\chyph \hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm \ifx\pdfoutput\undefined \else \pdfpagewidth=21cm \pdfpageheight=15cm \fi \font\logocvut=lev scaled400 \ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi \def\cislo{4} \headline={\setfonts[/10]\rm \ifnum\pageno>1 \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Olšák \quad}\else \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]} \footline={} \def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{% \setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. Viz p. d. 4/2010 }\vss}} \input ofs [a35] %\def\fomenc{CM} %\showfonts \end %\displayfontmessages \setfonts[NewCentury/17] \setmath[17/12/8] \baselineskip=22pt \message{\fontname\tenit} \medskipamount=9pt \let\ms=\medskip \parskip=\medskipamount \def\n#1\par{\vfill\break} \def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip} \def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip} \def\hb{\hfil\break} \def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}} \parindent=0pt \catcode`\*=13 \def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}} \let\em=\it \def\C{{\bf C}} \def\R{{\bf R}} \def\Q{{\bf Q}} \def\st{\mathop{\rm St}} \def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}} \def\lob<#1>{\langle #1\rangle} % =============================================================== \vglue 2cm \gg Báze \bigskip\bigskip * Každý lineární (pod)prostor má svou bázi * Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů\dots \n --------------------------------------------------------------- \g Definice báze {\bf Definice:} Množina vektorů $B$ je {\em báze\/} lineárního prostoru $L$, pokud $$ \eqalign{ (1)&\quad B \hbox{ je lineárně nezávislá}, \cr (2)&\quad \lob = L. } $$ Podobně definujeme bázi lineárního podprostoru $P\subseteq L$. \n --------------------------------------------------------------- \g Příklady bází * $\{(1,2,3),\ (4,7,8),\ (3,4,2)\}$ je báze $\R^3$. * $\{(1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1)\}$ je také báze $\R^3$. * $\{(1,0,0,\ldots,0),\ (0,1,0,\ldots,0),\ \ldots,\ (0,0,0,\ldots,1)\}$ je báze $\R^n$. * libovolné tři lineárně nezávislé orientované úsečky tvoři bázi lineárního prostoru všech orientovaných úseček. * libovolné dvě lineárně nezávislé orientované úsečky v rovině tvoří bázi lineárního podprostoru orientovaných úseček ležících v této rovině. * Množina $\{1,x,x^2,x^3,\ldots\}$ tvoří bázi lin. prostoru všech polynomů. {\bf Pozorování:} Jeden lineární (pod)prostor má více bází, všechny mají společnou vlastnost: mají stejný počet prvků. (To dokážeme za chvíli.) \n ------------------------------------------------------------------ \g Existence báze {\bf Věta:} * Každý netriviální lineární prostor má bázi. * Každá lineárně nezávislá množina se dá doplnit na bázi. * V každé množině, pro kterou $\lob=L$, se dá najít podmnožina, která tvoří bázi $L$. Důkaz: opírá se o axiom výběru. Důkaz najdete ve druhém vydání linal2.pdf, ale nebudu jej požadovat ke zkoušce. {\bf Pozorování:} Je-li báze konečná, pak se dá lin. nezávislá množina doplnit na bázi postupným přidáváním vektorů z vnějšku lineárního obalu (použije se věta ze slídu [16]). \n ----------------------------------------------------------------- \g Stejný počet prvků v bázi {\bf Věta 1:} Dvě báze stejného lineárního prostoru mají stejný počet prvků. Důkaz: pomocí tzv. Steinitzovy věty o výměně: {\bf Věta (Steintz):} Nechť $M$ je libovolná množina, $N$ je konečná lineárně nezávislá množina vektorů tak, že $N\subseteq \lob$. Pak lze z~množiny $M$ odebrat tolik vektorů, kolik jich je v $N$, a přidat tam všechny vektory z $N$. Nově vzniklá množina má stejný lineární obal jako $\lob$. % (Důkaz Steintzovy věty: viz linal.pdf.) Důkaz věty 1: Nechť $B_1$ a $B_2$ jsou dvě báze. Protože $B_1$ je lin. nezávislá a $B_1\subseteq\lob$, má podle Steinitzovy věty $B_1$ nejvýše tolik vektorů jako $B_2$. Je také $B_2$ lin. nezávislá a $B_2\subseteq\lob$, takže počet vektorů je stejný. \n ---------------------------------------------------------------- \g Dimenze {\bf Definice:} Počet prvků báze lineárního prostoru $L$ je {\em dimenze\/}~$L$, značíme $\dim L$. {\bf Pozorování:} Předchozí věta nám zaručuje, že definice má smysl. {\bf Příklady:} * $\dim \R^n = n$, * dimenze prostoru polynomů je $\infty$, * dimenze prostoru orientovaných úseček je 3, * dim. podprostoru orientovaných úseček ve společné rovině je 2, * dim. podprostoru orientovaných úseček ve společné přímce je 1, \n ----------------------------------------------------------------- \g Dimenze podprostoru Dimenze podprostoru je menší nebo rovna dimenzi prostoru. (Důkaz: Bázi podprostoru lze doplnit na bázi prostoru.) V případě konečné dimenze a vlastního podporostoru je dimenze podprostoru menší. (Důkaz: K bázi podprostoru přidáme vektor z vnějšku podprostoru. Tím zůstane množina lin. nezávislá. Případně ji doplníme na bázi prostoru.) Podmínka konečnosti dimenze je nutná: Například prostor polynomů, i podprostor $\lob<1, x^2, x^4, \ldots>$ mají stejnou dimenzi $\infty$. \n ----------------------------------------------------------------- \g Rovnost obalů Dva obaly $\lob = \lob<\vecc u_n>$ a $\lob = \lob<\vecc v_n>$ se rovnají, právě když $$ \dim\lob<\vecc u_n, \vecc v_n>=\dim\lob = \dim\lob. $$ Důkaz\char`\*: Nechť $\lob=\lob$, Pak $U\subseteq\lob$, $V\subseteq\lob=\lob$, takže $U\cup V\subseteq\lob = \lob=\lob$, tj. $\dim\lob = \dim\lob = \dim\lob$. Nechť nyní $\dim\lob= \dim\lob = \dim\lob$. Protože $\lob\subseteq \lob$, ale mají stejné dimenze, musí se podprostor $\lob$ rovnat lineárnímu prostoru $\lob$. \n ---------------------------------------------------------- \g Počet prvků lineárně nezávislé množiny Nechť \ $\dim L=n$, $M\subseteq L$, počet prvků $M$ je $m$. Potom: * Je-li $M$ lin. nezávislá, pak $m\le n$. * Je-li $m>n$, pak je $M$ lineárně závislá. * Je-li $m=n$ a $M$ je nezávislá, pak $\lob = L$. * Je-li $m=n$ a $\lob = L$, pak $M$ je nezávislá. * Je-li $M$ je nezávislá a $\lob = L$, pak $m=n$. \n ---------------------------------------------------------- \g Souřadnice vektoru vzhledem k bázi Na co máme bázi? Abychom vzhledem k ní mohli přidělit každému vektoru uspořádanou $n$-tici čísel, tzv. {\em souřadnice vektoru}. {\bf Definice:} Souřadnice vektoru $\vec x$ vzhledem k uspořádané bázi\hb $\vecc b_n$ jsou uspořádaná $n$-tice reálných čísel $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ taková, že $$ \vec x = \alpha_1\vec b_1 + \alpha_2\vec b_2 + \cdots + \alpha_n\vec b_n. $$ Existence souřadnic pro každý $\vec x\in L$? \ Protože $\lob = L$. Jednoznačnost souřadnic? \ Protože $B$ je lineárně nezávislá. \n ------------------------------------------------------------ \g Příklady Vzhledem k bázi $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ má vektor $\vec x = (a,b,c)$ souřadnice $(a,b,c)$. Vzhledem k bázi $(1,x,x^2)$ má vektor $ax^2+bx+c$ souřadnice $(c,b,a)$. Vzhledem k bázi $x^2+2, 2x, x-1$ má vektor $ax^2+bx+c$ souřadnice: $$ \left (a, \ {-2a+b+c\over 2}, \ 2a-c\right). $$ Souřadnice vektorů vzhledem k bázi v prostoru orientovaných úseček zjistíme geometricky. \n --------------------------------------------------------------- \g Standardní báze v $\setmath[//] \R^n$ je báze $((1,0,0,\ldots,0),(0,1,0,\ldots,0), \ldots, (0,0,0,\ldots,1))$. Má zajímavou vlastnost: vzhledem k ní má vektor\hb $\vec x = (x_1,x_2,\ldots,x_n)$ souřadnice $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. Protože $$ (x_1,x_2,\ldots,x_n) = x_1(1,0,\ldots,0)+x_2(0,1,\ldots,0)+ \cdots+ x_n (0,0,\ldots,1). $$ \end