\documentclass[10pt]{beamer}

% Setup appearance:

\usetheme{Singapore}
\useoutertheme{infolines}
\usefonttheme[onlylarge]{structurebold}
\setbeamerfont*{frametitle}{size=\normalsize,series=\bfseries}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\usecolortheme{whale}
\setbeamertemplate{headline}{}


% Standard packages

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}

\newcommand{\diag}{\mathop\mathrm{diag}\nolimits}
\newcommand{\spec}{\mathop\mathrm{spec}\nolimits}
\renewcommand{\span}{\mathop\mathrm{span}\nolimits}
\newcommand{\der}{\mathop\mathrm{der}\nolimits}
\newcommand{\Ran}{\mathop\mathrm{Ran}\nolimits}
\newcommand{\dist}{\mathop\mathrm{dist}\nolimits}
\newcommand{\Dom}{\mathop\mathrm{Dom}\nolimits}

% Author, Title, etc.

\title[]
{
Symetrické a kvadratické formy
}

\author[BI-LIN]
{
 %František~Štampach
}

\institute[Hermitovské a kvadratické formy]{}
\date{}

\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
  Aplikace: klasifikace kvadrik($\mathbb{R}^{2}$) a kvadratických ploch($\mathbb{R}^{3}$), optimalizace(MPI)
\end{frame}

\begin{frame}{}
 V celé pÅ?ednášce uvažujeme Ä?íselné tÄ?leso $\mathbb{R}$, aÄ?koliv celou látku k hermitovským formám lze vyložit nad obecným tÄ?lesem (obvykle $\mathbb{C}$).

 Dále vektor $x\in\mathbb{R}^{n}$ uvažujeme \emph{sloupcový} a nad vektor nepíšeme šipku.
 \vskip 7pt 
 
 \textbf{Definice:} Zobrazení $Q:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ nazveme {\color{blue} kvadratická forma} na $\mathbb{R}^{n}$, existuje-li $\mathbb{A}\in\mathbb{R}^{n,n}$, $\mathbb{A}=\mathbb{A}^{T}$ taková, že
 $$(\forall x\in\mathbb{R}^{n})(Q(x)=x^{T}\mathbb{A}x).$$
 Dále zobrazení $h:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ definované pro $\forall x,y\in\mathbb{R}^{n}$ pÅ?edpisem
 $$h(x,y)=x^{T}\mathbb{A}y$$
  nazveme {\color{blue} symetrickou formou} kvadratické formy $Q$.
\vskip7pt
\begin{itemize}
 \item Je-li $\mathbb{A}_{ij}=a_{ij}$, potom 
  $$Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}.$$
 \item Můžeme se setkat s různými způsoby zápisu skalárního souÄ?inu: 
  $$x^{T}\mathbb{A}y=x\cdot\mathbb{A}y=(x,\mathbb{A}y).$$
\end{itemize}


\vskip7pt
\end{frame}

\begin{frame}{}
  \textbf{PÅ?íklad 1:} Zobrazení $Q$ zadané pÅ?edpisem 
    $$Q(x)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}-2x_{2}x_{3}$$
  je kvadratická forma na $\mathbb{R}^{3}$ s maticí
  $$\mathbb{A}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\
			  -1 & 2 & -1\\
			   2 & -1 & 4\end{pmatrix}.$$
 PÅ?ísluÅ¡ná symetrická forma má tvar
 $$h(\vec{x},\vec{y})=x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}+4x_{3}y_{3}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+2x_{1}y_{3}+2x_{3}y_{1}-x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}.$$
\end{frame}


\begin{frame}

\textbf{Pozorování:}
 \begin{itemize}
  \item Hermitovská forma $h$ je lineární v obou argumentech.
  \item Platí-li navíc $(\forall x\in\mathbb{R}^{n})(x\neq0)(h(x,x)>0)$ (pozitivní definitnost) je $h$ skalární souÄ?in na $\mathbb{R}^{n}$.
 \end{itemize}

\vskip7pt

 \textbf{VÄ?ta:} BuÄ? $Q$ kvadratická forma na $\mathbb{R}^{n}$ a $h$ pÅ?ísluÅ¡ná symetrická forma. Potom pro $\forall x,y\in\mathbb{R}^{n}$ a 
 $\forall\alpha\in\mathbb{R}$ platí
 \begin{enumerate}
  \item $h(x,y)=h(y,x)$,  
  \item $Q(\alpha x)=\alpha^{2}Q(x)$,
  \item $Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2h(x,y)$,
  \item $Q(x+y)+Q(x-y)=2Q(x)+2Q(y)$, \hskip 20pt (\emph{rovnobÄ?žníková rovnost}),
  \item $h(x,y)=\frac{1}{4}(Q(x+y)-Q(x-y))$, \hskip 43pt (\emph{polarizaÄ?ní identita}).
 \end{enumerate}
 \vskip 3pt
 Důkaz: tabule
 \vskip 7pt
 
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{itemize}
\item Ve vzorci $Q(x)=x^{T}\mathbb{A}x$ vystupují souÅ?adnice vektoru $x$ ve standartní bázi $\mathbb{R}^{n}$. 
\item BuÄ? $\mathbb{P}\in\mathbb{R}^{n,n}$ matice pÅ?echodu od standartní báze $\mathbb{R}^{n}$ k bázi jiné. Víme, že pro ``nové'' souÅ?adnice $x'\in\mathbb{R}^{n}$ platí vztah
  $$x=\mathbb{P}x'.$$
\item Matice kvadratické formy se pÅ?echodem k jiným souÅ?adnicím zmÄ?ní! Máme totiž
$$Q(x)=x^{T}\mathbb{A}x=(\mathbb{P}x')^{T}\mathbb{A}\mathbb{P}x'=x'^{T}\mathbb{P}^{T}\mathbb{A}\mathbb{P}x'.$$
\item Na pravé stranÄ? je kvadratická forma v nových souÅ?adnicích s maticí 
 $$\mathbb{P}^{T}\mathbb{A}\mathbb{P}$$ 
(je tato matice symetrická?).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
 \begin{itemize}
  \item V dalším výkladu se budeme snažit najít takovou trasformaci souÅ?adnic (matici $\mathbb{P}$), aby matice kvadratické formy v nových souÅ?adnicích byla diagonální.
  \item Tedy hledáme matici pÅ?echodu $\mathbb{P}$ takovou, že
    $$\mathbb{D}=\mathbb{P}^{T}\mathbb{A}\mathbb{P}$$
    je diagonální matice.
  \item Kvadratická forma $Q$ má potom v nových souÅ?adnicích tzv. {\color{blue} kanonický \\ tvar},
    $$Q(x)=\sum_{i=1}^{n}d_{ii}(x_{i}')^{2}.$$
  \item Bázi, k níž pÅ?echázíme pomocí $\mathbb{P}$ a která pÅ?evádí $Q$ na kanonický tvar, nazveme {\color{blue} polární bází} kvadratické formy $Q$.
  \item Z kvadratické formy, která bude v kanonickém tvaru, můžeme ihned vyÄ?íst Å?adu jejích vlastností (ukážeme pozdÄ?ji).
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
PÅ?ipomeÅ?me vÄ?tu z kapitoly o vlastních Ä?íslech matice:
\vskip7pt
\textbf{VÄ?ta: } BuÄ? $\mathbb{A}\in\mathbb{R}^{n,n}$, $\mathbb{A}=\mathbb{A}^{T}$, potom exituje ortogonální matice $\mathbb{P}$ a reálná diagonální matice $\mathbb{D}$ tak, že
$$\mathbb{P}^{T}\mathbb{A}\mathbb{P}=\mathbb{D}.$$

\begin{itemize}
 \item Matice $\mathbb{P}$ obsahuje ve sloupcích vlastní vektory $\mathbb{A}$, které tvoÅ?í ortonormální bázi $\mathbb{R}^{n}$. Matice $\mathbb{D}$ má na diagonále vlastní Ä?ísla $\mathbb{A}$.
 \item Bude-li navíc matice $\mathbb{P}$ reálná, dostaneme transformaci souÅ?adnic pÅ?evádÄ?jící $Q(x)=x^{T}\mathbb{A}x$ do kanonického tvaru.
 \item Metoda pÅ?evedení kvadratické formy do kanonického tvaru založená na této vÄ?tÄ? je poÄ?etnÄ? znaÄ?nÄ? nároÄ?ná. Vyžaduje nalezení vlastních Ä?ísel a vlastních vektorů matice $\mathbb{A}$ a to není explicitnÄ? možné provést
      pro obecnou dimenzi $n$.
 \item Ukážeme jednodušší metody založené pouze na elementárních maticových operacích, Ä?i algebraických manipulacích s kvadratickou formou.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\textbf{Metoda 1:}
\begin{itemize}
 \item Å?ádkovými úpravami GEM pÅ?evedeme $\mathbb{A}$ na horní trojúhelníkovitý tvar. 
       Dostaneme tedy $\mathbb{P}\in\mathbb{R}^{n,n}$ regulární tak, že $\mathbb{P}\mathbb{A}$ je horní trojúhleníková.
 \item Jelikož je $\mathbb{A}$ symetrická, stejné upravy aplikované na její sloupce ji pÅ?evedou na dolní trojúhelníkovou matici,
	tedy $\mathbb{A}\mathbb{P}^{T}$ je dolní trojúhleníková.
 \item Matice $\mathbb{P}\mathbb{A}\mathbb{P}^{T}$ je diagonální!
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\textbf{Metoda 1 - pokraÄ?.:}\\
\vskip7pt
  Schématický postup výpoÄ?tu:
  $$(\mathbb{E}|\mathbb{A}|\mathbb{E})\sim\dots\sim(\mathbb{P}|\mathbb{D}|\mathbb{P}^{T}),$$
  \begin{itemize}
   \item stÅ?ídavÄ? Å?ádkové a sloupcové úpravy,
   \item \textbf{Å?ádkové} pouze s maticí \textbf{vlevo},
   \item \textbf{sloupcové} pouze s maticí \textbf{vpravo}.
  \end{itemize}
\vskip7pt
Po dokonÄ?ení výpoÄ?tu jsou matice nalevo a napravo vzájemnÄ? transponované. 
Je tedy nadbyteÄ?né provádÄ?t a zapisovat operace s obÄ?ma jednotkovými maticemi.
\vskip7pt
StaÄ?í rozšíÅ?it $\mathbb{A}$ zprava jednotkovou maticí a do ní ``zaznamenáme'' pouze Å?ádkové úpravy. Sloupcové úpravy
provádíme pouze s $\mathbb{A}$. Pak
$$(\mathbb{A}|\mathbb{E})\sim\dots\sim(\mathbb{D}|\mathbb{P})$$
a matice $\mathbb{P}^{T}$ je matice pÅ?echodu k nové bázi. Vektory polární báze kvadratické formy $Q$ s maticí $\mathbb{A}$
potom tvoÅ?í Å?ádky matice $\mathbb{P}$.
\end{frame}

\begin{frame}
 \textbf{PÅ?íklad 2: } PÅ?eveÄ?te kvadratickou formu $Q$ definovanou v $\mathbb{R}^{3}$ do kanonického tvaru, kde
 $$Q(x)=2x_{2}^{2}+x^{3}+4x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}.$$
 PopiÅ¡te potÅ?ebnou transformaci souÅ?adnic a najdÄ?te polární bázi $Q$.
\end{frame}

\begin{frame}
 \textbf{Metoda 2:}
 \begin{itemize}
  \item Jiný způsob pÅ?evodu kvadratické formy $Q$ na kanonický tvar je zapsání výrazu
    $$Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}$$
   ve tvaru souÄ?tu kvadrátů, napÅ?., 
    $$Q(x)=d_{1}\left(\sum_{i=1}^{n}q_{1 i}x_{i}\right)^{2}+d_{2}\left(\sum_{i=2}^{n}q_{2 i}x_{i}\right)^{2}+
 \dots+d_{n}\left(\sum_{i=n}^{n}q_{n i}x_{i}\right)^{2}.$$
  \item Způsob doplÅ?ování na Ä?tverce, nÄ?kdy oznaÄ?ováný jako Lagrangeův algoritmus, ilustrujeme na pÅ?íkladech dále.
  \item Definujme $\mathbb{Q}\in\mathbb{R}^{n,n}$ tak, že 
        $$\mathbb{Q}_{ij}:=\begin{cases} q_{ij},& i\leq j,\\
					0 & i>j.
                         \end{cases}$$
 Matice $\mathbb{Q}$ je horní trojúhleníková
  s nenulovími Ä?ísly na diagonále (tak ji volím!), a tedy $\mathbb{Q}$ je regulární.
  \item V nových souÅ?adnicích $x'=\mathbb{Q}x$ je forma $Q$ v kanonickém tvaru. OznaÄ?íme-li $\mathbb{P}:=\mathbb{Q}^{-1}$,
    je $\mathbb{P}$ maticí pÅ?echodu od standardní báze k polární bázi $Q$.
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
 \textbf{PÅ?íklad 3:} BuÄ? $Q$ kvadratická forma na $\mathbb{R}^{3}$ definovaná jako 
    $$Q(x)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}-2x_{2}x_{3}.$$
 Nalezneme kanonický tvar, transformaÄ?ní matici a polární bázi $Q$.
\vskip7pt
 DoplnÄ?ním na Ä?tverce získáme
$$Q(\vec{x})=(x_{1}-x_{2}+2x_{3})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2}-x_{3}^{2}.$$
S pomocí tohoto vyjádÅ?ení sestavme transormaÄ?ní matici
$$\mathbb{Q}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\
			  0 & 1 & -1\\
			   0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$
Tuto matici lze vždy volit regulární a pro její inverze $\mathbb{Q}^{-1}=\mathbb{P}$ je maticí pÅ?echodu od standardní báze
k bázi polární. Tedy sloupce matice
$$\mathbb{P}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\
			  0 & 1 & 1\\
			   0 & 0 & 1\end{pmatrix},$$
tvoÅ?í vektory hledané polární báze $((1,0,0),(1,1,0),(-1,1,1))$.
\end{frame}


\begin{frame}
 \textbf{PÅ?íklad 4:} NaleznÄ?te polární bázi kvadratické formy $Q$ na $\mathbb{R}^{3}$, která má ve standartní bázi tvar 
    $$Q(x)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}.$$
 DoplnÄ?ním na Ä?tverce dostaneme
 $$Q(x)=(x_{1}-x_{2}+2x_{3})^{2}+x_{2}^{2}.$$
 TÅ?etí Å?ádek transformaÄ?ní matice $\mathbb{Q}\in\mathbb{R}^{3,3}$ lze volit libovolnÄ? ale tak, aby matice $\mathbb{Q}$ byla regulární!
 Dobré je zachovat horní trojúhelníkovitý tvar a nenulovost diagonály $\mathbb{Q}$. Tedy můžeme volit napÅ?.
 $$\mathbb{Q}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\
			  0 & 1 & 0\\
			   0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$
Další postup je analogický jako v PÅ?íkladu 3.
\end{frame}

\begin{frame}
Algoritmus doplÅ?ování na Ä?tverce, tak jak byl vyložen, nÄ?kdy nelze aplikovat hned od zaÄ?átku.
Totiž v pÅ?ípadech, kdy rovnice kvadratické formy neobsahuje ``kvadrát''. Uvažujme pÅ?íklad formy na $\mathbb{R}^{3}$,
$$Q(\vec{x})=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}.$$
Zde je tÅ?eba aplikovat nÄ?jakou ``zahajovací substituci'', která nám kvadráty vytvoÅ?í. To znamená, že vyjádÅ?íme formu $Q$ v jiné
bázi, kde již kvadráty budou. VezmÄ?me napÅ?. $x_{1}=y_{1}+y_{2}$, $x_{2}=y_{1}-y_{2}$ a $x_{3}=y_{3}$. Potom
$$Q(x)=\tilde{Q}(y)=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}+2y_{1}y_{3}$$
a již lze aplikovat Lagrangeův algoritmus.

Pozor, transformaÄ?ní matici, která nám vyjde upravením $\tilde{Q}$ na Ä?tverce
je tÅ?eba jeÅ¡tÄ? vynásobit zleva maticí první substituce 
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\
			  1 & -1 & 0\\
			   0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$
Takto získáme matici $\mathbb{Q}$ a můžeme pokraÄ?ovat jako v PÅ?íkladu 3.
\end{frame}



\begin{frame}
\textbf{VÄ?ta(Zákon setrvaÄ?nosti kvadratických forem):} NechÅ¥ $Q$ je kvadratická forma na $\mathbb{R}^{n}$ a $(a_{1},\dots,a_{n})$ je
její polární báze. NechÅ¥ $p,q,r$ je poÄ?et kladných, resp. záporných, resp. nul v posloupnosti $(Q(a_{1}),\dots,Q(a_{n}))$.
Potom uspoÅ?ádaná trojice $p,q,r$ nezávisí na volbÄ? polární báze.
 \vskip 3pt
 Důkaz: neuvedeme\\
 \vskip 7pt
Tedy každé dva kanonické tvary kvadratické $Q$ mají stejný poÄ?et kladných koeficientů, stejný poÄ?et záporných koeficientů
a stejný poÄ?et nulových koeficientů. Tato vÄ?ta ospravedlÅ?uje následující definici.
 \vskip7pt
\textbf{Definice:} Ä?ísla $p$, resp. $q$ z pÅ?edchozí vÄ?ty nazýváme {\color{blue} kladným}, resp. {\color{blue} záporným
indexem setrvaÄ?nosti} kvadratické formy $Q$. Dvojice $(p,q)$ se nazývá {\color{blue}signatura} $Q$. Ä?íslo $p+q$
nazveme {\color{blue}hodnost} $Q$.
\end{frame}

\begin{frame}
\textbf{Definice: } BuÄ? $Q$ kvadratická forma na $\mathbb{R}^{n}$. Å?íkáme, že $Q$ je
\begin{enumerate}
 \item {\color{blue}pozitivnÄ? definitní (PD)} $\Leftrightarrow (\forall x\in L)(x\neq0)(Q(x)>0)$,
 \item {\color{blue}negativnÄ? definitní (ND)} $\Leftrightarrow (\forall x\in L)(x\neq0)(Q(x)<0)$,
 \item {\color{blue}pozitivnÄ? semidefinitní (PSD)} $\Leftrightarrow (\forall x\in L)(Q(x)\geq 0) \wedge (\exists x_{0}\in L)(x_{0}\neq0)(Q(x_{0})=0),$
 \item {\color{blue}negativnÄ? semidefinitní (NSD)} $\Leftrightarrow (\forall x\in L)(Q(x)\leq 0) \wedge (\exists x_{0}\in L)(x_{0}\neq0)(Q(x_{0})=0),$
 \item {\color{blue}indefinitní (IND)} $\Leftrightarrow (\exists x,y\in L)((Q(x)>0))\wedge(Q(y)<0))$.
\end{enumerate}
\vskip7pt
\textbf{Pozorování: } Známe-li signaturu $(p,q)$ kvadratické formy $Q$, můžeme urÄ?it její definitnost. Platí totiž:
\begin{itemize}
 \item $Q$ je PD $\Leftrightarrow$ $p=n$,
 \item $Q$ je ND $\Leftrightarrow$ $q=n$,
 \item $Q$ je PSD $\Leftrightarrow$ $p<n \wedge q=0$,
 \item $Q$ je NSD $\Leftrightarrow$ $p=0 \wedge q<n$,
 \item $Q$ je IND $\Leftrightarrow$ $pq\neq0$.
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}
 \textbf{Pozorování: }Je-li $\mathbb{A}\in\mathbb{R}^{n,n}$, $\mathbb{A}=\mathbb{A}^{T}$, potom je vztahem
$$Q_{A}(x)=x^{T}\mathbb{A}x, \quad (x\in\mathbb{R}^{n})$$
urÄ?ena kvadratická forma $Q_{A}$ na $\mathbb{R}^{n}$. 

\vskip7pt
\textbf{Definice: } Symetrickou matici $\mathbb{A}\in\mathbb{R}^{n,n}$ nazveme {\color{blue} PD}, resp. {\color{blue} ND},
resp. {\color{blue} PSD}, resp. {\color{blue} NSD}, resp. {\color{blue} IND}, jestliže je $Q_{A}$ PD, resp. ND, resp. PSD,
resp. NSD, resp. IND.
\end{frame}


\begin{frame}
\textbf{ZnaÄ?ení:} BuÄ? $\mathbb{A}\in\mathbb{R}^{n,n}$, $k\in\hat{n}$. Potom oznaÄ?íme $\mathbb{A}[k]\in\mathbb{R}^{k,k}$
takovou, že $(\forall i,j\in\hat{k})(\mathbb{A}[k]_{ij}=\mathbb{A}_{ij})$. Tedy $\mathbb{A}[k]$ vznikne z $\mathbb{A}$
vynecháním $(k+1)$-ního až $n$-tého Å?ádku a sloupce.

\vskip7pt
\textbf{VÄ?ta (Jacobiho):} NechÅ¥ $Q$ je kvadratická forma na $\mathbb{R}^{n}$ s maticí $\mathbb{A}$. 
Nechť $\forall k\in\hat{n}$ platí
$$\Delta_{k}:=\det\mathbb{A}[k]\neq0.$$
Potom existuje polární báze $\mathcal{A}$ kvadratické formy $Q$ taková, že $\forall x\in L$ platí
$$Q(x)=\frac{1}{\Delta_{1}}\xi_{1}^{2}+\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{2}}\xi_{2}^{2}+\frac{\Delta_{2}}{\Delta_{3}}\xi_{3}^{2}+
\dots+\frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n}}\xi_{n}^{2},$$
kde $(\xi_{1},\dots, \xi_{n})$ jsou souÅ?adnice vektoru $x$ v bázi $\mathcal{A}$.
\vskip3pt
Důkaz: konstruktivní, uvést podle Ä?asových možností
\end{frame}


\begin{frame}
\textbf{ VÄ?ta (Sylvestrovo kritérium):}  NechÅ¥ $Q$ je kvadratická forma na $\mathbb{R}^{n}$ s maticí $\mathbb{A}$. 
Nechť
$$\Delta_{k}=\det{}^{X}Q[k].$$
Potom i) $Q$ je PD právÄ? když $(\forall k\in \hat{n})(\Delta_{k}>0)$,\\
\hskip 30pt ii) $Q$ je ND právÄ? když $(\forall k\in \hat{n})((-1)^{k}\Delta_{k}>0)$.
\vskip3pt
Důkaz: podle Ä?asových možností
\vskip7pt
\textbf{Důsledek: } Symetrická matice $\mathbb{A}\in\mathbb{R}^{n,n}$ je PD právÄ? když ($\forall k\in\hat{n}$)
($\det \mathbb{A}[k]>0$) a ND  právÄ? když ($\forall k\in\hat{n}$)($(-1)^{k}\det \mathbb{A}[k]>0$).
\vskip7pt
\textbf{Pozn.: } Existuje pododbné kritérium pro PSD/NSD, ale jeho formulace je komplikovanÄ?jší a v praxi se používá zÅ?ídka.
\end{frame}

\begin{frame}
\textbf{PÅ?íklad:} RozhodnÄ?te o definitnosti matice  $$\mathbb{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\
			  1 & 3 & 3\\
			  1 & 3 & 5\end{pmatrix}.$$
Protože $$\Delta_{1}=|(1)|=1>0,$$
$$\Delta_{2}=\left|\begin{pmatrix} 1 & 1 \\
			  1 & 3\end{pmatrix}\right|=2>0,$$
$$\Delta_{3}=\det\mathbb{A}=4>0,$$
je podle Sylvestrova kritéria matice $\mathbb{A}$ PD.
\end{frame}














\end{document}