\documentclass[10pt]{beamer}

% Setup appearance:

\usetheme{Singapore}
\useoutertheme{infolines}
\usefonttheme[onlylarge]{structurebold}
\setbeamerfont*{frametitle}{size=\normalsize,series=\bfseries}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\usecolortheme{whale}
\setbeamertemplate{headline}{}


% Standard packages

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}

\newcommand{\diag}{\mathop\mathrm{diag}\nolimits}
\newcommand{\spec}{\mathop\mathrm{spec}\nolimits}
\renewcommand{\span}{\mathop\mathrm{span}\nolimits}
\newcommand{\der}{\mathop\mathrm{der}\nolimits}
\newcommand{\Ran}{\mathop\mathrm{Ran}\nolimits}
\newcommand{\dist}{\mathop\mathrm{dist}\nolimits}
\newcommand{\Dom}{\mathop\mathrm{Dom}\nolimits}

% Author, Title, etc.

\title[]
{
Symetrické a kvadratické formy
}

\author[BI-LIN]
{
 %František~Štampach
}

\institute[Hermitovské a kvadratické formy]{}
\date{}

\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
  Aplikace: klasifikace kvadrik($\mathbb{R}^{2}$) a kvadratických ploch($\mathbb{R}^{3}$), optimalizace(MPI)
\end{frame}

\begin{frame}{}
 V celé p�?ednášce uvažujeme �?íselné t�?leso $\mathbb{R}$, a�?koliv celou látku k hermitovským formám lze vyložit nad obecným t�?lesem (obvykle $\mathbb{C}$).

 Dále vektor $x\in\mathbb{R}^{n}$ uvažujeme \emph{sloupcový} a nad vektor nepíšeme šipku.
 \vskip 7pt 
 
 \textbf{Definice:} Zobrazení $Q:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ nazveme {\color{blue} kvadratická forma} na $\mathbb{R}^{n}$, existuje-li $\mathbb{A}\in\mathbb{R}^{n,n}$, $\mathbb{A}=\mathbb{A}^{T}$ taková, že
 $$(\forall x\in\mathbb{R}^{n})(Q(x)=x^{T}\mathbb{A}x).$$
 Dále zobrazení $h:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ definované pro $\forall x,y\in\mathbb{R}^{n}$ p�?edpisem
 $$h(x,y)=x^{T}\mathbb{A}y$$
  nazveme {\color{blue} symetrickou formou} kvadratické formy $Q$.
\vskip7pt
\begin{itemize}
 \item Je-li $\mathbb{A}_{ij}=a_{ij}$, potom 
  $$Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}.$$
 \item Můžeme se setkat s různými způsoby zápisu skalárního sou�?inu: 
  $$x^{T}\mathbb{A}y=x\cdot\mathbb{A}y=(x,\mathbb{A}y).$$
\end{itemize}


\vskip7pt
\end{frame}

\begin{frame}{}
  \textbf{P�?íklad 1:} Zobrazení $Q$ zadané p�?edpisem 
    $$Q(x)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}-2x_{2}x_{3}$$
  je kvadratická forma na $\mathbb{R}^{3}$ s maticí
  $$\mathbb{A}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\
			  -1 & 2 & -1\\
			   2 & -1 & 4\end{pmatrix}.$$
 P�?íslušná symetrická forma má tvar
 $$h(\vec{x},\vec{y})=x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}+4x_{3}y_{3}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+2x_{1}y_{3}+2x_{3}y_{1}-x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}.$$
\end{frame}


\begin{frame}

\textbf{Pozorování:}
 \begin{itemize}
  \item Hermitovská forma $h$ je lineární v obou argumentech.
  \item Platí-li navíc $(\forall x\in\mathbb{R}^{n})(x\neq0)(h(x,x)>0)$ (pozitivní definitnost) je $h$ skalární sou�?in na $\mathbb{R}^{n}$.
 \end{itemize}

\vskip7pt

 \textbf{V�?ta:} Bu�? $Q$ kvadratická forma na $\mathbb{R}^{n}$ a $h$ p�?íslušná symetrická forma. Potom pro $\forall x,y\in\mathbb{R}^{n}$ a 
 $\forall\alpha\in\mathbb{R}$ platí
 \begin{enumerate}
  \item $h(x,y)=h(y,x)$,  
  \item $Q(\alpha x)=\alpha^{2}Q(x)$,
  \item $Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2h(x,y)$,
  \item $Q(x+y)+Q(x-y)=2Q(x)+2Q(y)$, \hskip 20pt (\emph{rovnob�?žníková rovnost}),
  \item $h(x,y)=\frac{1}{4}(Q(x+y)-Q(x-y))$, \hskip 43pt (\emph{polariza�?ní identita}).
 \end{enumerate}
 \vskip 3pt
 Důkaz: tabule
 \vskip 7pt
 
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{itemize}
\item Ve vzorci $Q(x)=x^{T}\mathbb{A}x$ vystupují sou�?adnice vektoru $x$ ve standartní bázi $\mathbb{R}^{n}$. 
\item Bu�? $\mathbb{P}\in\mathbb{R}^{n,n}$ matice p�?echodu od standartní báze $\mathbb{R}^{n}$ k bázi jiné. Víme, že pro ``nové'' sou�?adnice $x'\in\mathbb{R}^{n}$ platí vztah
  $$x=\mathbb{P}x'.$$
\item Matice kvadratické formy se p�?echodem k jiným sou�?adnicím zm�?ní! Máme totiž
$$Q(x)=x^{T}\mathbb{A}x=(\mathbb{P}x')^{T}\mathbb{A}\mathbb{P}x'=x'^{T}\mathbb{P}^{T}\mathbb{A}\mathbb{P}x'.$$
\item Na pravé stran�? je kvadratická forma v nových sou�?adnicích s maticí 
 $$\mathbb{P}^{T}\mathbb{A}\mathbb{P}$$ 
(je tato matice symetrická?).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
 \begin{itemize}
  \item V dalším výkladu se budeme snažit najít takovou trasformaci sou�?adnic (matici $\mathbb{P}$), aby matice kvadratické formy v nových sou�?adnicích byla diagonální.
  \item Tedy hledáme matici p�?echodu $\mathbb{P}$ takovou, že
    $$\mathbb{D}=\mathbb{P}^{T}\mathbb{A}\mathbb{P}$$
    je diagonální matice.
  \item Kvadratická forma $Q$ má potom v nových sou�?adnicích tzv. {\color{blue} kanonický \\ tvar},
    $$Q(x)=\sum_{i=1}^{n}d_{ii}(x_{i}')^{2}.$$
  \item Bázi, k níž p�?echázíme pomocí $\mathbb{P}$ a která p�?evádí $Q$ na kanonický tvar, nazveme {\color{blue} polární bází} kvadratické formy $Q$.
  \item Z kvadratické formy, která bude v kanonickém tvaru, můžeme ihned vy�?íst �?adu jejích vlastností (ukážeme pozd�?ji).
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
P�?ipome�?me v�?tu z kapitoly o vlastních �?íslech matice:
\vskip7pt
\textbf{V�?ta: } Bu�? $\mathbb{A}\in\mathbb{R}^{n,n}$, $\mathbb{A}=\mathbb{A}^{T}$, potom exituje ortogonální matice $\mathbb{P}$ a reálná diagonální matice $\mathbb{D}$ tak, že
$$\mathbb{P}^{T}\mathbb{A}\mathbb{P}=\mathbb{D}.$$

\begin{itemize}
 \item Matice $\mathbb{P}$ obsahuje ve sloupcích vlastní vektory $\mathbb{A}$, které tvo�?í ortonormální bázi $\mathbb{R}^{n}$. Matice $\mathbb{D}$ má na diagonále vlastní �?ísla $\mathbb{A}$.
 \item Bude-li navíc matice $\mathbb{P}$ reálná, dostaneme transformaci sou�?adnic p�?evád�?jící $Q(x)=x^{T}\mathbb{A}x$ do kanonického tvaru.
 \item Metoda p�?evedení kvadratické formy do kanonického tvaru založená na této v�?t�? je po�?etn�? zna�?n�? náro�?ná. Vyžaduje nalezení vlastních �?ísel a vlastních vektorů matice $\mathbb{A}$ a to není explicitn�? možné provést
      pro obecnou dimenzi $n$.
 \item Ukážeme jednodušší metody založené pouze na elementárních maticových operacích, �?i algebraických manipulacích s kvadratickou formou.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\textbf{Metoda 1:}
\begin{itemize}
 \item �?ádkovými úpravami GEM p�?evedeme $\mathbb{A}$ na horní trojúhelníkovitý tvar. 
       Dostaneme tedy $\mathbb{P}\in\mathbb{R}^{n,n}$ regulární tak, že $\mathbb{P}\mathbb{A}$ je horní trojúhleníková.
 \item Jelikož je $\mathbb{A}$ symetrická, stejné upravy aplikované na její sloupce ji p�?evedou na dolní trojúhelníkovou matici,
	tedy $\mathbb{A}\mathbb{P}^{T}$ je dolní trojúhleníková.
 \item Matice $\mathbb{P}\mathbb{A}\mathbb{P}^{T}$ je diagonální!
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\textbf{Metoda 1 - pokra�?.:}\\
\vskip7pt
  Schématický postup výpo�?tu:
  $$(\mathbb{E}|\mathbb{A}|\mathbb{E})\sim\dots\sim(\mathbb{P}|\mathbb{D}|\mathbb{P}^{T}),$$
  \begin{itemize}
   \item st�?ídav�? �?ádkové a sloupcové úpravy,
   \item \textbf{�?ádkové} pouze s maticí \textbf{vlevo},
   \item \textbf{sloupcové} pouze s maticí \textbf{vpravo}.
  \end{itemize}
\vskip7pt
Po dokon�?ení výpo�?tu jsou matice nalevo a napravo vzájemn�? transponované. 
Je tedy nadbyte�?né provád�?t a zapisovat operace s ob�?ma jednotkovými maticemi.
\vskip7pt
Sta�?í rozší�?it $\mathbb{A}$ zprava jednotkovou maticí a do ní ``zaznamenáme'' pouze �?ádkové úpravy. Sloupcové úpravy
provádíme pouze s $\mathbb{A}$. Pak
$$(\mathbb{A}|\mathbb{E})\sim\dots\sim(\mathbb{D}|\mathbb{P})$$
a matice $\mathbb{P}^{T}$ je matice p�?echodu k nové bázi. Vektory polární báze kvadratické formy $Q$ s maticí $\mathbb{A}$
potom tvo�?í �?ádky matice $\mathbb{P}$.
\end{frame}

\begin{frame}
 \textbf{P�?íklad 2: } P�?eve�?te kvadratickou formu $Q$ definovanou v $\mathbb{R}^{3}$ do kanonického tvaru, kde
 $$Q(x)=2x_{2}^{2}+x^{3}+4x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}.$$
 Popište pot�?ebnou transformaci sou�?adnic a najd�?te polární bázi $Q$.
\end{frame}

\begin{frame}
 \textbf{Metoda 2:}
 \begin{itemize}
  \item Jiný způsob p�?evodu kvadratické formy $Q$ na kanonický tvar je zapsání výrazu
    $$Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}$$
   ve tvaru sou�?tu kvadrátů, nap�?., 
    $$Q(x)=d_{1}\left(\sum_{i=1}^{n}q_{1 i}x_{i}\right)^{2}+d_{2}\left(\sum_{i=2}^{n}q_{2 i}x_{i}\right)^{2}+
 \dots+d_{n}\left(\sum_{i=n}^{n}q_{n i}x_{i}\right)^{2}.$$
  \item Způsob dopl�?ování na �?tverce, n�?kdy ozna�?ováný jako Lagrangeův algoritmus, ilustrujeme na p�?íkladech dále.
  \item Definujme $\mathbb{Q}\in\mathbb{R}^{n,n}$ tak, že 
        $$\mathbb{Q}_{ij}:=\begin{cases} q_{ij},& i\leq j,\\
					0 & i>j.
                         \end{cases}$$
 Matice $\mathbb{Q}$ je horní trojúhleníková
  s nenulovími �?ísly na diagonále (tak ji volím!), a tedy $\mathbb{Q}$ je regulární.
  \item V nových sou�?adnicích $x'=\mathbb{Q}x$ je forma $Q$ v kanonickém tvaru. Ozna�?íme-li $\mathbb{P}:=\mathbb{Q}^{-1}$,
    je $\mathbb{P}$ maticí p�?echodu od standardní báze k polární bázi $Q$.
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
 \textbf{P�?íklad 3:} Bu�? $Q$ kvadratická forma na $\mathbb{R}^{3}$ definovaná jako 
    $$Q(x)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}-2x_{2}x_{3}.$$
 Nalezneme kanonický tvar, transforma�?ní matici a polární bázi $Q$.
\vskip7pt
 Dopln�?ním na �?tverce získáme
$$Q(\vec{x})=(x_{1}-x_{2}+2x_{3})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2}-x_{3}^{2}.$$
S pomocí tohoto vyjád�?ení sestavme transorma�?ní matici
$$\mathbb{Q}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\
			  0 & 1 & -1\\
			   0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$
Tuto matici lze vždy volit regulární a pro její inverze $\mathbb{Q}^{-1}=\mathbb{P}$ je maticí p�?echodu od standardní báze
k bázi polární. Tedy sloupce matice
$$\mathbb{P}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\
			  0 & 1 & 1\\
			   0 & 0 & 1\end{pmatrix},$$
tvo�?í vektory hledané polární báze $((1,0,0),(1,1,0),(-1,1,1))$.
\end{frame}


\begin{frame}
 \textbf{P�?íklad 4:} Nalezn�?te polární bázi kvadratické formy $Q$ na $\mathbb{R}^{3}$, která má ve standartní bázi tvar 
    $$Q(x)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}.$$
 Dopln�?ním na �?tverce dostaneme
 $$Q(x)=(x_{1}-x_{2}+2x_{3})^{2}+x_{2}^{2}.$$
 T�?etí �?ádek transforma�?ní matice $\mathbb{Q}\in\mathbb{R}^{3,3}$ lze volit libovoln�? ale tak, aby matice $\mathbb{Q}$ byla regulární!
 Dobré je zachovat horní trojúhelníkovitý tvar a nenulovost diagonály $\mathbb{Q}$. Tedy můžeme volit nap�?.
 $$\mathbb{Q}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\
			  0 & 1 & 0\\
			   0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$
Další postup je analogický jako v P�?íkladu 3.
\end{frame}

\begin{frame}
Algoritmus dopl�?ování na �?tverce, tak jak byl vyložen, n�?kdy nelze aplikovat hned od za�?átku.
Totiž v p�?ípadech, kdy rovnice kvadratické formy neobsahuje ``kvadrát''. Uvažujme p�?íklad formy na $\mathbb{R}^{3}$,
$$Q(\vec{x})=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}.$$
Zde je t�?eba aplikovat n�?jakou ``zahajovací substituci'', která nám kvadráty vytvo�?í. To znamená, že vyjád�?íme formu $Q$ v jiné
bázi, kde již kvadráty budou. Vezm�?me nap�?. $x_{1}=y_{1}+y_{2}$, $x_{2}=y_{1}-y_{2}$ a $x_{3}=y_{3}$. Potom
$$Q(x)=\tilde{Q}(y)=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}+2y_{1}y_{3}$$
a již lze aplikovat Lagrangeův algoritmus.

Pozor, transforma�?ní matici, která nám vyjde upravením $\tilde{Q}$ na �?tverce
je t�?eba ješt�? vynásobit zleva maticí první substituce 
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\
			  1 & -1 & 0\\
			   0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$
Takto získáme matici $\mathbb{Q}$ a můžeme pokra�?ovat jako v P�?íkladu 3.
\end{frame}



\begin{frame}
\textbf{V�?ta(Zákon setrva�?nosti kvadratických forem):} Nechť $Q$ je kvadratická forma na $\mathbb{R}^{n}$ a $(a_{1},\dots,a_{n})$ je
její polární báze. Nechť $p,q,r$ je po�?et kladných, resp. záporných, resp. nul v posloupnosti $(Q(a_{1}),\dots,Q(a_{n}))$.
Potom uspo�?ádaná trojice $p,q,r$ nezávisí na volb�? polární báze.
 \vskip 3pt
 Důkaz: neuvedeme\\
 \vskip 7pt
Tedy každé dva kanonické tvary kvadratické $Q$ mají stejný po�?et kladných koeficientů, stejný po�?et záporných koeficientů
a stejný po�?et nulových koeficientů. Tato v�?ta ospravedl�?uje následující definici.
 \vskip7pt
\textbf{Definice:} �?ísla $p$, resp. $q$ z p�?edchozí v�?ty nazýváme {\color{blue} kladným}, resp. {\color{blue} záporným
indexem setrva�?nosti} kvadratické formy $Q$. Dvojice $(p,q)$ se nazývá {\color{blue}signatura} $Q$. �?íslo $p+q$
nazveme {\color{blue}hodnost} $Q$.
\end{frame}

\begin{frame}
\textbf{Definice: } Bu�? $Q$ kvadratická forma na $\mathbb{R}^{n}$. �?íkáme, že $Q$ je
\begin{enumerate}
 \item {\color{blue}pozitivn�? definitní (PD)} $\Leftrightarrow (\forall x\in L)(x\neq0)(Q(x)>0)$,
 \item {\color{blue}negativn�? definitní (ND)} $\Leftrightarrow (\forall x\in L)(x\neq0)(Q(x)<0)$,
 \item {\color{blue}pozitivn�? semidefinitní (PSD)} $\Leftrightarrow (\forall x\in L)(Q(x)\geq 0) \wedge (\exists x_{0}\in L)(x_{0}\neq0)(Q(x_{0})=0),$
 \item {\color{blue}negativn�? semidefinitní (NSD)} $\Leftrightarrow (\forall x\in L)(Q(x)\leq 0) \wedge (\exists x_{0}\in L)(x_{0}\neq0)(Q(x_{0})=0),$
 \item {\color{blue}indefinitní (IND)} $\Leftrightarrow (\exists x,y\in L)((Q(x)>0))\wedge(Q(y)<0))$.
\end{enumerate}
\vskip7pt
\textbf{Pozorování: } Známe-li signaturu $(p,q)$ kvadratické formy $Q$, můžeme ur�?it její definitnost. Platí totiž:
\begin{itemize}
 \item $Q$ je PD $\Leftrightarrow$ $p=n$,
 \item $Q$ je ND $\Leftrightarrow$ $q=n$,
 \item $Q$ je PSD $\Leftrightarrow$ $p<n \wedge q=0$,
 \item $Q$ je NSD $\Leftrightarrow$ $p=0 \wedge q<n$,
 \item $Q$ je IND $\Leftrightarrow$ $pq\neq0$.
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}
 \textbf{Pozorování: }Je-li $\mathbb{A}\in\mathbb{R}^{n,n}$, $\mathbb{A}=\mathbb{A}^{T}$, potom je vztahem
$$Q_{A}(x)=x^{T}\mathbb{A}x, \quad (x\in\mathbb{R}^{n})$$
ur�?ena kvadratická forma $Q_{A}$ na $\mathbb{R}^{n}$. 

\vskip7pt
\textbf{Definice: } Symetrickou matici $\mathbb{A}\in\mathbb{R}^{n,n}$ nazveme {\color{blue} PD}, resp. {\color{blue} ND},
resp. {\color{blue} PSD}, resp. {\color{blue} NSD}, resp. {\color{blue} IND}, jestliže je $Q_{A}$ PD, resp. ND, resp. PSD,
resp. NSD, resp. IND.
\end{frame}


\begin{frame}
\textbf{Zna�?ení:} Bu�? $\mathbb{A}\in\mathbb{R}^{n,n}$, $k\in\hat{n}$. Potom ozna�?íme $\mathbb{A}[k]\in\mathbb{R}^{k,k}$
takovou, že $(\forall i,j\in\hat{k})(\mathbb{A}[k]_{ij}=\mathbb{A}_{ij})$. Tedy $\mathbb{A}[k]$ vznikne z $\mathbb{A}$
vynecháním $(k+1)$-ního až $n$-tého �?ádku a sloupce.

\vskip7pt
\textbf{V�?ta (Jacobiho):} Nechť $Q$ je kvadratická forma na $\mathbb{R}^{n}$ s maticí $\mathbb{A}$. 
Nechť $\forall k\in\hat{n}$ platí
$$\Delta_{k}:=\det\mathbb{A}[k]\neq0.$$
Potom existuje polární báze $\mathcal{A}$ kvadratické formy $Q$ taková, že $\forall x\in L$ platí
$$Q(x)=\frac{1}{\Delta_{1}}\xi_{1}^{2}+\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{2}}\xi_{2}^{2}+\frac{\Delta_{2}}{\Delta_{3}}\xi_{3}^{2}+
\dots+\frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n}}\xi_{n}^{2},$$
kde $(\xi_{1},\dots, \xi_{n})$ jsou sou�?adnice vektoru $x$ v bázi $\mathcal{A}$.
\vskip3pt
Důkaz: konstruktivní, uvést podle �?asových možností
\end{frame}


\begin{frame}
\textbf{ V�?ta (Sylvestrovo kritérium):}  Nechť $Q$ je kvadratická forma na $\mathbb{R}^{n}$ s maticí $\mathbb{A}$. 
Nechť
$$\Delta_{k}=\det{}^{X}Q[k].$$
Potom i) $Q$ je PD práv�? když $(\forall k\in \hat{n})(\Delta_{k}>0)$,\\
\hskip 30pt ii) $Q$ je ND práv�? když $(\forall k\in \hat{n})((-1)^{k}\Delta_{k}>0)$.
\vskip3pt
Důkaz: podle �?asových možností
\vskip7pt
\textbf{Důsledek: } Symetrická matice $\mathbb{A}\in\mathbb{R}^{n,n}$ je PD práv�? když ($\forall k\in\hat{n}$)
($\det \mathbb{A}[k]>0$) a ND  práv�? když ($\forall k\in\hat{n}$)($(-1)^{k}\det \mathbb{A}[k]>0$).
\vskip7pt
\textbf{Pozn.: } Existuje pododbné kritérium pro PSD/NSD, ale jeho formulace je komplikovan�?jší a v praxi se používá z�?ídka.
\end{frame}

\begin{frame}
\textbf{P�?íklad:} Rozhodn�?te o definitnosti matice  $$\mathbb{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\
			  1 & 3 & 3\\
			  1 & 3 & 5\end{pmatrix}.$$
Protože $$\Delta_{1}=|(1)|=1>0,$$
$$\Delta_{2}=\left|\begin{pmatrix} 1 & 1 \\
			  1 & 3\end{pmatrix}\right|=2>0,$$
$$\Delta_{3}=\det\mathbb{A}=4>0,$$
je podle Sylvestrova kritéria matice $\mathbb{A}$ PD.
\end{frame}














\end{document}

