\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi

\font\logocvut=lev scaled400

\ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi
\def\cislo{10}

\headline={\setfonts[/10]\rm
   \ifnum\pageno>1 
   \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Olšák \quad}\else
   \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]}
\footline={}

\def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{%
\setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010,
  d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. 
  Viz p. d. 4/2010
}\vss}}

\input ofs [a35]  %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  
\baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\a{{A}}
\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\D{{\bf D}}
\def\E{{\bf E}}
\def\P{{\bf P}}
\def\L{{\bf L}}
\def\U{{\bf U}}
\def\X{{\bf X}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}

% ===============================================================

\vglue 2cm

\gg Soustavy

\gg lineárních rovnic

\bigskip\bigskip

* vlastnosti množin řešení

* metody hledání řešení

* nejednoznačnost zápisu řešení


\n ---------------------------------------------------------------

\g Terminologie

{\bf Definice:} Nechť $\A=(a_{i,j})\in\R^{m,n}$ je matice,
${\bf b}\in\R^{m,1}$ je jednosloupcová matice.
Maticová rovnost
$$
  \A\cdot{\bf x} = {\bf b}
$$
s neznámou jednosloupcovou maticí ${\bf x}\in\R^{n,1}$ nazýváme {\em soustavou
lineárních rovnic\/} ($m$ rovnic, $n$ neznámých). 
$\A$ je {\em matice soustavy}, ${\bf b}$ je {\em sloupec pravých stran},
$(\A\,|\,{\bf b})$ je {\em rozšířená matice soustavy}.

Je-li ${\bf o}\in\R^{m,1}$ nulový sloupcový vektor, 
pak $\A\cdot{\bf x} = {\bf o}$ je 
{\em homogenní soustava lineárních rovnic}.

{\em Řešení soustavy} je takový vektor z $\R^n$, který, zapsaný do
sloupce místo neznámé matice ${\bf x}$, splňuje danou maticovou
rovnost.

{\bf Úloha:} Najít všechna řešení, tj. vymezit podmnožinu
$M\subseteq\R^n$ všech řešení soustavy.

\n ---------------------------------------------------------------

\g Dva pohledy na soustavu lin. rovnic

{\bf Pohled po řádcích}, tedy po jednotlivých rovnicích. Každá rovnice
sama vymezuje podmnožinu všech svých řešení $M_i\subseteq\R^n$, 
$i\in\{1,2,\ldots,m\}$. Geometricky
je $M_i$ nadrovinou (podprostorem dimenze $n-1$ posunutým 
z počátku do nějakého jiného bodu). Všechny rovnice mají být splněny
současně, hledáme tedy společný {\em průnik\/} všech těchto nadrovin $M_i$.

{\bf Pohled po sloupcích}. Rozepišme matici soustavy $\A$ do sloupců:
$\A=(\A_1,\A_2,\ldots,\A_n)$. Soustava $\A\cdot{\bf x}={\bf b}$
přechází na:
$$
  \A\cdot{\bf x}\ = \
  (\A_1,\A_2,\ldots,\A_n)\cdot\pmatrix{x_1\cr x_2\cr\vdots\cr x_n} = \
  x_1\A_1 + x_2\A_2 + \cdots + x_n\A_n \ = \ {\bf b}
$$
Hledáme tedy koeficienty lineární kombinace sloupců matice $\A$, které
zaručí, že se daná kombinace rovná pravé straně ${\bf b}$.

\n -----------------------------------------------------------------

\g K čemu slouží eliminační metoda

Má-li soustava $\A\cdot{\bf x}={\bf b}$ množinu řešení $M$ a je
$$
  (\A\,|\,{\bf b}) \sim (\C\,|\,{\bf d})
$$
pak soustava $\C\cdot{\bf x}={\bf d}$ má stejnou množinu řešení $M$.

Když eliminujeme na schodovitou matici $\C$, pak půjde u soustavy  
$\C\cdot{\bf x}={\bf d}$ hledaná množina řešení $M$ lépe najít.


\n -----------------------------------------------------------------

\g Frobeniova věta, řešitelnost soustavy

{\bf Věta}: Soustava $\A\cdot{\bf x}={\bf b}$ má aspoň jedno řešení
právě tehdy, když $\hod\A = \hod(\A\,|\,{\bf b})$.

Důkaz: (sloupcový pohled): soustava má řešení právě když vektor~${\bf b}$ 
leží v lineárním obalu sloupcových vektorů $\A_1,\A_2,\ldots,\A_n$, což
je právě tehdy, když $\hod\A = \hod(\A\,|\,{\bf b})$. Využijeme také
toho, že hodnost matice není jen dimenze lin. obalu řádků, ale
je to také dimenze lineárního obalu sloupců matice, neboť \ $\hod\A=\hod\A^T$.

Důkaz: (eliminační pohled): Po eliminaci na schodovitou matici máme
soustavu $\C\cdot{\bf x}={\bf d}$ která nemá řešení právě tehdy, když
existuje nulový řádek v matici $\C$ s nenulovým číslem na pravé
straně. Tj. právě tehdy když $\hod\C\not=\hod(\C\,|\,{\bf
d})$. Eliminační metoda ovšem nemění hodnost.


\n -----------------------------------------------------------------

\g Homogenní soustava Ax = o

* Homogenní soustava lineárních rovnic má vždy nulové řešení.

* Množinou řešení $M_0$ homogenní soustavy je vždy podprostor\thinspace:

$$ 
  \eqalign{
   {\bf u}\in M_0, \ {\bf v}\in M_0,& \quad \hbox{tj.}\quad
   \A{\bf u}={\bf o}, \quad \A{\bf v}={\bf o}. \cr
   &\A({\bf u}+{\bf v}) = \A{\bf u}+\A{\bf v} = {\bf o}+{\bf o} = {\bf o},
   \quad\hbox{tj.}\ {\bf u}+{\bf v}\in M_0. \cr
   {\bf u}\in M_0, \ \alpha\in\R,& \quad \hbox{tj.}\quad
   \A{\bf u}={\bf o}.\cr
   &\A(\alpha{\bf u}) = \alpha\A({\bf u}) = \alpha\,{\bf o} = {\bf o},
   \quad\hbox{tj.}\quad \alpha\,{\bf u}\in M_0.
}
$$

\n ----------------------------------------------------------------

\g Jak vyřešit homogenní soustavu

* Nejprve převedeme eliminací na soustavu se stejnou množinou řešení,
  ale se schodovitou maticí soustavy:
$$
  (\A\,|\,{\bf o}) \sim (\C\,|\,{\bf o})
$$
* Každá nenulová rovnice v soustavě $\C{\bf x}={\bf o}$ umožní spočítat
jednu neznámou (při zpětné substituci zespoda nahoru). Těmto proměnným
říkáme {\em vázané proměnné}. Ostatní
(takto nespočítané) proměnné jsou {\em volné proměnné}, neboli parametry.
Nechť $t_1,t_2,\ldots,t_k$ jsou všechny volné proměnné.
Můžeme volit tyto hodnoty za $(t_1,t_2,\ldots,t_k)$
$$
  (1,0,\ldots,0), \quad(0,1,\ldots,0),\quad \ldots ,\quad(0,0,\ldots,1)
$$
a pro každou tuto volbu volných proměnných dopočítáme proměnné vázané.
Dostáváme tak lineárně nezávislou množinu řešení, která je bází
podprostoru $M_0$ všech řešení.


\n ------------------------------------------------------------------

\g Příklad (homogenní soustava)

Řešme soustavu $\A\cdot{\bf x}={\bf o}$ s maticí:

$$
  \def\\#1{\vbox to0pt{\vss\hbox to0pt{\hbox to#1mm{$\scriptstyle
       x_1,\hss x_2,\hss x_3,\hss x_4,\hss x_5$}\hss}\bigskip\vskip7pt}}
  \A = \pmatrix {\\{49}1&\ 3\ &2&0&3\cr 1&1&1&-1&5\cr 2&8&5&3&7\cr 3&9&6&2&12}
  \sim \pmatrix {\\{42}1&3&2&0&3\cr 0&2&1&3&1\cr 0&0&0&2&3}
$$
Vázané proměnné: $x_1,\ x_2,\ x_4$, volné proměnné: $x_3,\ x_5$.

Při volbě $x_3=1,\ x_5=0$ vychází: $x_4=0,\ x_2=-1/2,\ x_1=-1/2$, \hb
při volbě $x_3=0,\ x_5=1$ vychází: $x_4=-3/2,\ x_2=7/4,\ x_1=-33/4$.

Takže mám dvě lineárně nezávislá řešení:
$$
  (-1/2,-1/2,1,0,0),\ (-33/4, 7/4, 0, -3/2, 1).
$$
Všechna řešení tvoří lineární obal těchto dvou řešení:
$$
  M_0 = \lob<(-1,-1,2,0,0),\ (-33,7,0,-6,4)>
$$

\n -------------------------------------------------------------------

\g Dimenze prostoru řešení

* Dimenze prostoru řešení homogenní soustavy je rovna počtu volných
  proměnných, 

* což je rovno počtu všech proměnných minus počtu vázaných proměnných, 

* což je rovno počtu všech proměnných minus počtu nenulových rovnic
  soustavy $\C{\bf x}={\bf o}$ se schodovitou maticí,

* což je rovno počtu všech proměnných minus hodnost matice soustavy.

{\bf Závěr}: Nechť $M_0$ je množina řešení soustavy $\A{\bf x} = {\bf o}$
s $m$ rovnicemi a $n$ neznámými. Pak $$\dim M_0 = n - \hod\A.$$


\n ----------------------------------------------------------------

\g Dva podprostory v $\setmath[//]\R^n$ vymezené maticí A

Nechť je dána matice $\A\in\R^{m,n}$

* Označme $R$ lineární obal řádků matice $\A$. Je to podprostor v $\R^n$.

* Označme $M_0$ množinu všech řešení homogenní soustavy $\A{\bf x} = {\bf o}$.
  Je to rovněž podprostor v $\R^n$. Nazývá se {\em nulovým prostorem
  matice $\A$}.

* Do řádků matice $\B$ napišme nějakou bázi prostoru $M_0$.

{\bf Platí}:

* Každý vektor z $M_0$ řeší soustavu $\A{\bf x} = {\bf o}$.

* Každý vektor z $R$ řeší soustavu $\B{\bf x} = {\bf o}$.

* Je-li $\vec u\in R$ a $\vec v\in M_0$, pak $\vec u\cdot\vec v^T = 0$.

* $\dim R+\dim M_0 = n = \dim\R^n$


\n ----------------------------------------------------------

\g Algoritmus hledání báze nulového prostoru

{\bf Algoritmus}: Nechť $\A\sim(\E\,|\,\C)$, kde $\E$ je jednotková matice. Pak řádky
matice $(-\C^T\,|\,\E')$ obsahují bázi řešení soustavy $\A{\bf x}={\bf o}$.

Poznámka: $\E'$ je zde také jednotková matice, ovšem obecně jiného typu
než matice $\E$.

Důkaz: Řádky matice $(-\C^T\,|\,\E')$ jsou lineárně nezávislé a jejich
počet je roven $n-\hod\A$. Takže lin. obal těchto řádků má stejnou
dimenzi, jako prostor řešení $M_0$. Stačí ukázat, že každý řádek matice
$(-\C^T\,|\,\E')$ řeší soustavu $\A{\bf x}={\bf o}$:
$$
  (\E\,|\,\C)\cdot \pmatrix{-\C\cr\noalign{\smallskip\hrule\smallskip}\E'} =
  \E\cdot(-\C) + \C\cdot\E' = -\C+\C = {\bf O}.
$$
Poznámka: nelze-li provést $\A\sim(\E\,|\,\C)$, pak je možné dostat $(\E\,|\,\C)$
po vhodné permutaci sloupců (změna pořadí neznámých). Zpětnou permutaci
sloupců pak provedeme na matici $(-\C^T\,|\,\E')$ a máme hledanou bázi
prostoru řešení.

\n -----------------------------------------------------------

\g Příklad

Metodou ze slídu [11] vyřešíme soustavu ze slídu [8]. Matici převedeme
Gauss-Jordanovou eliminací:
$$
  \def\\#1{\vbox to0pt{\vss\hbox to0pt{\hbox to#1mm{$\scriptstyle
       x_1,\hss x_2,\hss x_3,\hss x_4,\hss x_5$}\hss}\bigskip\vskip7pt}}
  \A = \pmatrix {1&\ 3\ &2&0&3\cr 1&1&1&-1&5\cr 2&8&5&3&7\cr 3&9&6&2&12}
  \sim \pmatrix {\\{52}1&\ 0\ &1/2&0&33/4\cr 0&1&1/2&0&-7/4\cr 0&0&0&1&3/2}
$$
Prohodíme sloupce a přejdeme od matice $(\E\,|\,\C)$ k matici $(-\C^T\,|\,\E')$:

$$
  \def\\#1{\vbox to0pt{\vss\hbox to0pt{\hbox to#1mm{$\scriptstyle
       x_1,\hss x_2,\hss x_4,\hss x_3,\hss x_5$}\hss}\bigskip\vskip7pt}}
     \pmatrix {\\{50}1&\ 0\ &0&1/2&33/4\cr 0&1&0&1/2&-7/4\cr
       0&0&1&0&3/2}, \quad
     \pmatrix {-1\\{58}/2&\!\!-1/2&0&1&\ 0\cr -33/4&7/4&\!\!\!-3/2&0&\ 1}
$$
Po zpětném prohození sloupců dostáváme v řádcích bázi množiny řešení $M_0$:
$$
  \def\\#1{\vbox to0pt{\vss\hbox to0pt{\hbox to#1mm{$\scriptstyle
       x_1,\hss x_2,\hss x_3,\hss x_4,\hss x_5$}\hss}\bigskip\vskip7pt}}
\pmatrix {-1\\{58}/2&\!\!-1/2&1&0&\ 0\cr -33/4&7/4&0&\!\!\!-3/2&\ 1}
$$

\n ------------------------------------------------------------

\g Nehomogenní soustava lineárních rovnic

{\bf Terminologie}: Jakékoli řešení soustavy $\A{\bf x} = {\bf b}$
nazýváme {\em partikulární řešení} této soustavy. 

Soustava $\A{\bf x} = {\bf o}$ se nazývá {\em přidružená homogenní soustava}
k~soustavě $\A{\bf x} = {\bf b}$.

{\bf Věta}: Množina $M$ všech řešení soustavy $\A{\bf x} = {\bf b}$
je buď prázdná, nebo je tvaru
$$
  M = {\bf v} + M_0
$$
kde ${\bf v}$ je partikulární řešení soustavy $\A{\bf x} = {\bf b}$
a $M_0$ je množina všech řešení přidružené homogenní soustavy
$\A{\bf x} = {\bf o}$.

Důkaz: Označme ${\bf v}$ partikulární řešení a nechť ${\bf u}\in M_0$. 
Stačí ověřit, že ${\bf v}+{\bf u}\in M$.
Dále musíme ověřit, že pro každé ${\bf w}\in M$ existuje ${\bf u}\in M_0$ tak,
že ${\bf v}+{\bf u} = {\bf w}$. 

Poznámka: Výhodná je geometrická představa, udělejte si náčrtek.

\n ------------------------------------------------------------------

\g Jak vyřešit nehomogenní soustavu

* Najít jedno partikulární řešení ${\bf v}$.

* Vyřešit přidruženou homogenní soustavu, najít $M_0$.

* Všechna řešení napsat ve tvaru $M = {\bf v} + M_0$.

Jediný problém: najít partikulární řešení ${\bf v}$.
Typický postup:

* Eliminovat $(\A\,|\,{\bf b}) \sim (\C\,|\,{\bf d})$, na soustavu
  se schodovitou maticí. 

* Sloupce s volnými proměnnými odstranit
  (tj. dosadit za volné proměnné nuly). Vzniká soustava s regulární
  čtvercovou maticí. 

* Dořešit tuto soustavu zpětným chodem eliminace.
  
* K řešení připsat nuly na místa volných proměnných.

\n -----------------------------------------------------------------

\g Příklad (nehomogenní soustava)

Soustava ze slídu [8] je doplněna o pravou stranou. Gauss-Jorda\-novou
eliminací upravím rozšířenou matici soustavy:
$$
  \def\+{\phantom0}\def\|{\hfill\kern8pt\vrule height1.1em depth.3em\kern-5pt}
  \def\c{\cr\noalign{\vskip-2pt}}
  \pmatrix {1&\ 3\ &2&0&3\|&3\c 1&1&1&-1&5\|&-2\c 2&8&5&3&7\|&13\c 3&9&6&2&\!\!12\|&11}
  \sim \pmatrix {1&\ 0\ &1/2&0&33/4\|&-3\c 0&1&1/2&0&-7/4\|&2\c 0&0&0&1&\ 3/2\|&1}
$$
Odstraním sloupce odpovídající volným proměným:
\vskip-5pt
$$
   \def\\#1{\vbox to0pt{\vss\hbox to0pt{\hbox to#1mm{$\scriptstyle
       x_1,\hss x_2,\hss x_4$}\hss}\bigskip\vskip7pt}}
 \def\+{\phantom0}\def\|{\hfill\kern8pt\vrule height1.1em depth.3em\kern-5pt}
  \def\c{\cr\noalign{\vskip-2pt}}
  \pmatrix {\\{26}1&\ 0\ &0\|&-3\c 0&1&0\|&2\c 0&0&1\|&1}
$$

Partikulární řešení je $(-3,2,0,1,0)$ a množina všech řešení je
$$
  M \ =\ (-3,2,0,1,0) \ + \ \lob<(-1,-1,2,0,0),\ (-33,7,0,-6,4)>.
$$


\n ----------------------------------------------------------------

\g Problém nejednoznačnosti zápisu řešení

Stejná množina řešení soustavy $\A{\bf x} = {\bf b}$ se dá vyjádřit
různými vektory báze řešení přidružené homogenní soustavy a různými
partikulárními řešeními. Jak poznat, že:
$$
  \vec v + \lob<\vecc u_k> \ = \ \vec w + \lob<\vecc z_k>\ ?
$$
Stačí porovnat hodnosti následujících matic:
$$
  \hod\pmatrix{\vec u_1\cr\vdots\cr\vec u_k\cr\vec z_1\cr\vdots\cr\vec z_k\cr
               \vec w - \vec v} =
  \hod\pmatrix{\vec u_1\cr\vdots\cr\vec u_k} =
  \hod\pmatrix{\vec z_1\cr\vdots\cr\vec z_k}
$$
Viz též stranu [9] k tématu \uv{matice}.  
               
\n -----------------------------------------------------------------

\g Soustavy se čtvercovou maticí A

* Je-li matice $\A$ {\bf regulární}, pak soustava má jediné řešení.

* Je-li matice $\A$ {\bf regulární}, pak lze soustavu $\A\,{\bf x}={\bf b}$
  řešit vynásobením této rovnosti inverzní maticí $\A^{-1}$ zleva:
  $$ 
      \A^{-1}\A\,{\bf x} = \A^{-1}\,{\bf b}, \quad
      \hbox{tj.}\quad   {\bf x} = \A^{-1}\,{\bf b}.
  $$
\vskip-.5\baselineskip
* Je-li matice $\A$ {\bf regulární}, je možné také provést LU rozklad této matice a řešit
  jednu soustavu dopřednou substitucí a další zpětnou substitucí.
  Viz stranu [3] k tématu \uv{LU rozklad}. Je to nepatrně numericky
  výhodnější než počítat inverzní matici.

* Je-li matice $\A$ {\bf regulární} a zajímají nás jen některé složky řešení, je
  možné použít {\em Cramerovo pravidlo}, viz následující stranu. 

* Je-li $\A$ {\bf singulární}, pak po eliminaci $(\A\,|\,{\bf b}) \sim  (\C\,|\,{\bf d})$
  dostáváme soustavu s maticí $\C$, která není čtvercová. Dále je
  nutné použít postupy uvedené na předchozích stranách.


\n -----------------------------------------------------------------

\g Cramerovo pravidlo

Nechť $\A$ je regulární čtvercová matice. Pak pro $i$-tou složku řešení
soustavy $\A\,{\bf x} = {\bf b}$ platí
$$
  x_i = {\det \B_i \over \det\A}\,,
$$
kde matice $\B_i$ je shodná s maticí $\A$ až na $i$-tý sloupec, který
je zaměněn za sloupec pravých stran.

Důkaz: Využijeme vztah ${\bf x}=\A^{-1}\cdot{\bf b}$ a zaměříme se v
maticovém součinu na výpočet $i$-tého řádku v matici ${\bf x}$.
Přitom matici $\A^{-1}$ zapíšeme pomocí doplňků.
Viz stranu [19] k tématu \uv{determinant}.

\n -----------------------------------------------------------------

\g Příklad

Vyřešíme soustavu s parametrem $p\in\R$, která má rozšířenou matici:
$$
  \def\+{\phantom0}\def\|{\hfill\kern8pt\vrule height1.1em depth.3em\kern-5pt}
  \def\c{\cr\noalign{\vskip-2pt}}
  (\A\,|\,{\bf b}) =
  \pmatrix{2&-p&-1\|&3\c 1&-7&-5\|&0\c -1&3&p\|&-1}
$$
Je $\det\A = (p-2)\,(p-17)$. Takže pro $p=17$ nebo $p=2$ je matice
soustavy singulární:
$$
  \def\+{\phantom0}\def\|{\hfill\kern8pt\vrule height1.1em depth.3em\kern-5pt}
  \def\c{\cr\noalign{\vskip-2pt}}
  \eqalign{
  p=17:& \   \pmatrix{2&-17&-1\|&3\c 1&-7&-5\|&0\c -1&3&17\|&-1}
        \sim \pmatrix{1&-7&-5\|&0\c 0&-1&3\|&1\c 0&0&0\|&1}\ 
        \ldots \ M=\emptyset
\cr\noalign{\bigskip}
  p=2:& \   \pmatrix{2&-2&-1\|&3\c 1&-7&-5\|&0\c -1&3&2\|&-1} 
       \sim \pmatrix {1&-7&-5\|&0\c 0&4&3\|&1}\ \ldots
}
$$
\hfill$\ldots\ M \ = \ (5/3,0,1/3)\ +\ \lob<(1,3,-4)>$

\n ---------------------------------------------------------

\g Příklad (pokračování)

Pro $p\not=17$ a $p\not=2$ je matice soustavy regulární a soustava má
jediné řešení. Najdeme toto řešení pomocí Cramerova pravidla.
$$
  \eqalign{
  \det\pmatrix{3&-p&-1\cr 0&-7&-5\cr -1&3&p}\! &= -26(p-2), \quad \!
  \det\pmatrix{2&3&-1\cr 1&0&-5\cr -1&-1&p}\! = -3(p-2) \cr\noalign{\bigskip}
  \det\pmatrix{2&-p&3\cr 1&-7&0\cr -1&3&-1}\! &= -(p-2). \quad\!
  \hbox{Protože $\det\A=(p-2)\,(p-17)$, je:}
}
$$
$$
  x_1 = {-26(p-2)\over(p-2)\,(p-17)} = {26\over 17-p}, \quad
  x_2 = {3\over 17-p}, \quad
  x_3 = {1\over 17-p}.
$$

Pro případ $p\not=17$ a $p\not=2$ obsahuje množina $M$ jediné řešení:
$$
  M=\left\{\left({26\over17-p},\ {3\over17-p},\ {1\over17-p}\right)\right\}.$$


\n ---------------------------------------------------------------

\g Maticová rovnice AX = B

* Je-li $\A$ regulární matice, pak rovnice má jediné řešení
  $\X = \A^{-1}\,\B$.

* Jinak stačí matice $\X$ a $\B$ rozepsat do sloupců:
  $$
    \X = (\X_1\ \X_2\ \ldots\ \X_k), \quad
    \B = (\B_1\ \B_2\ \ldots\ \B_k),
  $$
  takže maticová rovnice přechází na $k$ soustav lineárních rovnic
  $$
    \A\,\X_1=\B_1, \quad \A\,\X_2 = \B_2, \quad \ldots \A\,\X_k=\B_k.
  $$
  Tyto soustavy mají společnou matici soustavy, tj. společnou
  přidruženou homogenní soustavu, tj. společnou množinu $M_0$ všech
  řešení přidružené homogenní soustavy. Pro každou soustavu zvlášť je
  třeba spočítat partikulární řešení.

* Množina všech řešení je množina všech matic $\X$, které mají ve sloupcích
  odpovídající partikulární řešení, ke kterým je v každém sloupci
  (nezávisle) přičtena množina řešení $M_0$.

\end