\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi

\font\logocvut=lev scaled400

\ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi
\def\cislo{16}

\headline={\setfonts[/10]\rm
   \ifnum\pageno>1 
   \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Ol��k \quad}\else
   \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]}
\footline={}

\def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{%
\setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Ol��k, FEL �VUT, c) P. Ol��k 2010,
  d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. 
  Viz p. d. 4/2010
}\vss}}

\input ofs [a35]  %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  
\baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\a{{A}}
\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\D{{\bf D}}
\def\E{{\bf E}}
\def\P{{\bf P}}
\def\L{{\bf L}}
\def\U{{\bf U}}
\def\X{{\bf X}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}
\def\|{||}

% ===============================================================

\vglue .5cm

\gg Euklidovsk� 

\gg prostor

\bigskip\bigskip

* Euklidovy Z�klady (pohled do historie)

* dne�n� definice

* kart�zsk� sou�adnicov� syst�m

* vlastnosti \uv{rovin} v $E_n$

* speci�ln� vlastnosti v $E_3$ (vektorov� sou�in)



\n ---------------------------------------------------------------


\g Euklides

Euklides (jin� p�eklad: Eukleides) byl �eck� matematik 
(kolem roku 300 p�.~n.~l.).

Hlavn� d�lo: Euklidovy {\em Z�klady\/} (ve 13 kapitol�ch). Po Bibli
nejv�ce publikovan� d�lo a� do 19. stolet�.

Pokusil se o p�esn� form�ln� vyjad�ov�n�, vybudoval geometrii syst�mem
definice, v�ta, d�kaz. Pokusil se definovat i nedefinovateln�:

* {\em bod\/} je to, co nem� ��sti,

* {\em k�ivka\/} je d�lka bez ���ky, 

* {\em p��mka\/} je k�ivka s body, kter� le�� rovn�,

* rozd�len�m p��m�ho �hlu na dva stejn� vznik� �hlel {\em prav�}, 

* \dots

\n ----------------------------------------------------------------

\g Euklidovy postul�ty (axiomy)

Euklides si uv�domil, �e n�kter� tvrzen� nelze dok�zat, je nutn� je
p�edpokl�dat. Formuloval p�t tzv. postul�t�:

* Dva body ur�uj� jedinou �se�ku, kter� v t�ch bodech kon��.
* Ka�d� �se�ka m��e b�t prodlou�ena tak, �e vznikne op�t �se�ka.
* Je mo�n� nakreslit kru�nici s libovoln�m st�edem a polom�rem.
* V�echny prav� �hly jsou si rovny.
* Jestli�e p��mka prot�n� dv� p��mky tak, �e vnit�n� �hly na t�e
  stran� jsou men�� ne� dva prav� �hly, pak se tyto dv� p��mky
  protnou na stejn� stran�, na kter� jsou �hly men�� ne� dva prav�.


\n ------------------------------------------------------

\g Otazn�ky kolem p�t�ho axiomu

P�t� axiom je formulov�n slo�it�, je v geometrii nutn�?

Uk�zalo se, �e p�t� axiom je (za p�edpokladu platnosti prvn�ch �ty�)
ekvivalentn� s n�sleduj�c�mi tvrzen�mi:

* Dan�m bodem lze k dan� p��mce v�st jedinou rovnob�ku.

* Troj�heln�ky maj� sou�et vnit�n�ch �hl� $180^\circ$.

* Plat� Pythagorova v�ta.

Pozd�ji se uk�zalo (Gauss, Loba�evskij, Riemann), �e u�ite�n� je 
i geometrie bez p�t�ho axiomu (tzv. neeuklidovsk� geometrie).
Nap��klad dvourozm�rn� geometrie na sf��e: troj�heln�ky maj� sou�et
�hl� v�t�� ne� $180^\circ$, ka�d� dv� \uv{p��mky} (nejkrat�� spojnice
dvou bod� prodlou�en� na obou konc�ch) se prot�naj�, tj. neexistuje
rovnob�ka. Neplat� Pythagorova v�ta.

\n -----------------------------------------------------

\g Euklidovsk� prostor dnes

V euklidovsk�m prostoru chceme pracovat s p��mkami (to um�me v~afinn�m
prostoru), d�le chceme v rovin�ch vymezit kru�nice. K~tomu pot�ebujeme m��it
vzd�lenosti. Pot�ebujeme tedy metrick� prostor. Metrika mus� b�t
odvozena z Pythagorovy v�ty (jinak by tato v�ta neplatila a neplatil
by p�t� Euklid�v axiom). Tuto vlastnost spl�uje metrika odvozen� ze
skal�rn�ho sou�inu. Kone�n� v euklidovsk�m prostoru pot�ebujeme m��it
�hly. K tomu tak� slou�� skal�rn� sou�in. Dne�n� definice euklidovsk�ho
prostoru je tedy n�sleduj�c�:

{\bf Definice}: {\em Euklidovsk� prostor $E_n$} je afinn� prostor $(\X, V)$
dimen\-ze~$n$, p�itom $V$ je line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem. 
Z tohoto sou�inu je odvozena norma a metrika na $V$. 
Metrika na $\X$ je defi\-nov�na takto:
vzd�lenost bod� $P,Q$ je rovna velikosti vektoru $P-Q$. 

\n ---------------------------------------------------------

\g Z�kladn� objekty v euklidovsk�m prostoru

* {\bf P��mka}: $p = \{A+t\vec s,\ t\in\R\}$, \ kde $A\in\X$, $\vec s\in V$,
  $\vec s\not=\vec o$.

P��mka je tedy d�na bodem $A$, kter�m proch�z� a nenulov�m {\em
sm�rov�m vektorem} $\vec s$. M��e b�t t� d�na dv�ma body $A$ a $B$:\hb
$p = \{A+t\,(B-A),\ t\in\R\}$.

* {\bf �se�ka} s koncov�mi body $A$, $B$: \ $u = \{A+t\,(B-A),\ t\in\langle 0,1\rangle\}$.

* {\bf Kru�nice} se st�edem $S$ a polom�rem $r$: \
  $k = \{X,\ \varrho(S,X) = r\}$.

Kru�nici lze takto definovat jen v $E_2$ (dimenzi 2). Pro v�t��
dimenze je uveden� mno�ina povrchem $n$-rozm�rn� koule.

* {\bf Rovina}: $\sigma = \{A + t\vec a + u\vec b,\ t,u\in\R\}$, \ 
  $A\in\X$, $\vec a,\vec b\in V$ jsou LN.

Rovina je d�na bodem a dv�ma nez�visl�mi sm�ry.

* {\bf Zobecn�n� rovina} 
  (afinn� podprostor): $\tau = A + \lob<\vec a_1,\ldots, \vec a_k>$,

\n -------------------------------------------------------------

\g Vztahy mezi p��mkami

Dv� p��mky  $p = \{A_1+t\vec s_1,\ t\in\R\}$ a 
$q = \{A_2+t\vec s_2,\ t\in\R\}$ jsou {\em toto�n�}, pr�v� kdy�
vektory $A_2-A_1$ a $\vec s_1$ jsou LZ a sou�asn�
sm�rov� vektory $\vec s_1$, $\vec s_2$ jsou LZ.

Dv� p��mky  $p = \{A_1+t\vec s_1,\ t\in\R\}$ a 
$q = \{A_2+t\vec s_2,\ t\in\R\}$ jsou {\em rovnob�n�}, pr�v� kdy�
nejsou toto�n� a vektory $\vec s_1$, $\vec s_2$ jsou LZ.

Dv� p��mky $p = \{A_1+t\vec s_1,\ t\in\R\}$ a 
$q = \{A_2+t\vec s_2,\ t\in\R\}$ {\em le�� ve spole�n� rovin�},
pr�v� kdy� vektory $A_2-A_1$, $\vec s_1$, $\vec s_2$ jsou LZ.

Dv� p��mky jsou {\em r�znob�ky} (prot�naj� se v
jednom bod�), pr�v� kdy� le�� ve spole�n� rovin� a nejsou toto�n� 
ani rovnob�n�.

Dv� p��mky jsou {\em mimob�ky} (m�jej� se v prostoru), pr�v� kdy�
nele�� ve spole�n� rovin�.

Uveden� vztahy rozpozn�me {\em algebraick�mi metodami\/}: vy�et�en�m line�rn�
z�vislosti nebo nez�vislosti vektor�.

\n ------------------------------------------------------------

\g P��klad

Najdeme parametr $a\in\R$ takov�, aby se p��mky\hb
$p=(1,2,3) + \lob<(2,2,5)>$ a $q=(4,3,7) + \lob<(3,a,1)>$ prot�naly.

�e�en�: P��mky nejsou rovnob�n� ani toto�n�, proto�e jejich sm�rov�
vektory jsou line�rn� nez�visl�. Aby tyto p��mky byly r�znob�kami,
mus� b�t vektory $(3,1,4), (2,2,5), (3,a,1)$ lien�rn� z�visl�, tak�e
kdy� jejich sou�adnice zap��eme do ��dk� matice $\A$, mus� m�t tato
matice nulov� determinant:
$$
  \det\pmatrix {3&1&4\cr 2&2&5\cr 3&a&1}
  = -5 -7a = 0.
$$
Tak�e \ $\displaystyle a = -{5\over 7}$.

\n -------------------------------------------------------------

\g Zobecn�n� rovina: afinn� podprostor 

Je d�n bod $A\in\X$ a line�rn� nez�visl� vektory
$\vecc u_k$ v~afin�m prostoru $(\X,V)$. 
Mno�in�
$$
  M = A + \lob<\vecc u_k>
$$
��k�me {\em zobecn�n� rovina}. M� dimenzi~$k$.

Zobecn�n� rovina dimenze 1 je p��mka.

Zobecn�n� rovina dimenze 2 je \uv{skute�n�} rovina.

Pojem {\em zobecn�n� rovina} tedy zahrnuje pojmy p��mka a rovina dokonce pro
line�rn� prostory libovoln� dimenze $n$. Zobecn�n� rovina je
podprostor v afinn�m prostoru $(\X,V)$. 

P�esn�ji, p�i ozna�en�
$W= \lob<\vecc u_k>$ je
dvojice $(M,W)$ afinn� podprostor: operace afinn�ho
prostoru jsou na mno�in� $M$ a line�rn�m podprostoru $W$ uzav�eny.

\n --------------------------------------------------------------

\g Vz�jemn� poloha zobecn�n�ch rovin

Ozna�me $U = \lob<\vecc u_k>$ a $V=\lob<\vecc v_m>$. Nech� $A$ a $B$
jsou body v afinn�m prostoru $(\X,V)$ a nech� jsou d�ny
dv� zobecn�n� roviny $M = A + U$ a $N= B+V$. 

* $M$ a $N$ jsou {\em toto�n�}, pr�v� kdy� $U=V$ a $A-B\in U$.

* $M$ {\em je obsa�ena v} $N$, pr�v� kdy� $U\subseteq V$ a $A-B\in V$.

Dal�� pojmy se t�kaj� jen zobecn�n�ch rovin $M$ a $N$ takov�ch, �e ��dn� nen�
obsa�ena v druh�.

* $M$ {\em je rovnob�n� s} $N$, pr�v� kdy� $U\subseteq V$ nebo $V\subseteq U$.

* Zobecn�n� roviny $M$ a $N$ {\em se prot�naj�}, pr�v� kdy� 
  $A-B\in \lob<U\cup V>$.

* Zobecn�n� roviny {\em jsou mimob�n�}, pr�v� kdy� nejsou rovnob�n�
a neprot�naj� se.

* $M$ a $N$ {\em jsou na sebe kolm�}, pr�v� kdy� $\vec u_i\cdot\vec v_j =0$
  pro v�echna $i\in\{1,\ldots,k\}$ a $j\in\{1,\ldots,m\}$

\n --------------------------------------------------------------

\g Kart�zsk� sou�adn� syst�m

Nech� $E_n = (\X, V)$ je euklidovsk� prostor. {\em Kart�zsk� sou�adn�
syst�m\/} tohoto prostoru 
je sou�adnicov� syst�m $(O,B)$ afinn�ho prostoru $(\X, V)$ 
takov�, �e b�ze $(B)$ je ortonorm�ln�.

%P�ipom�n�m: sou�adn� syst�m je dvojice $(O,B)$, kde $O\in\X$ a $(B)$
%je uspo��dan� b�ze line�rn�ho prostoru $V$.
%Sou�adnice {\em vektoru\/} jsou jeho sou�adnice vzhledem k $(B)$ a
%sou�adnice {\em bodu\/} $P$ jsou sou�adnice jeho radiusvektoru $P-O$.

Nech� $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ a $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ jsou sou�adnice 
vektor� $\vec x$ a~$\vec y$ vzhledem
ke {\bf kart�zk�mu} sou�adn�mu syst�mu. Pak 
$$
  \displaylines{
  \vec x\cdot\vec y \ = \ x_1\,y_1 + x_2\,y_2 + \cdots + x_n\,y_n,
  \cr\noalign{\medskip}
  \|\vec x\| \ = \ \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}.
}
$$
Nech� $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ a $(a'_1,a'_2,\ldots,a'_n)$ jsou sou�adnice
bod� $A$ a $A'$ vzhledem ke {\bf kart�zk�mu} sou�adn�mu syst�mu. Pak
vzd�lenost t�chto bod� se
po��t� \uv{podle Pythagorovy v�ty}:
$$
  \rho(A,A') \ = \ \|A-A'\| \ = \ \sqrt{(a_1-a'_1)^2+(a_2-a'_2)^2+\cdots+(a_n-a'_n)^2}.
$$

\n -------------------------------------------------------

\g Idea analytick� geometrie

Geometrick� �lohy lze �e�it algebraicky p�echodem k sou�adnic�m vzhledem
ke kart�zsk�mu sou�adn�mu syst�mu.

Geometrick� konstrukce prav�tkem a kru��tkem v rovin� sest�vaj� z t�chto
element�rn�ch �kon�:

* naj�t pr�se��k dvou p��mek (pokud existuje),

* naj�t pr�se��k p��mky s kru�nic� (pokud existuje),

* naj�t pr�se��k dvou kru�nic (pokud existuje).

V�echny tyto �koly lze p�ev�st na v�po�et sou�adnic hledan�ch
pr�se��k� vzhledem ke kart�zsk�mu sou�adnicov�mu syst�mu, pokud jsou
d�ny sou�adnice v�choz�ch objekt� (sou�adnice bodu a sm�rov�ho vektoru
p��mky, sou�adnice st�edu a hodnota polom�ru kru�nice).  


\n -------------------------------------------------

\g P��klad: pr�se��k p��mek

V $E_2$ jsou d�ny p��mky $p = (1,2) + \lob<(3,4)>$ a $q = (2,0) + \lob<(1,3)>$.
Vektory a body jsou d�ny v kart�zsk�ch sou�adnic�ch.
Najdeme pr�se��k p��mek $p$, $q$.

Proto�e sm�rov� vektory $(3,4)$ a $(1,3)$ jsou line�rn�
nez�visl�, p��mky se prot�naj� (v $E_2$ neexistuj� mimob�ky).
Pr�se��k najdeme v~m�st�, pro kter� nast�v� rovnost:
$$
  (1,2) + t\,(3,4) = (2,0) + u\,(1,3)
$$
To vede na soustavu dvou line�rn�ch rovnic s nezn�m�mi $t, u$. Ta m�
�e�en� $t=1$, $u=2$, tak�e pr�se��k je v bod� 
$$
  P = (1,2) + 1\cdot(3,4) = (4,6).
$$

\n -------------------------------------------------

\g P��klad: pr�se��k p��mky a kru�nice

V $E_2$ je d�na p��mka $p = (1,2) + \lob<(3,4)>$ a kru�nice $k$ se
st�edem $(1,1)$ a polom�rem~3. Najdeme jejich pr�se��ky.

Vzd�lenost st�edu kru�nice od bodu $(1,2) + t\,(3,4)$ na p��mce je
$$
  f(t) \ = \sqrt {(1+3t-1)^2 + (2+4t-1)^2 } \ = \
         \sqrt {25t^2 + 8t + 1} 
$$
Pr�se��k nast�v� v m�st�, kde $(f(t))^2 = 3^2$, neboli
$$
  25t^2 + 8t - 8 = 0, \qquad t_{1,2} = {-8\pm\sqrt{54}\over 25},
$$
tak�e jsme na�li dva pr�se��ky:
$$
  \displaylines{
  (1,2) + {-8+\sqrt{54}\over 25}\,(3,4) = 
  \left( {1\over 25}+{3\sqrt{54}\over 25},\quad 
          {18\over25}+{4\sqrt{54}\over25} \right) ,\cr\noalign{\medskip}
  (1,2) + {-8-\sqrt{54}\over 25}\,(3,4) = 
   \left( {1\over 25}-{3\sqrt{54}\over 25},\quad 
          {18\over25}-{4\sqrt{54}\over25} \right).
}
$$

\n ---------------------------------------------------

\g P��klad: pr�se��k dvou kru�nic

Jsou d�ny kru�nice $k_1$ se st�edem $(1,1)$ a polom�rem 3
a kru�nice $k_2$ se st�edem $(3,4)$ a polom�rem~2.
Najdeme jejich pr�se��ky.

Pr�se��k m� sou�adnice $(x,y)$, kter� vyhovuj� dv�ma rovnic�m:
$$
  \eqalign {
   (x-1)^2 + (y-1)^2 &= 3^2 \cr
   (x-3)^2 + (y-4)^2 &= 2^2
}
$$
Ode�ten�m rovnic dost�v�me line�rn� rovnici
$2x+3y=14$. Dosazen�m $x=7-{3\over2}y$ do prvn� rovnice dost�v�me
kvadratickou rovnici $13y^2 - 80y + 112 = 0$, kter� m� �e�en�
$y_1 = 4$, $y_2={28\over13}$. Pou�it�m vzorce $x=7-{3\over2}y$ \
dost�v�me $x_1 = 1$ a $x_2 = {49\over13}$, tak�e hledan� pr�se��ky jsou
$$
  P_1 = (1,4), \qquad P_2 = \left({49\over13}, \ {28\over13}\right).
$$  

\n ----------------------------------------------------

\g Nekop�rovat v�dy konstrukci v�po�tem

Ne v�dy se vyplat� postupovat stejn� jako p�i �e�en� �loh prav�tkem a
kru��tkem jen v�po�tem sou�adnic postupn� vznikaj�c�ch pr�se��k�.

Nap��klad sestrojen� kolmice na danou p��mku $p$ proch�zej�c� dan�m bodem
$P$ ud�l�me kru��tkem tak, �e zap�chneme kru��tko s~dostate�n� velk�m
polom�rem do $P$ a najdeme pr�se��ky na $p$. Pak p�chneme kru��tko do
t�chto pr�se��k� se shodn�m polom�rem v�t��m ne� polovina vzd�lenosti
pr�se��k� a najdeme pr�se��ky kru�nic. Jejich spojnice je hledan� kolmice.

Analyticky ale sta�� kolmici vyj�d�it jako
$P+\lob<\vec s^\perp>$, p�i�em� $\vec s^\perp$ je vektor kolm� na
sm�rov� vektor p��mky $p$. Kolm� vektor k vektoru v rovin� $\vec s = (u,v)$ je
vektor $\vec s^\perp = (-v,u)$, proto�e skal�rn� sou�in t�chto dvou vektor� je
nulov�.

\n -----------------------------------------------------

\g Dva popisy zobecn�n� roviny v $\setmath[//] E_n, \ n\ge 3$

Zobecn�n� rovina $M$ m��e b�t zad�na dv�ma zp�soby:

* Bodem a sm�rov�mi vektory: $M = A + \lob<\vecc u_k>$.

* Soustavou line�rn�ch rovnic $\B{\bf x} = {\bf b}$ takovou, 
  �e sou�adnice v�ech bod� zobecn�n� roviny $M$ tvo�� mno�inu jej�ch �e�en�.
  Tuto soustavu naz�v�me {\em soustavou zobecn�n� roviny $M$.}

Tyto dva popisy um�me p�ev�d�t jeden na druh�:

* Je-li d�na soustava zobecn�n� roviny, pak jej� sm�rov� vektory
jsou b�zov� vektory p�idru�en� homogenn� soustavy 
$\B{\bf x} = {\bf o}$ a bod $A$ je partikul�rn� �e�en� soutavy.

* Je-li d�na zobecn�n� rovina sm�rov�mi vektory, pak zap��eme jejich
  sou�adnice do ��dk� matice $\A$ a vy�e��me $\A{\bf x}={\bf o}$.
  B�zi �e�en� zap��eme do ��dk� matice $\B$ a pravou stranu zjist�me
  dosazen�m sou�adnic bodu $A$ za nezn�m� vektor ${\bf x}$.

\n ----------------------------------------------------

\g P��klady popis� p��mky a roviny v $\setmath[//] E_3$

{\bf P��mka}: Je pops�na bodem a sm�rov�m vektorem
$A + \lob<\vec s>$. �asto se tento popis rozepisuje do sou�adnic jako
$$
  x = a_1 + t\,s_1,\quad y = a_2 + t\,s_2,\quad z = a_3 + t\,s_3,\quad
  t\in\R.
$$
P��mku m��eme tak� popsat soustavou dvou
rovnic $\B{\bf x} = {\bf b}$. Nen� to typick�, ale p�edvedeme si to.
B�zi �e�en� soustavy s jednou rovnic� $s_1\, x + s_2\,y + s_3\,z = 0$
ozna��me $(u_1,u_2,u_3), (v_1,v_2,v_3)$. Hledan� soustava m� pak
matici obsahuj�c� tyto dva ��dky a pravou stranu:
$$
  b_1 = u_1\,a_1 + u_2\,a_2 + u_3\,a_3, \quad
  b_2 = v_1\,a_1 + v_2\,a_2 + v_3\,a_3.
$$
{\bf Rovina}: Je pops�na dv�ma sm�rov�mi vektory $A+\lob<\vec u,\vec v>$.
Vy�e�en�m homogenn� soustavy dvou rovnic se sou�adnicemi t�chto
vektor� v ��dc�ch matice dost�v�me b�zov� vektor $(n_1,n_2,n_3)$.
Rovinu pak m��eme popsat {\em rovnic� roviny}
$$
  n_1\,x + n_2\,y + n_3\,z = d, \quad
  \hbox{kde}\quad d = n_1\,a_1 + n_2\,a_2 + n_3\,a_3.
$$ 
 
\n ------------------------------------------------

\g Pr�se��ky zobecn�n�ch rovin

Dv� zobecn�n� roviny se mohou prot�nat. Pr�nik pak tvo�� bod nebo
zobecn�nou rovinu.
Jak tento pr�nik nalezneme?

Sestav�me soustavu prvn� zob. roviny $\B{\bf x} = {\bf b}$ a 
druh� zob. roviny $\B'{\bf x} = {\bf b'}$. �e��me pak soustavu, kter�
vznikne slou�en�m t�chto dvou soustav. Soustava m� roz���enou matici
$$
  \def\|{\hfill\kern8pt\vrule height.9em depth.3em\kern-5pt}
  \pmatrix {\B \|& {\bf b}\cr \noalign{\vskip-2pt} \B' \|& {\bf b'}}
$$
a jej� �e�en� popisuje pr�nik dan�ch zobecn�n�ch rovin.

{\bf P��klad}: Pr�nik dvou rovin $ax+by+cz = d$ a $a'x+b'y+c'z = d'$
najdeme jako �e�en� soustavy
$$
  \eqalign{
    \hbox to7em{$a\,\,x + b\,\,y + c\,\,z$} \ &= \ d \cr
    \hbox to7em{$a'\,x + b'\,y + c'\,z$} \ &= \ d' 
}
$$

\n -------------------------------------------------

\g P��klad: pr�se��k p��mky s rovinou

Je d�na p��mka $p = (1,2,3) + \lob<(2,2,1)>$ a rovina\hb 
$M = (2,3,4) + \lob<(3,3,1),(3,4,3)>$ v $E_3$. Najdeme jejich pr�se��k.

Podle p�edchoz� str�nky bychom mohli p��mku $p$ popsat dv�ma rovnicemi a rovinu $M$
t�et� rovnic� a pak vy�e�it soutavu t�chto t�� rovnic. Ov�em v tomto
p��pad� se v�t�inou postupuje jinak:

Rovnice roviny $M$ m� tvar $5x-6y+3z = 4$ a p��mka $p$ m� parametrick�
vyj�d�en�  $x= 1+2t$, $y=2+2t$, $z=3+t$. Dosad�me parametrick�
vyj�d�en� p��mky do rovnice roviny:
$$
  5\,(1+2t) -6\,(2+2t) + 3\,(3+t) = 4.
$$
Tato rovnice s jednou prom�nnou m� �e�en� $t=2$. Pr�se��k je
$$
  P = (1,2,3) + 2\,(2,2,1) = (5,6,5).
$$


\n -------------------------------------------------

\g Kolmice k zobecn�n� rovin� v $\setmath[//] E_n$

Je d�na zobecn�n� rovina dimenze $k$:
$$
  M = A + \lob<\vecc u_k>.
$$
Kolmice k $M$ veden� z bodu $B$ 
je zobecn�n� rovina $N$ dimenze $n-k$, kterou lze zapsat ve tvaru
$$
  N = B + \lob<\vecc u_k>^\perp = B + \lob<\vecc v_{n-k}>.
$$
p�i�em� vektory $\vecc v_{n-k}$ z�sk�me n�sledovn�:
Zvol�me kart�zsk� sou�adn� syst�m a sou�adnice vektor� vzhledem k tomuto
sou�adn�mu syst�mu ztoto�n�me s vektory samotn�mi.
Vektory $\vecc v_{n-k}$ pak tvo�� b�zi �e�en� 
homogenn� soustavy $\A{\bf x} = {\bf o}$, kde
matice $\A$ obsahuje v ��dc�ch vektory $\vecc u_k$.

{\bf P��klady}: V euklidovsk�m prostoru $E_3$ je kolmice 
k rovin� p��mka a kolmice ke p��mce je rovina. 

\n ---------------------------------------------------------

\g Kolmice ve 2D a 3D

Kolmici v $E_n$ po��t�me �e�en�m homogenn� soustavy, jak bylo
zm�n�no na p�edchoz� str�nce. To je univerz�ln� postup.

V~p��pad� $E_2$ a $E_3$ jsou je�t� jin� postupy:

* V $E_2$ plat�:  $\lob<(a,b)>^\perp = \lob<(-b,a)>$.

* V $E_3$ plat� pro lin. nez�visl� vektory:  
  $$\lob<\vec u, \vec v>^\perp = \lob<\vec u\times\vec v>,$$
  kde symbolem $\times$ je ozna�em {\em vektorov� sou�in}.
  O n�m si pov�me v�ce pozd�ji.


\n -------------------------------------------------

\g Kolm� pr�m�t bodu do zobecn�n� roviny

Je d�na zobecn�n� rovina $M = A + \lob<\vecc u_k>$ a bod $B$ (typicky mimo
$M$). Najdeme bod $B'\in M$ takov�, �e $B-B'$ je vektor
kolm� na $M$. Bodu $B'$ ��k�me {\em kolm� pr�m�t bodu $B$ do
zobecn�n� roviny $M$}.

Bod $B'$ lze naj�t takto: sestroj�me kolmici $K = B+\lob<\vecc u_k>^\perp$.
Pr�nik $M\cap K$ obsahuje jedin� bod $B'$.

%Jin� postup\char`\*: skal�rn�m sou�inem lze po��tat kolm� pr�m�t vektoru
%na vektor. Ozna�me symbolem $p_i$ kolm� pr�m�t vektoru $B-A$ na vektor
%$\vec u_i$. Pak je
%$B' = A + \sum p_i\,(\vec u_i/\|\vec u_i\|)$.

{\bf Pozorov�n�}: V bod� $B'$ m� zobecn�n� rovina $M$ nejmen��
vzd�lenost od bodu $B$.

D�kaz: Je-li $C\in M$, pak $BB'C$ tvo�� pravo�hl� troj�heln�k a m��eme
pou��t Pythagorovu v�tu. 


\n -----------------------------------------------------

\g Kolm� pr�m�t zob. roviny do zob. roviny

P�edstavme si, �e nap��klad hled�me kolm� pr�m�t p��mky do roviny.
Nebo d�l�me n�co podobn�ho ve v�ce dimenz�ch\dots

Kolm� pr�m�t zob. roviny $N = B + \lob<\vecc v_m>$ do 
zob. roviny $M = A + \lob<\vecc u_k>$ spo��t�me v n�sleduj�c�ch kroc�ch:

* Najdeme $\lob<\vecc u_k>^\perp = \lob<\vecc w_{n-k}>$.

* Ozna�me $K = B + \lob<\vecc v_m, \vecc w_{n-k}>$. Je to
  zobecn�n� rovina, kter� je nejmen�� takov�, �e obsahuje zobecn�nou
  rovinu $N$ a sou�asn� obsahuje sm�r kolm� na $M$.

* Hledan� kolm� pr�m�t je pr�nik $M\cap K$.


\n -----------------------------------------------------

\g P��klad: Kolm� pr�m�t

Je d�na p��mka $p = (1,2,3) + \lob<(5,2,2)>$. Najdeme kolm� pr�m�t
t�to p��mky do roviny $M=(2,2,1) + \lob<(1,3,4),(3,2,6)>$.
Sou�adnice jsou d�ny vzhledem ke kart�zsk�mu sou�adn�mu syst�mu.

�e�en�m homogenn� soustavy s matic�
$$
  \pmatrix{1&3&4\cr3&2&6} \sim \pmatrix{1&3&4\cr0&7&6}
$$
je $\lob<(10,6,-7)>$, tak�e $\lob<(1,3,4),(3,2,6)>^\perp = \lob<(10,6,-7)>$.
Kolm� rovina k $M$ obsahuj�c� $p$ je
$K = (1,2,3) + \lob<(5,2,2),(10,6,-7)>$.
Rovnice roviny $M$ je $10x+6y-7z = 25$ a rovnice
$K$ je $-26x+55y+10z = 114$. Hledan� pr�m�t je �e�en� soustavy s matic�
$$
  \def\|{&\vbox to 0pt{\vss\hrule height17pt depth4pt width.4pt}}
  \pmatrix{10&6&-7\|&25\cr-26&55&10\|&114} \sim
  \pmatrix{10&6&-7\|&25\cr0&353&-41\|&895}.
$$
Hledan� pr�m�t je $p' = (-524/41,\ 0,\ -895/41) + \lob<(445,\ 41,\ 353)>$.


\n -----------------------------------------------------

\g Determinant m��� objem rovnob�nost�nu

Nech� $\vecc v_n$ jsou vektory, kter� tvo�� hrany pomysln�ho
$n$-dimenzion�ln�ho rovnob�nost�nu. Vektory tvo�� jen hrany, kte\-r� se
potk�vaj� ve spole�n�m vrcholu. Ostatn� hrany rovnob�nost�nu je t�eba
dor�sovat dopln�n�m na rovnob�n�ky.

{\bf Tvrzen�}: Zap��eme-li do sloupc� matice $\A$ sou�adnice vektor�
$\vec v_i$ vzhledem k ortonorm�ln� b�zi $(B)$, pak absolutn� hodnota
determinantu matice $\A$ je rovna objemu zm�n�n�ho rovnob�nost�nu.

Idea d�kazu\char`\*: Jsou-li vektory LZ, pak je z�ejm� objem nulov� a
je $\det\A=0$. Jsou-li $\vec v_i$ LN, tvo�� b�zi a je
mo�n� ji Schmidtov�m ortogonaliza�n�m procesem upravit na ortonorm�ln�
b�zi $(C)$. Nap��eme do sloupc� matice $\R$ sou�adnice $\vec v_i$
vzhledem k $(C)$. Pak $\det\R$ je roven objemu rovnob�nost�nu
(d�kaz indukc�, v induk�n�m kroku se pou�ije vzorec \uv{z�kladna kr�t
v��ka}). Matice p�echodu od $(B)$ k $(C)$ je ortogon�ln� a je tedy\hb
\null\hfil $\det\A = \det(\P_{B\to C}\cdot\R) = \det\P_{B\to C}\det\R = \pm1\cdot\det\R$

\n ------------------------------------------------------

\g P��klady

Sou�adnice uveden�ch bod� jsou v t�chto p��kladech 
vzhledem ke kart�zsk�mu sou�adn�mu syst�mu.

{\bf Plocha rovnob�n�ka} s vrcholy $(0,0)$, $(a,b)$ $(c,d)$, $(a+c,b+d)$ je
rovna
$$
  \left|\det\pmatrix{a&b\cr c&d}\right| \ = \ |\,ad-bc\,|,
$$

{\bf Objem �ty�stenu} s vrcholy $(0,0,0)$, $(a_1{,}a_2{,}a_3)$, $(b_1{,}b_2{,}b_3)$,
$(c_1{,}c_2{,}c_3)$ je roven
$$
  {1\over 6}\,\left|\, \det\pmatrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|,
$$
proto�e �ty�st�n m� objem roven jedn� �estin� objemu rovnob�nost�nu.

Sou�adnice m��eme zapsat i do ��dk�, proto�e $\det\A=\det\A^T$.

\n --------------------------------------------------------

\g Orientace line�rn�ho prostoru

V line�rn�m prostoru zvol�me jednu uspo��danou b�zi $(B)$ a prohl�s�me
ji kladn� orientovanou. V�echny b�ze $(C)$, pro kter� je 
$\det\P_{B\to C}>0$, nazveme tak� kladn� orientovan�. V�echny b�ze $(C')$, pro
kter� je $\det\P_{B\to C'}<0$, nazveme z�porn� orientovan�.

Obvykl� �mluva pro $E_2$: kladn� orientovan� b�ze m� druh� b�zov�
vektor sm��uj�c� vlevo od prvn�ho.

Obvykl� �mluva pro $E_3$: kdy� se na b�zi d�v�me z vhodn�ho m�sta, pak
kladn� orientovan� b�ze m� prvn� vektor 
orientovan� k n�m, druh� doprava od n�s a t�et� nahoru.

{\bf Pozorovn�n�}: determinant pou�it� p�i v�po�tu objemu rovnob�nost�nu je z�porn�,
kdy� sou�adnice vektor� $\vecc v_n$ jsou zaps�ny vzhledem
ke kladn� orientovan� ortonorm�ln� b�zi a vektory $\vecc v_n$
samotn� tvo�� z�porn� orientovanou b�zi.

\n --------------------------------------------------------

\g Speci�ln� vlastnosti v $\setmath[//] E_3$

* Je mo�n� definovat {\em vektorov� sou�in}.

* Kolmice k rovin� je p��mka, sm�rov� vektor t�to kolmice je
  {\em norm�lov� vektor roviny}.

* Norm�lov� vektor je mo�n� hledat pomoc� vektorov�ho sou�inu.

* Rovina je d�na jedinou rovnic� se t�emi nezn�m�mi, koeficienty 
  t�to rovnice jsou sou�adnice jej�ho norm�lov�ho vektoru.


\n -------------------------------------------------------

\g Vektorov� sou�in

{\bf Definice}: Vektorov� sou�in dvou vektor� $\vec u$ a $\vec v$
z~$E_3$ zna��me $\vec u\times\vec v$ a je to:

* nulov� vektor, pokud jsou $\vec u$ a $\vec v$ line�rn� z�visl�, jinak:

* vektor kolm� na rovinu $\lob<\vec u,\vec v>$ s velikost�
  plochy rovnob�n�ka mezi $\vec u$ a $\vec v$.
  B�ze $(\vec u, \vec v, \vec u\times\vec v)$ je kladn� orientovan�.

{\bf Pozorov�n�}: Vektorov� sou�in je definov�n jednozna�n�.\hb
Plat� $\|\vec u\times\vec v\| = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin\alpha$,
kde $\alpha$ je �hel mezi vektory $\vec u$ a $\vec v$.

{\bf V�ta}: Jsou-li $(u_1,u_2,u_3)$ a $(v_1,v_2,v_3)$ sou�adnice
vektor� $\vec u$ a $\vec v$ vzhledem ke kladn� orientovan�
ortonorm�ln� b�zi, pak $\vec u\times\vec v$ m� vzhledem k t�to b�zi
sou�adnice:
$$
  \left( \left|\matrix{u_2&u_3\cr v_2&v_3}\right|,\ 
        -\left|\matrix{u_1&u_3\cr v_1&v_3}\right|,\
         \left|\matrix{u_1&u_2\cr v_1&v_2}\right| \right)
$$
D�kaz\char`\*: technick�, viz skriptum.

\n -----------------------------------------------------

\g P��klad: norm�lov� vektor roviny

Je d�na rovina $(2,2,2) + \lob<(1,2,3),\,(3,1,1)>$. Najedeme jej� norm�lov�
vektor. Sou�adnice jsou uvedeny vzhledem ke kladn� orientovan�mu
kart�zsk�mu sou�adn�mu syst�mu.

Norm�lov� vektor je roven vektorov�mu sou�inu $(1,2,3)\times(3,1,1)$,
proto�e ten je (podle definice) kolm� na oba sm�rov� vektory.
Podle v�ty o sou�adnic�ch vektorov�ho sou�inu je
$$
 (1,2,3)\times(3,1,1) \ = \ 
  \left( \left|\matrix{2&3\cr1&1}\right|,\
        -\left|\matrix{1&3\cr3&1}\right|,\
         \left|\matrix{1&2\cr3&1}\right| \right) \ = \
  (-1,8,-5)
$$
Rovnice roviny tedy je $-x + 8y -5z = 4$.

Jin� mo�nost, jak najdeme norm�lov� vektor: vy�e��me homogenn�
soustavu s matic�
$$
  \pmatrix {1&2&3\cr3&1&1}.
$$

\n ----------------------------------------------------

\g P��klad: rovina dan� t�emi body

Jsou-li d�ny t�i body $A$, $B$, $C$, kter� nele�� ve spole�n� p��mce,
pak jimi proch�z� jedin� rovina $A + \lob<(B-A), (C-A)>$. Norm�lov�
vektor roviny je $(B-A)\times(C-A)$.

T�eba jsou d�ny body $(1,1,2), (2,3,5), (4,2,3)$ v kart�zsk�ch
sou�adnic�ch.  Pak rovina je d�na vzorcem:
$$
 (1,1,2) + \lob<(1,2,3),\, (3,1,1)> 
$$
Proto�e $(1,2,3)\times(3,1,1) = (-1,8,-5)$, m� rovina tento norm�lov�
vektor. M� tedy rovnici
$$
  -x + 8y -5z = d, \qquad
  \hbox{p�itom}\quad
  d = -1+8\cdot1 -5\cdot2 = -3. 
$$


\n ----------------------------------------------------

\g P��klad: vzd�lenost bodu od p��mky

M��eme naj�t kolm� pr�m�t bodu $B$ do p��mky (ozna��me $B'$) a
d�le spo��t�me velikost vektoru $B-B'$. Ov�em v $E_3$ m�me vektorov�
sou�in a m��eme �lohu �e�it je�t� jinak (efektivn�ji):

Vzd�lenost bodu $B$ od p��mky $A+\lob<\vec s>$ je v��ka rovnob�n�ka
vymezen�ho vektory $B-A, \vec s$ a ta je rovna plo�e rovnob�n�ka
d�len� velikost� z�kladny. Vzd�lenost bodu $B$ od p��mky tedy je
$$
  {\|\,(B-A)\times\vec s\| \over \|\vec s\| }\,.
$$ 

\n --------------------------------------------------

\g P��klad: vzd�lenost bodu od roviny

M��eme naj�t kolm� pr�m�t bodu $B$ do roviny (ozna��me $B'$) a
d�le spo��t�me velikost vektoru $B-B'$. Ov�em v $E_3$ m�me vektorov�
sou�in a m��eme �lohu �e�it je�t� jinak (efektivn�ji):

Vzd�lenost bodu $B$ od roviny $A+\lob<\vec u, \vec v>$ je rovna v��ce
rovnob�nost�nu se stranami $B-A, \vec u, \vec v$ s podstavou 
$\vec u, \vec v$. Tato v��ka je rovna objemu tohoto rovnob�nost�nu
d�leno plocha podstavy. Vzd�lenost bodu $B$ od roviny tedy je
$$
  {\det\A \over \,\|\vec u\times\vec v\|\,}\,,
$$
kde matice $\A$ obsahuje v ��dc�ch (nebo ve sloupc�ch) sou�adnice
vektor� $A-B, \vec u, \vec v$ vzhledem k n�jak� ortonorm�ln� b�zi.


\n ---------------------------------------------------

\g P��klad: vzd�lenost mimob�ek

Vzd�lenost mimob�ek $A+\lob<\vec u>$ a $B+\lob<\vec v>$
je rovna v��ce rovnob�nost�nu vymezen�ho vektory
$B-A, \vec u, \vec v$ se z�kladnou $\vec u$, $\vec v$.
Tak�e vzd�lenost je rovna objemu tohoto rovnob�nost�nu deleno plochou
z�kladny:
$$
  {\det\A \over \,\|\vec u\times\vec v\|\,}\,,
$$
kde matice $\A$ obsahuje v ��dc�ch (nebo ve sloupc�ch) sou�adnice
vektor� $A-B, \vec u, \vec v$ vzhledem k n�jak� ortonorm�ln� b�zi.
 

\n --------------------------------------------------

\g P��klad: kolmice v $\setmath[//] E_3$

* Kolmice k p��mce je rovina, kter� m� norm�lov� vektor rovn�
  sm�rov�mu vektoru p��mky.

* Kolmice k rovin� je p��mka, kter� m� sm�rov� vektor rovn�
  norm�lov�mu vektoru roviny.

Rovina dan� rovnic� $ax+by+cz = d$ m� norm�lov� vektor $(a,b,c)$,
tak�e p�echod od roviny ke kolm� p��mce nebo od p��mky ke kolm� rovin�
je snadn�.

\n -----------------------------------------------------

\g �hly mezi p��mkami a rovinami

�hel $\varphi$ mezi vektory $\vec u$ a $\vec v$ vypo��t�me ze vzorce
pro skal�rn� sou�in
$$
  \cos\varphi = {\vec u \cdot \vec v \over \|\vec u\|\,\|\vec v\|},\quad
  \hbox{tj.}\quad
  \varphi = \arccos {\vec u \cdot \vec v \over \|\vec u\|\,\|\vec v\|}.
$$

* �hel mezi dv�ma p��mkami je �hlel mezi sm�rov�mi vektory. 
  Pokud $\varphi>90^\circ$, je hledan� �hel $180^\circ - \varphi$\hb
  (nebo ve vzorci v �itateli pou��t absolutn� hodnotu).

* �hel mezi rovinami je �hel mezi jejich norm�lov�mi vektory.
  Pokud $\varphi>90^\circ$, je hledan� �hel $180^\circ - \varphi$\hb
  (nebo ve vzorci v �itateli pou��t absolutn� hodnotu).

* �hel mezi p��mkou a rovinou je $90^\circ$ m�nus �hel mezi sm�rov�m
  vektorem p��mky a norm�lov�m vektorem roviny (ve vzorci v~�itateli 
  je t�eba pou��t absolutn� hodnotu).


\n -----------------------------------------------------

\g P��klad: plocha troj�heln�ka $\setmath[//]ABC$

Troj�heln�k m� plochu polovi�n� plo�e rovnob�n�ka.

* V $E_2$ spo��t�me plochu rovnob�n�ka jako 
  \uv{objem rovnob�nost�nu v $E_2$}, tedy spo��t�me
  absolutn� hodnotu determinantu matice $\A$, kter� obsahuje ve
  sloupc�ch sou�adnice vektor� $B-A$, $C-A$ vzhledem k~ortonorm�ln�
  b�zi.

{\bf P��klad}: $A=(1,2)$, $B=(3,4)$, $C=(5,8)$. Plocha troj�heln�ka je:
$$
  S_\triangle = {1\over2}\,\left|\det\pmatrix{2&4\cr2&6}\right| = 2
$$

* V $E_3$ spo��t�me plochu rovnob�n�ka jeko velikost vektorov�ho
  sou�inu vektor� $B-A$, $C-A$.

{\bf P��klad}: $A=(1,2,2)$, $B=(2,3,4)$, $C=(7,8,9)$.
$$
  S_\triangle = {1\over2}\,\|(1,1,2)\times(6,6,7)\| = {1\over2}\,\|(-5,5,0)\|
      = {5\sqrt2\over2}.
$$ 


\n -------------------------------------------------------

\null \kern-1.2\baselineskip

\g �vaha\char`\*: $\setmath[//]k$-dimension�ln� objem v $\setmath[//]E_n$. 

Jak spo��tat nap�. plochu rovnob�n�ka v $E_4$? Tam to nen� ani objem
rovnob�nost�nu, ani nem�me mo�nost pou��t vektorov� sou�in.
%
Odpov�� najdeme v d�kazu ze str�nky [26].

{\bf �loha}: Jsou d�ny line�rn� nez�visl� vektory $\vecc v_k$ v $E_n$, $k\le n$. 
M�me naj�t $k$-dimension�ln� objem v $E_n$.

�e�en�:
Vektory dopln�me na b�zi $\vecc v_k, \ldots,\vec v_n$ a zap��eme jejich
sou�adnice do sloupc� matice $\A$. Provedeme QR rozklad $\A=\Q\R$.
Matici $\R$ \uv{zmen��me} na matici $\R_k$, kter� obsahuje jen prvn�ch
$k$ ��dk� a $k$ sloupc�. Hledan� $k$ dimenzion�ln� objem je roven
$\det\R_k$.

{\bf Pozn�mka}: dopln�n� na b�zi nen� prakticky pot�eba d�lat. Software dok�e prov�st i
ne�pln� QR rozklad obd�ln�kov� matice $\A=\Q_k\R_k$. Zde matice $\A$
obsahuje ve sloupc�ch jen sou�adnice vektor� $\vecc v_k$.

\end
