BI - Lineární algebra (pro FIT)

Letní semestr 2012

Osnova přednášky, slídy k přednášce

Slídy najdete v osnově přednášky níže. Navíc nabízím všechny slídy dohromady (po osmi na stránce).

Polynomy, kořeny polynomů, efektivní vyhodnocení polynomu (Hornerovo schéma), základní věta algebry a její důsledky (slidy/tex/4).
Gaussova eliminace jako základní algoritmus lineární algebry, její souvislost s řešením soustav lineárních rovnic.
Příklady lineárních prostorů, axiomatické zavedení lineárního prostoru (slidy/tex/4).
Lineární závislost a nezávislost vektorů v různých lineárních prostorech, lineární obaly (slidy/tex/4).
Báze, dimenze, souřadnice vzhledem k bázi (slidy/tex/4).
Lineární zobrazení (homomorfismus), jádro, defekt, skládání zobrazení. (slidy/tex/4).
Izomorfismus souřadnic na R^n, který umožní řešit problémy v rozličných lineárních prostorech konečné dimenze převedením na R^n.
Matice, hodnost matice (slidy/tex/4).
Algoritmy vyhodnocení lineární závislosti v R^n.
Součin matic, regulární matice, inverzní matice, algoritmus výpočtu (slidy/tex/4).
LU rozklad (slidy/tex/4).
Determinant, vlastnosti a algoritmy výpočtu. (slidy/tex/4).
Soustavy lineárních rovnic, vlastnosti množiny řešení, metody strojového zpracování (slidy/tex/4).
Matice lineárních zobrazení, příklady rotace a změny měřítka (slidy/tex/4).
Matice transformace souřadnic, změna báze (slidy/tex/4).
Afinní transformace, matice afinní transformace v homogenních souřadnicích, rotace, změna měřítka, posunutí (slidy/tex/4), (stručněji: slidy/tex).
Skalární součin, ortogonalita (slidy/tex/4).
Euklidovské prostory, výpočet vzdáleností a úhlů skalárním součinem. (slidy/tex/4), (stručněji: slidy/tex).
Řešení úloh analytické geometrie v 2D a 3D prostoru, Vzájmené polohy přímek a rovin v euklidovském prostoru.
Vlastní čísla a vlastní vektory matic (slidy/tex/4), (rozšířeno: slidy/tex).
(Nové): Symetrické a kvadratické formy, diagonalizace formy, kanonický tvar, definitnost (slidy/ tex).
Od reálných čísel k abstraktnímu tělesu. Grupa, okruh, těleso. (slidy/tex/4).
Charakteristika těles, příklady konečných těles.
Lineární prostor nad tělesem Z2
Úvod do kódování. (slidy/tex/4).
Aplikace lineární algebry v teorii kódování. Samoopravné kódy, cyklické kódy.

Poznámka: význam drobných nápisů v jednotlivých slídech je vysvětlen v příkazu děkana č. 4/2010.

Literatura

[1] P. Olšák: Úvod do algebry, zejména lineární, skriptum FEL ČVUT, Praha 2007. Na uvedené stránce jsou ke stažení řešení všech úloh ze skript včetně postupu.
[2] P. Olšák: Lineární algebra. Přednášky, Praha 2000-2007. Text volně přístupný na internetu, je podmnožinou textu ze skript [1].
[3] P. Pták: Introduction to Linear Algebra. ČVUT, Praha, 2005.
[4] E. Krajník: Maticový počet. Učební text, Praha, 2005.
[5] M. Demlová, B. Pondělíček: Úvod do algebry. ČVUT, Praha 2000.
[6] P. Pták: Introduction to Linear Algebra, starší vydání přístupné elektronicky
[7] M. Hroch: Materiály pro cvičení v předmětu BI-LIN.
[8] A. Kalousová: Učební text pro úvod do algebry volně přístupný na internetu.
[9] A. Němeček: Výsledky a jejich zobrazení pro příklady ze cvičení X01ALG.
[10] Existuje obrovské množství zdrojů na internetu. Zajímavé jsou např. přednášky na MIT

Další studijní materiály

Od roku 2010 připravuji text druhého vydání svého skripta lineární algebra. Text obsahuje významné změny proti stávající verzi, zejména tam jsou vloženy nové partie, které jsou v osnovách bi-lin. Pozor: text je v rozpracovaném stavu a bude během roku 2012 ještě mnohokráte změnen.

První týden v semestru se na cvičení procvičují polynomy. Můžete si projít k tomuto tématu několik úloh k zamyšlení a společně na cvičení najít k těmto úlohám odpovědi.