\chyph

\hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm

\ifx\pdfoutput\undefined \else
\pdfpagewidth=21cm
\pdfpageheight=15cm
\fi

\font\logocvut=lev scaled400

\ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi
\def\cislo{13}

\headline={\setfonts[/10]\rm
   \ifnum\pageno>1 
   \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Ol��k \quad}\else
   \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]}
\footline={}

\def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{%
\setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Ol��k, FEL �VUT, c) P. Ol��k 2010--13,
  d) BI-LIN, e) L, f) 2012/2013, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. 
  Viz p. d. 4/2010
}\vss}}

\input ofs [a35]  %\def\fomenc{CM}  

%\showfonts \end
%\displayfontmessages
\setfonts[NewCentury/17]  \setmath[17/12/8]  
\baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip

\message{\fontname\tenit}

\medskipamount=9pt
\let\ms=\medskip

\parskip=\medskipamount

\def\n#1\par{\vfill\break}

\def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip}
\def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip}
\def\hb{\hfil\break}

\def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}}

\parindent=0pt

\catcode`\*=13 
\def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 
   \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}}

\let\em=\it

\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\a{{A}}
\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\D{{\bf D}}
\def\E{{\bf E}}
\def\P{{\bf P}}
\def\L{{\bf L}}
\def\U{{\bf U}}
\def\X{{\bf X}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\st{\mathop{\rm St}}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lob<#1>{\langle #1\rangle}

% ===============================================================

\vglue .5cm

\gg Afinn� 

\gg transformace

\g Stru�n�j�� verze

\bigskip\bigskip

* je posunut� plus line�rn� transformace

* m� svou matici vzhledem k homogenn�m sou�adnic�m

* body a vektory: afinn� prostor

* vyu�it� nap��klad v po��ta�ov� grafice


\n ---------------------------------------------------------------


\g Afinn� transformace (zhruba)

Zjednodu�en� {\bf definice}:

{\em Afinn� transformace} na $\R^n$ je takov� zobrazen�
$\a: \R^n\to \R^n$, pro kter� existuje vektor $\vec t\in \R^n$
a line�rn� transformace $\a':\R^n\to \R^n$ tak, �e
$$
  \a(\vec x) = \a'(\vec x) + \vec t \quad \forall \vec x \in \R^n,
$$
tj. $A$ je slo�en� line�rn� transformace a posunut�.

{\bf Pozorov�n�:} Pro $\vec t\not=\vec o$ nen� afinn� transformace line�rn�
transformac� a tud�� nem� svou matici (jako line�rn� transformace).

P�id�me-li ale k matici jeden ��dek a jeden sloupec, m��e tato matice
reprezentovat afinn� transformaci (viz dal�� sl�dy).



\n -------------------------------------------------------------


\g Idea homogenn�ch sou�adnic (r�mcov�)

Zapi�me $\vec x\in\R^n$ (resp. $\vec t\in\R^n$) do sloupce $\bf x$ 
(resp.~$\bf t$).
Nech� d�le $\bf A'$ je matice line�rn� transformace $A':\R^n\to\R^n$.
$$
\hbox{Pro matici}\quad
\A = \pmatrix {\A' & {\bf t}\cr {\bf o} & 1}
\qquad\hbox{(symbol $\bf o$ zde zna�� ��dek nul)}
$$
plat�:
$$
  \pmatrix {\A' & {\bf t}\cr {\bf o} & 1}\cdot
  \pmatrix{{\bf x}\cr 1} =
  \pmatrix{\A'\cdot {\bf x} + {\bf t}\cr 1}
$$

V�sledek maticov�ho n�soben� tedy obsahuje sou�adnice obrazu afinn�ho 
zobrazen� $A(\vec x) = A'(x) + \vec t$.

Uvedenou matici $\A$ naz�v�me {\em matic� afinn�ho zobrazen� $A$ v homogenn�ch
sou�adnic�ch.}


\n -----------------------------------------------------------------


\g Body a vektory (inuitivn�)

Z geometrick�ho pohledu vektor ud�v� sm�r a velikost sm�ru, nikoli polohu.
Nem� tedy smysl \uv{posunovat} vektory, prvky line�rn�ho prostoru, pomoc�
afinn� transformace.

Na druhou stranu v gemometrii jsou tak� {\em body}, kter� m� smysl 
transformovat afinn� transformac� v�etn� posunu. Body maj� sou�adnice
vymezen� podobn� jako sou�adnice vektor�, tedy jejich sou�adnice 
jsou prvky z~$\R^n$.

Je obt��n� p�esn� definovat bod jako \uv{mal� nic s nulov�mi rozm�ry}, ale je
rozumn� uv�st axiomaticky vz�jemnou souvislost (bl��e nespecifikovan�ch)
bod� a vektor�. To �e�� n�sleduj�c� definice afinn�ho prostoru.

\n --------------------------------------------------------------


\g Afinn� prostor

Nech� $\X$ je mno�ina (bod�) a $V$ je line�rn� prostor dimenze $n$.
Na line�rn�m prostoru $V$ jsou definov�ny operace
$\cdot: \R\times V\to V$ a $+: V\times V\to V$ spl�uj�c� axiomy line�rn�ho
prostoru. Je-li nav�c definov�na operace
$+:\X\times V\to \X$ (bod + vektor = bod), pro kterou plat�:
$\forall \, P\in\X, Q\in\X, \vec u\in V, \vec v\in V$ je

\qquad (1) $P+\vec o = P$, kde $\vec o\in V$ je nulov� vektor,

\qquad (2) $(P+\vec u) + \vec v = P + (\vec u+\vec v)$,

\qquad (3) existuje jedin� vektor $\vec w\in V$ tak, �e $Q = P + \vec w$,

pak se dvojice $(\X,V)$ naz�v� {\em afinn� prostor} dimenze $n$.
P�itom $\X$ je mno�ina {\em bod�} a $V$ je mno�ina {\em vektor�} tohoto
afinn�ho prostoru.

{\bf Pozn�mka:} Vektor $\vec w$ z vlastnosti (3) zna��me 
$\vec w = Q-P = \vec{PQ}$. Odpov�d� to operaci \uv{bod $-$ bod = vektor}.


\n -----------------------------------------------------------


\g Ilustrace afinn�ho prostoru

V p�edchoz� (axiomatick�) definici nen� nutno vymezit, co to je \uv{bod},
sta��, kdy� tyto \uv{objekty} spl�uj� vyjmenovan� axiomy. Nic\-m�n� je mo�n�
a velmi u�ite�n� afinn� prostor ilustrovat na z�klad� intuitivn�ho ch�p�n� 
pojmu bod v geometrick�m prostoru:

Nech� $\X$ je geometrick� prostor v�ech bod�. Jeden z nich zvol�me jako
po��tek~$O$ a pak v�echny body $P\in\X$ jsou charakterizov�ny sv�m
radiusevektorem:
orientovanou �se�kou za��naj�c� v~$O$ a kon��c� v~$P$. D�le uva�ujme
line�rn� prostor $U_O$ v�ech orietnovan�ch �se�ek za��naj�c�ch v~$O$
(s��t�n�: dopl�ovan�m na rovnob�n�k, n�soben�: n�soben� d�lek vektor�). 
Dvojice $(\X,U_O)$ je afinn� prostor.

Operace \uv{bod + vektor = bod}, tedy $P +\vec v = Q$, je zavedena takto:
se�teme radiusvektor bodu $P$ s vektorem $\vec v$. V�sledn� vektor 
je radiusvektorem hledan�ho bodu $Q$ (ud�lejte si n��trtek a ov��te si, 
�e plat� axiomy).


\n ------------------------------------------------------------

\g Sou�adnice v afinn�m prostoru

{\bf Definice}: Nech� $(\X, V)$ je afinn� prostor. Zvolme
$O\in\X$ a uspo��danou b�zi $(B)$ line�rn�ho prostoru $V$. 
Dvojici $(O,B)$ naz�v�me {\em sou�adn�m
syst�mem\/} afinn�ho prostoru $(\X, V)$ a vzhledem k tomtuto
sou�adn�mu syst�mu jsou

* {\em sou�adnice vektoru $\vec v\in V$} definov�ny jako sou�adnice 
tohoto vektoru vzhledem k uspo��dan� b�zi $(B)$ a 

* {\em sou�adnice bodu $P\in\X$} jsou definov�ny jako sou�adnice vektoru
  $P-O$ vzhledem k uspo��dan� b�zi $(B)$. 

{\bf Pozn�mka}:
Je-li pevn� d�n sou�adn� syst�m, pak
body i vektory v~$(\X, V)$ ztoto��ujeme s uspo��dan�mi $n$-ticemi jejich
sou�adnic, tedy s~prvky v $\R^n$. S��t�n� sou�adnic v $\R^n$ 
odpov�d� nejen s��t�n� vektor�, ale i operac�m \uv{bod + vektor}.



\n -----------------------------------------------------------------


\g Homogenn� sou�adnice


{\em Homogenn� sou�adnice vektoru} v sou�adn�m syst�mu $(O,B)$ je uspo��dan�
\hbox{$(n+1)$}-tice; prvn�ch $n$ slo�ek obsahuje sou�adnice vektoru, posledn�
slo�ka obsahuje nulu.

{\em Homogenn� sou�adnice bodu} v sou�adn�mu syst�mu 
$(O,B)$ je uspo��dan�
\hbox{$(n+1)$}-tice; prvn�ch $n$ slo�ek obsahuje sou�adnice bodu, posledn�
slo�ka obsahuje jedni�ku.

{\bf Pozorov�n�:} Tvrzen� z p�edchoz� strany [7] o sou�adnic�ch z $\R^n$
plat� i v~p��pad�, �e s��t�me homogenn� sou�adnice
z $\R^{n+1}$. Tento sou�et koresponuje i s operac� \uv{bod + vektor}.


\n -------------------------------------------------------

\g Matice v homogenn�ch sou�adnic�ch

Nech� $(\X,V)$ je afinn� prostor. 
Zobrazen� $\a:\X\to\X$, pro kter� existuje matice $\A\in\R^{n+1,n+1}$
s~vlastnost�:
$$
    \A\cdot\pmatrix{\hbox{homogenn�}\cr\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{bodu }P\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(O,B)$}} = 
  \pmatrix{\hbox{homogenn�}\cr\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{bodu }\a(P)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(O,B)$}}
$$
se naz�v� transformace s matic� $\A$ v homogenn�ch sou�adnic�ch.

{\bf Pozorov�n�:} Matice $\A$ mus� b�t tvaru:
$$
  \A = \pmatrix {\A' & {\bf t}\cr {\bf o} & 1}
$$
kde $\A'\in\R^{n,n}$, ${\bf t}\in\R^{n,1}$, ${\bf o}\in\R^{1,n}$ je
nulov� vektor, tak�e to je matice afinn�ho zobrazen� v homogenn�ch
sou�adnic�ch.


\n ----------------------------------------------------


\g P��klad 2D

Obecn� matice transformace v homogenn�ch sou�adnic�ch m� tvar:
$$
  \pmatrix {a&b&c\cr d&e&f\cr 0&0&1}.
$$
Je tedy ur�ena �esti parametry.

Bod se sou�adnicemi $(x,y)$ p�ejde p�i transformaci
s touto matic� na bod se sou�adnicemi $(x',y')$:
$$
  \pmatrix {x'\cr y'\cr 1} =
  \pmatrix {a&b&c\cr d&e&f\cr 0&0&1} \cdot
  \pmatrix {x\cr y\cr 1} =
  \pmatrix {ax + by + c\cr dx + ey + f\cr 1},
$$
tak�e bod se transformuje line�rn� a posune o vektor $(c,f)$.

\n --------------------------------------------------

\g P��klad 3D

Obecn� matice transformace v homogenn�ch sou�adnic�ch m� tvar:
$$
  \pmatrix {a&b&c&d\cr e&f&g&h\cr i&j&k&l\cr 0&0&0&1}.
$$
Je ur�ena dvan�cti parametry.

Transformace bodu prob�h� podle n�sleduj�c�ho vzorce:
$$
  \pmatrix {x'\cr y'\cr z'\cr1} =
  \pmatrix {a&b&c&d\cr e&f&g&h\cr i&j&k&l\cr 0&0&0&1} \cdot
  \pmatrix {x\cr y\cr z\cr1} =
  \pmatrix {ax+by+cz+d\cr ex+fy+gz+h\cr ix+jy+kz+l\cr 1}   
$$

\n ------------------------------------------------

\g Skl�d�n� transformac� --- sou�in matic

{\bf V�ta}: Nech� $\A$ a $\B$ jsou matice transformac� $A$ a $B$ v homogenn�ch
sou�adnic�ch
$$
  \A = \pmatrix {\A' & {\bf t}\cr {\bf o} & 1}, \qquad
  \B = \pmatrix {\B' & {\bf s}\cr {\bf o} & 1}
$$
Pak slo�en� transformace $B\circ A$ m� matici:
$$
  \B\cdot\A =
  \pmatrix {\B' & {\bf s}\cr {\bf o} & 1} \cdot
  \pmatrix {\A' & {\bf t}\cr {\bf o} & 1} =
  \pmatrix {\B'\cdot\A'& \B'\cdot{\bf t} + {\bf s}\cr {\bf o} & 1}.
$$

{\bf Pozn�mka}: Je $(B\circ A)(x) = (B(A(x))$.

D�kaz v�ty se provede analogicky, jako d�kaz v�ty o slo�en�m line�rn�m
zobrazen�. 

\n ------------------------------------------------

\g Inverzn� transformace --- inverzn� matice

{\bf V�ta:} M�-li transformace $A$ regul�rn� matici $\A$ v homogenn�ch
sou�adnic�ch, pak je prost� a na a $A^{-1}$ m� matici $\A^{-1}$ v
homogenn�ch sou�adnic�ch.

{\bf Pozorov�n�}: 
$$
  \hbox{Je-li}\quad
  \A = \pmatrix {\A' & {\bf t}\cr {\bf o} & 1},\quad \hbox{pak}\quad
  \A^{-1} = \pmatrix {(\A')^{-1} & -\,(\A')^{-1}\,{\bf t}\cr {\bf o} & 1}
$$
Inverzn� matice k $\A$ existuje, pr�v� kdy� $\A'$ je regul�rn�.

\n ------------------------------------------------

\g P��klad: element�rn� transformace ve 2D

{\bf Zm�na m���tka} m� matici v homogenn�ch sou�adnic�ch:
$$
  \pmatrix {a& 0&0\cr 0&b&0\cr 0&0&1}.
$$
{\bf Rotace} o �hel $\alpha$ m� matici v homogenn�ch sou�adnic�ch:
$$
  \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha&0\cr 
           \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha&0\cr 0&0&1},
$$
{\bf Posunut�} o vektor se sou�adnicemi $(t_x, t_y)$ m� matici
v homogenn�ch sou�adnic�ch:
$$
  \pmatrix {1&0& t_x\cr 0&1&t_y\cr 0&0&1}
$$
Dal�� transformace vznikaj� skl�d�n�m t�chto
transformac�. 

\n -----------------------------------------------------

\g P��klad

Najdeme matici (v homogenn�ch sou�adnic�ch) 
rotace o �hlel $\alpha$ kolem bodu $(2,3)$.

Uveden� transformace je slo�en�m n�sleduj�c�ch transformac�:
* posunut� o vektor $(-2,-3)$,
* rotace o �hel $\alpha$,
* posunut� o vektor $(2,3)$.

Matice v�sledn� transformace je sou�inem matic:
$$
  \displaylines {
  \biggl( \hbox{posunut� o $(2,3)$} \biggr) \cdot 
  \biggl( \hbox{rotace o �hel $\alpha$} \biggr) \cdot 
  \biggl( \hbox{posunut� o $(-2,-3)$} \biggr) =\cr \noalign{\bigskip}
  =  \pmatrix {1&0& 2\cr 0&1&3\cr 0&0&1} \cdot
     \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha&0\cr 
           \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha&0\cr 0&0&1} \cdot
     \pmatrix {1&0& \!-2\cr 0&1&\!-3\cr 0&0&1} = \ \cdots
}
$$


\n -------------------------------------------------------

\g P��klad, pokra�ov�n�

$$
  \cdots \ =   \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha\ & -2\cos\alpha+3\sin\alpha+2\cr 
           \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha\ &-2\sin\alpha-3\cos\alpha+3\cr 0&0&1}.
$$
Tak�e bod o sou�adnic�ch $(x,y)$ p�ech�z� po t�to transformaci na bod
o sou�adnic�ch $(x'y')$, pro kter� plat�:
$$
  \displaylines {
  \pmatrix {x'\cr y'\cr 1} =
  \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha\ & -2\cos\alpha+3\sin\alpha+2\cr 
           \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha\  &-2\sin\alpha-3\cos\alpha+3\cr 0&0&1}
  \cdot \pmatrix {x\cr y\cr 1}
  = \cr \noalign{\bigskip}
  = \pmatrix {(\cos\alpha)\,x -(\sin\alpha)\,y -2\cos\alpha+3\sin\alpha+2\cr
              (\sin\alpha)\,x +(\cos\alpha)\,y -2\sin\alpha-3\cos\alpha+3\cr1}
}
$$

\end
