\chyph \hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm \ifx\pdfoutput\undefined \else \pdfpagewidth=21cm \pdfpageheight=15cm \fi \font\logocvut=lev scaled400 \ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi \def\cislo{14} \headline={\setfonts[/10]\rm \ifnum\pageno>1 \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Olšák \quad}\else \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]} \footline={} \def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{% \setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. Viz p. d. 4/2010 }\vss}} \input ofs [a35] %\def\fomenc{CM} %\showfonts \end %\displayfontmessages \setfonts[NewCentury/17] \setmath[17/12/8] \baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip \message{\fontname\tenit} \medskipamount=9pt \let\ms=\medskip \parskip=\medskipamount \def\n#1\par{\vfill\break} \def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip} \def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip} \def\hb{\hfil\break} \def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}} \parindent=0pt \catcode`\*=13 \def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}} \let\em=\it \def\C{{\bf C}} \def\R{{\bf R}} \def\Q{{\bf Q}} \def\a{{A}} \def\A{{\bf A}} \def\B{{\bf B}} \def\D{{\bf D}} \def\E{{\bf E}} \def\P{{\bf P}} \def\L{{\bf L}} \def\U{{\bf U}} \def\X{{\bf X}} \def\ker{\mathop{\rm Ker}} \def\st{\mathop{\rm St}} \def\hod{\mathop{\rm hod}} \def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}} \def\lob<#1>{\langle #1\rangle} % =============================================================== \vglue .5cm \gg Vlastní \gg číslo, vektor \bigskip\bigskip * motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění * invariantní podprostory * charakteristický polynom * báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší * podobnost s diagonální maticí \n --------------------------------------------------------------- \g Motivace Je dána transformace $A:\R^2\to\R^2$. Najdeme takovou přímku $p$ procházející počátkem, aby $A(p) = p$. $$ p = \{t\vec u;\, t\in\R\}, \qquad A(p) = \{A(t\vec u);\, t\in\R\} = \{t\,A(\vec u);\, t\in\R\} $$ Musí tedy existovat $\lambda\in\R$ tak, aby $A(\vec u) = \lambda\vec u$. Přitom $\vec u$ musí být nenulový vektor. Zvolme v $R^2$ nějakou bázi (např. standardní). Nechť ${\bf x}$ jsou souřadnice $\vec u$ vzhledem k této bázi a $\A$ je matice transforamce $A$ vzhledem k této bázi. Pak musí $$ \A{\bf x} = \lambda{\bf x},\quad {\bf x}\not = {\bf o}, \quad \hbox{tj.}\quad (\A-\lambda\E)\,{\bf x} = {\bf o},\quad {\bf x}\not = {\bf o} $$ Takže matice $\A-\lambda\E$ musí být singulární, neboli $\det(\A-\lambda\E)=0$. Číslu $\lambda$ budeme říkat {\em vlastní číslo\/} a vektoru $\vec u$ říkáme {\em vlastní vektor} transformace $A$ příslušející vlastnímu číslu $\lambda$. \n ---------------------------------------------------------- \g Vlastní čísla jsou i komplexní Kvadratická rovnice $\det(\A-\lambda\E)=0$ (viz předchozí motivační příklad) může ale nemusí mít reálné kořeny. Pokud má dva různé reálné kořeny, pak existují dva směry, které transformace $A$ nemění. Tj. existují dvě přímky, pro které je $A(p) = p$. Například zkosení, které $(1,0)$ nechá beze změny a $(0,1)$ zobrazí na $(1,1/2)$. Pokud jsou kořeny rovnice $\det(\A-\lambda\E)=0$ komplexní, pak neexistují přímky, pro které je $A(p) = p$ (například rotace). Pokud bychom chtěli najít vlastní vektory příslušející komplexním vlastním číslům, budou mít komplexní souřadnice. Je tedy potřeba pracovat s~lineárním prostorem nad komplexními čísly. Budeme potřebovat záruku existence vlastních čísel. Budeme tedy muset připustit komplexní vlastní čísla a pracovat s lineární prostorem $L$ nad $\C$. \n --------------------------------------------------------- \g Invariantní podprostor Nechť $A: L\to L$ je lineární transformace. Podprostor $P\subset L$, pro který platí $A(P) = P$ nazýváme {\em invariantní podprostor} vzhledem k~$A$. {\bf Předběžná úvaha}: Je-li $L$ lineární prostor nad $\C$, pak zaručeně existují vlastní čísla $\lambda\in\C$, pro která je $\,A(\vec x) = \lambda\vec x$, $\vec x\not=\vec o$. Společně s nulovým vektorem tvoří všechny vlastní vektory příslušející pevně vybranému vlastnímu číslu~$\lambda$ invariantní podprostor. Je-li $\,L$ lineární prostor nad $\R$, pak kromě $\{\vec o\}$ a $L$ další invariantní podprostory vzhledem k $\,A$ nemusejí existovat: vlastní čísla mohou být jen komplexní. Například $A$ je rotace. \n ----------------------------------------------------------- \g Vlastní číslo, vlastní vektor matice {\bf Definice}: Nechť $\A$ je čtvercová matice typu $(n,n)$ reálných nebo komplexních čísel. Číslo $\lambda\in\C$ se nazývá {\em vlastním číslem matice $\A$}, pokud existuje vektor ${\bf x}\in \C^{n,1}$, ${\bf x}\not={\bf o}$, takový, že $\A\cdot{\bf x} = \lambda\,{\bf x}$. Vektor ${\bf x}$, který splňuje uvedenou rovnost, se nazývá {\em vlastní vektor matice $\A$ příslušný vlastnímu číslu~$\lambda$}. {\bf Pozorování}: Z rovnosti $\A\cdot{\bf x} = \lambda\,{\bf x}$ plyne $(\A - \lambda\E)\,{\bf x} = {\bf o}$. Protože z~definice musí ${\bf x}\not={\bf o}$, je třeba, aby soustava měla nenulové řešení, tedy musí $\det(\A - \lambda\E) = 0$. {\bf Definice}: Polynom v proměnné $\lambda$ tvaru $\det(\A - \lambda\E)$ se nazývá {\em charakteristický polynom matice $\A$}. {\bf Pozorování}: Charakteristický polynom je stupně $n$ a jeho kořeny jsou vlastní čísla matice $\A$. Matice $\A$ má tedy (včetně násobností) $n$ vlastních čísel. \n ---------------------------------------------------------------- \g Vlastní číslo, vlastní vektor transformace {\bf Definice}: Nechť $L$ je lineární prostor konečné dimenze nad $\C$ a nechť $\a:L\to L$ je lineární transformace. Číslo $\lambda\in\C$ se nazývá {\em vlastním číslem transformace~$\a$}, pokud existuje vektor $\vec x\in L$, $\vec x\not=\vec o$ takový, že $\a(\vec x) = \lambda\,\vec x$. Vektor $\vec x$, který splňuje uvedenou rovnost, se nazývá {\em vlastní vektor transformace $\a$ příslušný vlastnímu číslu $\lambda$}. {\bf Pozorování}: Vlastní číslo transformace $A$ je stejné jako vlastní číslo její matice $\A$ vzhledem k jakékoli bázi $(B)$. Vlastní vektor matice $\A$ pak obsahuje souřadnice vlastního vektoru transformace $A$ vzhledem k bázi $(B)$. {\bf Důsledek:} Všechny matice stejné lineární transformace (vzhledem k různým bázím) mají shodná vlastní čísla (mají shodné spektrum). \n ------------------------------------------------------------- \g Příklad Je dána matice $$ \A=\pmatrix{5 & -2 & 2 \cr -1 & 4 & -1 \cr -4 & 4 & -1 \cr}. $$ Najdeme její vlastní čísla a k nim příslušející vlastní vektory. $$ \det\pmatrix{5-\lambda & -2 & 2 \cr -1 & 4-\lambda & -1 \cr -4 & 4 & -1-\lambda \cr} = %(5-\lambda)(4-\lambda)(-1-\lambda)-16- % \bigl(-4(4-\lambda) -4(5-\lambda) +2(-1-\lambda)\bigr) = -\lambda^3-8\lambda^2+21\lambda-18 = -(\lambda-3)^2\,(\lambda-2) $$ Toto je charakteristický polynom matice $\A$. Má dvojnásobný kořen $\lambda=3$ a jednonásobný kořen $\lambda=2$. Tyto kořeny jsou vlastní čísla matice $\A$. Najdeme ještě vlastní vektory příslušející vlastním číslům $3$ a $2$\dots \n ---------------------------------------------------- \g Příklad, pokračování \vskip-.5\baselineskip $$ \eqalign{ \lambda = 3:& \qquad \pmatrix{5-3 & -2 & 2 \cr -1 & 4-3 & -1 \cr -4 & 4 & -1-3 \cr} \sim \pmatrix {1 & -1 & \ 1}, \cr \noalign{ \medskip \hbox to.98\hsize{takže k $\lambda = 3$ přísluší vlastní vektory z $\lob<(1,1,0),(-1,0,1)>$.\hss} \bigskip } \lambda = 2:& \qquad \pmatrix{5-2 & -2 & 2 \cr -1 & 4-2 & -1 \cr -4 & 4 & -1-2 \cr} \sim \pmatrix {-1 & 2 & -1 \cr 0 & \ 4 & -1 \cr}. \cr \noalign{ \medskip \hbox{takže k $\lambda = 2$ přísluší vlastní vektory z $\lob<(-2,1,4)>$.} \medskip } } $$ Pro vlastní čísla a vlastní vektory platí např. následující vztahy: $$ \!\pmatrix{5 & -2 & 2 \cr -1 & 4 & -1 \cr -4 & 4 & -1 \cr}\!\pmatrix{1\cr1\cr0} = 3\!\pmatrix{1\cr1\cr0}, \pmatrix{5 & -2 & 2 \cr -1 & 4 & -1 \cr -4 & 4 & -1 \cr}\!\pmatrix{\!-2\cr1\cr4} = 2\!\pmatrix{\!-2\cr1\cr4}\! $$ \n ---------------------------------------------------------- \g Jiný příklad \vskip-.5\baselineskip $$ \hbox{Je dána matice}\quad \B=\pmatrix{ 2 & 4 & -3 \cr -1 & 10 & -6 \cr -1 & 8 & -4 \cr}. $$ Její charakteristický polynom je $$\det(\B-\lambda\E) =-\lambda^3-8\lambda^2+21\lambda-18 = \,-\,(\lambda-3)^2\,(\lambda-2). $$ Hledáme vlastní vektory příslušející vlastním číslům $3$ a $2$: $$ \eqalign{ \lambda=3:&\quad \pmatrix{ 2-3 & 4 & -3 \cr -1 & 10-3 & -6 \cr -1 & 8 & -4-3 \cr} \sim \pmatrix{ -1 & \ 4 & -3 \cr 0 & 1 & -1 \cr} \quad \matrix {\hbox{vlastní }\cr\noalign{\vskip-3pt}\hbox{vektor:}\cr (1,1,1)\cr} \cr \noalign{\bigskip} \lambda=2:&\quad \pmatrix{ 2-2 & 4 & -3 \cr -1 & 10-2 & -6 \cr -1 & 8 & -4-2 \cr} \sim \pmatrix { -1 & \ 8 & -6 \cr 0 & 4 & -3 \cr} \quad \matrix {\hbox{vlastní }\cr\noalign{\vskip-3pt}\hbox{vektor:}\cr (0,3,4)\cr} } $$ $\B$ má stejná vlastní čísla jako $\A$, ale jiné invariantní prostory. \n -------------------------------------------------------- \g Podobné matice {\bf Idea}: Jak se \uv{podobají} matice $\A$ a $\A'$ stejné lineární transformace~$A$, jen vzhledem k různým bázím $(B)$ a $(B')$? Platí: $$ \A' = (\P_{B\to B'})^{-1} \cdot \A\cdot \P_{B\to B'} $$ To nás ispiruje k následující {\bf Definici}: Říkáme, že dvě čtvercové matice $\A$, $\B\in\R^{n,n}$ jsou {\em podobné}, pokud existuje regulární matice $\P\in\R^{n,n}$ taková, že $$ \B = \P^{-1}\cdot\A\cdot\P. $$ {\bf Pozorování1}: podobnost je relace ekvivalence. {\bf Pozorování2}: podobné matice mají stejná vlastní čísla. \n ------------------------------------------------------- \g Podobné matice mají stejný char. polynom {\bf Tvrzení}: Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. Důkaz: Nechť $\B=\P^{-1}\A\P $ je matice podobná s $\A$. Je $$\eqalign{ \det\, (\P^{-1}\A\P - \lambda\,\E) &= \det\, (\P^{-1}\A\P - \lambda\,\P^{-1}\E\P) =\cr &= \det\, (\P^{-1}\A\P - \P^{-1}\lambda\,\E\P) =\cr &= \det\, (\P^{-1}\,(\A-\lambda\,\E)\,\P) =\cr &= \det \P^{-1}\,\det\, (\A-\lambda\,\E)\, \det\P = \det\, (\A-\lambda\,\E).\cr} $$ {\bf Upozornění}: Obrácené tvrzení \uv{mají-li dvě matice stejný charakteristický polynom, pak jsou podobné} neplatí. Za chvíli ukážeme, že matice $\A$ a $\B$ z předchozích příkladů nejsou podobné. \n ------------------------------------------------------- \g Podobnost s diagonální maticí {\bf Úloha}: Budeme se ptát, za jakých podmínek je čtvercová matice~$\A$ podobná s diagonální maticí tvaru: $$ \D = \pmatrix {\lambda_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \cr 0 & \lambda_2 & 0 & \ldots & 0 \cr 0 & 0 & \lambda_3 & \ldots & 0 \cr \noalign{\hbox to 10em{ \dotfill\quad}} 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda_n}. $$ Jiný pohled na úlohu: je dána transformace $A$ svou maticí $\A$ vzhledem k nějaké bázi. Ptáme se, zda existuje jiná báze, vzhledem ke které je matice transformace $A$ diagonální. Ptáme se tedy, zda lze vhodnou volbou báze co nejvíce zjednodušit matici transformace až na diagonální tvar. Pokud se to povede, pak z pohledu takové báze je transformace $A$ jen změnou měřítka ve směrech vektorů báze (resp. projekce). \n ------------------------------------------------------ \g Rovnost $\setmath[//] \A\cdot\P\ =\ \P\cdot\D$ {\bf Věta}: Nechť $\A$, $\P$ a $\D$ jsou čtvercové matice typu $(n,n)$, nechť $\P$ obsahuje nenulové sloupce a nechť $\D$ je diagonální. Pak platí $$ \A\cdot\P\ =\ \P\cdot\D $$ právě tehdy, když $\D$ obsahuje vlastní čísla matice $\A$ a $i$-tý sloupec matice $\P$ obsahuje vlastní vektor příslušející $i$-tému vlastnímu číslu v $\D$. Důkaz: Nechť $\D$ obsahuje na diagonále čísla $\lambda_i$. Roznásobením rovnosti $\A\cdot\P = \P\cdot\D$ po sloupcích matice $\P=({\bf p}_1,{\bf p}_2,\ldots,{\bf p}_n)$ dostáváme rovnosti $\A\cdot{\bf p}_i = \lambda_i\,{\bf p}_i$. Tyto rovnosti platí právě když $\lambda_i$ je vlastní číslo matice $\A$ a ${\bf p}_i$ je k němu příslušející vlastní vektor. {\bf Pozorování}: Kdyby byla $\P$ regulární, pak $\P^{-1}\A\P=\D$, takže $\A$ bude podobná s diagonální maticí. \n ------------------------------------------------------ \g Podmínka podobnosti s diagonální maticí {\bf Tvrzení}: Matice $\A$ typu $(n,n)$ je podobná s diagonální maticí právě když má $n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů. Skutečně, stačí tyto vektory napsat do sloupců matice $\P$, dále sestavit diagonální matici $\D$ z odpovídajících vlastních čísel a platí rovnost z předchozí strany. {\bf Věta}: Různá vlastní čísla mají lineárně nezávislé vlastní vektory. Důkaz: technický, viz skriptum. {\bf Důsledek}: Má-li matice $\A$ pouze jednonásobná vlastní čísla (těch je $n$ a jsou vzájemně různá), pak je podobná s diagonální maticí. {\bf Upozornění}: Obrácené tvrzení \uv{$\A$ je podobná s diagonální, pak má vzájemně různá vlastní čísla} neplatí. Např. $\E$ má $n$-násobné vlastní číslo~1 a je přímo rovna diagonální matici. \n --------------------------------------------------------- \g Příklad Matice $\A$ z předchozího příkladu je podobná s diagonální. Má tři lineárně nezávislé vlastní vektory, např. $$ (1,1,0),\ (-1,0,1),\ (-2,1,4). $$ Tudíž platí $$ \pmatrix{1&-1&-2\cr1&0&1\cr0&1&4}^{-1}\!\cdot \pmatrix{5 & -2 & 2 \cr -1 & 4 & -1 \cr -4 & 4 & -1 \cr}\cdot \pmatrix{1&-1&-2\cr1&0&1\cr0&1&4} = \pmatrix{3&0&0\cr0&3&0\cr0&0&2} $$ Matice $\B$ z předchozího příkladu není podobná s diagonální, protože nemá tři lineárně nezávislé vlastní vektory. Takže: matice $\A$ a $\B$ nejsou vzájemně podobné, ačkoli mají stejný charakteristický polynom a stejná vlastní čísla. \n ------------------------------------------------------------ \g Příklad: změna báze Matice $\A$ z předchozího příkladu odpovídá transformaci: $$ \eqalign{ x' =&\ \phantom{{}+{}}5x - 2y + 2z\cr y' =&\ \phantom1-x + 4y \phantom1-z\cr z' =&\ -4x + 4y \phantom1-z } $$ Vzhledem k bázi $(C)=((1,1,0),\ (-1,0,1),\ (-2,1,4))$ má tatáž transformace diagonální matici $$ \D = \pmatrix{3&0&0\cr0&3&0\cr0&0&2} $$ takže v této bázi se souřadnice obrazu počítají takto: $$ x' = 3x, \quad y' = 3y, \quad z' = 2z. $$ \n ------------------------------------------------------------ \g Nutná podmínka podobnosti \vskip-.5\baselineskip \g s diagonální maticí Dá se ukázat, že dimenze nulového prostoru matice $\A-\lambda\E$ je vždy menší nebo rovna násobnosti vlastního čísla $\lambda$. Matice $\A$ typu $(n,n)$ je podobná s diagonální právě když má $n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů. To znamená, že má-li $k$~násobné vlastní číslo $\lambda$, musí mu příslušet $k$ lineárně nezávislých vektorů, neboli dimenze nulového prostoru matice $\A-\lambda\E$ musí být přesně rovna $k$. Pokud tedy pro každé vícenásobné vlastní číslo $\lambda$ je dimenze nulového prostoru matice $\A-\lambda\E$ přesně rovna násobnosti tohoto vlastního čísla, je matice $\A$ podobná s diagonální maticí. \n ------------------------------------------------------------- \g Jordanův kanonický tvar Dá se ukázat, že každá matice $\A$ je podobná aspoň se \uv{skoro diagonální} maticí tvaru: $$ {\bf J} = \pmatrix {{\bf J}_1&{\bf O}&\ldots&{\bf O}\cr {\bf O}&{\bf J}_2&\ldots&{\bf O}\cr &&\ldots&\cr{\bf O}&{\bf O}&\ldots&{\bf J}_m}, \quad \hbox{kde}\quad {\bf J}_i = \pmatrix {\lambda_i& 1& 0&\ldots&0\cr 0&\lambda_i&1&\ldots&0\cr &&&\ldots&\cr 0&0&0&\ldots&1\cr 0&0&0&\ldots&\lambda_i} $$ Čísla $\lambda_i$ jsou vlastní čísla matice $\A$. Matici ${\bf J}$ se říká {\em Jordanův kanonický tvar matice $\A$}. Na diagonále matice ${\bf J}$ se objeví každé vlastní číslo tolikrát, kolik je jeho násobnost. Dimenze nulového prostoru matice $\A-\lambda\E$ odpovídá počtu Jordanových bloků ${\bf J}_i$ se stejným vlastním číslem $\lambda$. Takže tyto Jordanovy bloky se mohou pro stejné (vícenásobné) vlastní číslo opakovat. \n -------------------------------------------------- \g Cvičení * Vysvětlete, proč $\det\A$ je roven součinu vlastních čísel matice~$\A$. * Vysvětlete, proč $\det\A$ je roven absolutnímu členu charakteristického polynomu matice $\A$. * Předpokládejte $\A$ matici podobnou s diagonální. Když do charakteristického polynomu matice $\A$ místo $\lambda$ zapíšete matici $\A$, dostáváte nulovou matici. Proč? * Předchozí tvrzení patí i pro matice, které nejsou podobné s diagonální maticí. \end