\chyph \hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm \ifx\pdfoutput\undefined \else \pdfpagewidth=21cm \pdfpageheight=15cm \fi \font\logocvut=lev scaled400 \ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi \def\cislo{12} \headline={\setfonts[/10]\rm \ifnum\pageno>1 \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Olšák \quad}\else \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]} \footline={} \def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{% \setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. Viz p. d. 4/2010 }\vss}} \input ofs [a35] %\def\fomenc{CM} %\showfonts \end %\displayfontmessages \setfonts[NewCentury/17] \setmath[17/12/8] \baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip \message{\fontname\tenit} \medskipamount=9pt \let\ms=\medskip \parskip=\medskipamount \def\n#1\par{\vfill\break} \def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip} \def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip} \def\hb{\hfil\break} \def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}} \parindent=0pt \catcode`\*=13 \def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}} \let\em=\it \def\C{{\bf C}} \def\R{{\bf R}} \def\Q{{\bf Q}} \def\a{{A}} \def\A{{\bf A}} \def\B{{\bf B}} \def\D{{\bf D}} \def\E{{\bf E}} \def\P{{\bf P}} \def\L{{\bf L}} \def\U{{\bf U}} \def\X{{\bf X}} \def\ker{\mathop{\rm Ker}} \def\st{\mathop{\rm St}} \def\hod{\mathop{\rm hod}} \def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}} \def\lob<#1>{\langle #1\rangle} % =============================================================== \vglue .5cm \gg Změna báze \bigskip\bigskip * matice přechodu od báze k bázi * jak se změní souřadnice vektoru při změně báze? * jak se změní matice lineárního zobrazení při změně báze? * jak se změní matice transformace při změně báze? \n --------------------------------------------------------------- \g Matice přechodu {\bf Definice}: Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ a $(C)=(\vecc c_n)$ jsou dvě báze stejného lineárního prostoru $L$. Pak existuje jediná lineární transformace $\a: L\to L$, pro kterou je $$ \a(\vec b_i) = \vec c_i, \quad \forall i\in \{1,2,\ldots,n\} $$ Matice této lineární transformace vzhledem k bázi $(B)$ se nazývá {\em matice přechodu od báze $(B)$ k bázi $(C)$}. * Značení: $\P_{B\to C}$ je matice přechodu od $(B)$ k $(C)$. \n --------------------------------------------------------------- \g Vlastnosti matice přechodu * $\P_{B\to C}$ má v $i$-tém sloupci souřadnice vektoru $\vec c_i$\hb vzhledem k~bázi~$(B)$. * $(\vec c_1\ \vec c_2\ \ldots\ \vec c_n) = (\vec b_1\ \vec b_2\ \ldots\ \vec b_n) \cdot \P_{B\to C}$, * $\P_{B\to C}$ je matice identity vzhledem k bázím $(C)$ a $(B)$ * Pro každý vektor $\vec u\in L$ je $$ \P_{B\to C}\cdot \pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}} = \pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}}. $$ Pozor, je to opačně, než by odpovídalo názvu matice přechodu! \n ----------------------------------------------------------- \g Matice přechodu je regulární Platí: * $\P_{B\to C}$ je regulární. * $\P_{B\to C}\cdot \P_{C\to D} = \P_{B\to D}$ * $(\P_{B\to C})^{-1} = \P_{C\to B}$ Důkaz: Protože má matice $\P_{B\to C}$ lin. nezávislé sloupce, je regulární. Součin matic přechodu vyplývá z věty o matici složeného zobrazení. Je potřeba v tomto případě skládat identické zobrazení a jeho matice vzhledem k různým bázím. Konečně třetí puntík je důsledkem druhého. \n ----------------------------------------------------------- \g Příklad Jsou dány $(S)=(1, x, x^2)$ a $(C)=(x^2+x,\ x-1,\ x+2)$, dvě báze lineárního prostoru všech polynomů nejvýše druhého stupně. Najdeme matici přechodu $\P_{S\to C}$. Ta obsahuje ve sloupcích souřadnice bázových prvků $\vec c_i$ vzhledem k bázi $(S)$, tedy $$ \P_{S\to C} = \pmatrix {0&-1&2\cr 1&1&1\cr 1&0&0} $$ Jsou-li $(\alpha$, $\beta$, $\gamma)$ souřadnice polynomu $p$ vzhledem k $(C)$, pak $$ \pmatrix {0&-1&2\cr 1&1&1\cr 1&0&0} \cdot \pmatrix{\alpha\cr\beta\cr\gamma} = \pmatrix{-\beta+2\gamma\cr \alpha+\beta+\gamma\cr \alpha} $$ jsou souřadnice téhož polynomu vzhledem k bázi $(S)$, neboli $$p(x) = \alpha x^2 + (\alpha+\beta+\gamma)\,x -\beta+2\gamma. $$ \n ------------------------------------------------------------ \g Algoritmus pro sestavení matice přechodu * Matici přechodu $\P_{S\to B}$ od standardní báze $(S)$ k bázi $(B)$ sestavíme snadno: do sloupců zapíšeme souřadnice vektorů $\vec b_i$ vzhledem k bázi $(S)$. * Platí: $\P_{B\to C} = \P_{B\to S} \cdot \P_{S\to C} = (\P_{S\to B})^{-1} \cdot \P_{S\to C}$. * Protože $(\A\,|\,\B) \sim (\E\,|\,\A^{-1}\B)$, stačí napsat následující dvoublokovou matici a eliminovat: $$ (\P_{S\to B}^{\phantom1}\,|\,\P_{S\to C}) \sim (\E\,|\,\P_{S\to B}^{-1} \cdot \P_{S\to C}^{\phantom1}) = (\E\,|\,\P_{B\to C}). $$ V pravém bloku po eliminaci najdeme hledanou matici $\P_{B\to C}$ \n ----------------------------------------------------------- \g Příklad Jsou dány báze $(B)=(x^2+1, x^2+2, x+3)$ a $(C)=(x^2+x,\ x-1,\ x+2)$ lineárního prostoru polynomů nejvýše druhého stupně. Najdeme matici přechodu $\P_{B\to C}$. Zvolme bázi, vzhledem ke které se souřadnice dobře hledají, například $(S)=(1,x,x^2)$. Podle algoritmu z předchozí stránky sestavíme $(\P_{S\to B}\,|\,\P_{S\to C})$ a eliminujeme na tvar $(\E\,\|\,\P_{B\to C})$. $$ \def\|{\kern-7pt \vbox to 0pt{\vss\hbox{\vrule height 2ex depth.7ex}}\kern-7pt} \pmatrix{1&2&3&\|&0&-1&2\cr0&0&1&\|&1&1&1\cr1&1&0&\|&1&0&0} \sim \pmatrix{1&0&0&\|&5&4&1\cr 0&1&0&\|&-4&-4&-1\cr 0&0&1&\|&1&1&1} $$ V pravém bloku po eliminaci máme matici $\P_{B\to C}$. Známe-li souřadnice polynomu vzhledem k $(C)$, pak násobením maticí $\P_{B\to C}$ získáme souřadnice polynomu vzhledem k $(B)$. Kdybychom potřebovali ze souřadnice vzhledem k $(B)$ spočítat souřadnice vzhledem k~$(C)$, použijeme inverzní matici $(\P_{B\to C})^{-1}=\P_{B\to C}$. \n ----------------------------------------------------------- \g Změna matice zobrazení při změně báze Nechť $\A$ je matice zobrazení $\a: L_1\to L_2$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$. Nechť $\A'$ je matice téhož zobrazení, ovšem vzhledem k bázím $(B')$ a $(C')$. Pak $$ \P_{C'\to C} \cdot \A \cdot \P_{B\to B'} = \A' $$ Náčrt důkazu: $$ \displaylines{ \P_{C'\to C} \cdot \A \cdot \P_{B\to B'} \cdot \pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr \vec u\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B')$}} = \ \P_{C'\to C} \cdot \A \cdot \pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr \vec u\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}} = \cr \noalign{\bigskip} = \P_{C'\to C} \cdot \pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr \vec \a(u)\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}} = \pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr \vec \a(u)\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C')$}} } $$ \n ----------------------------------------------- \g Důsledky věty o změně matice Nechť $\A$ je matice zobrazení $\a: L_1\to L_2$ vzhledem k bázím $(B)$ a~$(C)$. Pak * $\P_{C'\to C}\cdot \A$ je matice zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(C')$. * $\A\cdot \P_{B\to B'}$ je matice zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B')$ a $(C)$. \bigskip Nechť $\A$ je matice transformace $\a: L\to L$ vzhledem k bázi $(B)$. Pak * $\P_{B'\to B}\cdot \A\cdot \P_{B\to B'}$ je matice transformace $\a$ vzhledem k bázi $(B')$, neboli: * $(\P_{B\to B'})^{-1}\cdot \A\cdot \P_{B\to B'}$ je matice transformace $\a$ vzhledem k~$(B')$. \n -------------------------------------------------- \g Příklad Nechť $\a(x_1,x_2,x_3) = (x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_1)$. Najdeme matici této transformace ke standardní bázi $(S)$. Dále najdeme matici této transformace vzhledem k bázi $(B)=((2,2,2),(3,3,0),(4,0,0))$. $$ \A_S = \pmatrix{1&1&0\cr 0&1&1\cr 1&0&1}, \quad \P_{S\to B} = \pmatrix {2&3&4\cr 2&3&0\cr 2&0&0}. $$ Matice $\A_B$ transformace $\a$ vzhledem k bázi $(B)$ spočítáme takto: $$ \A_B \ = \ \P_{B\to S}\cdot \A_S \cdot \P_{S\to B} \ = \ (\P_{S\to B})^{-1}\cdot \A_S \cdot \P_{S\to B} = \pmatrix {2&{3\over 2}&2\cr 0&0&-{4\over3}\cr 0&{3\over 4}&1} $$ \n --------------------------------------------------- \g Algoritmus: sestavení matice zobrazení \vskip-.5\baselineskip \g vzhledem k libovolným bázím Je dáno lineární zobrazení $\a: L_1\to L_2$. Najdeme matici tohoto zobrazení vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$. Nechť $(S)$ je báze $L_2$, vzhledem ke které se souřadnice dobře hledají. Sestavíme matici $(\P_{S\to C}\,\|\,\A_{B,S})$, ve které $\A_{B,S}$ značí matici zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B)$, $(S)$. Eliminujeme na tvar $(\E\,\|\,\X)$. Pak $\X$ je hledaná matice zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$. Proč? \ Je \ $(\P_{S\to C}\,\|\,\A_{B,S}) \sim (\E\,\|\,\P_{C\to S}\cdot\A_{B,S})$.\hb Přitom $\P_{C\to S}\cdot\A_{B,S}$ je maticí zobrazení $\A$ vzhledem k $(B)$ a $(C)$. Poznámka: matice $\P_{S\to C}$ a $\A_{B,S}$ lze sestavit snadno. \n ------------------------------------------------------ \g Příklad Je dáno zobrazení $\a: P_3\to P_2$, které derivuje polynomy nejvýše třetího stupně. Najdeme matici tohoto zobrazení vzhledem k: $$ (B) = (x^3+x+2, x^2+2x+3, x^2+2, x-1), \quad (C) = (x^2-x+1, x^2-x-1, x+4) $$ Zvolím $(S)=(x^2,x,1)$. To je báze, vzhledem ke které se souřadnice polynomů z~$P_2$ dobře hledají. Je: $$ \a(x^3+x+2) = 3x^2+1, \ \a(x^2+2x+3) = 2x+2, \ \a(x^2+2) = 2x, \ \a(x-1) = 1 $$ Sestavím matici $(\P_{S\to C}\,|\,\A_{B,S})$ a eliminuji: $$ \def\|{\kern-7pt \vbox to 0pt{\vss\hbox{\vrule height 2ex depth.7ex}}\kern-7pt} \pmatrix{1&1&0&\|&3&0&0&0\cr -1&-1&1&\|&0&2&2&0\cr 1&-1&4&\|&1&2&0&1}\sim \pmatrix{&\|&-4&-3&-4&{1\over2}\cr \quad\E\quad&\|&7&3&4&-{1\over2}\cr &\|&3&2&2&0} $$ Hledaná matice je v pravém bloku po eliminaci. \n ------------------------------------------------------- \g Příklad Je dána matice $\A'$ zobrazení vzhledem k bázím $(B)$ a $(S_2)$. Hledáme matici $\A$ zobrazení vzhledem k bázím $(S_1)$ a $(S_2)$. Jinými slovy: známe zobrazení $\a$ na bázi $(B)$ a hledáme vzorec, který udává hodnotu tohoto zobrazení v libovolném bodě. Například je známo $$ \a(1,1,2) = (1,0,1,0), \ \a(1,2,2) = (2,0,2,0), \ \a(2,1,5) = (1,2,2,1). $$ Řešení. Podle strany [9] je $\A = \A'\cdot\P_{B\to S_1} = \A'\cdot(\P_{S_1\to B})^{-1}$. Matici přechodu $\P_{S_1\to B}$ sestavíme snadno. Jde tedy o to ji invertovat a násobit zprava s danou maticí $\A'$. $$ \A = \pmatrix{1&2&1\cr0&0&2\cr1&2&2\cr0&0&1}\cdot \pmatrix{1&1&2\cr1&2&1\cr2&2&5}^{-1} = \pmatrix{0&1&0\cr-4&0&2\cr-2&1&1\cr-2&0&1} $$ \n ----------------------------------------------------- \g Příklad Nechť osa $o$ prochází počátkem a svírá s osou $x$ úhel $\alpha$. Najdeme matici osové soměrnosti podle osy $o$. Zvolíme bázi $(B)$ tak, aby vektor $\vec b_1$ ležel v ose $o$ a $\vec b_2$ byl na ní kolmý. Vzhledem k této bázi je matice osové souměrnosti rovna $$ \pmatrix {1 & 0 \cr 0 & -1} $$ Nyní provedeme přechod od báze $(B)$ k bázi $(S)$. Matice osové souměrnosti vzhledem k $(S)$ je $$ \P_{S\to B} \cdot \pmatrix {1 & 0 \cr 0 & -1} \cdot \P_{B\to S}, $$ $$ \P_{S\to B} = \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}, \quad \P_{S\to B} = \pmatrix {\cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha)\cr \sin(-\alpha) & \phantom{+}\cos(-\alpha)}, \quad $$ Srovnejte tento příklad se stranou 17 kapitoly \uv{matice zobrazení}. \n ------------------------------------------------------- \g Příklad Nechť $\a: L\to L$ je lineární transformace, která zobrazí bázi $(B)$ na bázi $(C)$. Víme, že matice přechodu $\P_{B\to C}$ je rovna matici této transformace $A$ vzhledem k bázi $(B)$. Jak vypadá matice stejné transformace vzhledem k bázi $(C)$? Řešení: Označme matici zobrazení $\a$ vzhledem k $(B)$ symbolem $\A_B$ a hledanou matici označme $\A_C$. Je $\A_B=\P_{B\to C}$. Podle důsledku ze strany [9] je $$ \A_C = (\P_{B\to C})^{-1}\cdot\A_B\cdot\P_{B\to c} = (\P_{B\to C})^{-1}\cdot\P_{B\to c}\cdot\P_{B\to c} = \P_{B\to c} $$ Ejhle, matice transformace $\a$ vzhledem k bázi $(C)$ je {\em stejná}, jako matice této transformace vzhledem k bázi $(B)$ a je to matice přechodu od $(B)$ k $(C)$. \end