\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi

\font\logocvut=lev scaled400

\ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi
\def\cislo{3}

\headline={\setfonts[/10]\rm
   \ifnum\pageno>1 
   \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Ol��k \quad}\else
   \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]}
\footline={}

\def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{%
\setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Ol��k, FEL �VUT, c) P. Ol��k 2010,
  d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. 
  Viz p. d. 4/2010
}\vss}}


\input ofs [a35] %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  \baselineskip=22pt

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}

% ===============================================================

\vglue 1cm

\gg Line�rn�\vadjust{\bigskip\bigskip}\hb (ne)z�vislost

\bigskip\bigskip

Skupiny, resp. mno�iny, vektor� mohou b�t
{\em line�rn� z�visl�\/} nebo {\em line�rn� nez�visl�}\dots

\n --------------------------------------------------------

\g Ode��t�n� vektor�, asociativita

M�sto, abychom psali zdlouhav�:  $\vec x + (-1)\cdot\vec y$,
p��eme stru�n�ji $\vec x - \vec y$.

Vektoru $-\vec y = (-1)\cdot\vec y$ ��k�me 
{\em opa�n� vektor k vektoru\/}~$\vec y$.

{\bf Pozorov�n�:} $\vec x - \vec x = \vec o$, proto�e\hb
$\vec x - \vec x = 1\cdot\vec x + (-1)\vec x = (1+(-1))\cdot\vec x =
0\cdot\vec x = \vec o$.

\bigskip

Dal�� zkr�cen� z�pisu:
Proto�e $(\vec x+\vec y)+\vec z = \vec x + (\vec y+\vec z)$,
tj. nez�le�� na po�ad� prov�d�n� operac�, budeme nad�le z�vorky
vynech�vat a ps�t jen $\vec x+\vec y+\vec z$.


\n ----------------------------------------------------------


\g Line�rn� kombinace

V�e, co s vektory m��eme d�lat je:

* n�sobit je konstantou

* s��tat je mezi sebou, neboli:

* tvo�it line�rn� kombinace.

{\bf Definice:} {\em Lin�rn� kombinace\/} vektor�
$\vecc x_n$ je vektor:
$$
  \alpha_1\cdot\vec x_1 + \alpha_2\cdot\vec x_2 + \cdots + \alpha_n\cdot\vec x_n
$$
Re�ln� ��sla $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ se naz�vaj�
{\em koeficienty line�rn� kombinace}.


\n -----------------------------------------------------------

\g Trivi�ln� line�rn� kombinace

{\bf Definice:} M�-li line�rn� kombinace v�echny koeficienty nulov�,
��k�me ji {\em trivi�ln�}. Trivi�ln� line�rn� kombinace vypad� takto:
$$
  0\vec x_1 + 0\vec x_2 + \cdots + 0\vec x_n
$$
M�-li line�rn� kombinace aspo� jeden koeficient nenulov�, ��k�me ji
{\em netrivi�ln�}.

{\bf Pozorov�n�:} Trivi�ln� line�rn� kombinace je rovna nulov�mu
vektoru.

Plyne to z axiomu (7) a z tvrzen�, �e $\vec x+\vec o=\vec x$.

\n ---------------------------------------------------------------

\g Line�rn� z�vislost, line�rn� nez�vislost

{\bf Definice:} Skupina vektor� $\vecc x_n$ je {\em line�rn� z�visl�},
pokud existuje jejich netrivi�ln� line�rn� kombinace rovna nulov�mu
vektoru. 

Skupina vektor� $\vecc x_n$ je {\em line�rn� nez�visl�}, pokud
neexistuje jejich netrivi�ln� line�rn� kombinace rovna nulov�mu
vektoru, tedy pokud jedin� jejich trivi�ln� line�rn� kombinace je
rovna nulov�mu vektoru, neboli pokud z rovnosti
$$
  \alpha_1\cdot\vec x_1 + \alpha_2\cdot\vec x_2 + \cdots + \alpha_n\cdot\vec x_n
  = \vec o
$$
nutn� plyne $\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n = 0$.

\n ---------------------------------------------------------------

\g P��klady

* v $\R^3$ jsou vektory
  $(1,2,3),(5,7,8),(3,3,2)$ line�rn� z�visl�

* v $\R^3$ jsou vektory
  $(1,2,3),(4,7,8),(3,4,2)$ line�rn� nez�visl�.

* v prostoru re�ln�ch funkc� jsou vektory
  $\sin (x), \cos(x), e^x$ line�rn� nez�visl�.

* v prostoru re�ln�ch funkc� jsou vektory
  $\sin^2 x, \cos^2 x, 3$ line�rn� z�visl�.

* v prostoru polynom� jsou vektory
  $x^2+x+1, x+2, x^2-1$ line�rn� z�visl�.

V�echny p��klady si ov��te podle definice.

\n --------------------------------------------------

\g Jin� pohled na line�rn� z�vislost

{\bf Tvrzen�:} Vektory $\vecc x_n$ jsou line�rn� z�visl� pr�v� kdy�
existuje aspo� jeden z nich, kter� je line�rn� kombinac� ostatn�ch.

D�kaz. 1. nech� jsou lin. z�visl�. Pak existuje jejich netrivi�ln�
lin. kombinace rovna nulov�mu vektoru, tj. aspo� jeden koeficient je
nenulov�, vyd�len�m t�mto koeficientem a p�enosem vektoru na druhou
stranu rovnosti zji��ujeme, �e vektor je line�rn� kombinac� ostatn�ch.

2. nech� existuje jeden vektor, kter� je line�rn� kombinac� ostatn�ch.
P�eneseme jej na druhou stranu rovnosti (ode�teme jej) a m�me netrivi�ln�
line�rn� kombinaci rovnou nulov�mu vektoru.

\n ------------------------------------------------------------

\g Procvi�ov�n� pochopen� definice

* Line�rn� (ne)z�vislost nen� podm�n�na po�ad�m vektor� ve skupin�.

* Skupina vektor�, v n�� se n�kter� vektor opakuje, je line�rn� z�visl�.

* Skupina vektor� obsahuj�c� nulov� vektor je line�rn� z�visl�.

* Skupina dvou vektor� je line�rn� z�visl� pr�v� kdy� jeden je
  n�sobkem druh�ho.

* P�id�n�m vektoru do line�rn� z�visl� skupiny se jej� z�vislost nezm�n�.

* Odebr�n�m vektoru z line�rn� nez�visl� skupiny se jej� nez�vislost
  nezm�n�.

\n --------------------------------------------------------------------

\g Z�vislost orientovan�ch �se�ek

* Dv� orientovan� �se�ky jsou line�rn� z�visl� pr�v� kdy� le�� ve spole�n�
  p��mce.

* T�i orientovan� �se�ky jsou line�rn� z�visl� pr�v� kdy� le�� ve
  spole�n� rovin�.

* �ty�i orientovan� �se�ky jsou z�visl� v�dy.

\n -------------------------------------------------------------

\g Z�vislost nekone�n�ch mno�in vektor�

{\bf Pravidlo:} V algeb�e pracujeme jen s kone�n�mi line�rn�mi
kombinacemi, tj. s��tanc� je v�dy kone�n� mnoho.

* Nekone�n� mno�ina $M$ vektor� je {\em line�rn� z�visl�}, pokud existuje
  jejich kone�n� line�rn� z�visl� podmno�ina, tj. existuj� vektory
  $\vecc x_n$ z mno�iny $M$ tak, �e jsou line�rn� z�visl�.

* Nekone�n� mno�ina $M$ vektor� je {\em line�rn� nez�visl�}, pokud ka�d�
  jej� kone�n� podmno�ina je line�rn� nez�visl�, jin�mi slovy
  neexistuje line�rn� z�visl� kone�n� podmno�ina. Je�t� jinak:
  neexistuje ��dn� vektor z $M$, kter� by se rovnal kone�n� line�rn�
  kombinaci ostatn�ch vektor�.

\n ----------------------------------------------------------------

\g P��klad nekone�n� lin. nez�visl� mno�iny

Mno�ina polynom� $\{1,x,x^2,x^3,x^4,\ldots\}$ je line�rn� nez�visl�.


\n ----------------------------------------------------------------

\g Line�rn� obal

{\bf Definice:} Line�rn� obal vektor� $\vecc x_n$ je mno�ina v�ech
jejich line�rn�ch kombinac�, tedy
$$
  \{\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \cdots + \alpha_n\vec x_n;\
    \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\in\R \}
$$
Line�rn� obal vektor� $\vecc x_n$ zna��me $\lob<\vecc x_n>$.

Line�rn� obal (kone�n� nebo nekone�n�) mno�iny vektor� $M$ je mno�ina
v�ech kone�n�ch line�rn�ch kombinac� vektor� z mno�iny~$M$. 
Line�rn� obal mno�iny $M$ zna��me $\lob<M>$.

{\bf Pozorov�n�:} $M\subseteq \lob<M>$.

\n -----------------------------------------------------------------

\g Geometrick� p�edstava line�rn�ho obalu

P�edpokl�dejme vektory z mno�iny orientovan�ch �se�ek se spole�n�m
po��tkem~$O$.

* Line�rn� obal jednoho nenulov�ho vektoru je mno�ina v�ech vektor�
  le��c�ch ve spole�n� p��mce.

* Line�rn� obal dvou line�rn� nez�visl�ch vektor� je mno�ina v�ech
  vektor� le��c�ch ve spole�n� rovin�.

* Line�rn� obal t�� line�rn� nez�visl�ch vektor� je mno�ina v�ech
  orientovan�ch �se�ek.

* Line�rn� obal (libovoln� mnoha) vektor� le��cich ve spole�n� rovin� 
  je mno�ina v�ech vektor� le��c�ch v t�to rovin�.

\n ------------------------------------------------------------

\g Obal obalu

{\bf V�ta:} $\lob<{\lob<M>}> = \lob<M>$, neboli:\hb
line�rn� obal line�rn�ho obalu u� nen� v�t�� ne� p�vodn� line�rn� obal.

D�kaz: Line�rn� kombinace line�rn�ch kombinac� vektor� z $M$ je po vyu�it�
distributivn�ho z�kona rovna p��mo line�rn� kombinaci vektor� z $M$
(rozepi�te si to).

\n ------------------------------------------------------------

\g Obal je podprostor

(1) Je-li $P$ line�rn�m obalem n�jak� mno�iny $M$, je $P$ line�rn� podprostor.

(2) $P$ je line�rn� podprostor pr�v� tehdy, kdy� $\lob<P>=P$.

(3) Line�rn� obal mno�iny $M$ je nejmen�� line�rn� podprostor obsahuj�c� $M$.

D�kazy: (1) Sou�et prvk� z obalu z�st�v� v obalu a $\alpha$-n�sobek
tak�. Proto�e line�rn� kombinace lin. kombinac� je p��mo lin. kombinace.

(2) Je-li $P$ line�rn� podprostor, pak v�echny line�rn� kombinace prvk�
z $P$ z�st�vaj� v $P$, tak�e $\lob<P>=P$. Obr�cen�: viz (1), sta�� zvolit $M=P$.

(3) Nech� $P=\lob<M>$ a $Q$ je podprostor obsahuj�c� $M$, tedy
$M\subseteq Q$. Je $P=\lob<M>\subseteq\lob<Q>=Q$, tak�e je $P$ 
nejmen��.

\n ---------------------------------------------------------------

\g Roz���en� line�rn� nez�visl� mno�iny

{\bf V�ta:} Je-li $N$ line�rn� nez�visl� mno�ina vektor� a
$z\not\in\lob<N>$, pak $N\cup\{\vec z\}$ je line�rn� nez�visl�.

D�kaz: Sporem. Nech� $N\cup\{\vec z\}$ je line�rn� z�visl�.
Pak existuje kone�n� mnoho $\vecc x_n\in N$ tak, �e
$$
  \alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \cdots + \alpha_n\vec x_n + 
  \alpha_{n+1}\vec z = \vec o,
$$
a p�itom aspo� jedno $\alpha_i$ je nenulov�.
Kdyby byla $\alpha_{n+1}=0$, m�me netrivi�ln� lin. kombinaci vektor�
nez�visl� mno�iny $N$ rovnu nulov�mu vektoru a to nen� mo�n�. Tak�e
mus� $\alpha_{n+1}\not=0$. Po vyd�len� $\alpha_{n+1}$ a p�eveden�
$\vec z$ na druhou stranu rovnosti je $\vec z$ line�rn� kombinac�
vektor� z $N$, co� je ve sporu s t�m, �e $z\not\in\lob<N>.$

\n ----------------------------------------------------------------

\g Redukce lin. nez�visl� mno�iny

{\bf V�ta:} Mno�ina $N$ je line�rn� nez�visl� pr�v� tehdy, kdy� ka�d� jej�
vlastn� podmno�ina m� men�� obal.

D�kaz: Nech� $N$ je nez�visl�. Nech� $N'\subset N$.
Vektor $\vec z\in N\setminus N'$ nen� lin. kombinac� prvk� z $N'$, proto�e
jinak by $N$ byla z�visl�. Nem��e tedy $\lob<N>=\lob<N'>$, proto�e v
takov�m p��pad� je $\vec z\in\lob<N'>$.

Nech� \ $N$ je z�visl�. Existuje jeden vektor $\vec z$, kter� je
lin. kombinac� ostatn�ch. Jeho odebr�n�m vznik� $N'$, kter� m� stejn�
lin. obal.

\end


