\chyph \input utf8off \hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm \ifx\pdfoutput\undefined \else \pdfpagewidth=21cm \pdfpageheight=15cm \fi \font\logocvut=lev scaled400 \ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi \def\cislo{16} \headline={\setfonts[/10]\rm \ifnum\pageno>1 \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Olšák \quad}\else \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]} \footline={} \def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{% \setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2013, d) BI-LIN, e) L, f) 2012/2013, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. Viz p. d. 4/2010 }\vss}} \input ofs [a35] %\def\fomenc{CM} %\showfonts \end %\displayfontmessages \setfonts[NewCentury/17] \setmath[17/12/8] \baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip \message{\fontname\tenit} \medskipamount=9pt \let\ms=\medskip \parskip=\medskipamount \def\n#1\par{\vfill\break} \def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip} \def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip} \def\hb{\hfil\break} \def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}} \parindent=0pt \catcode`\*=13 \def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}} \let\em=\it \def\C{{\bf C}} \def\R{{\bf R}} \def\Q{{\bf Q}} \def\a{{A}} \def\A{{\bf A}} \def\B{{\bf B}} \def\D{{\bf D}} \def\E{{\bf E}} \def\P{{\bf P}} \def\L{{\bf L}} \def\U{{\bf U}} \def\X{{\bf X}} \def\ker{\mathop{\rm Ker}} \def\st{\mathop{\rm St}} \def\hod{\mathop{\rm hod}} \def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}} \def\lob<#1>{\langle #1\rangle} \def\|{||} % =============================================================== \vglue .5cm \gg Euklidovský \gg prostor \g Stručnější verze \bigskip\bigskip * definice Eulidovského prostoru * kartézský souřadnicový systém * vektorový součin v $E_3$ * vlastnosti přímek a rovin v $E_3$ \n --------------------------------------------------------------- \g Euklidovský prostor {\bf Definice}: Nechť $V$ je lineární prostor dimenze $n$ se skalárním součinem. Pak afinní prostor $(\X,V)$ nazýváme {\em euklidovským prostorem} dimenze $n$ a značíme ho $E_n$. Skalární součin na $V$ indukuje normu (velikost): $\|\vec x\|=\sqrt{\vec x\cdot\vec x}$. {\em Vzdálenost bodů $P$ a $Q$} euklidovského prostoru je definována jako $\|P-Q\|$. {\bf Poznámka}: Při geometrické interpretaci euklidovského prostoru se za skalární součin vektorů $\vec u, \vec v\in U_O$ použije vzorec: $$ \vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot \cos \alpha, $$ kde $|\vec u|$, $|\vec v|$ je \uv{změřená velikost} orientovaných úseček $\vec u$, $\vec v$ a $\alpha$ je \uv{změřený úhel} mezi těmito úsečkami. Tento skalární součin indukuje normu $\|\vec u\| = |\vec u|$, tj. velikost = \uv{změřená velikost}. \n ------------------------------------------------------------ \g Kartézský souřadnicový systém {\bf Definice}: Nechť $E_n=(\X, V)$ je euklidovský prostor. Je-li báze $B$ lineárního prostoru $V$ ortonormální, nazývá se souřadný systém $(O,B)$ {\em kartézský}. {\bf Pozorování}: Nechť $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ a $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ jsou souřadnice vektorů $\vec x$ a~$\vec y$ vzhledem ke {\bf kartézkému} souřadnému systému. Pak $$ \displaylines{ \vec x\cdot\vec y \ = \ x_1\,y_1 + x_2\,y_2 + \cdots + x_n\,y_n, \cr\noalign{\medskip} \|\vec x\| \ = \ \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}. } $$ Nechť $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ a $(a'_1,a'_2,\ldots,a'_n)$ jsou souřadnice bodů $A$ a $A'$ vzhledem ke {\bf kartézkému} souřadnému systému. Pak vzdálenost těchto bodů se počítá \uv{podle Pythagorovy věty}: $$ \rho(A,A') \ = \ \|A-A'\| \ = \ \sqrt{(a_1-a'_1)^2+(a_2-a'_2)^2+\cdots+(a_n-a'_n)^2}. $$ \n --------------------------------------------------------- \g Základní objekty v euklidovském prostoru * {\bf Přímka}: $p = \{A+t\vec s,\ t\in\R\}$, \ kde $A\in\X$, $\vec s\in V$, $\vec s\not=\vec o$. Přímka je tedy dána bodem $A$, kterým prochází a nenulovým {\em směrovým vektorem} $\vec s$. Může být též dána dvěma různými body $A$ a $B$:\hb $p = \{A+t\,(B-A),\ t\in\R\}$. * {\bf Úsečka} s koncovými body $A$, $B$: \ $u = \{A+t\,(B-A),\ t\in\langle 0,1\rangle\}$. * {\bf Kružnice} se středem $S$ a poloměrem $r$: \ $k = \{X,\ \|X-S\| = r\}$. Kružnici lze takto definovat jen v $E_2$ (dimenzi 2). Pro větší dimenze je uvedená množina povrchem $n$-rozměrné koule. * {\bf Rovina}: $\sigma = \{A + t\vec a + u\vec b,\ t,u\in\R\}$, \ $A\in\X$, $\vec a,\vec b\in V$ jsou LN. Rovina je dána bodem a dvěma nezávislými směry. * {\bf Zobecněná rovina} (afinní podprostor): $\tau = A + \lob<\vec a_1,\ldots, \vec a_k>$, \n ------------------------------------------------------------- \g Vztahy mezi přímkami Dvě přímky $p = \{A_1+t\vec s_1,\ t\in\R\}$ a $q = \{A_2+t\vec s_2,\ t\in\R\}$ jsou {\em totožné}, právě když vektory $A_2-A_1$ a $\vec s_1$ jsou LZ a současně směrové vektory $\vec s_1$, $\vec s_2$ jsou LZ. Dvě přímky $p = \{A_1+t\vec s_1,\ t\in\R\}$ a $q = \{A_2+t\vec s_2,\ t\in\R\}$ jsou {\em rovnoběžné}, právě když nejsou totožné a vektory $\vec s_1$, $\vec s_2$ jsou LZ. Dvě přímky $p = \{A_1+t\vec s_1,\ t\in\R\}$ a $q = \{A_2+t\vec s_2,\ t\in\R\}$ {\em leží ve společné rovině}, právě když vektory $A_2-A_1$, $\vec s_1$, $\vec s_2$ jsou LZ. Dvě přímky jsou {\em různoběžky} (protínají se v jednom bodě), právě když leží ve společné rovině a nejsou totožné ani rovnoběžné. Dvě přímky jsou {\em mimoběžky} (míjejí se v prostoru), právě když neleží ve společné rovině. Uvedené vztahy rozpoznáme {\em algebraickými metodami\/}: vyšetřením lineární závislosti nebo nezávislosti odpovídajících vektorů. \n ------------------------------------------------------------ \g Příklad Najdeme parametr $a\in\R$ takový, aby se přímky\hb $p=(1,2,3) + \lob<(2,2,5)>$ a $q=(4,3,7) + \lob<(3,a,1)>$ protínaly. Řešení: Přímky nejsou rovnoběžné ani totožné, protože jejich směrové vektory jsou lineárně nezávislé. Aby tyto přímky byly různoběžkami, musí být vektory $(3,1,4), (2,2,5), (3,a,1)$ lienárně závislé, takže když jejich souřadnice zapíšeme do řádků matice $\A$, musí mít tato matice nulový determinant: $$ \det\pmatrix {3&1&4\cr 2&2&5\cr 3&a&1} = -5 -7a = 0. $$ Takže \ $\displaystyle a = -{5\over 7}$. \n ------------------------------------------------------------- \g Příklad: průsečík přímek V $E_2$ jsou dány přímky $p = (1,2) + \lob<(3,4)>$ a $q = (2,0) + \lob<(1,3)>$. Vektory a body jsou dány v kartézských souřadnicích. Najdeme průsečík přímek $p$, $q$. Protože směrové vektory $(3,4)$ a $(1,3)$ jsou lineárně nezávislé, přímky se protínají (v $E_2$ neexistují mimoběžky). Průsečík najdeme v~místě, pro které nastává rovnost: $$ (1,2) + t\,(3,4) = (2,0) + u\,(1,3) $$ To vede na soustavu dvou lineárních rovnic s neznámými $t, u$. Ta má řešení $t=1$, $u=2$, takže průsečík je v bodě $$ P = (1,2) + 1\cdot(3,4) = (4,6). $$ \n --------------------------------------------------- \g Příklad: průsečík dvou kružnic Jsou dány kružnice $k_1$ se středem $(1,1)$ a poloměrem 3 a kružnice $k_2$ se středem $(3,4)$ a poloměrem~2. Najdeme jejich průsečíky. Průsečík má souřadnice $(x,y)$, které vyhovují dvěma rovnicím: $$ \eqalign { (x-1)^2 + (y-1)^2 &= 3^2 \cr (x-3)^2 + (y-4)^2 &= 2^2 } $$ Odečtením rovnic dostáváme lineární rovnici $2x+3y=14$. Dosazením $x=7-{3\over2}y$ do první rovnice dostávéme kvadratickou rovnici $13y^2 - 80y + 112 = 0$, která má řešení $y_1 = 4$, $y_2={28\over13}$. Použitím vzorce $x=7-{3\over2}y$ \ dostáváme $x_1 = 1$ a $x_2 = {49\over13}$, takže hledané průsečíky jsou $$ P_1 = (1,4), \qquad P_2 = \left({49\over13}, \ {28\over13}\right). $$ \n ---------------------------------------------------- \g Příklady popisů přímky a roviny v $\setmath[//] E_3$ {\bf Přímka}: Je popsána bodem a směrovým vektorem $A + \lob<\vec s>$. Často se tento popis rozepisuje do souřadnic jako $$ x = a_1 + t\,s_1,\quad y = a_2 + t\,s_2,\quad z = a_3 + t\,s_3,\quad t\in\R. $$ Přímku můžeme také popsat soustavou dvou rovnic $\B{\bf x} = {\bf b}$. Není to typické, ale předvedeme si to. Bázi řešení soustavy s jednou rovnicí $s_1\, x + s_2\,y + s_3\,z = 0$ označíme $(u_1,u_2,u_3), (v_1,v_2,v_3)$. Hledaná soustava má pak matici obsahující tyto dva řádky a pravou stranu: $$ b_1 = u_1\,a_1 + u_2\,a_2 + u_3\,a_3, \quad b_2 = v_1\,a_1 + v_2\,a_2 + v_3\,a_3. $$ {\bf Rovina}: Je popsána dvěma směrovými vektory $A+\lob<\vec u,\vec v>$. Vyřešením homogenní soustavy dvou rovnic se souřadnicemi těchto vektorů v řádcích matice dostáváme bázový vektor $(n_1,n_2,n_3)$. Rovinu pak můžeme popsat {\em rovnicí roviny} $$ n_1\,x + n_2\,y + n_3\,z = d, \quad \hbox{kde}\quad d = n_1\,a_1 + n_2\,a_2 + n_3\,a_3. $$ \n ------------------------------------------------ \g Příklad: průsečík přímky s rovinou Je dána přímka $p = (1,2,3) + \lob<(2,2,1)>$ a rovina\hb $M = (2,3,4) + \lob<(3,3,1),(3,4,3)>$ v $E_3$. Najdeme jejich průsečík. Podle předchozí stránky bychom mohli přímku $p$ popsat dvěma rovnicemi a rovinu $M$ třetí rovnicí a pak vyřešit soutavu těchto tří rovnic. Ovšem v tomto případě se většinou postupuje jinak: Rovnice roviny $M$ má tvar $5x-6y+3z = 4$ a přímka $p$ má parametrické vyjádření $x= 1+2t$, $y=2+2t$, $z=3+t$. Dosadíme parametrické vyjádření přímky do rovnice roviny: $$ 5\,(1+2t) -6\,(2+2t) + 3\,(3+t) = 4. $$ Tato rovnice s jednou proměnnou má řešení $t=2$. Průsečík je $$ P = (1,2,3) + 2\,(2,2,1) = (5,6,5). $$ \n --------------------------------------------------------- \g Kolmice ve 2D a 3D Bázi prostoru kolmého k prostoru $\lob<\vecc u_k>$ v~$E_n$ počítáme řešením homogenní soustavy. To je univerzální postup. Ovšem v~případě $E_2$ a $E_3$ jsou ještě jiné postupy: * V $E_2$ platí: $\lob<(a,b)>^\perp = \lob<(-b,a)>$. * V $E_3$ platí pro lin. nezávislé vektory: $$\lob<\vec u, \vec v>^\perp = \lob<\vec u\times\vec v>,$$ kde symbolem $\times$ je označem {\em vektorový součin}. O něm si povíme více později. \n ----------------------------------------------------- \g Příklad: Kolmý průmět Je dána přímka $p = (1,2,3) + \lob<(5,2,2)>$. Najdeme kolmý průmět této přímky do roviny $M=(2,2,1) + \lob<(1,3,4),(3,2,6)>$. Souřadnice jsou dány vzhledem ke kartézskému souřadnému systému. Řešením homogenní soustavy s maticí $$ \pmatrix{1&3&4\cr3&2&6} \sim \pmatrix{1&3&4\cr0&7&6} $$ je $\lob<(10,6,-7)>$, takže $\lob<(1,3,4),(3,2,6)>^\perp = \lob<(10,6,-7)>$. Kolmá rovina k $M$ obsahující $p$ je $K = (1,2,3) + \lob<(5,2,2),(10,6,-7)>$. Rovnice roviny $M$ je $10x+6y-7z = 25$ a rovnice $K$ je $-26x+55y+10z = 114$. Hledaný průmět je řešení soustavy s maticí $$ \def\|{&\vbox to 0pt{\vss\hrule height17pt depth4pt width.4pt}} \pmatrix{10&6&-7\|&25\cr-26&55&10\|&114} \sim \pmatrix{10&6&-7\|&25\cr0&353&-41\|&895}. $$ Hledaný průmět je $p' = (-524/41,\ 0,\ -895/41) + \lob<(445,\ 41,\ 353)>$. \n ----------------------------------------------------- \g Determinant měří objem rovnoběžnostěnu Nechť $\vecc v_n$ jsou vektory, které tvoří hrany pomyslného $n$-dimenzionálního rovnoběžnostěnu. Vektory tvoří jen hrany, kte\-ré se potkávají ve společném vrcholu. Ostatní hrany rovnoběžnostěnu je třeba dorýsovat doplněním na rovnoběžníky. {\bf Tvrzení}: Zapíšeme-li do sloupců matice $\A$ souřadnice vektorů $\vec v_i$ vzhledem k ortonormální bázi $(B)$, pak absolutní hodnota determinantu matice $\A$ je rovna objemu zmíněného rovnoběžnostěnu. Důkaz neuvádíme. \n ------------------------------------------------------ \g Příklady Souřadnice uvedených bodů jsou v těchto příkladech vzhledem ke kartézskému souřadnému systému. {\bf Plocha rovnoběžníka} s vrcholy $(0,0)$, $(a,b)$ $(c,d)$, $(a+c,b+d)$ je rovna $$ \left|\det\pmatrix{a&c\cr b&d}\right| \ = \ |\,ad-bc\,|, $$ {\bf Objem čtyřstenu} s vrcholy $(0,0,0)$, $(a_1{,}a_2{,}a_3)$, $(b_1{,}b_2{,}b_3)$, $(c_1{,}c_2{,}c_3)$ je roven $$ {1\over 6}\,\left|\, \det\pmatrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|, $$ protože čtyřstěn má objem roven jedné šestině objemu rovnoběžnostěnu. Souřadnice můžeme zapsat i do řádků, protože $\det\A=\det\A^T$. \n -------------------------------------------------------- \g Orientace lineárního prostoru V lineárním prostoru zvolíme jednu uspořádanou bázi $(B)$ a prohlásíme ji kladně orientovanou. Všechny báze $(C)$, pro které je $\det\P_{B\to C}>0$, nazveme také kladně orientované. Všechny báze $(C')$, pro které je $\det\P_{B\to C'}<0$, nazveme záporně orientované. Obvyklá úmluva pro $E_2$: kladně orientovaná báze má druhý bázový vektor směřující vlevo od prvního. Obvyklá úmluva pro $E_3$: když se na bázi díváme z vhodného místa, pak kladně orientovaná báze má první vektor orientovaný k nám, druhý doprava od nás a třetí nahoru. {\bf Pozorovnání}: determinant použitý při výpočtu objemu rovnoběžnostěnu je záporný, když souřadnice vektorů $\vecc v_n$ jsou zapsány vzhledem ke kladně orientované ortonormální bázi a vektory $\vecc v_n$ samotné tvoří záporně orientovanou bázi. \n -------------------------------------------------------- \g Speciální vlastnosti v $\setmath[//] E_3$ * Je možné definovat {\em vektorový součin}. * Kolmice k rovině je přímka, směrový vektor této kolmice je {\em normálový vektor roviny}. * Normálový vektor je možné hledat pomocí vektorového součinu. * Rovina je dána jedinou rovnicí se třemi neznámými, koeficienty této rovnice jsou souřadnice jejího normálového vektoru. \n ------------------------------------------------------- \g Vektorový součin {\bf Definice}: Vektorový součin dvou vektorů $\vec u$ a $\vec v$ z~$E_3$ značíme $\vec u\times\vec v$ a je to: * nulový vektor, pokud jsou $\vec u$ a $\vec v$ lineárně závislé, jinak: * vektor kolmý na rovinu $\lob<\vec u,\vec v>$ s velikostí plochy rovnoběžníka mezi $\vec u$ a $\vec v$. Báze $(\vec u, \vec v, \vec u\times\vec v)$ je kladně orientovaná. {\bf Pozorování}: Vektorový součin je definován jednoznačně.\hb Platí $\|\vec u\times\vec v\| = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin\alpha$, kde $\alpha$ je úhel mezi vektory $\vec u$ a $\vec v$. {\bf Věta}: Jsou-li $(u_1,u_2,u_3)$ a $(v_1,v_2,v_3)$ souřadnice vektorů $\vec u$ a $\vec v$ vzhledem ke kladně orientované ortonormální bázi, pak $\vec u\times\vec v$ má vzhledem k této bázi souřadnice: $$ \left( \left|\matrix{u_2&u_3\cr v_2&v_3}\right|,\ -\left|\matrix{u_1&u_3\cr v_1&v_3}\right|,\ \left|\matrix{u_1&u_2\cr v_1&v_2}\right| \right) $$ Důkaz\char`\*: technický, viz skriptum. \n ----------------------------------------------------- \g Příklad: normálový vektor roviny Je dána rovina $(2,2,2) + \lob<(1,2,3),\,(3,1,1)>$. Najedeme její normálový vektor. Souřadnice jsou uvedeny vzhledem ke kladně orientovanému kartézskému souřadnému systému. Normálový vektor je roven vektorovému součinu $(1,2,3)\times(3,1,1)$, protože ten je (podle definice) kolmý na oba směrové vektory. Podle věty o souřadnicích vektorového součinu je $$ (1,2,3)\times(3,1,1) \ = \ \left( \left|\matrix{2&3\cr1&1}\right|,\ -\left|\matrix{1&3\cr3&1}\right|,\ \left|\matrix{1&2\cr3&1}\right| \right) \ = \ (-1,8,-5) $$ Rovnice roviny tedy je $-x + 8y -5z = 4$. Jiná možnost, jak najdeme normálový vektor: vyřešíme homogenní soustavu s maticí $$ \pmatrix {1&2&3\cr3&1&1}. $$ \n ---------------------------------------------------- \g Příklad: rovina daná třemi body Jsou-li dány tři body $A$, $B$, $C$, které neleží ve společné přímce, pak jimi prochází jediná rovina $A + \lob<(B-A), (C-A)>$. Normálový vektor roviny je $(B-A)\times(C-A)$. Třeba jsou dány body $(1,1,2), (2,3,5), (4,2,3)$ v kartézských souřadnicích. Pak rovina je dána vzorcem: $$ (1,1,2) + \lob<(1,2,3),\, (3,1,1)> $$ Protože $(1,2,3)\times(3,1,1) = (-1,8,-5)$, má rovina tento normálový vektor. Má tedy rovnici $$ -x + 8y -5z = d, \qquad \hbox{přitom}\quad d = -1+8\cdot1 -5\cdot2 = -3. $$ \n ---------------------------------------------------- \g Příklad: vzdálenost bodu od přímky Můžeme najít kolmý průmět bodu $B$ do přímky (označíme $B'$) a dále spočítáme velikost vektoru $B-B'$. Ovšem v $E_3$ máme vektorový součin a můžeme úlohu řešit ještě jinak (efektivněji): Vzdálenost bodu $B$ od přímky $A+\lob<\vec s>$ je výška rovnoběžníka vymezeného vektory $B-A, \vec s$ a ta je rovna ploše rovnoběžníka dělená velikostí základny. Vzdálenost bodu $B$ od přímky tedy je $$ {\|\,(B-A)\times\vec s\| \over \|\vec s\| }\,. $$ \n -------------------------------------------------- \g Příklad: vzdálenost bodu od roviny Můžeme najít kolmý průmět bodu $B$ do roviny (označíme $B'$) a dále spočítáme velikost vektoru $B-B'$. Ovšem v $E_3$ máme vektorový součin a můžeme úlohu řešit ještě jinak (efektivněji): Vzdálenost bodu $B$ od roviny $A+\lob<\vec u, \vec v>$ je rovna výšce rovnoběžnostěnu se stranami $B-A, \vec u, \vec v$ s podstavou $\vec u, \vec v$. Tato výška je rovna objemu tohoto rovnoběžnostěnu děleno plocha podstavy. Vzdálenost bodu $B$ od roviny tedy je $$ {|\det\A| \over \,\|\vec u\times\vec v\|\,}\,, $$ kde matice $\A$ obsahuje v řádcích (nebo ve sloupcích) souřadnice vektorů $A-B, \vec u, \vec v$ vzhledem k nějaké ortonormální bázi. \n --------------------------------------------------- \g Příklad: vzdálenost mimoběžek Vzdálenost mimoběžek $A+\lob<\vec u>$ a $B+\lob<\vec v>$ je rovna výšce rovnoběžnostěnu vymezeného vektory $B-A, \vec u, \vec v$ se základnou $\vec u$, $\vec v$. Takže vzdálenost je rovna objemu tohoto rovnoběžnostěnu děleno plochou základny: $$ {\det\A \over \,\|\vec u\times\vec v\|\,}\,, $$ kde matice $\A$ obsahuje v řádcích (nebo ve sloupcích) souřadnice vektorů $A-B, \vec u, \vec v$ vzhledem k nějaké ortonormální bázi. \n -------------------------------------------------- \g Úhly mezi přímkami a rovinami Úhel $\varphi$ mezi vektory $\vec u$ a $\vec v$ vypočítáme ze vzorce pro skalární součin $$ \cos\varphi = {\vec u \cdot \vec v \over \|\vec u\|\,\|\vec v\|},\quad \hbox{tj.}\quad \varphi = \arccos {\vec u \cdot \vec v \over \|\vec u\|\,\|\vec v\|}. $$ * Úhel mezi dvěma přímkami je úhlel mezi směrovými vektory. Pokud $\varphi>90^\circ$, je hledaný úhel $180^\circ - \varphi$\hb (nebo ve vzorci v čitateli použít absolutní hodnotu). * Úhel mezi rovinami je úhel mezi jejich normálovými vektory. Pokud $\varphi>90^\circ$, je hledaný úhel $180^\circ - \varphi$\hb (nebo ve vzorci v čitateli použít absolutní hodnotu). * Úhel mezi přímkou a rovinou je $90^\circ$ mínus úhel mezi směrovým vektorem přímky a normálovým vektorem roviny (ve vzorci v~čitateli je třeba použít absolutní hodnotu). \n ----------------------------------------------------- \g Příklad: plocha trojúhelníka $\setmath[//]ABC$ Trojúhelník má plochu poloviční ploše rovnoběžníka. * V $E_2$ spočítáme plochu rovnoběžníka jako \uv{objem rovnoběžnostěnu v $E_2$}, tedy spočítáme absolutní hodnotu determinantu matice $\A$, která obsahuje ve sloupcích souřadnice vektorů $B-A$, $C-A$ vzhledem k~ortonormální bázi. {\bf Příklad}: $A=(1,2)$, $B=(3,4)$, $C=(5,8)$. Plocha trojúhelníka je: $$ S_\triangle = {1\over2}\,\left|\det\pmatrix{2&4\cr2&6}\right| = 2 $$ * V $E_3$ spočítáme plochu rovnoběžníka jeko velikost vektorového součinu vektorů $B-A$, $C-A$. {\bf Příklad}: $A=(1,2,2)$, $B=(2,3,4)$, $C=(7,8,9)$. $$ S_\triangle = {1\over2}\,\|(1,1,2)\times(6,6,7)\| = {1\over2}\,\|(-5,5,0)\| = {5\sqrt2\over2}. $$ \end