1. Jak jste si asi všimli, zelený text je aktivní a můžete na něj kliknout k dosažení dalších informací. Aby byly všechny odkazy funkční, je potřeba mít kromě tohoto výcucu ve stejném adresáři i plný text \url[http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal.pdf]{Lineární algebra} ve formátu PDF. Čísla po stranách definic a vět se shodují se stejnými čísly v~plném textu a pokud na ně kliknete, objeví se příslušná pasáž plného textu (tedy například věta včetně důkazu). \doporuceni2. Pokud si vytisknete tento výcuc (předpokládám, že \url[http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal-sp.pdf]{v~úsporné variantě}), pak si například můžete na svůj výtisk vpisovat vysvětlující komentáře a důkazy vět, které uslyšíte na přednášce. Nemusíte se tam pak zdržovat přepisováním definic a vět, ale můžete se lépe soustředit na jejich pochopení. \vfil\break %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Polynomy | Polynomy %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \definice [] {\em Polynom\/} je reálná funkce reálné proměnné (nebo komplexní funkce komplexní proměnné), která je dána vzorcem $$ p(x) = a_n\, x^n + a_{n-1}\, x^{n-1} + \cdots + a_1\, x + a_0, $$ kde $a_0, a_1, \ldots, a_n \in \R$ (nebo ${}\in\C$) jsou {\em koeficienty polynomu} a $x$ je proměnná. Polynom značíme malými písmeny $p$, $q$, $p_1$, $p_2$ atd. Připíšeme-li závorku za toto písmeno, např. $p(x)$, máme na mysli hodnotu polynomu v bodě $x$. Toto je obvyklé značení, jaké se používá pro libovolné funkce (nejen pro polynomy). {\em Stupeň} polynomu je nejvyšší $k$ takové, že koeficient $a_k\not=0$. Jsou-li všechny koeficienty nulové, klademe stupeň roven $-1$. Takovému polynomu říkáme {\em nulový polynom}. \veta [] Polynom je jednoznačně určen svými koeficienty (ignorujeme nulové koeficienty s indexem větším než stupeň). To znamená, že dva různé polynomy (ve smyslu různé funkce) mají odlišné koeficienty a obráceně polynomy zadané různými koeficienty jsou různé funkce. Nulový polynom má všechny koeficienty nulové. \veta [] Součet a rozdíl polynomů je polynom. Násobek polynomu konstantou je polynom. Součin polynomů je polynom. Podíl polynomů nemusí být polynom. {\bf Poznámka.} Odvoďte si vzorce pro koeficienty polynomu, který je součtem, rozdílem a součinem polynomů se zadanými koeficienty. Odvoďte také vzorce pro stupeň součtu, rozdílu a součinu polynomů. \veta [] Polynomy $p$ a $q$ je možno \uv{dělit se zbytkem}. Pro polynomy $p$, $q$ ($q$ nenulový) existují polynomy $r$ a $z$ s vlastnostmi: (A) $\,p/q = r + z/q$,\quad (B) stupeň $z$ je menší než stupeň $q$. Polynomu $r$ v tomto kontextu říkáme {\em částečný podíl} a polynomu $z$ říkáme {\em zbytek}. \definice [] {\em Kořen\/} polynomu $p$ je takové číslo $\alpha$ (reálné nebo komplexní), pro které je $p(\alpha)=0$. \veta [] Číslo $\alpha$ je kořenem polynomu $p$ právě tehdy, když existuje polynom~$r$ takový, že $p(x)=(x-\alpha)\,r(x)$ pro všechna $x\in\R$ (nebo $x\in\C$). Je-li $\alpha$ kořenem polynomu $p$, pak polynomu $(x-\alpha)$ říkáme {\em kořenový činitel\/} polynomu $p$. \veta [] {\bf (Základní věta algebry)}. Každý polynom stupně aspoň prvního má aspoň jeden komplexní kořen. \bigskip {\bf Důsledek věty.} Každý polynom $p$ stupně $n\ge 1$ lze rozepsat na součin kořenových činitelů: $$ p(x) = a\,(x-\alpha_1)\,(x-\alpha_2)\,\cdots\,(x-\alpha_n) $$ kde $a$ je konstanta a $\alpha_i\in\C$ jsou všechny kořeny polynomu $p$. \bigskip V tomto zápise se stejné hodnoty kořenů mohou vyskytovat opakovaně. {\em Násobnost kořenu} je počet výskytů hodnoty tohoto kořenu v~součinu kořenových činitelů. \veta [] Pro obecný polynom stupně pátého nebo vyššího nelze najít vzorec na výpočet kořenů polynomu z jeho koeficientů takový, který by se opíral o konečné množství operací sčítání, odečítání, násobení, dělení a odmocňování. \bigskip {\bf Poznámka 1.} Tato věta není v rozporu se základní větou algebry. Kořeny vždy existují, ale často je neumíme najít. \bigskip {\bf Poznámka 2.} Pokud se v tomto kurzu setkáte s příklady, které mají ilustrovat rozklad polynomu na kořenové činitele, jsou voleny speciálně tak, aby kořeny šlo nějakým trikem nalézt. Zde uvedená věta říká, že tyto triky nemohou být univerzálními postupy pro hledání rozkladu jakéhokoli polynomu. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Lineární prostor | Linearni prostor %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \definice[dlp] %%%%%%%%%%%%%% {\em Lineárním prostorem} nazýváme každou neprázdnou množinu~$L$, na které je definováno sčítání $+: L\times L \to L$ a násobení reálným číslem $\cdot: \R\times L \to L$ a tyto operace splňují pro každé $\vec x\in L, \vec y\in L, \vec z\in L, \alpha\in\R, \beta\in\R$ vlastnosti: $$\null\indent\vcenter{\openup\jot \ialign{\strut$#$&\quad$\displaystyle{#}$\hfil&\quad#\unskip\hfil\cr (1) & \vec x + \vec y = \vec y + \vec x & (komutativní zákon sčítání) \cr (2) & (\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z) & (asociativní zákon sčítání) \cr (3) & \alpha\cdot(\beta\cdot\vec x) = (\alpha\beta)\cdot\vec x & (asociativní zákon násobení) \cr (4) & \alpha\cdot(\vec x + \vec y) = \alpha\cdot\vec x + \alpha\cdot\vec y & (distributivní zák. pro sčítání vektorů) \cr (5) & (\alpha+\beta)\cdot\vec x = \alpha\cdot\vec x + \beta\cdot\vec x & (distributivní zákon pro sčítání čísel) \cr (6) & 1 \cdot\vec x = \vec x & (vlastnost reálného čísla 1) \cr (7) & \hbox{existuje $\vec o\in L$, že pro každé $\vec x\in L$ je } 0\cdot\vec x = \vec o \hskip-6.5cm & \cr & & (existence nulového prvku). \cr }} $$ Prvky lineárního prostoru nazýváme {\em vektory}. Reálnému číslu v~kontextu násobení $\cdot: \R\times L \to L$ říkáme {\em skalár}. Prvku $\vec o\in L$ z~vlastnosti (7) říkáme {\em nulový prvek} nebo {\em nulový vektor}. \veta [nulprvek] %%%%%%%%%%%%%%%% Pro \c[dlp]{nulový prvek} $\vec o$ \c[dlp]{lineárního prostoru} $L$ platí vlastnosti: $$\eqalign{ \bod (1) \vec x + \vec o = \vec x \qquad \forall\, \vec x \in L \cr \bod (2) \alpha\cdot\vec o = \vec o \qquad \forall\, \alpha\in\R \cr \bod (3) \hbox{Nechť $\vec x\in L$}. \quad \hbox{Je-li}\quad \alpha\cdot\vec x = \vec o \quad\hbox{a}\quad \alpha\ne0, \quad \hbox{pak}\quad \vec x = \vec o. \cr} $$ \definice [dlpp] %%%%%%%%%%%%%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor} s~operacemi \uv{$+$} a \uv{$\cdot$}. Neprázdnou množinu $M\subseteq L$ nazýváme {\em lineárním podprostorem prostoru $L$}, pokud pro všechna $\vec x\in M, \vec y\in M$ a $\alpha\in\R$ platí: $$\eqalign{ \bod (1) \vec x + \vec y \in M, \cr \bod (2) \alpha\cdot\vec x \in M, \cr } $$ \veta [pruniklpp] %%%%%%%%%%%%%%%%% Nechť $M\subseteq L$ a $N\subseteq L$ jsou \c[dlpp]{lineární podprostory} \c[dlp]{lineárního prostoru}~$L$. Pak platí: $$\eqalign{ \bod (1) M\cap N \hbox{ je lineární podprostor lineárního prostoru $L$}\cr \bod (2) M\cup N \hbox{ nemusí být lineární podprostor lineárního prostoru $L$}\cr} $$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze | Linearni zavislost a nezavislost, linearni obal, base, dimense %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \definice [lk] %%%%%%%%%%%%%% Nechť $\vecc x_n$ jsou \c[dlp]{vektory} (tj.~prvky nějakého \c[dlp]{lineárního prostoru}). {\em Lineární kombinací\/} vektorů $\vecc x_n$ rozumíme vektor $$ \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n, $$ kde $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ jsou nějaká reálná čísla. Těmto číslům říkáme {\em koeficienty\/} lineární kombinace. \definice [trivlk] %%%%%%%%%%%%%%%%%% {\em Triviální\/} \c[lk]{lineární kombinace} vektorů $\vecc x_n$ je taková lineární kombinace, která má všechny \c[lk]{koeficienty} nulové, tj. $$0 \vec x_1 + 0 \vec x_2 + \cdots + 0 \vec x_n.$$ {\em Netriviální\/} \c[dlp]{lineární kombinace} je taková lineární kombinace, která není triviální, tj.~aspoň jeden její \c[lk]{koeficient} je nenulový. \definice [LZskupiny] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Skupinu \c[dlp]{vektorů} $\vecc x_n$ nazýváme {\em lineárně závislou}, pokud existuje \c[trivlk]{netriviální lineární kombinace} vektorů $\vecc x_n$, která je rovna \c[dlp]{nulovému vektoru}. Stručně říkáme, {\em že vektory $\vecc x_n$ jsou lineárně závislé}. \pozn Vektory $\vecc x_n$ jsou {\em lineárně závislé}, pokud existují reálná čísla $\alpha_1 ,\alpha_2, \ldots, \alpha_n$ tak, že aspoň jedno z~nich je nenulové, a přitom platí $$ \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n = \vec o. $$ \definice [LNskupiny] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Skupinu \c[dlp]{vektorů} $\vecc x_n$ nazýváme {\em lineárně nezávislou}, pokud není \c[LZskupiny]{lineárně závislá}. Stručně říkáme, že {\em vektory $\vecc x_n$ jsou lineárně nezávislé}. \pozn Vektory jsou {\em lineárně nezávislé}, pokud neexistuje \c[trivlk]{netriviální lineární kombinace} těchto vektorů, která je rovna \c[dlp]{nulovému vektoru}. \bigskip {\bf Jinak:} Vektory jsou {\em lineárně nezávislé}, pokud jedině \c[trivlk]{triviální lineární kombinace} je rovna \c[dlp]{nulovému vektoru}. \bigskip {\bf Jinak:} Vektory $\vecc x_n$ jsou {\em lineárně nezávislé}, pokud z~předpokladu $$ \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n = \vec o. $$ nutně plyne, že $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0$. \veta[lnlz] %%%%% Nechť $\vecc x_n$ jsou prvky nějakého \c[dlp]{lineárního prostoru}~$L$. Pak platí: (1) \c[LZskupiny]{Lineární závislost} či \c[LNskupiny]{nezávislost} \c[dlp]{vektorů} $\vecc x_n$ se nezmění při změně pořadí těchto vektorů. (2) Jestliže se mezi $\vecc x_n$ vyskytuje \c[dlp]{nulový vektor}, pak jsou tyto \c[dlp]{vektory} \c[LZskupiny]{lineárně závislé}. (3) Jestliže se ve skupině \c[dlp]{vektorů} $\vecc x_n$ některý vektor vyskytuje aspoň dvakrát, je tato skupina vektorů \c[LZskupiny]{lineárně závislá}. (4) Jestliže jsou \c[dlp]{vektory} $\vecc x_n$ \c[LZskupiny]{lineárně závislé} a $\vec x_{n+1}\in L$, pak jsou i \c[dlp]{vektory} $\vecc x_n, \vec x_{n+1}$ \c[LZskupiny]{lineárně závislé}. (5) Jestliže jsou \c[dlp]{vektory} $\vecc x_n$ \c[LNskupiny]{lineárně nezávislé}, pak jsou i \c[dlp]{vektory} $\vecc x_{n-1}$ \c[LNskupiny]{lineárně nezávislé}. (6) Samotný \c[dlp]{vektor} $\vec x_1$ je \c[LNskupiny]{lineárně nezávislý} právě tehdy, když je \c[dlp]{nenulový}. \veta [xr] %%%%% Nechť $n\geq2$. \c[dlp]{Vektory} $\vecc x_n$ jsou \c[LZskupiny]{lineárně závislé} právě tehdy, když existuje index $r\in\{1,\ldots,n\}$ takový, že \c[dlp]{vektor} $\vec x_r$ je roven \c[lk]{lineární kombinaci} ostatních \c[dlp]{vektorů}. \definice [neklz] %%%%%%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor}. Neprázdná konečná množina \c[dlp]{vektorů} $K\subseteq L$, $K=\{\vecc x_n\}$ se nazývá {\em lineárně závislá}, pokud jsou vektory $\vecc x_n$ \c[LZskupiny]{lineárně závislé}. \bigskip Nekonečná množina \c[dlp]{vektorů} $M\subseteq L$ se nazývá {\em lineárně závislá}, pokud existuje konečná $K\subseteq M$, která je \c[neklz]{lineárně závislá}. \bigskip Množina $M\subseteq L$ se nazývá {\em lineárně nezávislá}, pokud není \c[neklz]{lineárně závislá}. \bigskip Prázdnou množinu považujeme vždy za lineárně nezávislou. \pozn Neprázdná konečná množina \c[dlp]{vektorů} $K=\{\vecc x_n\}$ se nazývá {\em lineárně nezávislá}, pokud jsou vektory $\vecc x_n$ \c[LNskupiny]{lineárně nezávislé}. Nekonečná množina \c[dlp]{vektorů} $M\subseteq L$ se nazývá {\em lineárně nezávislá}, pokud všechny konečné podmnožiny $K\subseteq M$ jsou \c[neklz]{lineárně nezávislé}. \definice [linobal] %%%%%%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor}. {\em Lineární obal} skupiny \c[dlp]{vektorů} $\vecc x_n$ je množina všech \c[lk]{lineárních kombinací} \c[dlp]{vektorů} $\vecc x_n$. {\hbadness=1288\par} \bs {\em Lineární obal} konečné množiny $K\subseteq L$, $K=\{\vecc x_n\}$ ztotožňujeme s~\c[linobal]{lineárním obalem skupiny vektorů} $\vecc x_n$. \bs {\em Lineární obal} nekonečné množiny $M\subseteq L$ je sjednocení \c[linobal]{lineárních obalů} všech konečných podmnožin množiny $M$. \bs \c[linobal]{Lineární obal skupiny vektorů} $\vecc x_n$ značíme {\em $\lob<\vecc x_n>$}. \c[linobal]{Lineární obal množiny} $M$ značíme symbolem {\em $\lob$}. \let\orilob=\lob \def\lob<#1>{\c[linobal]{\orilob<#1>}} \veta [subobal] %%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor}, $M\subseteq L$, $N\subseteq L$. Pokud je $M\subseteq N$, pak platí $\lob\subseteq\lob$. \veta [loblob] %%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor} a $M\subseteq L$. Pak platí: $$\eqalign{ \bod (1) M\subseteq \lob \cr \bod (2) \lob = \lob<{\lob}> \cr \bod (3) \hbox{Je-li } \vec z\in\lob, \hbox{ pak } \lob=\lob } $$ \veta [lob=lpp] %%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor}, $M\subseteq L$. Množina $M$ je \c[dlpp]{lineárním podprostorem} \c[dlp]{lineárního prostoru} $L$ právě tehdy, když $\lob=M$. \veta [lobjemin] %%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor} a $M\subseteq L$ je libovolná množina. Pak $P=\lob$ je nejmenší \c[dlpp]{lineární podprostor}, pro který platí $M\subseteq P$. \veta [pridanivektoru] %%%%% Nechť $L$ je \c[dlpp]lineární prostor, $M\subseteq L$ je \c[neklz]{lineárně nezávislá množina} a $\vec z\not\in \lob$. Pak též $M\cup\{\vec z\}$ je \c[neklz]{lineárně nezávislá množina}. \veta [lnlob] %%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor}. Množina $N\subseteq L$ je \c[neklz]{lineárně nezávislá} právě tehdy, když pro všechny vlastní podmnožiny $M\subset N$, $M\not=N$ platí $\lob\subset\lob$, $\lob\not=\lob$. \definice [dbase] %%%%%%%%% {\em Báze} \c[dlp]{lineárního prostoru} $L$ je taková podmnožina $B\subseteq L$, pro kterou platí $$\eqalign{ \bod (1) B \hbox{ je lineárně nezávislá}\cr \bod (2) \lob = L \cr} $$ \veta [existencebase] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nechť $L$ je \cf[trivprostor]{netriviální} \c[dlp]{lineární prostor}. Pro každou \c[neklz]{lineárně nezávislou} množinu $N\subseteq L$ existuje \c[dbase]{báze} $B$ \c[dlp]{lineárního prostoru} $L$ taková, že $N\subseteq B$. Pro každou množinu $M\subseteq L$ takovou, že $\lob=L$, existuje \c[dbase]{báze} $B$ \c[dlp]{lineárního prostoru} $L$ taková, že $B\subseteq M$. \veta [steinitz] %%%%% (Steinitzova o výměně). Nechť $L$ je lineární prostor, $M\subseteq L$ je libovolná množina a $N\subseteq \lob$ je lineárně nezávislá množina, obsahující $k$ vektorů. Pak lze odebrat z~množiny $M$ jejích $k$~vektorů a vytvořit tak množinu $M_1$, pro kterou platí: $$ \lob = \lob. $$ Jinými slovy, odebráním vhodných $k$ vektorů z $M$ a nahrazením těchto vektorů všemi lineárně nezávislými vektory z~$N$ se lineární obal $\lob$ nezmění. \veta [steinitz2] %%%%% Nechť $L$ je lineární prostor, $M\subseteq L$ je libovolná množina a $N\subseteq \lob$ je lineárně nezávislá množina. Pak počet prvků množiny $N$ je menší nebo roven počtu prvků množiny $M$. \veta [stejnebase] %%%%% Nechť $B_1$ a $B_2$ jsou dvě \c[dbase]{báze} stejného \c[dlp]{lineárního prostoru} $L$. Pak jsou buď obě nekonečné, nebo mají obě stejný počet prvků. \definice [ddimense] %%%%%%%%% {\em Dimenze} \c[dlp]{lineárního prostoru} $L$ je počet prvků \c[dbase]{báze}. Tuto hodnotu označujeme symbolem {\em $\dim L$}. Dimenzi jednobodového \c[dlp]{lineárního prostoru} $L=\{\vec o\}$ pokládáme rovnu nule. \let\oridim=\dim \def\dim{\c[ddimense]{\oridim}} \veta [dimpodprostoru] %%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor} a $M\subseteq L$ je \c[dlpp]{lineární podprostor} \c[dlp]{lineárního prostoru} $L$. Pak $\dim M \leq \dim L$. \veta [123] %%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor}, $\dim L = n$ a $M=\{\vecc x_m\}$. Pak platí: \bs (1) Je-li $M$ \c[neklz]{lineárně nezávislá}, pak $m \leq n$. \bs (2) Je-li $m>n$, pak $M$ je \c[neklz]{lineárně závislá}. \bs (3) Nechť $m=n$. Pak $M$ je \c[neklz]{lineárně nezávislá} právě tehdy, když $\lob=L$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Matice | Matice %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \definice [defmatice] %%%%%%%%% {\em Matice typu $(m,n)$} je uspořádaná $m$-tice prvků z~$\R^n$. Jednotlivé složky této $m$-tice nazýváme {\em řádky matice}. Nechť $\vec a_r = (a_{r,1}, a_{r,2}, \ldots, a_{r,n})$ je $r$-tý \c[defmatice]{řádek matice typu $(m,n)$}. $s$-tá složka tohoto řádku $a_{r,s}\in\R$ se nazývá {\em $(r,s)$-tý prvek} matice. \c[defmatice]{Řádky matice} $\A$ zapisujeme jako skutečné řádky pod sebe takto: $$ \A = \pmatrix{a_{1,1}, & a_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n} \cr a_{2,1}, & a_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n} \cr & &\vdots & \cr a_{m,1}, & a_{m,2}, &\ldots, & a_{m,n} \cr} $$ nebo zapíšeme jen stručně \c[defmatice]{prvky matice} $\A$ takto: $$ \A=(a_{r,s}), \quad r\in\{1,2,\ldots,m\}, s\in\{1,2,\ldots,n\}. $$ Nechť $\A=(a_{r,s}), r\in\{1,\ldots,m\}, s\in\{1,\ldots,n\}$. Uspořádanou $m$-tici reálných čísel $(a_{1,s}, a_{2,s}, \ldots, a_{m,s})$ nazýváme {\em $s$-tým sloupcem matice $\A$}. \c[defmatice]{Matici typu $(m,n)$}, která má všechny prvky nulové, nazýváme {\em nulovou maticí}. \c[defmatice]{Matici typu $(m,n)$} nazýváme {\em čtvercovou maticí}, pokud $m=n$. \definice [deflpmatic] %%%%%%%%% Nechť $\A=(a_{r,s}),\B=(b_{r,s})$ jsou \c[defmatice]{matice typu $(m,n)$}. \c[defmatice]{Matici $\C$ typu $(m,n)$} nazýváme {\em součtem matic} $\A,\B$ (značíme {\em $\C=\A+\B$}), pokud pro \c[defmatice]{prvky matice} $\C=(c_{r,s})$ platí $c_{r,s} = a_{r,s} + b_{r,s}$, $r\in\{1,2,\ldots,m\}, s\in\{1,2,\ldots,n\}$. Nechť $\alpha\in\R$. {\em $\alpha$-násobek} \c[defmatice]{matice} $\A$ je \c[defmatice]{matice} $\alpha\cdot\A=(\alpha\,a_{r,s})$. Názorně: $$ \def\quad{\hskip.4em } \A+\B = \pmatrix{a_{1,1}+b_{1,1}, & a_{1,2}+b_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n}+b_{1,n} \cr a_{2,1}+b_{2,1}, & a_{2,2}+b_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n}+b_{2,n} \cr & &\vdots & \cr a_{m,1}+b_{m,1}, & a_{m,2}+b_{m,2}, &\ldots, & a_{m,n}+b_{m,n} \cr}, $$ \bs $$ \alpha\cdot\A = \pmatrix{\alpha\,a_{1,1}, & \alpha\,a_{1,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{1,n} \cr \alpha\,a_{2,1}, & \alpha\,a_{2,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{2,n} \cr & &\vdots & \cr \alpha\,a_{m,1}, & \alpha\,a_{m,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{m,n} \cr}. $$ \veta [maticeLP] %%%%% Množina všech \c[defmatice]{matic stejného typu $(m,n)$} tvoří se \c[deflpmatic]{sčítáním matic} a \c[deflpmatic]{násobením matice reálným číslem} \c[dlp]{lineární prostor}. \c[dlp]{Nulový vektor} tohoto \c[dlp]{lineárního prostoru} je \c[defmatice]{nulová matice}. \definice [sim] %%%%%%%%% Symbolem $\A\mathbin{\em\sim}\B$ označujeme skutečnost, že \c[defmatice]{matice} $\B$ vznikla z~\c[defmatice]{matice} $\A$ konečným počtem kroků podle \cf[GEM]{Gaussovy eliminační metody}. \let\orisim=\sim \def\sim{\c[sim]{\orisim}} \veta [symetriesim] %%%%% Relace \uv{$\sim$} je symetrická, tj. $\A\sim\B$ právě tehdy, když $\B\sim\A$. \definice [lobradku] %%%%%%%%% \c[linobal]{Lineární obal} množiny všech řádků \c[defmatice]{matice} $\A$ značíme $\lobr<\A>$. \let\orilobr=\lobr \def\lobr<#1>{\c[lobradku]{\orilobr<#1>}} \veta [lobalymatic] %%%%% Je-li $\A\sim\B$, pak $\lobr<\A>=\lobr<\B>$. \definice [dhodnost] %%%%%%%%% {\em Hodnost matice $\A$} značíme $\hod(\A)$ a definujeme $\hod(\A)=\dim\lobr<\A>$. \let\orihod=\hod \def\hod{\c[dhodnost]{\orihod}} \veta [hodAB] %%%%% Je-li $\A\sim\B$, pak $\hod(\A)=\hod(\B)$. Jinými slovy, Gaussova eliminační metoda nemění \c[dhodnost]{hodnost matice}. \veta [hod=maxradku] %%%%% \c[dhodnost]{Hodnost matice} je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Přesněji řečeno, jedná se o~počet prvků takové množiny řádků, která je nejpočetnější, a přitom \c[LNskupiny]{lineárně nezávislá}. \definice [hornitroj] %%%%%%%%% Nechť \c[defmatice]{matice} $\A$ má řádky $\vecc a_n$, žádný z~nich není nulový. Nechť pro každé dva po sobě jdoucí řádky $\vec a_i$, $\vec a_{i+1}$ platí: má-li řádek $\vec a_i$ prvních $k$ složek nulových, musí mít řádek $\vec a_{i+1}$ aspoň prvních $k+1$ složek nulových. Pak \c[defmatice]{matici} $\A$ nazýváme {\em horní trojúhelníkovou maticí}. \veta [trojnezavis] %%%%% \c[hornitroj]{Horní trojúhelníková matice} má vždy \c[LNskupiny]{lineárně nezávislé} řádky. \veta [simhornitroj] %%%%% Každou \c[defmatice]{matici} lze převést konečným počtem kroků \cf[GEM]{Gaussovy eliminační metody} na \c[hornitroj]{horní trojúhleníkovou matici}. \definice [defAT] %%%%%%%%% Nechť $\A=(a_{i,j})$ je \c[defmatice]{matice} typu $(m,n)$. Matici $\A^T=(a_{j,i})$, která je typu $(n,m)$, nazýváme {\em transponovanou maticí} k~matici $\A$. Matice $\A^T$ tedy vznikne z~matice $\A$ přepsáním řádků matice $\A$ do sloupců matice $\A^T$, respektive přepsáním sloupců matice $\A$ do řádků matice $\A^T$. \veta [ATT=A] %%%%%%%%%%%%% Pro každou \c[defmatice]{matici} $\A$ platí: $(\A^T)^T = \A$ \veta [hA=hAT] %%%%%%%%%%%%%% Pro každou \c[defmatice]{matici} $\A$ platí: $\hod(\A^T) = \hod(\A)$. \veta [hodminimum] %%%%% Nechť $\A$ je \c[defmatice]{matice} typu $(m,n)$. Pak $\hod(\A) \leq \min(m,n)$. \definice [soucinAB] %%%%%%%%% Nechť $\A=(a_{i,j})$ je \c[defmatice]{matice} typu $(m,n)$ a $\B=(b_{j,k})$ je \c[defmatice]{matice} typu $(n,p)$. Pak je definován {\em součin matic $\A\cdot\B$} (v~tomto pořadí) jako matice typu $(m,p)$ takto: každý prvek $c_{i,k}$ matice $\A\cdot\B$ je dán vzorcem $$ \eqalign{ c_{i,k} &= a_{i,1}\,b_{1,k} + a_{i,2}\,b_{2,k} + \cdots + a_{i,n}\,b_{n,k}\cr &= \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k}, \quad i\in\{1,\ldots,m\},\quad k\in\{1,\ldots,p\} } % \rce(cik) $$ \veta [soucinAB-vlastnosti] %%%%% Nechť $\alpha\in\R$ a \c[defmatice]{matice} $\A$, $\B$, $\C$ jsou odpovídajících typů tak, aby níže uvedené součiny byly definovány. Pak platí $$\eqalign{ \bod (1) (\A\cdot\B)\cdot\C = \A\cdot(\B\cdot\C),\cr \bod (2) (\A+\B)\cdot\C = \A\cdot\C + \B\cdot\C,\cr \bod (3) \C\cdot(\A+\B) = \C\cdot\A + \C\cdot\B,\cr \bod (4) \alpha(\A\cdot\B) = (\alpha\,\A)\cdot\B = \A\cdot(\alpha\,\B). \cr \bod (5) (\A\cdot\B)^T=\B^T\cdot\A^T \cr} $$ %\veta [stejnebase2] %%%%%% %Nechť $B_1$ a $B_2$ jsou dvě \c[dbase]{báze} stejného \c[dlp]{lineárního prostoru} $L$. %Pak jsou buď obě nekonečné, nebo mají obě stejný počet prvků. \definice [defE] %%%%%%%%% Čtvercovou \c[defmatice]{matici} $\E$ typu $(n,n)$ nazýváme {\em jednotkovou maticí}, pokud pro její prvky~$e_{i,j}$ platí: $e_{i,j}=0$ pro $i\not=j$ a $e_{i,j}=1$ pro $i=j$. Názorně: $$ \E = \pmatrix{1&0&0&\cdots&0\cr0&1&0&\cdots&0\cr&&&\cdots\cr0&0&0&\cdots&1\cr} $$ \definice [inverseA] %%%%%%%%% Nechť $\A$ je \c[defmatice]{čtvercová matice} typu $(n,n)$ a $\E$ je jednotková matice stejného typu. Matici $\B$ typu $(n,n)$, která splňuje vlastnost $$ \A\cdot\B = \E = \B\cdot\A $$ nazýváme {\em inverzní maticí} k~matici $\A$. Inverzní matici k~matici $\A$ označujeme symbolem $\A^{-1}$. \veta [jedinainv] %%%%% Pokud k~matici $\A$ existuje inverzní matice, pak je tato inverzní matice jednoznačně určena. \veta [existinverse] %%%%% Ke \c[defmatice]{čtvercové matici} typu $(n,n)$ existuje \c[inverseA]{inverzní matice} právě tehdy, když $\hod(\A)=n$. \definice [dregul] %%%%%%%%% \c[defmatice]{Čtvercová matice} $\A$ typu $(n,n)$ se nazývá {\em regulární}, pokud $\hod(\A)=n$. \c[defmatice]{Čtvercová matice} se nazývá {\em singulární}, pokud není regulární, tj.~$\hod(\A)i_l$, a přitom $kj$. {\em Prvek nad hlavní diagonálou} je každý prvek $a_{i,j}$, pro který platí $i. $$ \c[dlp]{Vektory} $\vecc u_k$ tvoří jednu z možných \c[dbase]{bází} \c[dlp]{lineárního prostoru} všech \c[dreseni]{řešení}~$M_0$. \veta [dimhomo] %%%%% Nechť $M_0$ je \c[dlp]{lineární prostor} všech \c[dreseni]{řešení} \c[dhomo]{homogenní soustavy lineárních rovnic} $\A\,\vec x = \vec o$ s~$n$ neznámými. Pak $\dim M_0 = n - \hod\A$. \definice [partikul] %%%%%%%%% Nechť $\A\,\vec x = \vec b$ je \c[dhomo]{nehomogenní soustava lineárních rovnic} o~$n$ neznámých a $\vec v\in\R^n$ je nějaké jedno její \c[dreseni]{řešení}. Takovému řešení $\vec v$ říkáme {\em partikulární řešení\/} \c[dhomo]{nehomogenní soustavy}. Pokud zaměníme \c[defmatice]{matici} $\vec b$ za nulovou matici stejného typu, dostáváme \c[dhomo]{homogenní soustavu} $\A\,\vec x = \vec o$, kterou nazýváme {\em přidruženou homogenní soustavou\/} k~\c[dsoustava]{soustavě} $\A\,\vec x = \vec b$. \veta [nehomoprst] %%%%% {(1)} Nechť $\vec v$ je \c[partikul]{partikulární řešení} \c[dhomo]{nehomogenní soustavy} $\A\,\vec x = \vec b$ a $\vec u$ je libovolné \c[dreseni]{řešení} \c[partikul]{přidružené homogenní soustavy} $\A\,\vec x = \vec o$. Pak $\vec v + \vec u$ je také \c[dreseni]{řešením} soustavy $\A\,\vec x = \vec b$. (2) Nechť $\vec v$ a $\vec w$ jsou dvě \c[partikul]{partikulární řešení} \c[dhomo]{nehomogenní soustavy} $\A\,\vec x = \vec b$. Pak $\vec v - \vec w$ je \c[dreseni]{řešením} \c[partikul]{přidružené homogenní soustavy} $\A\,\vec x = \vec o$. \veta [partikul+obal] %%%%% Nechť $\vec v$ je \c[partikul]{partikulární řešení} \c[dsoustava]{soustavy} $\A\,\vec x = \vec b$ a $M_0$ je \c[dlp]{lineární prostor} všech \c[dreseni]{řešení} \c[partikul]{přidružené homogenní soustavy} $\A\,\vec x = \vec o$. Pak pro množinu $M$ všech \c[dreseni]{řešení soustavy} $\A\,\vec x = \vec b$ platí $$ M = \bigl\{\vec v + \vec u;\enspace \vec u\in M_0\bigr\}. $$ \veta [cramer] %%%%% (Cramerovo pravidlo). Nechť $\A$ je \c[dregul]{regulární čtvercová matice}. Pak pro $i$-tou složku \c[dreseni]{řešení soustavy} $\A\,\vec x = \vec b$ platí $$ \alpha_i = {\det \B_i \over \det\A}\,, $$ kde \c[defmatice]{matice} $\B_i$ je shodná s \c[defmatice]{maticí} $\A$ až na $i$-tý sloupec, který je zaměněn za sloupec pravých stran. \veta [genbasehomo] %%%%% Nechť homogenní soustava lineárních rovnic $\A\vec x = \vec o$ má matici soustavy ve tvaru $$\A=(\E|\C),$$ kde $\E$ je jednotková matice typu $(m,m)$ a $\C$ je libovolná matice typu $(m,k)$. Pak existuje báze řešení této soustavy $\vecc b_k$, která má tvar: $$ \pmatrix {\vec b_1\cr \vec b_2\cr \vdots \cr \vec b_k} = (-\C^T | \E'), $$ kde $\E'$ je jednotková matice typu $(k,k)$. \veta [AXBsimEX] %%%%% Nechť $\A$ je reulární matice a $\B$ je libovolná matice se stejným počtem řádků. Rovnost $\A\cdot\X=\B$ je ekvivalentní s~$(\A|\B)\sim(\E|\X)$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Lineární prostory konečné dimenze | Linearni prostory konecne dimense %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \definice [dspoj] %%%%%%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor}, $M$ a $N$ jsou jeho \c[dlpp]{podprostory}. Množinu $\lob$ nazýváme {\em spojením podprostorů $M$ a $N$} a značíme $M\vee N$. \let\orivee=\vee \def\vee{\c[dspoj]{\orivee}} \veta [spojeni=soucet] %%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor}, $M$ a $N$ jsou jeho \c[dlpp]{podprostory}. Pro podprostor $M\vee N$ platí: $$ M\vee N = \{\vec y+\vec z;\; \vec y\in M, \vec z\in N\}. $$ \veta [dimspojeni] %%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor} konečné \c[ddimense]{dimenze}, $M$ a $N$ jsou jeho podprostory. Pak $$ \dim M + \dim N = \dim (M\cap N) + \dim (M\vee N) $$ \definice [ubase] %%%%%%%%% Nechť $B=\{\vecc b_n\}$ je \c[dbase]{báze} \c[dlp]{lineárního prostoru}~$L$. Záleží-li nám na pořadí prvků báze $\vecc b_n$ (tj.~požadujeme, aby $\vec b_1$ byl první prvek báze, $\vec b_2$ druhý prvek atd.), pak mluvíme o~{\em uspořádané bázi}. Uspořádaná báze je tedy uspořádaná $n$-tice prvků báze, tj.~$(\vecc b_n)$. Skutečnost, že báze~$B$ je uspořádaná, budeme vyznačovat symbolem $(B)$. \definice [souradnice] %%%%%%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ubase]{uspořádaná báze} \c[dlp]{lineárního prostoru}~$L$ a $\vec x\in L$ je libovolný \c[dlp]{vektor}. Uspořádanou $n$-tici reálných čísel $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ nazýváme {\em souřadnicemi vektoru~$\vec x$ vzhledem k~uspořádané bázi~$(B)$}, pokud platí $$ \vec x = \lkvecc \alpha.b_n . $$ Skutečnost, že $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ jsou souřadnice vektoru $\vec x$ vzhledem k~uspořádané bázi~$(B)$ budeme zapisovat takto: $$ \vec x = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)_{(B)} $$ \veta [jednsouradnice] %%%%% Nechť $(B)$ je \c[ubase]{uspořádaná báze} \c[dlp]{lineárního porostoru}~$L$. Pak pro každý prvek $\vec x\in L$ jsou \c[souradnice]{souřadnice} $\vec x$ vzhledem k bázi~$(B)$ určeny jednoznačně. \veta [sour-vektor] %%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je uspořádaná báze lineárního prostoru~$L$. Pak pro každý prvek $\vec a\in\R^n$, $\vec a = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$, existuje $\vec x\in L$ takový, že $\vec x = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)_{(B)}$. \definice [dprechodu] %%%%%%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ a $(C)=(\vecc c_n)$ jsou dvě \c[ubase]{uspořádané báze} stejného \c[dlp]{lineárního prostoru}~$L$. \c[defmatice]{Matici} $\A$, která splňuje maticovou rovnost $$ (\vecc b_n)\cdot \A = (\vecc c_n) % \rce(mprechodu) $$ nazýváme {\em maticí přechodu od uspořádané báze $(B)$ k~uspořádané bázi~$(C)$}. Na definiční rovnost se díváme jako na součin jednořádkové matice vektorů $(\vecc b_n)$ s maticí $\A$ reálných čísel typu~$(n,n)$, který se má rovnat jednořádkové matici vektorů~$(\vecc c_n)$. Matici přechodu od báze $(B)$ k bázi $(C)$ budeme často pro názornost označovat $\A_{(B,C)}$. \veta [exprechodu] %%%%% Pro každé dvě \c[ubase]{uspořádané báze} stejného \c[dlp]{lineárního prostoru} $(B)$ a $(C)$ existuje právě jedna \c[dregul]{regulární} \c[dprechodu]{matice přechodu} $\A_{(B,C)}$. \veta [inverseprechodu] %%%%% Je-li $\A$ \c[dprechodu]{matice přechodu od báze $(B)$ k bázi $(C)$}, pak $\A^{-1}$ je \c[dprechodu]{matice přechodu od báze $(C)$ k bázi $(B)$}. \veta [prechodsouradnic] %%%%% Nechť $(B)$ a $(C)$ jsou dvě \c[ubase]{uspořádané báze} \c[dlp]{lineárního prostoru}~$L$, $\A_{(B,C)}$ je \c[dprechodu]{matice přechodu od $(B)$ k~$(C)$}. Pak pro \c[souradnice]{souřadnice} každého \c[dlp]{vektoru} $\vec x\in L$, $\vec x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)_{(B)} = (y_1, y_2, \ldots, y_n)_{(C)}$ platí: $$ \A_{(B,C)}\cdot\pmatrix{y_1\cr\vdots\cr y_n} = \pmatrix{\strut x_1\cr\vdots\cr x_n} % \rce(prechsour) $$ \veta [ABCD] %%%%% Nechť $\A_{(B,C)}$ je \c[dprechodu]{matice přechodu od báze $(B)$ k bázi $(C)$} a $\A_{(C,D)}$ je \c[dprechodu]{matice přechodu od báze $(C)$ k bázi $(D)$}. Pak pro \c[dprechodu]{matici přechodu $\A_{(B,D)}$ od báze $(B)$ k bázi $(D)$} platí $$ \A_{(B,D)} = \A_{(B,C)} \cdot \A_{(C,D)} $$ \veta [sourslozka] %%%%% Nechť $\vec a\in\R^n$, $\vec a = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$. Složky $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ jsou \c[souradnice]{souřadnicemi} \c[dlp]{vektoru} $\vec a$ vzhledem ke standardní \c[dbase]{bázi} $(S)$: $$ (S) = \bigl( (1,0,0,\ldots,0), (0,1,0,\ldots,0), \ldots, (0,0,0,\ldots,1) \bigr). $$ \veta [Sprechod] %%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ubase]{uspořádaná báze} \c[dlp]{lineárního prostoru}~$\R^n$. \c[dprechodu]{Matice přechodu od standardní báze $(S)$ k bázi $(B)$} má tvar $$ \A_{(S,B)} = (\vec b_1^T, \vec b_2^T, \ldots, \vec b_n^T) $$ kde symbolem $\vec b_i^T$ značíme sloupec složek vektoru $\vec b_i$. Jinými slovy, uvedenou matici přechodu sestavíme tak, že zapíšeme jednotlivé vektory báze vedle sebe, složky těchto vektorů zapíšeme do sloupců. \veta [metodaprechodu] %%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ a $(C)=(\vecc c_n)$ jsou \c[ubase]{uspořádané báze} \c[dlp]{lineárního prostoru}~$\R^n$. Pak pro \c[dprechodu]{matice přechodu} $\A_{(B,C)}$ a $\A_{(C,B)}$ platí $$ (\A_{(C,B)}\,|\,\E) \sim (\vec b_1^T, \vec b_2^T, \ldots \vec b_n^T \,|\, \vec c_1^T, \vec c_2^T, \ldots \vec c_n^T) \sim (\E\,|\,\A_{(B,C)}), $$ kde \uv{$\sim$} značí konečně mnoho kroků \cf[GEM]{Gaussovy eliminační metody}, $\E$ je \c[defE]{jednotková matice} a $\vec b_i^T$ resp.~$\vec c_j^T$ jsou vektory $\vec b_i$ resp.~$\vec c_j$, jejichž složky jsou zapsány do sloupců. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Lineární zobrazení | Linearni zobrazeni %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \definice [zobr] %%%%%%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou libovolné množiny. {\em Zobrazením $\a$ z množiny $L_1$ do množiny $L_2$} rozumíme jakýkoli předpis, který každému prvku z množiny $L_1$ přiřadí jednoznačným způsobem nějaký prvek z množiny $L_2$. Skutečnost, že $\a$ je zobrazení z~množiny $L_1$ do množiny $L_2$ zapisujeme {\em $\a: L_1\to L_2$}. Je-li $\vec x\in L_1$, pak zobrazení $\a: L_1\to L_2$ přiřadí prvku $\vec x$ jednoznačně nějaký prvek z množiny $L_2$. Tento prvek označujeme symbolem $\a(\vec x)\in L_2$ a říkáme mu {\em hodnota zobrazení $\a$ v bodě~$\vec x$}. Je-li $M\subseteq L_1$, pak definujeme $$ \a(M) = \bigl\{\vec y\in L_2;\; \exists \vec x\in M,\; \a(\vec x) = \vec y \bigr\}. $$ \definice [defna] %%%%%%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou libovolné množiny a uvažujme \c[zobr]{$\a: L_1\to L_2$}. Pokud platí $\a(L_1) = L_2$, říkáme, že $\a$ je zobrazení z~množiny $L_1$ {\em na množinu $L_2$}. \definice [proste] %%%%%%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou libovolné množiny a uvažujme \c[zobr]{$\a: L_1\to L_2$}. Zobrazení $\a$ je {\em prosté}, pokud pro každé dva prvky $\vec x_1\in L_1$, $\vec x_2\in L_1$, $\vec x_1\not=\vec x_2$ platí $\a(\vec x_1)\not=\a(\vec x_2)$. \definice [linzob] %%%%%%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou lineární prostory, \c[zobr]{$\a: L_1\to L_2$ je zobrazení z $L_1$ do $L_2$}. Zobrazení~$\a$ nazýváme {\em lineárním zobrazením}, pokud pro všechna $\vec x\in L_1$, $\vec y\in L_1$, $\alpha\in\R$ platí $$ \eqalign{ \bod(1) \a(\vec x + \vec y) = \a(\vec x) + \a(\vec y) \cr \bod(2) \a(\alpha\cdot\vec x) = \alpha\cdot \a(\vec x) } $$ \veta [principsupozice] %%%%% (Princip superpozice). Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou \c[dlp]{lineární prostory}. \c[zobr]{Zobrazení $\a: L_1\to L_2$} je \c[linzob]{lineární} právě tehdy, když pro všechna $\vec x\in L_1$, $\vec y\in L_1$, $\alpha\in\R$, $\beta\in\R$ platí $$ \a(\alpha\,\vec x + \beta\,\vec y) = \alpha\,\a(\vec x) + \beta\,\a(\vec y) % \rce(superpozice) $$ \veta [zobnuly] %%%%% Pro \c[linzob]{lineární zobrazení $\a: L_1\to L_2$} platí $\a(\vec o_1) = \vec o_2$, kde $\vec o_1$ je \c[dlp]{nulový vektor lineárního prostoru}~$L_1$ a $\vec o_2$ je \c[dlp]{nulový vektor lineárního prostoru}~$L_2$. \veta [alob] %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{lineární zobrazení}, $M\subseteq L_1$. Pak $\a\bigl(\lob\bigr) = \bigl<\a(M)\bigr>$. \definice [jadro] %%%%%%%%% Nechť $L_1$, $L_2$ jsou \c[dlp]{lineární prostory}, $\vec o_2$ je \c[dlp]{nulový vektor} v~\c[dlp]{lineárním prostoru} $L_2$ a $\a: L_1\to L_2$ je \c[linzob]{lineární zobrazení}. Množinu $$ \ker\a = \{\vec x\in L_1;\; \a(\vec x) = \vec o_2\} $$ nazýváme {\em jádrem lineárního zobrazení $\a$}. \veta [ker=lp] %%%%% \c[jadro]{Jádro lineárního zobrazení} $\a: L_1\to L_2$ tvoří \c[dlpp]{lineární podprostor} \c[dlp]{lineárního prostoru}~$L_1$. \veta [obrazy] %%%%% Množina $\a(L_1)$ všech \c[zobr]{hodnot} \c[linzob]{lineárního zobrazení} $\a: L_1\to L_2$ tvoří \c[dlpp]{lineární podprostor} \c[dlp]{lineárního prostoru}~$L_2$. \definice [defhod] %%%%%%%%% {\em Defekt lineárního zobrazení} $\a: L_1\to L_2$ je definován, jako $\dim\ker\a$ a {\em hodnost lineárního zobrazení}~$\a$ je definována jako $\dim\a(L_1)$. Defekt $\a$ značíme {\em $\defekt\a$} a hodnost~$\a$ značíme {\em $\orihod\a$}. Je tedy $$ \eqalign{ \defekt\a &= \dim\ker\a \cr \orihod\a &= \dim\a(L_1) } $$ \def\hoda{\c[defhod]{\orihod}} \let\oridefekt=\defekt \def\defekt{\c[defhod]{\oridefekt}} \veta [zobnabasi] %%%%% Nechť $\{\vecc b_n\}$ je \c[dbase]{báze} \c[dlp]{lineárního prostoru} $L_1$ a nechť jsou dány libovolné \c[dlp]{vektory} $\vecc y_n$ z~\c[dlp]{lineárního prostoru} $L_2$. Pak existuje právě jedno \c[linzob]{lineární zobrazení} $\a:L_1\to L_2$, pro které platí $$ \a(\vec b_i) = \vec y_i, \quad \forall i \in \{1,2,\ldots,n\} % \rce(anabasi) $$ \veta [zobzavisle] %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{lineární zobrazení}. Pak platí: (1) Jsou-li $\vecc x_n$ \c[LZskupiny]{lineárně závislé vektory} v~$L_1$, pak jsou i \c[dlp]{vektory} $\a(\vec x_1),\a(\vec x_2),\ldots,\a(\vec x_n)$ \c[LZskupiny]{lineárně závislé} v~$L_2$. (2) Jsou-li $\vecc x_n$ \c[LNskupiny]{lineárně nezávislé vektory} v~$L_1$, pak \c[dlp]{vektory} $\a(\vec x_1),\a(\vec x_2),\ldots,\a(\vec x_n)$ v~$L_2$ nemusí být \c[LNskupiny]{lineárně nezávislé}. \veta [zob123] %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{lineární zobrazení}. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (1) $\a$ je \c[proste]{prosté}. (2) $\defekt\a = 0$. (3) Jsou-li $\vecc x_n$ \c[LNskupiny]{lineárně nezávislé}, jsou \c[LNskupiny]{lineárně nezávislé} i \c[dlp]{vektory} $\a(\vec x_1),\a(\vec x_2),\ldots,\a(\vec x_n)$. \definice [slozzob] %%%%%%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ a $\b:L_2\to L_3$ jsou \c[zobr]{zobrazení}. Symbolem $\b\circ\a:L_1\to L_3$ označujeme {\em složené zobrazení}, které je definováno předpisem $(\b\circ\a)(\vec x) = \b\bigl(\a(\vec x)\bigr)$, $\forall \vec x\in L_1$. \veta [slozlin] %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ a $\b:L_2\to L_3$ jsou \c[linzob]{lineární zobrazení}. Pak je \c[linzob]{lineární} též \c[slozzob]{složené zobrazení} $\b\circ\a:L_1\to L_3$. \definice [Izob] %%%%%%%%% {\em Identické zobrazení} je \c[zobr]{zobrazení} $\i:L\to L$, které je definováno předpisem $\i(\vec x) = \vec x$. Stručně nazýváme zobrazení $\i$ {\em identitou}. Nechť $\a:L_1\to L_2$ je prosté zobrazení. Pak definujeme {\em inverzní zobrazení} $\a^{-1}:\a(L_1)\to L_1$ jako takové zobrazení, které splňuje $\a^{-1}\circ\a=\i$, kde $\i:L_1\to L_1$ je identita. \veta [exIzob] %%%%% Je-li $\a:L_1\to L_2$ \c[proste]{prosté}, pak existuje právě jedno \c[Izob]{inverzní zobrazení} $\a^{-1}:\a(L_1)\to L_1$. \veta [invjelin] %%%%% Je-li $L$ \c[dlp]{lineární prostor}, pak \c[Izob]{identita} $\i:L\to L$ je \c[linzob]{lineární}. Je-li $\a:L_1\to L_2$ \c[linzob]{lineární} a \c[proste]{prosté zobrazení}, pak též $\a^{-1}:\a(L_1)\to L_1$ je \c[linzob]{lineární}. \veta [inversena] %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{lineární}, \c[proste]{prosté} a \c[defna]{\uv{na}}~$L_2$. Pak je \c[Izob]{inverzní zobrazení} $\a^{-1}:L_2\to L_1$ rovněž \c[linzob]{lineární}, \c[proste]{prosté} a \c[defna]{\uv{na}}~$L_1$. \definice [isomorfismus] %%%%%%%%% \c[zobr]{Zobrazení} $\a:L_1\to L_2$ nazýváme {\em izomorfismus}, pokud je \c[linzob]{lineární}, \c[proste]{prosté} a \c[defna]{\uv{na}}~$L_2$. \c[dlp]{Lineární prostor} $L_1$ nazýváme {\em izomorfní s~$L_2$}, pokud existuje izomorfismus $\a:L_1\to L_2$. Protože k~\c[proste]{prostému} \c[linzob]{lineárnímu zobrazení}, které je \c[defna]{\uv{na}}~$L_2$, existuje \c[Izob]{inverzní zobrazení} $\a^{-1}:L_2\to L_1$, které je podle věty\cite[inversena] rovněž izomorfismem, platí: je-li $L_1$ izomorfní s~$L_2$, je též $L_2$ izomorfní s~$L_1$. Často proto říkáme, že $L_1$ a $L_2$ jsou (vzájemně) izomorfní. \veta [isoRn] %%%%% Každý \c[dlp]{lineární prostor} $L$, pro který je $\dim L=n$, je \c[isomorfismus]{izomorfní} s~\c[dlp]{lineárním prostorem}~$\R^n$. \veta [slozisomor] %%%%% Nechť $\a:L_1\to L_2$ a $\b:L_2\to L_3$ jsou izomorfismy. Pak je izomorfismem i složené zobrazení $\b\circ\a:L_1\to L_3$. \veta [iso=dim] %%%%% Dva \c[dlp]{lineární prostory} konečné \c[ddimense]{dimenze} jsou \c[isomorfismus]{izomorfní} právě tehdy, když se rovnají jejich \c[ddimense]{dimenze}. \definice [matzob] %%%%%%%%% Nechť $L_1$ a $L_2$ jsou \c[dlp]{lineární prostory} konečné \c[ddimense]{dimenze}, $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{lineární}. Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ubase]{uspořádaná báze}~$L_1$ a $(C)=(\vecc c_m)$ je \c[ubase]{uspořádaná báze}~$L_2$. \c[defmatice]{Matici} $\A$ typu $(m,n)$, která splňuje maticovou rovnost $$ \bigl(\a(\vec b_1), \a(\vec b_2), \ldots, \a(\vec b_n)\bigr) = (\vecc c_m)\cdot\A % \rce(mzob) $$ nazýváme {\em maticí zobrazení $\a$ vzhledem k~uspořádaným bázím $(B)$ a $(C)$}. Na definiční rovnost se díváme jako na součin jednořádkové matice vektorů~$(\vecc c_m)$ s~maticí $\A$ reálných čísel typu~$(m,n)$, který se má rovnat jednořádkové matici vektorů $\bigl(\a(\vec b_1), \a(\vec b_2), \ldots, \a(\vec b_m)\bigr)$ \veta [exmzob] %%%%% Nechť platí předpoklady z definice\cite[matzob]. Pak \c[matzob]{matice $\A$ zobrazení~$\a$ vzhledem k~bázím $(B)$ a $(C)$} existuje a je určena jednoznačně. \veta [mat=zob] %%%%% Nechť $L_1$, $L_2$ jsou \c[dlp]{lineární prostory} konečné \c[ddimense]{dimenze}, $(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ubase]{uspořádaná báze}~$L_1$ a $(C)=(\vecc c_m)$ je \c[ubase]{uspořádaná báze}~$L_2$. Pak ke každé \c[defmatice]{matici} $\A$ typu $(m,n)$ existuje právě jedno \c[linzob]{lineární zobrazení} $\a:L_1\to L_2$ takové, že $\A$ je \c[matzob]{maticí zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B)$ a~$(C)$}. \veta [hodzob] %%%%% Nechť $(B)$ je \c[ubase]{báze} v~$L_1$, $(C)$ je \c[ubase]{báze} v~$L_2$, $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{lineární} a $\A$ je \c[matzob]{maticí zobrazení~$\a$ vzhledem k~bázím $(B)$ a $(C)$}. Pak $\hod\A = \hoda\a$. \veta [sourzob] %%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ubase]{báze} v~$L_1$, $(C)=(\vecc c_m)$ je \c[ubase]{báze} v~$L_2$, $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{lineární} a $\A$ je \c[matzob]{maticí zobrazení~$\a$ vzhledem k~bázím $(B)$ a $(C)$}. Pak pro každý \c[dlp]{vektor} $\vec x\in L_1$, $\vec x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)_{(B)}$, platí pro \c[souradnice]{souřadnice vektoru} $\a(\vec x) = (y_1, y_2, \ldots, y_m)_{(C)}$ následující vzorec: $$ \A\cdot \pmatrix{x_1\cr x_2\cr \vdots\cr x_n} = \pmatrix{y_1\cr y_2\cr \vdots\cr y_m} % \rce(sourzob) $$ \veta [def+hod] %%%%% Nechť $L_1$, $L_2$ jsou \c[dlp]{lineární prostory} konečné \c[ddimense]{dimenze}, $\a:L_1\to L_2$ je \c[linzob]{lineární}. Pak $$ \defekt\a + \hoda\a = \dim L_1. $$ \veta [slozmzob] %%%%% Nechť $L_1$, $L_2$, $L_3$ jsou \c[dlp]{lineární prostory} konečné \c[ddimense]{dimenze}, $\a:L_1\to L_2$, $\b:L_2\to L_3$ jsou \c[linzob]{lineární zobrazení}. Nechť dále $(B)$ je \c[ubase]{uspořádaná báze}~$L_1$, $(C)$ je \c[ubase]{uspořádaná báze}~$L_2$ a $(D)$ je \c[ubase]{uspořádaná báze}~$L_3$. Předpokládejme ještě, že $\A$ je \c[matzob]{matice zobrazení $\a$ vzhledem k~bázím $(B)$ a~$(C)$} a konečně $\B$ je \c[matzob]{matice zobrazení $\b$ vzhledem k~bázím $(C)$ a~$(D)$}. Pak $\B\cdot\A$ je \c[matzob]{matice} \c[slozzob]{složeného zobrazení} $\b\circ\a$ vzhledem k~bázím $(B)$ a $(D)$. \veta [maticeidentity] %%%%% Nechť $(B)$ a $(C)$ jsou dvě \c[ubase]{báze} \c[dlp]{lineárního prostoru}~$L$. Pak \c[matzob]{matice} \c[Izob]{identického zobrazení} $\i:L\to L$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$ je rovna \c[dprechodu]{matici přechodu $\A_{(C,B)}$ od báze $(C)$ k bázi $(B)$}. \veta [aruznebase] %%%%% Nechť $\a: L_1\to L_2$ je lineární zobrazení a nechť $(B_1)$, $(C_1)$ jsou báze lineárního prostoru~$L_1$ a $(B_2)$, $(C_2)$ jsou báze lineárního prostoru $L_2$. Označme symbolem $\A_{(B_1,C_1)}$ matici přechodu od báze $(B_1)$ k $(C_1)$ a $\A_{(C_2,B_2)}$ matici přechodu od báze $(C_2)$ k $(B_2)$. Je-li $\A$ matice zobrazení $\a$ vzhledem k~bázím $(B_1)$, $(B_2)$, pak $\A_{(C_2,B_2)}\cdot \A\cdot \A_{(B_1,C_1)}$ je matice téhož lineárního zobrazení vzhledem k bázím $(C_1)$, $(C_2)$. \definice [dzobB] %%%%%%%%% Nechť $\a: L\to L$ je lineární zobrazení (lineární prostor vzorů i obrazů je stejný a má konečnou dimenzi). Místo, abychom mluvili o matici lineárního zobrazení vzhledem ke stejným bázím $(B)$ a $(B)$ (to působí, jako bychom koktali), stručně se zmiňujeme o~{\em matici zobrazení $\a$ vzhledem k~bázi~$(B)$}. \veta [aruznebase2] %%%%% Nechť $\a: L\to L$ je lineární zobrazení, $(B)$, $(C)$ jsou dvě báze lineárního prostoru $L$ a $\A_{(B,C)}$ je matice přechodu od báze $(B)$ k bázi $(C)$. Je-li $\A$ matice zobrazení $\a$ vzhledem k bázi $(B)$, pak $\A_{(B,C)}^{-1}\cdot\A\cdot\A_{(B,C)}$ je maticí téhož lineárního zobrazení vzhledem k bázi $(C)$. \definice [dpodobnost] %%%%%%%%% Matice $\A$ je {\em podobná\/} matici $\B$, pokud existuje regulární matice $\P$ taková, že platí $\B=\P^{-1}\cdot\A\cdot \P$. \definice [dvl] %%%%%%%%% Nechť $\a:L\to L$ je lineární zobrazení. Číslo $\lambda\in\C$ se nazývá {\em vlastním číslem zobrazení~$\a$}, pokud existuje vektor $\vec x\in L$, $\vec x\not=\vec o$ takový, že $\a(\vec x) = \lambda\,\vec x$. Vektor $\vec x$, který splňuje uvedenou rovnost, se nazývá {\em vlastní vektor zobrazení $\a$ příslušný vlastnímu číslu $\lambda$}. \definice [dvA] %%%%%%%%% Nechť $\A$ je čtvercová matice typu $(n,n)$ reálných nebo komplexních čísel. Číslo $\lambda\in\C$ se nazývá {\em vlastním číslem matice $\A$}, pokud existuje $\vec x\in \C^n$, $\vec x\not=\vec o$ takový, že $\A\cdot\vec x^T = \lambda\,\vec x^T$. Vektor $\vec x$, který splňuje uvedenou rovnost, se nazývá {\em vlastní vektor matice $\A$ příslušný vlastnímu číslu $\lambda$}. \veta [vlavlA] %%%%% Nechť $\a:L\to L$ je lineární zobrazení a $\A$ je jeho matice vzhledem k nějaké bázi $(B)$. Pak $\lambda$ je vlastním číslem zobrazení $\a$ právě tehdy, když je vlastním číslem matice $\A$. Navíc $\vec x$ je vlastní vektor zobrazení $\a$ příslušný $\lambda$ právě tehdy, když souřadnice vektoru $\vec x$ vzhledem k bázi $(B)$ tvoří vlastní vektor matice $\A$ příslušný $\lambda$. \definice [chpolynom] %%%%%%%%% Nechť $\A$ je čtvercová matice. Polynom $\det (\A-\lambda\,\E)$ nazýváme {\em charakteristický polynom matice $\A$} a rovnost $\det (\A-\lambda\,\E)=0$ charakteristickou rovnicí. Je-li $\lambda$ $k$-násobným kořenem charakteristické rovnice, říkáme, že $\lambda$ je {\em $k$-násobným vlastním číslem}. \veta [vlcisloPAP] %%%%% Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. \veta [PDAP] %%%%% Nechť $\A$ je čtvercová matice typu $(n,n)$. Sestavme libovolná komplexní čísla $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ do diagonální matice $\D=\diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ a libovolné nenulové vektory $\vec x_1, \ldots, \vec x_n$ z~$\C^n$ zapišme do sloupců matice~$\P$, tj. $\P=(\vec x_1^T, \ldots, \vec x_n^T)$. Pak platí: čísla $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ jsou vlastními čísly matice $\A$ a $\vec x_1, \ldots, \vec x_n$ jsou jejich odpovídající vlastní vektory právě tehdy, když je splněna rovnost $\P\D=\A\P$. \veta [AjeD] %%%%% Nechť má čtvercová matice $\A$ s $n$ řádky $n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů (každý z~nich přísluší nějakému vlastnímu číslu matice). Pak je matice $\A$ podobná diagonální matici. \veta [vPjsouvvektory] %%%%% Nechť je matice $\A$ podobná s~diagonální maticí, tj. existuje regulární matice $\P$ a diagonální matice $\D$ takové, že $\A=\P\D\P^{-1}$. Pak $\D$ obsahuje vlastní čísla matice $\A$ a ve sloupcích matice $\P$ jsou vlastní vektory příslušné (podle pořadí) odpovídajícím vlastním číslům zapsaným v~$\D$. \veta [vlastnijsouLN] %%%%% Vlastní vektory, které příslušejí vzájmeně různým vlastním číslům, jsou lineárně nezávislé. \veta [vvlzob] %%%%% Nechť $\a:L\to L$ je lineární zobrazení, $\dim L=n$. Zobrazení $\a$ má $n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů právě tehdy, když existuje báze $(B)$ prostoru $L$ taková, že $\a$ má vzhledem k této bázi diagonální matici $\D$. Přitom na diagonále matice $\D$ jsou vlastní čísla zobrazení $\a$ a báze $(B)$ obsahuje vlastní vektory příslušné vlastním číslům v~matici $\D$ ve stejném pořadí. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Lineární prostory se skalárním součinem | Linearni prostory se skalarnim soucinem %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \definice [dlpss] %%%%%%%%% Nechť $L$ je \c[dlp]{lineární prostor}. Operaci $\cdot: L\times L\to \R$ nazveme {\em skalárním součinem}, pokud splňuje $\forall\vec x\in L$, $\forall\vec y\in L$, $\forall \vec z\in L$, $\forall \alpha\in\R$ následující vlastnosti $$ \eqalign{ \bod (1) \vec x\cdot\vec y = \vec y\cdot\vec x \cr \bod (2) (\vec x + \vec y)\cdot \vec z = \vec x\cdot\vec z + \vec y\cdot\vec z \cr \bod (3) (\alpha\cdot\vec x)\cdot\vec y = \alpha\cdot(\vec x\cdot\vec y) \cr \bod (4) \vec x\cdot\vec x \geq 0, \quad \vec x\cdot\vec x = 0 \hbox{ jen tehdy, když } \vec x = \vec o } $$ Ve vlastnosti (4) značí symbol $\vec o$ \c[dlp]{nulový vektor lineárního prostoru}~$L$. \veta [nulaxx] %%%%% Nechť $L$ je \c[dlpss]{lineární prostor se skalárním součinem}, $\vec o$ je jeho \c[dlp]{nulový vektor}. Pak pro všechna $\vec x\in L$, $\vec y\in L$ a $\vec z\in L$ platí: (1) $\vec x\cdot\vec o = \vec o\cdot\vec x = 0$, (2) $\vec z\cdot(\vec x + \vec y) = \vec z\vec x + \vec z\vec y$. \definice [symmat] %%%%%%%%% \c[defmatice]{Čtvercová matice} $\A$ typu $(n,n)$ je {\em symetrická}, pokud platí \hbox{$\A^T = \A$}. \definice [posdefmat] %%%%%%%%% Nechť $\A$ je \c[defmatice]{čtvercová matice} typu $(n,n)$. Označme $\A_i$ \c[defmatice]{čtvercovou matici} typu $(n-i,n-i)$, která vzniká z~matice $\A$ vynecháním posledních $i$ řádků a posledních $i$ sloupců. Matice $\A$ se nazývá {\em pozitivně definitní}, pokud všechny \c[ddet]{determinanty} $\det\A_i$, $i\in\{0,1,2,\ldots,n-1\}$ jsou kladné. \veta [maticesoucinuRn] %%%%% Nechť $\A$ je \c[defmatice]{čtevrcová matice} typu $(n,n)$. Definujme součin na $\R^n$ takto. Pro $\vec x\in\R^n$, $\vec y\in\R^n$ je $$ \vec x\cdot\vec y = \vec x\cdot\A\cdot\vec y^T, $$ kde na pravé straně rovnosti je \c[soucinAB]{maticový součin} jednořádkové matice $\vec x$, která obsahuje složky vektoru~$\vec x$, s maticí $\A$ a s maticí $\vec y^T$, což je sloupec složek vektoru $\vec y$. Pak $\vec x\cdot\vec y$ je \c[dlpss]{skalárním součinem} právě tehdy, když $\A$ je \c[symmat]{symetrická} a \c[posdefmat]{pozitivně definitní matice}. \definice [velikost] %%%%%%%%% Nechť $L$ je \c[dlpss]{lineární prostor se skalárním součinem}. Pro $\vec x\in L$ definujeme {\em velikost vektoru~$\vec x$} hodnotou $\sqrt{\vec x\cdot\vec x}$. Velikost vektoru $\vec x$ značíme $|\vec x|$, takže je $$ |\vec x| = \sqrt{\vec x\cdot\vec x}, \qquad \hbox{tj. } |\vec x|^2 = \vec x\cdot\vec x $$ \veta [absvelikost] %%%%% Nechť $\vec x$ je prvkem \c[dlpss]{lineárního prostoru se skalárním součinem}, $\alpha\in\R$. Pak $$ |\alpha\,\vec x| = |\alpha|\cdot|\vec x|. $$ Zápis $|\alpha|$ zde značí absolutní hodnotu reálného čísla, ostatní symboly~\uv{$|~|$} znamenají \c[velikost]{velikosti vektorů}. \definice [uhel] %%%%%%%%% Nechť $L$ je \c[dlpss]{lineární prostor se skalárním součinem} a $\vec x\in L$, $\vec y\in L$, $\vec x\not=\vec o$, $\vec y\not=\vec o$. Pak {\em úhel mezi vektory $\vec x$ a $\vec y$} je takové číslo~$\phi$, pro které platí $$ \cos\phi = {\vec x\cdot\vec y \over |\vec x|\cdot|\vec y|} % \rce(uhel) $$ \veta [schwartz] %%%%% (Schwartzova nerovnost). Nechť $L$ je \c[dlpss]{lineární prostor se skalárním součinem} a $\vec x\in L$, $\vec y\in L$. Pak platí: $$ |\vec x\cdot\vec y| \leq |\vec x|\cdot|\vec y|. % \rce(schwartz) $$ Symbol \uv{$|~|$} na levé straně nerovnice znamená absolutní hodnotu reálného čísla, zatímco stejné symboly na pravé straně nerovnice označují \c[velikost]{velikost vektoru}. \definice [vzdalenost] %%%%%%%%% Nechť $L$ je \c[dlpss]{lineární prostor se skalárním součinem}. {\em Vzdálenost vektoru $\vec x$ od vektoru $\vec y$} definujeme jako $|\vec y-\vec x|$. Podle věty\cite[absvelikost] je $|\vec y-\vec x|=|\vec x-\vec y|$, takže často mluvíme o {\em vzdálenosti dvou vektorů $\vec x$ a $\vec y$\/} (bez závislosti na jejich pořadí). \veta [trojnerovnost] %%%%% (Trojúhelníková nerovnost). Pro \c[velikost]{velikosti vektorů} platí $$ |\vec x+\vec y| \leq |\vec x|+|\vec y|. % \rce(trojnerovnost) $$ \definice [kolmost] %%%%%%%%% Nechť $L$ je \c[dlpss]{lineární prostor se skalárním součinem}. Dva \c[dlp]{nenulové vektory} $\vec x\in L$ a $\vec y\in L$ {\em jsou na sebe kolmé}, (značíme $\vec x \kolmy\vec y$), pokud je $\vec x\cdot\vec y = 0$. \let\orikolmy=\kolmy \def\kolmy{\c[kolmost]{\orikolmy}} \definice [ortonormalni] %%%%%%%%% Nechť $B=\{\vecc b_n\}$ je \c[dbase]{báze} \c[dlpss]{lineárního prostoru se skalárním součinem}. Bázi $B$ nazýváme {\em ortogonální}, pokud $\vec b_i\kolmy\vec b_j$ $\forall i\in\{1,2,\ldots,n\}$, $\forall j\in\{1,2,\ldots,n\}$, $i\not=j$. Bázi $B$ nazýváme {\em ortonormální}, pokud je ortogonální, a navíc $|\vec b_i|=1$, $\forall i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \veta [ortobase] %%%%% \c[dbase]{Báze} $B=\{\vecc b_n\}$ je \c[ortonormalni]{ortonormální} právě tehdy, když $$ \vec b_i\cdot\vec b_j = \cases{ 0 \hbox{ pro } i\not=j, \cr 1 \hbox{ pro } i=j.} $$ \veta [soucin-dle-souradnic] %%%%% Nechť $(B)$ je \c[ortonormalni]{ortonormální uspořádaná báze} \c[dlpss]{lineárního prostoru~$L$ se skalárním součinem}. Pak pro všechna $\vec x\in L$, $\vec y\in L$, $\vec x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)_{(B)}$, $\vec y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)_{(B)}$ lze \c[dlpss]{skalární součin} počítat ze \c[souradnice]{souřadnic vektorů} takto: $$ \vec x\cdot\vec y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n. $$ \veta [kolmeLN] %%%%% Nechť $\vecc x_n$ jsou \c[dlp]{nenulové vektory} \c[dlpss]{lineárního prostoru se skalárním součinem}, které jsou na sebe navzájem \c[kolmost]{kolmé}, tj. $\vec x_i\cdot \vec x_j= 0$ pro $i\ne j$ a $\vec x_i\cdot \vec x_i>0$. Pak jsou tyto vektory \c[LNskupiny]{lineárně nezávislé}. \veta [karsouradnice] %%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ortonormalni]{ortonormální báze} \c[dlpss]{lineárního prostoru se skalárním součinem}. Pak pro \c[souradnice]{souřadnice} libovolného \c[dlp]{vektoru} $\vec x$ platí $$ \vec x = (\vec x{\cdot}\vec b_1, \,\vec x{\cdot}\vec b_2, \,\ldots,\, \vec x{\cdot}\vec b_n)_{(B)}. $$ \veta [uhly-k-osam] %%%%% Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je \c[ortonormalni]{ortonormální báze} \c[dlpss]{lineárního prostoru se skalárním součinem} a $\vec x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)_{(B)}$ je jeho libovolný \c[dlp]{vektor}. Pak \c[uhel]{úhlel} $\phi_i$ mezi vektorem $\vec x$ a vektorem $\vec b_i$ lze počítat podle vzorce $$ \cos\phi_i = {x_i\over |\vec x|}\,. $$ \veta [ortogonalizace] %%%%% (Schmidtův ortogonalizační proces). Nechť $\{\vecc b_n\}$ je \c[dbase]{báze} \c[dlpss]{lineárního prostoru~$L$ se skalárním součinem}. Pak existuje \c[ortonormalni]{ortonormální báze} $\{\vecc c_n\}$ taková, že $$ \lob<\vecc b_k> = \lob<\vecc c_k>, \qquad \forall k\in\{1,2,\ldots,n\} $$ \iffalse %%% Tuto aplikaci v STM nepoužiju %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Aplikace lineární algebry v geometrii | Aplikace linearni algebry v geometrii %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \definice [kolmyprumet] %%%%%%%%% Nechť $L$ je \c[dlpss]{lineární prostor se skalárním součinem}, $\vec u\in\nobreak L$, $\vec v\in\nobreak L, \vec v \ne \vec o$. Pak číslo $$ {\vec u \cdot \vec v \over |\vec v|} $$ nazýváme {\em kolmý průmět vektoru $\vec u$ na vektor $\vec v$}. \definice [kladneUO] %%%%%%%%% Nechť $U_O$ je \c[dlpss]{lineární prostor se skalárním součinem} podle příkladu\fcite[ssnaUO]. \c[ortonormalni]{Ortonormální uspořádanou bázi} $(B)=\bigl(\vec i, \vec j, \vec k\bigr)$ nazýváme {\em kladně orientovanou}, pokud při vhodném umístění a natočení pozorovatele vzhledem k této bázi směřuje úsečka $\vec i$ vpravo od pozorovatele, $\vec j$ směrem k~pozorovateli a $\vec k$ nahoru. Všechny \c[dbase]{báze} $(C)$ (ne nutně ortonormální), které mají \c[dprechodu]{matici přechodu od $(B)$ k~$(C)$} s~kladným \c[ddet]{determinantem}, nazýváme {\em kladně orientované báze}. Všechny báze $(D)$, které mají \c[dprechodu]{matici přechodu od $(B)$ k~$(D)$} se záporným \c[ddet]{determinantem}, nazýváme {\em záporně orientované báze}. \definice [orientovat] %%%%%%%%% {\em Orientovat} libovolný \c[dlp]{lineární prostor} s konečnou \c[ddimense]{dimenzí} znamená prohlásit jednu jeho uspořádanou bázi $(B)$ za výchozí kladně orientovanou. \c[ubase]{Uspořádaná báze} $(C)$ se nazývá {\em kladně orientovaná}, pokud \c[dprechodu]{matice přechodu od výchozí báze $(B)$ k bázi $(C)$} má kladný \c[ddet]{determinant}. \c[ubase]{Uspořádaná báze} $(D)$ se nazývá {\em záporně orientovaná}, pokud \c[dprechodu]{matice přechodu od výchozí báze $(B)$ k bázi $(D)$} má záporný \c[ddet]{determinant}. \definice [vs] %%%%%%%%% Nechť $U_O$ je \c[dlp]{lineární prostor} \cf[UOznovu]{orientovaných úseček}. {\em Vektorový součin\/} je zobrazení (označujeme jej křížkem) $\times: U_O\times U_O \to U_O$, které splňuje následující vlastnosti. (A) Jsou-li \c[dlp]{vektory} $\{\vec u, \vec v\}\subset U_O$ \c[LZskupiny]{lineárně závislé}, definujeme $\vec u\times \vec v = \vec o$ (nulový vektor). (B) Jsou-li \c[dlp]{vektory} $\{\vec u, \vec v\}\subset U_O$ \c[LNskupiny]{lineárně nezávislé}, pak je vektor $\vec u\times \vec v$ jednoznačně určen následujícími třemi vlastnostmi: (1) $(\vec u\times \vec v) \kolmy \vec u$, $(\vec u\times \vec v) \kolmy \vec v$, (2) $|\vec u\times \vec v| = |\vec u|\,|\vec v|\,\sin \phi$, kde $\phi$ je úhel mezi vektory $\vec u$ a $\vec v$. (3) Uspořádaná báze $(\vec u, \vec v, \vec u\times \vec v)$ je \c[kladneUO]{kladně orientovaná}. \let\oritimes=\times \def\times{\c[vs]{\oritimes}} \veta [vs-souradnice] %%%%% (Souřadnice vektorového součinu). Nechť $(B)=(\vec i, \vec j, \vec k)$ je \c[ortonormalni]{ortonormální} \c[kladneUO]{kladně orientovaná} \c[ubase]{uspořádaná báze} \cf[UOznovu]{lineárního prostoru $U_O$}, $\vec u = (u_1, u_2, u_3)_{(B)}$, $\vec v = (v_1, v_2, v_3)_{(B)}$. Pak platí: $$ \vec u\times \vec v = \left ( \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|, - \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|, \,\left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right| \right )_{(B)}. % \rce(vs-poc) $$ \definice [vsnaR3] %%%%%%%%% Nechť $\vec u\in\R^3$, $\vec v\in\R^3$, $\vec u = (u_1, u_2, u_3)$, $\vec v = (v_1, v_2, v_3)$. Pak definujeme {\em vektorový součin na $\R^3$} předpisem: $$ \vec u\oritimes \vec v = \left ( \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|, - \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|, \,\left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right| \right ). $$ \veta [zv-vs] %%%%% (Základní vlastnosti vektorového součinu). Nechť $L$ je \c[dlpss]{lineární prostor} s~\c[vs]{vektorovým součinem} a $\vec u\in L$, $\vec v\in L$, $\vec w\in L$, $\alpha\in\R$. Platí: $$\eqalign{ \vec u \times \vec u &= \vec o \cr \vec u \times \vec v &= - (\vec v \times \vec u) \qquad \hbox{(antikomutativní zákon)}\cr (\alpha\,\vec u) \times \vec v &= \alpha \, (\vec u \times \vec v) = \vec u \times (\alpha\,\vec v) \cr (\vec u + \vec v)\times \vec w &= \vec u \times \vec w + \vec v \times \vec w \cr \vec u \times (\vec v + \vec w) &= \vec u \times \vec v + \vec u \times \vec w \cr } $$ \veta [vs-geom] %%%%% (Geometrický význam vektorového součinu). Nechť \c[dlp]{vektory} $\vec u, \vec v$ jsou \c[LNskupiny]{lineárně nezávislé}. \c[velikost]{Velikost} \c[vs]{vektorového součinu} $\vec u\times\vec v$ je rovna ploše rovnoběžníka určeného svými stranami $\vec u$ a $\vec v$. \definice [smisenys] %%%%%%%%% Nechť $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ jsou \c[dlp]{vektory} z \c[dlpss]{lineárního prostoru se skalárním} a \c[vs]{vektorovým součinem}. Pak číslo $\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)$ nazýváme {\em smíšeným součinem vektorů $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ (v tomto pořadí)}. \veta [sms-souradnice] %%%%% (Smíšený součin ze souřadnic vektorů). Nechť $(B)=(\vec i, \vec j, \vec k)$ je \c[ortonormalni]{ortonormální} \c[kladneUO]{kladně orientovaná} \c[ubase]{uspořádaná báze} \c[dlpss]{lineárního prostoru se skalárním} a \c[vs]{vektorovým součinem}, $\vec u = (u_1, u_2, u_3)_{(B)}$, $\vec v = (v_1, v_2, v_3)_{(B)}$, $\vec w = (w_1, w_2, w_3)_{(B)}$. Pak je \c[smisenys]{smíšený součin} $\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)$ roven \c[ddet]{determinantu}: $$ \left| \matrix{u_1& u_2& u_3\cr v_1& v_2& v_3\cr w_1& w_2& w_3\cr} \right|. $$ \veta [sms-geom] %%%%% (Geometrický význam smíšeného součinu). Absolutní hodnota \c[smisenys]{smíšeného součinu} \c[LNskupiny]{lineárně nezávislých vektorů} $\vec u, \vec v, \vec w$ je rovna objemu rovnoběžnostěnu určeného svými stranami $\vec u, \vec v, \vec w$. \definice [dV3] %%%%%%%%% Nechť $U_O$ je \c[dlp]{lineární prostor} z~příkladů\fcite[UOznovu] a\fcite[ssnaUO]. Volme $\vec u_O\in U_O$. Množinu všech orientovaných úseček, které jsou s~úsečkou $\vec u_O$ rovnoběžné a mají stejnou velikost a orientaci nazýváme {\em vektorem lineárního prostoru~$V_3$}. Nechť $\vec u$ je vektor lineárního prostoru~$V_3$ Jedná se tedy o~množinu vzájemně rovnoběžných úseček stejně velkých a stejně orientovaných. Jakoukoli orientovanu úsečku z~této množiny nazýváme {\em reprezentantem vektoru $\vec u$}. Na lineárním prostoru~$V_3$ definujeme sčítání vektorů a skalární násobek. Nechť $\vec u\in V_3$, $\vec v\in V_3$. Volme nějaký bod~$O\in\E_3$. Existuje právě jeden reprezentant vektoru $\vec u$, který začíná v~bodě~$O$. Označme jej $\vec u_O$. Dále nechť $\vec v_O$ je reprezentant vektoru $\vec v$ začínající v~bodě~$O$. Pak je definován součet $\vec w_O=\vec u_O+\vec v_O$ na lineárním prostoru~$U_O$. Součet $\vec u + \vec v$ je takový prvek z~$V_3$, pro který je $\vec w_O$ jeho reprezentantem začínajícím v bodě~$O$. Je to tedy množina všech orientovaných úseček rovnoběžných, stejně velkých a stejně orientovaných, jako úsečka~$\vec w_O$. \vfil\break Skalární násobek definujeme podobně. Nechť je $\vec u\in V_3$, $\alpha\in\R$. Pro $\vec u$ existuje reprezentant $\vec u_O$ začínající v~bodě~$O$. K němu existuje skalární násobek definovaný v $U_O$. Označme jej $\vec w_O = \alpha\,\vec u_O$. Výsledný vektor $\alpha\,\vec u$ je vektorem z~$V_3$ takovým, že $\vec w_O$ je jeho reprezentant. Skalární součin vektorů $\vec u\in V_3$, $\vec v\in V_3$ definujeme jako skalární součin jejich reprezentantů $\vec u_O$ a $\vec v_O$ v~lineárním prostoru~$U_O$. Vektorový součin $\vec u \times \vec v$ definujeme tak, že reprezentanty $\vec u_O$ a $\vec v_O$ vektorů $\vec u$ a $\vec v$ vynásobíme v~lineárním prostoru $U_O$. Výsledný součin $\vec u\times \vec v$ je takový vektor, pro který je $\vec u_O\times\vec v_O$ jeho reprezentantem začínajícím v~bodě $O$. \definice [baseV3] %%%%%%%%% {\em Ortonormální báze na $V_3$} je taková \c[dbase]{báze}, jejíž \c[dV3]{reprezentanti} začínající v nějakém bodě~\hbox{$O\in\E_3$} tvoří \c[ortonormalni]{ortonormální bázi} v~$U_O$. Viz příklad\fcite[baseUO]. {\em Kladně orientovaná báze na~$V_3$} ja taková \c[ubase]{báze}, jejíž \c[dV3]{reprezentanti} začínající v~nějakém bodě~$O\in\E_3$ tvoří \c[kladneUO]{kladně orientovanou bázi v~$U_O$}. \definice [bod+vektor] %%%%%%%%% Pro každý bod $A\in\E_3$ a \c[dV3]{volný vektor} $\vec v\in V_3$ existuje právě jeden \c[dV3]{reprezentant} vektoru~$\vec v$, který začíná v bodě $A$. Koncový bod $B\in\E_3$ tohoto reprezentanta nazýváme {\em součtem bodu $A$ s~vektorem~$\vec v$} a značíme $B=A+\vec v$. Pro každé dva body $A\in\E_3$, $B\in\E_3$ existuje $\vec v\in V_3$ takový, že orientovaná úsečka s počátkem v~bodě~$A$ a koncem v bodě~$B$ je \c[dV3]{reprezentantem} tohoto vektoru. Vektor $\vec v$ nazýváme {\em rozdílem $B-A$}, píšeme $\vec v = B-A$. Vektor $B-A$ se často značí symbolem $\overrightarrow {AB}$. \definice [soursystem] %%%%%%%%% Libovolný bod $O\in \E_3$ společně s \c[ubase]{uspořádanou bází} $(B)=(\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3)$ \c[dV3]{vektorů z~$V_3$} tvoří {\em souřadnicový systém bodového prostoru $\E_3$}. {\em Souřadnice vektoru $\vec u\in V_3$ v tomto souřadnicovém systému} definujeme jako \c[souradnice]{souřadnice vektoru} $\vec u$ vzhledem k~\c[ubase]{uspořádané bázi}~$(B)$. {\em Souřadnice bodu $A\in \E_3$ v tomto souřadnicovém systému} definujeme jako souřadnice vektoru $A-O$. Vektor $A-O$ nazýváme v tomto kontextu {\em radiusvektorem bodu $A$}. Přímky $O+\lob<\vec b_1>$, $O+\lob<\vec b_2>$, $O+\lob<\vec b_3>$ jsou {\em osy souřadnicového systému}. Je-li \c[ubase]{báze} $(B)$ \c[ortonormalni]{ortogonální}, nazýváme odpovídající souřadnicový systém {\em pravoúhlý}. Je-li \c[ubase]{báze} $(B)$ \c[ortonormalni]{ortonormální}, nazýváme odpovídající souřadnicový systém {\em kartézský}. Je-li báze $(B)$ \c[kladneUO]{kladně orientovaná}, mluvíme též o~{\em kladně orientovaném souřadnicovém systému}. \veta [sourbodu] %%%%% Zvolme pevně \c[soursystem]{souřadnicový systém bodového prostoru $\E_3$}, vzhledem ke kterému budeme udávat \c[soursystem]{souřadnice bodů a vektorů}. Tento souřadnicový systém nemusí být nutně \c[soursystem]{kartézský}. Nechť $A\in\E_3$ má \c[soursystem]{souřadnice} $(a_1,a_2,a_3)$, $B\in\E_3$ má \c[soursystem]{souřadnice} $(b_1,b_2,b_3)$, $\vec u\in V_3$ má \c[soursystem]{souřadnice} $(u_1,u_2,u_3)$, $\vec v\in V_3$ má \c[soursystem]{souřadnice} $(v_1,v_2,v_3)$, $\alpha\in\R$, $\beta\in\R$. Potom platí: (1) Vektor $\alpha\,\vec u + \beta\,\vec v$ má \c[soursystem]{souřadnice} $\alpha\,(u_1,u_2,u_3) + \beta\,(v_1,v_2,v_3)$. (2) Bod $A+\vec u$ má \c[soursystem]{souřadnice} $(a_1,a_2,a_3)+(u_1,u_2,u_3)$. (3) Vektor $\overrightarrow{AB}=B-A$ má \c[soursystem]{souřadnice} $(b_1,b_2,b_3)-(a_1,a_2,a_3)$. \fi %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \kapitola Lineární algebra v teorii kódování | Linearni algebra v teorii kodovani %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \definice [dZ2] %%%%%%%%% {\em Těleso $\Z_2$} je dvoubodová množina $\{0, 1\}$, na které je definováno sčítání $+:\Z_2\times\Z_2\to\Z_2$ a násobení $\cdot:\Z_2\times\Z_2\to\Z_2$ takto: $$ \def\|{\kern6pt\vrule height17pt depth 7pt&\kern-3pt} \matrix { \phantom0\llap{+} \| 0 & 1 \cr \noalign{\hrule} 0 \| 0 & 1 \cr \noalign{\vskip-2pt} 1 \| 1 & 0 \cr} \qquad \qquad \matrix { \phantom0\llap{$\cdot$} \| 0 & 1 \cr \noalign{\hrule} 0 \| 0 & 0 \cr \noalign{\vskip-2pt} 1 \| 0 & 1 \cr} $$ Tedy: \ $0+0=0$, \quad $0+1=1+0=1$, \quad $1+1=0$, \quad $0\cdot0=0\cdot1=1\cdot0=0$, \quad $1\cdot1=1$. \definice [dkod] %%%%%%%%% Nechť $A$ je konečná množina (tzv. {\em abeceda}). Pak {\it slovo} je libovolná konečná posloupnost prvků z $A$. {\it Kódování\/} v obecném smyslu zahrnuje (1) algoritmus, kterým informace převádíme do posloupnosti slov (tzv. {\em kodér\/}) a (2) algoritmus, kterým zpětně z~těchto slov získáváme původní informaci ({\em dekodér\/}). Slova, která vytváří kodér, se nazývají {\em kódová slova}. Množina všech kódových slov se nazývá {\em kód}. Je-li kód množinou slov stejné délky (každé kódové slovo má stejný počet znaků abecedy), mluvíme o~tzv. {\it blokovém kódu}. Blokový kód {\em délky $n$} značí, že všechna kódová slova mají $n$ znaků abecedy. \definice [hammingd] %%%%%%%%% Nechť $A=\{0,1\}$. {\em Hammingova velikost slova $\vec u\in A^n$} je počet jedniček v tomto slově a značíme ji $||\vec u||$. {\em Hammingova vzdálenost slov $\vec v\in A^n$ a $\vec w\in A^n$} je počet bitů, ve kterých se tato dvě slova liší. Značíme ji $\d(\vec v,\vec w)$. \definice [dlkod] %%%%%%%%% Binární blokový kód $K$ délky $n$ je {\em lineární}, pokud $K$ tvoří lineární podprostor lineárního prostoru $\Z_2^n$. Jestliže dimenzi tohoto podprostoru označíme $k$, pak mluvíme o {\em lineárním $(n,k)$ kódu}. \veta [nejmhm] %%%%% Nejmenší Hammingova vzdálenost mezi slovy lineárního kódu $K$ je rovna nejmenší Hammingově velikosti nenulového kódového slova. \definice [dHG] %%%%%%%%% {\em Generující matice lineárního kódu $K$} je po řádcích zapsaná báze tohoto kódu. {\em Kontrolní matice lineárního kódu $K$} je taková matice $\H$ s lineárně nezávislými řádky, pro kterou platí: množina řešení homogenní soustavy $\H\,\vec x=\vec o$ je rovna kódu $K$. \veta [vlHG] %%%%% Nechť $\G$ je generující matice a $\H$ kontrolní matice lineárního $(n,k)$ kódu. Pak $\G$ má $k$~řádků a $\H$ má $n-k$ řádků. Obě matice mají $n$ sloupců. Jinými slovy generující matice má tolik řádků, kolik je v kódu informačních bitů, kontrolní matice má tolik řádků, kolik má kód kontrolních bitů a počet sloupců obou matic je roven počtu přenášených bitů v jednom slově. \veta [vlHG2] %%%%% Nechť $\G$ je generující a $\H$ je kontrolní matice lineárního $(n,k)$ kódu. Pak $\H\cdot\G^T = \O_1$ a také $\G\cdot\H^T = \O_2$, kde $\O_1$ je nulová matice s $n-k$ řádky a $k$ sloupci a $\O_2=\O_1^T$. \definice [dsystemkod] %%%%%%%%% Pokud existuje generující matice lineárního kódu ve tvaru $\G=(\E|\C)$, kde $\E$ je jednotková matice, nazýváme takový kód {\em systematický}. \veta [HDE] %%%%% Kód je systematický právě tehdy když existuje kontrolní matice tohoto kódu tvaru $(\C^T|\E')$, kde $\E'$ je jednotková matice. \veta [koderzob] %%%%% Nechť $\G$ je generující matice lineárního $(n,k)$ kódu. Nechť dále $\a: \Z_2^k\to\Z_2^n$ je lineární zobrazení, které zobrazuje standardní bázi prostoru $\Z_2^k$ na řádky matice $\G$. Pak matice $\G^T$ je maticí lineárního zobrazení $\a$ vzhledem ke standardním bázím. \definice [dsyndrom] %%%%%%%%% Nechť $\H$ je kontrolní matice lineárního kódu. {\em Syndrom\/} slova $\vec w$ je vektor $\vec s$, pro který platí $\vec s^T=\H\cdot\vec w^T$. Nechť $\vec v$ je slovo vyslané kodérem a $\vec w$ je slovo přijaté dekodérem. Pak $\vec e=\vec w-\vec v$ je {\it chybové slovo}. Protože v $\Z_2^n$ je $-\vec v= \vec v$, chybové slovo lze počítat jako $\vec w+\vec v$. \veta [afinM1M2] %%%%% Nechť $K$ je lineární podprostor lineárního prostoru $L$ a nechť $\vec e_1\in L$, $\vec e_2\in L$. Pak množiny $ M_1=\{\vec e_1+\vec v, \ \vec v\in K\} $, $ M_2=\{\vec e_2+\vec v, \ \vec v\in K\} $ jsou buď disjunktní nebo totožné. \veta [osyndromu] %%%%% Nechť $\vec v$ je kódové slovo a $\vec e$ je libovolné slovo. Pak slova $\vec e$ i $\vec e+\vec v$ mají stejný syndrom. Jinými slovy kódová slova modifikovaná stejnou chybou vytvářejí skupinu slov se společným syndromem. \veta [syndrom1] %%%%% Slovo s jednou jedničkou je kódové právě tehdy, když kontrolní matice obsahuje nulový sloupec. Dvě různá slova s jednou jedničkou mají společný syndrom právě tehdy, když kontrolní matice obsahuje aspoň dva stejné sloupce. \end