\chyph

\input utf8off

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi

\font\logocvut=lev scaled400

\ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi
\def\cislo{14}

\headline={\setfonts[/10]\rm
   \ifnum\pageno>1 
   \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Ol��k \quad}\else
   \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]}
\footline={}

\def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{%
\setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Ol��k, FEL �VUT, c) P. Ol��k 2010, 2013
  d) BI-LIN, e) L, f) 2012/2013, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. 
  Viz p. d. 4/2010
}\vss}}

\input ofs [a35]  %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  
\baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\a{{A}}
\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\D{{\bf D}}
\def\E{{\bf E}}
\def\P{{\bf P}}
\def\L{{\bf L}}
\def\U{{\bf U}}
\def\X{{\bf X}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}

% ===============================================================

\vglue .5cm

\gg Vlastn�

\gg ��slo, vektor

\bigskip\bigskip

* motivace: sm�r p��mky, kterou lin. transformace nezm�n�

* invariantn� podprostory

* charakteristick� polynom

* b�ze, vzhledem ke kter� je matice transformace nejjednodu���

* podobnost s diagon�ln� matic�


\n ---------------------------------------------------------------


\g Motivace

Je d�na transformace $A:\R^2\to\R^2$. Najdeme takovou p��mku
$p$ proch�zej�c� po��tkem, aby $A(p) = p$.
$$
p = \{t\vec u;\, t\in\R\}, \qquad
A(p) = \{A(t\vec u);\, t\in\R\} = \{t\,A(\vec u);\, t\in\R\}
$$
Mus� tedy existovat $\lambda\in\R$ tak, aby $A(\vec u) = \lambda\vec u$.
P�itom $\vec u$ mus� b�t nenulov� vektor.

Zvolme v $R^2$ n�jakou b�zi (nap�. standardn�). Nech� ${\bf x}$ jsou
sou�adnice $\vec u$ vzhledem k t�to b�zi a $\A$ je matice transforamce
$A$ vzhledem k t�to b�zi. Pak mus�
$$
\A{\bf x} = \lambda{\bf x},\quad {\bf x}\not = {\bf o}, \quad \hbox{tj.}\quad
(\A-\lambda\E)\,{\bf x} = {\bf o},\quad {\bf x}\not = {\bf o} 
$$
Tak�e matice $\A-\lambda\E$ mus� b�t singul�rn�, neboli
$\det(\A-\lambda\E)=0$.

��slu $\lambda$ budeme ��kat {\em vlastn� ��slo\/} a vektoru $\vec u$ ��k�me
{\em vlastn� vektor} transformace $A$ p��slu�ej�c� vlastn�mu ��slu
$\lambda$.


\n ----------------------------------------------------------

\g Vlastn� ��sla jsou i komplexn�

Kvadratick� rovnice $\det(\A-\lambda\E)=0$ (viz p�edchoz� motiva�n�
p��klad) m��e ale nemus� m�t re�ln� ko�eny. Pokud m� dva r�zn� re�ln� 
ko�eny, pak existuj� dva sm�ry, kter� transformace $A$
nem�n�. Tj. existuj� dv� p��mky, pro kter� je $A(p) = p$. 
Nap��klad zkosen�, kter� $(1,0)$ nech� beze zm�ny a 
$(0,1)$ zobraz� na $(1,1/2)$.

Pokud jsou ko�eny rovnice $\det(\A-\lambda\E)=0$ komplexn�, pak
neexistuj� p��mky, pro kter� je $A(p) = p$ (nap��klad rotace). 
Pokud bychom cht�li naj�t vlastn� vektory p��slu�ej�c� komplexn�m 
vlastn�m ��sl�m, budou m�t komplexn� sou�adnice. Je tedy pot�eba 
pracovat s~line�rn�m prostorem nad komplexn�mi ��sly.

Budeme pot�ebovat z�ruku existence vlastn�ch ��sel. Budeme tedy muset
p�ipustit komplexn� vlastn� ��sla a pracovat s line�rn� prostorem 
$L$ nad $\C$.


\n ---------------------------------------------------------

\g Invariantn� podprostor

Nech� $A: L\to L$ je line�rn� transformace. Podprostor $P\subset L$,
pro kter� plat� $A(P) = P$ naz�v�me {\em invariantn� podprostor} 
vzhledem k~$A$.

{\bf P�edb�n� �vaha}:

Je-li $L$ line�rn� prostor nad $\C$, pak zaru�en� existuj� vlastn�
��sla $\lambda\in\C$, pro kter� je $\,A(\vec x) = \lambda\vec x$,
$\vec x\not=\vec o$.
Spole�n� s nulov�m vektorem tvo�� v�echny vlastn� vektory
p��slu�ej�c� pevn� vybran�mu vlastn�mu ��slu~$\lambda$ invariantn� podprostor.

Je-li $\,L$ line�rn� prostor nad $\R$, pak krom� $\{\vec o\}$ a $L$
dal�� invariantn� podprostory vzhledem k $\,A$ nemusej� existovat: vlastn� ��sla mohou b�t
jen komplexn�. Nap��klad $A$ je rotace.


\n -----------------------------------------------------------

\g Vlastn� ��slo, vlastn� vektor matice

{\bf Definice}: Nech� $\A$ je �tvercov� matice typu $(n,n)$ re�ln�ch nebo komplexn�ch
��sel. ��slo $\lambda\in\C$ se
naz�v� {\em vlastn�m ��slem matice $\A$}, pokud existuje vektor ${\bf x}\in
\C^{n,1}$, ${\bf x}\not={\bf o}$, takov�, �e $\A\cdot{\bf x} = \lambda\,{\bf x}$.
Vektor ${\bf x}$, kter� spl�uje uvedenou rovnost, se naz�v� {\em
vlastn� vektor matice $\A$ p��slu�n� vlastn�mu ��slu~$\lambda$}.

{\bf Pozorov�n�}: Z rovnosti $\A\cdot{\bf x} = \lambda\,{\bf x}$ plyne
$(\A - \lambda\E)\,{\bf x} = {\bf o}$. Proto�e z~definice mus� 
${\bf x}\not={\bf o}$, je t�eba, aby soustava m�la nenulov� �e�en�,
tedy mus� $\det(\A - \lambda\E) = 0$.

{\bf Definice}: Polynom v prom�nn� $\lambda$ tvaru $\det(\A - \lambda\E)$
se naz�v� {\em charakteristick� polynom matice $\A$}. 

{\bf Pozorov�n�}: Charakteristick� polynom je stupn� $n$ a jeho 
ko�eny jsou vlastn� ��sla matice $\A$. Matice $\A$ m� tedy (v�etn�
n�sobnost�) $n$ vlastn�ch ��sel.

\n ----------------------------------------------------------------

\g Vlastn� ��slo, vlastn� vektor transformace

{\bf Definice}:
Nech� $L$ je line�rn� prostor kone�n� dimenze nad $\C$ a
nech� $\a:L\to L$ je line�rn� transformace. ��slo $\lambda\in\C$ se
naz�v� 
{\em vlastn�m ��slem transformace~$\a$}, pokud existuje vektor $\vec x\in L$,
$\vec x\not=\vec o$ takov�, �e $\a(\vec x) = \lambda\,\vec x$.
Vektor $\vec x$, kter� spl�uje uvedenou rovnost, se naz�v� {\em
vlastn� vektor transformace $\a$ p��slu�n� vlastn�mu ��slu $\lambda$}.

{\bf Pozorov�n�}: Vlastn� ��slo transformace $A$ je stejn� jako vlastn�
��slo jej� matice $\A$ vzhledem k jak�koli b�zi $(B)$. Vlastn� vektor
matice $\A$ pak obsahuje sou�adnice vlastn�ho vektoru transformace $A$ 
vzhledem k b�zi $(B)$.

{\bf D�sledek:} V�echny matice stejn� line�rn� transformace (vzhledem
k r�zn�m b�z�m) maj� shodn� vlastn� ��sla (maj� shodn� spektrum).


\n -------------------------------------------------------------

\g P��klad

Je d�na matice
$$
  \A=\pmatrix{5 & -2 & 2  \cr
            -1 &  4 & -1 \cr
            -4 &  4 & -1 \cr}.
$$
Najdeme jej� vlastn� ��sla a k nim p��slu�ej�c� vlastn� vektory.
$$
  \det\pmatrix{5-\lambda & -2 & 2  \cr
            -1 &  4-\lambda & -1 \cr
            -4 &  4 & -1-\lambda \cr} = 
%(5-\lambda)(4-\lambda)(-1-\lambda)-16-
%  \bigl(-4(4-\lambda) -4(5-\lambda) +2(-1-\lambda)\bigr) = 
 -\lambda^3+8\lambda^2-21\lambda+18 =
 -(\lambda-3)^2\,(\lambda-2)
$$ 
Toto je charakteristick� polynom matice $\A$. M� dvojn�sobn� ko�en
$\lambda=3$ a jednon�sobn� ko�en $\lambda=2$. Tyto ko�eny jsou vlastn�
��sla matice $\A$. 

Najdeme je�t� vlastn� vektory p��slu�ej�c� vlastn�m ��sl�m $3$ a $2$\dots


\n ----------------------------------------------------

\g P��klad, pokra�ov�n�

\vskip-.5\baselineskip
$$
  \eqalign{
  \lambda = 3:& \qquad
    \pmatrix{5-3 & -2 & 2  \cr
         -1 &  4-3 & -1 \cr
         -4 &  4 & -1-3 \cr} 
   \sim \pmatrix {1 & -1 & \ 1}, \cr \noalign{
\medskip
\hbox to.98\hsize{tak�e k $\lambda = 3$ p��slu�� vlastn� vektory z
  $\lob<(1,1,0),(-1,0,1)>$.\hss}
\bigskip
}
   \lambda = 2:& \qquad
  \pmatrix{5-2 & -2 & 2  \cr
         -1 &  4-2 & -1 \cr
         -4 &  4 & -1-2 \cr}
   \sim \pmatrix {-1 & 2  & -1 \cr
           0  & \ 4  & -1 \cr}. \cr \noalign{
\medskip
\hbox{tak�e k $\lambda = 2$ p��slu�� vlastn� vektory z
  $\lob<(-2,1,4)>$.}
\medskip
}
}
$$
Pro vlastn� ��sla a vlastn� vektory plat� nap�. n�sleduj�c� vztahy:
$$
  \!\pmatrix{5 & -2 & 2  \cr
            -1 &  4 & -1 \cr
            -4 &  4 & -1 \cr}\!\pmatrix{1\cr1\cr0} = 3\!\pmatrix{1\cr1\cr0},
  \pmatrix{5 & -2 & 2  \cr
            -1 &  4 & -1 \cr
            -4 &  4 & -1 \cr}\!\pmatrix{\!-2\cr1\cr4} = 2\!\pmatrix{\!-2\cr1\cr4}\!
$$

\n ----------------------------------------------------------

\g Jin� p��klad

\vskip-.5\baselineskip
$$
\hbox{Je d�na matice}\quad  \B=\pmatrix{ 2 &  4 & -3 \cr
             -1 & 10 & -6 \cr
             -1 &  8 & -4 \cr}.
$$
Jej� charakteristick� polynom je 
$$\det(\B-\lambda\E) =-\lambda^3+8\lambda^2-21\lambda+18 =
 \,-\,(\lambda-3)^2\,(\lambda-2).
$$
Hled�me vlastn� vektory p��slu�ej�c� vlastn�m ��sl�m $3$ a $2$:
$$
\eqalign{
  \lambda=3:&\quad
  \pmatrix{ 2-3 &  4 & -3 \cr
             -1 & 10-3 & -6 \cr
             -1 &  8 & -4-3 \cr} \sim
  \pmatrix{ -1 &  \ 4 & -3 \cr
            0 & 1 & -1 \cr} \quad
  \matrix {\hbox{vlastn� }\cr\noalign{\vskip-3pt}\hbox{vektor:}\cr
           (1,1,1)\cr}
  \cr \noalign{\bigskip}
  \lambda=2:&\quad
  \pmatrix{ 2-2 &  4 & -3 \cr
             -1 & 10-2 & -6 \cr
             -1 &  8 & -4-2 \cr} \sim
  \pmatrix {  -1 & \ 8 & -6 \cr
              0 & 4 & -3 \cr} \quad
  \matrix {\hbox{vlastn� }\cr\noalign{\vskip-3pt}\hbox{vektor:}\cr
           (0,3,4)\cr}
}
$$
$\B$ m� stejn� vlastn� ��sla jako $\A$, ale jin�
invariantn� prostory.
 
\n --------------------------------------------------------

\g Podobn� matice

{\bf Idea}: Jak se \uv{podobaj�} matice $\A$ a $\A'$ stejn� line�rn�
transformace~$A$, jen vzhledem k r�zn�m b�z�m $(B)$ a $(B')$? 
Plat�:
$$
  \A' = (\P_{B\to B'})^{-1} \cdot \A\cdot \P_{B\to B'}
$$
To n�s ispiruje k n�sleduj�c�

{\bf Definici}: ��k�me, �e dv� �tvercov� matice $\A$, $\B\in\R^{n,n}$
jsou {\em podobn�}, pokud existuje regul�rn� matice $\P\in\R^{n,n}$
takov�, �e
$$
  \B = \P^{-1}\cdot\A\cdot\P.
$$

{\bf Pozorov�n�1}: podobnost je relace ekvivalence.

{\bf Pozorov�n�2}: podobn� matice maj� stejn� vlastn� ��sla.


\n -------------------------------------------------------

\g Podobn� matice maj� stejn� char. polynom

{\bf Tvrzen�}: Podobn� matice maj� stejn� charakteristick� polynom.

D�kaz: Nech� $\B=\P^{-1}\A\P $ je matice podobn� s $\A$. Je
$$\eqalign{
 \det\, (\P^{-1}\A\P - \lambda\,\E) &=
 \det\, (\P^{-1}\A\P - \lambda\,\P^{-1}\E\P) =\cr &=
 \det\, (\P^{-1}\A\P - \P^{-1}\lambda\,\E\P) =\cr &=
 \det\, (\P^{-1}\,(\A-\lambda\,\E)\,\P) =\cr &=
 \det \P^{-1}\,\det\, (\A-\lambda\,\E)\, \det\P = 
 \det\, (\A-\lambda\,\E).\cr}
$$

{\bf Upozorn�n�}: Obr�cen� tvrzen� \uv{maj�-li dv� matice stejn�
charakteristick� polynom, pak jsou podobn�} neplat�. Za chv�li
uk�eme, �e matice $\A$ a $\B$ z p�edchoz�ch p��klad� nejsou podobn�. 


\n -------------------------------------------------------

\g Podobnost s diagon�ln� matic�

{\bf �loha}: Budeme se pt�t, za jak�ch podm�nek je �tvercov� 
matice~$\A$ podobn� s diagon�ln� matic� tvaru:
$$
  \D = \pmatrix {\lambda_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \cr
                0 & \lambda_2 & 0 & \ldots & 0 \cr
                0 & 0 & \lambda_3 & \ldots & 0 \cr
                \noalign{\hbox to 10em{ \dotfill\quad}}
                 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda_n}.
$$
Jin� pohled na �lohu: je d�na transformace $A$ svou matic� $\A$
vzhledem k n�jak� b�zi. Pt�me se, zda existuje jin� b�ze, vzhledem ke
kter� je matice transformace $A$ diagon�ln�. Pt�me se tedy, zda lze vhodnou
volbou b�ze co nejv�ce zjednodu�it matici transformace a� na
diagon�ln� tvar. 

Pokud se to povede, pak z pohledu takov� b�ze je transformace $A$ jen
zm�nou m���tka ve sm�rech vektor� b�ze (resp. projekce).

\n ------------------------------------------------------

\g Rovnost $\setmath[//] \A\cdot\P\ =\ \P\cdot\D$

{\bf V�ta}: Nech� $\A$, $\P$ a $\D$ jsou �tvercov� matice typu $(n,n)$,
nech� $\P$ obsahuje nenulov� sloupce a nech� $\D$ je diagon�ln�.
Pak plat�
$$
  \A\cdot\P\ =\ \P\cdot\D
$$
pr�v� tehdy, kdy� $\D$ obsahuje vlastn� ��sla matice $\A$ a $i$-t�
sloupec matice $\P$ obsahuje vlastn� vektor p��slu�ej�c� $i$-t�mu
vlastn�mu ��slu v $\D$.

D�kaz: Nech� $\D$ obsahuje na diagon�le ��sla $\lambda_i$.
Rozn�soben�m rovnosti $\A\cdot\P = \P\cdot\D$ po sloupc�ch matice 
$\P=({\bf p}_1,{\bf p}_2,\ldots,{\bf p}_n)$
dost�v�me rovnosti $\A\cdot{\bf p}_i = \lambda_i\,{\bf p}_i$. Tyto
rovnosti plat� pr�v� kdy� $\lambda_i$ je vlastn� ��slo matice $\A$ a
${\bf p}_i$ je k n�mu p��slu�ej�c� vlastn� vektor.

{\bf Pozorov�n�}: Kdyby byla $\P$ regul�rn�, pak $\P^{-1}\A\P=\D$,
tak�e $\A$ bude podobn� s diagon�ln� matic�.


\n ------------------------------------------------------

\g Podm�nka podobnosti s diagon�ln� matic�

{\bf Tvrzen�}: Matice $\A$ typu $(n,n)$ je podobn� s diagon�ln� 
matic� pr�v� kdy� m� $n$ line�rn� nez�visl�ch vlastn�ch vektor�.

Skute�n�, sta�� tyto vektory napsat do sloupc� matice $\P$, d�le
sestavit diagon�ln� matici $\D$ z odpov�daj�c�ch vlastn�ch ��sel a
plat� rovnost z p�edchoz� strany.

{\bf V�ta}: R�zn� vlastn� ��sla maj� line�rn� nez�visl�
vlastn� vektory.

D�kaz: technick�, viz skriptum.

{\bf D�sledek}: M�-li matice $\A$ pouze jednon�sobn� vlastn� ��sla
(t�ch je $n$ a jsou vz�jemn� r�zn�), pak je podobn� s diagon�ln�
matic�.

{\bf Upozorn�n�}: Obr�cen� tvrzen� \uv{$\A$ je podobn� s diagon�ln�,
pak m� vz�jemn� r�zn� vlastn� ��sla} neplat�. Nap�. $\E$ m�
$n$-n�sobn� vlastn� ��slo~1 a je p��mo rovna diagon�ln� matici.

\n ---------------------------------------------------------

\g P��klad

Matice $\A$ z p�edchoz�ho p��kladu je podobn� s diagon�ln�. M� t�i
line�rn� nez�visl� vlastn� vektory, nap�.
$$
  (1,1,0),\ (-1,0,1),\ (-2,1,4).
$$
Tud�� plat�
$$
  \pmatrix{1&-1&-2\cr1&0&1\cr0&1&4}^{-1}\!\cdot 
  \pmatrix{5 & -2 & 2  \cr
            -1 &  4 & -1 \cr
            -4 &  4 & -1 \cr}\cdot
  \pmatrix{1&-1&-2\cr1&0&1\cr0&1&4} =
  \pmatrix{3&0&0\cr0&3&0\cr0&0&2}
$$ 

Matice $\B$ z p�edchoz�ho p��kladu nen� podobn� s diagon�ln�, proto�e
nem� t�i line�rn� nez�visl� vlastn� vektory.

Tak�e: matice $\A$ a $\B$ nejsou vz�jemn� podobn�, a�koli maj� stejn�
charakteristick� polynom a stejn� vlastn� ��sla.

\n ------------------------------------------------------------

\g P��klad: zm�na b�ze

Matice $\A$ z p�edchoz�ho p��kladu odpov�d� transformaci:
$$
  \eqalign{
  x' =&\ \phantom{{}+{}}5x - 2y + 2z\cr
  y' =&\ \phantom1-x + 4y \phantom1-z\cr
  z' =&\ -4x + 4y \phantom1-z
}
$$
Vzhledem k b�zi $(C)=((1,1,0),\ (-1,0,1),\ (-2,1,4))$ m� tat�
transformace diagon�ln� matici
$$
  \D = \pmatrix{3&0&0\cr0&3&0\cr0&0&2}
$$
tak�e v t�to b�zi se sou�adnice obrazu po��taj� takto:
$$
  x' = 3x, \quad  y' = 3y, \quad z' = 2z.
$$

\n ------------------------------------------------------------

\g Nutn� podm�nka podobnosti

\vskip-.5\baselineskip

\g s diagon�ln� matic�

D� se uk�zat, �e dimenze nulov�ho prostoru matice $\A-\lambda\E$ je
v�dy men�� nebo rovna n�sobnosti vlastn�ho ��sla $\lambda$.

Matice $\A$ typu $(n,n)$ je podobn� s diagon�ln� pr�v� kdy�
m� $n$ line�rn� nez�visl�ch vlastn�ch vektor�. To znamen�, �e
m�-li $k$~n�sobn� vlastn� ��slo $\lambda$, mus� mu p��slu�et $k$ line�rn�
nez�visl�ch vektor�, neboli dimenze nulov�ho prostoru matice $\A-\lambda\E$
mus� b�t p�esn� rovna $k$.

Pokud tedy pro ka�d� v�cen�sobn� vlastn� ��slo $\lambda$ je dimenze nulov�ho
prostoru matice $\A-\lambda\E$ p�esn� rovna n�sobnosti tohoto
vlastn�ho ��sla, je matice $\A$ podobn� s diagon�ln� matic�.

\n -------------------------------------------------------------


\g Jordan�v kanonick� tvar

D� se uk�zat, �e ka�d� matice $\A$
je podobn� aspo� se \uv{skoro diagon�ln�} matic� tvaru:
$$
  {\bf J} = \pmatrix {{\bf J}_1&{\bf O}&\ldots&{\bf O}\cr
                      {\bf O}&{\bf J}_2&\ldots&{\bf O}\cr
                      &&\ldots&\cr{\bf O}&{\bf O}&\ldots&{\bf J}_m}, \quad
  \hbox{kde}\quad
  {\bf J}_i = \pmatrix {\lambda_i& 1& 0&\ldots&0\cr
                        0&\lambda_i&1&\ldots&0\cr
                         &&&\ldots&\cr
                         0&0&0&\ldots&1\cr
                        0&0&0&\ldots&\lambda_i}
$$
��sla $\lambda_i$ jsou vlastn� ��sla matice $\A$.
Matici ${\bf J}$ se ��k� {\em Jordan�v kanonick� tvar matice $\A$}.

Na diagon�le matice ${\bf J}$ se objev� ka�d� vlastn� ��slo tolikr�t,
kolik je jeho n�sobnost.

Dimenze nulov�ho prostoru matice $\A-\lambda\E$ odpov�d� po�tu
Jordanov�ch blok� ${\bf J}_i$ se stejn�m vlastn�m ��slem $\lambda$.
Tak�e tyto Jordanovy bloky se mohou pro stejn� (v�cen�sobn�) vlastn�
��slo opakovat.

\n --------------------------------------------------

\g Cvi�en�

* Vysv�tlete, pro� $\det\A$ je roven sou�inu vlastn�ch ��sel matice~$\A$.

* Vysv�tlete, pro� $\det\A$ je roven absolutn�mu �lenu charakteristick�ho 
  polynomu matice $\A$.

* P�edpokl�dejte $\A$ matici podobnou s diagon�ln�.
  Kdy� do charakteristick�ho polynomu matice $\A$ m�sto $\lambda$
  zap��ete matici $\A$, dost�v�te nulovou matici. Pro�?

* P�edchoz� tvrzen� pat� i pro matice, kter� nejsou podobn� s
  diagon�ln� matic�.

\n -----------------------------------------------------


\g Standardn� skal�rn� sou�in v $\setmath[//]\C^n$

{\bf Ozna�en�}: V n�sleduj�c�ch stran�ch bude $\vec v\cdot\vec w$
zna�it standardn� skal�rn� sou�in v $\C^n$, tedy maticov�:
$$
  \vec v\cdot\vec w = 
  (v_1, v_2, \ldots, v_n) 
  \pmatrix{\overline{w_1}\cr\overline{w_2}\cr\vdots\cr\overline{w_n}}
$$

{\bf P�ipomenut�}: z axiom� skal�rn�ho sou�inu plyne:
$$
  \vec v\cdot \vec w = \overline{\vec w\cdot \vec v},\quad
  (\alpha\vec v)\cdot \vec w = \alpha\,(\vec v\cdot\vec w),\quad
  \vec v\cdot (\alpha\vec w) = \overline\alpha\, (\vec v\cdot \vec w).
$$
Je-li $\A$ re�ln� matice, pak $(\A\vec v)\cdot\vec w = \vec v\cdot(\A^T\vec w)$,
proto�e:
$$
  \left(\A\pmatrix{{v_1}\cr\vdots\cr{v_n}}\right)^{\!\!\!T}
  \pmatrix{\overline{w_1}\cr\vdots\cr\overline{w_n}} =
  (v_1, v_2, \ldots, v_n)\,\, \A^T \pmatrix{\overline{w_1}\cr\vdots\cr\overline{w_n}}
$$ 

\n ----------------------------------------------------

\g Symetrick� matice m� re�ln� vlastn� ��sla

{\bf V�ta}: Re�ln� symetrick� matice m� v�echna vlastn� ��sla re�ln�.

{\bf D�kaz}. Nech� $\lambda\in\C$ je vlastn� ��slo re�ln� symetrick� matice $\A$ a 
$\vec v$ je jemu p��slu�n� vlastn� vektor.

$$\eqalign{ \lambda\,(\vec v\cdot \vec v) &= (\lambda \vec v)\cdot \vec v 
   = (\A\vec v)\cdot \vec v = \vec v\cdot (\A^T\vec v) =\cr 
   &= \vec v\cdot (\A\vec v) = \vec v\cdot (\lambda\vec v) =
   \overline\lambda\, (\vec v\cdot\vec v).}
$$

Proto�e $\vec v\cdot\vec v = ||\vec v||^2 \not=0$, mus� $\lambda=\overline\lambda$, tedy
$\lambda\in\R$.

\n -------------------------------------------------

\g Symetrick� matice: kolm� vlastn� vektory

{\bf V�ta}: Re�ln� symetrick� matice m� vlastn� vektory, kter� p��slu�ej�
r�zn�m vlastn�m ��sl�m, na sebe kolm�.

{\bf D�kaz:} Nech� $\lambda_1, \lambda_2$ jsou r�zn� vlastn� ��sla re�ln�
symetrick� matice $\A$ a $\vec v_1$, $\vec v_2$ jsou jim p��slu�ej�c�
vlastn� vektory. Z p�edchoz�ho v�me, �e $\lambda_1, \lambda_2\in\R$. Je:
$$
\eqalign{
\lambda_1 \,(\vec v_1\cdot \vec v_2) &= (\lambda_1\vec v_1)\cdot\vec v_2 =
(\A\vec v_1)\cdot\vec v_2 = \vec v_1\cdot(\A^T\vec v_2) =\cr
&= \vec v_1\cdot(\A\vec v_2) = \vec v_1\cdot(\lambda_2\vec v_2) = 
\lambda_2 \,(\vec v_1\cdot \vec v_2)
}$$
Neboli $(\lambda_1-\lambda_2)\,(\vec v_1\cdot \vec v_2) = 0$. Proto�e
$\lambda_1\not=\lambda_2$, mus� $\vec v_1\cdot \vec v_2 = 0$, tedy vektory
jsou na sebe kolm�.

\n ----------------------------------------------------

\g Rozklad symetrick� matice

{\bf V�ta}: Re�ln� symetrick� matice je podobn� s diagon�ln� matic�.

{\bf D�kaz}: Neuv�d�me.

{\bf V�ta}: Nech� $\A$ je re�ln� symetrick� matice. Pak existuje re�ln�
diagon�ln� matice $\D$ a re�ln� ortogon�ln� matice $\P$ tak, �e
$$
  \A = \P^T\cdot\D\cdot\P
$$
{\bf D�kaz}: Je $\A = \P^{-1}\cdot\D\cdot\P$, kde $\P$ obsahuje ve sloupc�ch vlastn�
vektory a $\D$ obsahuje na diagon�le vlastn� ��sla. Proto�e jsou vlastn�
��sla re�ln�, jsou re�ln� i vlastn� vektory. R�zn�m vlastn�m ��sl�m
p��slu�ej� na sebe vz�jemn� kolm� vlastn� vektory a n�sobn�m vlastn�m ��sl�m
(n�sobnosti $k$), p��slu�� $k$ line�rn� nez�visl�ch vlastn�ch vektor�, kter�
lze ortogonalizovat. V matici $\P$ m�me tedy na sebe kolm� sloupce, kter�
lze normalizovat. Dost�v�me ortogon�ln� matici. Pro ortogon�ln� matici plat�
$\P^{-1}=\P^T$.


\end
