\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi

\font\logocvut=lev scaled400

\ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi
\def\cislo{4}

\headline={\setfonts[/10]\rm
   \ifnum\pageno>1 
   \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Ol��k \quad}\else
   \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]}
\footline={}

\def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{%
\setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Ol��k, FEL �VUT, c) P. Ol��k 2010,
  d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. 
  Viz p. d. 4/2010
}\vss}}

\input ofs [a35] %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  \baselineskip=22pt

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}

% ===============================================================

\vglue 2cm

\gg B�ze

\bigskip\bigskip

* Ka�d� line�rn� (pod)prostor m� svou b�zi

* Vzhledem ke zvolen� b�zi ur�ujeme sou�adnice vektor�\dots

\n ---------------------------------------------------------------

\g Definice b�ze

{\bf Definice:} Mno�ina vektor� $B$ je {\em b�ze\/} line�rn�ho
prostoru $L$, pokud
$$
  \eqalign{
         (1)&\quad B \hbox{ je line�rn� nez�visl�}, \cr
         (2)&\quad \lob<B> = L. }
$$

Podobn� definujeme b�zi line�rn�ho podprostoru $P\subseteq L$.

\n ---------------------------------------------------------------

\g P��klady b�z�

* $\{(1,2,3),\ (4,7,8),\ (3,4,2)\}$ je b�ze $\R^3$. 

* $\{(1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1)\}$ je tak� b�ze $\R^3$.

* $\{(1,0,0,\ldots,0),\ (0,1,0,\ldots,0),\ \ldots,\ (0,0,0,\ldots,1)\}$
  je b�ze $\R^n$.

* libovoln� t�i line�rn� nez�visl� orientovan� �se�ky tvo�i b�zi
  line�rn�ho prostoru v�ech orientovan�ch �se�ek.

* libovoln� dv� line�rn� nez�visl� orientovan� �se�ky v rovin� tvo��
  b�zi line�rn�ho podprostoru orientovan�ch �se�ek le��c�ch v t�to
  rovin�.

* Mno�ina $\{1,x,x^2,x^3,\ldots\}$ tvo�� b�zi lin. prostoru
  v�ech polynom�.

{\bf Pozorov�n�:} Jeden line�rn� (pod)prostor m� v�ce b�z�, v�echny
maj� spole�nou vlastnost: maj� stejn� po�et prvk�. (To dok�eme
za chv�li.)

\n ------------------------------------------------------------------

\g Existence b�ze

{\bf V�ta:} 

* Ka�d� netrivi�ln� line�rn� prostor m� b�zi.

* Ka�d� line�rn� nez�visl� mno�ina se d� doplnit na b�zi.

* V ka�d� mno�in�, pro kterou $\lob<M>=L$, se d� naj�t podmno�ina,
  kter� tvo�� b�zi $L$.

D�kaz: op�r� se o axiom v�b�ru. D�kaz najdete ve druh�m vyd�n�
linal2.pdf, ale nebudu jej po�adovat ke zkou�ce.
 
{\bf Pozorov�n�:} Je-li b�ze kone�n�, pak se d� lin. nez�visl� mno�ina
doplnit na b�zi postupn�m p�id�v�n�m vektor� z vn�j�ku line�rn�ho obalu
(pou�ije se v�ta ze sl�du [16]).

\n -----------------------------------------------------------------

\g Stejn� po�et prvk� v b�zi

{\bf V�ta 1:} Dv� b�ze stejn�ho line�rn�ho prostoru maj� stejn� po�et
prvk�.

D�kaz: pomoc� tzv. Steinitzovy v�ty o v�m�n�:

{\bf V�ta (Steinitz):} Nech� $M$ je libovoln� mno�ina, $N$ je kone�n� 
line�rn� nez�visl� mno�ina vektor� tak, �e $N\subseteq \lob<M>$. Pak 
lze z~mno�iny $M$ odebrat tolik vektor�, kolik jich je v $N$, a p�idat
tam v�echny vektory z $N$. Nov� vznikl� mno�ina m� stejn� line�rn�
obal jako $\lob<M>$.
%
(D�kaz Steintzovy v�ty: viz linal.pdf.)

D�kaz v�ty 1: Nech� $B_1$ a $B_2$ jsou dv� b�ze. Proto�e $B_1$ je
lin. nez�visl� a $B_1\subseteq\lob<B_2>$, m� podle Steinitzovy v�ty
$B_1$ nejv��e tolik vektor� jako $B_2$. Je tak� $B_2$ lin. nez�visl� 
a $B_2\subseteq\lob<B_1>$, tak�e po�et vektor� je stejn�.

\n ----------------------------------------------------------------

\g Dimenze

{\bf Definice:} Po�et prvk� b�ze line�rn�ho prostoru $L$ je {\em
dimenze\/}~$L$, zna��me $\dim L$.

{\bf Pozorov�n�:} P�edchoz� v�ta n�m zaru�uje, �e definice m� smysl.

{\bf P��klady:} 

* $\dim \R^n = n$,

* dimenze prostoru polynom� je $\infty$,

* dimenze prostoru orientovan�ch �se�ek je 3,

* dim. podprostoru orientovan�ch �se�ek ve spole�n� rovin� je 2,

* dim. podprostoru orientovan�ch �se�ek ve spole�n� p��mce je 1,

\n -----------------------------------------------------------------

\g Dimenze podprostoru

Dimenze podprostoru je men�� nebo rovna dimenzi prostoru.

(D�kaz: B�zi podprostoru lze doplnit na b�zi prostoru.)
 
V p��pad� kone�n� dimenze a vlastn�ho podporostoru je dimenze
podprostoru men��.

(D�kaz: K b�zi podprostoru p�id�me vektor z vn�j�ku podprostoru.
T�m z�stane mno�ina lin. nez�visl�. P��padn� ji dopln�me na b�zi 
prostoru.)

Podm�nka kone�nosti dimenze je nutn�: Nap��klad prostor polynom�,
i podprostor $\lob<1, x^2, x^4, \ldots>$ maj� stejnou dimenzi $\infty$.

\n -----------------------------------------------------------------

\g Rovnost obal�

Dva obaly $\lob<U> = \lob<\vecc u_n>$ a $\lob<V> = 
\lob<\vecc v_n>$ se rovnaj�, pr�v� kdy�
$$
  \dim\lob<\vecc u_n, \vecc v_n>=\dim\lob<U> = \dim\lob<V>.
$$

D�kaz\char`\*: Nech� $\lob<U>=\lob<V>$, Pak $U\subseteq\lob<U>$,
$V\subseteq\lob<V>=\lob<U>$, tak�e
$U\cup V\subseteq\lob<U\cup V> = \lob<V>=\lob<U>$, tj.
$\dim\lob<U\cup V> = \dim\lob<V> = \dim\lob<U>$.

Nech� nyn� $\dim\lob<U\cup V>= \dim\lob<V> = \dim\lob<U>$.
Proto�e $\lob<U>\subseteq \lob<U\cup V>$, ale maj� stejn� dimenze,
mus� se podprostor $\lob<U>$ rovnat line�rn�mu prostoru 
$\lob<U\cup V>$.

\n ----------------------------------------------------------

\g Po�et prvk� line�rn� nez�visl� mno�iny

Nech� \ $\dim L=n$, $M\subseteq L$, po�et prvk� $M$ je $m$.
Potom:

* Je-li $M$ lin. nez�visl�, pak $m\le n$.

* Je-li $m>n$, pak je $M$ line�rn� z�visl�.

* Je-li $m=n$ a $M$ je nez�visl�, pak $\lob<M> = L$.

* Je-li $m=n$ a $\lob<M> = L$, pak $M$ je nez�visl�.

* Je-li $M$ je nez�visl� a $\lob<M> = L$, pak $m=n$.


\n ----------------------------------------------------------

\g Sou�adnice vektoru vzhledem k b�zi

Na co m�me b�zi? Abychom vzhledem k n� mohli p�id�lit ka�d�mu vektoru
uspo��danou $n$-tici ��sel, tzv. {\em sou�adnice vektoru}.

{\bf Definice:} Sou�adnice vektoru $\vec x$ vzhledem k uspo��dan� b�zi\hb
$\vecc b_n$ jsou uspo��dan� $n$-tice re�ln�ch ��sel 
$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ takov�, �e
$$
  \vec x = \alpha_1\vec b_1 + \alpha_2\vec b_2 + \cdots + \alpha_n\vec b_n.
$$

Existence sou�adnic pro ka�d� $\vec x\in L$? \ Proto�e $\lob<B> = L$.

Jednozna�nost sou�adnic? \ Proto�e $B$ je line�rn� nez�visl�.


\n ------------------------------------------------------------

\g P��klady

Vzhledem k b�zi $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ m� vektor $\vec x = (a,b,c)$
sou�adnice $(a,b,c)$. 

Vzhledem k b�zi $(1,x,x^2)$ m� vektor $ax^2+bx+c$ sou�adnice
$(c,b,a)$.

Vzhledem k b�zi $x^2+2, 2x, x-1$ m� vektor $ax^2+bx+c$ sou�adnice:
$$
  \left (a, \ {-2a+b+c\over 2}, \ 2a-c\right).
$$

Sou�adnice vektor� vzhledem k b�zi v prostoru orientovan�ch �se�ek
zjist�me geometricky.

\n ---------------------------------------------------------------

\g Standardn� b�ze v $\setmath[//] \R^n$

je b�ze $((1,0,0,\ldots,0),(0,1,0,\ldots,0), \ldots, (0,0,0,\ldots,1))$.

M� zaj�mavou vlastnost: vzhledem k n� m� vektor\hb
$\vec x = (x_1,x_2,\ldots,x_n)$ sou�adnice $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$.
Proto�e
$$
(x_1,x_2,\ldots,x_n) = x_1(1,0,\ldots,0)+x_2(0,1,\ldots,0)+ \cdots+ x_n (0,0,\ldots,1).
$$

\end
