\chyph \hoffset=-1cm \voffset=-1.2cm \hsize=18cm \ifx\pdfoutput\undefined \else \pdfpagewidth=21cm \pdfpageheight=15cm \fi \font\logocvut=lev scaled400 \ifx\zkratka\undefined\edef\zkratka{\jobname}\fi \def\cislo{13} \headline={\setfonts[/10]\rm \ifnum\pageno>1 \hfill {\setfonts[/7] BI-LIN, \zkratka, \cislo, P. Olšák \quad}\else \firstpage\hfill\fi [\the\pageno]} \footline={} \def\firstpage{\vbox to0pt{\kern13.7cm\hbox{% \setfonts[/8] a) \zkratka, \cislo, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010--13, d) BI-LIN, e) L, f) 2012/2013, g) \lower1pt\hbox{\logocvut L}. Viz p. d. 4/2010 }\vss}} \input ofs [a35] %\def\fomenc{CM} %\showfonts \end %\displayfontmessages \setfonts[NewCentury/17] \setmath[17/12/8] \baselineskip=22pt \normalbaselineskip=\baselineskip \message{\fontname\tenit} \medskipamount=9pt \let\ms=\medskip \parskip=\medskipamount \def\n#1\par{\vfill\break} \def\g#1\par{{\null \vskip-31pt \baselineskip=30pt\setfonts[/23]\bf #1\par}\medskip} \def\gg#1\par{{\setfonts[/55]\bf #1}\medskip} \def\hb{\hfil\break} \def\emerge{{\emergencystretch=2em\par}} \parindent=0pt \catcode`\*=13 \def* {\par \hangindent=15pt \hangafter=1 \noindent \hbox to\hangindent {$\bullet$\hss}} \let\em=\it \def\C{{\bf C}} \def\R{{\bf R}} \def\Q{{\bf Q}} \def\a{{A}} \def\A{{\bf A}} \def\B{{\bf B}} \def\D{{\bf D}} \def\E{{\bf E}} \def\P{{\bf P}} \def\L{{\bf L}} \def\U{{\bf U}} \def\X{{\bf X}} \def\ker{\mathop{\rm Ker}} \def\st{\mathop{\rm St}} \def\hod{\mathop{\rm hod}} \def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}} \def\lob<#1>{\langle #1\rangle} % =============================================================== \vglue .5cm \gg Afinní \gg transformace \g Stručnější verze \bigskip\bigskip * je posunutí plus lineární transformace * má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím * body a vektory: afinní prostor * využití například v počítačové grafice \n --------------------------------------------------------------- \g Afinní transformace (zhruba) Zjednodušená {\bf definice}: {\em Afinní transformace} na $\R^n$ je takové zobrazení $\a: \R^n\to \R^n$, pro které existuje vektor $\vec t\in \R^n$ a lineární transformace $\a':\R^n\to \R^n$ tak, že $$ \a(\vec x) = \a'(\vec x) + \vec t \quad \forall \vec x \in \R^n, $$ tj. $A$ je složení lineární transformace a posunutí. {\bf Pozorování:} Pro $\vec t\not=\vec o$ není afinní transformace lineární transformací a tudíž nemá svou matici (jako lineární transformace). Přidáme-li ale k matici jeden řádek a jeden sloupec, může tato matice reprezentovat afinní transformaci (viz další slídy). \n ------------------------------------------------------------- \g Idea homogenních souřadnic (rámcově) Zapišme $\vec x\in\R^n$ (resp. $\vec t\in\R^n$) do sloupce $\bf x$ (resp.~$\bf t$). Nechť dále $\bf A'$ je matice lineární transformace $A':\R^n\to\R^n$. $$ \hbox{Pro matici}\quad \A = \pmatrix {\A' & {\bf t}\cr {\bf o} & 1} \qquad\hbox{(symbol $\bf o$ zde značí řádek nul)} $$ platí: $$ \pmatrix {\A' & {\bf t}\cr {\bf o} & 1}\cdot \pmatrix{{\bf x}\cr 1} = \pmatrix{\A'\cdot {\bf x} + {\bf t}\cr 1} $$ Výsledek maticového násobení tedy obsahuje souřadnice obrazu afinního zobrazení $A(\vec x) = A'(x) + \vec t$. Uvedenou matici $\A$ nazýváme {\em maticí afinního zobrazení $A$ v homogenních souřadnicích.} \n ----------------------------------------------------------------- \g Body a vektory (inuitivně) Z geometrického pohledu vektor udává směr a velikost směru, nikoli polohu. Nemá tedy smysl \uv{posunovat} vektory, prvky lineárního prostoru, pomocí afinní transformace. Na druhou stranu v gemometrii jsou také {\em body}, které má smysl transformovat afinní transformací včetně posunu. Body mají souřadnice vymezené podobně jako souřadnice vektorů, tedy jejich souřadnice jsou prvky z~$\R^n$. Je obtížné přesně definovat bod jako \uv{malé nic s nulovými rozměry}, ale je rozumné uvést axiomaticky vzájemnou souvislost (blíže nespecifikovaných) bodů a vektorů. To řeší následující definice afinního prostoru. \n -------------------------------------------------------------- \g Afinní prostor Nechť $\X$ je množina (bodů) a $V$ je lineární prostor dimenze $n$. Na lineárním prostoru $V$ jsou definovány operace $\cdot: \R\times V\to V$ a $+: V\times V\to V$ splňující axiomy lineárního prostoru. Je-li navíc definována operace $+:\X\times V\to \X$ (bod + vektor = bod), pro kterou platí: $\forall \, P\in\X, Q\in\X, \vec u\in V, \vec v\in V$ je \qquad (1) $P+\vec o = P$, kde $\vec o\in V$ je nulový vektor, \qquad (2) $(P+\vec u) + \vec v = P + (\vec u+\vec v)$, \qquad (3) existuje jediný vektor $\vec w\in V$ tak, že $Q = P + \vec w$, pak se dvojice $(\X,V)$ nazývá {\em afinní prostor} dimenze $n$. Přitom $\X$ je množina {\em bodů} a $V$ je množina {\em vektorů} tohoto afinního prostoru. {\bf Poznámka:} Vektor $\vec w$ z vlastnosti (3) značíme $\vec w = Q-P = \vec{PQ}$. Odpovídá to operaci \uv{bod $-$ bod = vektor}. \n ----------------------------------------------------------- \g Ilustrace afinního prostoru V předchozí (axiomatické) definici není nutno vymezit, co to je \uv{bod}, stačí, když tyto \uv{objekty} splňují vyjmenované axiomy. Nic\-méně je možné a velmi užitečné afinní prostor ilustrovat na základě intuitivního chápání pojmu bod v geometrickém prostoru: Nechť $\X$ je geometrický prostor všech bodů. Jeden z nich zvolíme jako počátek~$O$ a pak všechny body $P\in\X$ jsou charakterizovány svým radiusevektorem: orientovanou úsečkou začínající v~$O$ a končící v~$P$. Dále uvažujme lineární prostor $U_O$ všech orietnovaných úseček začínajících v~$O$ (sčítání: doplňovaním na rovnoběžník, násobení: násobení délek vektorů). Dvojice $(\X,U_O)$ je afinní prostor. Operace \uv{bod + vektor = bod}, tedy $P +\vec v = Q$, je zavedena takto: sečteme radiusvektor bodu $P$ s vektorem $\vec v$. Výsledný vektor je radiusvektorem hledaného bodu $Q$ (udělejte si náčtrtek a ověřte si, že platí axiomy). \n ------------------------------------------------------------ \g Souřadnice v afinním prostoru {\bf Definice}: Nechť $(\X, V)$ je afinní prostor. Zvolme $O\in\X$ a uspořádanou bázi $(B)$ lineárního prostoru $V$. Dvojici $(O,B)$ nazýváme {\em souřadným systémem\/} afinního prostoru $(\X, V)$ a vzhledem k tomtuto souřadnému systému jsou * {\em souřadnice vektoru $\vec v\in V$} definovány jako souřadnice tohoto vektoru vzhledem k uspořádané bázi $(B)$ a * {\em souřadnice bodu $P\in\X$} jsou definovány jako souřadnice vektoru $P-O$ vzhledem k uspořádané bázi $(B)$. {\bf Poznámka}: Je-li pevně dán souřadný systém, pak body i vektory v~$(\X, V)$ ztotožňujeme s uspořádanými $n$-ticemi jejich souřadnic, tedy s~prvky v $\R^n$. Sčítání souřadnic v $\R^n$ odpovídá nejen sčítání vektorů, ale i operacím \uv{bod + vektor}. \n ----------------------------------------------------------------- \g Homogenní souřadnice {\em Homogenní souřadnice vektoru} v souřadném systému $(O,B)$ je uspořádaná \hbox{$(n+1)$}-tice; prvních $n$ složek obsahuje souřadnice vektoru, poslední složka obsahuje nulu. {\em Homogenní souřadnice bodu} v souřadnému systému $(O,B)$ je uspořádaná \hbox{$(n+1)$}-tice; prvních $n$ složek obsahuje souřadnice bodu, poslední složka obsahuje jedničku. {\bf Pozorování:} Tvrzení z předchozí strany [7] o souřadnicích z $\R^n$ platí i v~případě, že sčítáme homogenní souřadnice z $\R^{n+1}$. Tento součet koresponuje i s operací \uv{bod + vektor}. \n ------------------------------------------------------- \g Matice v homogenních souřadnicích Nechť $(\X,V)$ je afinní prostor. Zobrazení $\a:\X\to\X$, pro které existuje matice $\A\in\R^{n+1,n+1}$ s~vlastností: $$ \A\cdot\pmatrix{\hbox{homogenní}\cr\hbox{souřadnice}\cr\hbox{bodu }P\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(O,B)$}} = \pmatrix{\hbox{homogenní}\cr\hbox{souřadnice}\cr\hbox{bodu }\a(P)\cr \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(O,B)$}} $$ se nazývá transformace s maticí $\A$ v homogenních souřadnicích. {\bf Pozorování:} Matice $\A$ musí být tvaru: $$ \A = \pmatrix {\A' & {\bf t}\cr {\bf o} & 1} $$ kde $\A'\in\R^{n,n}$, ${\bf t}\in\R^{n,1}$, ${\bf o}\in\R^{1,n}$ je nulový vektor, takže to je matice afinního zobrazení v homogenních souřadnicích. \n ---------------------------------------------------- \g Příklad 2D Obecná matice transformace v homogenních souřadnicích má tvar: $$ \pmatrix {a&b&c\cr d&e&f\cr 0&0&1}. $$ Je tedy určena šesti parametry. Bod se souřadnicemi $(x,y)$ přejde při transformaci s touto maticí na bod se souřadnicemi $(x',y')$: $$ \pmatrix {x'\cr y'\cr 1} = \pmatrix {a&b&c\cr d&e&f\cr 0&0&1} \cdot \pmatrix {x\cr y\cr 1} = \pmatrix {ax + by + c\cr dx + ey + f\cr 1}, $$ takže bod se transformuje lineárně a posune o vektor $(c,f)$. \n -------------------------------------------------- \g Příklad 3D Obecná matice transformace v homogenních souřadnicích má tvar: $$ \pmatrix {a&b&c&d\cr e&f&g&h\cr i&j&k&l\cr 0&0&0&1}. $$ Je určena dvanácti parametry. Transformace bodu probíhá podle následujícího vzorce: $$ \pmatrix {x'\cr y'\cr z'\cr1} = \pmatrix {a&b&c&d\cr e&f&g&h\cr i&j&k&l\cr 0&0&0&1} \cdot \pmatrix {x\cr y\cr z\cr1} = \pmatrix {ax+by+cz+d\cr ex+fy+gz+h\cr ix+jy+kz+l\cr 1} $$ \n ------------------------------------------------ \g Skládání transformací --- součin matic {\bf Věta}: Nechť $\A$ a $\B$ jsou matice transformací $A$ a $B$ v homogenních souřadnicích $$ \A = \pmatrix {\A' & {\bf t}\cr {\bf o} & 1}, \qquad \B = \pmatrix {\B' & {\bf s}\cr {\bf o} & 1} $$ Pak složená transformace $B\circ A$ má matici: $$ \B\cdot\A = \pmatrix {\B' & {\bf s}\cr {\bf o} & 1} \cdot \pmatrix {\A' & {\bf t}\cr {\bf o} & 1} = \pmatrix {\B'\cdot\A'& \B'\cdot{\bf t} + {\bf s}\cr {\bf o} & 1}. $$ {\bf Poznámka}: Je $(B\circ A)(x) = (B(A(x))$. Důkaz věty se provede analogicky, jako důkaz věty o složeném lineárním zobrazení. \n ------------------------------------------------ \g Inverzní transformace --- inverzní matice {\bf Věta:} Má-li transformace $A$ regulární matici $\A$ v homogenních souřadnicích, pak je prostá a na a $A^{-1}$ má matici $\A^{-1}$ v homogenních souřadnicích. {\bf Pozorování}: $$ \hbox{Je-li}\quad \A = \pmatrix {\A' & {\bf t}\cr {\bf o} & 1},\quad \hbox{pak}\quad \A^{-1} = \pmatrix {(\A')^{-1} & -\,(\A')^{-1}\,{\bf t}\cr {\bf o} & 1} $$ Inverzní matice k $\A$ existuje, právě když $\A'$ je regulární. \n ------------------------------------------------ \g Příklad: elementární transformace ve 2D {\bf Změna měřítka} má matici v homogenních souřadnicích: $$ \pmatrix {a& 0&0\cr 0&b&0\cr 0&0&1}. $$ {\bf Rotace} o úhel $\alpha$ má matici v homogenních souřadnicích: $$ \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha&0\cr \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha&0\cr 0&0&1}, $$ {\bf Posunutí} o vektor se souřadnicemi $(t_x, t_y)$ má matici v homogenních souřadnicích: $$ \pmatrix {1&0& t_x\cr 0&1&t_y\cr 0&0&1} $$ Další transformace vznikají skládáním těchto transformací. \n ----------------------------------------------------- \g Příklad Najdeme matici (v homogenních souřadnicích) rotace o úhlel $\alpha$ kolem bodu $(2,3)$. Uvedená transformace je složením následujících transformací: * posunutí o vektor $(-2,-3)$, * rotace o úhel $\alpha$, * posunutí o vektor $(2,3)$. Matice výsledné transformace je součinem matic: $$ \displaylines { \biggl( \hbox{posunutí o $(2,3)$} \biggr) \cdot \biggl( \hbox{rotace o úhel $\alpha$} \biggr) \cdot \biggl( \hbox{posunutí o $(-2,-3)$} \biggr) =\cr \noalign{\bigskip} = \pmatrix {1&0& 2\cr 0&1&3\cr 0&0&1} \cdot \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha&0\cr \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha&0\cr 0&0&1} \cdot \pmatrix {1&0& \!-2\cr 0&1&\!-3\cr 0&0&1} = \ \cdots } $$ \n ------------------------------------------------------- \g Příklad, pokračování $$ \cdots \ = \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha\ & -2\cos\alpha+3\sin\alpha+2\cr \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha\ &-2\sin\alpha-3\cos\alpha+3\cr 0&0&1}. $$ Takže bod o souřadnicích $(x,y)$ přechází po této transformaci na bod o souřadnicích $(x'y')$, pro který platí: $$ \displaylines { \pmatrix {x'\cr y'\cr 1} = \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha\ & -2\cos\alpha+3\sin\alpha+2\cr \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha\ &-2\sin\alpha-3\cos\alpha+3\cr 0&0&1} \cdot \pmatrix {x\cr y\cr 1} = \cr \noalign{\bigskip} = \pmatrix {(\cos\alpha)\,x -(\sin\alpha)\,y -2\cos\alpha+3\sin\alpha+2\cr (\sin\alpha)\,x +(\cos\alpha)\,y -2\sin\alpha-3\cos\alpha+3\cr1} } $$ \end