\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi

\font\logocvut=lev scaled400

\ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi
\def\cislo{15}

\headline={\setfonts[/10]\rm
   \ifnum\pageno>1 
   \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Olšák \quad}\else
   \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]}
\footline={}

\def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{%
\setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010,
  d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. 
  Viz p. d. 4/2010
}\vss}}

\input ofs [a35]  %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  
\baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\a{{A}}
\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\D{{\bf D}}
\def\E{{\bf E}}
\def\P{{\bf P}}
\def\L{{\bf L}}
\def\U{{\bf U}}
\def\X{{\bf X}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}
\def\|{||}

% ===============================================================

\vglue .5cm

\gg Skalární součin

\bigskip\bigskip

* axiomatická definice

* odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory

* geometrická interpretace

* ortogonalita

* vlastnosti ortonormálních bázi


\n ---------------------------------------------------------------


\g Definice skalárního součinu

Nechť $L$ je lineární prostor nad $\R$. Operaci $\cdot: L\times L\to \R$
nazýváme {\em skalární součin}, pokud  pro všechna 
$\vec x, \vec y, \vec z$ splňuje:
$$
  \def\bod #1 {#1&\quad}
  \eqalign{
  \bod (1) \vec x\cdot\vec y = \vec y\cdot\vec x, \cr
  \bod (2) (\vec x + \vec y)\cdot \vec z =
            \vec x\cdot\vec z + \vec y\cdot\vec z, \cr
  \bod (3) (\alpha\cdot\vec x)\cdot\vec y = \alpha\cdot(\vec x\cdot\vec y), \cr
  \bod (4) \vec x\cdot\vec x \geq 0, \quad 
           \vec x\cdot\vec x = 0 \hbox{ jen tehdy, když } \vec x = \vec o. }
$$

{\bf Poznámka}: Je-li $L$ lineární prostor nad $\C$, pak se skalárním
součinem označuje operace $\cdot: L\times L\to \C$ se stejnými
vlastnostmi, jako výše, až na první. Místo ní je:
$$
  \vec x\cdot\vec y =
      \overline{\vec y\cdot\vec x}
$$
Čísla jsou si vzájemně komplexně sdružená.

\n ------------------------------------------------

\g Příklady skalárních součinů

* V $\R^n$ definujeme 
  $$
    (x_1,x_2,\ldots x_n) \cdot (y_1,y_2,\ldots,y_n)\ = \
     x_1\,y_1 + x_2\,y_2 + \cdots + x_n\, y_n.
  $$
  Toto je skalární součin, skutečně splňuje axiomy (1) až (4).

* V prostoru orientovaných úseček definujeme skalární součin
  $$
    \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos \alpha,
  $$
  kde $\|\ldots\|$ značí velikost vektoru a $\alpha$ je úhel mezi vektory.

* V lineárním prostoru spojitých funkcí na intervalu 
  $\langle 0,1\rangle$ definujeme skalární součin
  $$
    f\cdot g = \int\limits_0^1 f(x)\,g(x)\,{\rm d}x
  $$

\n ------------------------------------------------

\g Další skalární součiny v $\setmath[//] \R^n$

Na $\R^2$ je operace
$$
  (x_1, x_2) \circ (y_1, y_2) = 
  (x_1, x_2) \pmatrix{1&\!2\cr2&\!6}\! \pmatrix{y_1\!\cr y_2\!} = 
    x_1 y_1 + 6 x_2 y_2 + 
                                2 x_1 y_2 + 2 x_2 y_1.
$$
také skalární součin.
%
Na druhé straně třeba
$$
  (x_1, x_2) \circ (y_1, y_2) = 
  (x_1, x_2) \pmatrix{1&\!2\cr2&\!2}\! \pmatrix{y_1\!\cr y_2\!}
   = x_1 y_1 + 2 x_2 y_2 + 2 x_1 y_2 + 2 x_2 y_1
$$
není skalární součin (neplatí axiom 4).

Obecně, je-li $\A$ symetrická a pozitivně definitní matice (všechny
hlavní subdeterminanty jsou kladné), pak
$$
  \vec x \cdot\A\cdot \vec y^T
$$
je skalární součin. Z tohoto pohledu nazýváme $ \vec x \cdot \vec y^T$
{\em standardním} skalárním součinem na $\R^n$.

\n ---------------------------------------------------------

\g Skalární součin $\setmath[//]\longrightarrow$ velikost

V lineárním prostoru $L$ se skalárním součinem definujeme {\em
velikost} vektoru $\vec x$, neboli {\em normu} vektoru $\vec x$
vzorcem 
$$
  \|\vec x\| = \sqrt{\vec x\cdot\vec x}.
$$
Axiom (4) zaručuje, že velikost je definována pro libovolný vektor a že
nulovou velikost má pouze nulový vektor.

{\bf Tvrzení}: $\|\alpha\vec x\| = |\alpha|\cdot\|\vec x\|$, protože
$$
  \|\alpha\vec x\| = \sqrt{\alpha\vec x\cdot\alpha\vec x} =
  \sqrt{\alpha^2(\vec x\cdot\vec x)} = \sqrt{\alpha^2}\,\sqrt{\vec x\cdot\vec x}
  = |\alpha|\cdot\|\vec x\|
$$

\n ----------------------------------------------------

\g Skalární součin $\setmath[//]\longrightarrow$ úhel mezi vektory

V lineárním prostoru $L$ se skalárním součinem definujeme {\em úhel
mezi dvěma nenulovými vektory} $\vec x$ a $\vec y$ jako takové 
$\varphi\in\langle0,\pi)$, pro které je
$$
  \cos\varphi = {\vec x\cdot\vec y \over \|\vec x\|\,\,\|\vec y\|}  
$$

Že $\cos\varphi$ v uvedeném vzorci existuje pro libovolné dva nenulové
vektory zaručuje

{\bf Schwartzova nerovnost}: Pro libovolné dva vektory platí
$$
  |\vec x\cdot\vec y| \leq \|\vec x\|\cdot\|\vec y\|.
$$
Důkaz: $0\leq (\vec x+\alpha\,\vec y)\cdot(\vec x+\alpha\,\vec y) =
  \vec x\cdot\vec x + \alpha\cdot 2(\vec x\cdot\vec y) + 
  \alpha^2\cdot (\vec y\cdot\vec y).$ 
Pro uvedený kvadratický polynom $A\alpha^2 + B\alpha + C$ musí platit:
$$
  \displaylines{
  B^2 - 4AC \leq 0,  
  \quad \hbox{tj.}\quad B^2 \leq 4AC,
  \quad \hbox{tj.}\quad \bigl(-2(\vec x\cdot\vec y)\bigr)^2 \leq 
       4\, \|\vec x\|^2 \|\vec y\|^2, \cr 
  \hbox{tj.}\quad
       \sqrt{(\vec x\cdot\vec y)^2} \leq 
       \sqrt{\|\vec x\|^2} \sqrt{\|\vec y\|^2}
 \quad \hbox{tj.}\quad 
       |\vec x\cdot\vec y| \leq \|\vec x\|\cdot\|\vec y\|.
 }
$$

\n -----------------------------------------------------------

\g Skalární součin $\setmath[//]\longrightarrow$ vzdálenost vektorů

V lineárním prostoru $L$ se skalárním součinem definujeme {\em
vzdálenost mezi dvěma vektory} $\vec x$ a $\vec y$, neboli
{\em metriku} vzorcem
$$
  \varrho (\vec x, \vec y) = \|\vec x - \vec y\|
$$
Pro metriku patí {\bf trojúhelníková nerovnost}:
$$
  \varrho (\vec x, \vec y) + \varrho (\vec y, \vec z) \ \ge \ 
  \varrho (\vec x, \vec z),
$$
neboli $\|\vec x -\vec y\| + \|\vec y -\vec z\| \ge \|\vec x -\vec z\|$,
která označení $\vec a = \vec x -\vec y$, $\vec b = \vec y -\vec z$
přechází na tvar
$$
  \|\vec a\| + \|\vec b\| \ \ge \ \|\vec a + \vec b\|.
$$
Důkaz: $\|\vec a + \vec b\|^2 = (\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b) =
  \vec a\,\vec a + 2\,\vec a\,\vec b + \vec b\,\vec b
  \leq {}$\hb (Schwartzova nerovnost) ${}\le \|\vec a\|^2 + 2\,\|\vec a\|\cdot\|\vec b\| + \|\vec b\|^2 =
  \bigl(\|\vec a\| + \|\vec b\|\bigr)^2$.

\n ---------------------------------------------------------------

\g Axiomy metriky a normy

Je-li na množině $L$ zavedena metrika $\varrho(x,y)$ s vlastnostmi
$$
  \eqalign{
  (1)&\quad  \varrho(x,y) \ge 0, \quad
      \varrho(x,y) = 0 \hbox{ právě když }\, x = y, \cr
  (2)&\quad  \varrho(x,y) = \varrho(y,x), \cr
  (3)&\quad  \varrho (x, y) + \varrho (y, z) \ \ge \ 
  \varrho (x, z),
}
$$
říkáme množině $L$ s metrikou $\varrho$ {\em metrický prostor}. 

Je-li na lineárním prostoru $L$ zavedena norma $\|\ldots\|$ s vlastnostmi
$$
  \eqalign{
  (1)&\quad \|\vec x\| \ge 0, 
      \quad \|\vec x\| = 0 \hbox{ právě když }\, \vec x = \vec o, \cr
  (2)&\quad \|\alpha\vec x\| \ =\ |\alpha|\cdot\|\vec x\|, \cr
  (3)&\quad \|\vec x+ \vec y\| \ \le\ \|\vec x\| + \|\vec y\|,
  }
$$
říkáme prostoru $L$ {\em lineární prostor s normou}. 

My jsme odvodili normu a metriku ze skalárního součinu. Je ovšem možné
je zavést jen podle uvedených axiomů, nebo zavést normu axiomaticky a
odvodit metriku jako $\varrho(\vec x,\vec y) = \|\vec x-\vec y\|$. 

\n --------------------------------------------------------

\g Příklady

{\bf Pythagorova věta}: 
Pravoúhlý trojúhelník budou tvořit dva na sebe kolmé vektory
$\vec x$ a $\vec y$. Jejich rozdíl tvoří přeponu.
$$
  \|\vec x - \vec y\|^2 = (\vec x - \vec y)\cdot(\vec x - \vec y) =
  \vec x\cdot\vec x -2\vec x\cdot\vec y + \vec y\cdot\vec y =
  \|\vec x\|^2 + \|\vec y\|^2
$$
Ve výpočtu jsme využili toho, že dva nenulové vektory $\vec x$ 
a $\vec y$ jsou na sebe kolmé právě když $\vec x\cdot\vec y = 0$.

{\bf Rovnoběžníková rovnost}:
součet druhých mocnin velikostí úhlopříček v rovnoběžníku je roven
dvojnásobku součtu druhých mocnin velikostí sousedních stran.
$$
  \|\vec x+\vec y\|^2 + \|\vec x -\vec y\|^2 \ =\
  2\,\left( \|\vec x\|^2 + \|\vec y\|^2 \right).
$$
protože
$$
  \|\vec x+\vec y\|^2 + \|\vec x -\vec y\|^2 =
  \|\vec x\|^2 + 2\vec x\cdot\vec y + \|\vec y\|^2 +
  \|\vec x\|^2 - 2\vec x\cdot\vec y + \|\vec y\|^2.
$$

\n -------------------------------------------------------

\g Ortonormální báze

Na lineárním prostoru se skalárním součinem můžeme měřit velikosti
vektorů a úhly mezi nenulovými vektory. 

Zejména {\em kolmost} (ortogonalitu) dvou
nenulových vektorů $\vec x$ a $\vec y$ poznáme podle podmínky
$\vec x\cdot\vec y = 0$.

Mezi různými bázemi se ukáže výhodné vybírat takové báze, ve kterých
jsou si všechny vektory navzájem kolmé a mají jednotkovou
velikost. Tyto báze nazýváme {\em ortonormální}. 

{\bf Definice}: Báze se nazývá {\em ortogonální}, pokud pro každé dva
různé prvky báze $\vec b_i$ a $\vec b_j$ platí $\vec b_i\cdot\vec b_j = 0$.

Báze se nazývá {\em ortonormální}, je-li ortogonální a všechny její
prvky mají jednotkovou velikost, neboli
$$
  \vec b_i \cdot \vec b_j = \cases {1 &pro $i=j$, \cr 0 &pro $i\not=j$.}
$$

\n --------------------------------------------------------

\g Skalární součin počítaný pomocí souřadnic

{\bf Věta}: Nechť $(B)$ je konečná ortonormální báze lineárního
prostoru~$L$.
Nechť $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ jsou souřadnice vektoru $\vec x$ vzhledem
k bázi $(B)$ a nechť
$(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ jsou souřadnice vektoru $\vec y$ vzhledem
k~bázi $(B)$. Pak
$$
  \vec x\cdot\vec y \ = \ x_1\,y_1 + x_2\,y_2 + \cdots + x_n\,y_n.
$$
Důkaz: 
$$
 \displaylines {
  (x_1\vec b_1 + x_2\vec b_2 + \cdots + x_n\vec b_n)\cdot
  (y_1\vec b_1 + y_2\vec b_2 + \cdots + y_n\vec b_n) \ = \cr = \
  x_1\,y_1 \vec b_1\cdot\vec b_1 + x_2\,y_1 \vec b_2\cdot\vec b_1
  + \cdots + x_1\,y_2 \vec b_1\cdot\vec b_2 + \cdots + 
  x_n\,y_n \vec b_n\cdot\vec b_n = \cr = \
   x_1\,y_1 \cdot 1 + x_2\,y_1 \cdot 0
  + \cdots + x_1\,y_2 \cdot 0 + \cdots + 
  x_n\,y_n \cdot 1 = \cr = \
  x_1\,y_1 + x_2\,y_2 + \cdots + x_n\,y_n.
}
$$

\n ------------------------------------------------------


\g Kolmost zaručuje lineární nezávislost

{\bf Věta}: Nechť $\vecc x_n$ jsou nenulové vektory, 
které jsou na sebe navzájem kolmé.
Pak jsou tyto vektory lineárně nezávislé.

Důkaz: Ověříme
$$
  \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ 
  \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n = \vec o \quad \Rightarrow \quad
  \alpha_i = 0 \quad \forall\ i
$$
Vynásobíme-li obě strany rovnosti skalárně vektorem $\vec x_i$,
dostáváme na levé straně součet nul s~výjimkou jediného sčítance,
protože vektor $\vec x_i$ je kolmý na všechny všechny ostatní vektory
$\vec x_j$. Máme tedy
$$
  \alpha_i\,\vec x_i\cdot \vec x_i = \vec o\cdot \vec x_i = 0.
$$
Protože $\vec x_i\cdot \vec x_i$ je nenulové číslo, musí být $\alpha_i=0$.
Tuto operaci můžeme provést pro každý index $i\in\{1,2,\ldots,n\}$, takže 
všechna čísla čísla $\alpha_i$ jsou nutně nulová.

\n --------------------------------------------------------

\g Souřadnice počítané ze skalárního součinu

{\bf Věta}: Nechť $(B)=(\vecc b_n)$ je ortonormální báze lineárního prostoru se
skalárním součinem. Pak souřadnice libovolného vektoru $\vec x$
vzhledem k bázi $(B)$ jsou
$$
  (\vec x{\cdot}\vec b_1, \,\vec x{\cdot}\vec b_2, \,\ldots,\,
            \vec x{\cdot}\vec b_n).
$$

Důkaz: 
Označme $\vec y=(\vec x\cdot\vec b_1)\,\vec b_1 + 
(\vec x\cdot\vec b_2)\,\vec b_2 + \cdots + 
(\vec x\cdot\vec b_n)\,\vec b_n$. 
Máme dokázat, že $\vec x=\vec y$. 
Násobme vektor $\vec y$ vektorem $\vec b_i\,$:
$$
  \displaylines {
  \vec y\cdot\vec b_i = ((\vec x\cdot\vec b_1)\,\vec b_1 + 
  (\vec x\cdot\vec b_2)\,\vec b_2 + \cdots + 
  (\vec x\cdot\vec b_n)\,\vec b_n)\cdot\vec b_i = \cr =
  (\vec x\cdot\vec b_i)\,\vec b_i\cdot\vec b_i =
  \vec x\cdot\vec b_i,
}
$$
protože báze je ortonormální. 
Je
$\vec x\cdot\vec b_i =\vec y\cdot\vec b_i$
$\forall i \in \{1,2,\ldots,n\}$. 

Co, kdyby $\vec x\not=\vec y$? 
Vektor $\vec x-\vec y$ je kolmý na všechny prvky $\vec b_i$, protože
$(\vec x-\vec y)\cdot \vec b_i =0$.
Pak jsou vektory
$\vecc b_n, \vec x-\vec y$ lineárně nezávislé, ale to je ve sporu 
s tím, že $(B)$ je báze.

\n -------------------------------------------------------

\g Básnička: čtvrtá dimenze

Jednou v hospodě u Karla čtvrtého,\hb
uviděl jsem kus prostoru čtvrtého.

Čtyři půllitry u stropu nad sálem,\hb
letěly k sobě kolmo navzájem,\hb
což není možné v dimenzi třetí,\hb
kde nejvýše tři půllitry k sobě letí.

Tak poznal jsem díky otci vlasti,\hb
jaké jsou v půllitru skryty slasti.\hb
Jak všem čechům rozšiřuje obzory\hb
o $n$-dimenzionální prostory.

\medskip

{\em in: Emil Calda: Říkanky množinově nelogické} 


\n -------------------------------------------------------

\g Geometrická představa skalárního součinu

Předpokládejme, že vektory $\vec x$ a $\vec y$ jsou orientované úsečky,
navíc nechť $\vec y$ má jednotkovou velikost.
Sestrojme z koncového bodu vektoru $\vec x$ kolmý průmět na přímku,
procházející vektorem $\vec y$. Velikost tohoto kolmého průmětu (je-li
na polopřímce společně s~vektorem~$\vec y$) je skalární součin
$\vec x\cdot\vec y$. Je-li průmět na opačné polopřímce, pak skalární
součin je záporný a jeho absolutní hodnota je rovna velikosti průmětu.

Tato geometrická interpretace vychází ze vzorce:
$$
  \vec x\cdot\vec y \ =\ \|\vec x\|\,\,\|\vec y\|\, \cos\varphi.
$$

Z tohoto pohledu říká věta ze stránky [13], že souřadnice vektoru 
jsou průměty vektoru na jednotlivé souřadnicové osy.


\n ------------------------------------------------------

\g Úhly vektoru s osami

{\bf Věta}: Nechť $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ jsou souřadnice vektoru $\vec x$
vzhledem k~ortonormální bázi $(\vecc b_n)$. 
Pak úhel
$\phi_i$ mezi vektorem $\vec x$ a vektorem $\vec b_i$ má velikost
$\varphi_i$, pro kterou je
$$
  \cos\phi_i = {x_i\over \|\vec x\|}\,.
$$

Důkaz:
$$
  \cos\phi_i = {\vec x\cdot\vec b_i \over \|\vec x\|\,\|\vec b_i\|} =
  {\vec x\cdot\vec b_i \over \|\vec x\|} = {x_i\over \|\vec x\|}\,.
$$
V úpravách jsme využili toho, že $\|\vec b_i\|=1$ (báze je ortonormální)
a dále předchozí věty, podle které je $x_i=\vec x\cdot\vec b_i$.

{\bf Důsledek}: \ $\cos^2 \phi_1 + \cos^2 \phi_2 + \cdots + \cos^2 \phi_n = 1$

\n ---------------------------------------------------------

\g Schmidtův ortogonalizační proces

Zhruba: každou konečnou bázi lze \uv{opravit} tak, aby byla ortonormální.
Oprava $k$-tého vektoru vždy probíhá v lineárním obalu prvních $k$
vektorů. Tj. první vektor opravíme na přímce dané prvním vektorem,
druhý vektor opravíme v rovině dané prvními dvěma vektory,~atd.

Přesně: Nechť $\{\vecc b_n\}$ je libovolná báze.
Pak existuje ortonormální báze
$\{\vecc c_n\}$ taková, že
$$
  \lob<\vecc b_k> = \lob<\vecc c_k>, \qquad 
  \forall  k\in\{1,2,\ldots,n\}.
$$

Důkaz: oprava každého vektoru probíhá ve dvou krocích. Vektor
se (uvnitř zmíněného lin. obalu) \uv{natočí} a následně se \uv{normuje}:
$$
  \vec b_{k+1}' = 
  \vec b_{k+1} - \sum_{i=1}^k (\vec b_{k+1}\cdot\vec c_i)\,\vec c_i,
  \qquad \vec c_{k+1} = {\vec b_{k+1}'\over \|\vec b_{k+1}'\|}.
$$

\n ------------------------------------------------------------

\g Ortogonální matice

Předpokládejme v $\R^n$ standardní skalární součin. Matice 
$\A\in\nobreak\R^{n,n}$, 
která ve sloupcích obsahuje nějakou ortonormální bázi prostoru $\R^n$, 
se nazývá {\em ortogonální}. 

Následující podmínky jsou ekvivalentní:

* $\A$ je ortogonální,

* $\A^T\cdot\A = \E$,

* $\A\cdot\A^T = \E$,

* $\A^T$ je ortogonální,

* $\A$ obsahuje v řádcích souřadnice ortonormální báze,

* $\A$ je maticí přechodu mezi dvěma ortonormálními bázemi.

\n -----------------------------------------------------------

\g Další vlastnosti ortogonální matice

* Je-li $\A$ ortogonální, pak $\det\A = 1$ nebo $\det\A = -1$.

* Je-li $\A$ ortogonální a je-li ${\bf x}$ sloupcový vektor, 
  pak sloupcový vektor $\A\cdot{\bf x}$ má stejnou velikost
  jako vektor ${\bf x}$.

* Součin ortogonálních matic je ortogonální.

První puntík:
$$
  1 = \det\E = \det(\A\cdot\A^T) = (\det\A)\, (\det\A^T)
  = (\det\A)^2.
$$
Druhý puntík: 
$$
  \|\A{\bf x}\|^2 = (\A{\bf x})^T\cdot(\A{\bf x}) =
  {\bf x}^T\cdot\A^T\cdot \A\cdot{\bf x} = {\bf x}^T\cdot{\bf x}
  = \|{\bf x}\|^2.  
$$
Třetí puntík:
$$
  (\A\cdot\B)^T\cdot (\A\cdot\B) = \B^T\cdot\A^T\cdot\A\cdot\B = 
  \B^T\cdot\E\cdot\B = \E.
$$

\n ------------------------------------------------------------

\g QR rozklad

Je-li $\A$ regulární matice, pak existuje ortogonální matice $\Q$ a
horní trojúhelníková matice $\R$ tak, že 
$$
  \A=\Q\cdot\R.
$$
Důkaz: Sloupce matice $\A$ tvoří nějakou bázi $(B)$. Na tuto bázi
provedeme Schmidtův ortogonalizační proces a tím dostaneme
ortonormální bázi $(C)$. Zapíšeme ji do sloupců matice $\Q$.
Matice $\R$ je maticí přechodu od ortonormální báze $(C)$ k bázi $(B)$.
Obsahuje souřadnice vektorů $\vec b_k$ z báze $(B)$ vzhledem k~$(C)$.
Díky vlastnosti
$$
  \lob<\vecc b_k> = \lob<\vecc c_k>, \qquad 
  \forall  k\in\{1,2,\ldots,n\}.
$$
jsou souřadnice vektoru $\vec b_k$ vzhledem k $(C)$ pro 
$i>k$ nulové, takže $\R$ je horní trojúhelníková.




\end