\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi

\font\logocvut=lev scaled400

\ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi
\def\cislo{11}

\headline={\setfonts[/10]\rm
   \ifnum\pageno>1 
   \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Ol��k \quad}\else
   \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]}
\footline={}

\def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{%
\setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Ol��k, FEL �VUT, c) P. Ol��k 2010,
  d) BI-LIN, e) L, f) 2009/20010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. 
  Viz p. d. 4/2010
}\vss}}

\input ofs [a35]  %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  
\baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\a{{A}}
\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\D{{\bf D}}
\def\E{{\bf E}}
\def\P{{\bf P}}
\def\L{{\bf L}}
\def\U{{\bf U}}
\def\X{{\bf X}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}

% ===============================================================

\vglue .5cm

\gg Matice

\gg line�rn�ch 

\gg zobrazen�

\bigskip\bigskip

* matice ur�uje zobrazen� $\a(x) = \A{\bf x}$

* zobrazen� $\a: \R^n\to\R^m$ ur�uje matici

* zobrazen� lin. prostor� kone�n� dimenze maj� matici vzhledem 
  k vybran�m b�z�m


\n ---------------------------------------------------------------

\g P�ipomenut�

Zobrazen� $A: L_1\to L_2$ je {\em line�rn�}, kdy�

* $A(\vec x+\vec y) = A(\vec x) + A(\vec y)$,

* $A(\alpha\cdot\vec x) = \alpha\cdot A(\vec x)$.

Co� je ekvivalentn� s principem superpozice:

* $
  A(\alpha_1 \vec x_1 + \cdots +
\alpha_n \vec x_n) \ =\ \alpha_1\, A(\vec x_1) + \cdots
+ \alpha_n\, A(\vec x_n)
$

\n ---------------------------------------------------------------

\g Je d�na matice $\setmath[//]\A\in\R^{m,n}$,

\vskip -.5\baselineskip

\g pak m�me zobrazen� $\setmath[//]\a:\R^n\to\R^m$.


\bigskip

Skute�n�, zobrazen� $\a:\R^n\to\R^m$ dan� p�edpisem
$$\a({\bf x}) = \A\cdot{\bf x}$$ je line�rn�.

\bigskip

{\bf Pozn�mka}: vektory z $\R^n$, $\R^m$ nyn� pova�ujeme za\hb 
{\em sloupcov� vektory}.


\n ---------------------------------------------------------------

\g P��klad

Zobrazen� $\a:\R^4\to\R^3$ je ur�eno matic� $\A\in\R^{3,4}$:
$$
  \displaylines{
  \a(x_1,x_2,x_3,x_4) =
  \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 3 & 1 & 0 & 2\cr 5 & 7 & 4 & 6}
  \cdot \pmatrix{x_1\cr x_2\cr x_3\cr x_4} = \A\cdot{\bf x} = \cr
  = (x_1+3x_2+2x_3+2x_4,\ 3x_1+x_2+2x_4,\ 5x_1+7x_2+4x_3+6x_4)^T
}
$$

* j�dro tohoto zobrazen� je nulov� prostor matice $\A$.
* hodnost zobrazen� $\a$ je hodnost matice $\A$
* v�ta ${\rm def}\a+\hod\a = \dim L_1$ p�ech�z� na v�tu\hb 
  $\dim M_0 + \hod\A ={}$ po�et prom�nn�ch.

\n ---------------------------------------------------------------

\g Hodnost zobrazen� je hodnost matice

{\bf V�ta}:
Nech� $\A\in\R^{m,n}$.
Hodnost line�rn�ho zobrazen� $\a:\R^n\to\R^m$, kter� je d�no p�edpisem
$\a({\bf x})=\A\cdot{\bf  x}$, je rovna hodnosti matice $\A$, tedy:
$$
  \hod\a = \hod\A
$$


D�kaz: hodnost zobrazen� je dimenze obalu obraz� b�zov�ch vektor�, co�
je dimenze obalu sloupc� matice, co� je hodnost matice.


\n --------------------------------------------------------------

\g Line�rn� prostor line�rn�ch zobrazen�

* V�echna line�rn� zobrazen� $A:L_1 \to L_2$ ozna��m $T$.

* Symboly $A$ a $B$ na t�to str�nce jsou prvky z $T$.

* Definujeme $A+B: L_1 \to L_2$ p�edpisem
  $(A+B)(x) = A(x)+B(x)$.

* Pozorov�n�: Sou�et prvk� z $T$ je prvek z $T$.

* Definujeme $\alpha\cdot A: L_1 \to L_2$ p�edpisem
  $(\alpha\cdot A)(x) = \alpha\cdot A(x)$.

* Pozorov�n�: $\alpha$-n�sobek prvku z $T$ je prvek z $T$.

* Uveden� operace spl�uj� axiomy line�rn�ho prostoru 
  (d�ky tomu, �e $L_2$ je line�rn� prostor), tak�e:

* $T$ je line�rn� prostor line�rn�ch zobrazen�.


\n ---------------------------------------------------------------

\g Lin. zobrazen� ur�eno hodnotami na b�zi

{\bf V�ta}: Jsou-li zn�my hodnoty line�rn�ho zobrazen� 
$A: L_1\to L_2$ na kone�n� b�zi $B$ lin. prostoru $L_1$, je t�m zobrazen� $A$
jednozna�n� ur�eno na cel�m $L_1$. 

D�kaz: \
$
  A(\alpha_1 \vec b_1 + \cdots +
\alpha_n \vec b_n) \ =\ \alpha_1\, A(\vec b_1) + \cdots
+ \alpha_n\, A(\vec b_n)
$\hb
Zobrazen� sou�adnic je line�rn�, tak�e takto dodefinovan� zobrazen�
$A$ je line�rn�. Na b�zov�ch vektorech m� p�edepsan� hodnoty.

Jednozna�nost: Kdyby existovalo dal�� line�rn� zobrazen� $B$ se
stejn�mi hodnotami na b�zi $B$, pak $A-B$ je line�rn� zobrazen� s
nulov�mi hodnotami na b�zi a podle principu superpozice mus� b�t $A-B$
nulov� zobrazen� v�ude. Tak�e $A=B$.

\n -------------------------------------------------------------

\g P��klad

Je d�no
$$
  \a(1,1,2) = (1,0,1,0), \
  \a(1,2,2) = (2,0,2,0), \
  \a(2,1,5) = (1,2,2,1).
$$
Proto�e trojice vektor� $(1,1,2)$, $(1,2,2)$, $(2,1,5)$ tvo�� b�zi
v~$\R^3$, existuje jedin� line�rn� zobrazen� s uvedenou vlastnost�.
Najdeme vzorec pro $\a(x_1,x_2,x_3)$:
$$
  \eqalign{
  (x_1,x_2,x_3) &= \alpha\,(1,1,2) + \beta\,(1,2,2) + \gamma\,(2,1,5)\cr
    (x_1,x_2,x_3) &= (8x_1 - x_2 -3x_3)\cdot(1,1,2) +
                    (-3x_1 + x_2 + x_3)\cdot(1,2,2) + {}\cr
                  &\qquad  +(x_3-2x_1)\cdot(2,1,5), \cr
    \a(x_1,x_2,x_3) &= \a\bigl((8x_1 - x_2 -3x_3)\,(1,1,2) +
                    (-3x_1 + x_2 + x_3)\,(1,2,2) + {}\cr
                   &\qquad + (x_3-2x_1)\,(2,1,5)\bigr) = \cr
   &= (8x_1 {-} x_2 {-}3x_3)\,(1,0,1,0) +
                    (-3x_1 {+} x_2 {+} x_3)\,(2,0,2,0) + {}\cr
                   &\qquad + (x_3-2x_1)\,(1,2,2,1) = \cr
   &= (x_2,\; -4x_1+2x_3,\; -2x_1+x_2+x_3,\; -2x_1+x_3).   
}
$$

\n --------------------------------------------------------------


\g Ka�d� lin. zobrazen� $\setmath[//]A:\R^n\to\R^m$

\vskip -.5\baselineskip

\g m� svou matici $\setmath[//]\A\in\R^{m,n}$


{\bf V�ta}: Pro ka�d� line�rn� zobrazen� $A:\R^n\to\R^m$
existuje jedin� matice $\A\in\R^{m,n}$, pro kterou je
$$
  A({\bf x}) = \A\cdot{\bf x}
$$

D�kaz: Nech�
$\A = (A({\bf e}_1)\ A({\bf e}_2)\ \ldots\ A({\bf e}_n))$. 
Z�ejm� plat� $A({\bf x}) = \A\cdot{\bf x}$ pro 
${\bf x}\in\{{\bf e}_1, {\bf e}_2, \ldots, {\bf e}_n\}$.\hb
Zobrazen� $A$ i zobrazen�
$\A\cdot{\bf x}$ jsou line�rn� zobrazen�, kter� se shoduj� na
b�zi $\{{\bf e}_1, {\bf e}_2, \ldots, {\bf e}_n\}$. Tak�e se shoduj� v�ude.

{\bf D�sledek}: Vzorec pro hodnoty jak�hokoli line�rn�ho zobrazen� 
z~$\R^n$ do $\R^m$ m� v�dy tvar $\A\cdot{\bf x}$.

\n --------------------------------------------------------------

\g Od zobrazen� k matici

\g $\setmath[//]A: L_1\to L_2 \ \ \longleftrightarrow \ \
    A':\R^n\to \R^m \ \ \longleftrightarrow \ \ \A\in\R^{m,n}$
 
Ka�d�mu line�rn�mu zobrazen� $A: L_1\to L_2$ line�rn�ch prostor� 
kone�n� dimenze p�i�ad�me matici takto:

* V $L_1$ zvol�me uspo��danou b�zi $(B)$. 
* V $L_2$ zvol�me uspo��danou b�zi $(C)$.
* Zobrazen� sou�adnic $L_1\to\R^n$ vzhledem k $(B)$ ozna��me $C_1$.
* Zobrazen� sou�adnic $L_2\to\R^m$ vzhledem k $(C)$ ozna��me $C_2$.
* Nech� $A' = C_2\circ A\circ C_1^{-1}$.
* Zobrazen� $A'$ je line�rn� a m� svou matici $\A$.

Matice $\A$ se naz�v� {\em matice zobrazen� $A$ vzhledem k b�z�m
$(B)$ a~$(C)$}. 


\n --------------------------------------------------------------

\g Vlastnosti matice zobrazen�

$\A$ je matice zobrazen� $A$ vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(C)$ pr�v�
tehdy kdy�:

* $\qquad
  \A\cdot\pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}} = 
  \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \a(\vec u)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}}
$

\medskip

* $ \qquad (\a(\vec b_1)\ \ \a(\vec b_2)\ \ \ldots\ \ \a(\vec b_n)) 
  = (\vec c_1\ \ \vec c_2\ \ \ldots\ \ \vec c_m)\cdot\A. $

\medskip

* $\A$ obsahuje v $i$-t�m sloupci sou�adnice vektoru $\a(\vec b_i)$ 
  vzhledem k~b�zi~$(C)$


\n ---------------------------------------------------------------

\g P��klad

Nech� $P_3$ jsou polynomy nejv��e t�et�ho stupn�.
Je d�no line�rn� zobrazen� $\a: P_3\to P_3$, kter� derivuje polynomy.
Najdeme jeho matici vzhledem k uspo��dan�m b�z�m $(1,x,x^2,x^3)$ a
$(1,x,x^2,x^3)$.

Matice m� ve sloupc�ch sou�adnice obraz� b�zov�ch vektor�, tj.
$$
  \a(1) = 0, \quad \a(x) = 1, \quad \a(x^2) = 2x, \quad \a(x^3) = 3x^2
$$
Sou�adnice t�chto obraz� vzhledem k b�zi $\{1,x,x^2,x^3\}$ nap��eme do
sloupc� matice:
$$
  \A = \pmatrix{0&1&0&0\cr 0&0&2&0\cr 0&0&0&3\cr 0&0&0&0}
$$
Zkuste \uv{derivovat} polynomy pomoc� maticov�ho n�soben�\dots 

\n -----------------------------------------------------------------

\g Skl�d�n� zobrazen� \ $\setmath[//]\longleftrightarrow$ \ sou�in matic

{\bf V�ta}: Nech� line�rn� zobrazen� $A$ m� matici $\A$ a line�rn�
zobrazen� $B$ � matici $\B$ (vzhledem k odpov�daj�c�m b�z�m). 
Pak slo�en� line�rn� zobrazen� $B\circ A$ m� matici $\B\cdot\A$
(vzhledem k odpov�daj�c�m b�z�m).

{\bf Pozn�mka}: Je-li $A: L_1\to L_2$ a $B: L_2\to L_3$, pak 
\uv{odpov�daj�c� b�ze} jsou uspo��dan� b�ze $(U)$ v $L_1$, $(V)$
v $L_2$ a $(W)$ v $L_3$. V uveden� v�t� se pak pracuje s matic� 
$\A$ vzhledem k $(U)$, $(V)$,
s matic� $\B$ vzhledem k $(V)$, $(W)$ a s matic� $\B\cdot\A$
vzhledem k $(U)$, $(W)$. 

D�kaz v�ty se op�r� o rovnost
$$
  \B\cdot\A\cdot\pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(U)$}} \ = \ 
  \B\cdot\pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \a(\vec u)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(V)$}} =
   \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr B(\a(\vec u))\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(W)$}}.
$$

\n --------------------------------------------------------

\g P��klad

Matice
$$
  \A = \pmatrix{0&1&0&0\cr 0&0&2&0\cr 0&0&0&3\cr 0&0&0&0}
$$
je matice derivace vzhledem k uspo��dan�m b�z�m $(1,x,x^2,x^3)$ a
$(1,x,x^2,x^3)$. Podle v�ty o slo�en�m zobrazen� je
$\A^2$ matice druh� derivace a $\A^3$ matice t�et� derivace.

\n ------------------------------------------------------------

\g Zobrazen� \ $\setmath[//] \a: L\to L$

{\bf Definice}: Zobrazen� do stejn� mno�iny se naz�v� {\em transformace}.
Line�rn� zobrazen� do stejn�ho line�rn�ho prostoru se naz�v�
{\em line�rn� transformace}.

{\em Matice transformace $\a: L\to L$ vzhledem k b�zi $(B)$} je matice
line�rn�ho zobrazen� $\a$ vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(B)$.

\n -----------------------------------------------------------  

\g P��klady

* $\A = \pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&1}$ je matice {\em projekce}.

\medskip

* $\A = \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
                  \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}$
  je matice {\em rotace}.

\medskip

* $\A = \pmatrix {a & 0 \cr 0 & b}$ je (pro $a\not=0$, $b\not=0$) 
matice {\em zm�ny m���tka}.

* Dal�� transformace vznikaj� skl�d�n�m t�chto element�rn�ch
  transformac�, jejich matice jsou pak sou�inem t�chto element�rn�ch matic.

\n -----------------------------------------------------------

\g P��klad

Nech� osa $o$ proch�z� po��tkem a sv�r� s osou $x$ �hel $\alpha$. 
Najdeme matici osov� soum�rnosti podle osy $o$..

Osov� soum�rnost vznik� jako slo�en� n�sleduj�c�ch zobrazen�:

* oto�en� o �hel $-\alpha$,

* zrcadlen�, tj. zm�na m���tka s parametry 1, $-1$,

* oto�en� zp�t o �hel $\alpha$.

Matici tohoto slo�en�ho zobrazen� spo��t�me jako sou�in matic
uveden�ch zobrazen� zapsan�ch \uv{zprava doleva}:
$$
  \displaylines {
  \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
                  \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha} \cdot
  \pmatrix {1 & 0 \cr 0 & -1} \cdot
  \pmatrix {\cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha)\cr
                  \sin(-\alpha) & \phantom{+}\cos(-\alpha)} = 
  \cr \noalign{\medskip} 
   =
  \pmatrix {\cos 2\alpha & \phantom+\sin 2\alpha\cr \sin 2\alpha& -\cos2\alpha}  
}
$$


\n -----------------------------------------------------------

\g Nestandardn� b�ze, p��klad

Najdeme matici zobrazen� $\a:\R^3\to\R^4$, kter� je dan� p�edpisem
$$
  \a(x_1,x_2,x_3) = (x_2,\ -4x_1+2x_3,\ -2x_1+x_2+x_3,\ -2x_1+x_3),
$$
vzhledem k b�z�m 
$(B) = ((1,1,2),(1,2,2),(2,1,5))$ \ a \ $(S_4)$

Proto�e
$\a(1,1,2) = (1,0,1,0)$, $\a(1,2,2) = (2,0,2,0)$, $\a(2,1,5) = (1,2,2,1)$,
a proto�e slo�ky t�chto obraz� jsou rovny sou�adnic�m vzhledem ke
standardn� b�zi $(S_4)$, sta�� slo�ky t�chto obraz� napsat do sloupc�
hledan� matice:
$$
  \A = \pmatrix{\hfill1&2&1\cr 0&0&2\cr 1&2&2\cr 0&0&1}
$$
Pokud bychom m�li hledat matici zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ 
vzhledem k nestandardn� b�zi v $L_2$, budeme m�t v�ce probl�m�\dots


\n ----------------------------------------------------------

\g Hodnost matice je hodnost zobrazen�

* Tuto skute�nost jsme zat�m dok�zali pro speci�ln� zobrazen� tvaru
  $\A\cdot{\bf x}$.

* Pro obecn� line�rn� zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ tak� plat�
  $$\hod\a = \hod\A,$$ 
  proto�e $\hod\a = \hod\a'$, kde $\a' = C_2\circ A\circ C_1^{-1}$.
  Plat�:
$$
  \def\c{C} \eqalign{ \hod\a&=\dim\a(L_1) = \dim\a(\lob<\vecc b_n>)
  =\cr &= \dim\langle\a(\vec b_1), \a(\vec b_2), \ldots, \a(\vec
  b_n)\rangle =\cr &= \dim\langle\c_2^{-1}\circ\a'\circ\c_1(\vec
  b_1),\ \ldots,\ \c_2^{-1}\circ\a'\circ\c_1(\vec b_n)\rangle = \cr
  &= \dim\,\c_2^{-1}(\langle\a'(\vec e_1), \a'(\vec
  e_2), \ldots, \a'(\vec e_n)\rangle) =\cr &= \dim\langle\a'(\vec
  e_1), \a'(\vec e_2), \ldots, \a'(\vec e_n)\rangle = \cr
  &= \dim \a'(\lob<\vecc e_n>) = \dim\a'(\R^n) = \hod\a' }
$$
Uveden� rovnosti plat�, proto�e $C_1$ a $C_2$ jsou izomorfismy.

\n ------------------------------------------------------------

\g Transformace je prost� pr�v� kdy� 

\vskip-.5\baselineskip

\g m� regul�rn� matici

Nech� $L$ m� kone�nou dimenzi, $\dim L=n$.

{\bf V�ta}: Line�rn� transformace $\a: L\to L$ je prost� pr�v� kdy�:

* je na

* m� regul�rn� matici

D�kaz: $\a$ je prost� pr�v� kdy� ${\rm def}\,\a = 0$.

Proto�e ${\rm def}\,\a + \hod\a = \dim L$, je
${\rm def}\,\a = 0$ pr�v� kdy� $\hod\a=n$.
To plat� pr�v� kdy� $\a(L) = L$, tj. $\a$ je na $L$.

Uveden� vlastnosti jsou spln�ny pr�v� kdy� $\hod\A=n$, kde $\A$ je
matice zobrazen� $\a$, tj. pr�v� kdy� $\A$ je regul�rn�.


\n -------------------------------------------------------------

\g Prostor line�rn�ch zobrazen� je izomrofn� 

\vskip-.5\baselineskip

\g s line�rn�m prostorem matic

* Ka�d�mu zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ (kde $\dim L_1=n$, $\dim L_2=m$)
  je jednozna�n� p�i�azena matice $\A\in\R^{m,n}$ vzhledem k b�z�m
  $(B)$ a~$(C)$.

* Toto p�i�azen� je zobrazen� prost� a na.

* Toto p�i�azen� je dokonce line�rn� zobrazen�. Sta�� ov��it, �e sou�et dvou
  zobrazen� $A$ a $B$ s maticemi $\A$ a $\B$ (vzhledem ke zvolen�m
  b�z�m) m� matici $\A+\B$. D�le je t�eba ov��it, �e $\alpha$ n�sobek
  line�rn�ho zobrazen� m� matici, kter� je rovna $\alpha$ n�sobku
  p�vodn� matice.

* M�m na mysli zobrazen� a p��u jeho matici. M�m na mysli matici a
  vn�m�m ji jako zobrazen�. Je to jedno.

\end
