\chyph \hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm \ifx\pdfoutput\undefined \else \pdfpagewidth=21cm \pdfpageheight=15cm \fi \font\logocvut=lev scaled400 \ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi \def\cislo{1} \headline={\setfonts[/10]\rm \ifnum\pageno>1 \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Olšák \quad}\else \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]} \footline={} \def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{% \setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. Viz p. d. 4/2010 }\vss}} \input ofs [a35] %\def\fomenc{CM} %\showfonts \end %\displayfontmessages \setfonts[NewCentury/17] \setmath[17/12/8] \baselineskip=22pt \message{\fontname\tenit} \medskipamount=9pt \let\ms=\medskip \parskip=\medskipamount \def\n#1\par{\vfill\break} \def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip} \def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip} \def\hb{\hfil\break} \parindent=0pt \catcode`\*=13 \def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}} \let\em=\it \def\C{{\bf C}} \def\R{{\bf R}} \def\Q{{\bf Q}} \def\st{\mathop{\rm St}} \gg Polynomy \bigskip\bigskip Polynom je možno definovat dvěma způsoby: \ms * jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, * jako ten vzorec samotný. \n---------------------------------------------- \g První způsob zavedení polynomu {\bf Definice 1:} {\em Polynom\/} je komplexní funkce $p: \C\to\C$, pro kterou existují komplexní čísla $a_0,a_1,\ldots,a_n$ taková, že $$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$$ pro všechna $x\in\C$. Čísla $a_0,a_1,\ldots,a_n$ nazýváme {\em koeficienty polynomu}. Dále zavádíme pojmy: {\em Rovnost polynomů\/} jako rovnost funkcí:\hb $p=q$, když $p(x)=q(x)$ pro všechna $x\in\C$. {\em Součet polynomů, násobek polynomu\/} jako součet a násobek funkcí:\hb $p+q$ je funkce, pro kterou $(p+q)(x) = p(x)+q(x)$ pro všechna $x\in\C$, $\alpha p$ je funkce, pro kterou $(\alpha p)(x) = \alpha\cdot p(x)$ pro všechna $x\in\C$. \n----------------------------------------- \g Druhý způsob zavedení polynomu {\bf Definice 2:} {\em Polynom\/} je vzorec tvaru $$ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, $$ kde $a_0,a_1,\ldots,a_n$ jsou komplexní čísla a $x$ je formální proměnná. Čísla $a_0,a_1,\ldots,a_n$ nazýváme {\em koeficienty polynomu}. {\em Hodnota polynomu\/} $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ v bodě $\alpha\in\C$ je komplexní číslo, které dostaneme dosazením čísla $\alpha$ za proměnou~$x$ do uvedeného vzorce. \n-------------------------------------------- Dále zavádíme pojmy: {\em Rovnost polynomů\/}: Dva polynomy se rovnají, pokud současně platí * koeficienty se stejnými indexy se rovnají, * má-li jeden polynom koeficient, který druhý polynom nemá, pak tento koeficient je nulový. {\em Součet polynomů, násobek polynomu\/}: jako součet příslušných vzor\-ců a násobek vzorce konstantou. Přesněji: Má-li polynom $p$ koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_m$ a má-li polynom $q$ koeficienty $b_0,b_1,\ldots,b_n$ a je $m\le n$, pak polynom $p+q$ má koeficienty $$ a_0+b_0,a_1+b_1,\ldots,a_m+b_m, b_{m+1},\ldots b_n. $$ Dále polynom $\alpha p$ má koeficienty $\alpha a_0,\alpha a_1,\ldots,\alpha a_m$. Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů {\em algoritmicky}. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou $x$ algoritmy nepracují. \n------------------------------------------- \g Součin polynomů {\em Součin dvou polynomů $p$ a $q$}, které mají koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_m$ a $b_0,b_1,\ldots,b_n$, je polynom, který má koeficienty $c_0,c_1,\ldots,c_{m+n}$ takové, že $$ c_k = a_0b_k + a_1b_{k-1} + \ldots + a_kb_0, $$ přičemž v tomto vzorci klademe $a_i=0$ pro $i>m$ a $b_i=0$ pro $i>n$. Jak jsme na to přišli? $$ \eqalign{ & (a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_mx^m)\cdot(b_0+b_1x+b_2x^2+\ldots+b_nx^n) =\cr &= (a_0 b_0) + (a_0 b_1 + a_1 b_0)\, x + {}\cr &\quad+ (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)\, x^2 + \cdots + {}\cr &\quad+ (a_0 b_{m+n} + a_1 b_{m+n-1} +\cdots+a_mb_n+\cdots+ a_{m+n} b_0)\, x^{m+n}. } $$ \n--------------------------------------------------- \g Vztah mezi funkcí a koeficienty Jaký je vztah mezi prvním a druhým způsobem pojetí polynomu? Tj. mezi polynomem jako {\em funkcí} a polynomem jako {\em vzorcem} charakterizovaným svými {\em koeficienty\/}? {\bf Tvrzení:} * Polynom daný koeficienty jednoznačně určuje funkci podle definice~1. * Polynom jako funkce má své koeficienty určeny jednoznačně\hb (až na \uv{přebývající} nulové koeficienty). \n---------------------------------------------------- První část tvrzení je zřejmá. Vzorec určuje funkci. Druhá část tvrzení není zcela zřejmá. K jejímu důkazu použijeme pomocnou větu: {\bf Věta:} nulová funkce je polynom, který musí mít všechny koeficienty nulové. Důkaz: Nechť $p(x) = a_n x^n + \cdots + a_1x + a_0 = 0$ pro všechna $x\in\C$, Koeficient $a_0$ musí být nulový (stačí dostadit $x=0$). Takže platí $p(x) = x\,(a_n x^{n-1} + \cdots + a_1) = x\,q(x) = 0$. Polynom $q$ je nulový pro všechna $x\in\C\setminus\{0\}$. Protože $q$ je funkce spojitá, je také $q(0)=0$. Dosazením $x=0$ dostáváme $a_1=0$ a postup můžeme opakovat. Dostaneme $a_2=0$, \dots, $a_n=0$. \n--------------------------------------------------- Vraťme se k tvrzení: Polynom jako funkce má své koeficienty určeny jednoznačně. Důkaz: Ať polynom $p$ (jako funkce) má koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$ a také ať má koeficienty $b_0,b_1,\ldots,b_n$ (koeficienty doplníme nulami, kdyby původně měl být počet koeficientů různý). Funkce $p-p$ je nulová a má zřejmě koeficienty $a_0-b_0,a_1-b_1,\ldots,a_n-b_n$. Podle předchozí věty musejí být tyto koeficienty nulové, takže musí být $a_i=b_i$ pro všechna $i$. Nemůže se tedy stát, aby měl jeden polynom (jako funkce) dvě sady různých koeficientů. \n----------------------------------------------------- \g Stupeň polynomu {\bf Definice:} polynom se všemi koeficienty nulovými se nazývá {\em nulový polynom}. {\em Stupeň polynomu $p$} s koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$ je největší index $i$ takový, že $a_i\not=0$. Stupeň nulového polynomu definujeme hodnotou~$-1$. Stupeň polynomu $p$ značíme $\st p$ {\bf Pozorování:} Pro nenulové polynomy $p$ a $q$ platí: $$ \st (p+q) \le \max (\st p, \,\st q),\qquad \st (p\cdot q) = \st p + \st q $$ \n------------------------------------------------------- \g Dělení polynomu polynomem se zbytkem {\bf Věta:} Pro polynomy $p$ a $q$ (polynom $q$ nenulový) existují polynomy $r$ a $z$ takové, že * $p = r\cdot q + z$, (neboli $p/q = r + z/q$), * $\st z<\st q$. Polynomu $r$ říkáme {\em částečný podíl} a polynomu $z$ říkáme {\em zbytek} při dělení polynomu $p$ polynomem $q$. Platnost věty je zaručena existencí algoritmu, který pro každé $p$, $q$ vytvoří $r$ a $z$ uvedených vlastností. \n----------------------------------------------------- Algoritmus (příklad): $$ \def\0{\phantom0} \setbox0=\hbox{$(2x^5-3x^4+3x^3-\0x^2-\06x+\08\rlap)$} \def\r#1{\setbox2=\hbox{$#1$}\hbox to\wd0{\hss\copy2}} \def\l#1{\hbox to\wd0{$#1$\hss}} \def\rule{\vskip-15pt\hbox to\wd0{\hss\hbox to\wd2{\hrulefill}}\vskip-5pt} \def\-{\llap{$-$}} \hbox{\vtop{ \hbox{\copy0} \l{\llap{$-$}(2x^5-4x^4+8x^3)} \smallskip\hrule\smallskip \r{x^4-5x^3-\0x^2-\06x+\08} \r{\-(x^4-2x^3+4x^2\rlap)\phantom{{}-06x+08}} \rule \r{-3x^3-5x^2-\06x+\08} \r{\-(-3x^3+6x^2-12x\rlap)\phantom{{}+08}} \rule \r{-11x^2+\06x+\08} \r{\-(-11x^2+22x-44\rlap)} \rule \r{-16x+52} }$\hskip8pt\hbox{:}\hskip4pt(x^2-2x+4) = 2x^3+x^2-3x-11$} $$ \n------------------------------------------------------- Algoritmus (náčrt): $$ \def\0{\phantom0} \setbox0=\hbox{$p$\hskip180pt} \def\r#1{\setbox2=\hbox{$#1$}\hbox to\wd0{\hss\copy2}} \def\l#1{\hbox to\wd0{$#1$\hss}} \def\rule{\vskip-15pt\hbox to\wd0{\hss\hbox to\wd2{\hrulefill}}\vskip-5pt} \def\-{\llap{$-$}} \hbox{\vtop{ \hbox{\copy0} \l{\llap{$-$}c_kx^k\cdot q} \smallskip\hrule\smallskip \l{ p - c_k x^k\cdot q } \r{\- c_{k-1}x^{k-1}\cdot q \hskip 90pt} \rule \r{ p - c_k x^k\cdot q - c_{k-1}x^{k-1}\cdot q } \r{\hskip90pt\ldots} \rule \l{\hskip 80pt p - (c_k x^k + c_{k-1}x^{k-1} + \ldots + c_0)\cdot q = p - r\, q = z} }$\hskip8pt\hbox{:}\quad q \quad =\quad c_k x^k + c_{k-1}x^{k-1} + \ldots + c_0$} $$ Algoritmus: * vždy skončí po konečně mnoha krocích, * vyprodukuje polynomy $r$ a $z$, které mají vlastnosti podle věty. (rozmyslete si, proč) \n-------------------------------------------------------- \g Jednoznačnost částečného podílu a zbytku Polynomy $r$ a $z$ s vlastnomstmi podle předchozí věty jsou určeny výchozími polynomy $p$ a $q$ jednoznačně. Důkaz: Ať kromě $r$ a $z$ ještě polynomy $r_1$ a $z_1$ mají uvedené vlastnosti, tj. $$ p = r\cdot q + z = r_1\cdot q + z_1, \qquad \st z<\st q, \quad \st z_1<\st q. $$ Po odečtení první rovnosti je $(r-r_1)\,q = z_1-z$. Stupeň na pravé straně je menší než $q$, takže na levé straně musí být $q$ násobeno nulou. Tj. $r=r_1$. Z~toho také plyne, že $z=z_1$. \n-------------------------------------------------------- \g Hornerovo schéma = = algoritmus na efektivní vyhodnocení polynomu v daném bodě. $$ \eqalign{ p(\alpha) &= a_n\alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + a_{n-2}\alpha^{n-2} + \cdots + a_2\alpha^2 + a_1 \alpha + a_0 =\cr &= ((\cdots((a_n\alpha + a_{n-1})\,\alpha + a_{n-2})\,\alpha + \cdots + a_2)\,\alpha + a_1)\,\alpha + a_0. } $$ Mezivýpočty (závorky) mohou zůstávat v registru procesoru. Odhadněte počet násobení a sčítání při vyhodnocení polynomu stupně~$n$ v~bodě a) přímo pomocí vzorce z definice polynomu b) podle Hornerova schématu \n--------------------------------------------------------- \g Tři řádky Hornerova schématu Při psaní mezivýpočtů na papír můžeme použít třířádkové schéma: $$ \vbox{\halign{&\ \hfil$#$\hfil\ \cr & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_2 & a_1 & a_0 \cr \alpha: & & \alpha b_{n-1} & \alpha b_{n-2} & \ldots & \alpha b_2 & \alpha b_1 & \alpha b_0 \cr \noalign{\smallskip\hrule\smallskip} & b_{n-1} & b_{n-2} & b_{n-3} & \ldots & b_1 & b_0 & p(\alpha) \cr }} $$ kde $b_{n-1}=a_n$, $b_{k-1}=a_k+\alpha b_k$ pro $k=n-1, n-2, \ldots, 3, 2, 1$. Vyplatí se to, protože platí následující tvrzení \dots \n----------------------------------------------------------- {\bf Tvrzení:} třetí řádek Hornerova schématu obsahuje koeficienty $b_i$, což jsou koeficienty polynomu $r$, pro který platí: $$ p(x) = r(x)\,(x-\alpha) + p(\alpha) $$ tedy: $r$ je částečný podíl polynomu $p$ polynomem $(x-\alpha)$. Důkaz: je třeba využít rekurentních vztahů $$b_{n-1}=a_n, \quad b_{k-1}=a_k+\alpha b_k $$ a propočítat výraz $r(x)\,(x-\alpha) + p(\alpha)$. K čemu to je: nemusíme pro výpočet částečného podílu polynomu polynomem stupně prvního používat algoritmus ze slídu~[12]. \n------------------------------------------------------------- \g Kořen polynomu {\bf Definice:} {\em Kořen polynomu $p$} je takové číslo $\alpha\in\C$, pro které je $p(\alpha)=0$. Jinými slovy: kořen je číslo, ve kterém má polynom nulovou hodnotu. {\bf Definice:} {\em Kořenový činitel polynomu $p$} je polynom tvaru $x-\alpha$, kde $\alpha$ je kořen polynomu $p$. {\bf Pozorování:} Polynom je dělitelný svým kořenovým činitelem. Důkaz: Částečný podíl polynomu $p$ kořenovým činitelem $(x-\alpha)$ musí mít stupeň zbytku menší než 1, takže zbytek je konstanta $z$. Takže $$ p(x) = r(x)\cdot(x-\alpha) + z. $$ Po dosazení $x=\alpha$ dostáváme $0=p(\alpha) = r(\alpha)\cdot 0 + z$, takže $z=0$. \n-------------------------------------------------- \g Základní věta algebry {\bf Věta:} Každý polynom stupně aspoň prvního má v $\C$ kořen. {\bf Poznámka:} Polynom stupně nula je nenulová konstanta, tj. nemá kořen. {\bf Pozorování:} Třebaže má polynom stupně aspoň prvního reálné koeficienty, nemusí mít žádný reálný kořen. Například polynom $x^2+1$. Základní věta algebry praví, že polynom má {\em komplexní}, kořen. Důkaz základní věty algebry: neuvádíme. \n----------------------------------------------------- \g Rozklad polynomu na kořenové činitele Nechť $p$ je polynom stupně aspoň prvního. Pak má kořen $\alpha_1$ a je dělitelný kořenovým činitelem $x-\alpha_1$, tedy $p=(x-\alpha_1)\cdot p_1(x)$. Polynom $p_1$ má stupeň o jeden menší, než stupeň $p$. Nechť $p_1$ je polynom stupně aspoň prvního. Pak má kořen $\alpha_2$ a je dělitelný činitelem $x-\alpha_2$, tedy $p=(x-\alpha_1)\cdot p_1(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdot p_2(x)$. Polynom $p_2$ má stupeň o dva menší, než stupeň $p$. Opakovaným postupem této úvahy dostáváme $$ p=(x-\alpha_1)\cdot p_1(x)=(x-\alpha_1)\cdot(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)\cdot K, $$ kde $K=p_n$ je polynom stupně nultého (nenulová konstanta). Tomuto vzorci se říká {\em rozklad polynomu $p$ na kořenové činitele}. \n----------------------------------------------------------- \g Násobnost kořene {\bf Pozorování:} Všechna čísla $\alpha_i$ v předchozím vzorci (v~rozkladu na kořenové činitele) jsou kořeny polynomu $p$. {\bf Pozorování:} Počet kořenových činitelů v předchozím vzorci je roven stupni polynomu. {\bf Definice:} {\em Násobnost} kořene $\alpha$ je počet výskytů čísla $\alpha$ v~kořenových činitelích v~rozkladu na kořenové činitele. {\bf Pozorování:} Každý polynom má tolik kořenů, kolik je jeho stupeň. Každý kořen ovšem započítáme tolikrát, kolik činí jeho násobnost. {\bf Pozorování:} Konstanta $K$ v rozkladu na kořenové činitele je rovna koeficientu $a_n$. \n------------------------------------------------------------ \g Nalézt rozklad na kořenové činitele není algebraicky pro obecný polynom $p$ možné. Při hledání rozkladu je totiž potřeba najít všechny kořeny polynomu $p$ na základě znalosti jeho koeficientů. Vzorce existují pro polynomy stupně 1, 2, 3,~4 a dále pro některé speciální polynomy. {\bf Příklad:} Pro polynom stupně 2 vzorce pro kořeny jistě znáte: $$ \alpha_1 = {-a_1 + \sqrt{a_1^2-4a_2a_0} \over 2a_2}, \qquad \alpha_2 = {-a_1 - \sqrt{a_1^2-4a_2a_0} \over 2a_2} $$ Pro polynomy stupně pátého a vyššího algebraické vzorce {\em neexistují}. Pomocí teorie grup Niels Abel a Évartiste Galois dokázali, že tyto vzorce skutečně neexistují (tj. je dokázáno, že vzorce ani v~budoucnu nikdo objeví). To není ve sporu se základní větou algebry, která říká, že kořen existuje (zdůvodněte proč). \n------------------------------------------------------------------- \g Speciální případ: kořeny jsou celá čísla Jsou-li koeficienty polynomu celočíselné, pak je možno vyzkoušet, zda nepůjde nalézt kořen mezi děliteli koeficientu $a_0$. Těch je konečně mnoho. Pokud mezi nimi kořen nenalezneme, nemáme sice rozklad, ale máme aspoň jistotu, že polynom nemá další celočíselné kořeny. Platí totiž: {\bf Věta:} Je-li $\alpha$ celočíselný kořen polynomu $p$ s~celočíselnými koeficienty, pak $\alpha$ dělí koeficient $a_0$. Důkaz: V rovnosti $0 = a_n\alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + \cdots + a_1\alpha + a_0$ (která plyne z~toho, že $\alpha$ je kořen) odečteme z obou stran $a_0$ a ze zbytku vytkneme $\alpha$. Dostáváme $a_0 = -\alpha\cdot(a_n\alpha^{n-1} + a_{n-1}\alpha^{n-2} + \cdots + a_1) = \alpha\cdot c$, kde $c$ je celé číslo. Takže $\alpha$ dělí $a_0$. \n ------------------------------------------------------------------- \g Příklad Rozložíme $p(x) = x^5-12x^4+48x^3-62x^2-33x+90$. Má-li být kořenem celé číslo, může to být jedině dělitel devadesátky, tedy čísla $1,2,3,5,6,\ldots,90,-1,-2,-3,\ldots,-90$. Těchto konečně mnoho čísel můžeme zkusit dosadit do polynomu. Vychází např. $p(2)=0$, takže $2$ je kořen. Další kořeny stačí hledat v polynomu $p_1(x) = p(x)/(x-2)$. Koeficienty tohoto polynomu najdeme ve třetím řádku Hornerova schématu. Je $p_1(x) = x^4-10x^3+28x^2-6x-45$. Tento polynom má kořen $3$ a $p_2(x) = p(x)/((x-2)(x-3)) = x^3-7x^2+7x+15$. Trojka je znovu kořen polynomu $p_2$ a $p_3(x) = p(x)/((x-2)(x-3)^2) = x^2-4x-5$. Tento kvadratický polynom má kořeny $5$ a $-1$. Rozklad daného polynomu je: $p(x) = (x-2)(x-3)^2(x-5)(x+1)$. Jiný příklad: rozklad polynomu $x^5-12x^4+48x^3-62x^2-33x+91$ nelze algebraicky nalézt. Dělitele $91$ jsou $1,7,13,91,-1,-7,-13,-91$. Můžeme zjistit, že žádné z těchto čísel není kořen, takže polynom nemá celočíselné kořeny. {\emergencystretch=2em\par} \n------------------------------------------------------------------- \g Komplexně sdružené kořeny Polynomy s reálnými koeficienty ne vždy mají jen reálné kořeny. Komplexní kořeny se ovšem v takovém případě vyskytují v párech: {\bf Tvrzení:} Je-li $\alpha\in\C$ kořen polynomu $p$ s reálnými koeficienty, pak $\overline\alpha$ (komplexně sdružené číslo k číslu $\alpha$) je také kořen polynomu $p$, dokonce stejné násobnosti. Proč je $\overline\alpha$ kořen? Platí $$ \eqalign{ p(\overline\alpha) &= a_0 + a_1\overline\alpha + a_2\overline\alpha^2 + \cdots + a_n\overline\alpha^n = \cr &= \overline{a_0} + \overline{a_1}\,\,\overline\alpha + \overline{a_2}\,\,\overline{\alpha^2} + \cdots + \overline{a_n}\,\,\overline{\alpha^n} = \cr &= \overline{a_0 + a_1\alpha + a_2\alpha^2 + \cdots + a_n\alpha^n} = \overline{p(\alpha)} = \overline 0 = 0. } $$ Proč mají $\alpha$ a $\overline\alpha$ stejnou násobnost? Součin $(x-\alpha)\cdot(x-\overline\alpha)$ je polynom s~reálnými koeficienty (propočítejte si to). \n---------------------------------------------------------- \g Reálný rozklad Dvojici kořenových činitelů $(x-\alpha)$ a $(x-\overline\alpha)$ můžeme roznásobit a dostáváme kvadratický polynom s reálnými koeficienty $$ (x-\alpha)\cdot(x-\overline\alpha) \, = \, x^2 + \beta x + \gamma. $$ Nahradíme-li všechny takové páry kořenových činitelů jejich součiny, dostáváme v případě polynomu s reálnými koeficienty: * součin kořenových činitelů s reálnými kořeny násobený * součinem kvadratických polynomů, které nemají reálné kořeny. Reálný rozklad má obecně tvar $$ p(x) = c\cdot(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_k) (x^2 + \beta_1 x + \gamma_1)\cdots(x^2 + \beta_m x + \gamma_m) $$ \n---------------------------------------------------------------- \g Reálný rozklad s násobnostmi Zapíšeme-li v reálném rozkladu vícenásobné kořenové činitele pomocí mocnin a stejně tak opakované kvadratické polynomy pomocí mocnin, dostáváme rozklad: $$ p(x) = c\,(x-\alpha_1)^{u_1}\cdots(x-\alpha_k)^{u_k}\cdot (x^2 + \beta_1 x + \gamma_1)^{v_1}\cdots(x^2 + \beta_m x + \gamma_m)^{v_m} $$ Takový rozklad se často používá, * aby se výpočet obešel bez použití komplexních čísel a * aby explicitně počítal s možností výskytu vícenásobných kořenů (např. integrál racionální lomené funkce). \n------------------------------------------------------------------- \g Parciální zlomky {\bf Věta:} Nechť $\st p < \st q$ a $\alpha$ je $k$ násobným kořenem polynomu $q$. Označme $q=(x-\alpha)^k\cdot q_1$. Pak existuje $a\in\C$ a polynom $p_1$ takový, že $\st p_1 < \st q - 1$ a $$ {p(x)\over q(x)} = {a\over(x-\alpha)^k} + {p_1(x)\over (x-\alpha)^{k-1}q_1(x)} \quad \hbox{$\forall\ x\in\C$ takové, že $q(x)\not=0$} $$ Důkaz: Protože $\alpha$ je $k$-násobným kořenem $q$, platí $q_1(\alpha)\not=0$. Dokazovaná rovnost je ekvivalentní s $p(x) = a\cdot q_1(x) + p_1(x)\cdot(x-\alpha)$. Po dosazení $\alpha\to x$ je $p(\alpha) = a\cdot q_1(\alpha)$, tj. $a = p(\alpha)/q_1(\alpha)$. Polynom $p(x)-a\cdot q_1(x)$ má stupeň nejvýše roven $\max(\st p,\st q_1)$ a má kořen $\alpha$. Dělení jeho kořenovým činitelem vychází tedy beze zbytku a výsledkem dělení je polynom $p_1$. Jeho stupeň je tedy aspoň o~jedničku menší než $\max(\st p,\st q_1)$ a je tedy menší než $\st q - 1$. \n ------------------------------------------------------------ \g Rozklad na parciální zlomky je důsledek předchozí věty: $$ \eqalign{ {p(x)\over q(x)} &= {a_k\over(x-\alpha)^k} + {a_{k-1}\over(x-\alpha)^{k-1}} + \cdots + {a_1\over(x-\alpha)} + {p_2(x)\over q_1(x)} = \cr & = \sum_{i=1}^{k_1} {a_{i,{k_1}}\over(x-\alpha_1)^i} + \sum_{i=1}^{k_2} {a_{i,{k_2}}\over(x-\alpha_2)^i} + \cdots + \sum_{i=1}^{k_u} {a_{i,{k_u}}\over(x-\alpha_r)^i} } $$ Reálný rozklad na parciální zlomky: $$ \displaylines{ {p(x)\over q(x)} = \sum_{i=1}^{k_1} {a_{i,{k_1}}\over(x-\alpha_1)^i} + \sum_{i=1}^{k_2} {a_{i,{k_2}}\over(x-\alpha_2)^i} + \cdots + \sum_{i=1}^{k_u} {a_{i,{k_u}}\over(x-\alpha_r)^i} + {} \cr + \sum_{i=1}^{m_1} {b_{i,{m_1}}x+c_{i,{m_1}}\over(x^2+\beta_1 x+\gamma_1)^i}+ \sum_{i=1}^{m_2} {b_{i,{m_2}}x+c_{i,{m_2}}\over(x^2+\beta_2 x+\gamma_2)^i}+ \cdots+ \sum_{i=1}^{m_v} {b_{i,{m_v}}x+c_{i,{m_v}}\over(x^2+\beta_s x+\gamma_s)^i} } $$ \n ------------------------------------------------------------ \g Polynom nad tělesem Číselné obory $\Q$, $\R$ a $\C$ jsou příklady takzvaných {\em těles} (o tom promluvíme podrobněji později). Těleso zde značím písmenem $T$. Pokud polynom má koeficienty jen z $T$ a definiční obor je také z $T$ (tj. za formální proměnnou $x$ dosazujeme jen čísla z $T$), pak hovoříme o {\em polynomu nad tělesem $T$}. {\bf Definice:} Polynom $p$ nad tělesem $T$ je {\em ireducibilní v $T$}, pokud jej není možné rozložit na součin polynomů $r$, $s$ nad $T$ stupně aspoň prvního. Takže nemůže platit $p=r\cdot s$. Pokud je možné polynom výše zmíněným způsobem rozložit, říkáme mu {\em reducibilní v $T$}. \n----------------------------------------------------------------- {\bf Příklad:} Polynom $x^2+1$ je ireducibilní v $\R$. {\bf Příklad:} Polynom $x^2+1$ je reducibilní v $\C$, protože $$x^2+1 \, = \, (x+i)\cdot(x-i).$$ % {\bf Příklad:} V $\C$ jsou ireducibilní pouze polynomy stupně nejvýše prvního. To zaručuje základní věta algebry. {\bf Příklad:} Polynom $x^2-2$ je ireducibilní v $\Q$, ale je reducibilní v $\R$ i~$\C$, protože $x^2-2 = (x-\sqrt 2)\cdot(x+\sqrt 2)$ a to jsou polynomy stupně aspoň prvního nad $\R$ i nad $\C$, ale ne nad $\Q$. {\bf Příklad:} Rozklad na kořenové činitele je rozklad na součin ireducibilních polynomů v $\C$. {\bf Příklad:} Reálný rozklad je rozklad na součin ireducibilních polynomů v $\R$. \end