\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi

\font\logocvut=lev scaled400

\ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi
\def\cislo{5}

\headline={\setfonts[/10]\rm
   \ifnum\pageno>1 
   \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Ol��k \quad}\else
   \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]}
\footline={}

\def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{%
\setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Ol��k, FEL �VUT, c) P. Ol��k 2010,
  d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. 
  Viz p. d. 4/2010
}\vss}}


\input ofs [a35]  %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  \baselineskip=22pt

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\a{{A}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}

% ===============================================================

\vglue 2cm

\gg Line�rn� 

\gg zobrazen�

\bigskip\bigskip

* Zachov�v� operace $+$ a $\cdot$ line�rn�ho postoru.

* P�en�� vztahy mezi vektory jednoho prostoru do druh�ho.

\n ---------------------------------------------------------------

\g Zobrazen� (zat�m ne nutn� line�rn�)

* p�i�azuje ka�d�mu prvku $x$ jedn� mno�iny ($L_1$) jednozna�n� \hbox{prvek}
  $y$ mno�iny druh� ($L_2$). Zna��me \ $\a: L_1\to L_2$.

* prvku $x$ zobrazen� $\a$ p�i�ad� prvek $y$, kter� naz�v�me 
  {\em hodnota zobrazen� v bod� $x$} nebo {\em obraz prvku $x$}
  a zna��me jej $\a(x)$. Mlu\-v�me-li o obrazu prvku $x$, pak
  prvek $x$ naz�v�me {\em vzor}.

* mno�in� $M\subseteq L_1$ zobrazen� $\a$ p�i�ad� mno�inu hodnot
  $\a(M)$.

* zobrazen� je {\em prost�} (injektivn�), pokud ka�d�m dv�ma r�zn�m vzor�m p�i�ad�
  r�zn� obrazy.

* zobrazen� je {\em na} $L_2$ (surjektivn�), pokud ka�d� prvek v $L_2$
  m� sv�j vzor.

* zobrazen� je {\em bijektivn�}, je-li prost� a na.

\n -----------------------------------------------------------------

\g Definice line�rn�ho zobrazen�

Zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ {\em je line�rn�} (homomorfismus), pokud jsou $L_1$ a $L_2$
line�rn� prostory a pokud zobrazen� \uv{zachov�v� operace}, tj.
$\forall \vec x, \vec y\in L_1$, $\forall \alpha\in \R$ je:
$$
  \a(\vec x+\vec y) = \a(\vec x)+\a(\vec y), \qquad 
  \a(\alpha\cdot \vec x) = \alpha\cdot\a(\vec x).
$$
Operace $+$, $\cdot$ vlevo obou rovnost� jsou operacemi v $L_1$ a operace
$+$, $\cdot$ vpravo jsou operacemi v $L_2$.

{\bf P��klady:} Funkce $f: \R\to\R$, $f(x) = ax$, d�le
zobrazen�, kter� p�i�ad� diferencovateln� funkci derivaci,
integrovateln� funkci ur�it� integr�l, funkci posloupnost
$f(1), f(2), \ldots$, posloupnosti po ��stech konstantn� funkci,
orientovan� �se�ce jej� pr�m�t do roviny, vektoru sou�adnice, \dots 

Zaj�mav� p��klad: $f:\R^+\to \R$ (operace na $\R^+$ jsou $x\oplus y=xy$,
$\alpha\odot x = x^\alpha$, operace na $\R$ jsou \uv{obvykl�}), \ $f(x)=\ln(x)$. 

\n -----------------------------------------------------------------

\g Princip superpozice

Line�rn� zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ p�ev�d� line�rn� kombinace 
vzor� v $L_1$ na line�rn� kombinace obraz� v $L_2$ se stejn�mi
koeficienty, tedy:
$$
  \a (\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \cdots + \alpha_n\vec x_n) =
  \alpha_1\a(\vec x_1) + \alpha_2\a(\vec x_2) + \cdots + \alpha_n\a(\vec x_n)
$$

\n -----------------------------------------------------------------

\g Zachov�n� obal�

D�sledek principu superpozice je: $\a(\lob<M>) = \lob<\a(M)>$, neboli:

* Je-li $P$ line�rn� podprostor v $L_1$, je $\a(P)$ line�rn�
  podprostor v $L_2$.

* $\a(L_1)$ je line�rn� podprostor v $L_2$.

\n -------------------------------------------------------------------

\g J�dro line�rn�ho zobrazen�

{\bf Definice:} {\em J�dro} line�rn�ho zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ je
podmno�ina $\ker\a\subseteq L_1$ definovan� vztahem
$$
  \ker\a = \{\vec x\in L_1,\ \a(\vec x) = \vec o\},
$$
tj. je to mno�ina vzor�, kter� maj� nulov� obraz.

{\bf V�ta:} J�dro line�rn�ho zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ je line�rn� 
podprostor v $L_1$.

D�kaz: nech� $\a(\vec x) = \vec o$, $\a(\vec y)=\vec o$. Pak
$\a(\vec x+\vec y) = \a(\vec x) + \a(\vec y) = \vec o + \vec o = \vec o$.
D�le $\a(\alpha\vec x) = \alpha\a(\vec x) = \alpha\vec o = \vec o$.

{\bf Cvi�en�:} Najd�te j�dra d��ve zm�n�n�ch p��klad� lin. zobrazen�.

\n -------------------------------------------------------------------

\g Defekt a hodnost line�rn�ho zobrazen�

{\bf Definice:} {\em Defekt} line�rn�ho zobrazen� $\a:L_1\to L_2$ je $\dim\ker\a$.
{\em Hodnost} line�rn�ho zobrazen� $\a:L_1\to L_2$ je $\dim\a(L_1)$. 

Lapid�rn�: Defekt ur�uje, kolik dimenz� se \uv{ztrat�} p�i p�echodu od
vzor� k obraz�m. Hodnost je dimenze podprostoru v�ech obraz�.

{\bf Cvi�en�:} Najd�te defekty a hodnosti d��ve zm�n�n�ch p��klad� lin. zobrazen�.

\n -------------------------------------------------------------------

\g P��klad \ $\setmath[//] \a: \R^4\to \R^3$

Zobrazen� $\a$ je v bod� $(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\R^4$ definov�no
hodnotou:
$$
  \eqalign{
  &\a(x_1,x_2,x_3,x_4) = \cr
  &\quad = 
  (x_1+2x_2+2x_3+4x_4,\  2x_1+x_2+3x_3+x_4,\  3x_1+3x_2+5x_3+5x_4)}
$$
Toto zobrazen� je zjevn� line�rn�.
Najdeme jeho j�dro, defekt a hodnost.

\n --------------------------------------------------------------------

\g Defekt plus hodnost

{\bf V�ta:} Defekt plus hodnost line�rn�ho zobrazen� $\a: L_1\to L_2$
je rovno dimezni $L_1$.

D�kaz (jen n��tr, podrobn� viz linal2.pdf)


\n ------------------------------------------------------------------

\g Prost� line�rn� zobrazen�

{\bf V�ta:} Line�rn� zobrazen� je prost� pr�v� kdy� m� nulov� defekt.

D�kaz: Nem�-li nulov� defek, zjevn� nen� prost�. M�-li nulov� defekt a
nen� prost�, odvod�me spor. $\a(\vec x) = \a(\vec y)$, tj.
$\a(\vec x) - \a(\vec y) = \a(\vec x-\vec y) = \vec o$, tak�e v j�dru
le�� $\vec x-\vec y\not=\vec o$, tak�e $\a$ nem� nulov� defekt.

{\bf V�ta:} Line�rn� zobrazen� je prost� pr�v� kdy� line�rn� nez�visl�
vzory p�evede na line�rn� nez�visl� obrazy.

D�kaz: Nen�-li prost�, pak m� nenulov� defekt a netrivi�ln� j�dro.
Existuje tedy nenulov� vektor (lin. nez�visl�), kter� se zobraz� na
nulov� vektor (lin z�visl�). 

Je-li prost� a obrazy nez�visl�ch vzor� jsou lin. z�visl�, pak
dostaneme spor s principem superpozice (uk�zat podrobn�ji...). 

\n -----------------------------------------------------------------

\g Zobrazen� line�rn� z�visl�ch vzor�

vytvo�� v�dy lin. z�visl� obraz. Sta�� pou��t princip superpozice.

\n -----------------------------------------------------------------

\g Izomorfismus

Zobrazen� $\a: L_1\to L_2$, kter� je line�rn�, prost� a na $L_2$ se
naz�v� {\em izomorfismus}. 

{\bf Pozorov�n�:} Izomorfismus p�ev�d�: 

* LN mno�iny na LN mno�iny (proto�e je prost� a line�rn�), 

* lin. kombinace na lin. kombinace obraz� (proto�e je line�rn�),

* LZ mno�iny na LZ (proto�e je line�rn�),

* podprostory na podprostory (proto�e je line�rn�),

* line�rn� obaly na line�rn� obaly (proto�e je line�rn�),

* b�ze na b�ze (proto�e p�ev�d� LN mno�iny na LN mno�iny),

Izomorfismus zachov�v� dimenze p�eveden�ch podprostor� a
zaru��, �e $\dim L_1 = \dim L_2$  (proto�e je line�rn� prost� a na).

\n ---------------------------------------------------------------

\g Vlastnosti izomorfism�

* Slo�en� izomorfisu je izomorfismus

* Inverze k izomorfismu existuje a je to izomorfismus

\n ---------------------------------------------------------------

\g Zobrazen� sou�adnic je izomorfismus

Je t�eba ov��it 

* linearitu,

* zda je toto zobrazen� prost�

* zda je \uv{na} $\R^n$.

\n ---------------------------------------------------------------


\g Izomorfn� lin. prostory kone�n� dimenze

{\bf Definice:} Dva line�rn� prostory $L_1$ a $L_2$ jsou {\em izomorfn�},
existuje-li izomorfismus $\a:L_1\to L_2$.

{\bf Pozorov�n�:} Ka�d� line�rn� prostor $L$ kone�n� dimenze $n$ je
izomorfn� s $\R^n$. T�m izomorfismem jsou sou�adnice vzhledem k b�zi.

{\bf V�ta:} Ka�d� dva line�rn� prostory stejn� kone�n� dimenze jsou
vz�jemn� izomorfn�. (D�kaz plyne z vlastnost� izomorfismu.)

{\bf D�le�it�:} Z pohledu line�rn� algebry (vlastnost� vze�l�ch z
axiom� linearity) nen� mezi dv�ma izomorfn�mi line�rn�mi prostory
��dn� rozd�l. M��eme si vybrat, ve kter�m z t�chto dvou line�rn�ch
prostor� budeme algebraick� probl�m �e�it. Obvykle se probl�m �e��
v $\R^n$, kde m��eme vyu��t algoritmy souvisej�c� s maticemi.

\end
