\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi

\font\logocvut=lev scaled400

\ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi
\def\cislo{6}

\headline={\setfonts[/10]\rm
   \ifnum\pageno>1 
   \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Ol��k \quad}\else
   \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]}
\footline={}

\def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{%
\setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Ol��k, FEL �VUT, c) P. Ol��k 2010,
  d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. 
  Viz p. d. 4/2010
}\vss}}


\input ofs [a35]  %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  \baselineskip=22pt

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\a{{A}}
\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}

% ===============================================================

\vglue 2cm

\gg Matice

\bigskip\bigskip

* mezi sebou s��t�me a n�sob�me konstantou (line�rn� prostor)

* m�n�me je na jin� matice elimina�n� metodou

* n�sob�me je mezi sebou

* \dots

\n ---------------------------------------------------------------

\g Z�kladn� pojmy

{\em Matice\/} je tabulka ��sel s kone�n�m po�tem ��dk� a sloupc�.

Mno�ina $\R^{m,n}$ je mno�ina matic s re�ln�mi ��sly s $m$ ��dky a $n$
sloupci. Takov�m matic�m t� ��k�me {\em matice typu $(m,n)$.}

Na jednotliv� ��dky v matici typu $(m,n)$ m��eme pohl��et jako na
vektory z $\R^n$ a na jednotliv� sloupce m��eme pohl��et jako na
vektory z $\R^m$.

��slo na $i$-t�m ��dku a $j$-t�m sloupci matice se naz�v� $(i,j)$-t�
prvek matice a pou��vaj� se pro n�j indexy: $a_{i,j}$ (v tomto po�ad�).

Matice budeme zna�it velk�m tu�n�m p�smenem (\A, \B, atd.).

{\em Nulov� matice\/} obsahuje sam� nuly.

{\em �tvercov� matice\/} je matice typu $(n,n)$.

\n ---------------------------------------------------------------

\g S��t�n� matic, n�soben� matic konstantou

Mezi sebou s��t�me jen matice stejn�ho typu. Sou�et m� stejn� typ.
N�sobek kontantou $\alpha$ m� tak� stejn� typ jako p�vodn� matice.
$$
\displaylines{
  \def\quad{\hskip.4em }
  \A+\B = 
  \pmatrix{a_{1,1}+b_{1,1}, & a_{1,2}+b_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n}+b_{1,n} \cr
           a_{2,1}+b_{2,1}, & a_{2,2}+b_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n}+b_{2,n} \cr
                                    &          &\vdots  &  \cr
           a_{m,1}+b_{m,1}, & a_{m,2}+b_{m,2}, &\ldots, & a_{m,n}+b_{m,n} \cr},\cr
  \noalign{\bigskip}
  \alpha\cdot\A =
  \pmatrix{\alpha\,a_{1,1}, & \alpha\,a_{1,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{1,n} \cr
           \alpha\,a_{2,1}, & \alpha\,a_{2,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{2,n} \cr
                                   &          &\vdots  &  \cr
           \alpha\,a_{m,1}, & \alpha\,a_{m,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{m,n} \cr}.
}
$$
Mno�ina matic $\R^{m,n}$ s t�mto $+$ a $\cdot$ tvo��
line�rn� prostor.

{\bf Cvi�en�:} Najd�te b�zi a dimenzi line�rn�ho prostoru matic $\R^{3,2}$.

\n --------------------------------------------------------------------

\g Modifikace matic elimina�n� metodou

Vznikne-li matice $\B$ z matice $\A$ kone�n�m po�tem ��dkov�ch �prav
elimina�n� metody, p��eme $\A\sim\B$. Jsou to (obecn�) {\em r�zn�}
matice.

{\bf Pozorov�n�:} Je-li $\A\sim\B$ pak tak� $\B\sim\A$. Jin�mi slovy:
ka�d� zm�na elimina�n� metodou je vratn�.

Sta�� si uv�domit, jak pracuj� t�i z�kladn� operace v GEM: prohozen�
��dk�, pron�soben� ��dku nenulovou konstantou a p�i�ten� n�sobku ��dku
k jin�mu.

\n -------------------------------------------------------------------

\g Eliminace zachov�v� obal ��dk�

{\bf V�ta:} Gaussova elimina�n� metoda zachov�v� line�rn� obal ��dk�
matice. 

Jin�mi slovy: je-li $\A\sim \B$, pak line�rn� obal ��dk� matice $\A$ je
roven line�rn�mu obalu ��dk� matice $\B$.

D�kaz: P�ehozen� ��dk�: lin. obal se nezm�n�, to je z�ejm�. Dal�� dva
typy opearci v GEM p�id�vaj� k ��dk�m line�rn� kombinaci (t�m nezm�n�
line�rn� obal) a odeberou jeden vektor (lin. obal se m��e zmen�it). On
se ale nezmen��, proto�e eliminace je vratn�.

\n ------------------------------------------------------------------

\g Hodnost matice

{\bf Definice:} {\em Hodnost matice $\A$} 
je dimenze line�rn�ho obalu ��dk� matice $\A$.
Zna��me $\hod\A$, anglicky \uv{rank of matrix $\A$}. 

{\bf Pozorov�n�:} Gaussova elimina�n� metoda nem�n� hodnost matice,
tedy je-li $\A\sim\B$, pak $\hod\A = \hod\B$.

{\bf Metoda po��t�n� hodnosti:} M�me-li spo��tat $\hod\A$, eliminujeme
$\A$ na matici $\B$ schodov�ho tvaru. Po�et nenulov�ch ��dk� t�to
matice je $\hod\B$ a tedy i $\hod\A$.

{\bf Pro�?} Neulov� ��dky v matici $\B$ tvo�� b�zi sv�ho line�rn�ho
obalu. Jsou toti� line�rn� nez�visl�.

\n ------------------------------------------------------------------

\g Pozn�mky k hodnosti

* Souvislost mezi hodnost� matice a hodnosti line�rn�ho 
  zobrazen� uk�eme pozd�ji.

* Metoda po��t�n� hodnosti je metodou po��t�n� dimenze line�rn�ho
  obalu. 

* {\bf Pozor:} Hodnost nelze definovat pomoc� uveden� metody proto�e
elimina�n� metoda nen� jednozna�n� proces, tj. nem�me z�ruku stejn�ho
po�tu nenulov�ch ��dk� po proveden� eliminace.

* Pozor na alternativn� definici: hodnost jako maxim�ln� po�et
  line�rn� nez�visl�ch ��dk�. Je t�eba si uv�domit, co to znamen�.

* Hodnost je p�irozen� ��slo, kter� nemus� b�t jednozna�n� stanoveno
  pro \uv{nep�esn� matice} a \uv{nep�esn� v�po�ty} (tzv. numericky
  nestabiln� matice).

\n -----------------------------------------------------------------

\g GEM zachov�v� line�rn� nez�vislost ��dk�

{\bf V�ta:} Je-li $\A\sim \B$ pak $\A$ obsahuje line�rn� nez�visl�
��dky pr�v� tehdy kdy� $\B$ obsahuje lin. nez�visl� ��dky.

D�kaz: M�-li $\A$ lin. nez�visl� ��dky, pak tvo�� b�zi sv�ho
lin. obalu, tak�e $\hod\A$ je rovna po�tu ��dk� matice $\A$. Je tak�
rovna hodnosti matice $\B$ (kter� m� stejn� po�et ��dk� jako matice
$\A$), tak�e $\B$ mus� m�t lin. nez�visl� ��dky.

{\bf Metoda ov��en� z�vislosti:} Zap��eme zkouman� vektory do 
��d\-k� matice $\A$ a p�evedeme na schodovit� tvar $\B$. Zkouman� vektory jsou
lin. z�visl� pr�v� tehdy kdy� $\B$ obsahuje nulov� ��dek.

\n ----------------------------------------------------------------

\g Metody t�kaj�c� se line�rn�ch obal�

* $\vec v\in \lob<\vecc u_n>$ pr�v� kdy� 
  $$\dim\lob<\vecc u_n> = \dim\lob<\vecc u_n,\vec v>.$$

{\bf Metoda:} Vektor $\vec v$ le�� v line�rn�m obalu vektor� $\vecc u_n$, 
kdy� hodnost matice obsahuj�c� v ��dc�ch vektory $\vecc u_n$ je
stejn� jako hodnost matice, ve kter� je nav�c p�id�n ��dek $\vec v$.

* $\lob<\vecc u_n> = \lob<\vecc v_n>$ pr�v� kdy�
  $$\eqalign{ 
     &\dim\lob<\vecc u_n> = \dim\lob<\vecc v_n> = \cr
     &\quad = \dim\lob<\vecc u_n,\vecc v_n> }
  $$

{\bf Metoda:} Ov���me rovnost hodnost� p��slu�n�ch matic.

\n ------------------------------------------------------------------

\g Hodnost transponovan� matice

{\bf Definice:} {\em Transponovan� matice} k matici $\A$ (zna��me $\A^T$)
je matice, ve kter� jsou ��dky p�vodn� matice $\A$ zaps�ny do sloupc�.

{\bf Pozorov�n�:} Plat� $(\A^T)^T = \A$.

{\bf V�ta:} $\hod\A = \hod\A^T$, jin�mi slovy: dimenze line�rn�ho
obalu ��dk� matice je rovna dimenzi line�rn�ho obalu sloupc� matice.

D�kaz: Je-li $\hod\A=k$, pak $\A$ m� $k$ line�rn� nez�visl�ch ��dk�.
Jejich nez�vislost lze ov��it z definice nez�vislosti, co� vede na
soustavu s matic� $\A^T$ (a� na vynech�n� n�kter�ch sloupc�).
Aby soustava m�la jen nulov� �e�en�, mus� m�t line�rn� nez�visl�
rovnice. Tak�e (po dopln�n� vynechan�ch sloupc�) mus� $\A^T$ m�t aspo�
$k$ line�rn� nez�visl�ch ��dk�, tedy $\hod\A\le\hod\A^T$. Rovnost pak
plyne z v��e uveden�ho pozorov�n�.


\end
