\chyph \hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm \ifx\pdfoutput\undefined \else \pdfpagewidth=21cm \pdfpageheight=15cm \fi \font\logocvut=lev scaled400 \ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi \def\cislo{2} \headline={\setfonts[/10]\rm \ifnum\pageno>1 \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Olšák \quad}\else \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]} \footline={} \def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{% \setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. Viz p. d. 4/2010 }\vss}} \input ofs [a35] %\def\fomenc{CM} %\showfonts \end %\displayfontmessages \setfonts[NewCentury/17] \setmath[17/12/8] \baselineskip=22pt \message{\fontname\tenit} \medskipamount=9pt \let\ms=\medskip \parskip=\medskipamount \def\n#1\par{\vfill\break} \def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip} \def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip} \def\hb{\hfil\break} \def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}} \parindent=0pt \catcode`\*=13 \def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}} \let\em=\it \def\C{{\bf C}} \def\R{{\bf R}} \def\Q{{\bf Q}} \def\st{\mathop{\rm St}} \vglue 1cm \gg Lineární prostor \bigskip\bigskip * je množina $L$ jakýchkoli objektů s operacemi $+$ a $\cdot$ * objekty lze sčítat mezi sebou, součet je také objekt z množiny $L$ * objekt lze násobit konstantou, násobek je také objekt z~$L$ * operace sčítání a násobení splňují tzv. axiomy linearity \n -------------------------------------------------------- \g Příklady * Funkce * Polynomy * Uspořádané $n$-tice čísel * Orientovné úsečky * Nekonečné posloupnosti * Reálná čísla samotná * Komplexní čísla * \dots \n -------------------------------------------------------- \g Definice lineárního prostoru {\em Lineárním prostorem} nazýváme každou neprázdnou množinu $L$, na které je definováno sčítání $+: L\times L \to L$ a násobení reálným číslem $\cdot: \R\times L \to L$ a tyto operace splňují pro každé $\vec x\in L, \vec y\in\nobreak L, \vec z\in L, \alpha\in\R, \beta\in\R$ vlastnosti: $$\null\indent\vcenter{\openup\jot \ialign{\strut$#$&\quad$\displaystyle{#}$\hfil&\quad#\unskip\hfil\cr (1) & \vec x + \vec y = \vec y + \vec x & \cr (2) & (\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z) & \cr (3) & \alpha\cdot(\beta\cdot\vec x) = (\alpha\beta)\cdot\vec x & \cr (4) & \alpha\cdot(\vec x + \vec y) = \alpha\cdot\vec x + \alpha\cdot\vec y & \cr (5) & (\alpha+\beta)\cdot\vec x = \alpha\cdot\vec x + \beta\cdot\vec x & \cr (6) & 1 \cdot\vec x = \vec x & \cr (7) & \hbox{existuje $\vec o\in L$, že pro každé $\vec x\in L$ je } 0\cdot\vec x = \vec o & \cr }} $$ Prvky lineárního prostoru nazýváme {\em vektory}. Reálnému číslu v~kontextu násobení $\cdot: \R\times L \to L$ říkáme {\em skalár}. Prvku $\vec o\in L$ z~vlastnosti (7) říkáme {\em nulový prvek} nebo {\em nulový vektor}. \emerge \n --------------------------------------------------------- \g Jednoduché vlastnosti Pro nulový prvek $\vec o$ lineárního prostoru $L$ platí vlastnosti: $$\eqalign{ (1)&\quad \vec x + \vec o = \vec x \qquad \forall\, \vec x \in L, \cr (2)&\quad \alpha\cdot\vec o = \vec o \qquad \forall\, \alpha\in\R, \cr (3)&\quad \hbox{Nechť $\vec x\in L$}. \quad \hbox{Je-li } \alpha\cdot\vec x = \vec o \hbox{ a } \alpha\ne0, \hbox{ pak } \vec x = \vec o. \cr} $$ \n --------------------------------------------------------- \g Co není lineárním prostorem * Kvůli operacím: $(a,b) + (c,d) = (a+d, c+b)$, \dots * Kvůli množině: množina nenulových funkcí, \dots \n ---------------------------------------------------------- \g Konečné lineární prostory {\setmath[//](nad $\R$)} Jednobodový prostor (tzv. {\em trivilální}, obsahuje jen nulový vektor) ALE: Neexistuje konečný lineární prostor s aspoň dvěma vektory. \n --------------------------------------------------------- \g Neobvyklý lineární prostor * Množina: $\R^+$, operace: $\oplus: \R^+\times\R^+\to\R^+$, $\odot: \R\times\R^+\to\R^+$ $$ x \oplus y = x\cdot y, \quad \alpha\odot x = x^\alpha $$ \n ------------------------------------------------------------------- \g Lineární podprostor je podmnožina $M$ lineárního prostoru $L$, která je sama se stejnými operacemi lineárním prostorem. Vlastnosti (1) až (7) jsou zaručeny, protože tytéž operace \uv{pracují} v $L$. Nemusí být ale splněna uzavřenost operací, tedy: {\bf Definice:} Nechť $L$ je lineární prostor s~operacemi \uv{$+$} a \uv{$\cdot$}. Neprázdnou množinu $M\subseteq L$ nazýváme {\em lineárním podprostorem prostoru $L$}, pokud pro všechna $\vec x\in M, \vec y\in M$ a $\alpha\in\R$ platí: $$\eqalign{ (1)&\quad \vec x + \vec y \in M, \cr (2)&\quad \alpha\cdot\vec x \in M. \cr } $$ \n ------------------------------------------------------------------ \g Příklady lineárních podprostorů * Polynomy v lineárním prostoru funkcí * Polynomy nejvýše druhého stupně v lineárním prostoru polynomů * Podmnožiny z $\R^3$: $$\eqalign{ M &= \{(x,y,z);\, x + 2y = 0, \, z \hbox{ libovolné}\,\}\quad\hbox{ ANO}, \cr N &= \{(x,y,z);\, 2x + y - z = 0\}\quad\hbox{ ANO}, \cr S &= \{(x,y,z);\, 2x + y - z = 3\}\quad\hbox{ NE}. \cr } $$ * Orientované úsečky ve společné rovině procházející bodem $O$, * Orientované úsečky ve společné přímce procházející bodem $O$. \n -------------------------------------------------------------- \g Průnik a sjednocení podprostorů * Průnik podprostorů stejného lin. prostoru je vždy podprostor, * sjednocení podprostorů stejného lin. prostoru nemusí být podprostor. \end