
\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi

\font\logocvut=lev scaled400

\ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi
\def\cislo{1}

\headline={\setfonts[/10]\rm
   \ifnum\pageno>1 
   \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Ol��k \quad}\else
   \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]}
\footline={}

\def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{%
\setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Ol��k, FEL �VUT, c) P. Ol��k 2010,
  d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. 
  Viz p. d. 4/2010
}\vss}}


\input ofs [a35] %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  \baselineskip=22pt

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\st{\mathop{\rm St}}

\gg Polynomy

\bigskip\bigskip

Polynom je mo�no definovat dv�ma zp�soby:

\ms

* jako re�lnou nebo komplexn� funkci, jejich� hodnoty jsou
  d�ny jist�m vzorcem,
* jako ten vzorec samotn�.

\n----------------------------------------------

\g Prvn� zp�sob zaveden� polynomu

{\bf Definice 1:} {\em Polynom\/} je komplexn� funkce $p: \C\to\C$, 
pro kterou existuj� komplexn� ��sla $a_0,a_1,\ldots,a_n$ takov�, �e
$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$$ 
pro v�echna $x\in\C$.

��sla $a_0,a_1,\ldots,a_n$ naz�v�me {\em koeficienty polynomu}.

D�le zav�d�me pojmy:

{\em Rovnost polynom�\/} jako rovnost funkc�:\hb
$p=q$, kdy� $p(x)=q(x)$ pro v�echna $x\in\C$.

{\em Sou�et polynom�, n�sobek polynomu\/} jako sou�et a n�sobek funkc�:\hb
   $p+q$ je funkce, pro kterou $(p+q)(x) = p(x)+q(x)$ pro v�echna $x\in\C$,

   $\alpha p$ je funkce, pro kterou $(\alpha p)(x) = \alpha\cdot p(x)$
   pro v�echna $x\in\C$.

\n-----------------------------------------

\g Druh� zp�sob zaveden� polynomu

{\bf Definice 2:} {\em Polynom\/} je vzorec tvaru
$$
  a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,
$$ 
kde $a_0,a_1,\ldots,a_n$
jsou komplexn� ��sla a $x$ je form�ln� prom�nn�.

��sla $a_0,a_1,\ldots,a_n$ naz�v�me {\em koeficienty polynomu}.

{\em Hodnota polynomu\/} $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$
v bod� $\alpha\in\C$ je komplexn� ��slo, kter� dostaneme dosazen�m
��sla $\alpha$ za prom�nou~$x$ do uveden�ho vzorce.

\n--------------------------------------------

D�le zav�d�me pojmy:

{\em Rovnost polynom�\/}: Dva polynomy se rovnaj�, pokud sou�asn� plat�

* koeficienty se stejn�mi indexy se rovnaj�,

* m�-li jeden polynom koeficient, kter� druh� polynom nem�, 
  pak tento koeficient je nulov�.

{\em Sou�et polynom�, n�sobek polynomu\/}: jako sou�et p��slu�n�ch
vzor\-c� a n�sobek vzorce konstantou. P�esn�ji:

M�-li polynom $p$ koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_m$ a m�-li polynom $q$
koeficienty $b_0,b_1,\ldots,b_n$ a je $m\le n$, pak polynom
$p+q$ m� koeficienty 
$$
  a_0+b_0,a_1+b_1,\ldots,a_m+b_m, b_{m+1},\ldots b_n.
$$
D�le polynom $\alpha p$ m� koeficienty
$\alpha a_0,\alpha a_1,\ldots,\alpha a_m$.

V�sledky operac� jsou tedy pops�ny pomoc� sv�ch koeficient�
{\em algoritmicky}. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty
polynom�, kter� s��t�me resp. n�sob�me. S prom�nnou $x$ 
algoritmy nepracuj�.

\n-------------------------------------------

\g Sou�in polynom�

{\em Sou�in dvou polynom� $p$ a $q$}, kter� maj� koeficienty
$a_0,a_1,\ldots,a_m$ a $b_0,b_1,\ldots,b_n$, je polynom, kter� m�
koeficienty
$c_0,c_1,\ldots,c_{m+n}$ takov�, �e
$$
  c_k = a_0b_k + a_1b_{k-1} + \ldots + a_kb_0,
$$
p�i�em� v tomto vzorci klademe $a_i=0$ pro $i>m$ a $b_i=0$ pro $i>n$.

Jak jsme na to p�i�li?
$$
\eqalign{
&  (a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_mx^m)\cdot(b_0+b_1x+b_2x^2+\ldots+b_nx^n) =\cr
&= (a_0 b_0) + (a_0 b_1 + a_1 b_0)\, x + {}\cr 
&\quad+ (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)\, x^2 + \cdots + {}\cr
&\quad+ (a_0 b_{m+n} + a_1 b_{m+n-1} +\cdots+a_mb_n+\cdots+ a_{m+n} b_0)\, x^{m+n}.
}
$$

\n---------------------------------------------------

\g Vztah mezi funkc� a koeficienty

Jak� je vztah mezi prvn�m a druh�m zp�sobem pojet� polynomu?

Tj. mezi polynomem jako {\em funkc�} a polynomem jako 
{\em vzorcem} charakterizovan�m sv�mi {\em koeficienty\/}?

{\bf Tvrzen�:}
* Polynom dan� koeficienty jednozna�n� ur�uje funkci podle
  definice~1. 
* Polynom jako funkce m� sv� koeficienty ur�eny
  jednozna�n�\hb (a� na \uv{p�eb�vaj�c�} nulov� koeficienty). 

\n----------------------------------------------------

Prvn� ��st tvrzen� je z�ejm�. Vzorec ur�uje funkci.

Druh� ��st tvrzen� nen� zcela z�ejm�. K jej�mu d�kazu 
pou�ijeme pomocnou v�tu:

{\bf V�ta:} nulov� funkce je polynom, kter� mus� m�t v�echny koeficienty nulov�.

D�kaz: 
Nech� $p(x) = a_n x^n + \cdots + a_1x + a_0 = 0$ pro v�echna $x\in\C$,
Koeficient $a_0$ mus� b�t nulov� (sta�� dostadit $x=0$).
Tak�e plat� $p(x) = x\,(a_n x^{n-1} + \cdots + a_1) = x\,q(x) = 0$.
Polynom $q$ je nulov� pro v�echna $x\in\C\setminus\{0\}$. Proto�e $q$ je
funkce spojit�, je tak� $q(0)=0$. Dosazen�m $x=0$ dost�v�me $a_1=0$ a postup
m��eme opakovat. Dostaneme $a_2=0$, \dots, $a_n=0$.


\n---------------------------------------------------

Vra�me se k tvrzen�:  Polynom jako funkce m� sv� koeficienty ur�eny
jednozna�n�.

D�kaz:
A� polynom $p$ (jako funkce) m� koeficienty
$a_0,a_1,\ldots,a_n$ a tak� a� m� koeficienty $b_0,b_1,\ldots,b_n$
(koeficienty dopln�me nulami, kdyby p�vodn� m�l b�t po�et koeficient�
r�zn�). Funkce $p-p$ je nulov� a m� z�ejm� koeficienty
$a_0-b_0,a_1-b_1,\ldots,a_n-b_n$. Podle p�edchoz� v�ty musej� b�t tyto
koeficienty nulov�, tak�e mus� b�t $a_i=b_i$ pro v�echna $i$.
Nem��e se tedy st�t, aby m�l jeden polynom (jako funkce) dv� sady r�zn�ch
koeficient�.

\n-----------------------------------------------------

\g Stupe� polynomu

{\bf Definice:} polynom se v�emi koeficienty nulov�mi se naz�v�
{\em nulov� polynom}.

{\em Stupe� polynomu $p$} s koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$
je nejv�t�� index $i$ takov�, �e $a_i\not=0$.
Stupe� nulov�ho polynomu definujeme hodnotou~$-1$.

Stupe� polynomu $p$ zna��me $\st p$

{\bf Pozorov�n�:}
Pro nenulov� polynomy $p$ a $q$ plat�:
$$
  \st (p+q) \le \max (\st p, \,\st q),\qquad
  \st (p\cdot q) = \st p + \st q
$$

\n-------------------------------------------------------

\g D�len� polynomu polynomem se zbytkem

{\bf V�ta:} Pro polynomy $p$ a $q$ (polynom $q$ nenulov�)
existuj� polynomy $r$ a $z$ takov�, �e

* $p = r\cdot q + z$, (neboli $p/q = r + z/q$),
* $\st z<\st q$.

Polynomu $r$ ��k�me {\em ��ste�n� pod�l} a polynomu $z$ ��k�me 
{\em zbytek} p�i d�len� polynomu $p$ polynomem $q$.

Platnost v�ty je zaru�ena existenc� algoritmu, kter� pro ka�d�
$p$, $q$ vytvo�� $r$ a $z$ uveden�ch vlastnost�.

\n-----------------------------------------------------

Algoritmus (p��klad):
$$
  \def\0{\phantom0}
  \setbox0=\hbox{$(2x^5-3x^4+3x^3-\0x^2-\06x+\08\rlap)$}
  \def\r#1{\setbox2=\hbox{$#1$}\hbox to\wd0{\hss\copy2}}
  \def\l#1{\hbox to\wd0{$#1$\hss}}
  \def\rule{\vskip-15pt\hbox to\wd0{\hss\hbox to\wd2{\hrulefill}}\vskip-5pt}
  \def\-{\llap{$-$}}
  \hbox{\vtop{
    \hbox{\copy0}
    \l{\llap{$-$}(2x^5-4x^4+8x^3)}
    \smallskip\hrule\smallskip
    \r{x^4-5x^3-\0x^2-\06x+\08}
    \r{\-(x^4-2x^3+4x^2\rlap)\phantom{{}-06x+08}}
    \rule
    \r{-3x^3-5x^2-\06x+\08}
    \r{\-(-3x^3+6x^2-12x\rlap)\phantom{{}+08}}
    \rule
    \r{-11x^2+\06x+\08}
    \r{\-(-11x^2+22x-44\rlap)}
    \rule
    \r{-16x+52}
  }$\hskip8pt\hbox{:}\hskip4pt(x^2-2x+4) = 2x^3+x^2-3x-11$}
$$

\n-------------------------------------------------------

Algoritmus (n��rt):
$$
  \def\0{\phantom0}
  \setbox0=\hbox{$p$\hskip180pt}
  \def\r#1{\setbox2=\hbox{$#1$}\hbox to\wd0{\hss\copy2}}
  \def\l#1{\hbox to\wd0{$#1$\hss}}
  \def\rule{\vskip-15pt\hbox to\wd0{\hss\hbox to\wd2{\hrulefill}}\vskip-5pt}
  \def\-{\llap{$-$}}
  \hbox{\vtop{
    \hbox{\copy0}
    \l{\llap{$-$}c_kx^k\cdot q}
    \smallskip\hrule\smallskip
    \l{ p - c_k x^k\cdot q }
    \r{\- c_{k-1}x^{k-1}\cdot q \hskip 90pt}
    \rule
    \r{ p - c_k x^k\cdot q - c_{k-1}x^{k-1}\cdot q   }
    \r{\hskip90pt\ldots}
     \rule
    \l{\hskip 80pt p - (c_k x^k + c_{k-1}x^{k-1} + \ldots + c_0)\cdot q = p - r\, q = z}
  }$\hskip8pt\hbox{:}\quad q \quad =\quad c_k x^k + c_{k-1}x^{k-1} + \ldots + c_0$}
$$

Algoritmus: 

* v�dy skon�� po kone�n� mnoha kroc�ch,
* vyprodukuje polynomy $r$ a $z$, kter� maj� vlastnosti podle v�ty.

(rozmyslete si, pro�)

\n--------------------------------------------------------

\g Jednozna�nost ��ste�n�ho pod�lu a zbytku

Polynomy $r$ a $z$ s vlastnomstmi podle p�edchoz� v�ty
jsou ur�eny v�choz�mi polynomy $p$ a $q$ jednozna�n�.

D�kaz:
A� krom� $r$ a $z$ je�t� polynomy $r_1$ a $z_1$ maj� uveden�
vlastnosti, tj.
$$
  p = r\cdot q + z = r_1\cdot q + z_1, \qquad 
  \st z<\st q, \quad \st z_1<\st q.
$$
Po ode�ten� prvn� rovnosti je $(r-r_1)\,q = z_1-z$.
Stupe� na prav� stran� je men�� ne� $q$, tak�e na lev� stran� 
mus� b�t $q$ n�sobeno nulou. Tj. $r=r_1$. Z~toho tak� plyne, 
�e $z=z_1$.

\n--------------------------------------------------------

\g Hornerovo sch�ma =

= algoritmus na efektivn� vyhodnocen� polynomu
v dan�m bod�.
$$
  \eqalign{
  p(\alpha) &= a_n\alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + 
  a_{n-2}\alpha^{n-2} + \cdots + a_2\alpha^2 + a_1 \alpha + a_0 =\cr
  &= ((\cdots((a_n\alpha + a_{n-1})\,\alpha + a_{n-2})\,\alpha + 
  \cdots + a_2)\,\alpha + a_1)\,\alpha + a_0.
}
$$

Meziv�po�ty (z�vorky) mohou z�st�vat v registru procesoru.

Odhadn�te po�et n�soben� a s��t�n� p�i vyhodnocen� polynomu stupn�~$n$
v~bod�

a) p��mo pomoc� vzorce z definice polynomu

b) podle Hornerova sch�matu
 

\n---------------------------------------------------------

\g T�i ��dky Hornerova sch�matu

P�i psan� meziv�po�t� na pap�r m��eme pou��t t����dkov� sch�ma:

$$
  \vbox{\halign{&\ \hfil$#$\hfil\ \cr
           & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_2 & a_1 & a_0 \cr
   \alpha: &     & \alpha b_{n-1} & \alpha b_{n-2} & \ldots & 
                                      \alpha b_2 & \alpha b_1 & \alpha b_0 \cr
   \noalign{\smallskip\hrule\smallskip}
           & b_{n-1} & b_{n-2} & b_{n-3} & \ldots & b_1 & b_0 & p(\alpha) \cr
   }}
$$
kde $b_{n-1}=a_n$, $b_{k-1}=a_k+\alpha b_k$ pro $k=n-1, n-2, \ldots, 3, 2, 1$.

Vyplat� se to, proto�e plat� n�sleduj�c� tvrzen� \dots

\n-----------------------------------------------------------

{\bf Tvrzen�:} t�et� ��dek Hornerova sch�matu obsahuje koeficienty $b_i$,
co� jsou koeficienty polynomu $r$, pro kter� plat�:
$$
  p(x) = r(x)\,(x-\alpha) + p(\alpha)
$$
tedy: $r$ je ��ste�n� pod�l polynomu $p$ polynomem $(x-\alpha)$.

D�kaz: je t�eba vyu��t rekurentn�ch vztah�  
$$b_{n-1}=a_n, \quad b_{k-1}=a_k+\alpha b_k
$$ 
a propo��tat v�raz
$r(x)\,(x-\alpha) + p(\alpha)$.

K �emu to je: nemus�me pro v�po�et ��ste�n�ho pod�lu polynomu polynomem
stupn� prvn�ho pou��vat algoritmus ze sl�du~[12].

\n-------------------------------------------------------------

\g Ko�en polynomu

{\bf Definice:} {\em Ko�en polynomu $p$} je takov� ��slo $\alpha\in\C$, pro
kter� je $p(\alpha)=0$. 

Jin�mi slovy: ko�en je ��slo, ve kter�m m� polynom nulovou hodnotu.

{\bf Definice:} {\em Ko�enov� �initel polynomu $p$} je polynom
tvaru $x-\alpha$, kde $\alpha$ je ko�en polynomu $p$.

{\bf Pozorov�n�:} Polynom je d�liteln� sv�m ko�enov�m �initelem.

D�kaz:
��ste�n� pod�l polynomu $p$ ko�enov�m �initelem $(x-\alpha)$ mus� m�t
stupe� zbytku men�� ne� 1, tak�e zbytek je konstanta $z$.
Tak�e 
$$
p(x) = r(x)\cdot(x-\alpha) + z.
$$ 
Po dosazen� $x=\alpha$
dost�v�me $0=p(\alpha) = r(\alpha)\cdot 0 + z$, tak�e $z=0$.

\n--------------------------------------------------

\g Z�kladn� v�ta algebry

{\bf V�ta:} Ka�d� polynom stupn� aspo� prvn�ho m� v $\C$ ko�en.

{\bf Pozn�mka:} Polynom stupn� nula je nenulov� konstanta, tj. nem�
ko�en.

{\bf Pozorov�n�:} T�eba�e m� polynom stupn� aspo� prvn�ho 
re�ln� koeficienty, nemus� m�t ��dn� re�ln� ko�en. Nap��klad polynom $x^2+1$.
Z�kladn� v�ta algebry prav�, �e polynom m� {\em komplexn�}, ko�en.

D�kaz z�kladn� v�ty algebry: neuv�d�me.

\n-----------------------------------------------------

\g Rozklad polynomu na ko�enov� �initele

Nech� $p$ je polynom stupn� aspo� prvn�ho. Pak m� ko�en $\alpha_1$ a je
d�liteln� ko�enov�m �initelem $x-\alpha_1$, tedy $p=(x-\alpha_1)\cdot p_1(x)$.
Polynom $p_1$ m� stupe� o jeden men��, ne� stupe� $p$.

Nech� $p_1$ je polynom stupn� aspo� prvn�ho. Pak m� ko�en $\alpha_2$ a je
d�liteln� �initelem $x-\alpha_2$, tedy 
$p=(x-\alpha_1)\cdot p_1(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdot p_2(x)$.
Polynom $p_2$ m� stupe� o dva men��, ne� stupe� $p$.

Opakovan�m postupem t�to �vahy dost�v�me
$$
  p=(x-\alpha_1)\cdot
  p_1(x)=(x-\alpha_1)\cdot(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)\cdot K,
$$
kde $K=p_n$ je polynom stupn� nult�ho (nenulov� konstanta).

Tomuto vzorci se ��k� {\em rozklad polynomu $p$ na ko�enov� �initele}.


\n-----------------------------------------------------------

\g N�sobnost ko�ene

{\bf Pozorov�n�:} V�echna ��sla $\alpha_i$ v p�edchoz�m vzorci 
(v~rozkladu na ko�enov� �initele) jsou ko�eny polynomu $p$.

{\bf Pozorov�n�:} Po�et ko�enov�ch �initel� v p�edchoz�m vzorci je roven
stupni polynomu.

{\bf Definice:} {\em N�sobnost} ko�ene $\alpha$ je po�et v�skyt� ��sla
$\alpha$ v~ko�enov�ch �initel�ch v~rozkladu na ko�enov� �initele.
 
{\bf Pozorov�n�:} Ka�d� polynom m� tolik ko�en�, kolik je jeho stupe�.
Ka�d� ko�en ov�em zapo��t�me tolikr�t, kolik �in� jeho n�sobnost.

{\bf Pozorov�n�:} Konstanta $K$ v rozkladu na ko�enov� �initele 
je rovna koeficientu $a_n$.

\n------------------------------------------------------------

\g Nal�zt rozklad na ko�enov� �initele

nen� algebraicky pro obecn� polynom $p$ mo�n�.

P�i hled�n� rozkladu je toti� pot�eba naj�t v�echny ko�eny polynomu $p$ na z�klad�
znalosti jeho koeficient�. Vzorce existuj� pro polynomy stupn� 1, 2, 3,~4 a
d�le pro n�kter� speci�ln� polynomy. 

{\bf P��klad:} Pro polynom stupn� 2 vzorce pro ko�eny jist� zn�te:
$$
  \alpha_1 = {-a_1 + \sqrt{a_1^2-4a_2a_0} \over 2a_2}, \qquad
  \alpha_2 = {-a_1 - \sqrt{a_1^2-4a_2a_0} \over 2a_2}
$$

Pro polynomy stupn� p�t�ho a vy���ho algebraick� vzorce {\em neexistuj�}. 
Pomoc� teorie grup Niels Abel a �vartiste Galois dok�zali, �e tyto
vzorce skute�n� neexistuj� (tj. je dok�z�no, �e vzorce ani 
v~budoucnu nikdo objev�).

To nen� ve sporu se z�kladn� v�tou algebry, kter� ��k�, �e ko�en
existuje (zd�vodn�te pro�). 

\n-------------------------------------------------------------------

\g Speci�ln� p��pad: ko�eny jsou cel� ��sla

Jsou-li koeficienty polynomu celo��seln�, pak je mo�no vyzkou�et, zda
nep�jde nal�zt ko�en mezi d�liteli koeficientu $a_0$. T�ch je kone�n�
mnoho. Pokud mezi nimi ko�en nenalezneme, nem�me sice rozklad, 
ale m�me aspo� jistotu, �e polynom nem� dal�� celo��seln� ko�eny. Plat� toti�:

{\bf V�ta:} Je-li $\alpha$ celo��seln� ko�en polynomu $p$ 
s~celo��seln�mi koeficienty, pak $\alpha$ d�l� koeficient $a_0$.

D�kaz: V rovnosti $0 = a_n\alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + \cdots +
a_1\alpha + a_0$ (kter� plyne z~toho, �e $\alpha$ je ko�en) 
ode�teme z obou stran $a_0$ a ze zbytku vytkneme
$\alpha$. Dost�v�me
$a_0 = -\alpha\cdot(a_n\alpha^{n-1} + a_{n-1}\alpha^{n-2} + \cdots +
a_1) = \alpha\cdot c$, kde $c$ je cel� ��slo. Tak�e $\alpha$ d�l� $a_0$.

\n -------------------------------------------------------------------

\g P��klad

Rozlo��me $p(x) =  x^5-12x^4+48x^3-62x^2-33x+90$. M�-li b�t ko�enem
cel� ��slo, m��e to b�t jedin� d�litel devades�tky, tedy ��sla
$1,2,3,5,6,\ldots,90,-1,-2,-3,\ldots,-90$. T�chto kone�n� mnoho
��sel m��eme zkusit dosadit do polynomu. Vych�z� nap�. $p(2)=0$, tak�e
$2$ je ko�en. Dal�� ko�eny sta�� hledat v polynomu
$p_1(x) = p(x)/(x-2)$. Koeficienty tohoto polynomu najdeme ve t�et�m
��dku Hornerova sch�matu. Je $p_1(x) = x^4-10x^3+28x^2-6x-45$.
Tento polynom m� ko�en $3$ a $p_2(x) = p(x)/((x-2)(x-3)) = x^3-7x^2+7x+15$.
Trojka je znovu ko�en polynomu $p_2$ a 
$p_3(x) = p(x)/((x-2)(x-3)^2) = x^2-4x-5$. Tento kvadratick� polynom
m� ko�eny $5$ a $-1$. Rozklad dan�ho polynomu je:
$p(x) = (x-2)(x-3)^2(x-5)(x+1)$.

Jin� p��klad: rozklad polynomu
$x^5-12x^4+48x^3-62x^2-33x+91$
nelze algebraicky nal�zt. D�litele $91$ jsou 
$1,7,13,91,-1,-7,-13,-91$. M��eme zjistit, �e ��dn� z t�chto ��sel
nen� ko�en, tak�e polynom nem� celo��seln� ko�eny.
{\emergencystretch=2em\par}

\n-------------------------------------------------------------------

\g Komplexn� sdru�en� ko�eny

Polynomy s re�ln�mi koeficienty ne v�dy maj� jen re�ln�
ko�eny. Komplexn� ko�eny se ov�em v takov�m p��pad� vyskytuj� v p�rech:

{\bf Tvrzen�:} Je-li $\alpha\in\C$ ko�en polynomu $p$ s re�ln�mi
koeficienty, pak $\overline\alpha$ (komplexn� sdru�en� ��slo k ��slu $\alpha$)
je tak� ko�en polynomu $p$, dokonce
stejn� n�sobnosti.

Pro� je $\overline\alpha$ ko�en? Plat� 
$$
    \eqalign{
  p(\overline\alpha) &= a_0 + a_1\overline\alpha + 
       a_2\overline\alpha^2 + \cdots + a_n\overline\alpha^n
  = \cr 
  &= \overline{a_0} + \overline{a_1}\,\,\overline\alpha + 
       \overline{a_2}\,\,\overline{\alpha^2} + \cdots + \overline{a_n}\,\,\overline{\alpha^n}
  = \cr 
  &= \overline{a_0 + a_1\alpha + 
       a_2\alpha^2 + \cdots + a_n\alpha^n}
  = \overline{p(\alpha)} = \overline 0 = 0.
}
$$
Pro� maj� $\alpha$ a $\overline\alpha$ stejnou n�sobnost? Sou�in
$(x-\alpha)\cdot(x-\overline\alpha)$ je polynom s~re�ln�mi koeficienty
(propo��tejte si to).

\n----------------------------------------------------------

\g Re�ln� rozklad

Dvojici ko�enov�ch �initel� $(x-\alpha)$ a $(x-\overline\alpha)$
m��eme rozn�sobit a dost�v�me kvadratick� polynom s re�ln�mi
koeficienty 
$$
  (x-\alpha)\cdot(x-\overline\alpha) \, = \, x^2 + \beta x + \gamma.
$$ 
Nahrad�me-li v�echny takov�
p�ry ko�enov�ch �initel� jejich sou�iny, dost�v�me v p��pad� polynomu
s re�ln�mi koeficienty:

* sou�in ko�enov�ch �initel� s re�ln�mi ko�eny n�soben�
* sou�inem kvadratick�ch polynom�, kter� nemaj� re�ln� ko�eny.

Re�ln� rozklad m� obecn� tvar
$$
  p(x) = c\cdot(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_k)
         (x^2 + \beta_1 x + \gamma_1)\cdots(x^2 + \beta_m x + \gamma_m)
$$

\n----------------------------------------------------------------

\g Re�ln� rozklad s n�sobnostmi

Zap��eme-li v re�ln�m rozkladu v�cen�sobn� ko�enov� �initele
pomoc� mocnin a stejn� tak opakovan� kvadratick� polynomy pomoc�
mocnin, dost�v�me rozklad:
$$
   p(x) = c\,(x-\alpha_1)^{u_1}\cdots(x-\alpha_k)^{u_k}\cdot
         (x^2 + \beta_1 x + \gamma_1)^{v_1}\cdots(x^2 + \beta_m x + \gamma_m)^{v_m}
$$
Takov� rozklad se �asto pou��v�, 

* aby se v�po�et obe�el bez pou�it� komplexn�ch ��sel a 
* aby explicitn� po��tal s mo�nost� v�skytu v�cen�sobn�ch ko�en� 

(nap�. integr�l racion�ln� lomen� funkce).

\n-------------------------------------------------------------------

\g Parci�ln� zlomky

{\bf V�ta:} Nech� $\st p < \st q$ a $\alpha$ je $k$ n�sobn�m ko�enem
polynomu $q$. Ozna�me $q=(x-\alpha)^k\cdot q_1$. 
Pak existuje $a\in\C$ a polynom $p_1$ takov�,
�e $\st p_1 < \st q - 1$ a
$$
  {p(x)\over q(x)} = {a\over(x-\alpha)^k} + {p_1(x)\over (x-\alpha)^{k-1}q_1(x)} \quad
  \hbox{$\forall\ x\in\C$ takov�, �e $q(x)\not=0$}
$$

D�kaz: Proto�e $\alpha$ je $k$-n�sobn�m ko�enem $q$,
plat� $q_1(\alpha)\not=0$.
Dokazovan� rovnost je ekvivalentn� s 
$p(x) = a\cdot q_1(x) + p_1(x)\cdot(x-\alpha)$.
Po dosazen� $\alpha\to x$ je $p(\alpha) = a\cdot q_1(\alpha)$, tj.
$a = p(\alpha)/q_1(\alpha)$. Polynom $p(x)-a\cdot q_1(x)$ m� stupe�
nejv��e roven $\max(\st p,\st q_1)$ a m� ko�en $\alpha$. D�len�
jeho ko�enov�m �initelem vych�z� tedy beze zbytku a v�sledkem d�len�
je polynom $p_1$. Jeho stupe� je tedy aspo� o~jedni�ku men�� ne�
$\max(\st p,\st q_1)$ a je tedy men�� ne� $\st q - 1$.

\n ------------------------------------------------------------

\g Rozklad na parci�ln� zlomky

je d�sledek p�edchoz� v�ty:
$$
\eqalign{
{p(x)\over q(x)} &= {a_k\over(x-\alpha)^k} + {a_{k-1}\over(x-\alpha)^{k-1}}
+ \cdots + {a_1\over(x-\alpha)} + {p_2(x)\over q_1(x)} = \cr
& = \sum_{i=1}^{k_1} {a_{i,{k_1}}\over(x-\alpha_1)^i} +
    \sum_{i=1}^{k_2} {a_{i,{k_2}}\over(x-\alpha_2)^i} + \cdots
  + \sum_{i=1}^{k_u} {a_{i,{k_u}}\over(x-\alpha_r)^i} 
}
$$
Re�ln� rozklad na parci�ln� zlomky:
$$
\displaylines{
{p(x)\over q(x)} = \sum_{i=1}^{k_1} {a_{i,{k_1}}\over(x-\alpha_1)^i} +
    \sum_{i=1}^{k_2} {a_{i,{k_2}}\over(x-\alpha_2)^i} + \cdots
  + \sum_{i=1}^{k_u} {a_{i,{k_u}}\over(x-\alpha_r)^i} + {} \cr
  + \sum_{i=1}^{m_1} {b_{i,{m_1}}x+c_{i,{m_1}}\over(x^2+\beta_1 x+\gamma_1)^i}+
\sum_{i=1}^{m_2} {b_{i,{m_2}}x+c_{i,{m_2}}\over(x^2+\beta_2 x+\gamma_2)^i}+
\cdots+
\sum_{i=1}^{m_v} {b_{i,{m_v}}x+c_{i,{m_v}}\over(x^2+\beta_s x+\gamma_s)^i}
}
$$



\n ------------------------------------------------------------

\g Polynom nad t�lesem

��seln� obory $\Q$, $\R$ a $\C$ jsou p��klady takzvan�ch {\em t�les}
(o tom promluv�me podrobn�ji pozd�ji). T�leso zde zna��m p�smenem $T$.

Pokud polynom m� koeficienty jen z $T$ a defini�n� obor je tak� z $T$
(tj. za form�ln� prom�nnou $x$ dosazujeme jen ��sla z $T$), pak
hovo��me o {\em polynomu nad t�lesem $T$}.

{\bf Definice:} Polynom $p$ nad t�lesem $T$ je {\em ireducibiln� v $T$}, pokud
jej nen� mo�n� rozlo�it na sou�in polynom� $r$, $s$ nad $T$ stupn� aspo�
prvn�ho. Tak�e nem��e platit $p=r\cdot s$.

Pokud je mo�n� polynom v��e zm�n�n�m zp�sobem rozlo�it, ��k�me mu 
{\em reducibiln� v $T$}.

\n-----------------------------------------------------------------

{\bf P��klad:} Polynom $x^2+1$ je ireducibiln� v $\R$.

{\bf P��klad:} Polynom $x^2+1$ je reducibiln� v $\C$, proto�e
$$x^2+1 \, = \, (x+i)\cdot(x-i).$$
%
{\bf P��klad:} V $\C$ jsou ireducibiln� pouze polynomy stupn� nejv��e
prvn�ho. To zaru�uje z�kladn� v�ta algebry.

{\bf P��klad:} Polynom $x^2-2$ je ireducibiln� v $\Q$, ale je
reducibiln� v $\R$ i~$\C$, proto�e $x^2-2 = (x-\sqrt 2)\cdot(x+\sqrt 2)$ a
to jsou polynomy stupn� aspo� prvn�ho nad $\R$ i nad $\C$, ale ne nad $\Q$.

{\bf P��klad:} Rozklad na ko�enov� �initele je rozklad na sou�in
ireducibiln�ch polynom� v $\C$.

{\bf P��klad:} Re�ln� rozklad je rozklad na sou�in ireducibiln�ch
polynom� v $\R$. 




\end

