\chyph \hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm \ifx\pdfoutput\undefined \else \pdfpagewidth=21cm \pdfpageheight=15cm \fi \font\logocvut=lev scaled400 \ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi \def\cislo{6} \headline={\setfonts[/10]\rm \ifnum\pageno>1 \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Olšák \quad}\else \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]} \footline={} \def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{% \setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. Viz p. d. 4/2010 }\vss}} \input ofs [a35] %\def\fomenc{CM} %\showfonts \end %\displayfontmessages \setfonts[NewCentury/17] \setmath[17/12/8] \baselineskip=22pt \message{\fontname\tenit} \medskipamount=9pt \let\ms=\medskip \parskip=\medskipamount \def\n#1\par{\vfill\break} \def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip} \def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip} \def\hb{\hfil\break} \def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}} \parindent=0pt \catcode`\*=13 \def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}} \let\em=\it \def\C{{\bf C}} \def\R{{\bf R}} \def\Q{{\bf Q}} \def\a{{A}} \def\A{{\bf A}} \def\B{{\bf B}} \def\ker{\mathop{\rm Ker}} \def\st{\mathop{\rm St}} \def\hod{\mathop{\rm hod}} \def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}} \def\lob<#1>{\langle #1\rangle} % =============================================================== \vglue 2cm \gg Matice \bigskip\bigskip * mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) * měníme je na jiné matice eliminační metodou * násobíme je mezi sebou * \dots \n --------------------------------------------------------------- \g Základní pojmy {\em Matice\/} je tabulka čísel s konečným počtem řádků a sloupců. Množina $\R^{m,n}$ je množina matic s reálnými čísly s $m$ řádky a $n$ sloupci. Takovým maticím též říkáme {\em matice typu $(m,n)$.} Na jednotlivé řádky v matici typu $(m,n)$ můžeme pohlížet jako na vektory z $\R^n$ a na jednotlivé sloupce můžeme pohlížet jako na vektory z $\R^m$. Číslo na $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci matice se nazývá $(i,j)$-tý prvek matice a používají se pro něj indexy: $a_{i,j}$ (v tomto pořadí). Matice budeme značit velkým tučným písmenem (\A, \B, atd.). {\em Nulová matice\/} obsahuje samé nuly. {\em Čtvercová matice\/} je matice typu $(n,n)$. \n --------------------------------------------------------------- \g Sčítání matic, násobení matic konstantou Mezi sebou sčítáme jen matice stejného typu. Součet má stejný typ. Násobek kontantou $\alpha$ má také stejný typ jako původní matice. $$ \displaylines{ \def\quad{\hskip.4em } \A+\B = \pmatrix{a_{1,1}+b_{1,1}, & a_{1,2}+b_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n}+b_{1,n} \cr a_{2,1}+b_{2,1}, & a_{2,2}+b_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n}+b_{2,n} \cr & &\vdots & \cr a_{m,1}+b_{m,1}, & a_{m,2}+b_{m,2}, &\ldots, & a_{m,n}+b_{m,n} \cr},\cr \noalign{\bigskip} \alpha\cdot\A = \pmatrix{\alpha\,a_{1,1}, & \alpha\,a_{1,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{1,n} \cr \alpha\,a_{2,1}, & \alpha\,a_{2,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{2,n} \cr & &\vdots & \cr \alpha\,a_{m,1}, & \alpha\,a_{m,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{m,n} \cr}. } $$ Množina matic $\R^{m,n}$ s tímto $+$ a $\cdot$ tvoří lineární prostor. {\bf Cvičení:} Najděte bázi a dimenzi lineárního prostoru matic $\R^{3,2}$. \n -------------------------------------------------------------------- \g Modifikace matic eliminační metodou Vznikne-li matice $\B$ z matice $\A$ konečným počtem řádkových úprav eliminační metody, píšeme $\A\sim\B$. Jsou to (obecně) {\em různé} matice. {\bf Pozorování:} Je-li $\A\sim\B$ pak také $\B\sim\A$. Jinými slovy: každá změna eliminační metodou je vratná. Stačí si uvědomit, jak pracují tři základní operace v GEM: prohození řídků, pronásobení řádku nenulovou konstantou a přičtení násobku řádku k jinému. \n ------------------------------------------------------------------- \g Eliminace zachovává obal řádků {\bf Věta:} Gaussova eliminační emtoca zachovává lineární obal řádků matice. Jinými slovy: je-li $\A\sim \B$, pak lineární obal řádků matice $\A$ je roven lineárnímu obalu řádků matice $\B$. Důkaz: Přehození řádků: lin. obal se nezmění, to je zřejmé. Další dva typy opearci v GEM přidávají k řádkům lineární kombinaci (tím nezmění lineární obal) a odeberou jeden vektor (lin. obal se může zmenšit). On se ale nezmenší, protože eliminace je vratná. \n ------------------------------------------------------------------ \g Hodnost matice {\bf Definice:} {\em Hodnost matice $\A$} je dimenze lineárního obalu řádků matice $\A$. Značíme $\hod\A$, anglicky \uv{rank of matrix $\A$}. {\bf Pozorování:} Gaussova eliminační metoda nemění hodnost matice, tedy je-li $\A\sim\B$, pak $\hod\A = \hod\B$. {\bf Metoda počítání hodnosti:} Máme-li spočítat $\hod\A$, eliminujeme $\A$ na matici $\B$ schodového tvaru. Počet nenulových řádků této matice je $\hod\B$ a tedy i $\hod\A$. {\bf Proč?} Neulové řádky v matici $\B$ tvoří bázi svého lineárního obalu. Jsou totiž lineárně nezávislé. \n ------------------------------------------------------------------ \g Poznámky k hodnosti * Souvislost mezi hodností matice a hodnosti lineárního zobrazení ukážeme později. * Metoda počítání hodnosti je metodou počítání dimenze lineárního obalu. * {\bf Pozor:} Hodnost nelze definovat pomocí uvedené metody protože eliminační metoda není jednoznačný proces, tj. nemáme záruku stejného počtu nenulových řádků po provedení eliminace. * Pozor na alternativní definici: hodnost jako maximální počet lineárně nezávislých řádků. Je třeba si uvědomit, co to znamená. * Hodnost je přirozené číslo, které nemusí být jednoznačně stanoveno pro \uv{nepřesné matice} a \uv{nepřesné výpočty} (tzv. numericky nestabilní matice). \n ----------------------------------------------------------------- \g GEM zachovává lineární nezávislost řádků {\bf Věta:} Je-li $\A\sim \B$ pak $\A$ obsahuje lineárně nezávislé řádky právě tehdy když $\B$ obsahuje lin. nezávislé řádky. Důkaz: Má-li $\A$ lin. nezávislé řádky, pak tvoří bázi svého lin. obalu, takže $\hod\A$ je rovna počtu řádků matice $\A$. Je také rovna hodnosti matice $\B$ (která má stejný počet řádků jako matice $\A$), takže $\B$ musí mít lin. nezávislé řádky. {\bf Metoda ověření závislosti:} Zapíšeme zkoumané vektory do řád\-ků matice $\A$ a převedeme na schodovitý tvar $\B$. Zkoumané vektory jsou lin. závislé právě tehdy když $\B$ obsahuje nulový řádek. \n ---------------------------------------------------------------- \g Metody týkající se lineárních obalů * $\vec v\in \lob<\vecc u_n>$ právě když $$\dim\lob<\vecc u_n> = \dim\lob<\vecc u_n,\vec v>.$$ {\bf Metoda:} Vektor $\vec v$ leží v lineárním obalu vektorů $\vecc u_n$, když hodnost matice obsahující v řádcích vektory $\vecc u_n$ je stejná jako hodnost matice, ve které je navíc přidán řádek $\vec v$. * $\lob<\vecc u_n> = \lob<\vecc v_n>$ právě když $$\eqalign{ &\dim\lob<\vecc u_n> = \dim\lob<\vecc v_n> = \cr &\quad = \dim\lob<\vecc u_n,\vecc v_n> } $$ {\bf Metoda:} Ověříme rovnost hodností příslušných matic. \n ------------------------------------------------------------------ \g Hodnost transponované matice {\bf Definice:} {\em Transponovaná matice} k matici $\A$ (značíme $\A^T$) je matice, ve které jsou řádky původní matice $\A$ zapsány do sloupců. {\bf Pozorování:} Platí $(\A^T)^T = \A$. {\bf Věta:} $\hod\A = \hod\A^T$, jinými slovy: dimenze lineárního obalu řádků matice je rovna dimenzi lineárního obalu sloupců matice. Důkaz: Je-li $\hod\A=k$, pak $\A$ má $k$ lineárně nezávislých řádků. Jejich nezávislost lze ověřit z definice nezávislosti, což vede na soustavu s maticí $\A^T$ (až na vynechání některých sloupců). Aby soustava měla jen nulové řešení, musí mít lineárně nezávislé rovnice. Takže (po doplnění vynechaných sloupců) musí $\A^T$ mít aspoň $k$ lineárně nezávislých řádků, tedy $\hod\A\le\hod\A^T$. Rovnost pak plyne z výše uvedeného pozorování. \end