\chyph \hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm \ifx\pdfoutput\undefined \else \pdfpagewidth=21cm \pdfpageheight=15cm \fi \font\logocvut=lev scaled400 \ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi \def\cislo{5} \headline={\setfonts[/10]\rm \ifnum\pageno>1 \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Olšák \quad}\else \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]} \footline={} \def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{% \setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. Viz p. d. 4/2010 }\vss}} \input ofs [a35] %\def\fomenc{CM} %\showfonts \end %\displayfontmessages \setfonts[NewCentury/17] \setmath[17/12/8] \baselineskip=22pt \message{\fontname\tenit} \medskipamount=9pt \let\ms=\medskip \parskip=\medskipamount \def\n#1\par{\vfill\break} \def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip} \def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip} \def\hb{\hfil\break} \def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}} \parindent=0pt \catcode`\*=13 \def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}} \let\em=\it \def\C{{\bf C}} \def\R{{\bf R}} \def\Q{{\bf Q}} \def\a{{A}} \def\ker{\mathop{\rm Ker}} \def\st{\mathop{\rm St}} \def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}} \def\lob<#1>{\langle #1\rangle} % =============================================================== \vglue 2cm \gg Lineární \gg zobrazení \bigskip\bigskip * Zachovává operace $+$ a $\cdot$ lineárního postoru. * Přenáší vztahy mezi vektory jednoho prostoru do druhého. \n --------------------------------------------------------------- \g Zobrazení (zatím ne nutně lineární) * přiřazuje každému prvku $x$ jedné množiny ($L_1$) jednoznačně \hbox{prvek} $y$ množiny druhé ($L_2$). Značíme \ $\a: L_1\to L_2$. * prvku $x$ zobrazení $\a$ přiřadí prvek $y$, který nazýváme {\em hodnota zobrazení v bodě $x$} nebo {\em obraz prvku $x$} a značíme jej $\a(x)$. Mlu\-víme-li o obrazu prvku $x$, pak prvek $x$ nazýváme {\em vzor}. * množině $M\subseteq L_1$ zobrazení $\a$ přiřadí množinu hodnot $\a(M)$. * zobrazení je {\em prosté} (injektivní), pokud každým dvěma různým vzorům přiřadí různé obrazy. * zobrazení je {\em na} $L_2$ (surjektivní), pokud každý prvek v $L_2$ má svůj vzor. * zobrazení je {\em bijektivní}, je-li prosté a na. \n ----------------------------------------------------------------- \g Definice lineárního zobrazení Zobrazení $\a: L_1\to L_2$ {\em je lineární} (homomorfismus), pokud jsou $L_1$ a $L_2$ lineární prostory a pokud zobrazení \uv{zachovává operace}, tj. $\forall \vec x, \vec y\in L_1$, $\forall \alpha\in \R$ je: $$ \a(\vec x+\vec y) = \a(\vec x)+\a(\vec y), \qquad \a(\alpha\cdot \vec x) = \alpha\cdot\a(\vec x). $$ Operace $+$, $\cdot$ vlevo obou rovností jsou operacemi v $L_1$ a operace $+$, $\cdot$ vpravo jsou operacemi v $L_2$. {\bf Příklady:} Funkce $f: \R\to\R$, $f(x) = ax$, dále zobrazení, které přiřadí diferencovatelné funkci derivaci, integrovatelné funkci určitý integrál, funkci posloupnost $f(1), f(2), \ldots$, posloupnosti po částech konstantní funkci, orientované úsečce její průmět do roviny, vektoru souřadnice, \dots Zajímavý příklad: $f:\R^+\to \R$ (operace na $\R^+$ jsou $x\oplus y=xy$, $\alpha\odot x = x^\alpha$, operace na $\R$ jsou \uv{obvyklé}), \ $f(x)=\ln(x)$. \n ----------------------------------------------------------------- \g Princip superpozice Lineární zobrazení $\a: L_1\to L_2$ převádí lineární kombinace vzorů v $L_1$ na lineární kombinace obrazů v $L_2$ se stejnými koeficienty, tedy: $$ \a (\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \cdots + \alpha_n\vec x_n) = \alpha_1\a(\vec x_1) + \alpha_2\a(\vec x_2) + \cdots + \alpha_n\a(\vec x_n) $$ \n ----------------------------------------------------------------- \g Zachování obalů Důsledek principu superpozice je: $\a(\lob) = \lob<\a(M)>$, neboli: * Je-li $P$ lineární podprostor v $L_1$, je $\a(P)$ lineární podprostor v $L_2$. * $\a(L_1)$ je lineární podprostor v $L_2$. \n ------------------------------------------------------------------- \g Jádro lineárního zobrazení {\bf Definice:} {\em Jádro} lineárního zobrazení $\a: L_1\to L_2$ je podmnožina $\ker\a\subseteq L_1$ definovaná vztahem $$ \ker\a = \{\vec x\in L_1,\ \a(\vec x) = \vec o\}, $$ tj. je to množina vzorů, které mají nulový obraz. {\bf Věta:} Jádro lineárního zobrazení $\a: L_1\to L_2$ je lineární podprostor v $L_1$. Důkaz: nechť $\a(\vec x) = \vec o$, $\a(\vec y)=\vec o$. Pak $\a(\vec x+\vec y) = \a(\vec x) + \a(\vec y) = \vec o + \vec o = \vec o$. Dále $\a(\alpha\vec x) = \alpha\a(\vec x) = \alpha\vec o = \vec o$. {\bf Cvičení:} Najděte jádra dříve zmíněných příkladů lin. zobrazení. \n ------------------------------------------------------------------- \g Defekt a hodnost lineárního zobrazení {\bf Definice:} {\em Defekt} lineárního zobrazení $\a:L_1\to L_2$ je $\dim\ker\a$. {\em Hodnost} lineárního zobrazení $\a:L_1\to L_2$ je $\dim\a(L_1)$. Lapidárně: Defekt určuje, kolik dimenzí se \uv{ztratí} při přechodu od vzorů k obrazům. Hodnost je dimenze podprostoru všech obrazů. {\bf Cvičení:} Najděte defekty a hodnosti dříve zmíněných příkladů lin. zobrazení. \n ------------------------------------------------------------------- \g Příklad \ $\setmath[//] \a: \R^4\to \R^3$ Zobrazení $\a$ je v bodě $(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\R^4$ definováno hodnotou: $$ \eqalign{ &\a(x_1,x_2,x_3,x_4) = \cr &\quad = (x_1+2x_2+2x_3+4x_4,\ 2x_1+x_2+3x_3+x_4,\ 3x_1+3x_2+5x_3+5x_4)} $$ Toto zobrazení je zjevně lineární. Najdeme jeho jádro, defekt a hodnost. \n -------------------------------------------------------------------- \g Defekt plus hodnost {\bf Věta:} Defekt plus hodnost lineárního zobrazení $\a: L_1\to L_2$ je rovno dimezni $L_1$. Důkaz (jen náčtr, podrobně viz linal2.pdf) \n ------------------------------------------------------------------ \g Prosté lineární zobrazení {\bf Věta:} Lineární zobrazení je prosté právě když má nulový defekt. Důkaz: Nemá-li nulový defek, zjevně není prosté. Má-li nulový defekt a není prosté, odvodíme spor. $\a(\vec x) = \a(\vec y)$, tj. $\a(\vec x) - \a(\vec y) = \a(\vec x-\vec y) = \vec o$, takže v jádru leží $\vec x-\vec y\not=\vec o$, takže $\a$ nemá nulový defekt. {\bf Věta:} Lineární zobrazení je prosté právě když lineárně nezávislé vzory převede na lineárně nezávislé obrazy. Důkaz: Není-li prosté, pak má nenulový defekt a netriviální jádro. Existuje tedy nenulový vektor (lin. nezávislý), který se zobrazí na nulový vektor (lin závislý). Je-li prosté a obrazy nezávislých vzorů jsou lin. závislé, pak dostaneme spor s principem superpozice (ukázat podrobněji...). \n ----------------------------------------------------------------- \g Zobrazení lineárně závislých vzorů vytvoří vždy lin. závislý obraz. Stačí použít princip superpozice. \n ----------------------------------------------------------------- \g Izomorfismus Zobrazení $\a: L_1\to L_2$, které je lineární, prosté a na $L_2$ se nazývá {\em izomorfismus}. {\bf Pozorování:} Izomorfismus převádí: * LN množiny na LN množiny (protože je prostý a lineární), * lin. kombinace na lin. kombinace obrazů (protože je lineární), * LZ množiny na LZ (protože je lineární), * podprostory na podprostory (protože je lineární), * lineární obaly na lineární obaly (protože je lineární), * báze na báze (protože převádí LN množiny na LN množiny), Izomorfismus zachovává dimenze převedených podprostorů a zaručí, že $\dim L_1 = \dim L_2$ (protože je lineární prostý a na). \n --------------------------------------------------------------- \g Vlastnosti izomorfismů * Složení izomorfisu je izomorfismus * Inverze k izomorfismu existuje a je to izomorfismus \n --------------------------------------------------------------- \g Zobrazení souřadnic je izomorfismus Je třeba ověřit * linearitu, * zda je toto zobrazení prosté * zda je \uv{na} $\R^n$. \n --------------------------------------------------------------- \g Izomorfní lin. prostory konečné dimenze {\bf Definice:} Dva lineární prostory $L_1$ a $L_2$ jsou {\em izomorfní}, existuje-li izomorfismus $\a:L_1\to L_2$. {\bf Pozorování:} Každý lineární prostor $L$ konečné dimenze $n$ je izomorfní s $\R^n$. Tím izomorfismem jsou souřadnice vzhledem k bázi. {\bf Věta:} Každé dva lineární prostory stejné konečné dimenze jsou vzájemně izomorfní. (Důkaz plyne z vlastností izomorfismu.) {\bf Důležité:} Z pohledu lineární algebry (vlastností vzešlých z axiomů linearity) není mezi dvěma izomorfními lineárními prostory žádný rozdíl. Můžeme si vybrat, ve kterém z těchto dvou lineárních prostorů budeme algebraický problém řešit. Obvykle se problém řeší v $\R^n$, kde můžeme využít algoritmy související s maticemi. \end