\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi

\font\logocvut=lev scaled400

\ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi
\def\cislo{11}

\headline={\setfonts[/10]\rm
   \ifnum\pageno>1 
   \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Olšák \quad}\else
   \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]}
\footline={}

\def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{%
\setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010,
  d) BI-LIN, e) L, f) 2009/20010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. 
  Viz p. d. 4/2010
}\vss}}

\input ofs [a35]  %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  
\baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\a{{A}}
\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\D{{\bf D}}
\def\E{{\bf E}}
\def\P{{\bf P}}
\def\L{{\bf L}}
\def\U{{\bf U}}
\def\X{{\bf X}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}

% ===============================================================

\vglue .5cm

\gg Matice

\gg lineárních 

\gg zobrazení

\bigskip\bigskip

* matice určuje zobrazení $\a(x) = \A{\bf x}$

* zobrazení $\a: \R^n\to\R^m$ určuje matici

* zobrazení lin. prostorů konečné dimenze mají matici vzhledem 
  k vybraným bázím


\n ---------------------------------------------------------------

\g Připomenutí

Zobrazení $A: L_1\to L_2$ je {\em lineární}, když

* $A(\vec x+\vec y) = A(\vec x) + A(\vec y)$,

* $A(\alpha\cdot\vec x) = \alpha\cdot A(\vec x)$.

Což je ekvivalentní s principem superpozice:

* $
  A(\alpha_1 \vec x_1 + \cdots +
\alpha_n \vec x_n) \ =\ \alpha_1\, A(\vec x_1) + \cdots
+ \alpha_n\, A(\vec x_n)
$

\n ---------------------------------------------------------------

\g Je dána matice $\setmath[//]\A\in\R^{m,n}$,

\vskip -.5\baselineskip

\g pak máme zobrazení $\setmath[//]\a:\R^n\to\R^m$.


\bigskip

Skutečně, zobrazení $\a:\R^n\to\R^m$ dané předpisem
$$\a({\bf x}) = \A\cdot{\bf x}$$ je lineární.

\bigskip

{\bf Poznámka}: vektory z $\R^n$, $\R^m$ nyní považujeme za\hb 
{\em sloupcové vektory}.


\n ---------------------------------------------------------------

\g Příklad

Zobrazení $\a:\R^4\to\R^3$ je určeno maticí $\A\in\R^{3,4}$:
$$
  \displaylines{
  \a(x_1,x_2,x_3,x_4) =
  \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 3 & 1 & 0 & 2\cr 5 & 7 & 4 & 6}
  \cdot \pmatrix{x_1\cr x_2\cr x_3\cr x_4} = \A\cdot{\bf x} = \cr
  = (x_1+3x_2+2x_3+2x_4,\ 3x_1+x_2+2x_4,\ 5x_1+7x_2+4x_3+6x_4)^T
}
$$

* jádro tohoto zobrazení je nulový prostor matice $\A$.
* hodnost zobrazení $\a$ je hodnost matice $\A$
* věta ${\rm def}\a+\hod\a = \dim L_1$ přechází na větu\hb 
  $\dim M_0 + \hod\A ={}$ počet proměnných.

\n ---------------------------------------------------------------

\g Hodnost zobrazení je hodnost matice

{\bf Věta}:
Nechť $\A\in\R^{m,n}$.
Hodnost lineárního zobrazení $\a:\R^n\to\R^m$, které je dáno předpisem
$\a({\bf x})=\A\cdot{\bf  x}$, je rovna hodnosti matice $\A$, tedy:
$$
  \hod\a = \hod\A
$$


Důkaz: hodnost zobrazení je dimenze obalu obrazů bázových vektorů, což
je dimenze obalu sloupců matice, což je hodnost matice.


\n --------------------------------------------------------------

\g Lineární prostor lineárních zobrazení

* Všechna lineární zobrazení $A:L_1 \to L_2$ označím $T$.

* Symboly $A$ a $B$ na této stránce jsou prvky z $T$.

* Definujeme $A+B: L_1 \to L_2$ předpisem
  $(A+B)(x) = A(x)+B(x)$.

* Pozorování: Součet prvků z $T$ je prvek z $T$.

* Definujeme $\alpha\cdot A: L_1 \to L_2$ předpisem
  $(\alpha\cdot A)(x) = \alpha\cdot A(x)$.

* Pozorování: $\alpha$-násobek prvku z $T$ je prvek z $T$.

* Uvedené operace splňují axiomy lineárního prostoru 
  (díky tomu, že $L_2$ je lineární prostor), takže:

* $T$ je lineární prostor lineárních zobrazení.


\n ---------------------------------------------------------------

\g Lin. zobrazení určeno hodnotami na bázi

{\bf Věta}: Jsou-li známy hodnoty lineárního zobrazení 
$A: L_1\to L_2$ na konečné bázi $B$ lin. prostoru $L_1$, je tím zobrazení $A$
jednoznačně určeno na celém $L_1$. 

Důkaz: \
$
  A(\alpha_1 \vec b_1 + \cdots +
\alpha_n \vec b_n) \ =\ \alpha_1\, A(\vec b_1) + \cdots
+ \alpha_n\, A(\vec b_n)
$\hb
Zobrazení souřadnic je lineární, takže takto dodefinované zobrazení
$A$ je lineární. Na bázových vektorech má předepsané hodnoty.

Jednoznačnost: Kdyby existovalo další lineární zobrazení $B$ se
stejnými hodnotami na bázi $B$, pak $A-B$ je lineární zobrazení s
nulovými hodnotami na bázi a podle principu superpozice musí být $A-B$
nulové zobrazení všude. Takže $A=B$.

\n -------------------------------------------------------------

\g Příklad

Je dáno
$$
  \a(1,1,2) = (1,0,1,0), \
  \a(1,2,2) = (2,0,2,0), \
  \a(2,1,5) = (1,2,2,1).
$$
Protože trojice vektorů $(1,1,2)$, $(1,2,2)$, $(2,1,5)$ tvoří bázi
v~$\R^3$, existuje jediné lineární zobrazení s uvedenou vlastností.
Najdeme vzorec pro $\a(x_1,x_2,x_3)$:
$$
  \eqalign{
  (x_1,x_2,x_3) &= \alpha\,(1,1,2) + \beta\,(1,2,2) + \gamma\,(2,1,5)\cr
    (x_1,x_2,x_3) &= (8x_1 - x_2 -3x_3)\cdot(1,1,2) +
                    (-3x_1 + x_2 + x_3)\cdot(1,2,2) + {}\cr
                  &\qquad  +(x_3-2x_1)\cdot(2,1,5), \cr
    \a(x_1,x_2,x_3) &= \a\bigl((8x_1 - x_2 -3x_3)\,(1,1,2) +
                    (-3x_1 + x_2 + x_3)\,(1,2,2) + {}\cr
                   &\qquad + (x_3-2x_1)\,(2,1,5)\bigr) = \cr
   &= (8x_1 {-} x_2 {-}3x_3)\,(1,0,1,0) +
                    (-3x_1 {+} x_2 {+} x_3)\,(2,0,2,0) + {}\cr
                   &\qquad + (x_3-2x_1)\,(1,2,2,1) = \cr
   &= (x_2,\; -4x_1+2x_3,\; -2x_1+x_2+x_3,\; -2x_1+x_3).   
}
$$

\n --------------------------------------------------------------


\g Každé lin. zobrazení $\setmath[//]A:\R^n\to\R^m$

\vskip -.5\baselineskip

\g má svou matici $\setmath[//]\A\in\R^{m,n}$


{\bf Věta}: Pro každé lineární zobrazení $A:\R^n\to\R^m$
existuje jediná matice $\A\in\R^{m,n}$, pro kterou je
$$
  A({\bf x}) = \A\cdot{\bf x}
$$

Důkaz: Nechť
$\A = (A({\bf e}_1)\ A({\bf e}_2)\ \ldots\ A({\bf e}_n))$. 
Zřejmě platí $A({\bf x}) = \A\cdot{\bf x}$ pro 
${\bf x}\in\{{\bf e}_1, {\bf e}_2, \ldots, {\bf e}_n\}$.\hb
Zobrazení $A$ i zobrazení
$\A\cdot{\bf x}$ jsou lineární zobrazení, která se shodují na
bázi $\{{\bf e}_1, {\bf e}_2, \ldots, {\bf e}_n\}$. Takže se shodují všude.

{\bf Důsledek}: Vzorec pro hodnoty jakéhokoli lineárního zobrazení 
z~$\R^n$ do $\R^m$ má vždy tvar $\A\cdot{\bf x}$.

\n --------------------------------------------------------------

\g Od zobrazení k matici

\g $\setmath[//]A: L_1\to L_2 \ \ \longleftrightarrow \ \
    A':\R^n\to \R^m \ \ \longleftrightarrow \ \ \A\in\R^{m,n}$
 
Každému lineárnímu zobrazení $A: L_1\to L_2$ lineárních prostorů 
konečné dimenze přiřadíme matici takto:

* V $L_1$ zvolíme uspořádanou bázi $(B)$. 
* V $L_2$ zvolíme uspořádanou bázi $(C)$.
* Zobrazení souřadnic $L_1\to\R^n$ vzhledem k $(B)$ označíme $C_1$.
* Zobrazení souřadnic $L_2\to\R^m$ vzhledem k $(C)$ označíme $C_2$.
* Nechť $A' = C_2\circ A\circ C_1^{-1}$.
* Zobrazení $A'$ je lineární a má svou matici $\A$.

Matice $\A$ se nazývá {\em matice zobrazení $A$ vzhledem k bázím
$(B)$ a~$(C)$}. 


\n --------------------------------------------------------------

\g Vlastnosti matice zobrazení

$\A$ je matice zobrazení $A$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(C)$ právě
tehdy když:

* $\qquad
  \A\cdot\pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}} = 
  \pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \a(\vec u)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}}
$

\medskip

* $ \qquad (\a(\vec b_1)\ \ \a(\vec b_2)\ \ \ldots\ \ \a(\vec b_n)) 
  = (\vec c_1\ \ \vec c_2\ \ \ldots\ \ \vec c_m)\cdot\A. $

\medskip

* $\A$ obsahuje v $i$-tém sloupci souřadnice vektoru $\a(\vec b_i)$ 
  vzhledem k~bázi~$(C)$


\n ---------------------------------------------------------------

\g Příklad

Nechť $P_3$ jsou polynomy nejvýše třetího stupně.
Je dáno lineární zobrazení $\a: P_3\to P_3$, které derivuje polynomy.
Najdeme jeho matici vzhledem k uspořádaným bázím $(1,x,x^2,x^3)$ a
$(1,x,x^2,x^3)$.

Matice má ve sloupcích souřadnice obrazů bázových vektorů, tj.
$$
  \a(1) = 0, \quad \a(x) = 1, \quad \a(x^2) = 2x, \quad \a(x^3) = 3x^2
$$
Souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi $\{1,x,x^2,x^3\}$ napíšeme do
sloupců matice:
$$
  \A = \pmatrix{0&1&0&0\cr 0&0&2&0\cr 0&0&0&3\cr 0&0&0&0}
$$
Zkuste \uv{derivovat} polynomy pomocí maticového násobení\dots 

\n -----------------------------------------------------------------

\g Skládání zobrazení \ $\setmath[//]\longleftrightarrow$ \ součin matic

{\bf Věta}: Nechť lineární zobrazení $A$ má matici $\A$ a lineární
zobrazení $B$ á matici $\B$ (vzhledem k odpovídajícím bázím). 
Pak složené lineární zobrazení $B\circ A$ má matici $\B\cdot\A$
(vzhledem k odpovídajícím bázím).

{\bf Poznámka}: Je-li $A: L_1\to L_2$ a $B: L_2\to L_3$, pak 
\uv{odpovídající báze} jsou uspořádané báze $(U)$ v $L_1$, $(V)$
v $L_2$ a $(W)$ v $L_3$. V uvedené větě se pak pracuje s maticí 
$\A$ vzhledem k $(U)$, $(V)$,
s maticí $\B$ vzhledem k $(V)$, $(W)$ a s maticí $\B\cdot\A$
vzhledem k $(U)$, $(W)$. 

Důkaz věty se opírá o rovnost
$$
  \B\cdot\A\cdot\pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(U)$}} \ = \ 
  \B\cdot\pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \a(\vec u)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(V)$}} =
   \pmatrix{\hbox{souřadnice}\cr\hbox{vektoru}\cr B(\a(\vec u))\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(W)$}}.
$$

\n --------------------------------------------------------

\g Příklad

Matice
$$
  \A = \pmatrix{0&1&0&0\cr 0&0&2&0\cr 0&0&0&3\cr 0&0&0&0}
$$
je matice derivace vzhledem k uspořádaným bázím $(1,x,x^2,x^3)$ a
$(1,x,x^2,x^3)$. Podle věty o složeném zobrazení je
$\A^2$ matice druhé derivace a $\A^3$ matice třetí derivace.

\n ------------------------------------------------------------

\g Zobrazení \ $\setmath[//] \a: L\to L$

{\bf Definice}: Zobrazení do stejné množiny se nazývá {\em transformace}.
Lineární zobrazení do stejného lineárního prostoru se nazývá
{\em lineární transformace}.

{\em Matice transformace $\a: L\to L$ vzhledem k bázi $(B)$} je matice
lineárního zobrazení $\a$ vzhledem k bázím $(B)$ a $(B)$.

\n -----------------------------------------------------------  

\g Příklady

* $\A = \pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&1}$ je matice {\em projekce}.

\medskip

* $\A = \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
                  \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}$
  je matice {\em rotace}.

\medskip

* $\A = \pmatrix {a & 0 \cr 0 & b}$ je (pro $a\not=0$, $b\not=0$) 
matice {\em změny měřítka}.

* Další transformace vznikají skládáním těchto elementárních
  transformací, jejich matice jsou pak součinem těchto elementárních matic.

\n -----------------------------------------------------------

\g Příklad

Nechť osa $o$ prochází počátkem a svírá s osou $x$ úhel $\alpha$. 
Najdeme matici osové souměrnosti podle osy $o$..

Osová souměrnost vzniká jako složení následujících zobrazení:

* otočení o úhel $-\alpha$,

* zrcadlení, tj. změna měřítka s parametry 1, $-1$,

* otočení zpět o úhel $\alpha$.

Matici tohoto složeného zobrazení spočítáme jako součin matic
uvedených zobrazení zapsaných \uv{zprava doleva}:
$$
  \displaylines {
  \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
                  \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha} \cdot
  \pmatrix {1 & 0 \cr 0 & -1} \cdot
  \pmatrix {\cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha)\cr
                  \sin(-\alpha) & \phantom{+}\cos(-\alpha)} = 
  \cr \noalign{\medskip} 
   =
  \pmatrix {\cos 2\alpha & \phantom+\sin 2\alpha\cr \sin 2\alpha& -\cos2\alpha}  
}
$$


\n -----------------------------------------------------------

\g Nestandardní báze, příklad

Najdeme matici zobrazení $\a:\R^3\to\R^4$, které je dané předpisem
$$
  \a(x_1,x_2,x_3) = (x_2,\ -4x_1+2x_3,\ -2x_1+x_2+x_3,\ -2x_1+x_3),
$$
vzhledem k bázím 
$(B) = ((1,1,2),(1,2,2),(2,1,5))$ \ a \ $(S_4)$

Protože
$\a(1,1,2) = (1,0,1,0)$, $\a(1,2,2) = (2,0,2,0)$, $\a(2,1,5) = (1,2,2,1)$,
a protože složky těchto obrazů jsou rovny souřadnicím vzhledem ke
standardní bázi $(S_4)$, stačí složky těchto obrazů napsat do sloupců
hledané matice:
$$
  \A = \pmatrix{\hfill1&2&1\cr 0&0&2\cr 1&2&2\cr 0&0&1}
$$
Pokud bychom měli hledat matici zobrazení $\a: L_1\to L_2$ 
vzhledem k nestandardní bázi v $L_2$, budeme mít více problémů\dots


\n ----------------------------------------------------------

\g Hodnost matice je hodnost zobrazení

* Tuto skutečnost jsme zatím dokázali pro speciální zobrazení tvaru
  $\A\cdot{\bf x}$.

* Pro obecné lineární zobrazení $\a: L_1\to L_2$ také platí
  $$\hod\a = \hod\A,$$ 
  protože $\hod\a = \hod\a'$, kde $\a' = C_2\circ A\circ C_1^{-1}$.
  Platí:
$$
  \def\c{C} \eqalign{ \hod\a&=\dim\a(L_1) = \dim\a(\lob<\vecc b_n>)
  =\cr &= \dim\langle\a(\vec b_1), \a(\vec b_2), \ldots, \a(\vec
  b_n)\rangle =\cr &= \dim\langle\c_2^{-1}\circ\a'\circ\c_1(\vec
  b_1),\ \ldots,\ \c_2^{-1}\circ\a'\circ\c_1(\vec b_n)\rangle = \cr
  &= \dim\,\c_2^{-1}(\langle\a'(\vec e_1), \a'(\vec
  e_2), \ldots, \a'(\vec e_n)\rangle) =\cr &= \dim\langle\a'(\vec
  e_1), \a'(\vec e_2), \ldots, \a'(\vec e_n)\rangle = \cr
  &= \dim \a'(\lob<\vecc e_n>) = \dim\a'(\R^n) = \hod\a' }
$$
Uvedené rovnosti platí, protože $C_1$ a $C_2$ jsou izomorfismy.

\n ------------------------------------------------------------

\g Transformace je prostá právě když 

\vskip-.5\baselineskip

\g má regulární matici

Nechť $L$ má konečnou dimenzi, $\dim L=n$.

{\bf Věta}: Lineární transformace $\a: L\to L$ je prostá právě když:

* je na

* má regulární matici

Důkaz: $\a$ je prostá právě když ${\rm def}\,\a = 0$.

Protože ${\rm def}\,\a + \hod\a = \dim L$, je
${\rm def}\,\a = 0$ právě když $\hod\a=n$.
To platí právě když $\a(L) = L$, tj. $\a$ je na $L$.

Uvedené vlastnosti jsou splněny právě když $\hod\A=n$, kde $\A$ je
matice zobrazení $\a$, tj. právě když $\A$ je regulární.


\n -------------------------------------------------------------

\g Prostor lineárních zobrazení je izomrofní 

\vskip-.5\baselineskip

\g s lineárním prostorem matic

* Každému zobrazení $\a: L_1\to L_2$ (kde $\dim L_1=n$, $\dim L_2=m$)
  je jednoznačně přiřazena matice $\A\in\R^{m,n}$ vzhledem k bázím
  $(B)$ a~$(C)$.

* Toto přiřazení je zobrazení prosté a na.

* Toto přiřazení je dokonce lineární zobrazení. Stačí ověřit, že součet dvou
  zobrazení $A$ a $B$ s maticemi $\A$ a $\B$ (vzhledem ke zvoleným
  bázím) má matici $\A+\B$. Dále je třeba ověřit, že $\alpha$ násobek
  lineárního zobrazení má matici, která je rovna $\alpha$ násobku
  původní matice.

* Mám na mysli zobrazení a píšu jeho matici. Mám na mysli matici a
  vnímám ji jako zobrazení. Je to jedno.

\end